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Trigonometrie- ein Mikroabschnitt der Mathematik, der die Beziehung zwischen den Winkeln und den Seitenlängen von Dreiecken sowie die algebraischen Identitäten trigonometrischer Funktionen untersucht.
Es gibt viele Bereiche, in denen Trigonometrie und trigonometrische Funktionen angewendet werden. Trigonometrie oder trigonometrische Funktionen werden in der Astronomie, See- und Flugnavigation, Akustik, Optik, Elektronik, Architektur und anderen Bereichen verwendet.

Die Entstehungsgeschichte der Trigonometrie

Die Geschichte der Trigonometrie als Wissenschaft der Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten eines Dreiecks und anderen geometrischen Figuren umfasst mehr als zwei Jahrtausende. Die meisten dieser Beziehungen können nicht mit gewöhnlichen algebraischen Operationen ausgedrückt werden, und daher war es notwendig, spezielle trigonometrische Funktionen einzuführen, die ursprünglich in Form von numerischen Tabellen dargestellt wurden.
Historiker glauben, dass die Trigonometrie von alten Astronomen geschaffen wurde und wenig später in der Architektur verwendet wurde. Im Laufe der Zeit hat sich der Anwendungsbereich der Trigonometrie stetig erweitert, heute umfasst sie nahezu alle Naturwissenschaften, Technik und eine Reihe weiterer Tätigkeitsbereiche.

Frühe Jahrhunderte

Aus der babylonischen Mathematik sind wir es gewohnt, Winkel in Grad, Minuten und Sekunden zu messen (die Einführung dieser Einheiten in die altgriechische Mathematik wird meist dem 2. Jahrhundert v. Chr. zugeschrieben).

Die wichtigste Errungenschaft dieser Zeit war das Verhältnis der Beine und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, das später als Satz des Pythagoras bezeichnet wurde.

Antikes Griechenland

Eine allgemeine und logisch zusammenhängende Darstellung trigonometrischer Beziehungen erschien in der antiken griechischen Geometrie. Griechische Mathematiker haben die Trigonometrie noch nicht als eigenständige Wissenschaft herausgestellt, für sie war sie Teil der Astronomie.
Die Hauptleistung der alten trigonometrischen Theorie war die Lösung in allgemeiner Form des Problems der "Lösung von Dreiecken", d.h. das Finden der unbekannten Elemente eines Dreiecks auf der Grundlage von drei seiner gegebenen Elemente (von denen mindestens eines a ist Seite).
Angewandte trigonometrische Probleme sind sehr vielfältig – beispielsweise lassen sich messbare Ergebnisse von Operationen auf die aufgeführten Größen (zB die Winkelsumme oder das Verhältnis von Seitenlängen) einstellen.
Parallel zur Entwicklung der ebenen Trigonometrie entwickelten die Griechen unter dem Einfluss der Astronomie die sphärische Trigonometrie weit. In Euklids "Prinzipien" zu diesem Thema gibt es nur einen Satz über das Verhältnis der Volumina von Kugeln mit unterschiedlichen Durchmessern, aber die Bedürfnisse der Astronomie und Kartographie führten zu einer raschen Entwicklung der sphärischen Trigonometrie und verwandter Bereiche - des Himmelskoordinatensystems Theorie kartographischer Projektionen und die Technologie astronomischer Instrumente.

Mittelalter

Im IV. Jahrhundert, nach dem Tod der antiken Wissenschaft, verlagerte sich das Zentrum der Entwicklung der Mathematik nach Indien. Sie änderten einige der Konzepte der Trigonometrie und brachten sie den modernen näher: Sie führten zum Beispiel als erste den Kosinus ein.

Die erste Fachabhandlung über Trigonometrie war das Werk des zentralasiatischen Wissenschaftlers (X-XI Jahrhundert) "Das Buch der Schlüssel der Wissenschaft der Astronomie" (995-996). Der gesamte Kurs der Trigonometrie enthielt das Hauptwerk von Al-Biruni - "Der Kanon von Mas'ud" (Buch III). Zusätzlich zu den Sinustabellen (mit einer Schrittweite von 15 ") gab Al-Biruni Tangententabellen (mit einer Schrittweite von 1 °) an.

Nachdem die arabischen Abhandlungen im XII-XIII Jahrhundert ins Lateinische übersetzt wurden, wurden viele Ideen indischer und persischer Mathematiker Eigentum der europäischen Wissenschaft. Anscheinend erfolgte die erste Bekanntschaft der Europäer mit der Trigonometrie dank der zij, von denen zwei Übersetzungen im 12. Jahrhundert angefertigt wurden.

Das erste europäische Werk, das sich ausschließlich der Trigonometrie widmet, wird oft als Four Treatises on Direct and Reversed Chords des englischen Astronomen Richard of Wallingford (um 1320) bezeichnet. Trigonometrische Tabellen, oft aus dem Arabischen übersetzt, aber manchmal original, sind in den Werken einer Reihe anderer Autoren des 14. bis 15. Jahrhunderts enthalten. Dann nahm die Trigonometrie ihren Platz unter den Universitätslehrgängen ein.

neue Zeit

Die Entwicklung der Trigonometrie in der Neuzeit ist nicht nur für die Astronomie und Astrologie, sondern auch für andere Anwendungen, vor allem Artillerie, Optik und Navigation bei Seereisen über große Entfernungen, äußerst wichtig geworden. Daher beschäftigten sich nach dem 16. Jahrhundert viele prominente Wissenschaftler mit diesem Thema, darunter Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Francois Viet. Kopernikus widmete der Trigonometrie in seiner Abhandlung Über die Umdrehungen der Himmelssphären (1543) zwei Kapitel. Bald (1551) erschienen 15-stellige trigonometrische Tafeln von Rheticus, einem Schüler von Copernicus. Kepler veröffentlichte Optische Astronomie (1604).

Vieta stellte im ersten Teil seines „Mathematischen Kanons“ (1579) verschiedene Tabellen, darunter auch trigonometrische, und im zweiten Teil gab er eine detaillierte und systematische, wenn auch ohne Beweis, Darstellung der ebenen und sphärischen Trigonometrie. 1593 bereitete Vieta eine erweiterte Ausgabe dieses Kapitalwerks vor.
Dank der Arbeit von Albrecht Dürer wurde eine Sinuskurve geboren.

18. Jahrhundert

Er gab der Trigonometrie ein modernes Aussehen. In Introduction to the Analysis of Infinites (1748) gab Euler eine Definition trigonometrischer Funktionen, die der modernen entspricht, und definierte dementsprechend Umkehrfunktionen.

Euler hielt negative Winkel und Winkel größer als 360° für zulässig, was es ermöglichte, trigonometrische Funktionen auf dem gesamten reellen Zahlenstrahl zu bestimmen und sie dann auf die komplexe Ebene zu erweitern. Als es darum ging, trigonometrische Funktionen auf stumpfe Winkel zu erweitern, wurden die Vorzeichen dieser Funktionen vor Euler oft falsch gewählt; Viele Mathematiker betrachteten zum Beispiel Kosinus und Tangens eines stumpfen Winkels als positiv. Euler bestimmte diese Vorzeichen für Winkel in verschiedenen Koordinatenquadranten anhand von Reduktionsformeln.
Euler hat die allgemeine Theorie trigonometrischer Reihen nicht studiert und die Konvergenz der erhaltenen Reihen nicht untersucht, aber er hat mehrere wichtige Ergebnisse erhalten. Insbesondere leitete er die Erweiterungen ganzzahliger Potenzen von Sinus und Cosinus ab.

Anwendung der Trigonometrie

Diejenigen, die sagen, dass Trigonometrie im wirklichen Leben nicht benötigt wird, haben auf ihre Weise recht. Nun, was sind seine üblichen angewandten Aufgaben? Messen Sie den Abstand zwischen unzugänglichen Objekten.
Von großer Bedeutung ist die Triangulationstechnik, die es ermöglicht, die Entfernungen zu nahen Sternen in der Astronomie, zwischen Landmarken in der Geographie zu messen und Satellitennavigationssysteme zu steuern. Hervorzuheben ist auch die Anwendung der Trigonometrie in Bereichen wie Navigationstechnik, Musiktheorie, Akustik, Optik, Finanzmarktanalyse, Elektronik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Biologie, Medizin (einschließlich Ultraschall und Computertomographie), Pharmazie, Chemie, Zahlentheorie (und folglich Kryptographie), Seismologie, Meteorologie, Ozeanologie, Kartographie, viele Zweige der Physik, Topographie und Geodäsie, Architektur, Phonetik, Wirtschaftswissenschaften, Elektrotechnik, Maschinenbau, Computergrafik, Kristallographie usw.
Fazit: Trigonometrie ist ein großer Helfer in unserem täglichen Leben.

Trigonometrie in Medizin und Biologie

Borhythm-Modell kann mit trigonometrischen Funktionen erstellt werden. Um ein Biorhythmusmodell zu erstellen, müssen Sie das Geburtsdatum einer Person, das Referenzdatum (Tag, Monat, Jahr) und die Dauer der Prognose (Anzahl der Tage) eingeben.

Herzformel. Als Ergebnis einer Studie, die von einem Studenten der iranischen Shiraz-Universität, Wahid-Reza Abbasi, durchgeführt wurde, waren Ärzte erstmals in der Lage, Informationen über die elektrische Aktivität des Herzens oder mit anderen Worten die Elektrokardiographie zu rationalisieren. Die Formel ist eine komplexe algebraisch-trigonometrische Gleichung, bestehend aus 8 Ausdrücken, 32 Koeffizienten und 33 Hauptparametern, darunter mehrere zusätzliche für Berechnungen bei Arrhythmie. Laut Ärzten erleichtert diese Formel den Prozess der Beschreibung der Hauptparameter der Herzaktivität erheblich, wodurch die Diagnose und der Beginn der eigentlichen Behandlung beschleunigt werden.

Trigonometrie hilft unserem Gehirn auch, die Entfernungen zu Objekten zu bestimmen.

1) Trigonometrie hilft unserem Gehirn, die Entfernungen zu Objekten zu bestimmen.

Amerikanische Wissenschaftler behaupten, dass das Gehirn die Entfernung zu Objekten schätzt, indem es den Winkel zwischen der Bodenebene und der Sichtebene misst. Genau genommen ist die Idee „Winkel zu messen“ nicht neu. Sogar die Künstler des alten China malten entfernte Objekte höher im Sichtfeld, wobei sie die Gesetze der Perspektive etwas vernachlässigten. Alhazen, ein arabischer Wissenschaftler des 11. Jahrhunderts, formulierte die Theorie der Entfernungsbestimmung durch Winkelschätzung. Nach langem Vergessen in der Mitte des letzten Jahrhunderts wurde die Idee von dem Psychologen James wiederbelebt

2)Die Bewegung der Fische im Wasser tritt nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz auf, wenn man einen Punkt auf dem Schweif fixiert und dann die Bewegungsbahn betrachtet. Beim Schwimmen nimmt der Körper des Fisches die Form einer Kurve an, die dem Graphen der Funktion y=tg(x) ähnelt
5. Schlussfolgerung

Ergebnis der Forschungsarbeit:

· Ich habe mich mit der Geschichte der Trigonometrie vertraut gemacht.

· Systematisierte Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

· Erfahren Sie mehr über die Anwendungen der Trigonometrie in Architektur, Biologie, Medizin.

MBOU Tselinnaya Sekundarschule

Bericht Trigonometrie im wirklichen Leben

Vorbereitet und durchgeführt

Mathematiklehrer

Qualifikationskategorie

Iljina V.P.

Tselinny März 2014

Inhaltsverzeichnis.

1. Einleitung .

2. Die Entstehungsgeschichte der Trigonometrie:

Frühe Jahrhunderte.

Antikes Griechenland.

Mittelalter.

Neue Zeit.

Aus der Entwicklungsgeschichte der Kugelgeometrie.

3. Trigonometrie und echtes Leben:

Anwendung der Trigonometrie in der Navigation.

Trigonometrie in der Algebra.

Trigonometrie in der Physik.

Trigonometrie in Medizin und Biologie.

Trigonometrie in der Musik.

Trigonometrie in der Informatik

Trigonometrie im Bauwesen und in der Geodäsie.

4. Fazit .

5. Referenzliste.

Einführung

In der Mathematik ist es seit langem etabliert, dass wir Studenten im systematischen Studium der Mathematik drei Mal der Trigonometrie begegnen müssen. Dementsprechend scheint ihr Inhalt aus drei Teilen zu bestehen. Während des Trainings sind diese Teile zeitlich voneinander getrennt und ähneln sich sowohl hinsichtlich der Bedeutung, die den Erläuterungen der Grundbegriffe beigemessen wird, als auch hinsichtlich der entwickelten Geräte- und Servicefunktionen (Anwendungen).

Und tatsächlich sind wir in der 8. Klasse zum ersten Mal auf trigonometrisches Material gestoßen, als wir uns mit dem Thema „Verhältnisse zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks“ beschäftigten. Also haben wir gelernt, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, haben gelernt, wie man flache Dreiecke löst.

Es verging jedoch einige Zeit und in der 9. Klasse kehrten wir wieder zur Trigonometrie zurück. Aber diese Trigonometrie ist nicht wie die zuvor untersuchte. Seine Verhältnisse werden jetzt mit Hilfe eines Kreises (eines Einheitshalbkreises) und nicht eines rechtwinkligen Dreiecks definiert. Obwohl sie immer noch als Funktionen von Winkeln definiert sind, sind diese Winkel bereits beliebig groß.

Als wir in die 10. Klasse wechselten, begegneten wir erneut der Trigonometrie und stellten fest, dass sie noch schwieriger geworden war, das Konzept des Winkelmaßes im Bogenmaß eingeführt wurde und trigonometrische Identitäten und die Formulierung von Problemen und die Interpretation ihrer Lösungen aussehen anders. Graphen trigonometrischer Funktionen werden eingeführt. Schließlich erscheinen trigonometrische Gleichungen. Und all dieses Material erschien uns bereits als Teil der Algebra und nicht als Geometrie. Und es wurde für uns sehr interessant, die Geschichte der Trigonometrie und ihre Anwendung im Alltag zu studieren, da die Verwendung historischer Informationen durch einen Mathematiklehrer bei der Präsentation des Unterrichtsmaterials nicht obligatorisch ist. Wie K. A. Malygin jedoch betont, „... beleben Exkursionen in die historische Vergangenheit den Unterricht, entspannen psychische Belastungen, wecken das Interesse am Lernstoff und tragen zu dessen nachhaltiger Aneignung bei.“ Darüber hinaus ist das Material zur Geschichte der Mathematik sehr umfangreich und interessant, da die Entwicklung der Mathematik eng mit der Lösung dringender Probleme verbunden ist, die in allen Perioden des Bestehens der Zivilisation aufgetreten sind.

Nachdem wir die historischen Gründe für die Entstehung der Trigonometrie kennengelernt und untersucht haben, wie die Früchte der Aktivitäten großer Wissenschaftler die Entwicklung dieses Bereichs der Mathematik und die Lösung spezifischer Probleme beeinflusst haben, nehmen wir unter den Schulkindern zu Interesse am Studienfach, und wir werden seine praktische Bedeutung sehen.

Ziel des Projekts - Entwicklung des Interesses am Studium des Themas "Trigonometrie" im Verlauf der Algebra und Beginn der Analyse durch das Prisma des angewandten Werts des untersuchten Materials; Erweiterung grafischer Darstellungen mit trigonometrischen Funktionen; Anwendung der Trigonometrie in Wissenschaften wie Physik, Biologie usw.

Die Verbindung der Trigonometrie mit der Außenwelt, die Bedeutung der Trigonometrie für die Lösung vieler praktischer Probleme und die grafischen Fähigkeiten trigonometrischer Funktionen ermöglichen es, das Wissen von Schulkindern zu "materialisieren". Auf diese Weise können Sie den wesentlichen Wissensbedarf beim Studium der Trigonometrie besser verstehen und das Interesse am Studium dieses Themas steigern.

Forschungsschwerpunkte:

1. Betrachten Sie die Entstehungs- und Entwicklungsgeschichte der Trigonometrie.

2. Zeigen Sie praktische Anwendungen der Trigonometrie in verschiedenen Wissenschaften mit konkreten Beispielen.

3.Erläutern Sie an konkreten Beispielen die Möglichkeiten der Verwendung trigonometrischer Funktionen, die es ermöglichen, „wenig interessante“ Funktionen in Funktionen umzuwandeln, deren Graphen ein sehr originelles Aussehen haben.

"Eines bleibt klar, dass die Welt bedrohlich und schön gestaltet ist."

N. Rubtsov

Trigonometrie - ist ein Zweig der Mathematik, der die Beziehung zwischen den Winkeln und den Seitenlängen von Dreiecken sowie die algebraischen Identitäten trigonometrischer Funktionen untersucht. Kaum vorstellbar, aber diese Wissenschaft begegnet uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in unserem täglichen Leben. Wir waren uns dessen vielleicht nicht bewusst, aber Trigonometrie findet sich in Wissenschaften wie Physik, Biologie, sie spielt eine wichtige Rolle in der Medizin, und interessanterweise könnten sogar Musik und Architektur nicht ohne sie auskommen. Probleme mit praktischen Inhalten spielen eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Fähigkeit, die im Mathematikstudium erworbenen theoretischen Kenntnisse in der Praxis anzuwenden. Jeder Mathematikstudent interessiert sich dafür, wie und wo das erworbene Wissen angewendet wird. Auf diese Frage gibt diese Arbeit eine Antwort.

Die Entstehungsgeschichte der Trigonometrie

Frühe Jahrhunderte

Aus der babylonischen Mathematik sind wir es gewohnt, Winkel in Grad, Minuten und Sekunden zu messen (die Einführung dieser Einheiten in die altgriechische Mathematik wird meist dem 2. Jahrhundert v. Chr. zugeschrieben).

Die Hauptleistung dieser Zeit war das Verhältnis von Beinen und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, das später den Namen erhielt.

Antikes Griechenland

Eine allgemeine und logisch zusammenhängende Darstellung trigonometrischer Beziehungen erschien in der antiken griechischen Geometrie. Griechische Mathematiker haben die Trigonometrie noch nicht als eigenständige Wissenschaft herausgestellt, für sie war sie Teil der Astronomie.
Die Hauptleistung der alten trigonometrischen Theorie war die Lösung in allgemeiner Form des Problems der "Lösung von Dreiecken", d.h. das Finden der unbekannten Elemente eines Dreiecks auf der Grundlage von drei seiner gegebenen Elemente (von denen mindestens eines a ist Seite).

Mittelalter

Im IV. Jahrhundert, nach dem Tod der antiken Wissenschaft, verlagerte sich das Zentrum der Entwicklung der Mathematik nach Indien. Sie änderten einige der Konzepte der Trigonometrie und brachten sie den modernen näher: Sie führten zum Beispiel als erste den Kosinus ein.
Die erste Fachabhandlung über Trigonometrie war das Werk des zentralasiatischen Wissenschaftlers (X-XI Jahrhundert) "Das Buch der Schlüssel der Wissenschaft der Astronomie" (995-996). Der gesamte Kurs der Trigonometrie enthielt das Hauptwerk von Al-Biruni - "Der Kanon von Mas'ud" (Buch III). Zusätzlich zu den Sinustabellen (mit einer Schrittweite von 15 ") gab Al-Biruni Tangententabellen (mit einer Schrittweite von 1 °) an.

Nachdem die arabischen Abhandlungen im XII-XIII Jahrhundert ins Lateinische übersetzt wurden, wurden viele Ideen indischer und persischer Mathematiker Eigentum der europäischen Wissenschaft. Anscheinend erfolgte die erste Bekanntschaft der Europäer mit der Trigonometrie dank der zij, von denen zwei Übersetzungen im 12. Jahrhundert angefertigt wurden.

Das erste europäische Werk, das sich ausschließlich der Trigonometrie widmet, wird von einem englischen Astronomen (um 1320) oft als Four Treatises on Direct and Reversed Chords bezeichnet. Trigonometrische Tabellen, oft aus dem Arabischen übersetzt, aber manchmal original, sind in den Werken einer Reihe anderer Autoren des 14. bis 15. Jahrhunderts enthalten. Dann nahm die Trigonometrie ihren Platz unter den Universitätslehrgängen ein.

neue Zeit

Das Wort „Trigonometrie“ taucht erstmals (1505) im Titel eines Buches des deutschen Theologen und Mathematikers Pitiscus auf, der Ursprung dieses Wortes ist griechisch: Dreieck, Maß. Mit anderen Worten, Trigonometrie ist die Wissenschaft vom Messen von Dreiecken. Obwohl der Name erst vor relativ kurzer Zeit entstanden ist, waren viele der heute mit der Trigonometrie verbundenen Konzepte und Fakten bereits vor zweitausend Jahren bekannt.

Das Konzept des Sinus hat eine lange Geschichte. Tatsächlich finden sich bereits im ӀӀӀ c verschiedene Verhältnisse der Segmente eines Dreiecks und eines Kreises (und im Wesentlichen trigonometrische Funktionen). BC e in den Werken der großen Mathematiker des antiken Griechenlands - Euklid, Archimedes, Apollonius von Perga. In der Römerzeit wurden diese Beziehungen bereits von Menelaos (Ӏ Jahrhundert v. Chr.) ziemlich systematisch untersucht, obwohl sie keinen besonderen Namen erhielten. Das moderne Minus eines Winkels wurde beispielsweise als Produkt von Halbakkorden untersucht, bei denen der zentrale Winkel von einem Wert unterstützt wird, oder als Akkord eines doppelten Bogens.

In der Folgezeit wurde die Mathematik lange Zeit am aktivsten von indischen und arabischen Wissenschaftlern weiterentwickelt. In Ӏv- vJahrhunderte Insbesondere tauchte ein besonderer Begriff in den astronomischen Arbeiten des großen indischen Wissenschaftlers Aryabhata (476-ca. 550) auf, nach dem der erste indische Satellit der Erde benannt ist.

Später wurde ein kürzerer Name Jiva angenommen. Arabische Mathematiker in ΙXin. das Wort jiva (oder jiba) wurde durch das arabische Wort jaib (Ausbuchtung) ersetzt. Bei der Übersetzung arabischer mathematischer Texte inXΙΙin. dieses Wort wurde durch den lateinischen Sinus ersetzt (Sinus- Biegung, Krümmung)

Das Wort Kosinus ist viel jünger. Cosinus ist eine Abkürzung des lateinischen AusdrucksergänzenSinus, dh "zusätzlicher Sinus" (oder sonst "Sinus des zusätzlichen Bogens"; denken Sie darancosa= Sünde(90°- a)).

Bei der Behandlung trigonometrischer Funktionen gehen wir im Wesentlichen über die Aufgabenstellung „Dreiecke messen“ hinaus. Daher schlug der berühmte Mathematiker F. Klein (1849-1925) vor, die Theorie der "trigonometrischen" Funktionen anders zu nennen - Goniometrie (Winkel). Dieser Name blieb jedoch nicht hängen.

Tangenten entstanden im Zusammenhang mit der Lösung des Problems der Bestimmung der Schattenlänge. Tangens (sowie Kotangens, Sekante und Kosekan) wird eingeführtXin. Der arabische Mathematiker Abu-l-Wafa, der auch die ersten Tabellen zur Bestimmung von Tangenten und Kotangens erstellte. Diese Entdeckungen blieben europäischen Wissenschaftlern jedoch lange Zeit unbekannt, und Tangenten wurden in wiederentdecktXIVin. zuerst vom englischen Wissenschaftler T. Braverdin und später vom deutschen Mathematiker, Astronomen Regiomontanus (1467). Der Name „Tangente“ stammt aus dem LateinischenTanger(berühren), erschien 1583Tangentenübersetzt als "berühren" (denken Sie daran: die Tangentenlinie ist tangential zum Einheitskreis)

Moderne BezeichnungenBogensünde und arctgtauchen 1772 in den Werken des Wiener Mathematikers Sherfer und des berühmten französischen Wissenschaftlers J. L. Lagrange auf, obwohl J. Bernoulli sie schon etwas früher berücksichtigt hatte, der eine andere Symbolik verwendete. Aber diese Symbole wurden erst am Ende allgemein akzeptiertXVΙΙΙJahrhunderte. Die Vorsilbe „Bogen“ stammt aus dem LateinischenBogenx, zum Beispiel -, das ist ein Winkel (oder, man könnte sagen, ein Bogen), dessen Sinus gleich istx.

Die Trigonometrie entwickelte sich lange Zeit als Teil der Geometrie, d.h. die Tatsachen, die wir nun in Form trigonometrischer Funktionen formulieren, wurden mit Hilfe geometrischer Begriffe und Aussagen formuliert und bewiesen. Die vielleicht größten Anreize für die Entwicklung der Trigonometrie entstanden im Zusammenhang mit der Lösung von Problemen der Astronomie, die von großem praktischem Interesse waren (z.

Astronomen interessierten sich für die Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln von sphärischen Dreiecken, die aus Großkreisen bestehen, die auf einer Kugel liegen. Und es sei darauf hingewiesen, dass die Mathematiker der Antike Probleme erfolgreich gemeistert haben, die viel schwieriger waren als Probleme bei der Lösung ebener Dreiecke.

Auf jeden Fall wurden in geometrischer Form viele uns bekannte Trigonometrieformeln von antiken griechischen, indischen und arabischen Mathematikern entdeckt und wiederentdeckt (obwohl die Formeln für die Differenz trigonometrischer Funktionen erst in bekannt wurdenXVΙӀ v. - sie wurden von dem englischen Mathematiker Napier herausgebracht, um Berechnungen mit trigonometrischen Funktionen zu vereinfachen. Und die erste Zeichnung einer Sinuskurve erschien 1634.)

Von grundlegender Bedeutung war die Zusammenstellung der ersten Sinustabelle (lange Zeit als Akkordtabelle bezeichnet) durch K. Ptolemäus: Ein praktisches Werkzeug zur Lösung einer Reihe von Anwendungsproblemen und vor allem astronomischen Problemen .

Wenn wir uns mit vorgefertigten Tabellen beschäftigen oder einen Taschenrechner benutzen, denken wir oft nicht daran, dass es eine Zeit gab, in der Tabellen noch nicht erfunden waren. Um sie zu erstellen, mussten nicht nur viele Berechnungen durchgeführt, sondern auch eine Möglichkeit gefunden werden, Tabellen zu erstellen. Die Tabellen von Ptolemäus sind auf fünf Dezimalstellen einschließlich genau.

Die moderne Form der Trigonometrie wurde vom größten Mathematiker gegebenXVJahrhundert L. Euler (1707-1783), ein gebürtiger Schweizer, arbeitete viele Jahre in Russland und war Mitglied der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften. Es war Euler, der als erster die bekannten Definitionen trigonometrischer Funktionen einführte, anfing, Funktionen mit beliebigem Winkel zu betrachten, und Reduktionsformeln erhielt. All dies ist ein kleiner Bruchteil dessen, was Euler in seinem langen Leben in der Mathematik geleistet hat: Er hat über 800 Aufsätze hinterlassen, viele klassisch gewordene Theoreme bewiesen, die sich auf die unterschiedlichsten Bereiche der Mathematik beziehen. Aber wenn Sie versuchen, mit trigonometrischen Funktionen in geometrischer Form zu operieren, also so, wie es viele Generationen von Mathematikern vor Euler taten, dann werden Sie Eulers Verdienste um die Systematisierung der Trigonometrie zu schätzen wissen. Nach Euler erhielt die Trigonometrie eine neue Form des Kalküls: Verschiedene Tatsachen begannen durch die formale Anwendung trigonometrischer Formeln bewiesen zu werden, die Beweise wurden viel kompakter, einfacher.

Aus der Entwicklungsgeschichte der Kugelgeometrie .

Es ist allgemein bekannt, dass die euklidische Geometrie eine der ältesten Wissenschaften ist: bereits inIIIJahrhundert v.Chr Euklids klassisches Werk „Beginnings“ erschien. Weniger bekannt ist, dass die Kugelgeometrie nur wenig jünger ist. Ihre erste systematische Ausstellung bezieht sich aufich- IIJahrhunderte. In dem Buch "Sphere", geschrieben vom griechischen Mathematiker Menelaos (ichc.) wurden die Eigenschaften kugelförmiger Dreiecke untersucht; insbesondere wurde bewiesen, dass die Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks größer als 180 Grad ist. Ein weiterer griechischer Mathematiker Claudius Ptolemaios machte einen großen Schritt nach vorne (IIin.). Im Wesentlichen war er der Erste, der Tabellen trigonometrischer Funktionen erstellte und die stereografische Projektion einführte.

Genau wie die Geometrie von Euklid entstand die sphärische Geometrie bei der Lösung von Problemen praktischer Natur, vor allem von Problemen der Astronomie. Diese Aufgaben waren zum Beispiel für Reisende und Navigatoren notwendig, die nach den Sternen navigierten. Und da es bei astronomischen Beobachtungen bequem ist anzunehmen, dass sich sowohl die Sonne als auch der Mond und die Sterne entlang der abgebildeten "Himmelskugel" bewegen, ist es natürlich, dass die Kenntnis der Geometrie der Kugel erforderlich war, um ihre Bewegung zu studieren. Es ist daher kein Zufall, dass Ptolemaios berühmtestes Werk den Titel „Die große mathematische Konstruktion der Astronomie in 13 Büchern“ trug.

Die wichtigste Periode in der Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist mit den Aktivitäten von Wissenschaftlern im Nahen Osten verbunden. Indische Wissenschaftler haben erfolgreich Probleme der sphärischen Trigonometrie gelöst. Die von Ptolemäus beschriebene Methode, die auf dem Satz des Menelaos vom vollständigen Viereck basiert, wurde von ihnen jedoch nicht verwendet. Und in der sphärischen Trigonometrie verwendeten sie projektive Methoden, die denen in Ptolemäus' Analemma entsprachen. Als Ergebnis erhielten sie eine Reihe spezifischer Rechenregeln, die es ermöglichten, nahezu jedes Problem der sphärischen Astronomie zu lösen. Mit ihrer Hilfe reduzierte sich ein solches Problem schließlich darauf, gleichartige flache rechtwinklige Dreiecke miteinander zu vergleichen. Beim Lösen wurden häufig die Theorie der quadratischen Gleichungen und die Methode der sukzessiven Annäherung verwendet. Ein Beispiel für ein astronomisches Problem, das indische Wissenschaftler mit den von ihnen entwickelten Regeln gelöst haben, ist das Problem, das in der Arbeit Panga Siddhantika von Varahamihira (v- VI). Es besteht darin, die Höhe der Sonne zu finden, wenn der Breitengrad des Ortes bekannt ist, die Deklination der Sonne und ihren Stundenwinkel. Als Ergebnis der Lösung dieses Problems wird nach einer Reihe von Konstruktionen eine Beziehung hergestellt, die dem modernen Kosinussatz für ein sphärisches Dreieck entspricht. Diese Beziehung und ein weiteres Äquivalent zum Sinussatz wurden jedoch nicht als Regeln verallgemeinert, die auf ein beliebiges sphärisches Dreieck anwendbar sind.

Unter den ersten östlichen Gelehrten, die sich der Diskussion des Theorems von Menelaos zuwandten, sollte man die Brüder Banu Mussa nennen - Muhammad, Hasan und Ahmad, die Söhne von Musa ibn Shakir, die in Bagdad arbeiteten und Mathematik, Astronomie und Mechanik studierten. Aber das früheste erhaltene Werk über den Satz von Menelaos ist die „Abhandlung über die Sekantenfigur“ ihres Schülers Thabit ibn Korra (836-901).

Die Abhandlung von Thabit ibn Korra ist uns im arabischen Original überliefert. Und in lateinischer ÜbersetzungXIIin. Diese Übersetzung von Gerando von Cremona (1114-1187) war im mittelalterlichen Europa weit verbreitet.

Die Geschichte der Trigonometrie als Wissenschaft der Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten eines Dreiecks und anderen geometrischen Figuren umfasst mehr als zwei Jahrtausende. Die meisten dieser Beziehungen können nicht mit gewöhnlichen algebraischen Operationen ausgedrückt werden, und daher war es notwendig, spezielle trigonometrische Funktionen einzuführen, die ursprünglich in Form von numerischen Tabellen dargestellt wurden.
Historiker glauben, dass die Trigonometrie von alten Astronomen geschaffen wurde und wenig später in der Architektur verwendet wurde. Im Laufe der Zeit hat sich der Anwendungsbereich der Trigonometrie stetig erweitert, heute umfasst sie nahezu alle Naturwissenschaften, Technik und eine Reihe weiterer Tätigkeitsbereiche.

Angewandte trigonometrische Probleme sind sehr vielfältig – beispielsweise lassen sich messbare Ergebnisse von Operationen auf die aufgeführten Größen (zB die Winkelsumme oder das Verhältnis von Seitenlängen) einstellen.

Parallel zur Entwicklung der ebenen Trigonometrie entwickelten die Griechen unter dem Einfluss der Astronomie die sphärische Trigonometrie weit. In Euklids "Prinzipien" zu diesem Thema gibt es nur einen Satz über das Verhältnis der Volumina von Kugeln mit unterschiedlichen Durchmessern, aber die Bedürfnisse der Astronomie und Kartographie führten zu einer raschen Entwicklung der sphärischen Trigonometrie und verwandter Bereiche - des Himmelskoordinatensystems Theorie kartographischer Projektionen und die Technologie astronomischer Instrumente.

Kurse.

Trigonometrie und das wirkliche Leben

Trigonometrische Funktionen haben Anwendung in der mathematischen Analyse, Physik, Informatik, Geodäsie, Medizin, Musik, Geophysik und Navigation gefunden.

Anwendung der Trigonometrie in der Navigation

Navigation (dieses Wort stammt aus dem LateinischenNavigation- Segeln auf einem Schiff) - eine der ältesten Wissenschaften. Die einfachsten Aufgaben der Navigation, wie zum Beispiel die Ermittlung der kürzesten Route, die Wahl der Bewegungsrichtung, standen den allerersten Navigatoren bevor. Diese und andere Aufgaben müssen derzeit nicht nur Segler, sondern auch Piloten und Astronauten lösen. Betrachten wir einige Konzepte und Aufgaben der Navigation genauer.

Aufgabe. Geografische Koordinaten sind bekannt - die Breite und Länge der Punkte A und B der Erdoberfläche:, und, . Es ist erforderlich, die kürzeste Entfernung zwischen den Punkten A und B entlang der Erdoberfläche zu finden (der Radius der Erde gilt als bekannt:R= 6371 km)

Entscheidung. Denken Sie zunächst daran, dass der Breitengrad des Punktes M der Erdoberfläche der Wert des Winkels ist, den der Radius OM, wobei O der Erdmittelpunkt ist, mit der Ebene des Äquators: ≤ , und nördlich des Äquators bildet , der Breitengrad wird als positiv und im Süden als negativ angesehen

Die Länge des Punktes M ist der Wert des Flächenwinkels zwischen den Ebenen COM und SON, wobei C der Nordpol der Erde und H der Punkt ist, der dem Observatorium von Greenwich entspricht: ≤ (östlich des Meridians von Greenwich , der Längengrad gilt als positiv, im Westen - negativ).

Wie bereits bekannt, ist die kürzeste Entfernung zwischen den Punkten A und B auf der Erdoberfläche die Länge des kleineren der Bögen eines großen Kreises, der A und B verbindet (ein solcher Bogen wird als Orthodrom bezeichnet - übersetzt aus dem Griechischen bedeutet "gerader Lauf" ). Daher reduziert sich unsere Aufgabe darauf, die Länge der Seite AB des Kugeldreiecks ABC (C ist der Nordpol) zu bestimmen.

Unter Anwendung der Standardnotation für die Elemente des Dreiecks ABC und den entsprechenden Dreikantwinkel OABS finden wir aus der Bedingung des Problems: α = = - , β = (Abb. 2).

Der Winkel C ist auch nicht schwer in Bezug auf die Koordinaten der Punkte A und B auszudrücken. Per Definition ist daher ≤ , also entweder Winkel C = wenn ≤ , oder - wenn. Wissen = mit dem Kosinussatz: = + (-). Wenn wir den Winkel kennen, finden wir den erforderlichen Abstand: =.

Trigonometrie in der Navigation 2.

Um den Schiffskurs auf einer in der Projektion von Gerhard Mercator (1569) erstellten Karte darzustellen, war es notwendig, den Breitengrad zu bestimmen. Beim Segeln im Mittelmeer in Segelrichtung bisXVIIIin. Breitengrad wurde nicht angegeben. Erstmals wandte Edmond Gunther (1623) trigonometrische Berechnungen in der Navigation an.

Die Trigonometrie hilft bei der Berechnung der Auswirkung des Windes auf den Flugzeugflug. Das Geschwindigkeitsdreieck ist das Dreieck, das durch den Fluggeschwindigkeitsvektor (v), Windvektor(W), Bodengeschwindigkeitsvektor (v P ). PU - Spurwinkel, SW - Windwinkel, KUV - Kurswindwinkel.

Die Beziehung zwischen den Elementen des Navhat die Form:

v P = v cos USA + W cos UV; Sünde USA = * Sünde UV, tg SW=

Das Navigationsdreieck der Geschwindigkeiten wird mit Hilfe von Zählgeräten, auf dem Navigationslineal und ungefähr im Kopf gelöst.

Trigonometrie in der Algebra.

Hier ist ein Beispiel für das Lösen einer komplexen Gleichung mit trigonometrischer Substitution.

Angesichts der Gleichung

Lassen , wir bekommen

;

wo: oder

Vorbehaltlich Einschränkungen erhalten wir:

Trigonometrie in der Physik

Überall dort, wo es um periodische Vorgänge und Schwingungen geht – sei es in der Akustik, Optik oder beim Schwingen eines Pendels – haben wir es mit trigonometrischen Funktionen zu tun. Schwingungsformeln:

wo EIN- Amplitude der Schwingung, - Winkelfrequenz der Schwingung, - Anfangsphase der Schwingung

Oszillationsphase.

Wenn Gegenstände in Wasser getaucht werden, ändern sie weder ihre Form noch ihre Größe. Das ganze Geheimnis ist der optische Effekt, der unser Sehen das Objekt anders wahrnehmen lässt. Die einfachsten trigonometrischen Formeln und die Werte des Sinus des Einfallswinkels und der Brechung des Strahls ermöglichen die Berechnung des konstanten Brechungsindex während des Übergangs eines Lichtstrahls von Medium zu Medium. Ein Regenbogen entsteht zum Beispiel dadurch, dass Sonnenlicht in in der Luft schwebenden Wassertröpfchen nach dem Brechungsgesetz gebrochen wird:

Sünde α / Sünde β =n 1 /n 2

wo:

n 1 - Brechungsindex des ersten Mediums
n 2 - Brechungsindex des zweiten Mediums

α -Einfallswinkel, β ist der Brechungswinkel des Lichts.

Das Eindringen geladener Teilchen des Sonnenwinds in die obere Atmosphäre von Planeten wird durch die Wechselwirkung des Magnetfelds des Planeten mit dem Sonnenwind bestimmt.

Die Kraft, die auf ein geladenes Teilchen wirkt, das sich in einem Magnetfeld bewegt, wird als Lorentzkraft bezeichnet. Sie ist proportional zur Ladung des Teilchens und dem Vektorprodukt des Feldes und der Geschwindigkeit des Teilchens.

Betrachten Sie als praktisches Beispiel ein physikalisches Problem, das mit Trigonometrie gelöst wird.

Aufgabe. Auf einer schiefen Ebene, die mit dem Horizont einen Winkel von 24,5 bildetÜber , gibt es einen Körper mit einer Masse von 90 kg. Finden Sie heraus, mit welcher Kraft dieser Körper auf die schiefe Ebene drückt (also welchen Druck übt der Körper auf diese Ebene aus).

Entscheidung:

Nachdem wir die X- und Y-Achse festgelegt haben, beginnen wir mit der Erstellung von Kraftprojektionen auf den Achsen, wobei wir zunächst diese Formel verwenden:

ma = N + mg , dann schau dir das Bild an,

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N - mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

Wir ersetzen die Masse und finden heraus, dass die Kraft 819 N beträgt.

Antwort: 819 N

Trigonometrie in Medizin und Biologie

Einer von grundlegende EigenschaftenDie lebendige Natur ist die Zyklizität der meisten in ihr ablaufenden Prozesse.

Biologische Rhythmen, Biorhythmensind mehr oder weniger regelmäßige Veränderungen in Art und Intensität biologischer Prozesse.

Grundlegender Erdrhythmus- Täglich.

Das Modell des Biorhythmus kann unter Verwendung trigonometrischer Funktionen aufgebaut werden.

Um ein Biorhythmusmodell zu erstellen, müssen Sie das Geburtsdatum einer Person, das Referenzdatum (Tag, Monat, Jahr) und die Dauer der Prognose (Anzahl der Tage) eingeben.

Sogar einige Teile des Gehirns werden Nebenhöhlen genannt.

Die Wände der Nasennebenhöhlen werden von einer mit Endothel ausgekleideten Dura mater gebildet. Das Lumen der Nebenhöhlen klafft, die Klappen und die Muskelmembran fehlen im Gegensatz zu anderen Venen. In der Höhle der Nebenhöhlen befinden sich faserige Septen, die mit Endothel bedeckt sind. Aus den Nebenhöhlen gelangt Blut in die inneren Jugularvenen, außerdem besteht eine Verbindung zwischen den Nebenhöhlen und den Venen der Außenfläche des Schädels durch Reservevenenabsolventen.

Die Bewegung von Fischen im Wasser erfolgt nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz, wenn Sie einen Punkt auf dem Schwanz fixieren und dann die Bewegungsbahn betrachten.

Beim Schwimmen nimmt der Körper des Fisches die Form einer Kurve an, die einem Diagramm ähnelt.

Funktionen j= tgx.

Trigonometrie in der Musik

Wir hören Musikmp3.

Ein Audiosignal ist eine Welle, hier ist ihr „Graph“.

Wie Sie sehen können, ist es, obwohl es sehr komplex ist, eine Sinuskurve, die den Gesetzen der Trigonometrie gehorcht.

Im Moskauer Kunsttheater fand im Frühjahr 2003 die Präsentation des Albums "Trigonometry" der Gruppe "Night Snipers", der Solistin Diana Arbenina, statt. Der Inhalt des Albums offenbart die ursprüngliche Bedeutung des Wortes "Trigonometrie" - die Vermessung der Erde.

Trigonometrie in der Informatik

Trigonometrische Funktionen können für genaue Berechnungen verwendet werden.

Mit trigonometrischen Funktionen können Sie beliebige annähern

(in gewissem Sinne "gut") funktionieren, indem sie zu einer Fourier-Reihe erweitert werden:

a 0 +a 1 cos x + b 1 Sünde x + a 2 cos 2x + b 2 Sünde 2x + a 3 cos 3x + b 3 Sünde 3x + ...

Die richtigen Zahlen auswählen a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., in Form einer solchen (unendlichen) Summe lassen sich nahezu beliebige Funktionen in einem Computer mit der erforderlichen Genauigkeit darstellen.

Trigonometrische Funktionen sind nützlich, wenn Sie mit grafischen Informationen arbeiten. Es ist notwendig, die Drehung eines Objekts um eine Achse zu simulieren (in einem Computer zu beschreiben). Es erfolgt eine Drehung um einen bestimmten Winkel. Um die Koordinaten der Punkte zu bestimmen, müssen Sie mit Sinus und Cosinus multiplizieren.

Justin Windell, Programmierer und Designer vonGoogle Grafik Labor , hat eine Demo veröffentlicht, die Beispiele für die Verwendung trigonometrischer Funktionen zum Erstellen dynamischer Animationen zeigt.

Trigonometrie im Bauwesen und in der Geodäsie

Die Längen der Seiten und die Winkel eines beliebigen Dreiecks in der Ebene sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden, von denen die wichtigsten die Kosinus- und Sinussätze genannt werden.

2ab

= =

In diesen Formelnb, c- die Längen der Seiten des Dreiecks ABC, die jeweils den Winkeln A, B, C gegenüberliegen. Diese Formeln ermöglichen es uns, die verbleibenden drei Elemente aus den drei Elementen des Dreiecks wiederherzustellen - die Längen der Seiten und der Winkel. Sie werden zur Lösung praktischer Probleme eingesetzt, beispielsweise in der Geodäsie.

Alle "klassische" Geodäsie basiert auf Trigonometrie. Tatsächlich sind Vermessungsingenieure seit der Antike damit beschäftigt, Dreiecke zu "lösen".

Der Prozess des Baus von Gebäuden, Straßen, Brücken und anderen Bauwerken beginnt mit Vermessungs- und Entwurfsarbeiten. Alle Messungen auf der Baustelle werden mit Vermessungsinstrumenten wie Theodolit und Winkelwaage durchgeführt. Beim trigonometrischen Nivellement wird der Höhenunterschied zwischen mehreren Punkten auf der Erdoberfläche ermittelt.

Fazit

Die Trigonometrie wurde durch die Notwendigkeit, Winkel zu messen, zum Leben erweckt, entwickelte sich aber schließlich zur Wissenschaft der trigonometrischen Funktionen.

Trigonometrie ist eng mit der Physik verwandt, die in Natur, Musik, Architektur, Medizin und Technik zu finden ist.

Die Trigonometrie spiegelt sich in unserem Leben wider, und die Bereiche, in denen sie eine wichtige Rolle spielt, werden sich erweitern, sodass die Kenntnis ihrer Gesetze für alle erforderlich ist.

Durch die Verbindung der Mathematik mit der Außenwelt können Sie das Wissen von Schulkindern "materialisieren". Dies hilft uns, den lebensnotwendigen Bedarf an in der Schule erworbenem Wissen besser zu verstehen.

Unter einem mathematischen Problem mit praktischem Inhalt (Aufgabe mit angewandtem Charakter) verstehen wir ein Problem, dessen Handlung die Anwendungen der Mathematik in verwandten akademischen Disziplinen, in der Technik und im Alltag aufzeigt.

Die Geschichte über die historischen Gründe für die Entstehung der Trigonometrie, ihre Entwicklung und praktische Anwendung weckt das Interesse unserer Schüler am Studienfach, prägt unser Weltbild und verbessert unsere allgemeine Kultur.

Diese Arbeit wird für Gymnasiasten nützlich sein, die die Schönheit der Trigonometrie noch nicht gesehen haben und mit den Bereichen ihrer Anwendung im umgebenden Leben nicht vertraut sind.

Referenzliste:

1. Wiederholen Sie die Grundformeln der Trigonometrie und festigen Sie Ihr Wissen in den Übungen;
2. Entwickeln Sie Selbstbeherrschungsfähigkeiten, die Fähigkeit, mit einer Computerpräsentation zu arbeiten.
3. Bildung einer verantwortungsvollen Einstellung zur Bildungsarbeit, des Willens und der Ausdauer, um die endgültigen Ergebnisse zu erzielen.

Ausstattung: Computer, Computerpräsentation.

Erwartetes Ergebnis:

1. Jeder Schüler sollte trigonometrische Formeln kennen und in der Lage sein, sie anzuwenden, um trigonometrische Ausdrücke auf der Ebene der erforderlichen Ergebnisse umzuwandeln.
2. Die Ableitung dieser Formeln kennen und sie anwenden können, um trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln.
3. Die Formeln der Trigonometrie kennen, diese Formeln herleiten und auf komplexere trigonometrische Ausdrücke anwenden können.

Die Hauptphasen des Unterrichts:

1. Die Botschaft des Themas, des Zwecks, der Ziele des Unterrichts und der Motivation der Bildungsaktivitäten.
2. Verbale Zählung
3. Botschaft aus der Geschichte der Mathematik
4. Wiederholung (ab Klasse 9) von Trigonometrieformeln anhand einer Computerpräsentation
5. Anwenden trigonometrischer Formeln auf das Konvertieren von Ausdrücken
6. Test Ausführung
7. Zusammenfassung der Lektion
8. Eine Aufgabe zu Hause stellen

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren.

Berichterstattung über das Thema, die Ziele, die Ziele des Unterrichts und die Motivation für Lernaktivitäten

II. Mündliche Arbeit (Aufgaben sind für jeden Schüler vorgedruckt):

Das Bogenmaß zweier Winkel eines Dreiecks ist und . Finden Sie das Maß für jeden Winkel des Dreiecks. Antworten: 60, 30, 90

Finden Sie das Bogenmaß der Winkel eines Dreiecks, wenn ihr Verhältnis 2:3:4 ist. Antworten: , ,

Kann der Kosinus gleich sein: a), b), c), d), e) -2? Antworten: a) ja; b) nein; c) nein; d) ja; Augen.

Kann der Sinus gleich sein: a) -3, 7 b), c)? Antworten: a) nein; b) ja; c) nein.

Für welche Werte von a und b gelten die folgenden Gleichungen: a) cos x = ; b) Sünde x=; c) cosx= ; d) tg x= ; e) Sünde x = a? Antworten: a) /a/ 7; b) /a/ ; c) 0 d) b – beliebige Zahl; e) -

III. Botschaft aus der Geschichte der Trigonometrie (kurzer geschichtlicher Hintergrund):

Die Trigonometrie entstand und entwickelte sich in der Antike als einer der Bereiche der Astronomie, als Rechenapparat, der die praktischen Bedürfnisse des Menschen erfüllt.

Einige trigonometrische Informationen waren den alten Babyloniern und Ägyptern bekannt, aber die Grundlagen dieser Wissenschaft wurden im antiken Griechenland gelegt.

Griechischer Astronom Hipparchos im 2. Jahrhundert. BC e. erstellte eine Tabelle mit numerischen Werten von Akkorden, abhängig von der Größe der von ihnen kontrahierten Bögen. Vollständigere Informationen aus der Trigonometrie sind im berühmten „Almagest“ von Ptolemäus enthalten. Die durchgeführten Berechnungen ermöglichten es Ptolemaios, eine Tabelle zu erstellen, die Akkorde von 0 bis 180 enthielt.

Die Namen der Sinus- und Kosinuslinien wurden zuerst von indischen Wissenschaftlern eingeführt. Sie stellten auch die ersten Sinustabellen zusammen, wenn auch weniger genau als die ptolemäischen.

In Indien beginnt im Wesentlichen die Lehre von trigonometrischen Größen, die später als Goniometrie bezeichnet wird (von „gonia“ - Winkel und „metrio“ - ich messe).

An der Schwelle des 17. Jahrhunderts In der Entwicklung der Trigonometrie beginnt eine neue Richtung - analytisch.

Die Trigonometrie bietet die notwendige Methode für die Entwicklung vieler Konzepte und Methoden zur Lösung realer Probleme, die in Physik, Mechanik, Astronomie, Geodäsie, Kartographie und anderen Wissenschaften auftreten. Darüber hinaus ist die Trigonometrie eine große Hilfe bei der Lösung stereometrischer Probleme.

IV. Arbeit am Computer mit einer Präsentation:

„Grundformeln der Trigonometrie“ (Anhang 1)

Vorab erinnern Sicherheitsvorkehrungen im Informatikunterricht.

• Grundlegende trigonometrische Identitäten.
• Additionsformeln.
• Gießen Sie Formeln
• Formeln für die Summe und Differenz von Sinus (Kosinus).
• Formeln mit doppeltem Argument.
• Formeln mit halben Argumenten.

V. Anwendung trigonometrischer Formeln auf die Transformation von Ausdrücken.

a) Ein Schüler erledigt die Aufgabe auf der Tafelrückseite, der Rest vom Platz prüft und hebt die Signalkärtchen (richtig - „+“, falsch - „-“) vom Platz.

Wählen Sie eine Antwort.

Vereinfachen Sie den Ausdruck 7 cos - 5.

a) 1+cos; b) 2; um 12; d) 12

Vereinfachen Sie den Ausdruck 5 – 4 sin n

a) 1; b) 9; c) 1+8 Sünde; d) 1+cos.