GegenstandKomplexe Zahlen und Polynome

Vorlesung 22

§ein. Komplexe Zahlen: grundlegende Definitionen

Symbol geben Sie das Verhältnis ein
und heißt imaginäre Einheit. Mit anderen Worten,
.

Definition. Ausdruck der Form
, wo
, heißt eine komplexe Zahl, und die Zahl heißt Realteil einer komplexen Zahl und bezeichnen
, Anzahl - Imaginärteil und bezeichnen
.

Aus dieser Definition folgt, dass die reellen Zahlen diejenigen komplexen Zahlen sind, deren Imaginärteil gleich Null ist.

Es ist zweckmäßig, komplexe Zahlen als Punkte einer Ebene darzustellen, auf der ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem gegeben ist, nämlich: eine komplexe Zahl
Matchball
umgekehrt. auf Achse
Es werden reelle Zahlen angezeigt, die als reelle Achse bezeichnet werden. Komplexe Zahlen der Form

werden als rein imaginär bezeichnet. Sie werden als Punkte auf der Achse dargestellt.
, die als imaginäre Achse bezeichnet wird. Diese Ebene, die zur Darstellung komplexer Zahlen dient, wird als komplexe Ebene bezeichnet. Eine komplexe Zahl, die nicht reell ist, d.h. so dass
, manchmal auch als imaginär bezeichnet.

Zwei komplexe Zahlen heißen genau dann gleich, wenn sie denselben Real- und Imaginärteil haben.

Addition, Subtraktion und Multiplikation komplexer Zahlen werden nach den üblichen Regeln der Polynomalgebra durchgeführt, wobei berücksichtigt wird, dass

. Die Divisionsoperation kann als Umkehrung der Multiplikationsoperation definiert werden und man kann die Eindeutigkeit des Ergebnisses beweisen (wenn der Divisor von Null verschieden ist). In der Praxis wird jedoch ein anderer Ansatz verwendet.

Komplexe Zahlen
und
werden konjugiert genannt, auf der komplexen Ebene werden sie durch Punkte dargestellt, die symmetrisch zur reellen Achse sind. Es ist klar, dass:

1)

;

2)
;

3)
.

Jetzt geteilt auf der kann wie folgt erfolgen:

.

Es ist nicht schwer, das zu zeigen

,

wo Symbol steht für eine beliebige arithmetische Operation.

Lassen
irgendeine imaginäre Zahl, und ist eine reelle Variable. Das Produkt zweier Binome

ist ein quadratisches Trinom mit reellen Koeffizienten.

Jetzt, da wir komplexe Zahlen zur Verfügung haben, können wir jede quadratische Gleichung lösen
.Wenn, dann

und die Gleichung hat zwei komplexe konjugierte Wurzeln

.

Wenn ein
, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn ein
, dann hat die Gleichung zwei identische Wurzeln.

§2. Trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Wie oben erwähnt, die komplexe Zahl
bequem mit einem Punkt darzustellen
. Man kann eine solche Zahl auch mit dem Radiusvektor dieses Punktes identifizieren
. Bei dieser Interpretation erfolgt die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen nach den Regeln der Addition und Subtraktion von Vektoren. Für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen ist eine andere Form bequemer.

Wir führen auf der komplexen Ebene ein
Polarkoordinatensystem. Wo dann
,
und komplexe Zahl
kann geschrieben werden als:

Diese Form der Notation wird trigonometrisch genannt (im Gegensatz zur algebraischen Form
). In dieser Form die Zahl heißt Modul und - Argument für komplexe Zahlen . Sie sind gekennzeichnet:
,

. Für das Modul haben wir die Formel

Das Zahlenargument ist mehrdeutig definiert, aber bis auf einen Begriff
,
. Der Wert des Arguments, das die Ungleichungen erfüllt
, wird Prinzipal genannt und bezeichnet
. Dann,
. Für den Hauptwert des Arguments können Sie die folgenden Ausdrücke erhalten:

,

Zahlenargument
gilt als undefiniert.

Die Bedingung für die Gleichheit zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form hat die Form: Die Module der Zahlen sind gleich, und die Argumente unterscheiden sich um ein Vielfaches
.

Finden Sie das Produkt zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form:

Wenn also Zahlen multipliziert werden, werden ihre Module multipliziert und die Argumente addiert.

In ähnlicher Weise kann festgestellt werden, dass beim Dividieren die Module von Zahlen dividiert und die Argumente subtrahiert werden.

Wenn wir die Potenzierung als mehrfache Multiplikation verstehen, können wir die Formel zum Potenzieren einer komplexen Zahl erhalten:

Wir leiten eine Formel für ab
- Wurzel Potenz einer komplexen Zahl (Nicht zu verwechseln mit der arithmetischen Wurzel einer reellen Zahl!). Die Wurzelziehoperation ist die Umkehrung der Potenzierungsoperation. So
ist eine komplexe Zahl so dass
.

Lassen
bekannt und
gesucht werden. Dann

Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form folgt das

,
,
.

Von hier
(es ist eine arithmetische Wurzel!),

,
.

Es ist leicht, das zu überprüfen kann nur annehmen wesentlich unterschiedliche Werte, zum Beispiel wann
. Endlich haben wir die Formel:

,
.

Also die Wurzel Grad aus einer komplexen Zahl hat verschiedene Werte. In der komplexen Ebene befinden sich diese Werte korrekt an den Scheitelpunkten -gon in einem Radiuskreis eingeschrieben
am Ursprung zentriert. Die „erste“ Wurzel hat ein Argument
, unterscheiden sich die Argumente zweier „benachbarter“ Wurzeln um
.

Beispiel. Nehmen wir die Kubikwurzel der imaginären Einheit:
,
,
. Dann:

,

Das Thema "Komplexe Zahlen" bereitet Schülern oft Schwierigkeiten, aber eigentlich ist nichts Schreckliches daran, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag.

Also, jetzt werden wir analysieren und mit einfachen Beispielen überlegen, was eine komplexe Zahl ist, wie sie bezeichnet wird und woraus sie besteht. Ausdruck z = a + bi heißt komplexe Zahl. Es ist eine einzelne Zahl, keine Addition.

Beispiel 1 : z = 6 + 4i

Was ist eine komplexe Zahl?

Eine komplexe Zahl hat in ihrer Zusammensetzung einen Real- und einen Imaginärteil.

Die Zahl a heißt Realteil der komplexen Zahl und wird bezeichnet a = Re(z). Und hier ist, was mit dem Buchstaben steht ich- d.h. Anzahl b heißt Koeffizient des Imaginärteils einer komplexen Zahl und wird bezeichnet b = Im(z). Zusammen Bi bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.

Es ist leicht zu erraten und leicht zu merken, dass die Abkürzung "Betreff" kommt vom Wort Echt- echter, echter Teil. Bzw, "ich bin" ist eine Abkürzung des Wortes "Imaginär" Imaginärer Teil.

Beispiel 2 : z = 0,5 + 9i. Hier ist der wahre Teil a=Re(z)=0,5, und der Imaginärteil b = Im(z) = 9i

Beispiel 3 : z = -5 + 19i. Hier ist der wahre Teil a=Re(z)=-5, und der Imaginärteil b=Im(z)=19.

Rein imaginäre komplexe Zahl

Eine komplexe Zahl, die keinen Realteil hat, d.h. Re(z) = 0, heißt rein imaginär.

Beispiel 4 : z = 2i. Der Realteil fehlt a = Re(z) = 0, und der Imaginärteil b = Im(z) = 2.

Beispiel 5 . z=-8i. Hier ist der Imaginärteil b=Im(z)=-8, Realteil a = Re(z) = 0.

Komplexe zahlen konjugieren

Die komplex konjugierte Zahl wird bezeichnet "z" mit einem Balken und wird beispielsweise verwendet, um den Quotienten zweier komplexer Zahlen zu bilden, also um die Division von Zahlen durchzuführen. Diejenigen, die jetzt denken, Sie sind hier - lesen Sie etwas über die Division komplexer Zahlen.

Die Zahlen heißen komplex konjugiert, sie haben die gleichen Realteile und unterscheiden sich nur im Vorzeichen der Imaginärteile. Betrachten Sie ein Beispiel:

Beispiel 6 . Komplexes Konjugat einer Zahl z = 7 + 13i ist eine Zahl.

Imaginäre Einheit einer komplexen Zahl

Lassen Sie uns abschließend über den Brief sprechen ich. Derselbe Buchstabe, der die imaginäre Komponente in einer komplexen Zahl bildet. Auch wenn wir einen Ausdruck haben z=5, es bedeutet einfach, dass der Imaginärteil der gegebenen Zahl Null und der Realteil fünf ist.

Wert ich namens imaginäre Einheit.

Die imaginäre Einheit ist nützlich, wenn quadratische Gleichungen gelöst werden, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist. Wir sind daran gewöhnt zu glauben, dass es keine Lösung, keine Wurzeln gibt, wenn es negativ ist. Das ist nicht ganz richtig. Wurzeln existieren, sie sind nur komplex. Aber dazu später mehr. Und jetzt gehen wir zum nächsten Artikel über das Studium komplexer Zahlen über, wir werden lernen, wie man rechnet

Erinnern Sie sich an die notwendigen Informationen über komplexe Zahlen.

Komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a + Bi, wo a, b reelle Zahlen sind, und ich- sogenannt imaginäre Einheit, das Symbol, dessen Quadrat -1 ist, d.h. ich 2 = -1. Anzahl a namens echter Teil, und die Nummer b - Imaginärer Teil komplexe Zahl z = a + Bi. Wenn ein b= 0, dann statt a + 0ich einfach schreiben a. Man sieht, dass reelle Zahlen ein Spezialfall von komplexen Zahlen sind.

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen sind die gleichen wie mit reellen Zahlen: Sie können miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Addition und Subtraktion gehen nach der Regel ( a + Bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)ich, und Multiplikation - nach der Regel ( a + Bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Anzeige + v. Chr)ich(Hier wird nur das verwendet ich 2 = -1). Zahl = a – Bi namens Komplex konjugiert zu z = a + Bi. Gleichberechtigung z · = a 2 + b 2 ermöglicht Ihnen zu verstehen, wie man eine komplexe Zahl durch eine andere komplexe Zahl (nicht Null) dividiert:

(Zum Beispiel, .)

Komplexe Zahlen haben eine bequeme und visuelle geometrische Darstellung: die Zahl z = a + Bi kann als Vektor mit Koordinaten ( a; b) auf der kartesischen Ebene (oder, was fast dasselbe ist, ein Punkt - das Ende des Vektors mit diesen Koordinaten). In diesem Fall wird die Summe zweier komplexer Zahlen als Summe der entsprechenden Vektoren dargestellt (die durch die Parallelogrammregel gefunden werden können). Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge des Vektors mit Koordinaten ( a; b) entspricht . Dieser Wert wird aufgerufen Modul komplexe Zahl z = a + Bi und ist mit | bezeichnet z|. Der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse (im Gegenuhrzeigersinn gezählt) bildet, wird genannt Streit komplexe Zahl z und mit Arg bezeichnet z. Das Argument ist nicht eindeutig definiert, sondern nur bis zur Addition eines Vielfachen von 2 π Radiant (oder 360°, wenn Sie in Grad zählen) - schließlich ist klar, dass das Drehen um einen solchen Winkel um den Ursprung den Vektor nicht ändert. Aber wenn der Vektor der Länge r bildet einen Winkel φ mit der positiven Richtung der x-Achse, dann sind ihre Koordinaten gleich ( r cos φ ; r Sünde φ ). Daher stellt sich heraus trigonometrische Notation komplexe Zahl: z = |z| (cos(Arg z) + ich Sünde (arg z)). Es ist oft praktisch, komplexe Zahlen in dieser Form zu schreiben, da dies die Berechnungen erheblich vereinfacht. Die Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Form sieht sehr einfach aus: z ein · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + ich Sünde (arg z 1+arg z 2)) (bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden ihre Moduli multipliziert und die Argumente addiert). Ab hier folgen De Moivre-Formeln: z n = |z|n(weil ( n(Arg z)) + ich Sünde( n(Arg z))). Mit Hilfe dieser Formeln ist es leicht zu lernen, wie man Wurzeln beliebigen Grades aus komplexen Zahlen zieht. n-te Wurzel von z ist so eine komplexe Zahl w, was w n = z. Es ist klar, dass , und wo k kann jeden Wert aus der Menge annehmen (0, 1, ..., n- ein). Das heißt, es gibt immer genau n Wurzeln n Grad einer komplexen Zahl (in der Ebene befinden sie sich an den Ecken einer regulären n-gon).