Bestimmen Sie die Konvergenz der d'Alembert-Reihe. Numerische Reihen: Definitionen, Eigenschaften, Konvergenzkriterien, Beispiele, Lösungen

d'Alembertsches Konvergenzkriterium Cauchys radikales Konvergenzkriterium Cauchys integrales Konvergenzkriterium

Eines der in praktischen Beispielen häufig vorkommenden Vergleichszeichen ist das d'Alembert-Zeichen. Cauchy-Zeichen sind seltener, aber auch sehr beliebt. Wie immer werde ich versuchen, das Material auf einfache, zugängliche und verständliche Weise zu präsentieren. Das Thema ist nicht das schwierigste und alle Aufgaben sind bis zu einem gewissen Grad stereotyp.

Jean Léron d'Alembert ist ein berühmter französischer Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Im Allgemeinen spezialisierte sich d'Alembert auf Differentialgleichungen und beschäftigte sich auf der Grundlage seiner Forschung mit Ballistik, damit die Kanonenkugeln Seiner Majestät besser fliegen würden. Gleichzeitig habe ich die Zahlenreihen nicht vergessen, nicht umsonst kamen die Reihen der napoleonischen Truppen so deutlich zusammen und auseinander.

Bevor wir das Zeichen selbst formulieren, betrachten wir eine wichtige Frage:
Wann sollte das d'Alembert-Konvergenzkriterium verwendet werden?

Beginnen wir zunächst mit der Wiederholung. Erinnern Sie sich an die Fälle, in denen Sie die beliebtesten verwenden müssen marginales Vergleichskriterium. Das Grenzvergleichskriterium wird angewendet, wenn im gemeinsamen Mitglied der Reihe:
1) Der Nenner enthält ein Polynom.
2) Polynome sind sowohl im Zähler als auch im Nenner.
3) Ein oder beide Polynome können unter der Wurzel stehen.

Die wichtigsten Voraussetzungen für die Anwendung des d'Alembert-Zeichens sind:

1) Das gemeinsame Mitglied der Reihe („Füllung“ der Reihe) enthält eine Zahl im Grad, zum Beispiel , und so weiter. Außerdem ist es völlig egal, wo sich dieses Ding befindet, im Zähler oder im Nenner - wichtig ist, dass es dort vorhanden ist.

2) Der gemeinsame Term der Reihe beinhaltet die Fakultät. Mit Fakultäten haben wir im Unterricht die Klingen gekreuzt Zahlenfolge und ihre Grenze. Es schadet jedoch nicht, die Selbstmontage-Tischdecke wieder auszubreiten:

…

…

! Wenn wir den d'Alembert-Test verwenden, müssen wir nur die Fakultät im Detail malen. Wie im vorigen Absatz kann die Fakultät oben oder unten im Bruch stehen.

3) Wenn es im gemeinsamen Begriff der Reihe eine „Faktorenkette“ gibt, zum Beispiel . Dieser Fall ist selten, aber! Beim Studium einer solchen Reihe wird oft ein Fehler gemacht - siehe Beispiel 6.

Neben Potenzen und (und) Fakultäten finden sich häufig Polynome in der Füllung der Reihen, dies ändert nichts - Sie müssen den d'Alembert-Test verwenden.

Darüber hinaus können im allgemeinen Begriff der Reihe sowohl der Grad als auch die Fakultät gleichzeitig auftreten; es kann zwei Fakultäten geben, zwei Grade, es ist wichtig, dass es sie gibt zumindest einige berücksichtigten Punkte - und dies ist nur eine Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens.

Zeichen von d'Alembert: Prüfen positive Zahlenreihe. Wenn es eine Begrenzung des Verhältnisses des nächsten Terms zum vorherigen gibt: , dann:
a) In einer Reihe konvergiert. Insbesondere konvergiert die Reihe für .
b) In einer Reihe weicht ab. Insbesondere divergiert die Reihe bei .
c) Wann Zeichen reagiert nicht. Sie müssen ein anderes Zeichen verwenden. Meistens wird eine Einheit erhalten, wenn sie versuchen, den d'Alembert-Test anzuwenden, wo es notwendig ist, den Grenzwertvergleichstest zu verwenden.

Wenn Sie immer noch Probleme mit Grenzen haben oder Grenzen missverstehen, lesen Sie bitte die Lektion Grenzen. Lösungsbeispiele. Ohne ein Verständnis der Grenzen und die Fähigkeit, die Ungewissheit weiter aufzuzeigen, kann man leider nicht vorankommen.

Und nun die lang ersehnten Beispiele.

Beispiel 1

Wir sehen das im gemeinsamen Term der Reihe, die wir haben, und dies ist die korrekte Prämisse, dass wir den d'Alembert-Test verwenden müssen. Zuerst eine vollständige Lösung und ein Designbeispiel, Kommentare unten.

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

konvergiert.

(1) Bilden Sie das Verhältnis des nächsten Mitglieds der Reihe zum vorherigen: . Aus der Bedingung sehen wir, dass der gemeinsame Begriff der Reihe . Um das nächste Mitglied der Reihe zu bekommen, ist es notwendig stattdessen ersetzen: .
(2) Werde die vierstöckige Fraktion los. Mit etwas Erfahrung beim Lösen dieses Schrittes können Sie ihn überspringen.
(3) Öffnen Sie die Klammern im Zähler. Im Nenner nehmen wir die Vier aus dem Grad heraus.
(4) Reduzieren um . Wir nehmen die Konstante jenseits des Vorzeichens des Grenzwerts heraus. Im Zähler geben wir gleiche Terme in Klammern an.
(5) Unsicherheiten werden auf die übliche Weise eliminiert – durch Division von Zähler und Nenner durch „en“ bis zum höchsten Grad.
(6) Teile die Zähler durch die Nenner Term für Term und gib die Terme an, die gegen Null gehen.
(7) Wir vereinfachen die Antwort und vermerken das mit der Schlussfolgerung, dass nach dem d'Alembert-Kriterium die untersuchte Reihe konvergiert.

Im betrachteten Beispiel sind wir im allgemeinen Glied der Reihe auf ein Polynom 2. Grades gestoßen. Was ist, wenn es ein Polynom 3., 4. oder höheren Grades gibt? Tatsache ist, dass bei einem Polynom höheren Grades Schwierigkeiten beim Öffnen der Klammern auftreten. In diesem Fall können Sie die „Turbo“-Lösungsmethode anwenden.

Beispiel 2

Nehmen Sie eine ähnliche Reihe und untersuchen Sie sie auf Konvergenz

Zuerst die vollständige Lösung, dann die Kommentare:

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

(1) Stellen Sie das Verhältnis zusammen.
(2) Werde die vierstöckige Fraktion los.
(3) Betrachten Sie den Ausdruck im Zähler und den Ausdruck im Nenner. Wir sehen, dass Sie im Zähler die Klammern öffnen und in die vierte Potenz erheben müssen: , was Sie überhaupt nicht wollen. Darüber hinaus ist diese Aufgabe für diejenigen, die mit Newtons Binom nicht vertraut sind, möglicherweise überhaupt nicht machbar. Analysieren wir die höchsten Abschlüsse: Wenn wir die Klammern oben öffnen, erhalten wir den höchsten Abschluss. Unten haben wir den gleichen Abschluss: . Analog zum vorigen Beispiel ist es offensichtlich, dass wir bei der gliedweisen Division von Zähler und Nenner durch eins im Grenzwert erhalten. Oder, wie Mathematiker sagen, Polynome und - eine Wachstumsordnung. So ist es durchaus möglich, das Verhältnis mit einem einfachen Bleistift einzukreisen und sofort anzuzeigen, dass dieses Ding zur Eins tendiert. Ähnlich behandeln wir das zweite Paar Polynome: und , sie auch eine Wachstumsordnung, und ihr Verhältnis strebt gegen Eins.

Eigentlich hätte man in Beispiel Nr. 1 so einen „Hack“ machen können, aber für ein Polynom 2. Grades sieht eine solche Lösung noch irgendwie unwürdig aus. Ich persönlich mache das so: Wenn es ein Polynom (oder Polynome) ersten oder zweiten Grades gibt, verwende ich die "lange" Methode, um Beispiel 1 zu lösen. Wenn ein Polynom 3. oder höheren Grades auftaucht, verwende ich den "Turbo " Verfahren ähnlich Beispiel 2.

Beispiel 3

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Vollständige Lösung und Gestaltungsbeispiel am Ende der Lektion über Zahlenfolgen.
(4) Reduziere alles, was reduziert werden kann.
(5) Wir verschieben die Konstante über das Vorzeichen des Grenzwerts hinaus. Öffnen Sie die Klammern im Zähler.
(6) Unsicherheiten werden auf übliche Weise eliminiert - indem Zähler und Nenner durch "en" bis zum höchsten Grad geteilt werden.

Beispiel 5

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion

Beispiel 6

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Manchmal gibt es Zeilen, die eine „Kette“ von Multiplikatoren in ihrer Füllung enthalten; wir haben diese Art von Zeilen noch nicht betrachtet. Wie untersucht man eine Reihe mit einer "Kette" von Faktoren? Verwenden Sie das Zeichen von d'Alembert. Aber zuerst, um zu verstehen, was passiert, werden wir eine Serie im Detail schreiben:

Aus der Erweiterung sehen wir, dass für jedes nächste Mitglied der Reihe ein zusätzlicher Faktor im Nenner hinzugefügt wird, daher, wenn das gemeinsame Mitglied der Reihe ist, dann das nächste Mitglied der Reihe:
. Hier machen sie oft automatisch einen Fehler und schreiben diesen formal nach dem Algorithmus auf

Eine Beispiellösung könnte so aussehen:

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

Zeichen der Konvergenz von Reihen.
Zeichen von d'Alembert. Zeichen von Cauchy

Arbeit, Arbeit – und das Verstehen kommt später
J L. d’Alembert

Wir gratulieren allen zum Schuljahresbeginn! Heute ist der 1. September, und zu Ehren des Feiertags habe ich beschlossen, die Leser mit dem vertraut zu machen, worauf Sie sich gefreut haben und was Sie gerne wissen möchten - Zeichen der Konvergenz numerischer positiver Reihen. Der Feiertag ist der 1. September und meine Glückwünsche sind immer relevant, es ist in Ordnung, wenn vor dem Fenster tatsächlich Sommer ist, aber jetzt wiederholen Sie die Prüfung zum dritten Mal, wenn Sie diese Seite besuchen!

Für diejenigen, die gerade erst anfangen, die Serie zu studieren, empfehle ich, dass Sie zuerst den Artikel lesen Zahlenreihen für Dummies. Eigentlich ist dieser Wagen eine Fortsetzung des Banketts. Heute werden wir uns in der Lektion Beispiele und Lösungen zu folgenden Themen ansehen:

d'Alembert-Konvergenztest

Bevor wir das Zeichen selbst formulieren, betrachten wir eine wichtige Frage:
Wann sollte das d'Alembert-Konvergenzkriterium verwendet werden?

1) Der Nenner enthält ein Polynom.
2) Polynome sind sowohl im Zähler als auch im Nenner.
3) Ein oder beide Polynome können unter der Wurzel stehen.
4) Natürlich kann es mehr Polynome und Nullstellen geben.

Die wichtigsten Voraussetzungen für die Anwendung des d'Alembert-Zeichens sind:

1) Das gemeinsame Mitglied der Reihe ("Füllung" der Reihe) enthält eine Zahl im Grad, zum Beispiel, und so weiter. Außerdem ist es völlig egal, wo sich dieses Ding befindet, im Zähler oder im Nenner - wichtig ist, dass es dort vorhanden ist.

2) Der gemeinsame Term der Reihe beinhaltet die Fakultät. Wir haben in der Lektion Numerische Folge und ihr Grenzwert die Klingen mit Fakultäten gekreuzt. Es schadet jedoch nicht, die Selbstmontage-Tischdecke wieder auszubreiten:

…

…

! Wenn wir den d'Alembert-Test verwenden, müssen wir nur die Fakultät im Detail malen. Wie im vorigen Absatz kann die Fakultät oben oder unten im Bruch stehen.

3) Wenn im gemeinsamen Begriff der Reihe eine "Faktorenkette" vorhanden ist, z. B. . Dieser Fall ist selten, aber! Beim Studium einer solchen Reihe wird oft ein Fehler gemacht - siehe Beispiel 6.

Neben Potenzen und (und) Fakultäten finden sich häufig Polynome in der Füllung der Reihen, dies ändert nichts - Sie müssen den d'Alembert-Test verwenden.

Darüber hinaus können im allgemeinen Begriff der Reihe sowohl der Grad als auch die Fakultät gleichzeitig auftreten; es kann zwei Fakultäten geben, zwei Grade, es ist wichtig, dass es sie gibt wenigstens etwas der betrachteten Punkte - und das ist nur eine Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens.

Zeichen von d'Alembert: Prüfen positive Zahlenreihe. Wenn es eine Begrenzung des Verhältnisses des nächsten Terms zum vorherigen gibt: , dann:
a) In einer Reihe konvergiert
b) In einer Reihe weicht ab
c) Wann Zeichen reagiert nicht. Sie müssen ein anderes Zeichen verwenden. Meistens wird eine Einheit erhalten, wenn sie versuchen, den d'Alembert-Test anzuwenden, wo es notwendig ist, den Grenzwertvergleichstest zu verwenden.

Und nun die lang ersehnten Beispiele.

Beispiel 1

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

konvergiert.
(1) Bilden Sie das Verhältnis des nächsten Mitglieds der Reihe zum vorherigen: . Aus der Bedingung sehen wir, dass der gemeinsame Begriff der Reihe . Um das nächste Mitglied der Reihe zu erhalten, benötigen Sie STATT Ersatz: .
(2) Werde die vierstöckige Fraktion los. Mit etwas Erfahrung beim Lösen dieses Schrittes können Sie ihn überspringen.
(3) Öffnen Sie die Klammern im Zähler. Im Nenner nehmen wir die Vier aus dem Grad heraus.
(4) Reduzieren um . Wir nehmen die Konstante jenseits des Vorzeichens des Grenzwerts heraus. Im Zähler geben wir gleiche Terme in Klammern an.
(5) Unsicherheiten werden auf die übliche Weise eliminiert – durch Division von Zähler und Nenner durch „en“ bis zum höchsten Grad.
(6) Teile die Zähler durch die Nenner Term für Term und gib die Terme an, die gegen Null gehen.
(7) Wir vereinfachen die Antwort und vermerken das mit der Schlussfolgerung, dass nach dem d'Alembert-Kriterium die untersuchte Reihe konvergiert.

Beispiel 2

Nehmen Sie eine ähnliche Reihe und untersuchen Sie sie auf Konvergenz

Zuerst die vollständige Lösung, dann die Kommentare:

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

(1) Stellen Sie das Verhältnis zusammen.

(3) Betrachten Sie den Ausdruck im Zähler und der Ausdruck im Nenner. Wir sehen, dass Sie im Zähler die Klammern öffnen und in die vierte Potenz erheben müssen: , was Sie überhaupt nicht wollen. Und für diejenigen, die mit Newtons Binom nicht vertraut sind, wird diese Aufgabe noch schwieriger. Analysieren wir die höheren Grade: Wenn wir die Klammern oben öffnen , dann bekommen wir den höchsten Abschluss . Unten haben wir den gleichen Abschluss: . Analog zum vorigen Beispiel ist es offensichtlich, dass wir bei der gliedweisen Division von Zähler und Nenner durch eins im Grenzwert erhalten. Oder, wie Mathematiker sagen, Polynome und - eine Wachstumsordnung. Somit ist es durchaus möglich, die Relation einzukreisen mit einem einfachen Bleistift und zeigen sofort an, dass dieses Ding zu einem neigt. Ähnlich behandeln wir das zweite Paar Polynome: und , sie auch eine Wachstumsordnung, und ihr Verhältnis strebt gegen Eins.

Beispiel 3

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Betrachten Sie typische Beispiele mit Fakultäten:

Beispiel 4

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Der gemeinsame Begriff der Reihe umfasst sowohl den Grad als auch die Fakultät. Es ist sonnenklar, dass hier das Zeichen von d'Alembert verwendet werden muss. Wir entscheiden.

So die untersuchte Serie weicht ab.
(1) Stellen Sie das Verhältnis zusammen. Wir wiederholen noch einmal. Nach Bedingung, der gemeinsame Begriff der Reihe: . Um das nächste Mitglied der Serie zu bekommen, sollte stattdessen ersetzt werden, auf diese Weise: .
(2) Werde die vierstöckige Fraktion los.
(3) Wir klemmen die Sieben vom Grad ab. Fakultäten werden detailliert beschrieben. Wie das geht - siehe Anfang der Lektion oder den Artikel über Zahlenfolgen.
(4) Reduziere alles, was reduziert werden kann.
(5) Wir verschieben die Konstante über das Vorzeichen des Grenzwerts hinaus. Öffnen Sie die Klammern im Zähler.
(6) Unsicherheiten werden auf übliche Weise eliminiert - indem Zähler und Nenner durch "en" bis zum höchsten Grad geteilt werden.

Beispiel 5

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion

Beispiel 6

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Aus der Erweiterung sehen wir, dass für jedes nächste Glied der Reihe ein zusätzlicher Faktor im Nenner hinzugefügt wird, also wenn das gemeinsame Glied der Reihe ist , dann der nächste Begriff der Reihe:
. Hier machen sie oft automatisch einen Fehler und schreiben diesen formal nach dem Algorithmus auf

Eine Beispiellösung könnte so aussehen:

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

Cauchys radikales Zeichen

Augustin Louis Cauchy ist ein noch bekannterer französischer Mathematiker. Jeder Student einer technischen Fachrichtung kann Ihnen Cauchys Biografie erzählen. In den schönsten Farben. Es ist kein Zufall, dass dieser Nachname im ersten Stock des Eiffelturms eingemeißelt ist.

Der Cauchy-Konvergenztest für positive Zahlenreihen ist dem gerade betrachteten d'Alembert-Test etwas ähnlich.

Cauchys Radikalzeichen: Prüfen positive Zahlenreihe. Wenn es eine Grenze gibt: , dann:
a) In einer Reihe konvergiert. Insbesondere konvergiert die Reihe für .
b) In einer Reihe weicht ab. Insbesondere divergiert die Reihe bei .
c) Wann Zeichen reagiert nicht. Sie müssen ein anderes Zeichen verwenden. Interessanterweise gibt uns der Cauchy-Test keine Antwort auf die Frage nach der Konvergenz der Reihe, dann wird auch der d'Alembert-Test keine Antwort geben. Aber wenn das Zeichen von d'Alembert keine Antwort gibt, dann kann das Zeichen von Cauchy durchaus "funktionieren". Das Cauchy-Zeichen ist also in diesem Sinne ein stärkeres Zeichen.

Wann sollten Sie das Cauchy-Radikalzeichen verwenden? Das Radikalzeichen von Cauchy wird normalerweise in Fällen verwendet, in denen die Wurzel "gut" aus einem gemeinsamen Begriff in der Reihe extrahiert wird. In der Regel ist dieser Pfeffer im Grad, was davon abhängt. Es gibt immer noch exotische Fälle, aber wir werden uns damit nicht den Kopf zerbrechen.

Beispiel 7

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Wir sehen, dass der Bruch vollständig unter dem von „en“ abhängigen Grad liegt, was bedeutet, dass wir das radikale Cauchy-Kriterium verwenden müssen:

So die untersuchte Serie weicht ab.

(1) Wir machen den gemeinsamen Begriff der Reihe unter der Wurzel aus.

(2) Wir schreiben dasselbe um, nur ohne die Wurzel, indem wir die Eigenschaft von Graden verwenden.
(3) Im Exponenten dividieren wir den Zähler durch den Nenner Term für Term, um dies anzuzeigen
(4) Als Ergebnis haben wir die Unsicherheit . Hier könnte man weit gehen: Würfel, Würfel, dann dividiere Zähler und Nenner durch „en“ im Würfel. Aber in diesem Fall gibt es eine effizientere Lösung: Diese Technik kann direkt unter der Gradkonstante verwendet werden. Um Unsicherheiten zu beseitigen, dividieren wir Zähler und Nenner durch (höchster Polynomgrad).

(5) Wir führen eine Term-für-Term-Division durch und geben die Terme an, die gegen Null streben.
(6) Wir erinnern uns an die Antwort, markieren das und schließen daraus, dass die Reihe divergiert.

Und hier ist ein einfacheres Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 8

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Und noch ein paar typische Beispiele.

Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion

Beispiel 9

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz
Wir verwenden den radikalen Cauchy-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

(1) Platziere den gemeinsamen Term der Reihe unter der Wurzel.

(2) Wir schreiben dasselbe um, aber ohne die Wurzel, während wir die Klammern mit der abgekürzten Multiplikationsformel öffnen: .
(3) Im Exponenten dividieren wir den Zähler durch den Nenner Term für Term und geben an, dass .
(4) Man erhält eine Unschärfe der Form, und auch hier kann direkt unter dem Grad dividiert werden. Aber mit einer Bedingung: die Koeffizienten bei höheren Potenzen von Polynomen müssen unterschiedlich sein. Wir haben sie unterschiedlich (5 und 6), und daher ist es möglich (und notwendig), beide Stockwerke aufzuteilen. Wenn diese Koeffizienten sind gleich, zum Beispiel (1 und 1): , dann funktioniert dieser Trick nicht und Sie müssen verwenden zweite wunderbare Grenze. Wenn Sie sich erinnern, wurden diese Feinheiten im letzten Absatz des Artikels berücksichtigt. Lösungsmethoden einschränken.

(5) Wir führen tatsächlich eine Term-für-Term-Division durch und geben an, welche Terme in unserem Fall gegen Null gehen.
(6) Die Unsicherheit wird eliminiert, es bleibt die einfachste Grenze: . Warum rein unendlich groß Grad tendiert gegen Null? Weil die Basis des Abschlusses die Ungleichung erfüllt. Falls jemand Zweifel an der Gültigkeit des Limits hat , dann bin ich nicht zu faul, ich greife zum Taschenrechner:
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
… usw. bis unendlich - das heißt, in der Grenze:

Nur das Gleiche unendlich abnehmender geometrischer Verlauf an den Fingern =)
! Verwenden Sie diese Technik niemals als Beweis! Denn wenn etwas offensichtlich ist, heißt das noch lange nicht, dass es richtig ist.

(7) Wir zeigen dies an und schließen daraus, dass die Reihe konvergiert.

Beispiel 10

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Manchmal wird ein provokantes Beispiel für eine Lösung angeboten, zum Beispiel:. Hier im Exponenten kein "en", nur eine Konstante. Hier müssen Sie Zähler und Nenner quadrieren (Polynome werden sich herausstellen) und dann dem Algorithmus aus dem Artikel folgen Reihen für Teekannen. In einem solchen Beispiel sollte entweder das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe oder das Grenzkriterium für den Vergleich funktionieren.

Integraler Cauchy-Test

Oder nur ein integrales Merkmal. Ich werde diejenigen enttäuschen, die den Stoff des ersten Kurses schlecht gelernt haben. Um das Cauchy-Integralkriterium anwenden zu können, ist es notwendig, mehr oder weniger sicher Ableitungen und Integrale finden zu können und auch Rechnen zu können uneigentliche Integrale erste Art.

In Rechenlehrbüchern integrales Cauchy-Zeichen mathematisch streng gegeben, aber zu wirr, daher formuliere ich das Merkmal nicht zu streng, aber klar:

Prüfen positive Zahlenreihe. Wenn es ein uneigentliches Integral gibt, dann konvergiert oder divergiert die Reihe zusammen mit diesem Integral.

Und hier einige Beispiele zur Verdeutlichung:

Beispiel 11

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Fast ein Klassiker. Natürlicher Logarithmus und etwas Bullshit.

Die Hauptvoraussetzung für die Anwendung des integralen Cauchy-Tests ist die Tatsache, dass der gemeinsame Term der Reihe Faktoren enthält, die einer Funktion und ihrer Ableitung ähnlich sind. Aus dem Thema

Bevor wir das Zeichen selbst formulieren, betrachten wir eine wichtige Frage:
Wann sollte das d'Alembert-Konvergenzkriterium verwendet werden?

Die wichtigsten Voraussetzungen für die Anwendung des d'Alembert-Zeichens sind:

2) Der gemeinsame Term der Reihe beinhaltet die Fakultät. Was ist Fakultät? Nichts Kompliziertes, die Fakultät ist nur eine gefaltete Aufzeichnung des Produkts:

…

…

! Wenn wir den d'Alembert-Test verwenden, müssen wir nur die Fakultät im Detail malen. Wie im vorigen Absatz kann die Fakultät oben oder unten im Bruch stehen.

Neben Potenzen und (und) Fakultäten finden sich häufig Polynome in der Füllung der Reihen, dies ändert nichts - Sie müssen den d'Alembert-Test verwenden.

Darüber hinaus können im allgemeinen Begriff der Reihe sowohl der Grad als auch die Fakultät gleichzeitig auftreten; es kann zwei Fakultäten geben, zwei Grade, es ist wichtig, dass es sie gibt wenigstens etwas der betrachteten Punkte - und das ist nur eine Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens.

Zeichen von d'Alembert: Prüfen positive Zahlenreihe. Wenn es eine Begrenzung des Verhältnisses des nächsten Terms zum vorherigen gibt: , dann:
a) In einer Reihe konvergiert
b) In einer Reihe weicht ab
c) Wann Zeichen reagiert nicht. Sie müssen ein anderes Zeichen verwenden. Meistens wird eine Einheit erhalten, wenn sie versuchen, den d'Alembert-Test anzuwenden, wo es notwendig ist, den Grenzwertvergleichstest zu verwenden.

Für diejenigen, die immer noch Probleme mit Limits oder Missverständnissen von Limits haben, lesen Sie bitte das Thema Grenzen. Lösungsbeispiele. Ohne ein Verständnis der Grenzen und die Fähigkeit, die Ungewissheit weiter aufzuzeigen, kann man leider nicht vorankommen. Und nun die lang ersehnten Beispiele.

Beispiel 1
Wir sehen das im gemeinsamen Term der Reihe, die wir haben, und dies ist die korrekte Prämisse, dass wir den d'Alembert-Test verwenden müssen. Zuerst eine vollständige Lösung und ein Designbeispiel, Kommentare unten.

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

konvergiert.

Beispiel 2 Nehmen Sie eine ähnliche Reihe und untersuchen Sie sie auf Konvergenz
Zuerst die vollständige Lösung, dann die Kommentare:

Wir verwenden den d'Alembert-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

Beispiel 3 .

Betrachten Sie typische Beispiele mit Fakultäten:

Beispiel 4 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Der gemeinsame Begriff der Reihe umfasst sowohl den Grad als auch die Fakultät. Es ist sonnenklar, dass hier das Zeichen von d'Alembert verwendet werden muss. Wir entscheiden.

So die untersuchte Serie weicht ab.

(1) Stellen Sie das Verhältnis zusammen. Wir wiederholen noch einmal. Nach Bedingung, der gemeinsame Begriff der Reihe: . Um das nächste Mitglied der Serie zu bekommen, sollte stattdessen ersetzt werden, auf diese Weise: .
(2) Werde die vierstöckige Fraktion los.
(3) Wir klemmen die Sieben vom Grad ab. Fakultäten werden detailliert beschrieben. Wie das geht - siehe Anfang der Lektion.
(4) Reduziere alles, was reduziert werden kann.
(5) Wir verschieben die Konstante über das Vorzeichen des Grenzwerts hinaus. Öffnen Sie die Klammern im Zähler.
(6) Unsicherheiten werden auf übliche Weise eliminiert - indem Zähler und Nenner durch "en" bis zum höchsten Grad geteilt werden.

Beispiel 5 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz. Die vollständige Lösung finden Sie unten.

Beispiel 6 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Eine Beispiellösung könnte wie folgt aussehen: Verwendung des d'Alembert-Tests:
So die untersuchte Serie konvergiert.
RADIKALES CAUCHY-ZEICHEN

Der Cauchy-Konvergenztest für positive Zahlenreihen ist dem gerade betrachteten d'Alembert-Test etwas ähnlich.

Cauchys Radikalzeichen: Prüfen positive Zahlenreihe. Wenn es eine Grenze gibt: , dann:
a) In einer Reihe konvergiert. Insbesondere konvergiert die Reihe für .
b) In einer Reihe weicht ab. Insbesondere divergiert die Reihe bei .
c) Wann Zeichen reagiert nicht. Sie müssen ein anderes Zeichen verwenden. Interessanterweise gibt uns der Cauchy-Test keine Antwort auf die Frage nach der Konvergenz der Reihe, dann wird uns auch der d'Alembert-Test keine Antwort geben. Aber wenn das Zeichen von d'Alembert keine Antwort gibt, dann kann das Zeichen von Cauchy durchaus "funktionieren". Das Cauchy-Zeichen ist also in diesem Sinne ein stärkeres Zeichen.

Wann sollten Sie das Cauchy-Radikalzeichen verwenden? Der radikale Cauchy-Test wird normalerweise in Fällen verwendet, in denen der gemeinsame Begriff der Reihe gilt VÖLLIG ist im grad abhängig von "en". Oder wenn die Wurzel "gut" aus dem gemeinsamen Mitglied der Reihe extrahiert wird. Es gibt immer noch exotische Fälle, aber wir werden uns damit nicht den Kopf zerbrechen.

Beispiel 7 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Wir sehen, dass der gemeinsame Term der Reihe vollständig unter dem Grad in Abhängigkeit von liegt, was bedeutet, dass wir den radikalen Cauchy-Test verwenden müssen:

So die untersuchte Serie weicht ab.

(1) Wir machen den gemeinsamen Begriff der Reihe unter der Wurzel aus.
(2) Wir schreiben dasselbe um, nur ohne die Wurzel, indem wir die Eigenschaft von Graden verwenden.
(3) Im Exponenten dividieren wir den Zähler durch den Nenner Term für Term, um dies anzuzeigen
(4) Als Ergebnis haben wir die Unsicherheit . Hier könnte man weit gehen: Kubik, Kubik, dann dividiere Zähler und Nenner im höchsten Grad durch „en“. Aber in diesem Fall gibt es eine effizientere Lösung: Sie können Zähler und Nenner Term für Term direkt unter der Gradkonstanten dividieren. Um Unsicherheiten zu beseitigen, dividieren wir Zähler und Nenner durch (höchste Potenz).
(5) Wir führen tatsächlich die Division durch Term durch und geben die Terme an, die gegen Null streben.
(6) Wir erinnern uns an die Antwort, markieren das und schließen daraus, dass die Reihe divergiert.

Und hier ist ein einfacheres Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 8 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Und noch ein paar typische Beispiele.

Die vollständige Lösung und das Beispieldesign finden Sie unten.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz
Wir verwenden den radikalen Cauchy-Test:

So die untersuchte Serie konvergiert.

(1) Platziere den gemeinsamen Term der Reihe unter der Wurzel.
(2) Wir schreiben dasselbe um, aber ohne die Wurzel, während wir die Klammern mit der abgekürzten Multiplikationsformel öffnen: .
(3) Im Exponenten dividieren wir den Zähler durch den Nenner Term für Term und geben an, dass .
(4) Es wird eine Unschärfe der Form erhalten. Hier können Sie den Zähler durch den Nenner durch „en“ bis zum höchsten Grad rechts in der Klammer teilen. Wir sind im Studium auf etwas ähnliches gestoßen zweite bemerkenswerte Grenze. Aber hier ist die Situation anders. Wenn die Koeffizienten bei höheren Potenzen waren das gleiche, zum Beispiel: , dann wäre der Trick mit der Term-by-Term-Division nicht bestanden, und die zweite wunderbare Grenze müsste verwendet werden. Aber wir haben diese Koeffizienten verschieden(5 und 6), daher ist es möglich (und notwendig), Term für Term zu dividieren (übrigens im Gegenteil - die zweite wunderbare Grenze für anders Koeffizienten bei höheren Potenzen funktioniert nicht mehr).
(5) Wir führen tatsächlich eine Term-für-Term-Division durch und geben an, welche Terme in unserem Fall gegen Null gehen.
(6) Unsicherheit wird eliminiert, die einfachste Grenze bleibt: Why in unendlich groß Grad tendiert gegen Null? Weil die Basis des Abschlusses die Ungleichung erfüllt. Wenn jemand Zweifel an der Fairness des Limits hat, dann werde ich nicht faul sein, ich werde einen Taschenrechner nehmen:
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
… usw. bis unendlich - das heißt, in der Grenze:
(7) Wir zeigen dies an und schließen daraus, dass die Reihe konvergiert.

Beispiel 10 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Ich werde diejenigen enttäuschen, die den Stoff des ersten Kurses schlecht gelernt haben. Um das Cauchy-Integralkriterium anwenden zu können, ist es notwendig, mehr oder weniger sicher Ableitungen und Integrale finden zu können und auch Rechnen zu können uneigentliche Integrale erste Art. In Lehrbüchern zur mathematischen Analysis wird das Cauchy-Integralkriterium mathematisch streng angegeben; formulieren wir das Kriterium sehr primitiv, aber verständlich. Und gleich Beispiele zur Verdeutlichung.

Integraler Cauchy-Test: Prüfen positive Zahlenreihe. Diese Reihe konvergiert oder divergiert

Beispiel 11 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Fast ein Klassiker. Natürlicher Logarithmus und etwas Bullshit.

Die Hauptvoraussetzung für die Anwendung des integralen Cauchy-Tests ist die Tatsache, dass das gemeinsame Glied der Reihe eine Funktion und ihre Ableitung enthält. Aus dem Thema Derivat Sie erinnern sich wahrscheinlich an die einfachste tabellarische Sache: , und wir haben genau so einen kanonischen Fall.

Wie verwendet man das Integralzeichen? Zuerst nehmen wir das integrale Symbol und schreiben die oberen und unteren Grenzen vom „Zähler“ der Zeile neu: . Dann schreiben wir unter dem Integral die „Füllung“ der Zeile mit dem Buchstaben „er“ um:. Etwas fehlt ..., oh ja, Sie müssen auch ein Differentialsymbol in den Zähler stecken: .

Jetzt müssen wir das uneigentliche Integral berechnen. In diesem Fall sind zwei Fälle möglich:

1) Wenn sich herausstellt, dass das Integral konvergiert, dann konvergiert auch unsere Reihe.

2) Wenn sich herausstellt, dass das Integral divergiert, dann wird auch unsere Reihe divergieren.

Ich wiederhole, wenn das Material läuft, wird das Lesen des Absatzes schwierig und undurchsichtig, da die Anwendung der Funktion im Wesentlichen auf das Rechnen hinausläuft uneigentliche Integrale erste Art.

Die vollständige Lösung und Gestaltung des Beispiels sollte in etwa so aussehen:

Wir verwenden das Integralmerkmal:

So die untersuchte Serie weicht ab zusammen mit dem entsprechenden uneigentlichen Integral.

Beispiel 12 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Lösungs- und Musterentwurf am Ende der Lektion

In den betrachteten Beispielen könnte der Logarithmus auch unter der Wurzel stehen, dies würde das Lösungsverfahren nicht ändern.

Und noch zwei Beispiele für einen Snack

Beispiel 13 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Nach den gemeinsamen "Parametern" scheint der gemeinsame Begriff der Reihe geeignet, das Grenzvergleichskriterium zu verwenden. Sie müssen nur die Klammern öffnen und sofort dem Kandidaten übergeben, um diese Reihe so weit wie möglich mit der konvergenten Reihe zu vergleichen. Allerdings war ich etwas schlau, die Klammern dürfen nicht geöffnet werden, aber trotzdem wird die Lösung durch das Grenzwertvergleichskriterium ziemlich protzig aussehen.

Daher verwenden wir den integralen Cauchy-Test:

Der Integrand ist kontinuierlich eingeschaltet

konvergiert zusammen mit dem entsprechenden uneigentlichen Integral.

! Notiz:erhaltene Nummer -ist nicht die Summe der Serie!

Beispiel 14 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Lösung und Entwurfsvorlage am Ende des zu Ende gehenden Abschnitts.

Zwecks endgültiger und unwiderruflicher Aufnahme des Themas Zahlenreihen besuchen Sie die Themen.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 3:Wir verwenden den d'Alembert-Test:

So die untersuchte Serie weicht ab.
Hinweis: Sie können auch die Lösungsmethode "Turbo" verwenden: Kreisen Sie das Verhältnis sofort mit einem Bleistift ein, zeigen Sie an, dass es zur Eins tendiert, und notieren Sie: "von derselben Wachstumsordnung".

Beispiel 5: Verwendung des d'Alembert-Tests: So die zu untersuchende Reihe konvergiert.

Beispiel 8:

So die untersuchte Serie konvergiert.

Beispiel 10:
Wir verwenden den Radikal-Cauchy-Test.

So die untersuchte Serie weicht ab.
Hinweis: Hier ist die Basis des Abschlusses, also

Beispiel 12: Wir verwenden das Integralzeichen.

Es wird eine endliche Zahl erhalten, was bedeutet, dass die untersuchte Reihe konvergiert

Beispiel 14: Wir verwenden das Integralzeichen
Der Integrand ist stetig auf .

So die untersuchte Serie weicht ab zusammen mit dem entsprechenden uneigentlichen Integral.
Hinweis: Eine Serie kann auch mit erkundet werdenVergleichskriterium einschränken . Dazu müssen Sie die Klammern unter der Wurzel öffnen und die untersuchte Reihe mit der abweichenden Reihe vergleichen.

Abwechselnde Reihen. Leibniz-Zeichen. Lösungsbeispiele

Um die Beispiele dieser Lektion zu verstehen, muss man sich gut mit positiven Zahlenreihen auskennen: verstehen, was eine Reihe ist, das notwendige Konvergenzzeichen der Reihe kennen, Vergleichszeichen anwenden können, d' Alemberts Zeichen, Cauchys Zeichen. Das Thema kann fast von Grund auf neu aufgeworfen werden, indem die Artikel der Reihe nach studiert werden Reihen für Teekannen und Zeichen von d'Alembert. Zeichen von Cauchy. Logischerweise ist diese Lektion die dritte in Folge, und sie wird es nicht nur ermöglichen, die abwechselnden Zeilen zu verstehen, sondern auch den bereits behandelten Stoff zu festigen! Es wird wenig Neues geben, und es wird nicht schwierig sein, abwechselnde Reihen zu meistern. Alles ist einfach und erschwinglich.

Was ist eine Wechselserie? Das wird schon am Namen deutlich oder fast deutlich. Gleich das einfachste Beispiel Betrachten Sie die Reihe und schreiben Sie sie detaillierter:

Nun zum Killerkommentar. Die Mitglieder einer alternierenden Reihe wechseln die Vorzeichen: Plus, Minus, Plus, Minus, Plus, Minus usw. zur Unendlichkeit.
Die Verschachtelung liefert einen Multiplikator: Bei geraden Zahlen ergibt sich ein Pluszeichen, bei ungeraden ein Minuszeichen. Im Fachjargon wird diese Vorrichtung Flasher genannt. Somit wird die alternierende Reihe durch minus eins hoch "en" "identifiziert".

In praktischen Beispielen kann der Wechsel der Glieder der Reihe nicht nur den Faktor liefern, sondern auch seine Brüder: , , , …. Zum Beispiel:

Die Falle sind "Tricks": usw. sind solche Multiplikatoren keinen Vorzeichenwechsel vorsehen. Es ist ziemlich klar, dass für jedes natürliche : , , . Trickreihen werden nicht nur besonders begabten Schülern zugesteckt, sie tauchen gelegentlich „von selbst“ im Lösungsverlauf auf funktionale Reihen.

Wie untersucht man eine alternierende Reihe auf Konvergenz? Verwenden Sie das Leibniz-Zeichen. Über den deutschen Denkriesen Gottfried Wilhelm Leibniz möchte ich nicht sprechen, denn er hat neben mathematischen Arbeiten mehrere Bände zur Philosophie verfasst. Gefährlich für das Gehirn.

Leibniz-Zeichen: Wenn die Mitglieder der abwechselnden Reihe monoton modulo abnehmen, dann konvergiert die Reihe. Oder in zwei Absätzen:

2) Die Terme der Reihe nehmen modulo ab: . Außerdem fallen sie monoton ab.

Wenn erfüllt beide Bedingungen, dann konvergiert die Reihe.

Kurzinformationen zum Modul finden Sie im HandbuchHot-School-Mathematik-Formeln , aber nochmal der Einfachheit halber:

Was bedeutet "modulo"? Das Modul, wie wir es aus der Schule kennen, „frisst“ das Minuszeichen. Kommen wir zurück zur Serie. Löschen Sie im Geiste alle Zeichen mit einem Radiergummi und schau dir die Zahlen an. Wir werden sehen jeder nächste Reihenmitglied kleiner als die vorherige. Daher bedeuten die folgenden Sätze dasselbe:

– Mitglieder einer Serie ohne Vorzeichen Abnahme.
– Die Anzahl der Mitglieder der Serie nimmt ab modulo.
– Die Anzahl der Mitglieder der Serie nimmt ab im absoluten Wert.
– Modul der gemeinsame Term der Reihe geht gegen Null: Ende der Hilfe

Lassen Sie uns jetzt ein wenig über Monotonie sprechen. Monotonie ist langweilige Beständigkeit.

Zeilenmitglieder streng monoton Modulo verringern, wenn JEDES NÄCHSTE Mitglied der Reihe modulo WENIGER als zuvor: . Für die Reihe wird eine strenge Monotonie des Abnehmens durchgeführt, es kann im Detail geschrieben werden:

Und wir können kurz sagen: jedes nächste Mitglied der Reihe modulo weniger als die vorherige: .

Zeilenmitglieder nicht streng monoton Abnahme des Moduls, wenn JEDES NÄCHSTE Glied der Reihe Modulo NICHT GRÖSSER IST als das vorherige: . Betrachten wir eine Reihe mit einer Fakultät: Hier liegt nicht-strikte Monotonie vor, da die ersten beiden Glieder der Reihe den gleichen Betrag haben. Das heißt, jedes nächste Mitglied der Reihe modulo nicht mehr als die vorherige: .

Unter den Bedingungen des Satzes von Leibniz muss die Monotonie der Abnahme erfüllt sein (egal ob streng oder nicht streng). In diesem Fall können die Mitglieder der Reihe für einige Zeit sogar modulo erhöhen, aber der "Schwanz" der Reihe muss notwendigerweise monoton fallend sein. Keine Angst vor dem, was ich aufgehäuft habe, praktische Beispiele bringen alles an seinen Platz:

Beispiel 1 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Der gemeinsame Begriff der Reihe enthält den Faktor , was bedeutet, dass Sie den Leibniz-Test verwenden müssen

1) Überprüfung der Reihe auf Alternierung. Üblicherweise wird an dieser Stelle der Entscheidung die Serie detailliert beschrieben und das Urteil "Die Serie ist im Vorzeichen wechselnd" gefällt.

2) Nehmen die Terme der Reihe modulo ab? Es ist notwendig, das Limit zu lösen, was meistens sehr einfach ist.

– Die Terme der Reihe verringern sich nicht modulo. Über die Monotonie der Abnahme muss übrigens nicht nachgedacht werden. Fazit: Die Serie divergiert.

Wie finde ich heraus, was gleich ist? Sehr einfach. Wie Sie wissen, zerstört das Modul die Minuspunkte. Um dies wieder gut zu machen, müssen Sie nur das Blinklicht vom Dach entfernen. In diesem Fall ist der gemeinsame Begriff der Reihe . Dummerweise den "Blinker" entfernen:.

Beispiel 2 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Wir verwenden das Leibniz-Zeichen:

1) Die Reihe ist vorzeichenwechselnd.

2) - Die Terme der Reihe nehmen im absoluten Wert ab. Jeder nächste Term der Reihe hat einen kleineren Modul als der vorherige: Daher ist die Abnahme monoton.

Fazit: Die Reihe konvergiert.

Alles wäre ganz einfach - aber das ist noch nicht das Ende der Lösung!

Konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Test, so heißt die Reihe auch konvergiert bedingt.

Konvergiert auch die aus Moduln zusammengesetzte Reihe: , so sagen wir, dass die Reihe konvergiert absolut.

Daher steht die zweite Stufe zur Lösung einer typischen Aufgabe auf der Tagesordnung - die Untersuchung einer alternierenden Reihe auf absolute Konvergenz.

Ich bin nicht schuldig - so eine Zahlenreihentheorie =)

Wir untersuchen unsere Reihen auf absolute Konvergenz.
Lassen Sie uns eine Reihe von Modulen zusammensetzen - wieder entfernen wir einfach den Faktor, der für den Wechsel der Vorzeichen sorgt: - divergiert (harmonische Reihe).

So unsere Serie ist nicht absolut konvergent.
Studienreihe konvergiert nur bedingt.

Beachten Sie, dass es in Beispiel Nr. 1 nicht erforderlich ist, eine Untersuchung der nicht absoluten Konvergenz durchzuführen, da im ersten Schritt festgestellt wurde, dass die Reihe divergiert.

Wir sammeln Eimer, Schaufeln, Autos und verlassen den Sandkasten, um aus der Kabine meines Baggers mit großen Augen auf die Welt zu blicken:

Beispiel 3 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz Wir verwenden den Leibniz-Test:

1)
Diese Reihe ist vorzeichenwechselnd.

2) - Die Terme der Reihe nehmen im absoluten Wert ab. Jeder nächste Term der Reihe hat einen kleineren Modul als der vorherige: , was bedeutet, dass die Abnahme monoton ist. Fazit: Die Reihe konvergiert.

Wenn wir die Füllung der Reihe analysieren, kommen wir zu dem Schluss, dass hier das Grenzzeichen des Vergleichs verwendet werden muss. Bequemer ist es, die Klammern im Nenner zu öffnen:

Vergleichen Sie diese Reihe mit der konvergenten Reihe. Wir verwenden den Grenztest des Vergleichs.

Man erhält eine endliche Zahl ungleich Null, was bedeutet, dass die Reihe zusammen mit der Reihe konvergiert. Studienreihe konvergiert absolut.

Beispiel 4 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Beispiel 5 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Dies sind Beispiele zur Selbsthilfe. Eine vollständige Lösung und ein Beispieldesign am Ende des Abschnitts.

Wie Sie sehen können, sind abwechselnde Reihen einfach und langweilig! Aber beeilen Sie sich nicht, die Seite zu schließen, in nur wenigen Bildschirmen werden wir einen Fall betrachten, der viele verblüfft. In der Zwischenzeit ein paar Beispiele für Training und Wiederholung.

Beispiel 6 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Wir verwenden den Leibniz-Test.
1) Die Reihe ist vorzeichenwechselnd.
2)
Die Terme der Reihe nehmen modulo ab. Jeder nächste Term der Reihe hat einen kleineren Modul als der vorherige, was bedeutet, dass die Abnahme monoton ist. Fazit: Die Reihe konvergiert.

Bitte beachten Sie, dass ich die Mitglieder der Serie nicht im Detail beschrieben habe. Es ist immer wünschenswert, sie zu malen, aber aus unüberwindbarer Faulheit in "schweren" Fällen kann man sich auf den Satz "Die Reihe wechselt das Vorzeichen" beschränken. Übrigens brauchen Sie diesen Punkt nicht formell zu nehmen, immer prüfen(zumindest gedanklich), dass sich die Serie wirklich abwechselt. Ein flüchtiger Blick schlägt fehl, und „an der Maschine“ wird ein Fehler gemacht. Denken Sie an die "Tricks" , , , falls vorhanden, dann müssen Sie sie loswerden, indem Sie eine "normale" Serie mit positiven Mitgliedern erhalten.

Die zweite Feinheit betrifft den Satz über Monotonie, den ich ebenfalls so weit wie möglich reduziert habe. Sie können dies tun, und fast immer wird Ihre Aufgabe angerechnet. Ich werde eine sehr schlechte Sache sagen - ich persönlich schweige oft über Monotonie, und eine solche Zahl vergeht. Aber seien Sie bereit, alles im Detail zu malen, bis hin zu detaillierten Ketten von Ungleichungen (siehe Beispiel am Anfang der Lektion). Außerdem ist Monotonie manchmal nicht streng, und dies muss auch überwacht werden, um das Wort „weniger“ durch das Wort „nicht mehr“ zu ersetzen.

Wir untersuchen die Reihe auf absolute Konvergenz:

Offensichtlich müssen Sie den radikalen Cauchy-Test verwenden:

Somit konvergiert die Reihe. Studienreihe konvergiert absolut.

Beispiel 7 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Dies stellt ein Beispiel für eine unabhängige Lösung dar. Oftmals gibt es Wechselserien, die Schwierigkeiten bereiten.

Beispiel 8 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Wir verwenden das Leibniz-Zeichen:
1) Die Reihe ist vorzeichenwechselnd.

Fakt ist, dass es keine alltagstauglichen Tricks gibt, um solche Limits zu lösen. Wo geht diese Grenze hin? Auf null, auf unendlich? Wichtig ist hier, dass WAS ins Unendliche schneller wächst- Zähler oder Nenner.

HINWEIS: Das Konzept der Wachstumsreihenfolge einer Funktion wird im Artikel ausführlich behandeltLösungsmethoden einschränken . Wir haben Sequenzgrenzen, aber das ändert nichts an der Sache.

Wenn der Zähler bei schneller wächst als die Fakultät, dann . Wenn die Fakultät im Unendlichen schneller wächst als der Zähler, dann „zieht“ sie im Gegenteil die Grenze auf Null: . Oder ist diese Grenze vielleicht gleich einer Zahl ungleich Null?

Versuchen wir, die ersten paar Begriffe der Reihe aufzuschreiben:
Sie können ein Polynom tausendsten Grades ersetzen, dies wird wiederum nichts an der Situation ändern - früher oder später wird die Fakultät ein so schreckliches Polynom immer noch „überholen“. Fakultät höhere Wachstumsordnung als jede Potenzfolge.

– Die Fakultät wächst schneller als Produkt in beliebiger Menge Exponential- und Potenzfolgen (unser Fall).

– Irgendein Exponentialfolge wächst schneller als jede Potenzfolge, zum Beispiel: , . exponentielle Folge höhere Wachstumsordnung als jede Potenzfolge. Ähnlich wie die Fakultät "zieht" die Exponentialfolge das Produkt einer beliebigen Anzahl beliebiger Potenzfolgen oder Polynome: .

– Gibt es etwas „cooleres“ als die Fakultät? Es gibt! Die Exponentialfolge ("en" hoch "en") wächst schneller als die Fakultät. In der Praxis ist es selten, aber die Informationen werden nicht überflüssig sein. Ende der Hilfe

Somit lässt sich der zweite Punkt der Studie (erinnern Sie sich noch daran? =)) wie folgt schreiben:
2) , wegen einer höheren Wachstumsordnung als .
Die Terme der Reihe nehmen modulo ab, ab irgendeiner Zahl, gleichzeitig ist jeder nächste Term der Reihe im absoluten Wert kleiner als der vorherige, daher ist die Abnahme monoton.

Fazit: Die Reihe konvergiert.

Hier ist nur der merkwürdige Fall, wenn die Terme der Reihe zum ersten Mal im absoluten Wert zunehmen, weshalb wir eine falsche anfängliche Meinung über die Grenze haben. Aber, beginnend mit einer Zahl "en", wird die Fakultät vom Zähler überholt, und der „Schwanz“ der Reihe wird monoton fallend, was für die Erfüllung der Bedingungen des Leibniz-Theorems grundlegend wichtig ist. Es ist ziemlich schwierig herauszufinden, was genau dieses „en“ bedeutet.

Nach dem entsprechenden Satz impliziert die absolute Konvergenz der Reihe die bedingte Konvergenz der Reihe. Fazit: Studienreihe konvergiert absolut.

Und zum Schluss noch ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung. Eine der gleichen Oper (lesen Sie die Hilfe erneut), aber einfacher. Eine andere für Feinschmecker ist es, das integrale Zeichen der Konvergenz zu fixieren.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Beispiel 10 Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Nach einer qualitativen Untersuchung von numerischen positiven und alternierenden Reihen können Sie guten Gewissens zu gehen funktionale Reihen, die nicht weniger eintönig und gleichförmig sind, sind interessant.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 4: Wir verwenden das Leibniz-Zeichen:

1) Diese Serie ist alternierend.
2)
Die Terme der Reihe verringern sich nicht modulo. Fazit: Die Serie divergiert.. , gleichzeitig ist jeder nächste Term der Reihe im absoluten Wert kleiner als der vorherige, daher ist die Abnahme monoton.

Somit divergiert die Reihe zusammen mit dem entsprechenden uneigentlichen Integral. Studienreihe konvergiert nur bedingt.

Dieser Artikel hat die Informationen gesammelt und strukturiert, die notwendig sind, um fast jedes Beispiel zum Thema Zahlenreihen zu lösen, von der Ermittlung der Summe einer Reihe bis zur Untersuchung ihrer Konvergenz.

Artikelrezension.

Beginnen wir mit den Definitionen einer Reihe mit positivem Vorzeichen und alternierendem Vorzeichen und dem Konzept der Konvergenz. Betrachten Sie als Nächstes Standardreihen, wie z. B. eine harmonische Reihe, eine verallgemeinerte harmonische Reihe, und erinnern Sie sich an die Formel zum Ermitteln der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge. Danach wenden wir uns den Eigenschaften konvergenter Reihen zu, verweilen bei der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe und geben hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Reihe an. Wir werden die Theorie verwässern, indem wir typische Beispiele mit detaillierten Erklärungen lösen.

Seitennavigation.

Grundlegende Definitionen und Konzepte.

Lassen Sie uns eine Zahlenfolge haben, wo .

Hier ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge: .

Zahlenreihe ist die Summe der Glieder einer numerischen Folge der Form .

Als Beispiel für eine Zahlenreihe können wir die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge mit dem Nenner q = -0,5 angeben: .

werden genannt gemeinsames Mitglied der Zahlenreihe oder das k-te Mitglied der Reihe.

Für das vorherige Beispiel ist der gemeinsame Begriff der Zahlenreihe .

Teilsumme einer Zahlenreihe ist eine Summe der Form , wobei n eine natürliche Zahl ist. auch n-te Teilsumme der Zahlenreihe genannt.

Zum Beispiel die vierte Teilsumme der Reihe Es gibt .

Teilsummen eine unendliche Folge von Teilsummen einer Zahlenreihe bilden.

Für unsere Reihe ergibt sich die n-te Partialsumme aus der Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge , das heißt, wir haben die folgende Folge von Partialsummen: .

Der Zahlenstrahl wird aufgerufen konvergierend, falls es einen endlichen Grenzwert der Folge von Partialsummen gibt . Wenn der Grenzwert der Folge von Partialsummen einer Zahlenreihe nicht existiert oder unendlich ist, dann heißt die Reihe abweichend.

Die Summe einer konvergenten Zahlenreihe heißt Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen, d. h. .

In unserem Beispiel also die Serie konvergiert, und ihre Summe ist gleich sechzehn Drittel: .

Ein Beispiel für eine divergierende Reihe ist die Summe einer geometrischen Folge mit einem Nenner größer als eins: . Die n-te Teilsumme ist gegeben durch , und der Grenzwert der Partialsummen ist unendlich: .

Ein weiteres Beispiel für eine divergierende Zahlenreihe ist die Summe der Form . In diesem Fall kann die n-te Teilsumme berechnet werden als . Die Grenze der Teilsummen ist unendlich .

Summenansicht namens harmonische Zahlenreihe.

Summenansicht , wobei s eine reelle Zahl ist, aufgerufen verallgemeinerte harmonische Zahlenreihe.

Die obigen Definitionen reichen aus, um die folgenden sehr häufig verwendeten Aussagen zu untermauern, wir empfehlen Ihnen, sich diese zu merken.

DIE HARMONISCHE REIHE IST Divergent.

Beweisen wir die Divergenz der harmonischen Reihe.

Nehmen wir an, die Reihe konvergiert. Dann gibt es einen endlichen Grenzwert seiner Teilsummen. In diesem Fall können wir und schreiben, was uns zur Gleichheit führt .

Andererseits,

Die folgenden Ungleichungen stehen außer Zweifel. Auf diese Weise, . Die resultierende Ungleichheit sagt uns, dass die Gleichheit nicht erreicht werden, was unserer Annahme über die Konvergenz der harmonischen Reihe widerspricht.

Fazit: Die harmonische Reihe divergiert.

DIE SUMMATION EINES GEOMETRISCHEN FORTSCHRITTS VOM TYP MIT EINEM NENNER q IST EINE KONVERGENTE ZAHLENREIHE IF UND EINE DIVERGENTE REIHE AT .

Beweisen wir es.

Wir wissen, dass die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge durch die Formel gefunden wird .

Wenn fair

was die Konvergenz der Zahlenreihe anzeigt.

Für q = 1 haben wir eine Zahlenreihe . Seine Partialsummen werden als gefunden, und die Grenze der Partialsummen ist unendlich , was in diesem Fall die Divergenz der Reihe anzeigt.

Wenn q \u003d -1, dann nimmt die Zahlenreihe die Form an . Teilsummen nehmen einen Wert für ungerade n und für gerade n an. Daraus können wir schließen, dass der Grenzwert der Partialsummen nicht existiert und die Reihe divergiert.

Wenn fair

was die Divergenz der Zahlenreihe anzeigt.

GENERALISIERTE HARMONISCHE REIHE KONVERGIERT FÜR s > 1 UND DIVERS FÜR .

Nachweisen.

Für s = 1 erhalten wir die harmonische Reihe , und oben haben wir ihre Divergenz festgestellt.

Beim s gilt die Ungleichung für alle natürlichen k . Aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe kann argumentiert werden, dass die Folge ihrer Partialsummen unbegrenzt ist (da es keine endliche Grenze gibt). Dann ist die Folge der Partialsummen der Zahlenreihe umso unbegrenzter (jedes Glied dieser Reihe ist größer als das entsprechende Glied der harmonischen Reihe), daher divergiert die verallgemeinerte harmonische Reihe bei s.

Es bleibt die Konvergenz der Reihe für s > 1 zu beweisen.

Schreiben wir den Unterschied:

Na klar, dann

Schreiben wir die resultierende Ungleichung für n = 2, 4, 8, 16, …

Unter Verwendung dieser Ergebnisse können die folgenden Aktionen mit der ursprünglichen Zahlenreihe durchgeführt werden:

Ausdruck ist die Summe einer geometrischen Folge, deren Nenner ist. Da wir den Fall für s > 1 betrachten, gilt . So
. Die Folge der Partialsummen der verallgemeinerten harmonischen Reihe für s > 1 ist also wachsend und gleichzeitig nach oben begrenzt durch den Wert , hat also einen Grenzwert, der die Konvergenz der Reihe anzeigt. Der Beweis ist vollständig.

Der Zahlenstrahl wird aufgerufen Vorzeichen positiv wenn alle seine Terme positiv sind, das heißt, .

Der Zahlenstrahl wird aufgerufen abwechselnd wenn die Vorzeichen seiner Nachbarglieder unterschiedlich sind. Eine alternierende Zahlenreihe kann geschrieben werden als oder , wo .

Der Zahlenstrahl wird aufgerufen abwechselnd wenn es unendlich viele positive und negative Terme enthält.

Eine alternierende Zahlenreihe ist ein Sonderfall einer alternierenden Zahlenreihe.

Reihen

sind vorzeichenpositiv, vorzeichenwechselnd bzw. vorzeichenwechselnd.

Für eine alternierende Reihe gibt es das Konzept der absoluten und bedingten Konvergenz.

absolut konvergent, wenn eine Reihe von Absolutwerten ihrer Mitglieder konvergiert, dh eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen konvergiert.

Zum Beispiel Zahlenreihen und absolut konvergieren, da die Reihe konvergiert , die die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist.

Die alternierende Reihe heißt bedingt konvergent wenn die Reihe divergiert und die Reihe konvergiert.

Ein Beispiel für eine bedingt konvergente Zahlenreihe ist die Reihe . Zahlenreihe , zusammengesetzt aus den absoluten Werten der Mitglieder der ursprünglichen Reihe, abweichend, da harmonisch. Gleichzeitig ist die ursprüngliche Reihe konvergent, was leicht mit festzustellen ist. Also die vorzeichenwechselnde Zahlenreihe bedingt konvergent.

Eigenschaften konvergenter Zahlenreihen.

Beispiel.

Beweisen Sie die Konvergenz der Zahlenreihe.

Entscheidung.

Lassen Sie uns die Serie in einer anderen Form schreiben . Die Zahlenreihe konvergiert, da die verallgemeinerte harmonische Reihe für s > 1 konvergiert und aufgrund der zweiten Eigenschaft der konvergenten Zahlenreihe auch die Reihe mit dem Zahlenkoeffizienten konvergiert.

Beispiel.

Konvergiert die Zahlenreihe?

Entscheidung.

Lassen Sie uns die ursprüngliche Serie umwandeln: . Somit haben wir die Summe zweier numerischer Reihen und erhalten, und jede von ihnen konvergiert (siehe vorheriges Beispiel). Daher konvergiert aufgrund der dritten Eigenschaft konvergenter Zahlenreihen auch die ursprüngliche Reihe.

Beispiel.

Beweisen Sie die Konvergenz der Zahlenreihe und berechne seine Summe.

Entscheidung.

Diese Zahlenreihe kann als Differenz zweier Reihen dargestellt werden:

Jede dieser Reihen ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, also konvergent. Die dritte Eigenschaft konvergenter Reihen erlaubt uns zu behaupten, dass die ursprüngliche numerische Reihe konvergiert. Lassen Sie uns seine Summe berechnen.

Der erste Term der Reihe ist eins, und der Nenner der entsprechenden geometrischen Folge ist 0,5, daher ist .

Der erste Term der Reihe ist 3, und der Nenner der entsprechenden unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist 1/3, also .

Lassen Sie uns die erhaltenen Ergebnisse verwenden, um die Summe der ursprünglichen Zahlenreihe zu finden:

Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

Wenn die Zahlenreihe konvergiert, dann ist der Grenzwert ihres k-ten Terms gleich Null: .

Bei der Untersuchung einer numerischen Reihe auf Konvergenz muss zunächst die Erfüllung der notwendigen Konvergenzbedingung überprüft werden. Die Nichteinhaltung dieser Bedingung zeigt die Divergenz der Zahlenreihe an, dh wenn , dann divergiert die Reihe.

Andererseits muss klar sein, dass diese Bedingung nicht ausreichend ist. Das heißt, die Erfüllung der Gleichheit zeigt nicht die Konvergenz der Zahlenreihe an. Beispielsweise ist für eine harmonische Reihe die notwendige Konvergenzbedingung erfüllt, und die Reihe divergiert.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz.

Entscheidung.

Prüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe:

Grenze Das n-te Glied der Zahlenreihe ist ungleich Null, daher divergiert die Reihe.

Hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer positiven Vorzeichenreihe.

Wenn Sie genügend Funktionen verwenden, um numerische Reihen auf Konvergenz zu untersuchen, müssen Sie sich ständig mit beschäftigen, daher empfehlen wir Ihnen, bei Schwierigkeiten auf diesen Abschnitt zurückzugreifen.

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen.

Für die Konvergenz einer vorzeichenpositiven Zahlenreihe es ist notwendig und ausreichend, dass die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist.

Beginnen wir mit den Serienvergleichsfunktionen. Ihr Wesen besteht darin, die untersuchte Zahlenreihe mit einer Reihe zu vergleichen, deren Konvergenz oder Divergenz bekannt ist.

Erstes, zweites und drittes Vergleichszeichen.

Das erste Zeichen für den Vergleich von Zeilen.

Seien und zwei Zahlenreihen mit positivem Vorzeichen und die Ungleichung gilt für alle k = 1, 2, 3, ... Dann impliziert die Konvergenz der Reihe die Konvergenz , und die Divergenz der Reihe impliziert die Divergenz .

Das erste Vergleichskriterium wird sehr oft verwendet und ist ein sehr mächtiges Werkzeug, um numerische Reihen auf Konvergenz zu untersuchen. Das Hauptproblem ist die Auswahl einer geeigneten Vergleichsreihe. Die Vergleichsreihe wird normalerweise (aber nicht immer) so gewählt, dass der Exponent ihres k-ten Glieds gleich der Differenz zwischen den Exponenten des Zählers und des Nenners des k-ten Glieds der untersuchten Zahlenreihe ist. Angenommen, die Differenz zwischen den Exponenten des Zählers und des Nenners beträgt 2 - 3 = -1, daher wählen wir zum Vergleich eine Reihe mit dem k-ten Mitglied, dh eine harmonische Reihe. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Legen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe fest.

Entscheidung.

Da der Grenzwert des gemeinsamen Gliedes der Reihe gleich Null ist, ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe erfüllt.

Es ist leicht zu sehen, dass die Ungleichung für alle natürlichen k gilt. Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert, daher ist nach dem ersten Vergleichszeichen auch die ursprüngliche Reihe divergent.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz.

Entscheidung.

Die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe ist erfüllt, da . Es ist offensichtlich, dass die Ungleichheit für jeden natürlichen Wert von k. Die Reihe konvergiert, weil die verallgemeinerte harmonische Reihe für s > 1 konvergiert. Somit erlaubt uns das erste Zeichen des Reihenvergleichs, die Konvergenz der ursprünglichen Zahlenreihe anzugeben.

Beispiel.

Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Zahlenreihe.

Entscheidung.

, also ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe erfüllt. Welche Zeile zum Vergleich wählen? Eine Zahlenreihe bietet sich an, und um s zu bestimmen, untersuchen wir die Zahlenfolge sorgfältig. Die Glieder der Zahlenfolge wachsen gegen unendlich. Beginnend bei einer Zahl N (nämlich ab N = 1619 ) sind die Terme dieser Folge größer als 2 . Ab dieser Zahl N gilt die Ungleichung. Die Zahlenreihe konvergiert aufgrund der ersten Eigenschaft der konvergenten Reihe, da sie aus einer konvergenten Reihe durch Verwerfen der ersten N - 1 Terme erhalten wird. Somit ist die Reihe gemäß dem ersten Vergleichszeichen konvergent, und aufgrund der ersten Eigenschaft konvergenter numerischer Reihen wird die Reihe auch konvergieren.

Das zweite Vergleichszeichen.

Seien und vorzeichenpositive Zahlenreihen. Wenn , dann impliziert die Konvergenz der Reihe die Konvergenz von . Wenn , dann impliziert die Divergenz der Zahlenreihe die Divergenz von .

Folge.

Wenn und , dann impliziert die Konvergenz einer Reihe die Konvergenz der anderen, und die Divergenz impliziert die Divergenz.

Mit dem zweiten Vergleichskriterium untersuchen wir die Reihe auf Konvergenz. Nehmen wir eine konvergente Reihe als Reihe. Lassen Sie uns die Grenze des Verhältnisses der k-ten Mitglieder der Zahlenreihe finden:

Somit impliziert nach dem zweiten Vergleichskriterium die Konvergenz der Zahlenreihe die Konvergenz der ursprünglichen Reihe.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe.

Entscheidung.

Prüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe . Die Bedingung ist erfüllt. Um das zweite Vergleichszeichen anzuwenden, nehmen wir eine harmonische Reihe. Lassen Sie uns die Grenze des Verhältnisses der k-ten Terme finden:

Folglich folgt die Divergenz der ursprünglichen Reihe aus der Divergenz der harmonischen Reihe nach dem zweiten Vergleichskriterium.

Zur Information stellen wir das dritte Kriterium für den Reihenvergleich vor.

Das dritte Vergleichszeichen.

Seien und vorzeichenpositive Zahlenreihen. Ist die Bedingung ab einer bestimmten Zahl N erfüllt, so impliziert die Konvergenz der Reihe die Konvergenz und die Divergenz der Reihe die Divergenz.

Zeichen von d'Alembert.

Kommentar.

Das Zeichen von d'Alembert gilt, wenn der Grenzwert unendlich ist, dh wenn , dann konvergiert die Reihe wenn , dann divergiert die Reihe.

Wenn , dann liefert der d'Alembert-Test keine Informationen über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe, und zusätzliche Forschung ist erforderlich.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz anhand von d'Alembert.

Entscheidung.

Überprüfen wir die Erfüllung der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe, wir berechnen den Grenzwert durch:

Die Bedingung ist erfüllt.

Verwenden wir das Zeichen von d'Alembert:

Somit konvergiert die Reihe.

Cauchys radikales Zeichen.

Sei eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen. Wenn , dann konvergiert die Reihe, wenn , dann divergiert die Reihe.

Kommentar.

Der Radikaltest von Cauchy ist gültig, wenn der Grenzwert unendlich ist, dh wenn , dann konvergiert die Reihe wenn , dann divergiert die Reihe.

Wenn , dann gibt der radikale Cauchy-Test keine Auskunft über die Konvergenz oder Divergenz der Reihen und es sind weitere Untersuchungen erforderlich.

Es ist normalerweise leicht genug, die Fälle zu sehen, in denen es am besten ist, den radikalen Cauchy-Test zu verwenden. Ein typischer Fall liegt vor, wenn der gemeinsame Term der numerischen Reihe ein exponentieller Potenzausdruck ist. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Untersuchen Sie eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen auf Konvergenz mit dem Radikal-Cauchy-Test.

Entscheidung.

. Durch den radikalen Cauchy-Test erhalten wir .

Daher konvergiert die Reihe.

Beispiel.

Konvergiert die Zahlenreihe? .

Entscheidung.

Wenden wir den radikalen Cauchy-Test an , also konvergiert die Zahlenreihe.

Integraler Cauchy-Test.

Sei eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen. Lassen Sie uns eine Funktion mit kontinuierlichem Argument y = f(x) zusammensetzen, ähnlich der Funktion . Die Funktion y = f(x) sei positiv, stetig und fallend auf dem Intervall , wobei ). Dann im Falle einer Konvergenz uneigentliche Integrale konvergiert die untersuchten Zahlenreihen. Wenn das uneigentliche Integral divergiert, dann divergiert auch die ursprüngliche Reihe.

Wenn Sie den Zerfall einer Funktion y = f(x) über ein Intervall überprüfen, finden Sie möglicherweise die Theorie im Abschnitt nützlich.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Zahlenreihe mit positiven Termen auf Konvergenz.

Entscheidung.

Die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe ist erfüllt, da . Betrachten wir eine Funktion. Es ist positiv, kontinuierlich und nimmt im Intervall ab. Die Kontinuität und Positivität dieser Funktion steht außer Zweifel, aber lassen Sie uns etwas detaillierter auf die Abnahme eingehen. Finden wir die Ableitung:
. Sie ist im Intervall negativ, daher nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

Bevor Sie mit der Arbeit an diesem Thema beginnen, empfehle ich Ihnen, sich den Abschnitt mit der Terminologie für Zahlenreihen anzusehen. Es lohnt sich besonders, auf das Konzept eines gemeinsamen Begriffs einer Reihe zu achten. Wenn Sie Zweifel an der richtigen Wahl des Konvergenzzeichens haben, empfehle ich Ihnen, sich das Thema "Wahl des Konvergenzzeichens von Zahlenreihen" anzusehen.

Der D'Alembert-Test (oder d'Alembert-Test) wird verwendet, um die Konvergenz von Reihen zu untersuchen, deren gemeinsamer Term strikt größer als Null ist, dh $u_n > 0$.Solche Reihen werden genannt streng positiv. In Standardbeispielen wird das Vorzeichen von D "Alembert" in der Grenzform verwendet.

Zeichen von D "Alamber (in der einschränkenden Form)

Wenn die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ streng positiv ist und $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ dann für $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (und für $L=\infty$) divergiert die Reihe.

Die Formulierung ist recht einfach, aber folgende Frage bleibt offen: Was passiert, wenn $L=1$? Das Zeichen von D "Alembert kann diese Frage nicht beantworten. Wenn $ L \u003d 1 $ ist, kann die Reihe sowohl konvergieren als auch divergieren.

Am häufigsten wird in Standardbeispielen das Zeichen D "Alembert" verwendet, wenn der Ausdruck des gemeinsamen Begriffs der Reihe ein Polynom in $n$ (das Polynom kann auch unter der Wurzel stehen) und einen Grad der Form $a enthält ^n$ oder $n!$ Zum Beispiel $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (siehe Beispiel #1) oder $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Wofür steht der Ausdruck „n!“? Anzeigen Ausblenden

Aufnahme "n!" (gelesen "en Fakultät") bezeichnet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, also

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Per Definition wird angenommen, dass $0!=1!=1$. Lassen Sie uns zum Beispiel 5 finden!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Darüber hinaus wird der D "Alembert-Test häufig verwendet, um die Konvergenz einer Reihe zu bestimmen, deren gemeinsamer Term das Produkt der folgenden Struktur enthält: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Beispiel 1

Untersuchen Sie die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ auf Konvergenz.

Da die untere Summengrenze 1 ist, wird der gemeinsame Term der Reihe unter das Summenzeichen geschrieben: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Da wir für $n≥ 1$ $3n+7 > 0$, $5^n>0$ und $2n^3-1 > 0$ haben, dann ist $u_n > 0$. Daher ist unsere Serie streng positiv.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Da $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, dann divergiert entsprechend der gegebenen Reihe.

Um ehrlich zu sein, ist das Zeichen von D "Alembert in dieser Situation nicht die einzige Option. Sie können beispielsweise das radikale Cauchy-Zeichen verwenden. Die Verwendung des radikalen Cauchy-Zeichens erfordert jedoch die Kenntnis (oder den Nachweis) zusätzlicher Formeln . Daher ist es bequemer, in dieser Situation das Zeichen von D" Alembert zu verwenden.

Antworten: Die Reihe divergiert.

Beispiel #2

Untersuchen Sie die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Da die untere Summengrenze 1 ist, wird der gemeinsame Term der Reihe unter das Summenzeichen geschrieben: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Der gemeinsame Term der Reihe enthält ein Polynom unter der Wurzel, d.h. $\sqrt(4n+5)$ und Fakultät $(3n-2)!$. Das Vorhandensein einer Fakultät in einem Standardbeispiel ist eine fast hundertprozentige Garantie für die Anwendung des D "Alembert-Zeichens.

Um diese Funktion anzuwenden, müssen wir den Grenzwert der Relation $\frac(u_(n+1))(u_n)$ finden. Um $u_(n+1)$ zu schreiben, müssen Sie die Formel $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Da $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, kann die Formel für $u_(n+1)$ auch anders geschrieben werden :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Dieser Eintrag ist praktisch für die weitere Lösung, wenn wir den Bruch unter der Grenze reduzieren müssen. Wenn die Gleichheit mit Fakultäten einer Klärung bedarf, erweitern Sie bitte den Hinweis unten.

Wie erhalten wir $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? Anzeigen Ausblenden

Die Notation $(3n+1)!$ bedeutet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $3n+1$. Jene. Dieser Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Unmittelbar vor der Zahl $3n+1$ steht eine Zahl eins weniger, also Zahl $3n+1-1=3n$. Und unmittelbar vor der Zahl $3n$ steht die Zahl $3n-1$. Nun, kurz vor der Zahl $3n-1$ haben wir die Zahl $3n-1-1=3n-2$. Schreiben wir die Formel für $(3n+1)!$ um:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Was ist das Produkt von $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Dieses Produkt ist gleich $(3n-2)!$. Daher kann der Ausdruck für $(3n+1)!$ in dieser Form umgeschrieben werden:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Dieser Eintrag ist praktisch für die weitere Lösung, wenn wir den Bruch unter der Grenze reduzieren müssen.

Berechnen Sie den Wert von $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Da $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

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