Modul oder Absolutwert eine reelle Zahl heißt die Zahl selbst, wenn X nichtnegativ ist und die entgegengesetzte Zahl, d.h. -x wenn X Negativ:

Offensichtlich, aber per Definition, |x| > 0. Folgende Eigenschaften von Absolutwerten sind bekannt:

• 1) hu| = |dg| |r/1;
• 2>--H;

Beimbeim

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Differenzmodul zweier Zahlen X - a| ist der Abstand zwischen den Punkten X und a auf dem Zahlenstrahl (für beliebige X und a).

Daraus folgt insbesondere, dass die Lösungen der Ungleichung X - a 0) sind alles Punkte X Intervall (a- g, a + c), d.h. Zahlen, die die Ungleichung erfüllen Anzeige + G.

So ein Intervall (a- 8, a+ d) heißt die 8-Umgebung des Punktes a.

Grundlegende Eigenschaften von Funktionen

Wie wir bereits gesagt haben, werden alle Größen in der Mathematik in Konstanten und Variablen unterteilt. Konstanter Wert heißt eine Größe, die denselben Wert behält.

Variable ist eine Größe, die verschiedene Zahlenwerte annehmen kann.

Definition 10.8. Variable beim namens Funktion der Variablen x, wenn nach irgendeiner Regel jeder Wert von x e X einen bestimmten Wert zugeordnet beim EU; die unabhängige Variable x wird normalerweise als Argument und als Geltungsbereich bezeichnet X seine Änderung wird als Umfang der Funktion bezeichnet.

Die Tatsache, dass beim Es gibt eine Funktion otx, die am häufigsten in symbolischer Notation ausgedrückt wird: beim= /(x).

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Funktionen zu definieren. Drei werden als die wichtigsten angesehen: analytisch, tabellarisch und grafisch.

Analytisch Weg. Diese Methode besteht darin, die Beziehung zwischen dem Argument (unabhängige Variable) und der Funktion in Form einer Formel (oder Formeln) festzulegen. Normalerweise ist /(x) ein analytischer Ausdruck, der x enthält. In diesem Fall wird die Funktion durch eine Formel definiert, zum Beispiel beim= 2x + 1, beim= tgx usw.

Tabellarisch Die Art und Weise, eine Funktion zu definieren, besteht darin, dass die Funktion durch eine Tabelle definiert wird, die die Werte des Arguments x und die entsprechenden Werte der Funktion f(.r) enthält. Beispiele sind Tabellen mit der Anzahl der Straftaten für einen bestimmten Zeitraum, Tabellen mit experimentellen Messungen, eine Logarithmentabelle.

Grafik Weg. Gegeben sei ein System kartesischer rechtwinkliger Koordinaten in der Ebene ho. Die geometrische Interpretation der Funktion basiert auf dem Folgenden.

Definition 10.9. Plan Die Funktion heißt Ort der Punkte der Ebene, die Koordinaten (x, j) die die Bedingung erfüllen: w-ah).

Eine Funktion heißt grafisch gegeben, wenn ihr Graph gezeichnet ist. Die grafische Methode wird häufig bei experimentellen Messungen mit selbstaufzeichnenden Geräten eingesetzt.

Wenn Sie einen visuellen Funktionsgraphen vor Augen haben, ist es nicht schwierig, sich viele seiner Eigenschaften vorzustellen, was den Graphen zu einem unverzichtbaren Werkzeug zum Studium einer Funktion macht. Daher ist das Plotten der wichtigste (normalerweise letzte) Teil der Untersuchung der Funktion.

Jede Methode hat sowohl ihre Vor- als auch Nachteile. Zu den Vorteilen der grafischen Methode gehören also ihre Sichtbarkeit, die Nachteile - ihre Ungenauigkeit und begrenzte Darstellung.

Wenden wir uns nun der Betrachtung der Haupteigenschaften von Funktionen zu.

Geraden und ungeraden. Funktion y = f(x) namens sogar, wenn überhaupt X die Bedingung f(-x) = f(x). Wenn wegen X aus dem Definitionsbereich ist die Bedingung f(-x) = -/(x) erfüllt, dann wird die Funktion aufgerufen seltsam. Eine Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, heißt Funktion Gesamtansicht.

• 1) y = x2 ist eine gerade Funktion, da f(-x) = (-x) 2 = x 2, dh/(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - ungerade Funktion, da (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x ist eine allgemeine Funktion. Hier / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch Oh, und der Graph einer ungeraden Funktion ist bezüglich des Ursprungs symmetrisch.

Monoton. Funktion beim=/(x) wird aufgerufen zunehmend zwischen x, wenn für jedes x, x 2 e X aus der Ungleichung x 2 > x folgt / (x 2) > / (x,). Funktion beim=/(x) wird aufgerufen abnehmend, wenn aus x 2 > x folgt / (x 2) (x,).

Die Funktion wird aufgerufen eintönig zwischen x, wenn sie über dieses gesamte Intervall entweder zunimmt oder darüber abnimmt.

Zum Beispiel die Funktion y= x 2 verringert sich um (-°°; 0) und erhöht sich um (0; +°°).

Beachten Sie, dass wir die Definition einer monotonen Funktion im strengen Sinne gegeben haben. Im Allgemeinen umfassen monotone Funktionen nicht abnehmende Funktionen, d. h. solche, für die aus x 2 > x folgt / (x 2) > / (x,), und nichtwachsende Funktionen, d.h. diejenigen, für die aus x 2 > x folgt / (x 2)

Einschränkung. Funktion beim=/(x) wird aufgerufen begrenzt zwischen x, wenn es eine solche Nummer gibt M > 0, so dass |/(x)| M für jedes x e x.

Zum Beispiel die Funktion beim =-

auf dem ganzen Zahlenstrahl beschränkt, also

Periodizität. Funktion beim = f(x) namens Zeitschrift wenn es eine solche Nummer gibt T^ Ach was f(x + T = f(x) für alle X aus dem Funktionsumfang.

In diesem Fall T heißt Periode der Funktion. Offensichtlich wenn T - Funktionszeitraum y = f(x), dann sind die Perioden dieser Funktion auch 2T, 3 T usw. Daher ist die Periode einer Funktion normalerweise die kleinste positive Periode (falls vorhanden). Zum Beispiel hat die Funktion / = cos.r einen Punkt T= 2P, und die Funktion y= tg Zx - Zeitraum p/3.

Dein Ziel:

die Definition des Moduls einer reellen Zahl genau kennen;

die geometrische Interpretation des Moduls einer reellen Zahl verstehen und bei Problemlösungen anwenden können;

die Eigenschaften des Moduls kennen und bei Problemlösungen anwenden können;

in der Lage sein, den Abstand zwischen zwei Punkten einer Koordinatenlinie zu verstehen und ihn zur Lösung von Problemen zu verwenden.

Eingabeinformationen

Das Konzept des Moduls einer reellen Zahl. Der Betrag einer reellen Zahl heißt diese Zahl selbst, wenn , und die ihr entgegengesetzte Zahl, wenn< 0.

Der Betrag einer Zahl wird bezeichnet und aufgeschrieben:

Geometrische Interpretation des Moduls . Geometrisch Der Modul einer reellen Zahl ist der Abstand von dem Punkt, der die gegebene Zahl auf der Koordinatenlinie darstellt, zum Ursprung.

Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Modulen basierend auf der geometrischen Bedeutung des Moduls. Unter Verwendung des Begriffs „Abstand zwischen zwei Punkten einer Koordinatenlinie“ kann man Gleichungen der Form oder Ungleichungen der Form lösen, wobei jedes der Zeichen anstelle des Zeichens verwendet werden kann.

Beispiel. Lösen wir die Gleichung.

Entscheidung. Wir wollen das Problem geometrisch umformulieren. Da der Abstand auf der Koordinatenlinie zwischen Punkten mit Koordinaten und ist, bedeutet dies, dass es erforderlich ist, die Koordinaten solcher Punkte zu finden, deren Abstand zu Punkten mit Koordinaten 1 gleich 2 ist.

Kurz gesagt, finden Sie auf der Koordinatenlinie den Satz von Koordinaten von Punkten, deren Abstand zum Punkt mit der Koordinate 1 gleich 2 ist.

Lassen Sie uns dieses Problem lösen. Wir markieren einen Punkt auf der Koordinatenlinie, dessen Koordinate gleich 1 ist (Abb. 6). Punkte, deren Koordinaten gleich -1 und 3 sind, werden um zwei Einheiten von diesem Punkt entfernt. Daher der gewünschte Satz von Koordinaten von Punkten ist ein Satz, der aus den Zahlen -1 und 3 besteht.

Antwort 1; 3.

So ermitteln Sie den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenlinie. Eine Zahl, die den Abstand zwischen Punkten ausdrückt und , genannt den Abstand zwischen den Zahlen und .

Für zwei beliebige Punkte und eine Koordinatenlinie der Abstand

.

Grundlegende Eigenschaften des Moduls einer reellen Zahl:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Wenn wir haben:

11. dann nur wenn oder ;

12. dann erst wenn ;

13. dann nur wenn oder ;

14. dann erst wenn ;

11. dann erst wenn .

Praktischer Teil

Übung 1. Nehmen Sie ein leeres Blatt Papier und schreiben Sie darauf die Antworten zu diesen mündlichen Übungen unten.

Vergleichen Sie Ihre Antworten mit den Antworten oder Kurzanleitungen am Ende des Lernbausteins unter der Überschrift „Ihr Helfer“.

1. Modulzeichen erweitern:

a) |–5|; b) |5|; c) |0|; d) |p|.

2. Vergleichen Sie die Zahlen:

a) || und -; c) |0| und 0; e) – |–3| und -3; g) –4| a| und 0;

b) |–p| und P; d) |–7,3| und -7,3; f) | a| und 0; h) 2| a| und |2 a|.

3. Wie man mit dem Moduluszeichen schreibt, dass mindestens eine der Zahlen a, b oder mit von null verschieden?

4. Wie man das Gleichheitszeichen verwendet, um jede der Zahlen zu schreiben a, b und mit gleich Null?

5. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

a) | a| – a; b) a + |a|.

6. Löse die Gleichung:

a) | X| = 3; c) | X| = -2; e) |2 X– 5| = 0;

b) | X| = 0; d) | X– 3| = 4; f) |3 X– 7| = – 9.

7. Was kann man über Zahlen sagen X und beim, Wenn:

a) | X| = X; b) | X| = –X; c) | X| = |beim|?

8. Löse die Gleichung:

a) | X– 2| = X– 2; c) | X– 3| =|7 – X|;

b) | X– 2| = 2 – X; d) | X– 5| =|X– 6|.

9. Was soll man zu der Nummer sagen beim wenn die Gleichheit gilt:

a) ich Xï = beim; b) ich Xï = – beim ?

10. Lösen Sie die Ungleichung:

a) | X| > X; c) | X| > –X; e) | X| £ X;

b) | X| ³ X; d) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. Alle Werte von a auflisten, für die Gleichheit gilt:

a) | a| = a; b) | a| = –a; in) a – |–a| =0; d) | a|a= –1; e) = 1.

12. Finden Sie alle Werte b, für die folgende Ungleichung gilt:

a) | b| ³ 1; b) | b| < 1; в) |b| 0 €; d) | b| ³ 0; e) 1< |b| < 2.

Vielleicht sind Sie im Mathematikunterricht auf einige der folgenden Aufgaben gestoßen. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aufgaben Sie erledigen müssen. Bei Schwierigkeiten wenden Sie sich an den Abschnitt „Ihr Assistent“, um Rat von einem Lehrer oder um Hilfe von einem Freund zu erhalten.

Aufgabe 2. Lösen Sie basierend auf der Definition des Moduls einer reellen Zahl die Gleichung:

Aufgabe 4. Abstand zwischen Punkten, die reelle Zahlen darstellen α und β auf der Koordinatenlinie ist gleich | α – β |. Verwenden Sie dies, um die Gleichung zu lösen.

In der Schule, im Matheunterricht, setzen sich die Schüler jedes Jahr mit neuen Themen auseinander. Die 6. Klasse befasst sich normalerweise mit dem Modul einer Zahl - dies ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik, mit dem man später in der Algebra und der höheren Mathematik arbeitet. Es ist sehr wichtig, zunächst die Begriffserklärung richtig zu verstehen und dieses Thema zu verstehen, um andere Themen erfolgreich zu bestehen.

Zunächst ist zu verstehen, dass der Absolutwert ein Parameter in der Statistik (quantitativ gemessen) ist, der das untersuchte Phänomen in Bezug auf sein Volumen charakterisiert. In diesem Fall muss das Phänomen innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens und mit einem bestimmten Ort durchgeführt werden. Werte unterscheiden:

• Zusammenfassung - geeignet für eine Gruppe von Einheiten oder die gesamte Bevölkerung;
• individuell - nur für die Arbeit mit einer Einheit einer bestimmten Bevölkerung geeignet.

Die Konzepte werden häufig in statistischen Messungen verwendet, deren Ergebnis Indikatoren sind, die die absoluten Dimensionen jeder Einheit eines bestimmten Phänomens charakterisieren. Sie werden in zwei Indikatoren gemessen: natürlich, d.h. physikalische Einheiten (Stücke, Menschen) und bedingt natürlich. Ein Modul in Mathematik ist eine Darstellung dieser Indikatoren.

Was ist der Modul einer Zahl?

Wichtig! Diese Definition von "Modul" wird aus dem Lateinischen als "Maß" übersetzt und bedeutet den absoluten Wert einer beliebigen natürlichen Zahl.

Aber auch dieser Begriff hat eine geometrische Erklärung, denn der Modul in der Geometrie ist gleich der Entfernung vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt X, die in den üblichen Maßeinheiten gemessen wird.

Um diesen Indikator für eine Zahl zu bestimmen, sollte man ihr Vorzeichen (minus, plus) nicht berücksichtigen, aber es sollte daran erinnert werden, dass es niemals negativ sein kann. Dieser Wert auf dem Papier wird grafisch in Form von eckigen Klammern hervorgehoben - |a|. In diesem Fall lautet die mathematische Definition:

|x| = x wenn x größer oder gleich Null ist und -x wenn kleiner als Null.

Der englische Wissenschaftler R. Kotes war die Person, die dieses Konzept erstmals in mathematischen Berechnungen anwandte. Aber K. Weierstraß, ein Mathematiker aus Deutschland, hat ein grafisches Symbol erfunden und in Gebrauch genommen.

Im Modul Geometrie können wir das Beispiel einer Koordinatenlinie betrachten, auf der 2 beliebige Punkte aufgetragen sind. Angenommen, eins - A hat einen Wert von 5 und das zweite B - 6. Bei einer detaillierten Untersuchung der Zeichnung wird deutlich, dass der Abstand von A nach B 5 Einheiten von Null beträgt, d.h. Ursprung, und Punkt B befindet sich 6 Einheiten vom Ursprung entfernt. Wir können daraus schließen, dass Modulpunkte A = 5 und Punkte B = 6 sind. Grafisch kann dies wie folgt dargestellt werden: | 5 | = 5. Das heißt, der Abstand vom Punkt zum Ursprung ist der Modul des gegebenen Punktes.

Nützliches Video: Was ist der Modul einer reellen Zahl?

Eigenschaften

Wie jedes mathematische Konzept hat das Modul seine eigenen mathematischen Eigenschaften:

1. Es ist immer positiv, also ist der Modulus eines positiven Werts selbst, zum Beispiel der Modulus von 6 und -6 ist 6. Mathematisch kann diese Eigenschaft als |a| geschrieben werden = a, für a> 0;
2. Die Indikatoren der entgegengesetzten Zahlen sind einander gleich. Deutlicher wird diese Eigenschaft in einer geometrischen Darstellung, da diese Zahlen auf einer Geraden an unterschiedlichen Stellen liegen, aber gleichzeitig durch eine gleiche Anzahl von Einheiten vom Ursprung getrennt sind. Mathematisch wird dies wie folgt geschrieben: |a| = |-a|;
3. Der Modulus von Null ist Null, vorausgesetzt, dass die reelle Zahl Null ist. Diese Eigenschaft wird durch die Tatsache gestützt, dass Null der Ursprung ist. Grafisch wird dies wie folgt geschrieben: |0| = 0;
4. Wenn Sie den Modul zweier multiplizierender Ziffern finden möchten, sollten Sie verstehen, dass er gleich dem resultierenden Produkt ist. Mit anderen Worten, das Produkt der Größen A und B = AB, sofern sie positiv oder negativ sind, und dann ist das Produkt gleich -AB. Grafisch kann dies als |A*B| geschrieben werden = |A| * |B|.

Die erfolgreiche Lösung von Gleichungen mit Modul hängt von der Kenntnis dieser Eigenschaften ab, die jedem helfen, diesen Indikator richtig zu berechnen und damit zu arbeiten.

Moduleigenschaften

Wichtig! Der Exponent kann nicht negativ sein, da er den Abstand definiert, der immer positiv ist.

In den Gleichungen

Beim Arbeiten und Lösen von mathematischen Ungleichungen, in denen das Modul vorhanden ist, muss immer daran erinnert werden, dass Sie die Klammern öffnen müssen, um das endgültige korrekte Ergebnis zu erhalten, d.h. Zeichenmodul öffnen . Oft ist dies die Bedeutung der Gleichung.

Es lohnt sich, sich daran zu erinnern:

• steht ein Ausdruck in eckigen Klammern, muss er gelöst werden: |A + 5| \u003d A + 5, wenn A größer oder gleich Null ist, und 5-A, wenn A kleiner als Null ist;
• Eckige Klammern sollten meistens unabhängig von den Werten der Variablen erweitert werden, z. B. wenn der Ausdruck im Quadrat in Klammern eingeschlossen ist, da die Erweiterung sowieso eine positive Zahl ist.

Es ist sehr einfach, Gleichungen mit dem Modul zu lösen, indem Sie Werte in das Koordinatensystem eingeben, da es dann einfach ist, die Werte und ihre Indikatoren visuell zu sehen.

Nützliches Video: Modul der reellen Zahl und seine Eigenschaften

Fazit

Das Prinzip, ein solches mathematisches Konzept als Modul zu verstehen, ist äußerst wichtig, da es in der höheren Mathematik und anderen Wissenschaften verwendet wird, sodass Sie damit arbeiten können müssen.

In Kontakt mit

In diesem Artikel werden wir im Detail analysieren der Absolutwert einer Zahl. Wir geben verschiedene Definitionen des Moduls einer Zahl, führen die Notation ein und geben grafische Illustrationen. In diesem Fall betrachten wir verschiedene Beispiele für das Finden des Moduls einer Zahl per Definition. Danach listen wir die Haupteigenschaften des Moduls auf und begründen sie. Am Ende des Artikels werden wir darüber sprechen, wie der Modul einer komplexen Zahl bestimmt und gefunden wird.

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Zahlenmodul - Definition, Notation und Beispiele

Zuerst stellen wir vor Modulbezeichnung. Das Modul der Zahl a wird als geschrieben, d. h. links und rechts der Zahl setzen wir vertikale Linien, die das Zeichen des Moduls bilden. Lassen Sie uns ein paar Beispiele geben. Beispielsweise kann modulo -7 geschrieben werden als ; Modul 4.125 wird geschrieben als und Modul wird geschrieben als .

Die folgende Definition des Moduls bezieht sich auf und daher auf und auf ganze Zahlen und auf rationale und irrationale Zahlen als Bestandteile der Menge reeller Zahlen. Wir werden über den Modul einer komplexen Zahl in sprechen.

Definition.

Modul von a ist entweder die Zahl a selbst, falls a eine positive Zahl ist, oder die Zahl −a, das Gegenteil der Zahl a, falls a eine negative Zahl ist, oder 0, falls a=0 .

Die stimmhafte Definition des Moduls einer Zahl wird oft in der folgenden Form geschrieben , bedeutet diese Notation, dass wenn a>0 , wenn a=0 und wenn a<0 .

Der Datensatz kann kompakter dargestellt werden . Diese Notation bedeutet, dass wenn (a größer oder gleich 0 ist) und wenn a<0 .

Es gibt auch einen Rekord . Hier sollte der Fall a = 0 separat erläutert werden. In diesem Fall haben wir , aber −0=0 , da Null als eine Zahl angesehen wird, die sich selbst entgegengesetzt ist.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für die Ermittlung des Moduls einer Zahl mit vorgegebener Definition. Lassen Sie uns zum Beispiel Module mit den Nummern 15 und . Beginnen wir mit der Suche. Da die Zahl 15 positiv ist, ist ihr Modul per Definition gleich dieser Zahl selbst, also . Was ist der Modul einer Zahl? Da eine negative Zahl ist, ist ihr Modul gleich der Zahl, die der Zahl entgegengesetzt ist, dh der Zahl . Auf diese Weise, .

Zum Abschluss dieses Absatzes geben wir eine Schlussfolgerung, die in der Praxis sehr praktisch anzuwenden ist, wenn der Modul einer Zahl ermittelt wird. Aus der Definition des Moduls einer Zahl folgt das Der Modul einer Zahl ist gleich der Zahl unter dem Vorzeichen des Moduls, unabhängig von ihrem Vorzeichen, und aus den oben diskutierten Beispielen ist dies sehr deutlich ersichtlich. Die stimmhafte Aussage erklärt, warum der Modul einer Zahl auch genannt wird der Absolutwert der Zahl. Der Betrag einer Zahl und der Betrag einer Zahl sind also ein und dasselbe.

Modul einer Zahl als Abstand

Geometrisch kann der Modul einer Zahl interpretiert werden als Distanz. Lassen Sie uns bringen Bestimmung des Moduls einer Zahl in Bezug auf die Entfernung.

Definition.

Modul von a ist der Abstand vom Ursprung auf der Koordinatenlinie zu dem Punkt, der der Zahl a entspricht.

Diese Definition stimmt mit der im ersten Absatz gegebenen Definition des Moduls einer Zahl überein. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären. Der Abstand vom Ursprung zum Punkt, der einer positiven Zahl entspricht, ist gleich dieser Zahl. Null entspricht dem Ursprung, also ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt mit der Koordinate 0 gleich Null (kein einzelnes Segment und kein Segment, das einen Bruchteil des Einheitssegments ausmacht, muss verschoben werden, um von Punkt O zu dem Punkt zu gelangen mit Koordinate 0). Die Entfernung vom Ursprung zu einem Punkt mit negativer Koordinate ist gleich der Zahl gegenüber der Koordinate des gegebenen Punktes, da sie gleich der Entfernung vom Ursprung zu dem Punkt ist, dessen Koordinate die entgegengesetzte Zahl ist.

Beispielsweise ist der Modul der Zahl 9 gleich 9, da der Abstand vom Ursprung zum Punkt mit der Koordinate 9 gleich neun ist. Nehmen wir ein anderes Beispiel. Der Punkt mit der Koordinate −3,25 hat einen Abstand von 3,25 vom Punkt O, also .

Die klingende Definition des Betrags einer Zahl ist ein Sonderfall der Definition des Betrags der Differenz zweier Zahlen.

Definition.

Differenzmodul zweier Zahlen a und b ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten der Koordinatenlinie mit den Koordinaten a und b .

Das heißt, wenn Punkte auf der Koordinatenlinie A(a) und B(b) gegeben sind, dann ist der Abstand von Punkt A zu Punkt B gleich dem Betrag der Differenz zwischen den Zahlen a und b. Wenn wir den Punkt O (Referenzpunkt) als Punkt B nehmen, erhalten wir die Definition des Moduls der Zahl, die am Anfang dieses Absatzes angegeben ist.

Bestimmen des Moduls einer Zahl durch die arithmetische Quadratwurzel

Manchmal gefunden Bestimmung des Moduls durch die arithmetische Quadratwurzel.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Module der Zahlen −30 und basierend auf dieser Definition berechnen. Wir haben . In ähnlicher Weise berechnen wir den Modul von zwei Dritteln: .

Die Definition des Moduls einer Zahl in Bezug auf die arithmetische Quadratwurzel stimmt auch mit der Definition im ersten Absatz dieses Artikels überein. Zeigen wir es. Sei a eine positive Zahl und sei −a negativ. Dann und , wenn a=0 , dann .

Moduleigenschaften

Das Modul hat eine Reihe charakteristischer Ergebnisse - Moduleigenschaften. Jetzt geben wir die wichtigsten und am häufigsten verwendeten davon an. Zur Begründung dieser Eigenschaften stützen wir uns auf die Definition des Betrags einer Zahl über die Entfernung.

Beginnen wir mit der offensichtlichsten Moduleigenschaft − Modul einer Zahl kann keine negative Zahl sein. In wörtlicher Form hat diese Eigenschaft die Form für eine beliebige Zahl a . Diese Eigenschaft ist sehr einfach zu begründen: Der Betrag einer Zahl ist der Abstand, und der Abstand kann nicht als negative Zahl ausgedrückt werden.

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft des Moduls. Der Modul einer Zahl ist genau dann gleich Null, wenn diese Zahl Null ist. Der Nullmodul ist per Definition Null. Null entspricht dem Ursprung, kein anderer Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht Null, da jede reelle Zahl einem einzigen Punkt auf der Koordinatenlinie zugeordnet ist. Aus dem gleichen Grund entspricht jede andere Zahl als Null einem anderen Punkt als dem Ursprung. Und der Abstand vom Ursprung zu jedem anderen Punkt als dem Punkt O ist nicht gleich Null, da der Abstand zwischen zwei Punkten genau dann gleich Null ist, wenn diese Punkte zusammenfallen. Die obige Argumentation beweist, dass nur der Modul von Null gleich Null ist.

Weitergehen. Entgegengesetzte Zahlen haben gleiche Module, d. h. für jede Zahl a . Tatsächlich haben zwei Punkte auf der Koordinatenlinie, deren Koordinaten entgegengesetzte Zahlen sind, den gleichen Abstand vom Ursprung, was bedeutet, dass die Module entgegengesetzter Zahlen gleich sind.

Die nächste Moduleigenschaft ist: Der Modul des Produkts zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen, also, . Per Definition ist der Betrag des Produkts der Zahlen a und b entweder a b if , oder −(a b) if . Aus den Regeln der Multiplikation reeller Zahlen folgt, dass das Produkt der Module der Zahlen a und b entweder gleich a b , , oder −(a b) ist, falls , was die betrachtete Eigenschaft beweist.

Der Modul des Quotienten der Division von a durch b ist gleich dem Quotienten der Division des Moduls von a durch den Modul von b, also, . Lassen Sie uns diese Eigenschaft des Moduls begründen. Da der Quotient gleich dem Produkt ist, gilt . Aufgrund der vorherigen Eigenschaft haben wir . Es bleibt nur noch die Gleichheit zu verwenden, die aufgrund der Definition des Betrags der Zahl gilt.

Die folgende Moduleigenschaft wird als Ungleichung geschrieben: , a , b und c sind beliebige reelle Zahlen. Die geschriebene Ungleichheit ist nichts anderes als Dreiecksungleichung. Um dies zu verdeutlichen, nehmen wir die Punkte A(a) , B(b) , C(c) auf der Koordinatenlinie und betrachten das entartete Dreieck ABC, dessen Eckpunkte auf derselben Linie liegen. Per Definition ist der Betrag der Differenz gleich der Länge des Segments AB, - der Länge des Segments AC und - der Länge des Segments CB. Da die Länge einer Seite eines Dreiecks die Summe der Längen der beiden anderen Seiten nicht überschreitet, ist die Ungleichung , also gilt auch die Ungleichung.

Die soeben bewiesene Ungleichung ist viel häufiger in der Form . Die geschriebene Ungleichung wird üblicherweise als eigenständige Eigenschaft des Moduls betrachtet mit der Formulierung: „ Der Betrag der Summe zweier Zahlen übersteigt nicht die Summe der Beträge dieser Zahlen". Aber die Ungleichung folgt direkt aus der Ungleichung , wenn wir −b anstelle von b einsetzen und c=0 nehmen.

Komplexer Zahlenmodul

Geben wir Bestimmung des Moduls einer komplexen Zahl. Lassen Sie sich geben komplexe Zahl, geschrieben in algebraischer Form , wobei x und y einige reelle Zahlen sind, die jeweils den reellen und imaginären Teil einer gegebenen komplexen Zahl z darstellen, und eine imaginäre Einheit ist.

Zuerst definieren wir das Vorzeichen des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Moduls und erweitern dann das Modul:

• wenn der Wert des Ausdrucks größer als Null ist, nehmen wir ihn einfach unter dem Modulzeichen heraus,
• wenn der Ausdruck kleiner als Null ist, nehmen wir ihn unter dem Vorzeichen des Moduls heraus, während wir das Vorzeichen ändern, wie wir es zuvor in den Beispielen getan haben.

Sollen wir es versuchen? Lassen Sie uns schätzen:

(Vergessen, wiederholen.)

Wenn ja, was ist das Zeichen? Nun, natürlich, !

Und deshalb offenbaren wir das Vorzeichen des Moduls, indem wir das Vorzeichen des Ausdrucks ändern:

Ich habs? Dann probiere es selbst aus:

Antworten:

Welche weiteren Eigenschaften hat das Modul?

Wenn wir die Zahlen innerhalb des Modulo-Zeichens multiplizieren müssen, können wir den Modul dieser Zahlen sicher multiplizieren!!!

Mathematisch ausgedrückt, der Modul des Produkts von Zahlen ist gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen.

Zum Beispiel:

Aber was ist, wenn wir zwei Zahlen (Ausdrücke) unter dem Modulo-Zeichen dividieren müssen?

Ja, genauso wie bei der Multiplikation! Teilen wir es unter dem Modulzeichen in zwei separate Zahlen (Ausdrücke) auf:

vorausgesetzt, dass (da Sie nicht durch Null teilen können).

Es lohnt sich, sich an eine weitere Eigenschaft des Moduls zu erinnern:

Der Modul der Summe von Zahlen ist immer kleiner oder gleich der Summe der Module dieser Zahlen:

Warum so? Alles ist sehr einfach!

Wie wir uns erinnern, ist der Modul immer positiv. Aber unter dem Vorzeichen des Moduls kann jede Zahl stehen: sowohl positiv als auch negativ. Angenommen, die Zahlen und sind beide positiv. Dann ist der linke Ausdruck gleich dem rechten Ausdruck.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Wenn unter dem Modulzeichen eine Zahl negativ und die andere positiv ist, Der linke Ausdruck ist immer kleiner als der rechte:

Es scheint, dass mit dieser Eigenschaft alles klar ist, betrachten wir ein paar weitere nützliche Eigenschaften des Moduls.

Was ist, wenn wir diesen Ausdruck haben:

Was können wir mit diesem Ausdruck anfangen? Wir kennen den Wert von x nicht, aber wir wissen bereits was, was bedeutet.

Die Zahl ist größer als Null, was bedeutet, dass Sie einfach schreiben können:

So kamen wir zu einer weiteren Eigenschaft, die sich im Allgemeinen wie folgt darstellen lässt:

Was bedeutet dieser Ausdruck:

Also müssen wir das Vorzeichen unter dem Modul definieren. Muss hier ein Vorzeichen definiert werden?

Natürlich nicht, wenn man bedenkt, dass jede Zahl zum Quadrat immer größer als Null ist! Wenn Sie sich nicht erinnern, lesen Sie das Thema. Und was passiert? Und hier ist was:

Es ist großartig, oder? Ganz bequem. Nun zu einem konkreten Beispiel:

Nun, warum zweifeln? Handeln wir mutig!

Hast du alles verstanden? Dann mach weiter und übe mit Beispielen!

1. Ermitteln Sie den Wert des if-Ausdrucks.

2. Welche Zahlen haben die Module gleich?

3. Finde die Bedeutung von Ausdrücken:

Wenn noch nicht alles klar ist und es Entscheidungsschwierigkeiten gibt, dann lass es uns herausfinden:

Lösung 1:

Lassen Sie uns also die Werte im Ausdruck ersetzen

Lösung 2:

Wie wir uns erinnern, sind entgegengesetzte Zahlen modulo gleich. Das bedeutet, dass der Wert des Moduls gleich zwei Zahlen ist: und.

Lösung 3:

a)
b)
in)
G)

Hast du alles erwischt? Dann ist es an der Zeit, zu etwas Komplexerem überzugehen!

Versuchen wir, den Ausdruck zu vereinfachen

Entscheidung:

Wir erinnern uns also, dass der Modulwert nicht kleiner als Null sein kann. Wenn die Zahl unter dem Modulzeichen positiv ist, dann können wir das Vorzeichen einfach verwerfen: Der Modul der Zahl wird gleich dieser Zahl sein.

Aber wenn unter dem Modulzeichen eine negative Zahl steht, dann ist der Wert des Moduls gleich der entgegengesetzten Zahl (d. h. der Zahl, die mit dem „-“-Zeichen genommen wird).

Um den Modulus eines Ausdrucks zu finden, müssen Sie zuerst herausfinden, ob er einen positiven oder einen negativen Wert annimmt.

Es stellt sich heraus, der Wert des ersten Ausdrucks unter dem Modul.

Daher ist der Ausdruck unter dem Modulzeichen negativ. Der zweite Ausdruck unter dem Moduluszeichen ist immer positiv, da wir zwei positive Zahlen addieren.

Der Wert des ersten Ausdrucks unter dem Moduluszeichen ist also negativ, der zweite positiv:

Das heißt, wenn wir das Vorzeichen des Moduls des ersten Ausdrucks erweitern, müssen wir diesen Ausdruck mit dem „-“-Zeichen nehmen. So:

Im zweiten Fall lassen wir das Modulozeichen einfach weg:

Vereinfachen wir diesen Ausdruck in seiner Gesamtheit:

Modul einer Zahl und ihre Eigenschaften (strenge Definitionen und Beweise)

Definition:

Der Modulus (Absolutwert) einer Zahl ist die Zahl selbst, wenn, und die Zahl, wenn:

Zum Beispiel:

Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung:

Grundlegende Eigenschaften des Moduls

Für alle:

Beispiel:

Beweise Eigenschaft #5.

Nachweisen:

Nehmen wir an, es gibt sie

Lassen Sie uns den linken und den rechten Teil der Ungleichung quadrieren (dies ist möglich, da beide Teile der Ungleichung immer nicht negativ sind):

und dies widerspricht der Definition eines Moduls.

Folglich gibt es solche nicht, was das bei aller Ungleichheit bedeutet

Beispiele für eine unabhängige Lösung:

1) Beweise Eigenschaft #6.

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Antworten:

1) Verwenden wir die Eigenschaft Nr. 3: , und seit, dann

Zur Vereinfachung müssen Sie die Module erweitern. Und um die Module zu erweitern, müssen Sie herausfinden, ob die Ausdrücke unter dem Modul positiv oder negativ sind?

a. Vergleichen wir die Zahlen und und:

b. Jetzt vergleichen wir:

Wir addieren die Werte der Module:

Der absolute Wert einer Zahl. Kurz zur Hauptsache.

Der Modulus (Absolutwert) einer Zahl ist die Zahl selbst, wenn, und die Zahl, wenn:

Moduleigenschaften:

1. Der Modul einer Zahl ist eine nicht negative Zahl: ;
2. Module mit entgegengesetzten Zahlen sind gleich: ;
3. Das Modul des Produkts zweier (oder mehrerer) Zahlen ist gleich dem Produkt ihrer Module: ;
4. Der Modul des Quotienten zweier Zahlen ist gleich dem Quotienten ihrer Module: ;
5. Der Modul der Summe von Zahlen ist immer kleiner oder gleich der Summe der Module dieser Zahlen: ;
6. Aus dem Modulzeichen kann ein konstanter positiver Faktor entnommen werden: at;