Elementardrehwinkel, Winkelgeschwindigkeit
Abbildung 9. Elementarer Drehwinkel ()
Elementare (unendlich kleine) Drehungen werden als Vektoren behandelt. Das Modul des Vektors ist gleich dem Drehwinkel, und seine Richtung stimmt mit der Richtung der Translationsbewegung der Spitze der Schraube überein, deren Kopf sich in Bewegungsrichtung des Punktes entlang des Kreises dreht, dh , es gehorcht der Regel der rechten Schraube.
Winkelgeschwindigkeit
Der Vektor ist gemäß der rechten Schraubenregel entlang der Rotationsachse gerichtet, d. h. genauso wie der Vektor (siehe Abbildung 10).
Abbildung 10.
Abbildung 11
Der Vektorwert bestimmt durch die erste Ableitung des Drehwinkels des Körpers nach der Zeit.
Zusammenhang zwischen den Modulen der Linear- und Winkelgeschwindigkeiten
Abbildung 12
Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren
Die Lage des betrachteten Punktes ist durch den Radiusvektor (aus dem auf der Rotationsachse liegenden Koordinatenursprung 0 gezogen) gegeben. Das Vektorprodukt fällt in Richtung mit dem Vektor zusammen und hat einen Modul gleich
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist .
Pseudovektoren (Axialvektoren) sind Vektoren, deren Richtungen der Drehrichtung (zB) zugeordnet sind. Diese Vektoren haben keine spezifischen Anwendungspunkte: Sie können von jedem Punkt auf der Rotationsachse gezeichnet werden.
Gleichmäßige Bewegung eines materiellen Punktes entlang eines Kreises
Gleichförmige Bewegung in einem Kreis - eine Bewegung, bei der ein materieller Punkt (Körper) für gleiche Zeiträume die Bögen eines gleich langen Kreises passiert.
Winkelgeschwindigkeit
: (-- Drehwinkel).
Die Rotationsperiode T ist die Zeit, während der der materielle Punkt eine vollständige Umdrehung um den Umfang macht, d. h. sich um einen Winkel dreht.
Da entspricht es dann dem Zeitintervall.
Rotationsfrequenz - die Anzahl der vollständigen Umdrehungen, die ein materieller Punkt mit seiner gleichmäßigen Bewegung entlang eines Kreises pro Zeiteinheit macht.
Abbildung 13
Ein charakteristisches Merkmal der gleichförmigen Bewegung im Kreis
Gleichförmige kreisförmige Bewegung ist ein Sonderfall der krummlinigen Bewegung. Die Bewegung entlang eines Kreises mit einer Geschwindigkeitskonstante modulo () wird beschleunigt. Dies liegt daran, dass sich bei einem konstanten Modul die Richtung der Geschwindigkeit ständig ändert.
Beschleunigung eines materiellen Punktes, der sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt
Die tangentiale Beschleunigungskomponente bei der gleichförmigen Bewegung eines Punktes entlang eines Kreises ist gleich Null.
Die Normalkomponente der Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) ist entlang des Radius zum Mittelpunkt des Kreises gerichtet (siehe Abbildung 13). An jedem Punkt auf dem Kreis steht der normale Beschleunigungsvektor senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor. Die Beschleunigung eines materiellen Punktes, der sich an jedem seiner Punkte gleichmäßig entlang eines Kreises bewegt, ist zentripetal.
Winkelbeschleunigung. Zusammenhang zwischen linearen und Winkelgrößen
Die Winkelbeschleunigung ist eine Vektorgröße, die durch die erste zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit bestimmt wird.
Richtung des Winkelbeschleunigungsvektors
Wenn sich der Körper um eine feste Achse dreht, ist der Winkelbeschleunigungsvektor entlang der Rotationsachse auf den Vektor des Elementarinkrements der Winkelgeschwindigkeit gerichtet.
Bei beschleunigter Bewegung ist der Vektor mit dem Vektor ausgerichtet, bei langsamer Bewegung ist er ihm entgegengesetzt. Ein Vektor ist ein Pseudovektor.
Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist .
Zusammenhang zwischen linearen und Winkelgrößen
(-- Kreisradius; -- Lineargeschwindigkeit; -- Tangentialbeschleunigung; -- Normalbeschleunigung; -- Winkelgeschwindigkeit).
mit linearen Werten.
Winkelbewegung- eine Vektorgröße, die die Änderung der Winkelkoordinate während ihrer Bewegung kennzeichnet.
Winkelgeschwindigkeit- Vektorphysikalische Größe, die die Rotationsgeschwindigkeit des Körpers charakterisiert. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist betragsmäßig gleich dem Rotationswinkel des Körpers pro Zeiteinheit:
und ist nach der Bohrhammerregel entlang der Rotationsachse gerichtet, also in die Richtung, in die der Bohrschrauber mit Rechtsgewinde eingeschraubt würde, wenn er in die gleiche Richtung gedreht würde.
Die Maßeinheit der Winkelgeschwindigkeit, die in den SI- und CGS-Systemen verwendet wird, ist Radiant pro Sekunde. (Hinweis: Das Bogenmaß ist wie jede Winkeleinheit physikalisch dimensionslos, daher ist die physikalische Dimension der Winkelgeschwindigkeit einfach ). Die Technik verwendet auch Umdrehungen pro Sekunde, viel seltener - Grad pro Sekunde, Grad pro Sekunde. Umdrehungen pro Minute werden in der Technik vielleicht am häufigsten verwendet - dies schon seit Zeiten, als die Drehzahl langsam laufender Dampfmaschinen durch einfaches „manuelles“ Zählen der Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit bestimmt wurde.
Der (Momentan-)Geschwindigkeitsvektor eines beliebigen Punktes eines (absolut) starren Körpers, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit dreht, ist gegeben durch:
wobei der Radiusvektor zum angegebenen Punkt vom Ursprung auf der Rotationsachse des Körpers ist und eckige Klammern das Vektorprodukt bezeichnen. Die lineare Geschwindigkeit (die mit dem Betrag des Geschwindigkeitsvektors zusammenfällt) eines Punktes in einem bestimmten Abstand (Radius) r von der Rotationsachse kann wie folgt betrachtet werden: v = rω. Wenn anstelle von Radiant andere Winkeleinheiten verwendet werden, erscheint in den letzten beiden Formeln ein Multiplikator, der ungleich eins ist.
Bei ebener Rotation, d.h. wenn alle Geschwindigkeitsvektoren der Körperpunkte (immer) in derselben Ebene ("Rotationsebene") liegen, steht die Winkelgeschwindigkeit des Körpers immer senkrecht auf dieser Ebene, und zwar - wenn die Rotationsebene im Voraus bekannt ist – kann durch eine skalare – Projektion auf eine zur Rotationsebene orthogonale Achse ersetzt werden. In diesem Fall wird die Rotationskinematik stark vereinfacht, aber im allgemeinen Fall kann die Winkelgeschwindigkeit im dreidimensionalen Raum ihre Richtung über die Zeit ändern, und ein solches vereinfachtes Bild funktioniert nicht.
Die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit ist die Winkelbeschleunigung.
Bewegung mit einem konstanten Winkelgeschwindigkeitsvektor wird als gleichförmige Rotationsbewegung bezeichnet (in diesem Fall ist die Winkelbeschleunigung Null).
Die Winkelgeschwindigkeit (als freier Vektor betrachtet) ist in allen Trägheitsbezugssystemen gleich, jedoch kann sich in verschiedenen Trägheitsbezugssystemen die Achse oder das Rotationszentrum desselben spezifischen Körpers zum gleichen Zeitpunkt unterscheiden (d. h d.h. es ergibt sich ein anderer „Einsatzpunkt“ der Winkelgeschwindigkeit).
Im Fall der Bewegung eines einzelnen Punktes im dreidimensionalen Raum können Sie einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit dieses Punktes relativ zum gewählten Ursprung schreiben:
Wo ist der Radiusvektor des Punktes (vom Ursprung), ist die Geschwindigkeit dieses Punktes. - Vektorprodukt, - Skalarprodukt von Vektoren. Diese Formel bestimmt jedoch nicht eindeutig die Winkelgeschwindigkeit (im Falle eines einzelnen Punktes können Sie andere Vektoren wählen, die per Definition geeignet sind, ansonsten - willkürlich - die Richtung der Drehachse wählen), sondern für den allgemeinen Fall (wenn der Körper mehr als einen materiellen Punkt enthält) - diese Formel gilt nicht für die Winkelgeschwindigkeit des gesamten Körpers (weil sie für jeden Punkt unterschiedliche Werte angibt und während der Drehung eines absolut starren Körpers per Definition die Winkelgeschwindigkeit seiner Drehung ist der einzige Vektor). Bei alledem ist diese Formel im zweidimensionalen Fall (bei ebener Rotation) völlig ausreichend, eindeutig und richtig, da in diesem speziellen Fall die Richtung der Rotationsachse eindeutig bestimmt ist.
Bei gleichförmiger Rotationsbewegung (d. h. Bewegung mit konstantem Winkelgeschwindigkeitsvektor) führen die kartesischen Koordinaten der Punkte eines so rotierenden Körpers harmonische Schwingungen mit einer Kreisfrequenz aus, die gleich dem Winkelmodul ist Geschwindigkeitsvektor.
Bei der Messung der Winkelgeschwindigkeit in Umdrehungen pro Sekunde (U/s) ist der Winkelgeschwindigkeitsmodul der gleichförmigen Rotationsbewegung gleich der Rotationsgeschwindigkeit f, gemessen in Hertz (Hz)
(d. h. in solchen Einheiten).
Bei Verwendung der üblichen physikalischen Einheit der Winkelgeschwindigkeit – Radianten pro Sekunde – hängt der Modul der Winkelgeschwindigkeit wie folgt von der Rotationsgeschwindigkeit ab:
Wenn Sie Grad pro Sekunde verwenden, wäre die Beziehung zur Drehzahl schließlich:
Winkelbeschleunigung- physikalische Pseudovektorgröße, die die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers charakterisiert.
Wenn sich ein Körper um eine feste Achse dreht, ist der Modulo der Winkelbeschleunigung:
Der Winkelbeschleunigungsvektor α ist entlang der Rotationsachse gerichtet (bei beschleunigter Rotation zur Seite und umgekehrt - bei langsamer Rotation).
Beim Rotieren um einen festen Punkt ist der Winkelbeschleunigungsvektor definiert als die erste Ableitung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ω nach der Zeit, d. h.
und ist tangential zum Hodographen des Vektors an seinem entsprechenden Punkt gerichtet.
Zwischen Tangential- und Winkelbeschleunigung besteht ein Zusammenhang:
wobei R der Krümmungsradius der Punktbahn zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Die Winkelbeschleunigung ist also gleich der zweiten Ableitung des Drehwinkels nach der Zeit oder der ersten Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit. Die Winkelbeschleunigung wird in rad/sec2 gemessen.
Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der sich um eine feste Achse dreht. Dann beschreiben einzelne Punkte dieses Körpers Kreise mit unterschiedlichen Radien, deren Mittelpunkte auf der Rotationsachse liegen. Lassen Sie einen Punkt sich entlang eines Radiuskreises bewegen R(Abb. 6). Seine Position nach einer gewissen Zeit D t Stellen Sie den Winkel D ein. Elementare (unendlich kleine) Drehungen können als Vektoren betrachtet werden (sie werden mit oder bezeichnet) . Das Modul des Vektors ist gleich dem Rotationswinkel, und seine Richtung stimmt mit der Richtung der Translationsbewegung der Spitze der Schraube überein, deren Kopf sich in Bewegungsrichtung des Punktes entlang des Kreises dreht, d.h. gehorcht richtige Schraubenregel(Abb. 6). Vektoren genannt, deren Richtungen der Drehrichtung zugeordnet sind Pseudovektoren oder axiale Vektoren. Diese Vektoren haben keine spezifischen Anwendungspunkte: Sie können von jedem Punkt auf der Rotationsachse gezeichnet werden.
Winkelgeschwindigkeit heißt Vektorgröße gleich der ersten Ableitung des Rotationswinkels des Körpers nach der Zeit:
Der Vektor ist gemäß der rechten Schraubenregel entlang der Rotationsachse gerichtet, d.h. das gleiche wie der Vektor (Abb. 7). Dimension der Winkelgeschwindigkeit dim w =T - 1 , und seine Einheit ist Radiant pro Sekunde (rad/s).
Punkt lineare Geschwindigkeit (siehe Abb. 6)
In Vektorform kann die Formel für die lineare Geschwindigkeit als Kreuzprodukt geschrieben werden:
In diesem Fall ist das Modul des Vektorprodukts definitionsgemäß gleich, und die Richtung stimmt mit der Richtung der Translationsbewegung der rechten Schraube überein, wenn sie sich von nach dreht R.
Wenn ( = const, dann ist die Drehung gleichmäßig und kann charakterisiert werden Rotationszeit T - die Zeit, in der die Spitze eine vollständige Umdrehung macht, d.h. dreht sich um einen Winkel von 2p. Seit dem Zeitintervall D t= T entspricht = 2p, dann = 2p/ T, wo
Die Anzahl der vollen Umdrehungen, die der Körper bei seiner gleichmäßigen Kreisbewegung pro Zeiteinheit macht, nennt man Rotationsfrequenz:
Die Winkelbeschleunigung ist eine Vektorgröße gleich der ersten zeitlichen Ableitung der Winkelgeschwindigkeit:
Wenn sich der Körper um eine feste Achse dreht, ist der Winkelbeschleunigungsvektor entlang der Rotationsachse auf den Vektor des Elementarinkrements der Winkelgeschwindigkeit gerichtet. Bei beschleunigter Bewegung ist der Vektor zum Vektor gleichgerichtet (Abb. 8), bei langsamer Bewegung ist er ihm entgegengesetzt (Abb. 9).
Tangentialkomponente der Beschleunigung
Normalkomponente der Beschleunigung
Somit ist die Beziehung zwischen linear (Weglänge s durch den Punkt entlang des Bogens eines Kreises mit Radius passiert R, lineare Geschwindigkeit v, tangentiale Beschleunigung , Normalbeschleunigung ) und Winkelgrößen (Drehwinkel j, Winkelgeschwindigkeit w, Winkelbeschleunigung e) wird durch folgende Formeln ausgedrückt:
Bei gleichförmig veränderlicher Bewegung eines Punktes auf einem Kreis (e=const)
wobei w 0 die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ist.
Newtonsche Gesetze.
Newtons erstes Gesetz. Gewicht. Gewalt
Die Dynamik ist das Hauptgebiet der Mechanik, sie basiert auf den drei Newtonschen Gesetzen, die von ihm 1687 formuliert wurden. Die Newtonschen Gesetze spielen eine herausragende Rolle in der Mechanik und sind (wie alle physikalischen Gesetze) eine Verallgemeinerung der Ergebnisse umfangreicher menschlicher Erfahrung. Sie gelten als System miteinander verbundener Gesetze und nicht jedes einzelne Gesetz wird einer experimentellen Überprüfung unterzogen, sondern das ganze System als Ganzes.
Newtons erstes Gesetz: Jeder materielle Punkt (Körper) behält einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige geradlinige Bewegung bei, bis der Aufprall anderer Körper ihn dazu bringt, diesen Zustand zu ändern. Der Wunsch eines Körpers, einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige geradlinige Bewegung aufrechtzuerhalten, wird als bezeichnet Trägheit. Daher wird auch Newtons erstes Gesetz genannt Trägheitsgesetz.
Mechanische Bewegung ist relativ und ihre Art hängt vom Bezugssystem ab. Das erste Newtonsche Gesetz ist in keinem Bezugsrahmen gültig, und die Systeme, in Bezug auf die es ausgeführt wird, werden aufgerufen Trägheitsbezugssysteme. Ein Inertialbezugssystem ist ein solches Bezugssystem, relativ zu dem ein materieller Punkt, frei von äußeren Einflüssen, entweder in Ruhe oder in gleichmäßiger und geradliniger Bewegung. Newtons erstes Gesetz besagt die Existenz von Trägheitsbezugssystemen.
Es wurde experimentell festgestellt, dass der heliozentrische (stellare) Bezugsrahmen als träge angesehen werden kann (der Koordinatenursprung liegt im Zentrum der Sonne, und die Achsen sind in Richtung bestimmter Sterne gezogen). Das mit der Erde verbundene Bezugssystem ist streng genommen nicht träge, aber die Auswirkungen aufgrund seiner Nicht-Trägheit (die Erde dreht sich um ihre eigene Achse und um die Sonne) sind bei der Lösung vieler Probleme vernachlässigbar, und in diesen Fällen ist es kann als träge angesehen werden.
Aus Erfahrung ist bekannt, dass verschiedene Körper unter gleichen Einflüssen ihre Bewegungsgeschwindigkeit ungleich ändern, also unterschiedliche Beschleunigungen erhalten. Die Beschleunigung hängt nicht nur von der Stärke des Aufpralls ab, sondern auch von den Eigenschaften des Körpers selbst (von seiner Masse).
Gewicht Körper - eine physikalische Größe, die eines der Hauptmerkmale der Materie ist und ihre Trägheit bestimmt ( träge Masse) und Gravitation ( Gravitationsmasse) Eigenschaften. Gegenwärtig kann als erwiesen angesehen werden, dass die Trägheits- und die Gravitationsmasse einander gleich sind (mit einer Genauigkeit von nicht weniger als 10–12 ihrer Werte).
Um die im ersten Newtonschen Gesetz erwähnten Wirkungen zu beschreiben, wird der Kraftbegriff eingeführt. Unter dem Einfluss von Kräften ändern Körper entweder ihre Bewegungsgeschwindigkeit, d. h. nehmen Beschleunigungen an (dynamische Kraftwirkung), oder sie verformen sich, d. h. sie ändern ihre Form und ihre Abmessungen (statische Kraftwirkung). Die Kraft ist zu jedem Zeitpunkt durch einen Zahlenwert, eine Raumrichtung und einen Angriffspunkt gekennzeichnet. So, Gewalt- Dies ist eine Vektorgröße, die ein Maß für die mechanische Einwirkung anderer Körper oder Felder auf den Körper ist, wodurch der Körper beschleunigt wird oder seine Form und Größe ändert.
Newtons zweites Gesetz
Newtons zweites Gesetz - das Grundgesetz der Dynamik der Translationsbewegung - beantwortet die Frage, wie sich die mechanische Bewegung eines materiellen Punktes (Körpers) unter Einwirkung von auf ihn einwirkenden Kräften verändert.
Betrachtet man die Einwirkung unterschiedlicher Kräfte auf denselben Körper, stellt sich heraus, dass die vom Körper aufgenommene Beschleunigung immer direkt proportional zur Resultierenden der aufgebrachten Kräfte ist:
a~f(t=const). (6.1)
Unter Einwirkung derselben Kraft auf Körper mit unterschiedlichen Massen fallen nämlich deren Beschleunigungen unterschiedlich aus, nämlich
ein ~ 1 /t (F= konstant). (6.2)
Unter Verwendung der Ausdrücke (6.1) und (6.2) und unter Berücksichtigung, dass Kraft und Beschleunigung Vektorgrößen sind, können wir schreiben
a = kF/m. (6.3)
Die Beziehung (6.3) drückt das zweite Newtonsche Gesetz aus: Die Beschleunigung, die ein materieller Punkt (Körper) erfährt, proportional zu der ihn verursachenden Kraft, fällt mit ihr in Richtung zusammen und ist umgekehrt proportional zur Masse des materiellen Punktes (Körpers).
In SI der Proportionalitätsfaktor k= 1. Dann
(6.4)
Da die Masse eines materiellen Punktes (Körpers) in der klassischen Mechanik eine Konstante ist, kann sie im Ausdruck (6.4) unter das Vorzeichen der Ableitung gebracht werden:
Anzahl der Vektoren
numerisch gleich dem Produkt aus der Masse eines materiellen Punktes und seiner Geschwindigkeit und mit der Richtung der Geschwindigkeit, heißt Schwung (Schwung) dieser materielle Punkt.
Durch Einsetzen von (6.6) in (6.5) erhalten wir
Dieser Ausdruck - allgemeinere Formulierung des zweiten Newtonschen Gesetzes: Die Geschwindigkeit der Impulsänderung eines materiellen Punktes ist gleich der auf ihn wirkenden Kraft. Ausdruck (6.7) wird aufgerufen die Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes.
Einheit der Kraft in SI - Newton(N): 1 N ist eine Kraft, die einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 m / s 2 in Richtung der Kraft verleiht:
1 N \u003d 1 kg × m / s 2.
Das zweite Newtonsche Gesetz gilt nur in Trägheitsbezugssystemen. Das erste Newtonsche Gesetz lässt sich aus dem zweiten ableiten. Ist nämlich die resultierende Kraft gleich Null (ohne Einwirkung anderer Körper auf den Körper), so ist auch die Beschleunigung (siehe (6.3)) gleich Null. Jedoch Newtons erstes Gesetz betrachtet als unabhängiges Recht(und nicht als Folge des zweiten Hauptsatzes), da er es ist, der die Existenz von Trägheitsbezugssystemen behauptet, in denen nur Gleichung (6.7) erfüllt ist.
In der Mechanik ist es von großer Bedeutung Grundsatz der Unabhängigkeit des Handelns der Kräfte: Wirken mehrere Kräfte gleichzeitig auf einen materiellen Punkt, dann verleiht jede dieser Kräfte dem materiellen Punkt nach dem zweiten Newtonschen Gesetz eine Beschleunigung, als gäbe es keine anderen Kräfte. Nach diesem Prinzip lassen sich Kräfte und Beschleunigungen in Komponenten zerlegen, deren Nutzung zu einer deutlichen Vereinfachung der Problemlösung führt. Zum Beispiel in Abb. 10 wirkende Kraft F= m a wird in zwei Komponenten zerlegt: Tangentialkraft F t , (tangential zur Trajektorie gerichtet) und Normalkraft F n(entlang der Normalen zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet). Verwenden von Ausdrücken und , sowie , Du kannst schreiben:
Wirken mehrere Kräfte gleichzeitig auf einen materiellen Punkt, so wird nach dem Prinzip der Unabhängigkeit der Kraftwirkung F im zweiten Newtonschen Gesetz als resultierende Kraft verstanden.
Newtons drittes Gesetz
Die Wechselwirkung zwischen materiellen Punkten (Körpern) wird bestimmt durch Newtons drittes Gesetz: jede Einwirkung materieller Punkte (Körper) aufeinander hat den Charakter einer Wechselwirkung; die Kräfte, mit denen materielle Punkte aufeinander einwirken, sind immer betragsmäßig gleich, entgegengesetzt gerichtet und wirken entlang der diese Punkte verbindenden Geraden:
F 12 = - F 21, (7.1)
wobei F 12 die Kraft ist, die vom zweiten auf den ersten Materialpunkt wirkt;
F 21 - Kraft, die vom ersten auf den zweiten Materialpunkt wirkt. Diese Kräfte wirken auf anders materielle Punkte (Körper), handeln immer in Paaren und sind die Kräfte eine Natur.
Newtons drittes Gesetz erlaubt den Übergang von der Dynamik getrennt Material verweisen auf Dynamik Systeme materielle Punkte. Dies folgt aus der Tatsache, dass für ein System von materiellen Punkten die Wechselwirkung auf die Kräfte der Paarwechselwirkung zwischen materiellen Punkten reduziert wird.
Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers, dessen Abmessungen unter den Bedingungen des betrachteten Problems nicht vernachlässigt werden können. Der Körper wird als nicht verformbar, also absolut steif, betrachtet.
Die Bewegung, in der irgendein eine gerade Linie, die mit einem bewegten Körper verbunden bleibt und parallel zu sich selbst bleibt, heißt progressiv.
Unter einer "fest mit einem Körper verbundenen Geraden" wird eine solche Gerade verstanden, deren Abstand von jedem Punkt zu jedem Punkt des Körpers während seiner Bewegung konstant bleibt.
Die Translationsbewegung eines absolut starren Körpers kann durch die Bewegung eines beliebigen Punktes dieses Körpers charakterisiert werden, da sich bei der Translationsbewegung alle Punkte des Körpers mit gleichen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bewegen und die Trajektorien ihrer Bewegung deckungsgleich sind. Nachdem wir die Bewegung irgendeines Punktes eines starren Körpers bestimmt haben, werden wir gleichzeitig die Bewegung aller seiner anderen Punkte bestimmen. Daher ergeben sich bei der Beschreibung der translatorischen Bewegung keine neuen Probleme im Vergleich zur Kinematik eines materiellen Punktes. Ein Beispiel für eine Translationsbewegung ist in Abb. 1 dargestellt. 2.20.
Abb.2.20. Translationsbewegung des Körpers
Ein Beispiel für eine Translationsbewegung ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
Abb.2.21. Planare Körperbewegung
Ein weiterer wichtiger Sonderfall der Bewegung eines starren Körpers ist die Bewegung, bei der zwei Punkte des Körpers stationär bleiben.
Eine Bewegung, bei der zwei Punkte des Körpers stationär bleiben, wird als bezeichnet Rotation um eine feste Achse.
Die Linie, die diese Punkte verbindet, ist ebenfalls fest und wird aufgerufen Drehachse.
Abb.2.22. Drehung eines starren Körpers
Bei einer solchen Bewegung bewegen sich alle Punkte des Körpers entlang Kreisen, die sich in Ebenen senkrecht zur Rotationsachse befinden. Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der Rotationsachse. Dabei kann die Rotationsachse auch außerhalb des Körpers liegen.
Videos 2.4. Translations- und Rotationsbewegungen.
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung. Wenn sich ein Körper um eine Achse dreht, beschreiben alle seine Punkte Kreise mit unterschiedlichen Radien und haben daher unterschiedliche Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Es ist jedoch möglich, die Rotationsbewegung aller Punkte des Körpers auf die gleiche Weise zu beschreiben. Dazu werden andere (im Vergleich zu einem materiellen Punkt) kinematischen Bewegungsmerkmale verwendet - Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung.
Reis. 2.23. Beschleunigungsvektoren eines Punktes, der sich auf einer Kreisbahn bewegt
Die Rolle der Verschiebung in der Drehbewegung wird von gespielt kleiner Kurvenvektor, um die Rotationsachse 00" (Abb. 2.24.). Es wird für jeden Punkt gleich sein absolut starrer Körper(zum Beispiel Punkte 1, 2, 3 ).
Reis. 2.24. Drehung eines vollkommen starren Körpers um eine feste Achse
Der Modul des Rotationsvektors ist gleich dem Wert des Rotationswinkels und Winkel wird im Bogenmaß gemessen.
Der Vektor einer infinitesimalen Drehung entlang der Drehachse ist auf die Bewegung der rechten Schraube (Gimlet) gerichtet, die in die gleiche Richtung wie der Körper gedreht wird.
Videos 2.5. Die endgültigen Winkelverschiebungen sind keine Vektoren, da sie sich nach der Parallelogrammregel nicht addieren. Unendlich kleine Winkelverschiebungen sind Vektoren.
Vektoren, deren Richtungen der Gimlet-Regel zugeordnet sind, werden aufgerufen axial(aus dem Englischen. Achse- Achse) im Gegensatz zu Polar-. Vektoren, die wir zuvor verwendet haben. Polarvektoren sind beispielsweise der Radiusvektor, der Geschwindigkeitsvektor, der Beschleunigungsvektor und der Kraftvektor. Axialvektoren werden auch Pseudovektoren genannt, da sie sich von echten (Polar-)Vektoren durch ihr Verhalten bei der Spiegelung (Umkehrung oder gleichbedeutend Übergang vom rechten zum linken Koordinatensystem) unterscheiden. Es kann gezeigt werden (das wird später geschehen), dass die Addition von Vektoren infinitesimaler Drehungen auf die gleiche Weise erfolgt wie die Addition von echten Vektoren, dh gemäß der Parallelogramm-(Dreiecks-)Regel. Wenn daher die Reflexionsoperation in einem Spiegel nicht berücksichtigt wird, zeigt sich der Unterschied zwischen Pseudovektoren und wahren Vektoren in keiner Weise, und es ist möglich und notwendig, sie wie gewöhnliche (wahre) Vektoren zu behandeln.
Das Verhältnis des Vektors einer infinitesimalen Drehung zur Zeit, während der diese Drehung stattfand
namens Winkelgeschwindigkeit der Rotation.
Die Grundeinheit zur Messung der Größe der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s. In gedruckten Publikationen schreiben sie oft aus Gründen, die nichts mit Physik zu tun haben 1/s oder ab -1 was streng genommen falsch ist. Der Winkel ist eine dimensionslose Größe, aber seine Maßeinheiten sind unterschiedlich (Grad, Rhumbs, Grad ...) und sie müssen angegeben werden, zumindest um Missverständnisse zu vermeiden.
Videos 2.6. Stroboskopeffekt und seine Verwendung zur Fernmessung der Winkelgeschwindigkeit der Drehung.
Die Winkelgeschwindigkeit ist wie der Vektor, zu dem sie proportional ist, ein axialer Vektor. Beim Umdrehen bewegungslos Die Winkelgeschwindigkeit der Achse ändert ihre Richtung nicht. Bei gleichförmiger Rotation bleibt auch ihr Wert konstant, so dass der Vektor . Bei hinreichender zeitlicher Konstanz des Wertes der Winkelgeschwindigkeit lässt sich die Drehung bequem durch ihre Periode charakterisieren T :
Rotationszeitraum- das ist die Zeit, in der der Körper eine Umdrehung (Drehung um einen Winkel von 2π) um die Drehachse macht.
Die Worte "ausreichende Konstanz" bedeuten offensichtlich, dass sich während der Periode (der Zeit einer Umdrehung) der Modul der Winkelgeschwindigkeit unwesentlich ändert.
Auch oft verwendet Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit
Gleichzeitig ist es in technischen Anwendungen (vor allem Motoren aller Art) üblich, nicht eine Sekunde, sondern eine Minute als Zeiteinheit zu nehmen. Das heißt, die Rotationswinkelgeschwindigkeit wird in Umdrehungen pro Minute angegeben. Wie Sie leicht sehen können, ist die Beziehung zwischen (in Radianten pro Sekunde) und (in Umdrehungen pro Minute) wie folgt
Die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ist in Abb. 2 dargestellt. 2.25.
In Analogie zur Linearbeschleunigung wird die Winkelbeschleunigung als Änderungsrate des Winkelgeschwindigkeitsvektors eingeführt. Auch die Winkelbeschleunigung ist ein axialer Vektor (Pseudovektor).
Winkelbeschleunigung – axialer Vektor, definiert als zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit
Bei Rotation um eine feste Achse, allgemeiner bei Rotation um eine parallel zu sich selbst bleibende Achse, ist auch der Winkelgeschwindigkeitsvektor parallel zur Rotationsachse gerichtet. Mit zunehmendem Wert der Winkelgeschwindigkeit || Die Winkelbeschleunigung fällt damit in Richtung zusammen, während sie abnimmt - sie ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet. Wir betonen, dass dies nur ein Spezialfall der Richtungsinvarianz der Rotationsachse ist, im allgemeinen Fall (Rotation um einen Punkt) dreht sich die Rotationsachse selbst und dann gilt obiges nicht.
Zusammenhang von Winkel- und Lineargeschwindigkeiten und Beschleunigungen. Jeder der Punkte des rotierenden Körpers bewegt sich mit einer bestimmten linearen Geschwindigkeit, die tangential zum entsprechenden Kreis gerichtet ist (siehe Abb. 19). Lassen Sie den Materialpunkt um die Achse rotieren 00" um einen Kreis mit Radius R. Für eine kurze Zeit wird es den Weg durchlaufen, der dem Drehwinkel entspricht. Dann
Wenn wir zum Grenzwert übergehen, erhalten wir einen Ausdruck für den Modul der linearen Geschwindigkeit eines Punktes eines rotierenden Körpers.
Erinnern Sie sich hier R- Abstand vom betrachteten Körperpunkt zur Rotationsachse.
Reis. 2.26.
Da ist die normale Beschleunigung
dann erhalten wir unter Berücksichtigung der Beziehung für die Winkel- und Lineargeschwindigkeiten
Die Normalbeschleunigung von Punkten in einem rotierenden starren Körper wird oft als bezeichnet Zentripetalbeschleunigung.
Nach der Zeit differenzierend finden wir den Ausdruck für
wo ist die Tangentialbeschleunigung eines Punktes, der sich entlang eines Kreises mit einem Radius bewegt R.
Somit wachsen sowohl die Tangential- als auch die Normalbeschleunigung linear mit zunehmendem Radius R- Abstand von der Rotationsachse. Die Gesamtbeschleunigung hängt ebenfalls linear ab R :
Beispiel. Lassen Sie uns die lineare Geschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung von Punkten finden, die auf der Erdoberfläche am Äquator und auf dem Breitengrad von Moskau liegen ( = 56°). Wir kennen die Rotationszeit der Erde um ihre eigene Achse T \u003d 24 Stunden \u003d 24x60x60 \u003d 86.400 s. Daraus ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit der Rotation
Mittlerer Radius der Erde
Der Abstand zur Rotationsachse am Breitengrad beträgt
Von hier aus finden wir die lineare Geschwindigkeit
und Zentripetalbeschleunigung
Am Äquator = 0, cos = 1, also
Auf dem Breitengrad von Moskau cos = cos 56° = 0,559 und wir bekommen:
Wir sehen, dass der Einfluss der Erdrotation nicht so groß ist: Das Verhältnis der Zentripetalbeschleunigung am Äquator zur Beschleunigung im freien Fall ist
Wie wir jedoch später sehen werden, sind die Auswirkungen der Erdrotation durchaus beobachtbar.
Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren. Die oben erhaltenen Beziehungen zwischen den Winkel- und Lineargeschwindigkeiten werden für die Module der Vektoren und geschrieben. Um diese Beziehungen in Vektorform zu schreiben, verwenden wir das Konzept eines Vektorprodukts.
Lassen 0z- die Rotationsachse eines absolut starren Körpers (Abb. 2.28).
Reis. 2.28. Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren
Punkt SONDERN dreht sich um einen Kreis mit einem Radius R. R- Abstand von der Rotationsachse zum betrachteten Körperpunkt. Nehmen wir einen Punkt 0 für den Koordinatenursprung. Dann
und seit
dann per Definition des Vektorprodukts für alle Punkte des Körpers
Hier ist der Radiusvektor des Punktes des Körpers, ausgehend vom Punkt O, der an einem beliebigen festen Ort liegt, zwangsläufig auf der Rotationsachse
Aber auf der anderen Seite
Der erste Term ist gleich Null, da das Vektorprodukt kollinearer Vektoren gleich Null ist. Somit,
wo Vektor R ist senkrecht zur Rotationsachse und von ihr weg gerichtet, und ihr Modul ist gleich dem Radius des Kreises, entlang dem sich der materielle Punkt bewegt und dieser Vektor beginnt in der Mitte dieses Kreises.
Reis. 2.29. Zur Definition der momentanen Drehachse
Normale (zentripetale) Beschleunigung kann auch in Vektorform geschrieben werden:
und das Zeichen "-" zeigt an, dass es zur Rotationsachse gerichtet ist. Differenziert man den Zusammenhang für Linear- und Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit, findet man den Ausdruck für die Gesamtbeschleunigung
Der erste Term ist tangential zur Bahn eines Punktes auf einem rotierenden Körper gerichtet und sein Modul ist da
Aus dem Vergleich mit dem Ausdruck für die Tangentialbeschleunigung schließen wir, dass dies der Tangentialbeschleunigungsvektor ist
Daher ist der zweite Term die normale Beschleunigung desselben Punktes:
Tatsächlich ist es entlang des Radius gerichtet R zur Rotationsachse und ihr Modul gleich ist
Daher ist diese Beziehung für die Normalbeschleunigung eine andere Form, die zuvor erhaltene Formel zu schreiben.
Weitere Informationen
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Allgemeiner Physikkurs, Band 1, Mechanik Ed. Science 1979 - S. 242–243 (§46, S. 7): eine ziemlich schwer verständliche Frage nach der Vektornatur der Winkeldrehungen eines starren Körpers wird diskutiert;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Allgemeiner Physikkurs, Band 1, Mechanik Ed. Science 1979 - S. 233–242 (§45, §46 S. 1–6): momentane Rotationsachse eines starren Körpers, Addition von Rotationen;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - Kvant-Magazin - Basketballwurf-Kinematik (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - Zeitschrift Kvant, 2003, Nr. 6, - S. 5–11, Feld der Momentangeschwindigkeiten eines starren Körpers (S. Krotov);
Euler-Winkel, Flugzeug-(Schiffs-)Winkel.
Traditionell werden Euler-Winkel wie folgt eingeführt. Der Übergang von der Referenzposition zur Istposition erfolgt durch drei Umdrehungen (Abb. 4.3):
1. Um die Ecke drehen Präzession Gleichzeitig geht es in die Position, (c) .
2. Um die Ecke drehen Nutation. Dabei, . (4.10)
4. Um die Ecke drehen eigene (reine) Drehung
Zum besseren Verständnis zeigt Abb. 4.4 einen Kreisel und ihn beschreibende Euler-Winkel
Der Übergang von der Referenzposition zur Istposition kann durch drei Drehungen erfolgen (selbst drehen!) (Abb. 4.5):
1. Um die Ecke drehen gieren, dabei
2. Drehe um den Steigungswinkel herum, während (4.12)
3. Rollwinkel herum
Der Ausdruck „machbar“ ist kein Zufall; Es ist nicht schwer zu verstehen, dass andere Optionen möglich sind, beispielsweise Drehungen um feste Achsen
1. Um die Ecke drehen rollen(Gefahr Flügelbruch)
2. Um die Ecke drehen Tonhöhe(Heben der "Nase") (4.13)
3. In einem Winkel herumdrehen gieren
Allerdings muss auch die Identität von (4.12) und (4.13) bewiesen werden.
Schreiben wir eine naheliegende Vektorformel für den Ortsvektor eines beliebigen Punktes (Abb. 4.6) in Matrixform. Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors relativ zur Referenzbasis. Erweitern wir den Vektor nach der tatsächlichen Basis und führen einen „übertragenen“ Vektor ein, dessen Koordinaten in der Bezugsbasis gleich den Koordinaten des Vektors in der tatsächlichen sind; mit anderen Worten, - ein Vektor, der zusammen mit dem Körper „gedreht“ wird (Abb.4.6).
| Reis. 4.6. |
Erweitern der Vektoren gemäß der Referenzbasis erhalten wir
Wir führen eine Rotationsmatrix und Spalten ein,
Die Vektorformel in Matrixschreibweise hat die Form
1. Die Rotationsmatrix ist orthogonal, d.h.
Der Beweis dieser Aussage ist die Formel (4.9)
Wenn wir die Determinante des Produkts (4.15) berechnen, erhalten wir und da in der Referenzposition dann (orthogonale Matrizen mit Determinante gleich (+1) genannt werden richtig orthogonale oder Rotationsmatrizen). Die Rotationsmatrix ändert, wenn sie mit Vektoren multipliziert wird, weder die Längen der Vektoren noch die Winkel zwischen ihnen, d.h. wirklich sie wendet sich.
2. Die Rotationsmatrix hat einen Eigenvektor (fest), der die Rotationsachse definiert. Mit anderen Worten, es muss gezeigt werden, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat. Wir schreiben das System in der Form (. Die Determinante dieses homogenen Systems ist gleich Null, da
daher hat das System eine Lösung ungleich Null. Unter der Annahme, dass es zwei Lösungen gibt, kommen wir sofort zu dem Schluss, dass die senkrecht dazu stehende auch eine Lösung ist (die Winkel zwischen den Vektoren ändern sich nicht), was bedeutet, dass d.h. kein Umkehren..
| Abb.4.7 |
Matrix auf orthonormaler Basis
hat einen blick.
2. Durch Differenzieren von (4.15) erhalten wir oder, was - Matrix bedeutet zurück (engl. to spin - wirbeln). Somit ist die Spinmatrix schiefsymmetrisch: . Von rechts multipliziert mit erhalten wir die Poisson-Formel für die Rotationsmatrix:
Wir sind beim schwierigsten Moment im Rahmen der Matrixbeschreibung angelangt – der Bestimmung des Winkelgeschwindigkeitsvektors.
Sie können natürlich auch ganz normal vorgehen (siehe z. B. die Methode und schreiben Sie: „ wir führen die Notation für die Elemente der schiefsymmetrischen Matrix ein S laut Formel
Wenn wir einen Vektor machen , dann kann das Ergebnis der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor als Kreuzprodukt dargestellt werden". Im obigen Zitat - der Vektor der Winkelgeschwindigkeit.
Durch Differenzieren von (4.14) erhalten wir die Matrixdarstellung der Grundformel für die Kinematik eines starren Körpers :
Der für Berechnungen bequeme Matrizenansatz ist für die Analyse und Ableitung von Zusammenhängen sehr wenig geeignet; Jede Formel, die in einer Vektor- und Tensorsprache geschrieben ist, kann leicht in Matrixform geschrieben werden, aber es ist schwierig, eine kompakte und ausdrucksstarke Formel zur Beschreibung eines physikalischen Phänomens in Matrixform zu erhalten.
Außerdem sollte man nicht vergessen, dass die Elemente der Matrix in gewisser Weise die Koordinaten (Komponenten) des Tensors sind. Der Tensor selbst hängt nicht von der Wahl der Basis ab, wohl aber seine Komponenten. Für ein fehlerfreies Schreiben in Matrixform ist es notwendig, dass alle im Ausdruck enthaltenen Vektoren und Tensoren in derselben Basis geschrieben werden, was nicht immer bequem ist, da verschiedene Tensoren eine „einfache“ Form in verschiedenen Basen haben, also Sie Matrizen müssen mithilfe von Übergangsmatrizen neu berechnet werden.
