abstrakt

Absoluter und relativer Fehler

Einführung

Absoluter Fehler - ist eine Schätzung des absoluten Messfehlers. Sie wird auf unterschiedliche Weise berechnet. Die Berechnungsmethode wird durch die Verteilung der Zufallsvariablen bestimmt. Dementsprechend hängt die Größe des absoluten Fehlers von der Verteilung der Zufallsvariablen ab kann anders sein. Wenn ein ist der gemessene Wert, und der wahre Wert ist, dann die Ungleichheit muss mit einer Wahrscheinlichkeit nahe 1 zufrieden sein. Wenn die Zufallsvariable nach dem normalen Gesetz verteilt, dann wird normalerweise seine Standardabweichung als absoluter Fehler genommen. Der absolute Fehler wird in denselben Einheiten wie der Wert selbst gemessen.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Größe zusammen mit ihrem absoluten Fehler zu schreiben.

· Üblicherweise wird die vorzeichenbehaftete Schreibweise verwendet ± . Zum Beispiel der 1983 aufgestellte 100-Meter-Rekord 9,930 ± 0,005 s.

· Um mit sehr hoher Genauigkeit gemessene Werte aufzuzeichnen, wird eine andere Notation verwendet: Die Zahlen, die dem Fehler der letzten Ziffern der Mantisse entsprechen, werden in Klammern hinzugefügt. Beispielsweise ist der gemessene Wert der Boltzmann-Konstante 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, die auch viel länger geschrieben werden kann als 1.380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K.

Relativer Fehler- Messfehler, ausgedrückt als Verhältnis des absoluten Messfehlers zum tatsächlichen oder mittleren Wert der gemessenen Größe (RMG 29-99):.

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe oder wird in Prozent gemessen.

1. Was wird als ungefährer Wert bezeichnet?

Zu viel und zu wenig? Bei Berechnungen hat man es oft mit ungefähren Zahlen zu tun. Lassen SONDERN- der genaue Wert einer bestimmten Menge, im Folgenden genannt die genaue Zahl a.Unter dem ungefähren Wert der Menge SONDERN,oder ungefähre Zahleneine Nummer angerufen a, der den genauen Wert der Menge ersetzt SONDERN.Wenn ein a< SONDERN,dann aheißt Näherungswert der Zahl Und aus Mangel.Wenn ein a> SONDERN,- dann im Übermaß.Beispielsweise ist 3,14 eine Annäherung an die Zahl ? bei Mangel und 3.15 bei Überschreitung. Um den Grad der Genauigkeit dieser Annäherung zu charakterisieren, wird das Konzept verwendet Fehler oder Fehler.

Error ?aungefähre Zahl aheißt Differenz der Form

?a = A - a,

wo SONDERNist die entsprechende genaue Zahl.

Die Figur zeigt, dass die Länge des Segments AB zwischen 6 cm und 7 cm liegt.

Dies bedeutet, dass 6 der ungefähre Wert der Länge des Segments AB (in Zentimetern)\u003e mit einem Mangel und 7 mit einem Überschuss ist.

Wenn wir die Länge des Segments mit dem Buchstaben y bezeichnen, erhalten wir: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина SegmentAB (siehe Abb. 149) ist näher an 6 cm als an 7 cm, es ist ungefähr gleich 6 cm Sie sagen, dass die Zahl 6 durch Runden der Länge des Segments auf ganze Zahlen erhalten wurde.

. Was ist ein Näherungsfehler?

a) absolut?

B) Verwandte?

A) Der absolute Näherungsfehler ist der Betrag der Differenz zwischen dem wahren Wert einer Größe und ihrem Näherungswert. |x - x_n|, wobei x der wahre Wert ist, x_n der Näherungswert. Zum Beispiel: Die Länge eines A4-Blattes beträgt (29,7 ± 0,1) cm und die Entfernung von St. Petersburg nach Moskau beträgt (650 ± 1) km. Der absolute Fehler im ersten Fall überschreitet nicht einen Millimeter und im zweiten - einen Kilometer. Die Frage ist, die Genauigkeit dieser Messungen zu vergleichen.

Wenn Sie denken, dass die Länge des Blattes genauer gemessen wird, weil der absolute Fehler 1 mm nicht überschreitet. Dann liegst du falsch. Diese Werte können nicht direkt verglichen werden. Lassen Sie uns ein paar Argumente anstellen.

Bei der Messung der Länge eines Blattes überschreitet der absolute Fehler 0,1 cm mal 29,7 cm nicht, dh in Prozent beträgt er 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% des gemessenen Wertes.

Wenn wir die Entfernung von St. Petersburg nach Moskau messen, überschreitet der absolute Fehler 1 km pro 650 km nicht, was 1/650 * 100 % = 0,15 % des gemessenen Werts in Prozent entspricht. Wir sehen, dass die Entfernung zwischen Städten genauer gemessen wird als die Länge eines A4-Blatts.

B) Der relative Näherungsfehler ist das Verhältnis des absoluten Fehlers zum Modul des Näherungswertes der Größe.

mathematischer Fehleranteil

wobei x der wahre Wert ist, x_n der Näherungswert.

Der relative Fehler wird normalerweise in Prozent angegeben.

Beispiel. Das Runden der Zahl 24,3 auf Einheiten ergibt die Zahl 24.

Der relative Fehler ist gleich. Sie sagen, dass der relative Fehler in diesem Fall 12,5 % beträgt.

) Welche Rundung nennt man Rundung?

A) mit einem Nachteil?

b) Zu viel?

A) Abrunden

Beim Runden einer als Dezimalbruch ausgedrückten Zahl auf 10^(-n) mit einem Mangel werden die ersten n Nachkommastellen beibehalten und die nachfolgenden verworfen.

Wenn Sie beispielsweise 12,4587 mit einem Minuspunkt auf das nächste Tausendstel runden, erhalten Sie 12,458.

B) Aufrunden

Beim Runden einer als Dezimalbruch ausgedrückten Zahl bis 10^(-n) werden die ersten n Nachkommastellen mit einem Überschuss beibehalten und die nachfolgenden verworfen.

Wenn Sie beispielsweise 12,4587 mit einem Minuspunkt auf das nächste Tausendstel runden, erhalten Sie 12,459.

) Die Regel zum Runden von Dezimalstellen.

Regel. Um eine Dezimalzahl auf eine bestimmte Ziffer des ganzzahligen oder gebrochenen Teils zu runden, werden alle kleineren Ziffern durch Nullen ersetzt oder verworfen, und die Ziffer, die der beim Runden verworfenen Ziffer vorausgeht, ändert ihren Wert nicht, wenn ihr die Zahlen 0, 1 folgen, 2, 3, 4 und erhöht sich um 1 (eins), wenn die Zahlen 5, 6, 7, 8, 9 sind.

Beispiel. Runden Sie den Bruch 93,70584 zu:

Zehntausendstel: 93,7058

Tausendstel: 93.706

Hundertstel: 93,71

Zehntel: 93,7

Ganzzahl: 94

Zehner: 90

Trotz absoluter Fehlergleichheit, da Messgrößen sind unterschiedlich. Je größer die gemessene Größe, desto kleiner ist der relative Fehler bei einem konstanten Absolutwert.

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Messfehler physikalischer Größen

1.Einführung (Messungen und Messfehler)

2. Zufällige und systematische Fehler

3. Absolute und relative Fehler

4. Fehler von Messgeräten

5. Genauigkeitsklasse elektrischer Messgeräte

6.Lesefehler

7. Absoluter Gesamtfehler direkter Messungen

8. Aufzeichnen des Endergebnisses der direkten Messung

9. Fehler indirekter Messungen

10.Beispiel

1. Einführung (Messungen und Messfehler)

Die Physik als Wissenschaft wurde vor mehr als 300 Jahren geboren, als Galileo im Wesentlichen die wissenschaftliche Untersuchung physikalischer Phänomene schuf: Physikalische Gesetze werden experimentell festgestellt und verifiziert, indem experimentelle Daten gesammelt und verglichen werden, die durch eine Reihe von Zahlen dargestellt werden, Gesetze werden in der Sprache von formuliert Mathematik, d.h. mit Hilfe von Formeln, die numerische Werte physikalischer Größen durch funktionale Abhängigkeit verknüpfen. Daher ist Physik eine experimentelle Wissenschaft, Physik ist eine quantitative Wissenschaft.

Machen wir uns mit einigen charakteristischen Merkmalen aller Messungen vertraut.

Messen ist das empirische Ermitteln des Zahlenwertes einer physikalischen Größe mit Messgeräten (Lineale, Voltmeter, Uhren etc.).

Messungen können direkt und indirekt sein.

Direktmessung ist die Bestimmung des Zahlenwerts einer physikalischen Größe direkt durch Messgeräte. Zum Beispiel Länge - mit einem Lineal, atmosphärischer Druck - mit einem Barometer.

Indirekte Messung ist die Bestimmung des Zahlenwerts einer physikalischen Größe durch eine Formel, die den gewünschten Wert mit anderen durch direkte Messungen bestimmten Größen in Beziehung setzt. Beispielsweise wird der Widerstand eines Leiters durch die Formel R=U/I bestimmt, wobei U und I mit elektrischen Messgeräten gemessen werden.

Betrachten Sie ein Messbeispiel.

Messen Sie die Länge der Stange mit einem Lineal (Teilung 1 mm). Es kann nur festgestellt werden, dass die Länge des Balkens zwischen 22 und 23 mm liegt. Die Breite des „unbekannten“ Intervalls beträgt 1 mm, dh sie ist gleich dem Teilungswert. Das Ersetzen des Lineals durch ein empfindlicheres Instrument, wie z. B. einen Messschieber, verkürzt dieses Intervall, was zu einer Erhöhung der Messgenauigkeit führt. In unserem Beispiel überschreitet die Messgenauigkeit 1 mm nicht.

Daher können Messungen niemals absolut genau sein. Das Ergebnis jeder Messung ist ungefähr. Die Messunsicherheit ist durch einen Fehler gekennzeichnet – eine Abweichung des Messwerts einer physikalischen Größe von ihrem wahren Wert.

Wir listen einige der Gründe auf, die zum Auftreten von Fehlern führen.

1. Begrenzte Genauigkeit bei der Herstellung von Messgeräten.

2. Beeinflussung der Messung durch äußere Bedingungen (Temperaturänderung, Spannungsschwankung...).

3. Aktionen des Experimentators (Verzögerung beim Einschalten der Stoppuhr, andere Augenstellung...).

4. Annäherungsweise Natur der Gesetze, die verwendet werden, um die gemessenen Größen zu finden.

Die aufgeführten Gründe für das Auftreten von Fehlern können nicht beseitigt, jedoch minimiert werden. Um die Zuverlässigkeit der Schlussfolgerungen aus wissenschaftlicher Forschung festzustellen, gibt es Methoden zur Bewertung dieser Fehler.

2. Zufällige und systematische Fehler

Messfehler werden in systematische und zufällige Fehler unterteilt.

Systematische Fehler sind Fehler, die der Abweichung des gemessenen Wertes vom wahren Wert einer physikalischen Größe entsprechen, immer in eine Richtung (Zunahme oder Abnahme). Bei wiederholten Messungen bleibt der Fehler gleich.

Ursachen systematischer Fehler:

1) Nichtkonformität der Messgeräte mit der Norm;

2) falsche Installation von Messgeräten (Neigung, Unwucht);

3) Nichtübereinstimmung der Anfangsindikatoren von Geräten mit Null und Ignorieren der damit verbundenen Korrekturen;

4) Diskrepanz zwischen dem gemessenen Objekt und der Annahme über seine Eigenschaften (Vorhandensein von Hohlräumen usw.).

Zufällige Fehler sind Fehler, die ihren Zahlenwert auf unvorhersehbare Weise ändern. Solche Fehler werden durch eine Vielzahl unkontrollierbarer Ursachen verursacht, die den Messvorgang beeinflussen (Unregelmäßigkeiten auf der Oberfläche des Objekts, Windböen, Stromstöße usw.). Der Einfluss zufälliger Fehler kann durch mehrmaliges Wiederholen des Experiments reduziert werden.

3. Absolute und relative Fehler

Zur quantitativen Beurteilung der Qualität von Messungen werden die Begriffe absolute und relative Messfehler eingeführt.

Wie bereits erwähnt, gibt jede Messung nur einen ungefähren Wert einer physikalischen Größe an, aber Sie können ein Intervall angeben, das ihren wahren Wert enthält:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

D-Wert A wird als absoluter Fehler beim Messen der Größe A bezeichnet. Der absolute Fehler wird in Einheiten der gemessenen Größe ausgedrückt. Der absolute Fehler ist gleich dem Modul der maximal möglichen Abweichung des Werts einer physikalischen Größe vom Messwert. Und pr - der Wert der experimentell erhaltenen physikalischen Größe, wenn die Messung wiederholt durchgeführt wurde, dann das arithmetische Mittel dieser Messungen.

Um die Qualität der Messung beurteilen zu können, ist es jedoch notwendig, den relativen Fehler zu bestimmen e. e \u003d D A / A pr oder e \u003d (D A / A pr) * 100%.

Wenn bei der Messung ein relativer Fehler von mehr als 10 % festgestellt wird, heißt es, dass nur eine Schätzung des Messwerts vorgenommen wurde. In den Labors einer physikalischen Werkstatt wird empfohlen, Messungen mit einem relativen Fehler von bis zu 10 % durchzuführen. In wissenschaftlichen Labors werden einige präzise Messungen (wie die Bestimmung der Wellenlänge von Licht) mit einer Genauigkeit von Millionstel Prozent durchgeführt.

4. Fehler von Messgeräten

Diese Fehler werden auch instrumental oder instrumental genannt. Sie sind auf die Konstruktion des Messgeräts, die Genauigkeit seiner Herstellung und Kalibrierung zurückzuführen. Normalerweise sind sie mit den vom Hersteller im Pass für dieses Gerät angegebenen zulässigen Instrumentenfehlern zufrieden. Diese zulässigen Fehler werden von GOSTs geregelt. Dies gilt auch für Normen. Üblicherweise wird der absolute Instrumentenfehler mit bezeichnet D und A.

Liegen keine Angaben über den zulässigen Fehler vor (z. B. bei einem Lineal), so kann der halbe Teilungspreis als dieser Fehler angenommen werden.

Beim Wägen ist der absolute Instrumentenfehler die Summe der Instrumentenfehler der Waagen und Gewichte. Die Tabelle zeigt die am häufigsten zulässigen Fehler

im Schulversuch angetroffene Messgeräte.

Messung	Messgrenze	Wert der Teilung	Zulässiger Fehler
Herrscher des Schülers
Demonstrationsherrscher
Maßband
Becherglas
Gewichte 10,20, 50 mg
wiegt 100.200 mg
wiegt 500 mg
Bremssättel
Mikrometer
Dynamometer
Bildungsskalen
Stoppuhr			1s für 30min
Aneroidbarometer	720-780 mmHg	1 mmHg	3 mmHg
Laborthermometer	0-100 Grad C
Schulamperemeter
Voltmeter Schule

5. Genauigkeitsklasse elektrischer Messgeräte

Entsprechend den zulässigen Fehlerwerten werden elektrische Zeigermessgeräte in Genauigkeitsklassen eingeteilt, die auf den Geräteskalen durch die Ziffern 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Genauigkeitsklasse g pr Instrument zeigt, wie viel Prozent der absolute Fehler der gesamten Skala des Instruments ist.

g pr \u003d (D und A / A max) * 100% .

Beispielsweise beträgt der absolute Instrumentenfehler eines Instruments der Klasse 2,5 2,5 % seiner Skala.

Sind die Genauigkeitsklasse des Gerätes und seine Skala bekannt, kann der absolute instrumentelle Messfehler bestimmt werden

D und A \u003d ( g pr * A max) / 100.

Um die Messgenauigkeit mit einem elektrischen Zeigermessgerät zu verbessern, ist es notwendig, ein Gerät mit einer solchen Skala zu wählen, dass sie sich während des Messvorgangs in der zweiten Hälfte der Skala des Geräts befinden.

6. Lesefehler

Der Ablesefehler entsteht durch unzureichend genaues Ablesen der Messwerte von Messgeräten.

In den meisten Fällen wird der absolute Lesefehler gleich dem halben Teilungswert genommen. Ausnahmen sind Messungen mit analogen Uhren (Zeiger bewegen sich ruckartig).

Üblicherweise wird der absolute Lesefehler angegeben D oA

7. Absoluter Gesamtfehler direkter Messungen

Bei direkten Messungen der physikalischen Größe A müssen folgende Fehler ausgewertet werden: D uA, D oA und D sA (zufällig). Natürlich sollen auch andere Fehlerquellen im Zusammenhang mit falscher Installation von Instrumenten, Fehlausrichtung der Anfangsposition des Instrumentenzeigers auf 0 usw. ausgeschlossen werden.

Der absolute Gesamtfehler der direkten Messung muss alle drei Fehlerarten umfassen.

Ist der Zufallsfehler klein gegenüber dem kleinsten mit diesem Messgerät messbaren Wert (gegenüber dem Teilungswert), so kann er vernachlässigt werden und dann reicht eine Messung aus, um den Wert der physikalischen Größe zu bestimmen. Andernfalls empfiehlt die Wahrscheinlichkeitstheorie, das Messergebnis als arithmetischen Mittelwert der Ergebnisse der gesamten Reihe von Mehrfachmessungen zu finden, der Ergebnisfehler wird nach der Methode der mathematischen Statistik berechnet. Das Wissen um diese Methoden geht über das schulische Curriculum hinaus.

8. Aufnahme des Endergebnisses der direkten Messung

Das Endergebnis der Messung der physikalischen Größe A sollte in dieser Form geschrieben werden;

A=A pr + D A, e \u003d (D A / A pr) * 100%.

Und pr - der Wert der experimentell erhaltenen physikalischen Größe, wenn die Messung wiederholt durchgeführt wurde, dann das arithmetische Mittel dieser Messungen. D A ist der absolute Gesamtfehler der direkten Messung.

Der absolute Fehler wird normalerweise als eine signifikante Zahl ausgedrückt.

Beispiel: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Fehler indirekter Messungen

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse indirekter Messungen einer physikalischen Größe, die funktional mit den direkt gemessenen physikalischen Größen A, B und C zusammenhängt, wird zunächst der relative Fehler der indirekten Messung bestimmt e = D X / X pr, unter Verwendung der in der Tabelle angegebenen Formeln (ohne Beweis).

Der absolute Fehler wird durch die Formel bestimmt D X \u003d X pr * e,

wo z als Dezimalzahl ausgedrückt, nicht als Prozentsatz.

Das Endergebnis wird wie bei direkten Messungen festgehalten.

Funktionstyp	Formel
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

Beispiel: Lassen Sie uns den Fehler bei der Messung des Reibungskoeffizienten mit einem Dynamometer berechnen. Die Erfahrung ist, dass die Stange gleichmäßig entlang einer horizontalen Fläche gezogen wird und die aufgebrachte Kraft gemessen wird: Sie ist gleich der Gleitreibungskraft.

Mit einem Dynamometer wiegen wir eine Stange mit Gewichten: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33 Der Instrumentenfehler des Dynamometers (siehe Tabelle) ist Δ und = 0,05 N, Ablesefehler (halbe Skalenteilung)

Δ o = 0,05 N. Der absolute Fehler bei der Messung der Gewichts- und Reibungskraft beträgt 0,1 N.

Relativer Messfehler (5. Zeile der Tabelle)

, daher beträgt der absolute Fehler der indirekten Messung von μ 0,22 * 0,33 = 0,074

Aufgrund der dem Messgerät innewohnenden Fehler, der gewählten Methode und Messtechnik, der Abweichung der äußeren Bedingungen, unter denen die Messung durchgeführt wird, und anderen Gründen ist das Ergebnis fast jeder Messung mit einem Fehler behaftet. Dieser Fehler wird berechnet oder geschätzt und dem erzielten Ergebnis zugeschrieben.

Messfehler(kurz - Messfehler) - Abweichung des Messergebnisses vom wahren Wert der Messgröße.

Der wahre Wert der Menge bleibt aufgrund des Vorhandenseins von Fehlern unbekannt. Es wird zur Lösung theoretischer Probleme der Metrologie verwendet. In der Praxis wird der tatsächliche Wert der Menge verwendet, der den wahren Wert ersetzt.

Der Messfehler (Δx) ergibt sich aus der Formel:

x = x gemessen - x aktuell (1.3)

wo x mes. - der auf der Grundlage von Messungen ermittelte Wert der Menge; x tatsächlich ist der Wert der als real angenommenen Größe.

Als realer Wert wird bei Einzelmessungen oft der mit Hilfe eines beispielhaften Messgerätes ermittelte Wert genommen, bei Wiederholungsmessungen das arithmetische Mittel der Werte der in dieser Reihe enthaltenen Einzelmessungen.

Messfehler können nach folgenden Kriterien klassifiziert werden:

Durch die Art der Manifestation - systematisch und zufällig;

Als Ausdruck - absolut und relativ;

Entsprechend den Bedingungen zum Ändern des Messwerts - statisch und dynamisch;

Gemäß der Methode zur Verarbeitung einer Reihe von Messungen - arithmetische und quadratische Mittelwerte;

nach Vollständigkeit der Erfassung der Messaufgabe – privat und vollständig;

In Bezug auf die Einheit der physikalischen Größe - der Fehler der Reproduktion der Einheit, der Speicherung der Einheit und der Übertragung der Größe der Einheit.

Systematischer Messfehler(kurz - systematischer Fehler) - eine Komponente des Fehlers des Messergebnisses, die für eine bestimmte Messreihe konstant bleibt oder sich bei wiederholten Messungen derselben physikalischen Größe regelmäßig ändert.

Je nach Art der Manifestation werden systematische Fehler in konstante, fortschreitende und periodische Fehler unterteilt. Permanente systematische Fehler(kurzzeitig - konstante Fehler) - Fehler, die über lange Zeit (z. B. während der gesamten Messreihe) ihren Wert behalten. Dies ist die häufigste Art von Fehler.

Progressive systematische Fehler(kurz - fortschreitende Fehler) - kontinuierlich zunehmende oder abnehmende Fehler (z. B. Fehler durch Verschleiß von Messspitzen, die beim Schleifen mit einem Teil in Kontakt kommen, wenn es von einer aktiven Steuereinrichtung gesteuert wird).

Periodischer systematischer Fehler(kurz - periodischer Fehler) - ein Fehler, dessen Wert eine Funktion der Zeit oder eine Funktion der Bewegung des Zeigers des Messgeräts ist (z. B. verursacht das Vorhandensein einer Exzentrizität bei Goniometern mit einer kreisförmigen Skala einen systematischen Fehler die nach einem periodischen Gesetz variiert).

Basierend auf den Gründen für das Auftreten systematischer Fehler gibt es instrumentelle Fehler, Methodenfehler, subjektive Fehler und Fehler aufgrund von Abweichungen externer Messbedingungen von etablierten Methoden.

Instrumenteller Messfehler(kurz - Instrumentenfehler) ist das Ergebnis einer Reihe von Gründen: Verschleiß von Instrumententeilen, übermäßige Reibung im Instrumentenmechanismus, ungenaue Schlieren auf der Skala, Abweichung zwischen den tatsächlichen und den nominalen Werten des Maßes usw.

Fehler der Messmethode(kurz - der Fehler der Methode) kann aufgrund der Unvollkommenheit der Messmethode oder ihrer Vereinfachungen entstehen, die durch das Messverfahren festgestellt werden. Ein solcher Fehler kann beispielsweise auf die unzureichende Geschwindigkeit der verwendeten Messgeräte bei der Messung der Parameter schneller Prozesse oder auf nicht berücksichtigte Verunreinigungen bei der Bestimmung der Dichte einer Substanz auf der Grundlage der Ergebnisse der Messung ihrer Masse und ihres Volumens zurückzuführen sein.

Subjektiver Messfehler(kurz - subjektiver Fehler) ist auf die individuellen Fehler des Bedieners zurückzuführen. Manchmal wird dieser Fehler als persönliche Differenz bezeichnet. Es wird beispielsweise durch eine Verzögerung oder einen Vorschuss bei der Annahme eines Signals durch den Bediener verursacht.

Abweichungsfehler(in einer Richtung) äußere Messbedingungen, die von den durch das Messverfahren festgelegten abweichen, führt zum Auftreten einer systematischen Komponente des Messfehlers.

Systematische Fehler verfälschen das Messergebnis und müssen daher so weit wie möglich beseitigt werden, indem Korrekturen eingeführt oder das Instrument eingestellt werden, um die systematischen Fehler auf ein akzeptables Minimum zu bringen.

Nicht ausgeschlossener systematischer Fehler(kurz - nicht ausgeschlossener Fehler) - Dies ist der Fehler des Messergebnisses aufgrund des Fehlers bei der Berechnung und Einführung einer Korrektur für die Auswirkung eines systematischen Fehlers oder eines kleinen systematischen Fehlers, dessen Korrektur aufgrund von nicht eingeführt wird Kleinheit.

Diese Art von Fehler wird manchmal als bezeichnet nicht ausgeschlossene Bias-Residuen(kurz - nicht ausgeschlossene Salden). Beispielsweise wurden bei der Messung der Länge eines Linienmeters in den Wellenlängen der Referenzstrahlung mehrere nicht ausgeschlossene systematische Fehler aufgedeckt (i): aufgrund ungenauer Temperaturmessung - 1 ; aufgrund der ungenauen Bestimmung des Brechungsindex von Luft - 2, aufgrund des ungenauen Wertes der Wellenlänge - 3.

Normalerweise wird die Summe der nicht ausgeschlossenen systematischen Fehler berücksichtigt (ihre Grenzen sind festgelegt). Bei der Anzahl der Terme N ≤ 3 werden die Grenzen der nicht ausgeschlossenen systematischen Fehler durch die Formel berechnet

Wenn die Anzahl der Terme N ≥ 4 ist, wird die Formel für Berechnungen verwendet

(1.5)

wobei k der Abhängigkeitskoeffizient nicht ausgeschlossener systematischer Fehler von der gewählten Konfidenzwahrscheinlichkeit P mit ihrer Gleichverteilung ist. Bei P = 0,99 ist k = 1,4, bei P = 0,95 ist k = 1,1.

Zufälliger Messfehler(kurz - zufälliger Fehler) - eine Komponente des Fehlers des Messergebnisses, die sich zufällig (in Vorzeichen und Wert) in einer Reihe von Messungen gleicher Größe einer physikalischen Größe ändert. Ursachen für zufällige Fehler: Rundungsfehler beim Ablesen von Messwerten, Schwankungen der Messwerte, zufällige Änderungen der Messbedingungen usw.

Zufällige Fehler verursachen eine Streuung der Messergebnisse in einer Reihe.

Die Fehlertheorie basiert auf zwei Bestimmungen, die von der Praxis bestätigt werden:

1. Bei einer großen Anzahl von Messungen treten zufällige Fehler mit gleichem Zahlenwert, aber unterschiedlichem Vorzeichen, gleich häufig auf;

2. Große (bezogen auf den absoluten Wert) Fehler sind seltener als kleine.

Aus der ersten Position folgt eine wichtige Schlussfolgerung für die Praxis: Mit zunehmender Anzahl von Messungen nimmt der zufällige Fehler des Ergebnisses einer Messreihe ab, da die Summe der Fehler der Einzelmessungen dieser Reihe gegen Null geht, d.h.

(1.6)

Als Ergebnis von Messungen wird beispielsweise eine Reihe von elektrischen Widerstandswerten erhalten (die um die Auswirkungen systematischer Fehler korrigiert werden): R 1 \u003d 15,5 Ohm, R 2 \u003d 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 Ohm, R 4 \u003d 15, 6 Ohm und R 5 = 15,4 Ohm. Daher R = 15,5 Ohm. Abweichungen von R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm und R 5 \u003d -0,1 Ohm) sind zufällige Fehler einzelner Messungen in a angegebene Serie. Es ist leicht zu sehen, dass die Summe R i = 0,0 ist. Dies deutet darauf hin, dass die Fehler einzelner Messungen dieser Reihe korrekt berechnet werden.

Trotz der Tatsache, dass mit zunehmender Anzahl von Messungen die Summe der zufälligen Fehler gegen Null tendiert (in diesem Beispiel hat sie sich versehentlich als Null herausgestellt), wird der zufällige Fehler des Messergebnisses notwendigerweise geschätzt. In der Theorie der Zufallsvariablen dient die Streuung von o2 als Merkmal für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen. "| / o2 \u003d a wird als Standardabweichung der Allgemeinbevölkerung oder Standardabweichung bezeichnet.

Es ist bequemer als die Dispersion, da seine Dimension mit der Dimension der gemessenen Größe übereinstimmt (zum Beispiel wird der Wert der Größe in Volt erhalten, die Standardabweichung wird auch in Volt sein). Da man in der Messpraxis mit dem Begriff „Fehler“ zu tun hat, sollte der davon abgeleitete Begriff „rms error“ zur Charakterisierung einer Reihe von Messungen verwendet werden. Eine Reihe von Messungen kann durch den arithmetischen mittleren Fehler oder die Bandbreite der Messergebnisse charakterisiert werden.

Die Spannweite der Messergebnisse (kurz - Range) ist die algebraische Differenz zwischen dem größten und kleinsten Ergebnis von Einzelmessungen, die eine Reihe (oder Stichprobe) von n Messungen bilden:

Rn \u003d Xmax - Xmin (1,7)

wobei R n der Bereich ist; X max und X min - die größten und kleinsten Werte der Menge in einer bestimmten Messreihe.

Beispielsweise stellten sich bei fünf Messungen des Lochdurchmessers d die Werte R 5 = 25,56 mm und R 1 = 25,51 mm als seine maximalen und minimalen Werte heraus. In diesem Fall ist R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Das bedeutet, dass die verbleibenden Fehler dieser Serie kleiner als 0,05 mm sind.

Durchschnittlicher arithmetischer Fehler einer einzelnen Messung in einer Serie(kurz - der arithmetische mittlere Fehler) - Die verallgemeinerte Streucharakteristik (aus Zufallsgründen) einzelner Messergebnisse (gleichen Werts), die in einer Reihe von n gleich genauen unabhängigen Messungen enthalten sind, wird durch die Formel berechnet

(1.8)

wobei X i das Ergebnis der in der Reihe enthaltenen i-ten Messung ist; x ist das arithmetische Mittel von n Werten der Größe: |X i - X| der Absolutwert des Fehlers der i-ten Messung ist; r ist der arithmetische mittlere Fehler.

Der wahre Wert des arithmetischen mittleren Fehlers p wird aus dem Verhältnis bestimmt

p = lim r, (1.9)

Bei der Anzahl der Messungen n > 30 zwischen dem arithmetischen Mittel (r) und dem mittleren Quadrat (s) da gibt es zusammenhänge

s = 1,25r; r und = 0,80 s. (1.10)

Der Vorteil des arithmetischen mittleren Fehlers ist die Einfachheit seiner Berechnung. Aber noch häufiger bestimmen Sie den mittleren quadratischen Fehler.

Mittlerer quadratischer Fehler Einzelmessung in einer Serie (kurz - Root Mean Square Error) - eine verallgemeinerte Streuungseigenschaft (aus Zufallsgründen) von Einzelmessergebnissen (mit gleichem Wert), die in einer Serie enthalten sind P ebenso genaue unabhängige Messungen, berechnet nach der Formel

(1.11)

Der mittlere quadratische Fehler für die allgemeine Stichprobe o, der die statistische Grenze von S darstellt, kann für /i-mx > nach folgender Formel berechnet werden:

Σ = Lim S (1.12)

In Wirklichkeit ist die Anzahl der Dimensionen immer begrenzt, also wird nicht σ berechnet , und sein ungefährer Wert (oder Schätzung), der s ist. Je mehr P, je näher s an seinem Grenzwert σ liegt .

Bei einer Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer einzelnen Messung in einer Reihe den berechneten mittleren quadratischen Fehler nicht überschreitet, klein: 0,68. Daher kann der tatsächliche Fehler in 32 von 100 oder 3 von 10 Fällen größer sein als der berechnete.

Abbildung 1.2 Abnahme des Werts des zufälligen Fehlers des Ergebnisses mehrerer Messungen mit zunehmender Anzahl von Messungen in einer Reihe

Bei einer Messreihe besteht ein Zusammenhang zwischen dem rms Fehler einer Einzelmessung s und dem rms Fehler des arithmetischen Mittels S x:

was oft als "Regel von Y n" bezeichnet wird. Aus dieser Regel folgt, dass sich der Messfehler durch Einwirkung zufälliger Ursachen um das n-fache verringern lässt, wenn n Messungen gleicher Größe beliebiger Größe durchgeführt werden und als Endergebnis der arithmetische Mittelwert genommen wird (Abb. 1.2.2). ).

Das Durchführen von mindestens 5 Messungen in einer Reihe ermöglicht es, die Auswirkung zufälliger Fehler um mehr als das 2-fache zu reduzieren. Bei 10 Messungen reduziert sich der Effekt des zufälligen Fehlers um den Faktor 3. Eine weitere Erhöhung der Anzahl der Messungen ist nicht immer wirtschaftlich vertretbar und wird in der Regel nur bei kritischen Messungen durchgeführt, die eine hohe Genauigkeit erfordern.

Der mittlere quadratische Fehler einer Einzelmessung aus einer Reihe von homogenen Doppelmessungen S α wird durch die Formel berechnet

(1.14)

wobei x" i und x" i i-te Ergebnisse von Messungen gleicher Größe in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung durch ein Messgerät sind.

Bei ungleichen Messungen wird der mittlere quadratische Fehler des arithmetischen Mittels in der Reihe durch die Formel bestimmt

(1.15)

wobei p i das Gewicht der i-ten Messung in einer Reihe von ungleichen Messungen ist.

Der mittlere quadratische Fehler des Ergebnisses indirekter Messungen der Größe Y, die eine Funktion von Y \u003d F (X 1, X 2, X n) ist, wird nach der Formel berechnet

(1.16)

wobei S 1 , S 2 , S n quadratische Mittelfehler der Messergebnisse für X 1 , X 2 , X n sind.

Werden zur größeren Sicherheit für ein zufriedenstellendes Ergebnis mehrere Messreihen durchgeführt, so ergibt sich aus der Formel der Effektivfehler einer Einzelmessung aus m Reihen (S m).

(1.17)

Wobei n die Anzahl der Messungen in der Reihe ist; N ist die Gesamtzahl der Messungen in allen Serien; m ist die Anzahl der Serien.

Bei einer begrenzten Anzahl von Messungen ist es oft erforderlich, den RMS-Fehler zu kennen. Zur Bestimmung des Fehlers S, berechnet nach Formel (2.7), und des Fehlers S m , berechnet nach Formel (2.12), können Sie die folgenden Ausdrücke verwenden

(1.18)

(1.19)

wobei S und S m die mittleren quadratischen Fehler von S bzw. S m sind.

Beispielsweise erhalten wir bei der Verarbeitung der Ergebnisse einer Messreihe der Länge x

= 86 mm 2 bei n = 10,

= 3,1mm

= 0,7 mm oder S = ±0,7 mm

Der Wert S = ±0,7 mm bedeutet, dass s aufgrund des Rechenfehlers im Bereich von 2,4 bis 3,8 mm liegt, Zehntelmillimeter sind hier also unzuverlässig. Im betrachteten Fall muss man notieren: S = ±3 mm.

Um größeres Vertrauen in die Schätzung des Fehlers des Messergebnisses zu haben, werden der Vertrauensfehler oder die Vertrauensgrenzen des Fehlers berechnet. Bei einem Normalverteilungsgesetz werden die Vertrauensgrenzen des Fehlers als ±t-s oder ±t-s x berechnet, wobei s und s x die mittleren quadratischen Fehler einer einzelnen Messung in einer Reihe bzw. das arithmetische Mittel sind; t ist eine Zahl, die vom Konfidenzniveau P und der Anzahl der Messungen n abhängt.

Ein wichtiger Begriff ist die Zuverlässigkeit des Messergebnisses (α), d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass der gewünschte Wert der gemessenen Größe in ein gegebenes Vertrauensintervall fällt.

Wenn beispielsweise Teile auf Werkzeugmaschinen in einem stabilen technologischen Modus bearbeitet werden, folgt die Fehlerverteilung dem normalen Gesetz. Angenommen, die Teilelängentoleranz ist auf 2a eingestellt. In diesem Fall ist das Konfidenzintervall, in dem sich der gewünschte Wert der Länge des Teils a befindet, (a - a, a + a).

Wenn 2a = ±3s, dann ist die Zuverlässigkeit des Ergebnisses a = 0,68, d. h. in 32 von 100 Fällen sollte erwartet werden, dass die Teilegröße die Toleranz von 2a überschreitet. Bei der Bewertung der Qualität des Teils gemäß der Toleranz 2a = ±3s beträgt die Zuverlässigkeit des Ergebnisses 0,997. In diesem Fall ist zu erwarten, dass nur drei von 1000 Teilen die festgelegte Toleranz überschreiten, eine Erhöhung der Zuverlässigkeit ist jedoch nur mit einer Verringerung des Fehlers in der Länge des Teils möglich. Um also die Zuverlässigkeit von a = 0,68 auf a = 0,997 zu erhöhen, muss der Längenfehler des Teils um den Faktor drei reduziert werden.

In letzter Zeit hat sich der Begriff „Messzuverlässigkeit“ verbreitet. In einigen Fällen wird es unangemessenerweise anstelle des Begriffs "Messgenauigkeit" verwendet. In einigen Quellen finden Sie beispielsweise den Ausdruck "Feststellung der Einheit und Zuverlässigkeit der Messungen im Land". Wobei es richtiger wäre zu sagen „Herstellung der Einheit und der geforderten Messgenauigkeit“. Zuverlässigkeit wird von uns als qualitatives Merkmal betrachtet, das die Nähe von Null zufälliger Fehler widerspiegelt. Quantitativ kann sie durch die Unzuverlässigkeit von Messungen bestimmt werden.

Messunsicherheit(kurz - Unzuverlässigkeit) - eine Bewertung der Diskrepanz zwischen den Ergebnissen einer Reihe von Messungen aufgrund des Einflusses des Gesamteinflusses zufälliger Fehler (bestimmt durch statistische und nicht statistische Methoden), gekennzeichnet durch den Wertebereich in in dem sich der wahre Wert der gemessenen Größe befindet.

In Übereinstimmung mit den Empfehlungen des Internationalen Büros für Maß und Gewicht wird die Unsicherheit als Gesamtstandardfehler der Messungen ausgedrückt – Su einschließlich des Standardfehlers S (bestimmt durch statistische Methoden) und des Standardfehlers u (bestimmt durch nicht statistische Methoden). ), d. h.

(1.20)

Messfehler begrenzen(kurz - marginaler Fehler) - der maximale Messfehler (plus, minus), dessen Wahrscheinlichkeit den Wert von P nicht überschreitet, während die Differenz 1 - P unbedeutend ist.

Beispielsweise beträgt bei einer Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Fehlers von ±3 s 0,997, und die Differenz 1-P = 0,003 ist unbedeutend. Daher wird in vielen Fällen der Konfidenzfehler ±3s als Grenze genommen, d.h. pr = ±3 s. Bei ausreichend großem P (2s, 2,5s, 4s usw.) kann pr ggf. auch andere Beziehungen zu s haben.

Im Zusammenhang damit, dass in den GSI-Standards anstelle des Begriffs „Root Mean Square Error“ der Begriff „Root Mean Square Deviation“ verwendet wird, bleiben wir in der weiteren Begründung bei diesem Begriff.

Absoluter Messfehler(kurz - absoluter Fehler) - Messfehler, ausgedrückt in Einheiten des Messwerts. Somit ist der Fehler X beim Messen der Länge des Teils X, ausgedrückt in Mikrometern, ein absoluter Fehler.

Die Begriffe „absoluter Fehler“ und „absoluter Fehlerwert“ sind nicht zu verwechseln, worunter der Wert des Fehlers ohne Berücksichtigung des Vorzeichens zu verstehen ist. Wenn also der absolute Messfehler ±2 μV beträgt, beträgt der absolute Wert des Fehlers 0,2 μV.

Relativer Messfehler(kurz - relativer Fehler) - Messfehler, ausgedrückt als Bruchteil des Wertes des Messwerts oder als Prozentsatz. Der relative Fehler δ ergibt sich aus den Verhältnissen:

(1.21)

Beispielsweise gibt es einen reellen Wert der Teilelänge x = 10,00 mm und einen absoluten Wert des Fehlers x = 0,01 mm. Der relative Fehler wird sein

Statischer Fehler ist der Fehler des Messergebnisses aufgrund der Bedingungen der statischen Messung.

Dynamischer Fehler ist der Fehler des Messergebnisses aufgrund der Bedingungen der dynamischen Messung.

Reproduktionsfehler der Einheit- Fehler des Ergebnisses von Messungen, die bei der Reproduktion einer Einheit einer physikalischen Größe durchgeführt werden. Der Fehler bei der Reproduktion einer Einheit mit dem staatlichen Standard wird also in Form ihrer Komponenten angegeben: ein nicht ausgeschlossener systematischer Fehler, der durch seine Grenze gekennzeichnet ist; Zufallsfehler, gekennzeichnet durch die Standardabweichung s und die jährliche Instabilität ν.

Fehler bei der Übertragung der Einheitsgröße ist der Fehler im Ergebnis der Messungen, die bei der Übertragung der Größe der Einheit durchgeführt wurden. Der Übertragungsfehler der Einheitsgröße umfasst nicht ausgeschlossene systematische Fehler und zufällige Fehler des Verfahrens und der Mittel zur Übertragung der Einheitsgröße (z. B. eines Komparators).

Der absolute Rechenfehler ergibt sich aus der Formel:

Das Modulo-Zeichen zeigt, dass es uns egal ist, welcher Wert größer und welcher kleiner ist. Wichtig, wie weit das ungefähre Ergebnis wich vom exakten Wert in die eine oder andere Richtung ab.

Der relative Rechenfehler ergibt sich aus der Formel:
, oder dasselbe:

Der relative Fehler wird angezeigt um wie viel Prozent das ungefähre Ergebnis weicht vom exakten Wert ab. Es gibt eine Version der Formel ohne Multiplikation mit 100 %, aber in der Praxis sehe ich fast immer die obige Version mit Prozentzahlen.

Nach einem kurzen Hintergrund kehren wir zu unserem Problem zurück, in dem wir den ungefähren Wert der Funktion berechnet haben Verwendung eines Differenzials.

Lassen Sie uns den genauen Wert der Funktion mit einem Mikrorechner berechnen:
, streng genommen ist der Wert immer noch ein ungefährer Wert, aber wir werden ihn als genau betrachten. Solche Aufgaben kommen vor.

Berechnen Sie den absoluten Fehler:

Lassen Sie uns den relativen Fehler berechnen:
, Tausendstel Prozent erhalten, so dass das Differential nur eine große Annäherung lieferte.

Antworten: , absoluter Rechenfehler , relativer Rechenfehler

Das folgende Beispiel ist für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 4

am Punkt . Berechnen Sie einen genaueren Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt, bewerten Sie die absoluten und relativen Berechnungsfehler.

Ein grobes Beispiel für die Abschlussarbeit und eine Antwort am Ende der Lektion.

Viele haben bemerkt, dass in allen betrachteten Beispielen Wurzeln auftauchen. Dies ist kein Zufall, in den meisten Fällen werden in dem betrachteten Problem tatsächlich Funktionen mit Wurzeln vorgeschlagen.

Aber für die leidenden Leser habe ich ein kleines Beispiel mit dem Arkussinus ausgegraben:

Beispiel 5

Berechnen Sie näherungsweise mit dem Differential den Wert der Funktion am Punkt

Auch dieses kurze, aber informative Beispiel dient der selbstständigen Entscheidung. Und ich ruhte mich ein wenig aus, um mit neuem Elan über eine besondere Aufgabe nachzudenken:

Beispiel 6

Rechnen Sie näherungsweise mit der Differenz, runden Sie das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Entscheidung: Was ist neu an der Aufgabe? Per Bedingung ist es erforderlich, das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen zu runden. Aber das ist nicht der Punkt, das Schulrundungsproblem, denke ich, ist nicht schwierig für Sie. Es handelt sich darum, dass bei uns die Tangente mit dem Argument gegeben ist, die in Grad ausgedrückt wird. Was tun, wenn Sie aufgefordert werden, eine trigonometrische Funktion mit Grad zu lösen? zum Beispiel , usw.

Der Lösungsalgorithmus bleibt grundsätzlich erhalten, d. h. es muss, wie in den vorherigen Beispielen, die Formel angewendet werden

Schreiben Sie die offensichtliche Funktion auf

Der Wert muss als dargestellt werden. Ernsthafte Hilfe wird Wertetabelle trigonometrischer Funktionen . Übrigens, falls Sie es nicht ausgedruckt haben, empfehle ich Ihnen, dies zu tun, da Sie während des gesamten Studiums der Höheren Mathematik dort nachsehen müssen.

Bei der Analyse der Tabelle stellen wir einen „guten“ Wert der Tangente fest, der nahe bei 47 Grad liegt:

Auf diese Weise:

Nach vorläufiger Analyse Grad müssen in Radiant umgerechnet werden. Ja, und nur so!

In diesem Beispiel, direkt aus der trigonometrischen Tabelle, können Sie das herausfinden. Die Formel für die Umrechnung von Grad in Radiant lautet: (Formeln finden Sie in derselben Tabelle).

Weitere Vorlage:

Auf diese Weise: (in Berechnungen verwenden wir den Wert ). Das Ergebnis wird, wie von der Bedingung gefordert, auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Antworten:

Beispiel 7

Näherungsweise mit dem Differential rechnen, Ergebnis auf drei Dezimalstellen runden.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes, wir übersetzen die Grade in Radiant und halten uns an den üblichen Lösungsalgorithmus.

Annäherungsrechnungen mit dem totalen Differential einer Funktion zweier Variablen

Alles wird sehr, sehr ähnlich sein. Wenn Sie also mit dieser speziellen Aufgabe auf diese Seite gekommen sind, empfehle ich Ihnen, sich zuerst mindestens ein paar Beispiele des vorherigen Absatzes anzusehen.

Um einen Absatz zu studieren, müssen Sie finden können partielle Ableitungen zweiter Ordnung , wo ohne sie. In der obigen Lektion habe ich die Funktion zweier Variablen mit dem Buchstaben bezeichnet. Im Hinblick auf die betrachtete Aufgabe ist es bequemer, die äquivalente Schreibweise zu verwenden.

Wie im Fall einer Funktion einer Variablen kann die Bedingung des Problems auf verschiedene Weise formuliert werden, und ich werde versuchen, alle auftretenden Formulierungen zu berücksichtigen.

Beispiel 8

Entscheidung: Egal wie die Bedingung geschrieben wird, in der Lösung selbst, um die Funktion zu bezeichnen, wiederhole ich, es ist besser, nicht den Buchstaben „Z“ zu verwenden, sondern .

Und hier ist die Arbeitsformel:

Vor uns liegt eigentlich die ältere Schwester der Formel des vorigen Absatzes. Die Variable ist gerade größer geworden. Was soll ich sagen, ich selbst der Lösungsalgorithmus ist grundsätzlich derselbe!

Als Bedingung ist es erforderlich, den ungefähren Wert der Funktion am Punkt zu finden.

Stellen wir die Zahl 3,04 als dar. Der Lebkuchenmann bittet darum, gegessen zu werden:
,

Stellen wir die Zahl 3,95 als dar. Die zweite Hälfte von Kolobok ist an der Reihe:
,

Und schau dir nicht alle möglichen Fuchstricks an, es gibt einen Lebkuchenmann - den musst du essen.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Das Differential einer Funktion an einem Punkt wird durch die Formel gefunden:

Aus der Formel folgt, dass Sie finden müssen partielle Ableitungen erster Ordnung und berechnen ihre Werte an der Stelle .

Berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung am Punkt:

Gesamtdifferential am Punkt:

Damit ist nach der Formel der Näherungswert der Funktion an der Stelle:

Lassen Sie uns den genauen Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Dieser Wert ist absolut korrekt.

Fehler werden mit Standardformeln berechnet, die bereits in diesem Artikel besprochen wurden.

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Antwort: , absoluter Fehler: , relativer Fehler:

Beispiel 9

Berechnen Sie den ungefähren Wert einer Funktion Bewerten Sie an einem Punkt, an dem ein volles Differential verwendet wird, den absoluten und relativen Fehler.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Wer sich näher mit diesem Beispiel beschäftigt, wird darauf achten, dass die Rechenfehler sehr, sehr auffällig ausgefallen sind. Dies geschah aus folgendem Grund: In der vorgeschlagenen Aufgabe sind die Inkremente der Argumente groß genug: .

Das allgemeine Muster ist a - Je größer diese Absolutwertinkremente sind, desto geringer ist die Genauigkeit der Berechnungen. So sind beispielsweise für einen ähnlichen Punkt die Inkremente klein: , und die Genauigkeit der ungefähren Berechnungen ist sehr hoch.

Dieses Merkmal gilt auch für den Fall einer Funktion einer Variablen (erster Teil der Lektion).

Beispiel 10

Entscheidung: Lassen Sie uns diesen Ausdruck näherungsweise berechnen, indem wir das totale Differential einer Funktion zweier Variablen verwenden:

Der Unterschied zu den Beispielen 8-9 besteht darin, dass wir zuerst eine Funktion aus zwei Variablen zusammensetzen müssen: . Wie die Funktion zusammengesetzt ist, ist, denke ich, jedem intuitiv klar.

Der Wert 4,9973 liegt nahe bei „fünf“, also: , .
Der Wert von 0,9919 liegt nahe bei „eins“, daher nehmen wir an: , .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Wir finden das Differential an einem Punkt durch die Formel:

Dazu berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung am Punkt .

Die Ableitungen hier sind nicht die einfachsten, und Sie sollten vorsichtig sein:

;

.

Gesamtdifferential am Punkt:

Somit ist der ungefähre Wert dieses Ausdrucks:

Lassen Sie uns mit einem Mikrorechner einen genaueren Wert berechnen: 2,998899527

Finden wir den relativen Rechenfehler:

Antworten: ,

Nur eine Veranschaulichung des Obigen, bei dem betrachteten Problem sind die Inkremente der Argumente sehr klein, und der Fehler stellte sich als fantastisch gering heraus.

Beispiel 11

Berechnen Sie ungefähr den Wert dieses Ausdrucks, indem Sie das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen verwenden. Berechnen Sie denselben Ausdruck mit einem Mikrorechner. Schätzen Sie den relativen Rechenfehler in Prozent ab.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Ein ungefähres Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

Wie bereits erwähnt, ist der häufigste Gast bei dieser Art von Aufgabe eine Art Wurzel. Aber ab und zu gibt es noch andere Funktionen. Und ein letztes einfaches Beispiel zur Entspannung:

Beispiel 12

Berechnen Sie unter Verwendung des totalen Differentials einer Funktion zweier Variablen näherungsweise den Wert der Funktion if

Die Lösung befindet sich weiter unten auf der Seite. Achten Sie noch einmal auf die Formulierung der Aufgaben der Lektion. In verschiedenen Beispielen in der Praxis kann die Formulierung unterschiedlich sein, dies ändert jedoch nicht grundlegend das Wesen und den Algorithmus der Lösung.

Um ehrlich zu sein, wurde ich etwas müde, weil der Stoff langweilig war. Es war nicht pädagogisch am Anfang des Artikels zu sagen, aber jetzt ist es schon möglich =) Tatsächlich sind die Probleme der Computermathematik normalerweise nicht sehr schwierig, nicht sehr interessant, das Wichtigste ist vielleicht, nicht einen zu machen Fehler in gewöhnlichen Berechnungen.

Mögen die Tasten Ihres Taschenrechners nicht gelöscht werden!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Antworten:

Beispiel 4:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Lassen Sie uns einen genaueren Wert der Funktion mit einem Mikrorechner berechnen:

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Antworten: , absoluter Rechenfehler , relativer Rechenfehler

Beispiel 5:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:

In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Antworten:

Beispiel 7:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Bei der Messung muss berücksichtigt werden, dass das erzielte Ergebnis noch nicht endgültig ist. Um den gewünschten Wert genauer zu berechnen, muss der Fehler berücksichtigt werden. Die Berechnung ist ganz einfach.

So finden Sie den Fehler - Berechnung

Arten von Fehlern:

• relativ;
• absolut.

Was Sie zur Berechnung benötigen:

• Taschenrechner;
• Ergebnisse mehrerer Messungen derselben Größe.

So finden Sie einen Fehler - eine Abfolge von Aktionen

• Messen Sie den Wert 3-5 mal.
• Addiere alle Ergebnisse und teile die resultierende Zahl durch ihre Zahl. Diese Zahl ist ein reeller Wert.
• Berechnen Sie den absoluten Fehler, indem Sie den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert von den Messergebnissen subtrahieren. Formel: ∆X = Hisl - Hist. Während der Berechnungen können Sie sowohl positive als auch negative Werte erhalten. In jedem Fall wird der Modul des Ergebnisses genommen. Wenn es notwendig ist, den absoluten Fehler der Summe zweier Größen zu kennen, werden die Berechnungen nach folgender Formel durchgeführt: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Es funktioniert auch, wenn es notwendig ist, den Fehler der Differenz zwischen zwei Größen zu berechnen: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Finden Sie den relativen Fehler für jede der Messungen heraus. In diesem Fall müssen Sie den erhaltenen absoluten Fehler durch den tatsächlichen Wert dividieren. Dann multipliziere den Quotienten mit 100 %. ε(x)=Δx/x0*100%. Der Wert kann in einen Prozentsatz umgewandelt werden oder nicht.
• Um einen genaueren Wert des Fehlers zu erhalten, ist es notwendig, die Standardabweichung zu finden. Es wird ganz einfach gesucht: Berechnen Sie die Quadrate aller Werte des absoluten Fehlers und finden Sie dann ihre Summe. Das erhaltene Ergebnis muss durch die Zahl (N-1) dividiert werden, wobei N die Anzahl aller Messungen ist. Der letzte Schritt besteht darin, die Wurzel aus dem Ergebnis zu ziehen. Nach solchen Berechnungen erhält man die Standardabweichung, die normalerweise den Messfehler charakterisiert.
• Um den begrenzenden absoluten Fehler zu finden, ist es notwendig, die kleinste Zahl zu finden, die in ihrem Wert gleich oder größer als der Wert des absoluten Fehlers ist.
• Der relative Grenzfehler wird auf die gleiche Weise gesucht, nur muss eine Zahl gefunden werden, die größer oder gleich dem Wert des relativen Fehlers ist.

Messfehler treten aus verschiedenen Gründen auf und beeinträchtigen die Genauigkeit des erhaltenen Werts. Wenn Sie wissen, wie hoch der Fehler ist, können Sie einen genaueren Wert der Messung ermitteln.