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Beschriftungen der Folien:

Vorschau:

Gegenstand

Arithmetische Progression

TOR :

• lehren, die arithmetische Folge anhand ihrer Definition und ihres Vorzeichens zu erkennen;
• lehren, Probleme mit der Definition, dem Zeichen und der Formel des allgemeinen Mitglieds der Progression zu lösen.

UNTERRICHTSZIELE:

geben eine Definition einer arithmetischen Folge, beweisen ein Zeichen einer arithmetischen Folge und lehren, wie man sie beim Lösen von Problemen anwendet.

LEHRMETHODEN:

Aktualisierung des Schülerwissens, Selbstständiges Arbeiten, Einzelarbeit, Erstellen einer Problemsituation.

MODERNE TECHNOLOGIEN:

IKT, problembasiertes Lernen, differenziertes Lernen, gesundheitssparende Technologien.

UNTERRICHTSPLAN

	Unterrichtsphasen.	Umsetzungszeit.
	Zeit organisieren.	2 Minuten
	Wiederholung der Vergangenheit	5 Minuten
	Neues Material lernen	15 Minuten
	Sportunterricht Minute	3 Minuten
	Bearbeitung von Aufgaben zum Thema	15 Minuten
	Hausaufgaben	2 Minuten
	Zusammenfassend	3 Minuten

WÄHREND DES UNTERRICHTS:

1. In der letzten Lektion haben wir uns mit dem Konzept der "Sequenz" vertraut gemacht.

Heute werden wir weiterhin Zahlenfolgen studieren, einige von ihnen definieren und uns mit ihren Eigenschaften und Merkmalen vertraut machen.

1. Beantworten Sie die Fragen: Was ist eine Folge?

Was sind die Sequenzen?

Wie kann man eine Sequenz erstellen?

Was ist eine Zahlenfolge?

Welche Möglichkeiten zur Angabe einer Zahlenfolge kennen Sie? Welche Formel heißt rekursiv?

1. Zahlenfolgen sind gegeben:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Finden Sie in jeder Sequenz ein Muster und nennen Sie jeweils die nächsten drei Mitglieder.

1. ein n = ein n -1 +1
2. ein n \u003d ein n -1 + 3
3. ein n = ein n -1 + (-2)
4. ein n \u003d ein n -1 + 0,5

Nennen Sie die rekursive Formel für jede Sequenz.

Folie 1

Eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Glied ist, addiert zu derselben Zahl, wird als arithmetische Folge bezeichnet.

Die Zahl d heißt die Differenz einer arithmetischen Folge.

Eine arithmetische Progression ist eine Zahlenfolge, kann also steigend, fallend, konstant sein. Nennen Sie Beispiele für solche Sequenzen, nennen Sie den Unterschied jeder Progression, ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Wir leiten die Formel für den gemeinsamen Term einer arithmetischen Progression her.

An der Tafel: lass a 1 ist das erste Mitglied der Progression, d ist dann ihre Differenz

ein 2 \u003d ein 1 + d

ein 3 \u003d (ein 1 + d) + d \u003d ein 1 + 2d

ein 4 \u003d (ein 1 + 2d) + d \u003d ein 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d a 1 + 4d

ein n \u003d ein 1 + d (n-1) - die Formel des n-ten Gliedes der arithmetischen Folge.

Lösen Sie die Aufgabe: Bei einer arithmetischen Folge ist der erste Term 5 und die Differenz 4.

Finden Sie das 22. Glied dieser Progression.

Der Student entscheidet im Vorstand: a n =a 1 +d(n-1)

A 22 \u003d a 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

Fiskultminutka.

Wir sind aufgestanden.

Hände am Gürtel. Kippt nach links, rechts (2 Mal);

Neigt sich vorwärts, rückwärts (2 mal);

Heben Sie Ihre Hände, atmen Sie tief ein, senken Sie Ihre Hände, atmen Sie aus. (2 mal)

Sie schüttelten sich die Hände. Danke.

Setzte sich. Wir setzen den Unterricht fort.

Wir lösen Aufgaben zur Anwendung der Formel des allgemeinen Terms einer arithmetischen Progression.

Den Schülern werden folgende Aufgaben gestellt:

1. In einer arithmetischen Folge ist der erste Term -2, d=3, a n=118.

Finde n.

1. In einer arithmetischen Folge ist der erste Term 7, der fünfzehnte Term ist -35. Unterschied finden.
2. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge d=-2, a39=83. Finde den ersten Term der Progression.

Die Schüler werden in Gruppen eingeteilt. Die Aufgabe wird für 5 Minuten gestellt. Dann lösen die ersten 3 Schüler, die die Aufgaben gelöst haben, diese an der Tafel. Die Lösung wird auf den Objektträgern dupliziert.

Betrachten Sie die charakteristischen Eigenschaften einer arithmetischen Folge.

In arithmetischer Progression

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Addieren wir diese beiden Gleichungen Term für Term, erhalten wir: 2a n=a(n+1)+a(n-1)

An = (a(n+1) + a(n-1))/2

Dies bedeutet, dass jedes Glied der arithmetischen Folge, mit Ausnahme des ersten und letzten, gleich dem arithmetischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Glieder ist.

SATZ:

Eine numerische Folge ist genau dann eine arithmetische Folge, wenn jedes ihrer Glieder, mit Ausnahme des ersten (und letzten, im Fall einer endlichen Folge), gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder ist (eine charakteristische Eigenschaft von eine arithmetische Folge).

Das Verständnis vieler Themen in Mathematik und Physik ist mit der Kenntnis der Eigenschaften von Zahlenreihen verbunden. Schüler der 9. Klasse betrachten beim Studium des Fachs "Algebra" eine der wichtigen Zahlenfolgen - eine arithmetische Folge. Lassen Sie uns die Grundformeln einer arithmetischen Progression (Klasse 9) sowie Beispiele für ihre Verwendung zum Lösen von Problemen geben.

Algebraische oder arithmetische Progression

Die Zahlenreihe, die in diesem Artikel besprochen wird, wird auf zwei verschiedene Arten aufgerufen, die im Titel dieses Absatzes dargestellt werden. Unter einer arithmetischen Folge versteht man in der Mathematik also eine solche Zahlenreihe, bei der sich zwei beliebige nebeneinander stehende Zahlen um den gleichen Betrag unterscheiden, den man Differenz nennt. Zahlen in einer solchen Reihe werden normalerweise durch Buchstaben mit einem niedrigeren ganzzahligen Index bezeichnet, z. B. a1, a2, a3 usw., wobei der Index die Nummer des Elements der Reihe angibt.

Mit der obigen Definition einer arithmetischen Folge können wir die folgende Gleichheit schreiben: a2-a1 =...=an-an-1=d, hier ist d die Differenz einer algebraischen Folge und n eine beliebige ganze Zahl. Ist d > 0, so können wir erwarten, dass jeder nachfolgende Term der Reihe größer wird als der vorherige, in diesem Fall sprechen wir von steigender Progression. Wenn d

Arithmetische Progressionsformeln (Klasse 9)

Die betrachtete Zahlenreihe hat, da sie geordnet ist und einem bestimmten mathematischen Gesetz gehorcht, zwei Eigenschaften, die für ihre Verwendung wichtig sind:

Erstens, wenn Sie nur zwei Zahlen a1 und d kennen, können Sie jedes Glied der Folge finden. Dies geschieht nach folgender Formel: an = a1+(n-1)*d.

Zweitens, um die Summe von n Termen der ersten zu berechnen, ist es nicht notwendig, sie der Reihe nach zu addieren, da Sie die folgende Formel verwenden können: Sn = n*(an+a1)/2.

Die erste Formel ist leicht zu verstehen, da sie eine direkte Folge der Tatsache ist, dass sich jedes Glied der betrachteten Reihe von seinem Nachbarn um denselben Unterschied unterscheidet.

Die zweite arithmetische Progressionsformel kann erhalten werden, indem beachtet wird, dass die Summe a1+an den Summen a2+an-1, a3+an-2 usw. entspricht. Da a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 und an-1 = -d+an sind und diese Ausdrücke dann in die entsprechenden Summen eingesetzt werden, erhalten wir das sie werden gleich sein. Der Faktor n/2 in der 2. Formel (für Sn) erscheint dadurch, dass es genau n/2 Summen vom Typ ai+1+an-i gibt, hier ist i eine ganze Zahl von 0 bis n/2- eins .

Nach erhaltenen historischen Beweisen wurde die Formel für die Summe Sn zuerst von Karl Gauß (dem berühmten deutschen Mathematiker) erhalten, als er von einem Schullehrer die Aufgabe erhielt, die ersten 100 Zahlen zu addieren.

Beispielaufgabe Nr. 1: Finden Sie den Unterschied

Aufgaben, die die Frage wie folgt stellen: Die Formeln für eine arithmetische Folge kennen, wie man q (d) findet, sind die einfachsten, die es nur für dieses Thema geben kann.

Hier ist ein Beispiel: Bei einer gegebenen Zahlenfolge -5, -2, 1, 4, ... muss ihre Differenz bestimmt werden, dh d.

Das ist so einfach wie das Schälen von Birnen: Sie müssen zwei Elemente nehmen und das kleinere vom größeren subtrahieren. In diesem Fall haben wir: d = -2 - (-5) = 3.

Um sicher zu sein, dass die Antwort erhalten wurde, wird empfohlen, die verbleibenden Unterschiede zu überprüfen, da die präsentierte Sequenz möglicherweise nicht die algebraische Progressionsbedingung erfüllt. Wir haben: 1-(-2)=3 und 4-1=3. Diese Daten zeigen, dass wir das richtige Ergebnis (d = 3) erhalten und bewiesen haben, dass die Zahlenreihe in der Problemstellung tatsächlich eine algebraische Folge ist.

Beispielaufgabe Nr. 2: Finden Sie den Unterschied, wenn Sie zwei Terme der Progression kennen

Betrachten wir ein weiteres interessantes Problem, das sich aus der Frage ergibt, wie man den Unterschied findet. Die arithmetische Progressionsformel muss in diesem Fall für den n-ten Term verwendet werden. Also die Aufgabe: Bei den ersten und fünften Zahlen einer Reihe, die allen Eigenschaften einer algebraischen Progression entspricht, sind dies beispielsweise die Zahlen a1 = 8 und a5 = -10. Wie finde ich den Unterschied d?

Sie sollten mit der Lösung dieser Aufgabe beginnen, indem Sie die allgemeine Form der Formel für das n-te Element aufschreiben: an = a1+d*(-1+n). Jetzt können Sie auf zwei Arten vorgehen: Entweder ersetzen Sie die Zahlen sofort und arbeiten bereits damit, oder drücken Sie d aus und gehen Sie dann zu bestimmten a1 und a5 über. Wenden wir die letzte Methode an, erhalten wir: a5 = a1+d*(-1+5) oder a5 = 4*d+a1, was impliziert, dass d = (a5-a1)/4. Jetzt können Sie die bekannten Daten aus der Bedingung sicher ersetzen und erhalten die endgültige Antwort: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Beachten Sie, dass sich in diesem Fall die Progressionsdifferenz als negativ herausstellte, d. h. es gibt eine abnehmende Zahlenfolge. Diese Tatsache muss bei der Lösung von Problemen beachtet werden, um die Zeichen "+" und "-" nicht zu verwechseln. Alle obigen Formeln sind universell und sollten daher immer befolgt werden, unabhängig vom Vorzeichen der Zahlen, mit denen Operationen ausgeführt werden.

Ein Beispiel für die Lösung von Problem Nr. 3: Finden Sie a1, kennen Sie den Unterschied und das Element

Lassen Sie uns den Zustand des Problems ein wenig ändern. Es seien zwei Zahlen: die Differenz d=6 und das 9. Element der Progression a9 = 10. Wie findet man a1? Arithmetische Progressionsformeln bleiben unverändert, wir werden sie verwenden. Für die Zahl a9 haben wir folgenden Ausdruck: a1+d*(9-1) = a9. Daraus können wir leicht das erste Element der Reihe erhalten: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Ein Beispiel für die Lösung von Problem Nr. 4: Finden Sie a1 und kennen Sie zwei Elemente

Diese Version des Problems ist eine komplizierte Version der vorherigen. Die Essenz ist die gleiche, es ist notwendig, a1 zu berechnen, aber jetzt ist die Differenz d nicht bekannt, und stattdessen wird ein anderes Element der Progression angegeben.

Ein Beispiel für diese Art von Problem ist das folgende: Finden Sie die erste Zahl in einer Folge, von der bekannt ist, dass sie eine arithmetische Folge ist und deren 15. und 23. Element 7 bzw. 12 sind.

Dieses Problem muss gelöst werden, indem für jedes aus der Bedingung bekannte Element ein Ausdruck für den n-ten Term geschrieben wird, wir haben: a15 = d*(15-1)+a1 und a23 = d*(23-1)+a1. Wie Sie sehen können, haben wir zwei lineare Gleichungen erhalten, die bezüglich a1 und d gelöst werden müssen. Gehen wir so vor: Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, dann erhalten wir den folgenden Ausdruck: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Bei der Herleitung der letzten Gleichung wurden die Werte von a1 weggelassen, da sie sich beim Subtrahieren aufheben. Durch Ersetzen der bekannten Daten finden wir die Differenz: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Der Wert von d muss in eine beliebige Formel für ein bekanntes Element eingesetzt werden, um das erste Glied der Folge zu erhalten: a15 = 14*d+a1, woher: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Lassen Sie uns das Ergebnis überprüfen, dafür finden wir a1 durch den zweiten Ausdruck: a23 = d*22+a1 oder a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Ein Beispiel für die Lösung von Problem Nr. 5: Finden Sie die Summe von n Elementen

Wie Sie sehen, wurde bisher nur eine arithmetische Progressionsformel (Grad 9) für die Lösung verwendet. Nun stellen wir ein Problem vor, für dessen Lösung wir die zweite Formel kennen müssen, also für die Summe Sn.

Bei der folgenden geordneten Zahlenreihe -1.1, -2.1, -3.1, ... müssen Sie die Summe ihrer ersten 11 Elemente berechnen.

Aus dieser Reihe ist ersichtlich, dass sie abnimmt und a1 = –1,1. Seine Differenz ist: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Lassen Sie uns nun den 11. Term definieren: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nach Abschluss der vorbereitenden Berechnungen können Sie die obige Formel für die Summe verwenden, wir haben: S11 \u003d 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 \u003d -67,1. Da alle Terme negative Zahlen waren, hat auch ihre Summe das entsprechende Vorzeichen.

Ein Beispiel für die Lösung von Problem Nr. 6: Finden Sie die Summe der Elemente von n bis m

Vielleicht ist diese Art von Problem für die meisten Schüler am schwierigsten. Lassen Sie uns ein typisches Beispiel geben: Bei einer Reihe von Zahlen 2, 4, 6, 8 ... müssen Sie die Summe vom 7. bis zum 13. Glied finden.

Arithmetische Progressionsformeln (Klasse 9) werden genauso verwendet wie in allen Aufgaben zuvor. Es wird empfohlen, diese Aufgabe schrittweise zu lösen:

Finden Sie zuerst die Summe von 13 Termen mit der Standardformel.

Berechnen Sie dann diese Summe für die ersten 6 Elemente.

Dann die 2. von der 1. Summe abziehen.

Kommen wir zur Entscheidung. Wie im vorherigen Fall führen wir vorbereitende Berechnungen durch: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Lassen Sie uns zwei Summen berechnen: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Bilden Sie die Differenz und erhalten Sie die gewünschte Antwort: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Beachten Sie, dass beim Erhalten dieses Werts die Summe von 6 Elementen der Progression als Subtrahend verwendet wurde, da der 7. Term in der Summe von S7-13 enthalten ist.

Klasse: 9

Unterrichtsart: Unterrichtsstunde zum Erlernen von neuem Stoff.

Der Zweck der Lektion: Bildung des Konzepts einer arithmetischen Folge als eine der Arten von Folgen, Ableitung der Formel für das n-te Mitglied, Bekanntschaft mit der charakteristischen Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge. Probleme lösen.

Unterrichtsziele:

• Lehrreich- das Konzept der arithmetischen Progression einführen; Formeln des n-ten Mitglieds; charakteristische Eigenschaft, die Mitglieder arithmetischer Progressionen haben.
• Lehrreich- die Fähigkeit entwickeln, mathematische Konzepte zu vergleichen, Ähnlichkeiten und Unterschiede zu finden, die Fähigkeit zu beobachten, Muster zu erkennen, Analogieschlüsse zu ziehen; die Fähigkeit entwickeln, ein mathematisches Modell einer realen Situation zu erstellen und zu interpretieren.
• Lehrreich- Förderung der Entwicklung von Interesse an Mathematik und ihren Anwendungen, Aktivität, Kommunikationsfähigkeit und vernünftiger Verteidigung der eigenen Ansichten.

Ausstattung: Computer, Multimedia-Beamer, Präsentation (Anlage 1)

Lehrbücher: Algebra 9, Yu.N.

Unterrichtsplan:

1. Organisatorisches Moment, Aufgabenstellung
2. Aktualisierung von Wissen, mündliche Arbeit
3. Neues Material lernen
4. Primärbefestigung
5. Zusammenfassung der Lektion
6. Hausaufgaben

Um die Sichtbarkeit und Bequemlichkeit der Arbeit mit dem Material zu erhöhen, wird die Lektion von einer Präsentation begleitet. Dies ist jedoch keine Voraussetzung, und derselbe Unterricht kann auch in Klassenräumen stattfinden, die nicht mit einer Multimedia-Ausstattung ausgestattet sind. Dazu können die notwendigen Daten an der Tafel oder in Form von Tabellen und Postern aufbereitet werden.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment, Aufgabenstellung.

Grüße.

Das Thema der heutigen Lektion ist die arithmetische Progression. In dieser Lektion lernen wir, was eine arithmetische Folge ist, welche allgemeine Form sie hat, finden heraus, wie man eine arithmetische Folge von anderen Folgen unterscheidet, und lösen Probleme, die die Eigenschaften von arithmetischen Folgen verwenden.

II. Aktualisierung von Wissen, mündliche Arbeit.

Die Sequenz () wird durch die Formel gegeben: =. Welche Nummer hat ein Glied dieser Folge, wenn es gleich 144 ist? 225? 100? Sind die Zahlen 48 Mitglieder dieser Folge? 49? 168?

Über die Folge () ist bekannt, dass . Wie nennt man diese Art der Sequenzierung? Finden Sie die ersten vier Glieder dieser Folge.

Über die Sequenz () ist bekannt, dass . Wie nennt man diese Art der Sequenzierung? Finde wenn?

III. Neues Material lernen.

Progression - eine Folge von Werten, von denen jeder in gewisser Weise der gesamten Progression gemeinsam ist, abhängig von der vorherigen. Der Begriff ist mittlerweile weitgehend veraltet und kommt nur noch in Kombinationen von „arithmetischer Progression“ und „geometrischer Progression“ vor.

Der Begriff „Progression“ ist lateinischen Ursprungs (Progression, was soviel bedeutet wie „Voranschreiten“) und wurde vom römischen Autor Boethius (6. Jahrhundert) eingeführt. Dieser Begriff in der Mathematik bezog sich früher auf jede Folge von Zahlen, die nach einem solchen Gesetz aufgebaut ist, das es dieser Folge ermöglicht, sich unbegrenzt in eine Richtung fortzusetzen. Derzeit wird der Begriff „Progression“ in seinem ursprünglichen breiten Sinn nicht verwendet. Zwei wichtige besondere Arten von Progressionen - arithmetische und geometrische - haben ihre Namen beibehalten.

Betrachten Sie Zahlenfolgen:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Wie lautet der dritte Term der ersten Folge? Nachfolgemitglied? Ehemaliges Mitglied? Was ist der Unterschied zwischen dem zweiten und dem ersten Begriff? Drittes und zweites Mitglied? Vierter und dritter?

Wenn die Folge nach einem Gesetz aufgebaut ist, was wird dann der Unterschied zwischen dem sechsten und dem fünften Glied der ersten Folge sein? Zwischen dem siebten und sechsten?

Nennen Sie die nächsten beiden Mitglieder jeder Sequenz. Warum denkst du das?

(Schüler antwortet)

Welche gemeinsame Eigenschaft haben diese Folgen? Geben Sie diese Eigenschaft an.

(Schüler antwortet)

Numerische Folgen, die diese Eigenschaft haben, werden arithmetische Progressionen genannt. Bitten Sie die Schüler, zu versuchen, die Definition selbst zu formulieren.

Definition einer arithmetischen Folge: Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, hinzugefügt mit derselben Nummer:

( ist eine arithmetische Folge, wenn , wobei eine Zahl ist.

Anzahl d, die anzeigt, wie sehr sich das nächste Glied der Folge vom vorherigen unterscheidet, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet: .

Schauen wir uns die Sequenzen noch einmal an und sprechen über die Unterschiede. Welche Eigenschaften hat jede Sequenz und womit sind sie verbunden?

Wenn bei einer arithmetischen Progression die Differenz positiv ist, dann steigt die Progression: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Wenn in einer arithmetischen Progression die Differenz negativ ist ( , dann wird die Progression fallend: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Wenn die Differenz Null ist () und alle Mitglieder der Progression dieselbe Zahl haben, wird die Folge als stationär bezeichnet: 5, 5, 5, 5, :.

Wie stellt man eine arithmetische Progression ein? Betrachten Sie das folgende Problem.

Aufgabe. Am 1. waren 50 Tonnen Kohle im Lager. Einen Monat lang kommt jeden Tag ein LKW mit 3 Tonnen Kohle im Lager an. Wie viel Kohle wird am 30. im Lager sein, wenn in dieser Zeit keine Kohle aus dem Lager verbraucht wurde?

Wenn wir die Kohlemenge im Lager jeder Zahl ausschreiben, erhalten wir eine arithmetische Progression. Wie kann man dieses Problem lösen? Ist es wirklich notwendig, die Kohlemenge an jedem Tag des Monats zu berechnen? Kann man irgendwie darauf verzichten? Wir stellen fest, dass vor dem 30. 29 Lastwagen mit Kohle zum Lager kommen werden. Somit werden am 30. 50 + 329 = 137 Tonnen Kohle auf Lager sein.

Wenn wir also nur das erste Glied der arithmetischen Folge und die Differenz kennen, können wir jedes Glied der Folge finden. Ist das immer so?

Lassen Sie uns analysieren, wie jedes Mitglied der Sequenz vom ersten Mitglied und dem Unterschied abhängt:

Damit haben wir die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge erhalten.

Beispiel 1 Sequence () ist eine arithmetische Folge. Finde wenn und .

Wir verwenden die Formel für den n-ten Term ,

Antwort: 260.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Bei einer arithmetischen Folge stellten sich die geraden Glieder als überschrieben heraus: 3, :, 7, :, 13: Kann man die verlorenen Zahlen wiederherstellen?

Die Schüler werden wahrscheinlich zuerst die Differenz der Progression berechnen und dann die unbekannten Terme der Progression finden. Dann können Sie sie einladen, die Beziehung zwischen dem unbekannten Mitglied der Sequenz, dem vorherigen und dem nächsten zu finden.

Entscheidung: Nutzen wir die Tatsache, dass in einer arithmetischen Folge die Differenz zwischen benachbarten Termen konstant ist. Sei das gewünschte Mitglied der Sequenz. Dann

.

Kommentar. Diese Eigenschaft einer arithmetischen Folge ist ihre charakteristische Eigenschaft. Dies bedeutet, dass in jeder arithmetischen Folge jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel des vorherigen und des nachfolgenden ( . Und umgekehrt ist jede Sequenz, in der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel des vorherigen und des nachfolgenden ist, eine arithmetische Progression.

IV. Primärbefestigung.

• Nr. 575 ab - oral
• Nr. 576 awd - mündlich
• Nr. 577b - unabhängig mit Prüfung

Sequenz (- arithmetische Progression. Finden Sie, ob und

Lassen Sie uns die Formel des n-ten Mitglieds verwenden,

Antwort: -24.2.

Finde das 23. und n. Glied der arithmetischen Folge -8; -6,5; :

Entscheidung: Das erste Glied der arithmetischen Folge ist -8. Finden wir die Differenz der arithmetischen Folge, dazu ist es notwendig, die vorherige vom nächsten Glied der Folge zu subtrahieren: -6,5-(-8)=1,5.

Verwenden wir die Formel des n-ten Terms:

Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge () if .

Erinnern wir uns an den Beginn unserer Lektion, Jungs. Hast du es geschafft, in der heutigen Stunde etwas Neues zu lernen, einige Entdeckungen zu machen? Was sind die Ziele des Unterrichts? Glauben Sie, dass wir unsere Ziele erreicht haben?

Hausaufgaben.

Pos. 25, Nr. 578a, Nr. 580b, Nr. 582, Nr. 586a, Nr. 601a.

Kreativaufgabe für starke Schüler: Beweisen Sie das in einer arithmetischen Folge für beliebige Zahlen wie das k die Gleichheiten und .

Danke für die Lektion Jungs. Sie haben heute hart gearbeitet.

Mathematik hat ihre eigene Schönheit, ebenso wie Malerei und Poesie.

Russischer Wissenschaftler, Mechaniker N.E. Schukowski

Sehr häufige Aufgaben in den Aufnahmetests in Mathematik sind Aufgaben, die sich auf das Konzept einer arithmetischen Progression beziehen. Um solche Probleme erfolgreich lösen zu können, ist es notwendig, die Eigenschaften einer arithmetischen Folge gut zu kennen und über gewisse Fähigkeiten in ihrer Anwendung zu verfügen.

Erinnern wir uns zunächst an die Haupteigenschaften einer arithmetischen Folge und stellen die wichtigsten Formeln vor, mit diesem Begriff verbunden.

Definition. Numerische Folge, wobei sich jeder nachfolgende Term vom vorherigen um die gleiche Zahl unterscheidet, arithmetische Progression genannt. Gleichzeitig die Zahlwird als Progressionsdifferenz bezeichnet.

Für eine arithmetische Progression gelten die Formeln

, (1)

wo . Formel (1) wird die Formel des gemeinsamen Glieds einer arithmetischen Folge genannt, und Formel (2) ist die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge: Jedes Glied der Folge stimmt mit dem arithmetischen Mittel seiner benachbarten Glieder und überein.

Beachten Sie, dass genau wegen dieser Eigenschaft die betrachtete Progression "Arithmetik" genannt wird.

Die obigen Formeln (1) und (2) werden wie folgt zusammengefasst:

(3)

Um die Summe zu berechnen Erste Glieder einer arithmetischen FolgeDie Formel wird normalerweise verwendet

(5) wo und .

Wenn wir die Formel (1), dann impliziert Formel (5).

Wenn wir benennen

wo . Da sind die Formeln (7) und (8) eine Verallgemeinerung der entsprechenden Formeln (5) und (6).

Insbesondere , aus Formel (5) folgt, was

Zu den den meisten Schülern wenig bekannten gehört die Eigenschaft einer arithmetischen Folge, die mit Hilfe des folgenden Satzes formuliert wird.

Satz. Wenn, dann

Nachweisen. Wenn, dann

Der Satz ist bewiesen.

Zum Beispiel , unter Verwendung des Theorems, das lässt sich zeigen

Kommen wir zur Betrachtung typischer Beispiele für die Lösung von Problemen zum Thema "Arithmetische Progression".

Beispiel 1 Lassen Sie und . Finden .

Entscheidung. Durch Anwendung von Formel (6) erhalten wir . Seit und , dann oder .

Beispiel 2 Lassen Sie dreimal mehr, und wenn der Quotient durch 2 geteilt wird, ist der Rest 8. Definieren Sie und.

Entscheidung. Das Gleichungssystem folgt aus der Bedingung des Beispiels

Da , , und , erhalten wir dann aus dem Gleichungssystem (10).

Die Lösung dieses Gleichungssystems sind und .

Beispiel 3 Finde wenn und .

Entscheidung. Nach Formel (5) haben wir oder . Unter Verwendung der Eigenschaft (9) erhalten wir jedoch .

Da und , dann von der Gleichheit die Gleichung folgt oder .

Beispiel 4 Finde wenn.

Entscheidung.Nach Formel (5) haben wir

Unter Verwendung des Theorems kann man jedoch schreiben

Daraus und aus Formel (11) erhalten wir .

Beispiel 5. Gegeben: . Finden .

Entscheidung. Seit damals . Aber deshalb .

Beispiel 6 Lassen Sie , und . Finden .

Entscheidung. Mit Formel (9) erhalten wir . Also wenn , dann oder .

Seit und dann haben wir hier ein Gleichungssystem

Wenn wir which lösen, erhalten wir und .

Natürliche Wurzel der Gleichung ist ein .

Beispiel 7 Finde wenn und .

Entscheidung. Da wir nach Formel (3) das haben, folgt das Gleichungssystem aus der Problemstellung

Wenn wir den Ausdruck ersetzenin die zweite Gleichung des Systems, dann erhalten wir oder .

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind und .

Betrachten wir zwei Fälle.

1. Lassen Sie , dann . Seit und dann .

In diesem Fall gilt gemäß Formel (6).

2. Wenn , dann , und

Antwort: und.

Beispiel 8 Es ist bekannt, dass und Finden .

Entscheidung. Unter Berücksichtigung von Formel (5) und der Bedingung des Beispiels schreiben wir und .

Dies impliziert das Gleichungssystem

Wenn wir die erste Gleichung des Systems mit 2 multiplizieren und dann zur zweiten Gleichung addieren, erhalten wir

Nach Formel (9) haben wir. In diesem Zusammenhang folgt aus (12). oder .

Seit und dann .

Antworten: .

Beispiel 9 Finde wenn und .

Entscheidung. Seit , und nach Bedingung , dann oder .

Aus Formel (5) ist es bekannt, was . Seit damals .

Somit , hier haben wir ein lineares gleichungssystem

Von hier erhalten wir und . Unter Berücksichtigung von Formel (8) schreiben wir .

Beispiel 10 Löse die Gleichung.

Entscheidung. Aus der gegebenen Gleichung folgt, dass . Nehmen wir an, dass , , und . In diesem Fall .

Nach Formel (1) können wir oder schreiben.

Da hat Gleichung (13) eine eindeutige geeignete Wurzel .

Beispiel 11. Finden Sie den maximalen Wert, sofern und .

Entscheidung. Seit , dann nimmt die betrachtete arithmetische Progression ab. In dieser Hinsicht nimmt der Ausdruck einen Maximalwert an, wenn er die Zahl des minimalen positiven Glieds der Progression ist.

Wir verwenden Formel (1) und die Tatsache, welche und . Dann bekommen wir das oder .

Denn dann bzw . Allerdings in dieser Ungleichheitgrößte natürliche Zahl, Deshalb .

Wenn die Werte , und in Formel (6) eingesetzt werden, erhalten wir .

Antworten: .

Beispiel 12. Finde die Summe aller zweistelligen natürlichen Zahlen, die bei Division durch 6 einen Rest von 5 haben.

Entscheidung. Bezeichne durch die Menge aller zweiwertigen natürlichen Zahlen, d.h. . Als nächstes konstruieren wir eine Teilmenge, die aus den Elementen (Zahlen) der Menge besteht, die, wenn sie durch die Zahl 6 geteilt werden, einen Rest von 5 ergeben.

Einfach zu installieren, was . Offensichtlich , dass die Elemente der Mengeeine arithmetische Folge bilden, in denen und .

Um die Kardinalität (Anzahl der Elemente) der Menge zu bestimmen, nehmen wir an, dass . Da und , dann impliziert Formel (1) oder . Unter Berücksichtigung von Formel (5) erhalten wir .

Die obigen Problemlösungsbeispiele können keinesfalls Anspruch auf Vollständigkeit erheben. Dieser Artikel basiert auf einer Analyse moderner Methoden zur Lösung typischer Probleme zu einem bestimmten Thema. Für ein tieferes Studium der Methoden zur Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der arithmetischen Progression empfiehlt es sich, die Liste der empfohlenen Literatur zu Rate zu ziehen.

1. Aufgabensammlung Mathematik für Studienbewerber an Fachhochschulen / Ed. MI Scanavi. - M.: Welt und Bildung, 2013. - 608 S.

2. Suprun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: zusätzliche Abschnitte des Schullehrplans. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 S.

3. Medynsky M.M. Ein vollständiger Kurs der elementaren Mathematik in Aufgaben und Übungen. Buch 2: Zahlenfolgen und Progressionen. – M.: Editus, 2015. - 208 S.

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Gegenstand: Arithmetische und geometrische Progressionen

Klasse: 9

Ausbildungssystem: Material zur Vorbereitung auf das Studium eines Themas in Algebra und die Vorbereitungsphase zum Bestehen der OGE-Prüfung

Ziel: Bildung der Begriffe der arithmetischen und geometrischen Progression

Aufgaben: lehren, zwischen Progressionsarten zu unterscheiden, richtig lehren, Formeln verwenden

Arithmetische Progression eine Zahlenfolge benennen (Mitglieder einer Progression)

bei dem sich jeder nachfolgende Term vom vorherigen um einen Stahlterm unterscheidet, der auch als Stufen- oder Progressionsdifferenz bezeichnet wird.

Wenn Sie also den Schritt der Progression und ihren ersten Term festlegen, können Sie jedes ihrer Elemente mithilfe der Formel finden

1) Jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Glieds der Folge

Auch die Umkehrung gilt. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerader) Glieder der Reihe gleich dem dazwischen stehenden Glied ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Reihe. Durch diese Behauptung ist es sehr einfach, jede Folge zu überprüfen.

Auch durch die Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel wie folgt verallgemeinert werden

Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn wir die Terme rechts vom Gleichheitszeichen schreiben

Es wird in der Praxis oft verwendet, um Berechnungen in Problemen zu vereinfachen.

2) Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird durch die Formel berechnet

Merken Sie sich gut die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge, sie ist bei Berechnungen unentbehrlich und in einfachen Lebenssituationen durchaus üblich.

3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe, sondern einen Teil der Folge beginnend mit ihrem k-ten Glied finden müssen, dann wird Ihnen die folgende Summenformel nützlich sein

4) Von praktischem Interesse ist es, die Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu finden. Verwenden Sie dazu die Formel

Finden Sie den vierzigsten Term der arithmetischen Folge 4;7;...

Entscheidung:

Entsprechend der Bedingung haben wir

Definieren Sie den Fortschrittsschritt

Nach der bekannten Formel finden wir das vierzigste Glied der Progression

Die arithmetische Progression wird durch ihr drittes und siebtes Glied gegeben. Finde den ersten Term der Progression und die Zehnersumme.

Entscheidung:

Wir schreiben die gegebenen Elemente der Progression nach den Formeln

Eine arithmetische Folge wird durch den Nenner und eines seiner Mitglieder gegeben. Ermitteln Sie den ersten Term der Progression, die Summe der 50 Terme ab 50 und die Summe der ersten 100 .

Entscheidung:

Lassen Sie uns die Formel für das hundertste Element der Progression schreiben

und finde den ersten

Basierend auf dem ersten finden wir den 50. Term der Progression

Ermitteln der Summe des Teils der Progression

und die Summe der ersten 100

Die Summe der Progression ist 250. Finden Sie die Anzahl der Mitglieder der arithmetischen Progression, wenn:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Entscheidung:

Wir schreiben die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Schritt der Progression und definieren sie

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Mitglieder in der Summe zu bestimmen

Vereinfachungen vornehmen

und lösen Sie die quadratische Gleichung

Von den beiden gefundenen Werten ist nur die Zahl 8 für die Problemstellung geeignet. Somit ist die Summe der ersten acht Terme der Progression 111.

löse die Gleichung

1+3+5+...+x=307.

Entscheidung:

Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Wir schreiben seinen ersten Term aus und finden den Unterschied der Progression

Wir setzen die gefundenen Werte in die Formel für die Summe der Progression ein, um die Anzahl der Terme zu finden

Wie in der vorherigen Aufgabe führen wir Vereinfachungen durch und lösen die quadratische Gleichung

Wählen Sie den logischeren der beiden Werte. Wir haben, dass die Summe von 18 Mitgliedern der Progression mit gegebenen Werten a1=1, d=2 gleich Sn=307 ist.

Beispiele für Problemlösungen: Arithmetische Progression

Aufgabe 1

Das Studententeam beauftragte den Boden in der Halle des Jugendclubs mit einer Fläche von 288 m2 mit Keramikfliesen zu verlegen.Um Erfahrungen zu sammeln, legten die Studenten jeden nächsten Tag, beginnend mit dem zweiten, 2 m2 mehr als den vorherigen aus und Sie hatten genug Fliesen für genau 11 Arbeitstage. Der Vorarbeiter plante, die Produktivität in gleicher Weise zu steigern, und stellte fest, dass es weitere 5 Tage dauern würde, um den Job abzuschließen. Wie viele Kartons Fliesen muss er bestellen, wenn 1 Karton für 1,2 m2 Bodenbelag ausreicht und 3 Kartons benötigt werden, um minderwertige Fliesen zu ersetzen?

Entscheidung

Durch die Bedingung des Problems ist klar, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt, in der let

a1=x, Sn=288, n=16

Dann verwenden wir die Formel: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0,86=200 mm Hg. Kunst.

288=(2x+2*15)*16/2

Berechnen Sie, wie viel m2 Schüler in 11 Tagen anlegen werden: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m2

288-143=145m2 übrig nach 11 Tagen Arbeit, d.h. Für 5 Tage

145/1,2=121 (ungefähr) Kartons müssen für 5 Tage bestellt werden.

121+3=124 Kisten müssen mit Mängeln bestellt werden

Antwort: 124 Kisten

Aufgabe2

Nach jeder Bewegung des Kolbens der Verdünnungspumpe werden 20 % der darin enthaltenen Luft aus dem Gefäß entfernt. Bestimmen wir den Luftdruck im Inneren des Behälters nach sechs Kolbenbewegungen, wenn der Anfangsdruck 760 mm Hg betrug. Kunst.

Entscheidung

Da nach jeder Bewegung des Kolbens 20 % der verfügbaren Luft aus dem Behälter entfernt werden, verbleiben 80 % der Luft. Um den Luftdruck im Behälter nach der nächsten Kolbenbewegung herauszufinden, müssen Sie den Druck der vorherigen Kolbenbewegung um 0,8 erhöhen.

Wir haben eine geometrische Progression, deren erster Term 760 und deren Nenner 0,8 ist. Die Zahl, die den Luftdruck im Gefäß (in mm Hg) nach sechs Kolbenhüben ausdrückt, ist das siebte Glied dieser Progression. Es ist gleich 760 * 0,86 = 200 mm Hg. Kunst.

Antwort: 200 mmHg

Eine arithmetische Progression ist gegeben, wobei der fünfte und der zehnte Term gleich 38 bzw. 23 sind. Ermitteln Sie den fünfzehnten Term der Progression und die Summe seiner ersten zehn Terme.

Entscheidung:

Finden Sie die Nummer des Gliedes der arithmetischen Folge 5,14,23,..., wenn ihr -tes Glied gleich 239 ist.

Entscheidung:

Finden die Anzahl der Glieder einer arithmetischen Folge ist 9,12,15,..., wenn ihre Summe 306 ist.

Entscheidung:

Finde das x, für das die Zahlen x-1, 2x-1, x2-5 eine arithmetische Folge bilden

Entscheidung:

Finden Sie den Unterschied zwischen 1 und 2 Mitgliedern der Progression:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Finden Sie den Unterschied zwischen 2 und 3 Mitgliedern der Progression:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

weil der Unterschied ist derselbe, dann können die Bedingungen der Progression gleichgesetzt werden:

Bei Überprüfung in beiden Fällen wird eine arithmetische Progression erhalten

Antwort: bei x=-1 und x=4

Die arithmetische Folge ist durch ihr drittes und siebtes Glied a3=5 gegeben; a7=13. Finde den ersten Term der Progression und die Zehnersumme.

Entscheidung:

Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, als Ergebnis finden wir den Progressionsschritt

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, also d=2

Der gefundene Wert wird in eine der Gleichungen eingesetzt, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden

Berechnen Sie die Summe der ersten zehn Terme der Progression

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Antwort: a1=1; S10=100

Finden Sie in einer arithmetischen Folge, deren erster Term -3,4 und die Differenz 3 ist, den fünften und elften Term.

Wir wissen also, dass a1 = -3,4; d = 3. Suche: a5, a11-.

Entscheidung. Um das n-te Glied der arithmetischen Folge zu finden, verwenden wir die Formel: an = a1+ (n – 1)d. Wir haben:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26,6.

Wie Sie sehen können, ist die Lösung in diesem Fall nicht schwierig.

Das zwölfte Glied der arithmetischen Folge ist 74, und die Differenz ist -4. Finden Sie den vierunddreißigsten Term dieser Progression.

Uns wird gesagt, dass a12 = 74; d = -4, und Sie müssen a34- finden.

Bei dieser Aufgabe kann die Formel an = a1 + (n – 1)d nicht sofort angewendet werden, weil der erste Term a1 ist nicht bekannt. Dieses Problem kann in mehreren Schritten gelöst werden.

1. Mit dem Term a12 und der Formel des n-ten Terms finden wir a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, jetzt vereinfache und ersetze d: a12 = a1 + 11 (-4). Aus dieser Gleichung finden wir a1: a1 = a12 - (-44);

Den zwölften Term kennen wir aus der Bedingung des Problems, also berechnen wir a1 problemlos

a1 = 74 + 44 = 118. Kommen wir zum zweiten Schritt – der Berechnung von a34.

2. Wieder nach der Formel an = a1 + (n - 1)d, da a1 bereits bekannt ist, bestimmen wir a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Antwort: Das vierunddreißigste Glied einer arithmetischen Folge ist -14.

Wie Sie sehen können, ist die Lösung des zweiten Beispiels komplizierter. Die gleiche Formel wird zweimal verwendet, um die Antwort zu erhalten. Aber alles ist so kompliziert. Die Lösung kann durch zusätzliche Formeln verkürzt werden.

Wie bereits erwähnt, ist es sehr praktisch, wenn a1 in der Aufgabe bekannt ist, die Formel zur Bestimmung des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge anzuwenden. Aber wenn in der Bedingung nicht der erste Term angegeben ist, dann kann eine Formel Abhilfe schaffen, die den n-ten Term, den wir brauchen, mit dem in der Aufgabe angegebenen Term ak verbindet.

an = ak + (n – k)d.

Lassen Sie uns das zweite Beispiel lösen, aber mit der neuen Formel.

Gegeben: a12 = 74; d=-4. Finden: a34-.

Wir verwenden die Formel an = ak + (n – k)d. In unserem Fall wird es sein:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Die Antwort im Problem wurde viel schneller erhalten, da keine zusätzlichen Aktionen ausgeführt und nach dem ersten Mitglied der Progression gesucht werden mussten.

Mit den obigen Formeln können Sie Probleme zur Berechnung der Differenz einer arithmetischen Progression lösen. Mit der Formel an = a1 + (n - 1)d können wir also d ausdrücken:

d = (an - a1) / (n - 1). Probleme mit einem gegebenen ersten Term sind jedoch nicht so häufig und können mit unserer Formel an = ak + (n – k)d gelöst werden, aus der ersichtlich ist, dass d = (an – ak) / (n – k). Betrachten wir eine solche Aufgabe.

Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge, wenn bekannt ist, dass a3 = 36; a8 = 106.

Mit der erhaltenen Formel kann die Lösung des Problems in einer Zeile geschrieben werden:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Wenn diese Formel nicht im Arsenal wäre, würde die Lösung des Problems viel mehr Zeit in Anspruch nehmen, weil müsste ein System aus zwei Gleichungen lösen.

geometrische Verläufe

1. Formel des th-Mitglieds (allgemeines Mitglied der Progression).
2. Die Formel für die Summe der ersten Mitglieder der Progression:. Wenn es üblich ist, von einer konvergenten geometrischen Progression zu sprechen; In diesem Fall können Sie die Summe der gesamten Progression mit der Formel berechnen.
3. Die Formel des „geometrischen Mittels“: Wenn , , drei aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge sind, dann haben wir per Definition die Beziehung: oder oder .