Nachweisen

Wenn eine Sehne ein Durchmesser ist, dann ist der Satz offensichtlich.

Abbildung 287 zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt O, M ist der Schnittpunkt von Durchmesser CD und Sehne AB, CD ⊥ AB. Wir müssen beweisen, dass AM = MB ist.

Lassen Sie uns die Radien OA und OB zeichnen. In einem gleichschenkligen Dreieck AOB ( OA \u003d OB) Segment OM ist die Höhe und damit der Median, d.h. AM \u003d MB.

Satz 20.2

Der Durchmesser eines Kreises, der eine andere Sehne als den Durchmesser in zwei Hälften teilt, steht senkrecht zu dieser Sehne.

Beweisen Sie diesen Satz selbst. Überlegen Sie, ob diese Aussage wahr ist, wenn die Sehne ein Durchmesser ist.

Abbildung 288 zeigt alle möglichen Fälle der relativen Lage einer Geraden und eines Kreises. In Abbildung 288, aber sie haben keine gemeinsamen Punkte, in Abbildung 288, b - sie haben zwei gemeinsame Punkte, in Abbildung 288, in - einem.

Reis. 288

Definition

Eine Gerade, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, heißt Tangente an den Kreis.

Eine Tangente an einen Kreis hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, der von diesem Kreis begrenzt wird. In Abbildung 288 ist in der Linie a eine Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O, A ist der Kontaktpunkt.

Wenn eine Strecke (Strahl) zu einer Kreistangente gehört und mit diesem Kreis einen gemeinsamen Punkt hat, dann heißt die Strecke (Strahl) Kreistangente. Abbildung 289 zeigt zum Beispiel die Strecke AB, die den Kreis im Punkt C berührt.

Satz 20.3

(Tangenseigenschaft)

Die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird.

Nachweisen

Abbildung 290 zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt O , A ist der Tangentenpunkt der Linie a und des Kreises. Wir müssen beweisen, dass OA ⊥ a .

Reis. 289	Reis. 290	Reis. 291

Angenommen, dies sei nicht der Fall, d. h. die Strecke OA sei schräg zur Geraden a. Dann lassen wir vom Punkt O aus die Senkrechte OM auf die Linie a fallen (Abb. 291). Da der Punkt A der einzige gemeinsame Punkt der Linie a und des Kreises mit Mittelpunkt O ist, gehört der Punkt M nicht zu diesem Kreis. Daher ist OM = MB + OB, wobei Punkt B der Schnittpunkt des Kreises und der Senkrechten OM ist. Die Segmente OA und OB sind gleich wie die Radien eines Kreises. Somit ist OM > OA. Wir haben einen Widerspruch: Der senkrechte OM ist größer als der schräge OA . Also OA ⊥ a .

Satz 20.4

(Zeichen einer Tangente an einen Kreis)

Wenn eine Linie, die durch einen Punkt eines Kreises verläuft, senkrecht zu dem Radius ist, der zu diesem Punkt gezogen wird, dann ist diese Linie eine Tangente an den gegebenen Kreis.

Nachweisen

Reis. 292

Abbildung 290 zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt O , Strecke OA ist sein Radius, Punkt A gehört zur Geraden a , OA ⊥ a . Beweisen wir, dass die Linie a den Kreis tangiert.

Die Linie a sei nicht tangential, sondern habe einen gemeinsamen Punkt B mit dem Kreis (Abb. 292). Dann ist ∆ AOB gleichschenklig (OA = OB als Radien). Also ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Wir erhalten einen Widerspruch: Das Dreieck AOB hat zwei rechte Winkel. Daher ist die Linie a tangential zum Kreis.

Folge

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einer bestimmten Linie gleich dem Radius des Kreises ist, dann ist diese Linie eine Tangente an den gegebenen Kreis.

Reis. 293

Beweisen Sie diese Folgerung selbst.

Aufgabe. Beweisen Sie, dass, wenn zwei Tangenten durch einen gegebenen Punkt an den Kreis gezogen werden, die Segmente der Tangenten, die den gegebenen Punkt mit den Tangentenpunkten verbinden, gleich sind.

Entscheidung. Abbildung 293 zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt O. Die Linien AB und AC sind Tangenten, die Punkte B und C sind Tangentenpunkte. Wir müssen beweisen, dass AB = AC .

Zeichnen wir die Radien OB und OC an den Kontaktpunkten. Durch das Tangentialgesetz ist OB ⊥ AB und OC ⊥ AC . In rechtwinkligen Dreiecken AOB und AOC sind die Schenkel OB und OC gleich den Radien eines Kreises, AO ist die gemeinsame Hypotenuse. Daher sind die Dreiecke AOB und AOC in Hypotenuse und Bein gleich. Also AB = AC .

1. Wie teilt eine Sehne einen senkrecht zu ihr stehenden Durchmesser?
2. Was ist der Winkel zwischen einer Sehne, die kein Durchmesser ist, und einem Durchmesser, der diese Sehne halbiert?
3. Beschreiben Sie alle möglichen Fälle der gegenseitigen Anordnung einer Linie und eines Kreises.
4. Welche Gerade heißt Tangente an den Kreis?
5. Welche Eigenschaft hat der gezeichnete Radius am Berührungspunkt von Linie und Kreis?
6. Formuliere ein Tangentenzeichen an einen Kreis.
7. Welche Eigenschaft haben Tangenten, die durch einen Punkt an einen Kreis gezogen werden?

Praktische Aufgaben

507. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O, zeichne eine Sehne AB. Teilen Sie diesen Akkord mit einem Quadrat in zwei Hälften.

508. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O, zeichne eine Akkord-CD. Zeichnen Sie mit einem Lineal mit Skala einen Durchmesser senkrecht zur Akkord-CD.

509. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie darauf die Punkte A und B. Zeichnen Sie mit einem Lineal und einem Winkel gerade Linien, die den Kreis an den Punkten A und B berühren.

510. Zeichnen Sie eine Linie a und markieren Sie darauf Punkt M. Zeichnen Sie mit einem Winkel, Lineal und Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 3 cm, der die Linie a bei Punkt M berührt. Wie viele solcher Kreise können gezeichnet werden?

Übungen

511. In Abbildung 294 ist der Punkt O der Mittelpunkt des Kreises, der Durchmesser CD steht senkrecht auf der Sehne AB. Beweisen Sie, dass ∠ AOD = ∠ BOD .

512. Beweisen Sie, dass gleiche Sehnen eines Kreises von seinem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind.

513. Beweisen Sie, dass, wenn die Sehnen eines Kreises gleich weit von seinem Mittelpunkt entfernt sind, sie gleich sind.

514. Stimmt es, dass eine Linie senkrecht zum Radius eines Kreises den Kreis berührt?

515. Gerade CD berührt den Kreis mit Mittelpunkt O im Punkt A, Segment AB ist die Sehne des Kreises, ∠ BAD = 35° (Abb. 295). Finde ∠AOB.

516. Gerade CD berührt den Kreis mit Mittelpunkt O im Punkt A, Segment AB ist die Sehne des Kreises, ∠ AOB = 80° (siehe Abb. 295). Finden Sie ∠BAC.

517. Gegeben ist ein Kreis mit einem Durchmesser von 6 cm, von dessen Mittelpunkt die Gerade a entfernt ist um: 1) 2 cm; 2) 3cm; 3) 6 cm In welchem ​​Fall ist die Linie eine Tangente an den Kreis?

518. Im Dreieck ABC wissen wir, dass ∠ C = 90° ist. Beweise das:

1) gerade BC ist eine Tangente an den Kreis, wobei der Mittelpunkt A durch den Punkt C geht;

2) gerade AB ist nicht tangential zum Kreis, dessen Mittelpunkt C durch Punkt A geht.

519. Beweisen Sie, dass der Durchmesser eines Kreises größer ist als jede Sehne außer dem Durchmesser.

520. In einem Kreis mit Mittelpunkt O wurde eine Sehne AB durch die Mitte des Radius gezogen, senkrecht dazu. Beweisen Sie, dass ∠AOB = 120°.

521. Finden Sie den Winkel zwischen den Radien OA und OB des Kreises, wenn der Abstand vom Mittelpunkt O des Kreises zur Sehne AB zweimal kleiner ist als: 1) die Länge der Sehne AB; 2) der Radius des Kreises.

522. Durchmesser AB und Sehnen AC und CD werden in einem Kreis gezeichnet, so dass AC = 12 cm, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Finden Sie die Länge der Akkord-CD.

523. Durch den Punkt M an den Kreis mit Mittelpunkt O ​​wurden Tangenten MA und MB gezeichnet, A und B sind Tangentenpunkte, ∠ OAB = 20°. Finde ∠AMB.

524. Durch die Enden der Sehne AB wurden zwei Tangenten gezogen, die dem Radius des Kreises entsprechen und sich im Punkt C schneiden. Finde ∠ ACB.

525. Durch den Punkt C Kreise mit Mittelpunkt O zeichnen eine Tangente an diesen Kreis, AB ist der Durchmesser des Kreises. Eine Senkrechte AD wird von Punkt A auf die Tangente fallen gelassen. Beweisen Sie, dass der Strahl AC die Winkelhalbierende des Winkels BAD ist.

526. Gerade AC berührt den Kreis mit Mittelpunkt O im Punkt A (Abb. 296). Beweisen Sie, dass der Winkel BAC zweimal kleiner ist als der Winkel AOB.

Reis. 294	Reis. 295	Reis. 296

527. Segmente AB und BC sind Sehne bzw. Durchmesser des Kreises, ∠ ABC = 30°. Zeichnen Sie eine Tangente durch Punkt A zu einem Kreis, der Linie BC in Punkt D schneidet. Beweisen Sie, dass ∆ ABD gleichschenklig ist.

528. Es ist bekannt, dass der Durchmesser AB die Sehne CD halbiert, aber nicht senkrecht dazu steht. Beweisen Sie, dass CD auch ein Durchmesser ist.

529. Finden Sie den Ort der Mittelpunkte von Kreisen, die die gegebene Linie an dem gegebenen Punkt berühren.

530. Finden Sie den Ort der Mittelpunkte von Kreisen, die beide Seiten des gegebenen Winkels berühren.

531. Finden Sie den Ort der Mittelpunkte der Kreise, die die gegebene Linie tangieren.

532. Die Linien, die den Kreis mit Mittelpunkt O in den Punkten A und B berühren, schneiden sich im Punkt K , ∠ AKB = 120°. Beweisen Sie, dass AK + BK = OK ist.

533. Der Kreis tangiert die Seite AB des Dreiecks ABC am Punkt M und tangiert die Verlängerung der beiden anderen Seiten. Beweisen Sie, dass die Summe der Streckenlängen BC und BM gleich dem halben Umfang des Dreiecks ABC ist.

Reis. 297

534. Durch den Punkt C sind Tangenten AC und BC an den Kreis, A und B sind Tangentenpunkte (Abb. 297). Auf dem Kreis wird ein beliebiger Punkt M genommen, der in derselben Halbebene mit Punkt C relativ zur Linie AB liegt, und eine Tangente an den Kreis wird durch ihn gezogen, wobei die Linien AC und BC an den Punkten D bzw. E geschnitten werden. Beweisen Sie, dass der Umfang des Dreiecks DEC nicht von der Wahl des Punktes M abhängt.

Übungen zum wiederholen

535. Beweisen Sie, dass der Mittelpunkt M einer Strecke, deren Endpunkte zu zwei parallelen Geraden gehören, der Mittelpunkt jeder Strecke ist, die durch den Punkt M geht und deren Endpunkte zu diesen Geraden gehören.

536. Segmente AB und CD liegen auf derselben Linie und haben einen gemeinsamen Mittelpunkt. Punkt M wurde so gewählt, dass das Dreieck AMB gleichschenklig zur Basis AB ist. Beweisen Sie, dass ∆ CMD auch gleichschenklig zur Basis CD ist.

537. auf der Seite MK des Dreiecks MPK markiert die Punkte E und F, so dass der Punkt E zwischen den Punkten M und F liegt, ME = EP, PF = FK. Finden Sie den Winkel M, wenn ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. In einem spitzwinkligen Dreieck ABC wird eine Winkelhalbierende BM gezeichnet, eine Senkrechte MK fällt von Punkt M zur Seite BC, ∠ ABM = ∠ KMC . Beweisen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Beobachten, zeichnen, entwerfen, phantasieren

539. Stellen Sie eine Regelmäßigkeit in den Formen der Figuren in Abbildung 298 fest. Welche Figur soll als nächstes platziert werden?

Reis. 298

Eine Linie, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, wird als Tangente an den Kreis bezeichnet, und ihr gemeinsamer Punkt wird als Tangentenpunkt der Linie und des Kreises bezeichnet.

Satz (Eigenschaft einer Tangente an einen Kreis)

Die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Gegeben

A - Kontaktpunkt

Beweisen:po

Nachweisen.

Beweisen wir die Methode "per Widerspruch".

Angenommen, p ist OA, dann ist OA schräg zur Geraden p.

Wenn wir vom Punkt O aus eine Senkrechte OH zur Geraden p zeichnen, ist ihre Länge kleiner als der Radius: OH< ОА=r

Wir erhalten, dass der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie p (OH) kleiner ist als der Radius (r), was bedeutet, dass die Linie p eine Sekante ist (d.h. sie hat zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis), was der Bedingung des Satzes (p-Tangens) widerspricht.

Die Annahme ist also falsch, also steht die Linie p senkrecht auf OA.

Satz (Eigenschaft von Tangentialsegmenten, die von einem Punkt aus gezogen werden)

Die Segmente der Tangenten an den Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit der Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Gegeben: ca. (Oder)

AB und AC sind Tangenten an die env. (Oder)

Beweisen: AB=AC

Nachweisen

1) OB AB, OS AC, als Radien zum Kontaktpunkt gezogen (Tangenteneigenschaft)

2) Betrachten Sie tr. AOV usw. AOS - p / j

AO - insgesamt

OB=OC (als Radien)

Also ABO \u003d AOC (entlang Hypotenuse und Bein). Somit,

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Satz (Vorzeichen einer Tangente)

Wenn eine Gerade durch das Ende eines auf einem Kreis liegenden Radius geht und senkrecht auf diesem Radius steht, dann ist sie eine Tangente.

Gegeben: ОА – Kreisradius

Beweisen: p- Tangente an den Kreis

Nachweisen

OA - Radius des Kreises (nach Bedingung) (OA \u003d r)

OA - senkrecht von O zur Linie p (OA \u003d d)

Also, r=OA=d, also haben die Linie p und der Kreis einen gemeinsamen Punkt.

Daher ist die Linie p eine Tangente an den Kreis. h.t.d.

3. Eigenschaft von Akkorden und Sekanten.

Tangenten- und Sekanteneigenschaften

DEFINITION

Umfang wird der Ort der Punkte genannt, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird.

Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird aufgerufen Akkord(in der Abbildung ist es ein Segment). Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser Kreise.

1. Die Tangente steht senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gezogenen Radius.

2. Segmente von Tangenten, die von einem Punkt gezogen werden, sind gleich.

3. Zieht man von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt eine Tangente und eine Sekante, so ist das Quadrat der Länge der Tangente gleich dem Produkt der Sekante mit ihrem äußeren Teil.

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Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Daten verwenden können.

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Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre personenbezogenen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

\[(\Large(\text(Mittel- und Innenwinkel)))\]

Definitionen

Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises liegt.

Ein einbeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt.

Das Gradmaß eines Kreisbogens ist das Gradmaß des auf ihm ruhenden Mittelpunktswinkels.

Satz

Das Maß eines eingeschriebenen Winkels ist die Hälfte des Maßes des Bogens, den er abfängt.

Nachweisen

Wir werden den Beweis in zwei Schritten führen: Zuerst beweisen wir die Gültigkeit der Aussage für den Fall, dass eine der Seiten des einbeschriebenen Winkels einen Durchmesser enthält. Der Punkt \(B\) sei der Scheitelpunkt des einbeschriebenen Winkels \(ABC\) und \(BC\) der Durchmesser des Kreises:

Das Dreieck \(AOB\) ist gleichschenklig, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) ist also außen \(\Winkel AOC = \Winkel OAB + \Winkel ABO = 2\Winkel ABC\), wo \(\Winkel ABC = 0,5\cdot\Winkel AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Betrachten Sie nun einen beliebigen einbeschriebenen Winkel \(ABC\) . Zeichnen Sie den Kreisdurchmesser \(BD\) vom Scheitelpunkt des einbeschriebenen Winkels. Zwei Fälle sind möglich:

1) Der Durchmesser schneidet den Winkel in zwei Winkel \(\Winkel ABD, \Winkel CBD\) (für die der Satz wie oben bewiesen für jeden gilt, also gilt er auch für den ursprünglichen Winkel, der die Summe dieser Winkel ist zwei und ist daher gleich der Hälfte der Summe der Bögen, auf denen sie sich abstützen, d. h. gleich der Hälfte des Bogens, auf dem sie sich abstützen). Reis. ein.

2) der Durchmesser hat den Winkel nicht in zwei Winkel geschnitten, dann haben wir noch zwei neue einbeschriebene Winkel \(\Winkel ABD, \Winkel CBD\) , deren Seite den Durchmesser enthält, daher gilt für sie der Satz, dann ist es gilt auch für den ursprünglichen Winkel (der gleich der Differenz dieser beiden Winkel ist, also gleich der halben Differenz der Bögen, auf denen sie ruhen, also gleich dem halben Bogen, auf dem sie ruhen ruht). Reis. 2.

Konsequenzen

1. Einbeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich.

2. Ein einbeschriebener Winkel, der auf einem Halbkreis basiert, ist ein rechter Winkel.

3. Ein einbeschriebener Winkel ist gleich dem halben Zentriwinkel, bezogen auf denselben Bogen.

\[(\Large(\text(Tangente an Kreis)))\]

Definitionen

Es gibt drei Arten der gegenseitigen Anordnung einer Linie und eines Kreises:

1) die Gerade \(a\) schneidet den Kreis an zwei Punkten. Eine solche Gerade heißt Sekante. In diesem Fall ist der Abstand \(d\) vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Radius \(R\) des Kreises (Abb. 3).

2) die Gerade \(b\) schneidet den Kreis in einem Punkt. Eine solche Gerade wird Tangente genannt, und ihr gemeinsamer Punkt \(B\) wird Tangentenpunkt genannt. In diesem Fall \(d=R\) (Abb. 4).

Satz

1. Die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird.

2. Wenn die Linie durch das Ende des Radius des Kreises verläuft und senkrecht zu diesem Radius steht, dann ist sie tangential zum Kreis.

Folge

Die Tangentensegmente, die von einem Punkt an den Kreis gezogen werden, sind gleich.

Nachweisen

Ziehe vom Punkt \(K\) aus zwei Tangenten \(KA\) und \(KB\) an den Kreis:

Also \(OA\perp KA, OB\perp KB\) als Radien. Rechtwinklige Dreiecke \(\triangle KAO\) und \(\triangle KBO\) haben gleiche Schenkel und Hypotenuse, also \(KA=KB\) .

Folge

Der Mittelpunkt des Kreises \(O\) liegt auf der Winkelhalbierenden des Winkels \(AKB\), der von zwei Tangenten gebildet wird, die vom selben Punkt \(K\) gezogen werden.

\[(\Large(\text(Winkelsätze)))\]

Der Satz über den Winkel zwischen Sekanten

Der Winkel zwischen zwei Sekanten, die von demselben Punkt gezogen werden, ist gleich der halben Differenz der Gradmaße der von ihnen geschnittenen größeren und kleineren Bögen.

Nachweisen

Sei \(M\) ein Punkt, von dem aus zwei Sekanten gezogen werden, wie in der Abbildung gezeigt:

Lassen Sie uns das zeigen \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) ist dann die äußere Ecke des Dreiecks \(MAD\) \(\Winkel DAB = \Winkel DMB + \Winkel MDA\), wo \(\Winkel DMB = \Winkel DAB - \Winkel MDA\), aber die Winkel \(\angle DAB\) und \(\angle MDA\) sind dann eingeschrieben \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), was zu beweisen war.

Winkelsatz zwischen sich schneidenden Akkorden

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Akkorden ist gleich der Hälfte der Summe der Gradmaße der von ihnen geschnittenen Bögen: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Nachweisen

\(\angle BMA = \angle CMD\) als vertikal.

Aus dem Dreieck \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Aber \(\Winkel AMD = 180^\circ - \Winkel CMD\), woraus wir schließen \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ Lächeln\over(CD)).\]

Satz über den Winkel zwischen einer Sehne und einer Tangente

Der Winkel zwischen der Tangente und der Sehne, die durch den Tangentenpunkt verläuft, ist gleich dem halben Gradmaß des von der Sehne subtrahierten Bogens.

Nachweisen

Die Linie \(a\) berühre den Kreis im Punkt \(A\) , \(AB\) sei die Sehne dieses Kreises, \(O\) sei sein Mittelpunkt. Die Gerade, die \(OB\) enthält, schneide \(a\) im Punkt \(M\) . Lassen Sie uns das beweisen \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Bezeichne \(\angle OAB = \alpha\) . Da \(OA\) und \(OB\) Radien sind, ist \(OA = OB\) und \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Auf diese Weise, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Da \(OA\) der zum Tangentenpunkt gezogene Radius ist, ist \(OA\perp a\) , also \(\angle OAM = 90^\circ\) , also \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Satz über Bögen, die durch gleiche Akkorde zusammengezogen werden

Gleiche Akkorde unterspannen gleiche Bögen, kleinere Halbkreise.

Und umgekehrt: Gleiche Bögen werden durch gleiche Akkorde zusammengezogen.

Nachweisen

1) Sei \(AB=CD\) . Lassen Sie uns beweisen, dass die kleineren Halbkreise des Bogens .

Auf drei Seiten also \(\angle AOB=\angle COD\) . Aber seit \(\angle AOB, \angle COD\) - Zentralwinkel basierend auf Bögen \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) bzw. dann \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Wenn \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), dann \(\triangle AOB=\triangle COD\) entlang zweier Seiten \(AO=BO=CO=DO\) und der Winkel zwischen ihnen \(\angle AOB=\angle COD\) . Also \(AB=CD\) .

Satz

Halbiert ein Radius eine Sehne, dann steht er senkrecht dazu.

Auch die Umkehrung gilt: Steht der Radius senkrecht auf der Sehne, dann halbiert der Schnittpunkt diese.

Nachweisen

1) Sei \(AN=NB\) . Beweisen wir, dass \(OQ\perp AB\) .

Betrachten Sie \(\triangle AOB\) : es ist gleichschenklig, weil \(OA=OB\) – Kreisradien. weil \(ON\) ist der zur Basis gezogene Median, dann ist es auch die Höhe, also \(ON\perp AB\) .

2) Sei \(OQ\perp AB\) . Beweisen wir, dass \(AN=NB\) .

Ebenso ist \(\triangle AOB\) gleichschenklig, \(ON\) ist die Höhe, also ist \(ON\) der Median. Daher \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Sätze bezüglich der Längen von Segmenten)))\]

Satz über das Produkt von Akkordsegmenten

Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.

Nachweisen

Die Akkorde \(AB\) und \(CD\) sollen sich im Punkt \(E\) schneiden.

Betrachten Sie die Dreiecke \(ADE\) und \(CBE\) . In diesen Dreiecken sind die Winkel \(1\) und \(2\) gleich, da sie eingeschrieben sind und auf demselben Bogen \(BD\) beruhen, und die Winkel \(3\) und \(4\) gleich vertikal sind. Die Dreiecke \(ADE\) und \(CBE\) sind ähnlich (gemäß dem ersten Dreiecksähnlichkeitskriterium).

Dann \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), also \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangenten- und Sekantensatz

Das Quadrat eines Tangentensegments ist gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil.

Nachweisen

Lassen Sie die Tangente durch den Punkt \(M\) gehen und berühren Sie den Kreis im Punkt \(A\) . Die Sekante gehe durch den Punkt \(M\) und schneide den Kreis an den Punkten \(B\) und \(C\), sodass \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Betrachten Sie die Dreiecke \(MBA\) und \(MCA\) : \(\angle M\) ist allgemein, \(\Winkel BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Nach dem Winkelsatz zwischen einer Tangente und einer Sekante gilt \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Somit sind die Dreiecke \(MBA\) und \(MCA\) in zwei Winkeln ähnlich.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke \(MBA\) und \(MCA\) haben wir: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), was äquivalent zu \(MB\cdot MC = MA^2\) ist.

Folge

Das Produkt der vom Punkt \(O\) gezogenen Sekante und ihres äußeren Teils hängt nicht von der Wahl der vom Punkt \(O\) gezogenen Sekante ab.

Unterrichtsziele

• Pädagogisch - Wiederholung, Verallgemeinerung und Prüfung von Wissen zum Thema: „Tangente an einen Kreis“; Entwicklung von Grundfertigkeiten.
• Entwickeln - um die Aufmerksamkeit, Ausdauer, Ausdauer, das logische Denken und die mathematische Sprache der Schüler zu entwickeln.
• Pädagogisch - durch den Unterricht, um eine aufmerksame Haltung zueinander zu pflegen, die Fähigkeit zu vermitteln, Kameraden zuzuhören, gegenseitige Unterstützung, Unabhängigkeit.
• Führen Sie das Konzept einer Tangente, eines Kontaktpunktes, ein.
• Betrachten Sie die Eigenschaft der Tangente und ihres Vorzeichens und zeigen Sie ihre Anwendung bei der Lösung von Problemen in Natur und Technik.

Unterrichtsziele

• Fähigkeiten zum Erstellen von Tangenten mit einem Maßstabslineal, einem Winkelmesser und einem Zeichendreieck zu entwickeln.
• Überprüfen Sie die Fähigkeit der Schüler, Probleme zu lösen.
• Stellen Sie sicher, dass Sie die grundlegenden algorithmischen Techniken zum Konstruieren einer Tangente an einen Kreis beherrschen.
• Um die Fähigkeit zu entwickeln, theoretisches Wissen zur Problemlösung anzuwenden.
• Um das Denken und Sprechen der Schüler zu entwickeln.
• Arbeiten Sie an der Bildung von Fähigkeiten zum Beobachten, Erkennen von Mustern, Verallgemeinern, Analogieschluss.
• Interesse an Mathematik wecken.

Unterrichtsplan

1. Die Entstehung des Begriffs der Tangente.
2. Die Geschichte des Auftretens der Tangente.
3. Geometrische Definitionen.
4. Grundlegende Sätze.
5. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis.
6. Konsolidierung.

Die Entstehung des Begriffs der Tangente

Das Konzept der Tangente ist eines der ältesten in der Mathematik. In der Geometrie ist eine Tangente an einen Kreis definiert als eine Gerade, die genau einen Schnittpunkt mit diesem Kreis hat. Die Alten konnten mit Hilfe von Zirkel und Lineal Tangenten an einen Kreis und später an Kegelschnitte ziehen: Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.

Die Geschichte des Auftretens der Tangente

Das Interesse an Tangenten lebte in der Neuzeit wieder auf. Dann wurden Kurven entdeckt, die Wissenschaftlern der Antike nicht bekannt waren. Zum Beispiel führte Galileo die Zykloide ein, und Descartes und Fermat bauten eine Tangente daran. Im ersten Drittel des XVII Jahrhunderts. Sie begannen zu verstehen, dass eine Tangente eine gerade Linie ist, die „am engsten benachbart“ zu einer Kurve in einer kleinen Nachbarschaft eines gegebenen Punktes ist. Man kann sich leicht eine Situation vorstellen, in der es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt (Abbildung) eine Tangente an eine Kurve zu konstruieren.

Geometrische Definitionen

Kreis- der Ort der Punkte der Ebene, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind und als Mittelpunkt bezeichnet werden.

Kreis.

Verwandte Definitionen

• Das Segment, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem beliebigen Punkt darauf verbindet (und auch die Länge dieses Segments), wird aufgerufen Radius Kreise.
• Der durch einen Kreis begrenzte Teil der Ebene wird genannt zirka.
• Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird aufgerufen Akkord. Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser.
• Zwei beliebige Punkte auf dem Kreis, die nicht zusammenfallen, teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird aufgerufen Bogen Kreise. Das Maß eines Bogens kann das Maß seines entsprechenden Zentriwinkels sein. Ein Bogen heißt Halbkreis, wenn das Segment, das seine Enden verbindet, ein Durchmesser ist.
• Eine Gerade, die genau einen Punkt mit einem Kreis gemeinsam hat, heißt Tangente zum Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt heißt Berührungspunkt der Linie und des Kreises.
• Eine Linie, die durch zwei Punkte auf einem Kreis verläuft, heißt Sekante.
• Ein Mittelpunktswinkel in einem Kreis ist ein flacher Winkel mit einem Scheitelpunkt in seiner Mitte.
• Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden, heißt Winkel eingeschriebener Winkel.
• Zwei Kreise, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, werden genannt konzentrisch.

Tangente- eine Gerade, die durch einen Punkt der Kurve verläuft und an diesem Punkt bis zur ersten Ordnung mit ihr zusammenfällt.

Tangente an einen Kreis Eine Gerade, die einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, heißt.

Eine gerade Linie, die durch einen Punkt eines Kreises in derselben Ebene senkrecht zu dem zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, Tangente genannt. In diesem Fall wird dieser Punkt des Kreises als Berührungspunkt bezeichnet.

Wo in unserem Fall „a“ eine Gerade ist, die den gegebenen Kreis tangiert, ist der Punkt „A“ der Berührungspunkt. In diesem Fall ist a ⊥ OA (die Linie a steht senkrecht auf dem Radius OA).

Sie sagen, dass zwei Kreise berühren sich wenn sie einen einzigen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird aufgerufen Tangentenpunkt von Kreisen. Durch einen Tangentenpunkt kann man an einen der Kreise eine Tangente ziehen, die auch an den anderen Kreis tangiert. Die Tangentialität von Kreisen ist intern und extern.

Eine Tangente heißt innerlich, wenn die Mittelpunkte der Kreise auf der gleichen Seite der Tangente liegen.

Eine Tangente heißt extern, wenn die Kreismittelpunkte auf gegenüberliegenden Seiten der Tangente liegen

a ist eine gemeinsame Tangente zweier Kreise, K ist ein Berührungspunkt.

Grundlegende Sätze

Satzüber Tangente und Sekante

Zieht man von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt eine Tangente und eine Sekante, so ist das Quadrat der Länge der Tangente gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil: MC 2 = MA MB.

Satz. Der zum Tangentenpunkt des Kreises gezogene Radius steht senkrecht auf der Tangente.

Satz. Steht der Radius im Schnittpunkt des Kreises senkrecht auf der Geraden, so tangiert diese Gerade diesen Kreis.

Nachweisen.

Um diese Sätze zu beweisen, müssen wir uns daran erinnern, was eine Senkrechte von einem Punkt zu einer Linie ist. Dies ist die kürzeste Entfernung von diesem Punkt zu dieser Linie. Nehmen wir an, dass OA nicht senkrecht zur Tangente steht, aber es gibt eine Gerade OC senkrecht zur Tangente. Die Länge des OS umfasst die Länge des Radius und ein bestimmtes Segment BC, das sicherlich größer als der Radius ist. Somit kann man für jede Zeile beweisen. Wir schließen daraus, dass der Radius, der zum Kontaktpunkt gezogene Radius, der kürzeste Abstand zur Tangente vom Punkt O ist, d.h. OS steht senkrecht auf der Tangente. Beim Beweis des Umkehrsatzes gehen wir davon aus, dass die Tangente nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat. Die gegebene Gerade habe noch einen gemeinsamen Punkt B mit dem Kreis. Das Dreieck AOB ist rechtwinklig und seine beiden Seiten sind gleich wie Radien, was nicht sein kann. Damit erhalten wir, dass die gegebene Gerade außer dem Punkt A keine Punkte mehr mit dem Kreis gemeinsam hat, d.h. ist tangential.

Satz. Die Segmente der Tangenten, die von einem Punkt zum Kreis gezogen werden, sind gleich, und die gerade Linie, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet, teilt den Winkel zwischen den Tangenten in Treffer.

Nachweisen.

Der Beweis ist sehr einfach. Unter Verwendung des vorherigen Satzes behaupten wir, dass OB senkrecht zu AB steht und OS senkrecht zu AC. Rechtwinklige Dreiecke ABO und ACO sind in Bein und Hypotenuse gleich (OB = OS - Radien, AO - Gesamt). Daher sind ihre Schenkel AB = AC und die Winkel OAC und OAB ebenfalls gleich.

Satz. Der Wert des Winkels, der von einer Tangente und einer Sehne gebildet wird, die einen gemeinsamen Punkt auf einem Kreis haben, ist gleich dem halben Winkelwert des zwischen ihren Seiten eingeschlossenen Bogens.

Nachweisen.

Betrachten Sie den Winkel NAB, der durch die Tangente und die Sehne gebildet wird. Zeichnen Sie den Durchmesser AC. Die Tangente steht senkrecht auf dem zum Kontaktpunkt gezogenen Durchmesser, daher ist ∠CAN=90 o. Wenn wir den Satz kennen, sehen wir, dass der Winkel Alpha (a) gleich der Hälfte der Winkelgröße des Bogens BC oder der Hälfte des Winkels BOC ist. ∠NAB=90 o -a, also ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB oder = halber Winkelwert des Bogens BA. h.t.d.

Satz. Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem Punkt zu einem Kreis gezogen werden, dann ist das Quadrat des Tangentensegments vom gegebenen Punkt zum Tangentenpunkt gleich dem Produkt der Längen der Sekantensegmente von dem gegebenen Zeigen Sie auf die Schnittpunkte mit dem Kreis.

Nachweisen.

In der Abbildung sieht dieser Satz so aus: MA 2 \u003d MV * MS. Beweisen wir es. Nach dem vorigen Satz ist der Winkel MAC gleich der halben Winkelgröße des Bogens AC, aber auch der Winkel ABC ist gleich der halben Winkelgröße des Bogens AC, nach dem Satz sind also diese Winkel gleich gegenseitig. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Dreiecke AMC und VMA einen gemeinsamen Winkel an der Spitze M haben, geben wir die Ähnlichkeit dieser Dreiecke in zwei Winkeln an (das zweite Zeichen). Aus der Ähnlichkeit haben wir: MA / MB = MC / MA, woraus wir MA 2 \u003d MB * MC erhalten

Konstruktion von Tangenten an einen Kreis

Und jetzt versuchen wir es herauszufinden und herauszufinden, was getan werden muss, um eine Tangente an einen Kreis zu bauen.

In diesem Fall werden in der Regel ein Kreis und ein Punkt in der Aufgabe angegeben. Und Sie und ich müssen eine Tangente an den Kreis bauen, damit diese Tangente durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Für den Fall, dass wir die Position des Punktes nicht kennen, betrachten wir die Fälle der möglichen Position der Punkte.

Erstens kann der Punkt innerhalb eines Kreises liegen, der durch den gegebenen Kreis begrenzt ist. In diesem Fall ist es nicht möglich, eine Tangente durch diesen Kreis zu konstruieren.

Im zweiten Fall liegt der Punkt auf einem Kreis, und wir können eine Tangente bilden, indem wir eine senkrechte Linie zum Radius ziehen, die zu einem uns bekannten Punkt gezogen wird.

Drittens nehmen wir an, dass der Punkt außerhalb des Kreises liegt, der durch einen Kreis begrenzt wird. In diesem Fall muss vor dem Konstruieren einer Tangente ein Punkt auf dem Kreis gefunden werden, durch den die Tangente verlaufen muss.

Ich hoffe, Sie haben im ersten Fall alles verstanden, aber um die zweite Option zu lösen, müssen wir ein Segment auf der Geraden bauen, auf der der Radius liegt. Dieses Segment muss gleich dem Radius und dem Segment, das auf dem Kreis liegt, auf der gegenüberliegenden Seite liegen.

Hier sehen wir, dass ein Punkt auf einem Kreis der Mittelpunkt einer Strecke ist, die gleich dem doppelten Radius ist. Der nächste Schritt besteht darin, zwei Kreise zu zeichnen. Die Radien dieser Kreise sind gleich dem doppelten Radius des ursprünglichen Kreises, mit Mittelpunkten an den Enden des Segments, was dem doppelten Radius entspricht. Jetzt können wir eine gerade Linie durch jeden Schnittpunkt dieser Kreise und einen gegebenen Punkt ziehen. Eine solche Gerade ist die Mittellinie senkrecht zum Radius des Kreises, der zu Beginn gezeichnet wurde. Wir sehen also, dass diese Linie senkrecht zum Kreis steht, und daraus folgt, dass sie den Kreis tangiert.

Bei der dritten Option haben wir einen Punkt, der außerhalb des Kreises liegt, der von einem Kreis begrenzt wird. In diesem Fall konstruieren wir zuerst ein Segment, das den Mittelpunkt des angegebenen Kreises und den angegebenen Punkt verbindet. Und dann finden wir seine Mitte. Dafür müssen Sie jedoch eine Mittelsenkrechte bilden. Und Sie wissen bereits, wie man es baut. Dann müssen wir einen Kreis zeichnen, oder zumindest einen Teil davon. Jetzt sehen wir, dass der Schnittpunkt des gegebenen Kreises und des neu konstruierten Kreises der Punkt ist, durch den die Tangente geht. Es geht auch durch den Punkt, der durch die Bedingung des Problems angegeben wurde. Und schließlich können Sie durch die beiden Punkte, die Sie bereits kennen, eine Tangente ziehen.

Und schließlich, um zu beweisen, dass die von uns konstruierte Linie eine Tangente ist, müssen Sie auf den Winkel achten, der durch den Radius des Kreises und das durch die Bedingung bekannte Segment gebildet wurde und den Schnittpunkt der Kreise verbindet mit dem Punkt, der durch die Bedingung des Problems gegeben ist. Nun sehen wir, dass der resultierende Winkel auf einem Halbkreis ruht. Und daraus folgt, dass dieser Winkel richtig ist. Daher steht der Radius senkrecht zur neu konstruierten Linie, und diese Linie ist die Tangente.

Konstruktion einer Tangente.

Die Konstruktion von Tangenten ist eines jener Probleme, die zur Geburt der Differentialrechnung geführt haben. Die erste veröffentlichte Arbeit zur Differentialrechnung, geschrieben von Leibniz, trug den Titel "Eine neue Methode der Maxima und Minima sowie Tangenten, für die weder gebrochene noch irrationale Größen ein Hindernis sind, und eine besondere Art von Kalkül dafür."

Geometrisches Wissen der alten Ägypter.

Wenn wir den sehr bescheidenen Beitrag der alten Bewohner des Tals zwischen Tigris und Euphrat und Kleinasien nicht berücksichtigen, dann entstand die Geometrie im alten Ägypten vor 1700 v. Während der tropischen Regenzeit füllte der Nil seine Wasserversorgung wieder auf und überschwemmte ihn. Wasser bedeckte Ackerflächen, und aus steuerlichen Gründen musste festgestellt werden, wie viel Land verloren ging. Vermessungsingenieure verwendeten ein straff gespanntes Seil als Messwerkzeug. Ein weiterer Anreiz für die Anhäufung von geometrischem Wissen durch die Ägypter waren ihre Aktivitäten wie der Bau von Pyramiden und die bildende Kunst.

Das Niveau der geometrischen Kenntnisse lässt sich anhand von alten Manuskripten beurteilen, die speziell der Mathematik gewidmet sind und so etwas wie Lehrbücher oder besser gesagt Problembücher sind, in denen Lösungen für verschiedene praktische Probleme gegeben werden.

Das älteste mathematische Manuskript der Ägypter wurde zwischen 1800 - 1600 von einem gewissen Studenten abgeschrieben. BC. aus einem älteren Text. Der Papyrus wurde vom russischen Ägyptologen Vladimir Semenovich Golenishchev gefunden. Es wird in Moskau aufbewahrt - im Museum der Schönen Künste, benannt nach A.S. Puschkin und wird der Moskauer Papyrus genannt.

Ein weiterer mathematischer Papyrus, der zwei- oder dreihundert Jahre später als Moskau geschrieben wurde, wird in London aufbewahrt. Es heißt: „Anleitung, wie man Wissen über alle dunklen Dinge erlangt, alle Geheimnisse, die die Dinge in sich verbergen ... Nach den alten Denkmälern hat der Schreiber Ahmes dies geschrieben.“ und kaufte diesen Papyrus in Ägypten. Der Papyrus von Ahmes gibt die Lösung von 84 Problemen für verschiedene Berechnungen, die in der Praxis benötigt werden können.