In dieser Lektion werden wir uns an alle zuvor untersuchten Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms erinnern und Beispiele für ihre Anwendung betrachten. Außerdem werden wir eine neue Methode untersuchen - die Methode der vollständigen Quadrate - und lernen, wie man sie zur Lösung verschiedener Probleme anwendet.
Gegenstand:Polynome faktorisieren
Lektion:Faktorisierung von Polynomen. Vollquadrat-Auswahlmethode. Kombination von Methoden
Erinnern Sie sich an die Hauptmethoden zum Faktorisieren eines Polynoms, die zuvor untersucht wurden:
Die Methode, einen gemeinsamen Faktor aus Klammern herauszunehmen, dh einen Faktor, der in allen Mitgliedern des Polynoms vorhanden ist. Betrachten Sie ein Beispiel:
Denken Sie daran, dass ein Monom ein Produkt aus Potenzen und Zahlen ist. In unserem Beispiel haben beide Mitglieder einige gemeinsame, identische Elemente.
Nehmen wir also den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:
;
Denken Sie daran, dass Sie durch Multiplizieren des gerenderten Multiplikators mit der Klammer die Korrektheit des Renderings überprüfen können.
Gruppierungsmethode. Es ist nicht immer möglich, einen gemeinsamen Faktor in einem Polynom herauszunehmen. In diesem Fall müssen Sie die Mitglieder so in Gruppen einteilen, dass Sie in jeder Gruppe einen gemeinsamen Faktor herausnehmen und versuchen, ihn aufzuschlüsseln, sodass nach dem Herausnehmen der Faktoren in den Gruppen ein gemeinsamer Faktor für die erscheint gesamten Ausdruck, und die Expansion konnte fortgesetzt werden. Betrachten Sie ein Beispiel:
Gruppieren Sie den ersten Term mit dem vierten, den zweiten mit dem fünften und den dritten mit dem sechsten:
Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren in den Gruppen heraus:
Der Ausdruck hat einen gemeinsamen Faktor. Nehmen wir es heraus:
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Betrachten Sie ein Beispiel:
;
Schreiben wir den Ausdruck im Detail:
Offensichtlich haben wir die Formel für das Quadrat der Differenz vor uns, da es eine Summe der Quadrate zweier Ausdrücke gibt und ihr doppeltes Produkt davon subtrahiert wird. Rollen wir nach der Formel:
Heute lernen wir einen anderen Weg kennen - die vollständige Quadratauswahlmethode. Es basiert auf den Formeln des Quadrats der Summe und des Quadrats der Differenz. Erinnern Sie sich an sie:
Die Formel für das Quadrat der Summe (Differenz);
Die Besonderheit dieser Formeln besteht darin, dass sie Quadrate zweier Ausdrücke und ihr doppeltes Produkt enthalten. Betrachten Sie ein Beispiel:
Schreiben wir den Ausdruck:
Der erste Ausdruck ist also und der zweite .
Um eine Formel für das Quadrat der Summe oder Differenz aufzustellen, reicht das doppelte Produkt der Ausdrücke nicht aus. Es muss addiert und subtrahiert werden:
Kollabieren wir das volle Quadrat der Summe:
Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck umwandeln:
Wir wenden die Formel für die Differenz der Quadrate an und erinnern daran, dass die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke das Produkt und die Summen ihrer Differenz ist:
Diese Methode besteht also zunächst darin, die quadrierten Ausdrücke a und b zu identifizieren, dh zu bestimmen, welche Ausdrücke in diesem Beispiel quadriert sind. Danach müssen Sie prüfen, ob ein doppeltes Produkt vorhanden ist, und wenn es nicht vorhanden ist, addieren und subtrahieren Sie es, dies ändert nichts an der Bedeutung des Beispiels, aber das Polynom kann mit den Formeln für das Quadrat faktorisiert werden der Summe oder Differenz und Differenz der Quadrate, wenn möglich.
Fahren wir mit dem Lösen von Beispielen fort.
Beispiel 1 - Faktorisieren:
Quadratische Ausdrücke finden:
Schreiben wir auf, was ihr Doppelprodukt sein sollte:
Addieren und subtrahieren wir das doppelte Produkt:
Lassen Sie uns das volle Quadrat der Summe zusammenbrechen und ähnliche geben:
Wir schreiben nach der Formel der Quadratdifferenz:
Beispiel 2 - lösen Sie die Gleichung:
;
Auf der linken Seite der Gleichung befindet sich ein Trinom. Du musst es ausrechnen. Wir verwenden die Formel des Differenzquadrats:
Wir haben das Quadrat des ersten Ausdrucks und das Doppelprodukt, das Quadrat des zweiten Ausdrucks fehlt, addieren und subtrahieren wir es:
Lassen Sie uns das gesamte Quadrat zusammenklappen und ähnliche Begriffe angeben:
Wenden wir die Quadratdifferenzformel an:
Wir haben also die Gleichung 
Wir wissen, dass das Produkt nur dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Darauf aufbauend schreiben wir Gleichungen:
Lösen wir die erste Gleichung:
Lösen wir die zweite Gleichung:
Antwort: bzw
;
Wir verfahren ähnlich wie im vorherigen Beispiel – wählen Sie das Quadrat der Differenz aus.
Definition
Ausdrücke wie 2 x 2 + 3 x + 5 werden als quadratisches Trinom bezeichnet. Im allgemeinen Fall ist ein quadratisches Trinom ein Ausdruck der Form a x 2 + b x + c, wobei a, b, c a, b, c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.
Betrachten Sie das quadratische Trinom x 2 - 4 x + 5 . Schreiben wir es in dieser Form: x 2 - 2 2 x + 5. Addieren wir 2 2 zu diesem Ausdruck und subtrahieren 2 2 , erhalten wir: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Beachten Sie, dass x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, also x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Die Transformation, die wir vorgenommen haben, heißt "Auswahl eines vollen Quadrats aus einem quadratischen Trinom".
Wähle das perfekte Quadrat aus dem quadratischen Trinom 9 x 2 + 3 x + 1 .
Beachte, dass 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Dann `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Addieren und subtrahieren Sie zum resultierenden Ausdruck `(1/2)^2`, wir erhalten
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Lassen Sie uns zeigen, wie die Methode zum Extrahieren eines vollen Quadrats aus einem quadratischen Trinom verwendet wird, um ein quadratisches Trinom zu faktorisieren.
Faktorisiere das quadratische Trinom 4 x 2 - 12 x + 5 .
Wir wählen das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Wenden Sie nun die Formel a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) an, erhalten wir: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x -1).
Faktorisiere das quadratische Trinom heraus - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Beachten Sie nun, dass 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .
Wir addieren den Term 2 2 zum Ausdruck 9 x 2 - 12 x, wir erhalten:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Wir wenden die Formel für die Differenz von Quadraten an, wir haben:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Faktorisiere das quadratische Trinom 3 x 2 - 14 x - 5 .
Wir können den Ausdruck 3 x 2 nicht als Quadrat eines Ausdrucks darstellen, weil wir das in der Schule noch nicht gelernt haben. Sie werden dies später durchgehen, und bereits in Aufgabe Nr. 4 werden wir Quadratwurzeln untersuchen. Lassen Sie uns zeigen, wie wir ein gegebenes quadratisches Trinom faktorisieren können:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Wir werden zeigen, wie die Methode der vollständigen Quadrate verwendet wird, um die größten oder kleinsten Werte eines quadratischen Trinoms zu finden.
Betrachten Sie das quadratische Trinom x 2 - x + 3 . Auswahl eines ganzen Quadrats:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Beachten Sie, dass bei `x=1/2` der Wert des quadratischen Trinoms `11/4` ist, und wenn `x!=1/2` eine positive Zahl zum Wert von `11/4` addiert wird, also wir erhalten Sie eine Zahl größer als `11/ 4`. Somit ist der kleinste Wert des quadratischen Trinoms '11/4' und wird mit 'x=1/2' erhalten.
Finden Sie den größten Wert des quadratischen Trinoms - 16 2 + 8 x + 6 .
Wir wählen das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Bei `x=1/4` ist der Wert des quadratischen Trinoms 7 , und bei `x!=1/4` wird von der Zahl 7 eine positive Zahl subtrahiert, dh wir erhalten eine Zahl kleiner als 7 . Somit ist die Zahl 7 der größte Wert des quadratischen Trinoms und wird mit "x=1/4" erhalten.
Faktorisiere Zähler und Nenner von `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` und kürze den Bruch.
Beachten Sie, dass der Nenner des Bruchs x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 ist. Wir zerlegen den Zähler des Bruchs in Faktoren, indem wir die Methode verwenden, das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom zu extrahieren. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Dieser Bruch wurde auf die Form `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` reduziert, nach Reduktion um (x - 3) erhalten wir `(x+5)/(x-3 )`.
Faktorisiere das Polynom x 4 - 13 x 2 + 36.
Wenden wir die Methode der vollen Quadrate auf dieses Polynom an. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Wie ich bereits bemerkte, gibt es in der Integralrechnung keine praktische Formel zum Integrieren eines Bruchs. Und deshalb gibt es einen traurigen Trend: Je „schicker“ der Bruch ist, desto schwieriger ist es, das Integral daraus zu finden. Hier muss man zu diversen Tricks greifen, auf die ich nun eingehen werde. Vorbereitete Leser können sofort verwenden Inhaltsverzeichnis:
- Die Methode des Subsumierens unter das Vorzeichen des Differentials für einfache Brüche
Zähler Künstliche Transformationsmethode
Beispiel 1
Übrigens kann das betrachtete Integral auch mit der Methode des Variablenwechsels gelöst werden, was bedeutet, aber die Lösung wird viel länger dauern.
Beispiel 2
Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Zu beachten ist, dass hier die Variablenersetzungsmethode nicht mehr funktioniert.
Achtung wichtig! Beispiele Nr. 1, 2 sind typisch und üblich. Insbesondere entstehen solche Integrale oft beim Lösen anderer Integrale, insbesondere beim Integrieren irrationaler Funktionen (Wurzeln).
Die obige Methode funktioniert auch in dem Fall wenn die höchste Potenz des Zählers größer ist als die höchste Potenz des Nenners.
Beispiel 3
Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.
Beginnen wir mit dem Zähler.
Der Zählerauswahlalgorithmus sieht ungefähr so aus:
1) Im Zähler muss ich organisieren , aber da . Was zu tun ist? Ich schließe in Klammern ein und multipliziere mit: .
2) Jetzt versuche ich diese Klammern zu öffnen, was passiert? . Hmm ... schon besser, aber es steht keine Zwei mit am Anfang im Zähler. Was zu tun ist? Du musst multiplizieren mit:
3) Klammern wieder öffnen: . Und hier ist der erste Erfolg! Benötigt stellte sich heraus! Aber das Problem ist, dass ein zusätzlicher Begriff aufgetaucht ist. Was zu tun ist? Damit sich der Ausdruck nicht ändert, muss ich das gleiche zu meiner Konstruktion hinzufügen: 
. Das Leben ist einfacher geworden. Ist es möglich, im Zähler neu zu organisieren?
4) Sie können. Wir versuchen: 
. Erweitern Sie die Klammern des zweiten Terms: 
. Entschuldigung, aber ich hatte eigentlich im vorherigen Schritt und nicht . Was zu tun ist? Wir müssen den zweiten Term multiplizieren mit: 
5) Auch hier öffne ich zur Kontrolle die Klammern im zweiten Term: 
. Jetzt ist es normal: Ab der endgültigen Konstruktion von Absatz 3 erhalten! Aber wieder gibt es ein kleines „aber“, ein zusätzlicher Begriff ist aufgetaucht, was bedeutet, dass ich meinen Ausdruck ergänzen muss: 
Wenn alles richtig gemacht ist, sollten wir beim Öffnen aller Klammern den ursprünglichen Zähler des Integranden erhalten. Wir überprüfen:
Gut.
Auf diese Weise: 
Bereit. Im letzten Semester habe ich die Methode angewendet, die Funktion unter das Differential zu bringen.
Wenn wir die Ableitung der Antwort finden und den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir genau den ursprünglichen Integranden. Die betrachtete Methode der Erweiterung in eine Summe ist nichts anderes als die umgekehrte Aktion, um den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Der Zählerauswahlalgorithmus in solchen Beispielen wird am besten an einem Entwurf durchgeführt. Mit etwas Geschick klappt es auch mental. Ich erinnere mich an eine Rekordzeit, als ich eine Auswahl für die 11. Potenz machte und die Erweiterung des Zählers fast zwei Zeilen Werd dauerte.
Beispiel 4
Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.
Die Methode des Subsumierens unter das Vorzeichen des Differentials für einfache Brüche
Kommen wir zur nächsten Art von Brüchen.
, , , (die Koeffizienten und sind ungleich Null).
Tatsächlich sind bereits einige Fälle mit Arkussinus und Arkustangens in die Lektion gerutscht Variable Änderungsmethode im unbestimmten Integral. Solche Beispiele löst man, indem man die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials bringt und dann über die Tabelle integriert. Hier sind einige weitere typische Beispiele mit einem langen und hohen Logarithmus:
Beispiel 5
Beispiel 6
Hier ist es ratsam, eine Integraltabelle zur Hand zu nehmen und den Formeln und Formeln zu folgen als Verwandlung findet statt. Beachten Sie, wie und warum Quadrate sind in diesen Beispielen hervorgehoben. Insbesondere in Beispiel 6 müssen wir zuerst den Nenner als darstellen 
, dann unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Und Sie müssen all dies tun, um die Standard-Tabellenformel zu verwenden 
.
Aber worauf Sie achten sollten, versuchen Sie, die Beispiele Nr. 7,8 selbst zu lösen, zumal sie ziemlich kurz sind:
Beispiel 7
Beispiel 8
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Wenn Sie diese Beispiele auch überprüfen können, dann ist Ihr Differenzierungsgeschick am besten.
Vollquadrat-Auswahlmethode
Integrale der Form , 
(Koeffizienten und ungleich Null) gelöst werden Full-Square-Auswahlmethode, die bereits in der Lektion aufgetaucht ist Geometrische Diagrammtransformationen.
Tatsächlich reduzieren sich solche Integrale auf eines der vier Tabellenintegrale, die wir gerade betrachtet haben. Und dies geschieht mit den bekannten abgekürzten Multiplikationsformeln:
Formeln werden in diese Richtung angewendet, das heißt, die Idee der Methode besteht darin, Ausdrücke im Nenner oder künstlich zu organisieren und sie dann jeweils in oder umzuwandeln.
Beispiel 9
Finden Sie das unbestimmte Integral
Dies ist das einfachste Beispiel, wo mit dem Begriff - Einheitskoeffizient(und nicht irgendeine Zahl oder Minus).
Wir schauen auf den Nenner, hier wird das Ganze ganz klar auf den Fall reduziert. Beginnen wir mit der Umrechnung des Nenners:
Offensichtlich müssen Sie 4 hinzufügen. Und damit sich der Ausdruck nicht ändert - die gleichen vier und subtrahieren:
Jetzt können Sie die Formel anwenden:
Nachdem die Konvertierung abgeschlossen ist STETS Es ist wünschenswert, eine Rückwärtsbewegung durchzuführen: Alles ist in Ordnung, es gibt keine Fehler.
Das saubere Design des betreffenden Beispiels sollte ungefähr so aussehen: 
Bereit. Eine "freie" komplexe Funktion unter das Differentialzeichen zu bringen, könnte im Prinzip vernachlässigt werden
Beispiel 10
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Dies ist ein Beispiel zum Selbstlösen, die Lösung steht am Ende der Lektion.
Beispiel 11
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Was tun, wenn ein Minus davor steht? In diesem Fall müssen Sie das Minus aus Klammern entfernen und die Begriffe in der von uns benötigten Reihenfolge anordnen:. Konstante("doppelt" in diesem Fall) Nicht Tasten!
Jetzt fügen wir eins in Klammern hinzu. Wenn wir den Ausdruck analysieren, kommen wir zu dem Schluss, dass wir einen hinter der Klammer brauchen - fügen Sie hinzu:
Hier ist die Formel, gelten:
STETS Wir prüfen den Entwurf:
, was zu überprüfen war.
Das cleane Design des Beispiels sieht ungefähr so aus: 
Wir erschweren die Aufgabe
Beispiel 12
Finden Sie das unbestimmte Integral: 
Hier handelt es sich bei dem Begriff nicht mehr um einen einzelnen Koeffizienten, sondern um eine „Fünf“.
(1) Wenn bei eine Konstante gefunden wird, entfernen wir sie sofort aus der Klammer.
(2) Generell ist es immer besser, diese Konstante aus dem Integral herauszunehmen, damit sie nicht stört.
(3) Es ist offensichtlich, dass alles auf die Formel gebracht wird. Es ist notwendig, den Begriff zu verstehen, nämlich eine "zwei" zu bekommen
(4) Ja, . Also addieren wir den Ausdruck und subtrahieren denselben Bruch.
(5) Wählen Sie nun ein ganzes Quadrat aus. Im allgemeinen Fall muss auch berechnet werden, aber hier haben wir eine lange Logarithmusformel 
, und die Aktion macht keinen Sinn, warum - es wird ein wenig tiefer klar werden.
(6) Eigentlich können wir die Formel anwenden 
, nur statt "x" haben wir, was die Gültigkeit des Tabellenintegrals nicht negiert. Genau genommen fehlt ein Schritt - vor der Integration hätte die Funktion unter das Differentialzeichen gebracht werden müssen: 
, aber wie ich wiederholt bemerkt habe, wird dies oft vernachlässigt.
(7) In der Antwort unter der Wurzel ist es wünschenswert, alle Klammern wieder zu öffnen:
Kompliziert? Dies ist nicht das Schwierigste in der Integralrechnung. Obwohl die betrachteten Beispiele nicht so sehr kompliziert sind, erfordern sie vielmehr eine gute Berechnungstechnik.
Beispiel 13
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Antworten Sie am Ende der Lektion.
Es gibt Integrale mit Wurzeln im Nenner, die mit Hilfe einer Ersetzung auf Integrale des betrachteten Typs reduziert werden, Sie können darüber im Artikel lesen Komplexe Integrale, aber es ist für gut vorbereitete Schüler konzipiert.
Den Zähler unter das Vorzeichen des Differentials bringen
Dies ist der letzte Teil der Lektion, aber Integrale dieser Art sind ziemlich üblich! Wenn sich die Müdigkeit angesammelt hat, ist es vielleicht besser, morgen zu lesen? ;)
Die Integrale, die wir betrachten werden, ähneln den Integralen des vorherigen Absatzes, sie haben die Form: oder 
(die Koeffizienten , und sind ungleich Null).
Das heißt, wir haben eine lineare Funktion im Zähler. Wie löst man solche Integrale?
Online-Rechner.
Auswahl des Quadrats des Binoms und Faktorisierung des quadratischen Trinoms.
Dieses Matheprogramm extrahiert das Quadrat des Binoms aus dem quadratischen Trinom, d.h. macht eine Transformation der Form: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) und faktorisiert das quadratische Trinom: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Jene. die Probleme reduzieren sich darauf, die Zahlen \(p, q \) und \(n, m \) zu finden
Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess.
Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.
Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Trinoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms
Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.
Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Ausführliches Lösungsbeispiel
Auswahl des Quadrats des Binoms.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Antworten:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisierung.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\links(x^2+x-2 \rechts) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Antworten:$$2x^2+2x-4 = 2 \links(x -1 \rechts) \links(x +2 \rechts) $$
Es wurde festgestellt, dass einige Skripte, die zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich sind, nicht geladen wurden und das Programm möglicherweise nicht funktioniert.
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Nach einigen Sekunden erscheint die Lösung unten.
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Ein bisschen Theorie.
Extraktion eines quadratischen Binoms aus einem quadratischen Trinom
Wenn das quadratische Trinom ax 2 + bx + c als a (x + p) 2 + q dargestellt wird, wobei p und q reelle Zahlen sind, dann sagt man das aus quadratisches Trinom, das Quadrat des Binoms ist hervorgehoben.
Lassen Sie uns das Quadrat des Binoms aus dem Trinom 2x 2 +12x+14 extrahieren.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Dazu stellen wir 6x als Produkt von 2 * 3 * x dar und addieren und subtrahieren dann 3 2 . Wir bekommen:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Dass. wir das Quadrat des Binoms aus dem quadratischen Trinom ausgewählt, und zeigte, dass:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
Wenn das quadratische Trinom ax 2 + bx + c als a(x+n)(x+m) dargestellt wird, wobei n und m reelle Zahlen sind, wird die Operation als ausgeführt bezeichnet Faktorisierungen eines quadratischen Trinoms.
Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie diese Transformation durchgeführt wird.
Lassen Sie uns das quadratische Trinom 2x 2 +4x-6 faktorisieren.
Nehmen wir den Koeffizienten a aus der Klammer, d.h. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern umwandeln.
Dazu stellen wir 2x als die Differenz 3x-1x und -3 als -1*3 dar. Wir bekommen:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Dass. wir Zerlege das quadratische Trinom, und zeigte, dass:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Beachten Sie, dass die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms nur möglich ist, wenn die quadratische Gleichung, die diesem Trinom entspricht, Wurzeln hat.
Jene. in unserem Fall ist die Faktorisierung des Trinoms 2x 2 +4x-6 möglich, wenn die quadratische Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 Wurzeln hat. Beim Faktorisieren haben wir festgestellt, dass die Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 zwei Wurzeln hat, 1 und -3, weil mit diesen Werten wird die Gleichung 2(x-1)(x+3)=0 zu einer wahren Gleichheit.
x Name-
1.2.3. Verwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten
Beispiel. Faktor x 4 16.
x 4 16 x 2 2 42 x 2 4 x 2 4 x 2 x 2 x 2 4 .
1.2.4. Faktorisieren eines Polynoms mit seinen Wurzeln
Satz. Das Polynom P x habe eine Wurzel x 1 . Dann kann dieses Polynom wie folgt faktorisiert werden: P x x x 1 S x , wobei S x ein Polynom ist, dessen Grad eins kleiner ist als
Werte abwechselnd in den Ausdruck für P x. Das bekommen wir für x 2 du-
der Ausdruck wird zu 0, d. h. P 2 0, was bedeutet, dass x 2 die Wurzel des Multi-
Mitglied. Teilen Sie das Polynom P x durch x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x 3 x 4
1.3. Vollständige quadratische Auswahl
Die Methode der vollständigen Quadratauswahl basiert auf den folgenden Formeln: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Die Auswahl des vollen Quadrats ist eine solche identische Transformation, bei der das gegebene Trinom als a b 2 die Summe oder Differenz des Quadrats des Binoms und eines numerischen oder wörtlichen Ausdrucks dargestellt wird.
Ein quadratisches Trinom in Bezug auf eine Variable ist ein Ausdruck der Form
ax 2 bx c , wobei a , b und c Zahlen sind, und a 0 . | |||||||||||||
Wir transformieren das quadratische Trinom ax 2 bx c wie folgt. | x2 : |
||||||||||||
Koeffizient | |||||||||||||
Dann stellen wir den Ausdruck b x als 2b x (Doppelprodukt
x): ein x | ||||||||||||||||
Addieren und subtrahieren Sie zum Ausdruck in Klammern die Zahl
was das Quadrat einer Zahl ist | Als Ergebnis erhalten wir: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Das merkt man jetzt | Werden | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Beispiel. Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 ein 2,
1.4. Polynome in mehreren Variablen
Polynome in mehreren Variablen können wie Polynome in einer Variablen addiert, multipliziert und in eine natürliche Potenz erhoben werden.
Eine wichtige Identitätstransformation eines Polynoms in mehreren Variablen ist die Faktorisierung. Hier werden solche Faktorisierungstechniken wie Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Gruppieren, Verwenden abgekürzter Multiplikationsidentitäten, Hervorheben des vollständigen Quadrats, Einführen von Hilfsvariablen verwendet.
1. Faktorisiere das Polynom P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2 Jahre 32 x 2 x 364 Jahre 32 x 2 x 4 Jahre x 24 Jahre x 16 Jahre 2.
2. Faktorisiere P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Wenden Sie die Gruppierungsmethode an
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3y5xz.
3. Faktorisiere P x ,y x 4 4y 4 . Wählen wir ein ganzes Quadrat aus:
x 4j 4x 44 x 2j 24 j 24 x 2j 2x 22 j 2 2 4 x 2j 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Gradeigenschaften mit einem beliebigen rationalen Exponenten
Ein Grad mit einem beliebigen rationalen Exponenten hat die folgenden Eigenschaften:
1. ein r 1 ein r 2 ein r 1r 2,
ein r 1 ein r 2 ein r 1r 2, |
||||||
3. ein r 1r 2 ein r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
ein r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
wobei a 0;b 0;r 1 ;r 2 beliebige rationale Zahlen sind.
1. Multipliziere 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Faktorisieren | a2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Übungen zur Selbstverwirklichung
1. Führen Sie Aktionen mit abgekürzten Multiplikationsformeln durch. ein) a 52 ;
2) 3 a 72;
3) ein nb n2 .
4) 1 x 3;
3 und 3 ; | |||||
7) 8a 2 8a 2 ;
8) ein nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) ein 3a 2 3a 9 ;
11) ein 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Berechnen Sie mit den abgekürzten Multiplikationsidentitäten:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Beweisen Sie die Identitäten:
ein). x 2 13 3 x 2 x 12 6 x x 1 11 x 3 32 2;
2) ein 2b 2 2 2 ab 2 ein 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63m 4n 327m 3n 445m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24x38bx12a19b;
7) 25 ein 21 b 2q 2;
8) 9 5 ein 4b 2 64a 2 ;
9) 121n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20 tn 25 n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 S. 3 q 8 72 S. 4 q 7 81 S. 5 q 6 ;
13) 6x3 36x 2 72x 48;
14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;
15) 9 ein 3 n 1 4,5 ein 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n ;
17) 4 ein 7b 232 ein 4b 5;
18) 7 x 24 Jahre 2 2 3 x 28 Jahre 2 2;
19) 1000 t 3 27 t 6 .
5. Am einfachsten rechnen:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Finden Sie den Quotienten und den Rest der Division eines Polynoms P x durch Polynom Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .
7. Beweisen Sie, dass das Polynom x 2 2x 2 hat keine wirklichen Wurzeln.
8. Finden Sie die Wurzeln eines Polynoms:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3 x 2 5 x 15.
9. Faktorisieren:
1) 6 ein 2 ein 5 5 ein 3;
2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2 ;
3) x 3 6 x 2 11 x 6.
10. Lösen Sie Gleichungen, indem Sie ein volles Quadrat auswählen:
1) x 2 2 x 3 0;
2) x 2 13 x 30 0 .
11. Ausdruckswerte finden:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Berechnen:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
 
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