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a2+b2=c2 c a b P

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Pythagoras hat diese Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks nicht entdeckt, er hat sie wohl als erster verallgemeinert und bewiesen und damit aus der Praxis in die Wissenschaft übertragen. Wir wissen nicht, wie er das gemacht hat. Es wird angenommen, dass der Beweis des Pythagoras dennoch nicht grundlegend war, sondern nur eine Bestätigung, eine Verifizierung dieser Eigenschaft an einer Reihe besonderer Arten von Dreiecken, beginnend mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck, für das sich offensichtlich aus Abb. ein.

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Beweise basierend auf der Verwendung des Konzepts der gleichen Fläche von Zahlen.

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Es ist klar, dass, wenn wir die vierfache Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Beinen a, b von der Fläche eines Quadrats abziehen, dann gleiche Flächen übrig bleiben, d.h. c2 = a2 + b2. Die alten Hindus, zu denen diese Argumentation gehört, schrieben sie jedoch meist nicht auf, sondern begleiteten die Zeichnung nur mit einem Wort: „Schau!“ Es ist durchaus möglich, dass Pythagoras den gleichen Beweis erbracht hat.

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zusätzliche Beweise. Diese Beweise basieren auf der Zerlegung der auf den Beinen gebauten Quadrate in Figuren, aus denen man ein auf der Hypotenuse gebautes Quadrat hinzufügen kann. Einsteins Beweis (Abb. 3) basiert auf der Zerlegung eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats in 8 Dreiecke.

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Auf Abb. 4 zeigt den Beweis des Satzes des Pythagoras unter Verwendung der Teilung von al-Nairiziya, einem mittelalterlichen Bagdad-Kommentator zu Euklids „Anfängen“. In dieser Partition wird das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat in 3 Dreiecke und 2 Vierecke unterteilt. Hier: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C; DE=BF. Beweisen Sie den Satz mit dieser Partition. D E

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Beweise durch Erweiterungsverfahren. Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass gleiche Figuren an den Quadraten, die auf den Beinen gebaut sind, und an dem Quadrat, das auf der Hypotenuse gebaut ist, so angebracht werden, dass gleiche Figuren erhalten werden.

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Die Gültigkeit des Satzes des Pythagoras folgt aus der gleichen Größe der Sechsecke AEDFPB und ACBNMQ. F

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Auf Abb. 13 ABC - rechteckig, C - rechter Winkel, CM AB, b1 - Projektion des Schenkels b auf die Hypotenuse, a1 - Projektion des Schenkels a auf die Hypotenuse, h - Höhe des Dreiecks zur Hypotenuse. Da ABC ACM ähnlich ist, folgt b2 = c*b1; (1) Da ABC BCM ähnlich ist, folgt a2 = c*a1. (2) Addiert man die Gleichungen (1) und (2) Term für Term, erhält man a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

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In Abbildung 15 bilden drei rechtwinklige Dreiecke ein Trapez. Daher kann die Fläche dieser Figur durch die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes oder als Summe der Flächen von drei Dreiecken ermittelt werden. Garfields Beweis.

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Biographie des Pythagoras. Der große Wissenschaftler Pythagoras wurde um 570 v. Chr. geboren. auf der Insel Samos. Der Vater von Pythagoras war Mnesarchus, ein Edelsteinschnitzer. Der Name der Mutter von Pythagoras ist nicht bekannt. Nach vielen alten Zeugnissen war der geborene Junge sagenhaft gutaussehend und zeigte bald seine herausragenden Fähigkeiten. Unter den Lehrern des jungen Pythagoras waren der ältere Germodamant und Pherekides von Syros. Der junge Pythagoras verbrachte ganze Tage zu Füßen des älteren Hermo und lauschte den Melodien der Kithara und den Hexametern Homers. Leidenschaft für Musik und Poesie des großen Homer, Pythagoras fürs Leben erhalten. Und als anerkannter Weiser begann Pythagoras den Tag, umgeben von einer Menge Studenten, indem er eines von Homers Liedern sang. Pherecydes war ein Philosoph und galt als Begründer der italienischen Schule der Philosophie. Aber wie dem auch sei, die rastlose Fantasie des jungen Pythagoras überfüllte bald den kleinen Samos, und er ging nach Milet, wo er sich mit einem anderen Wissenschaftler, Thales, traf. Thales rät ihm, nach Ägypten zu gehen, um Wissen zu erlangen, was Pythagoras tat. Im Jahr 548 v Pythagoras kam in Navcratis an, einer samischen Kolonie, wo es jemanden gab, der Unterschlupf und Nahrung suchte.

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Nachdem er die Sprache und Religion der Ägypter studiert hat, geht er nach Memphis. Trotz des Empfehlungsschreibens des Pharaos hatten es die listigen Priester nicht eilig, Pythagoras ihre Geheimnisse zu offenbaren, und boten ihm schwierige Prüfungen. Aber, angetrieben von seinem Wissensdurst, überwand Pythagoras sie alle, obwohl ihm die ägyptischen Priester laut Ausgrabungen nicht viel beibringen konnten, weil. Damals war die ägyptische Geometrie eine rein angewandte Wissenschaft (die das Bedürfnis der damaligen Zeit nach dem Zählen und Messen von Land befriedigte). Nachdem er alles gelernt hatte, was die Priester ihm gaben, zog er, nachdem er ihnen entkommen war, in seine Heimat nach Hellas. Nachdem er jedoch einen Teil des Weges zurückgelegt hat, entscheidet sich Pythagoras für eine Überlandreise, bei der er von Kambyses, dem König von Babylon, auf dem Heimweg gefangen genommen wird. Es ist nicht notwendig, das Leben von Pythagoras in Babylon zu dramatisieren, weil der große Herrscher Cyrus war tolerant gegenüber allen Gefangenen. Die babylonische Mathematik war zweifellos weiter fortgeschritten (ein Beispiel dafür ist das Positionssystem der Infinitesimalrechnung) als die ägyptische, und Pythagoras musste viel lernen. Aber im Jahr 530 v. Cyrus startete einen Feldzug gegen die Stämme in Zentralasien. Und Pythagoras nutzte die Aufregung in der Stadt und floh in seine Heimat.

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Und auf Samos regierte damals der Tyrann Polycrates. Natürlich war Pythagoras mit dem Leben des höfischen Halbsklaven nicht zufrieden und er zog sich in die Höhlen in der Nähe von Samos zurück. Nach mehreren Monaten der Ansprüche von Polycrates zieht Pythagoras nach Kroton. In Kroton gründete Pythagoras so etwas wie eine religiös-ethische Bruderschaft oder einen geheimen Mönchsorden ("Pythagoräer"), dessen Mitglieder verpflichtet waren, die sogenannte pythagoräische Lebensweise zu führen. Sie war gleichzeitig eine religiöse Vereinigung, ein politischer Verein und eine wissenschaftliche Gesellschaft. Es muss gesagt werden, dass einige der von Pythagoras gepredigten Prinzipien auch heute noch der Nachahmung wert sind. ... Es ist 20 Jahre her. Der Ruhm der Bruderschaft verbreitete sich auf der ganzen Welt. Eines Tages kommt Cylon, ein reicher, aber böser Mann, nach Pythagoras und will sich betrunken der Bruderschaft anschließen. Nachdem er abgelehnt wurde, beginnt Zylon einen Kampf mit Pythagoras und nutzt die Brandstiftung seines Hauses aus. Während des Feuers retteten die Pythagoräer auf eigene Kosten das Leben ihres Lehrers, woraufhin Pythagoras Heimweh bekam und bald Selbstmord beging.

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"Beweise des Satzes des Pythagoras" Die Arbeit wurde von einer Studentin der Gruppe 8-1,2 Ekaterina Kuzakova durchgeführt Inhalt: Einführung Biographie des Pythagoras Der Satz des Pythagoras Beweise des Satzes des Pythagoras "Triples" Literaturverzeichnis Geschichte des Satzes. Das alte China Beginnen wir unseren historischen Rückblick mit dem alten China. Hier zieht das mathematische Buch von Chu-pei besondere Aufmerksamkeit auf sich. Dieser Aufsatz sagt folgendes über das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5: „Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Linie, die die Enden seiner Seiten verbindet, 5, wenn die Basis 3 ist, und die Höhe ist 4." Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmt. Altägypten Kantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3² + 4² = 5² den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. bekannt war. h. während der Zeit von König Amenemhet I. (laut Papyrus 6619 des Berliner Museums) Laut Cantor bauten Harpedonapten oder "Saitenspanner" rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten 3, 4 und 5. Es ist ihre Bauweise sehr einfach zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen. Das alte Babylon Unter den Babyloniern ist etwas mehr über den Satz des Pythagoras bekannt. In einem Text aus der Zeit von Hammurabi, also bis 2000 v. h., eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben. Daraus können wir schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte. Die altindische Geometrie war sowohl bei den Hindus als auch bei den Ägyptern und Babyloniern eng mit dem Kult verbunden. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Hypotenuse-Quadrat-Satz bereits um das 18. Jahrhundert v. Chr. in Indien bekannt war. e. Biographie von Pythagoras Der große Wissenschaftler Pythagoras wurde um 570 v. Chr. geboren. auf der Insel Samos. Der Vater von Pythagoras war Mnesarchus, ein Edelsteinschnitzer. Der Name der Mutter von Pythagoras ist unbekannt. Nach vielen alten Zeugnissen war der geborene Junge sagenhaft gutaussehend und zeigte bald seine herausragenden Fähigkeiten. Leidenschaft für Musik und Poesie des großen Homer, Pythagoras fürs Leben erhalten. Bald überfüllte sich die rastlose Fantasie des jungen Pythagoras auf dem kleinen Samos und er ging nach Milet, wo er sich mit einem anderen Wissenschaftler, Thales, traf. Dann begibt er sich auf eine Reise und wird vom babylonischen König Cyrus gefangen genommen. Im Jahr 530 BC. Cyrus startete einen Feldzug gegen die Stämme in Zentralasien. Und Pythagoras nutzte die Aufregung in der Stadt und floh in seine Heimat. Und auf Samos regierte damals der Tyrann Polycrates. Nach mehreren Monaten der Ansprüche von Polycrates zieht Pythagoras nach Kroton. In Kroton gründete Pythagoras so etwas wie eine religiös-ethische Bruderschaft oder einen geheimen Mönchsorden ("Pythagoräer"), dessen Mitglieder verpflichtet waren, die sogenannte pythagoräische Lebensweise zu führen. ... Es ist 20 Jahre her. Der Ruhm der Bruderschaft verbreitete sich auf der ganzen Welt. Eines Tages kommt Cylon, ein reicher, aber böser Mann, nach Pythagoras und will sich betrunken der Bruderschaft anschließen. Nachdem er abgelehnt wurde, beginnt Zylon einen Kampf mit Pythagoras und nutzt die Brandstiftung seines Hauses aus. Während des Feuers retteten die Pythagoräer auf eigene Kosten das Leben ihres Lehrers, woraufhin Pythagoras Heimweh bekam und bald Selbstmord beging. Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate. Andere Formulierungen des Theorems. Bei Euklid lautet dieser Satz (wörtliche Übersetzung): "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Seite, die über den rechten Winkel gespannt ist, gleich den Quadraten auf den Seiten, die den rechten Winkel einschließen." In Geometria Culmonensis (um 1400) in Übersetzung lautet der Satz wie folgt: „Der Flächeninhalt eines Quadrats, gemessen entlang der langen Seite, ist also so groß wie der von zwei Quadraten, die an zwei Seiten davon gemessen werden neben einem rechten Winkel." Beweise des Satzes von Pythagoras Der einfachste Beweis. Den einfachsten Beweis des Satzes erhält man im einfachsten Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Tatsächlich reicht es aus, sich nur die Kachelung gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke anzusehen, um zu sehen, dass der Satz wahr ist. Zum Beispiel für das Dreieck ABC: Das auf der Hypotenuse AC aufgebaute Quadrat enthält 4 Anfangsdreiecke, und die auf den Schenkeln aufgebauten Quadrate enthalten zwei. Beweis durch Zerlegungsverfahren. Epsteins Beweis Wir beginnen mit Epsteins Beweis; sein Vorteil ist, dass hier nur Dreiecke als Bestandteile der Zerlegung auftreten. Zum Verständnis der Zeichnung ist zu beachten, dass die Linie CD senkrecht zur Linie EF gezeichnet ist. Nachweisen. 1. 2. 3. 4. Zeichnen Sie eine Linie EF, die die Diagonalen von zwei Quadraten enthält, die auf den Beinen des Dreiecks gebaut sind, und ziehen Sie eine Linie CD senkrecht zu EF durch die Spitze des rechten Winkels des Dreiecks. Von den Punkten A und B Erweitern Sie die Seiten des Quadrats, das auf der Hypotenuse des Dreiecks aufgebaut ist, bis zum Schnittpunkt mit EF. Wir verbinden die auf der Linie EF erhaltenen Punkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Quadrats und erhalten paarweise gleiche Dreiecke. Beachten Sie, dass die Linie CD das größere Quadrat in zwei gleiche rechteckige Trapeze teilt, die in Dreiecke geteilt werden können, die Quadrate an den Beinen bilden, und wir erhalten ein Quadrat mit einer Seite, die der Hypotenuse des Dreiecks entspricht. Der Satz ist bewiesen. Nielsens Beweis. 1. Wir erweitern die Seite AB des Quadrats, das auf der Hypotenuse des Dreiecks aufgebaut ist. 2. Konstruiere eine Linie EF parallel zu BC. 3. Konstruiere eine Linie FH parallel zu AB. 4. Konstruiere eine gerade Linie von Punkt D parallel zu CH. 5. Konstruieren Sie eine gerade Linie von Punkt A parallel zu CG 6. Zeichnen Sie ein Segment MN parallel zu CH 7. Da alle im größeren Dreieck erhaltenen Figuren gleich den Figuren in den auf den Beinen gebauten Quadraten sind, ist die Fläche von Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Beinen. Der Satz ist bewiesen. F E H C B M N G A D Betchers Beweis. 1. 2. 3. Lassen Sie uns eine Linie zeichnen, auf der die Diagonalen der Quadrate liegen, die auf den Beinen des Dreiecks aufgebaut sind, und parallele Segmente von den Eckpunkten der Quadrate auf diese Linie fallen lassen. Lassen Sie uns die großen und kleinen Teile der Quadrate über der Achse neu anordnen. Lassen Sie uns die resultierende Figur wie in der Abbildung gezeigt teilen und sie so anordnen, dass wir ein Quadrat erhalten, dessen Seite gleich der Hypotenuse des Dreiecks ist. Der Satz ist bewiesen. Beweis nach dem Komplementverfahren. Von zwei gleichen Flächen müssen gleiche Teile abgezogen werden, so dass in einem Fall zwei Quadrate auf den Beinen und im anderen ein Quadrat auf der Hypotenuse gebaut werden. Auf Abb. Die Dreiecke 2 und 3, gleich dem ursprünglichen Dreieck 1, werden oben und unten an eine gewöhnliche pythagoräische Figur angehängt.Die Linie DG verläuft notwendigerweise durch C. Wir stellen jetzt fest (wir werden dies später beweisen), dass die Sechsecke DABGFE und CAJKHB gleich sind . Wenn wir die Dreiecke 1 und 2 vom ersten subtrahieren, bleiben Quadrate auf den Beinen, und wenn wir die gleichen Dreiecke 1 und 3 vom zweiten Sechseck subtrahieren, bleibt ein Quadrat, das auf der Hypotenuse gebaut ist. Dies impliziert, dass das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Beinen gebildeten Quadrate ist. Es bleibt zu beweisen, dass unsere Sechsecke gleich sind. Beachten Sie, dass die Linie DG das obere Sechseck in gleiche Teile teilt; dasselbe gilt für die Gerade CK und das untere Sechseck. Drehen Sie das Viereck DABG, das die Hälfte des Sechsecks DABGFE ist, um den Punkt A im Uhrzeigersinn um einen Winkel von 90; dann fällt es mit dem Viereck CAJK zusammen, das die Hälfte des Sechsecks CAJKHB ist. Daher sind die Sechsecke DABGFE und CAJKHB gleich. Der Satz ist bewiesen. Beweis durch Subtraktion. Machen wir uns mit einem anderen Beweis durch die Subtraktionsmethode vertraut. Wir schließen die bekannte Zeichnung des Satzes von Pythagoras in einen rechteckigen Rahmen ein, dessen Seitenrichtungen mit den Richtungen der Schenkel des Dreiecks übereinstimmen. Lassen Sie uns einige der Segmente der Figur wie in der Abbildung gezeigt fortsetzen, während das Rechteck in mehrere Dreiecke, Rechtecke und Quadrate zerfällt. Lassen Sie uns zunächst einige Teile aus dem Rechteck entfernen, sodass nur ein auf der Hypotenuse aufgebautes Quadrat übrig bleibt. Diese Teile sind wie folgt: 1. 2. 3. 4. Dreiecke 1, 2, 3, 4; Rechteck 5; Rechteck 6 und Quadrat 8; Rechteck 7 und Quadrat 9; 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Dann werfen wir die Teile des Rechtecks ​​weg, sodass nur die an den Beinen gebauten Quadrate übrig bleiben. Diese Teile sind: Rechtecke 6 und 7; Rechteck 5; Rechteck 1 (schattiert); Rechteck 2 (schattiert); Es bleibt uns nur noch zu zeigen, dass die subtrahierten Teile gleich sind. Dies ist aufgrund der Anordnung der Figuren leicht zu erkennen. Aus der Figur wird deutlich, dass: das Rechteck 5 gleich groß wie sich selbst ist; vier Dreiecke 1,2,3,4 haben die gleiche Fläche wie zwei Rechtecke 6 und 7; Rechteck 6 und Quadrat 8 zusammengenommen haben die gleiche Größe wie Rechteck 1 (schattiert);; Rechteck 7 zusammen mit Quadrat 9 sind flächengleich mit Rechteck 2 (schattiert); Der Satz ist bewiesen Pythagoreische „Tripel“ In der Schule des Pythagoras wurden auch die sogenannten pythagoreischen Tripel der natürlichen Zahlen eingehend untersucht. Das sind Zahlen, bei denen das Quadrat einer Zahl gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden ist. Das heißt, für die gilt die Gleichheit a 2 + b 2 \u003d c 2 (a, b, c sind natürliche Zahlen) Dies sind beispielsweise die Zahlen 3, 4, 5. Alle Tripel von teilerfremden pythagoreischen Zahlen können sein erhalten durch die Formeln: +1 b=2n (n+1) c=2n 2 +2n , wobei n eine natürliche Zahl ist Liste der verwendeten Literatur. Seiten im Internet: http://th-pif.narod.ru/dopoln.htm http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm

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Satz des Pythagoras

Die Wahrheit wird ewig bleiben, sobald ein schwacher Mensch sie erkennt! Und jetzt der Satz von Pythagoras Vern, wie in seiner fernen Zeit.

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Aussage des Satzes Beweise des Satzes Bedeutung des Satzes des Pythagoras

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Aussage des Theorems

„Beweisen Sie, dass das Quadrat, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut wird, gleich der Summe der Quadrate ist, die auf den Beinen gebaut werden.“ „Die Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut wurden.“

Zur Zeit des Pythagoras klang der Satz so:

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Moderne Formulierung

"In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten."

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Beweise des Satzes

Es gibt ungefähr 500 verschiedene Beweise dieses Satzes (geometrisch, algebraisch, mechanisch usw.).

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Der einfachste Beweis

Betrachten Sie das in der Abbildung gezeigte Quadrat. Die Seite des Quadrats ist a + c.

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In einem Fall (links) wird das Quadrat in ein Quadrat mit der Seite b und vier rechtwinklige Dreiecke mit den Schenkeln a und c geteilt.

In einem anderen Fall (rechts) wird das Quadrat in zwei Quadrate mit den Seiten a und c und vier rechtwinklige Dreiecke mit den Schenkeln a und c geteilt.

Somit erhalten wir, dass die Fläche eines Quadrats mit der Seite b gleich der Summe der Flächen der Quadrate mit den Seiten a und c ist.

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Euklids Beweis

Gegeben: ABC-rechtwinkliges Dreieck Beweise: SABDE=SACFG+SBCHI

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Nachweisen:

Sei ABDE das Quadrat, das auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ABC aufgebaut ist, und ACFG und BCHI seien die Quadrate, die auf seinen Beinen aufgebaut sind. Lassen Sie uns die Senkrechte CP von der Spitze C des rechten Winkels zur Hypotenuse fallen lassen und sie fortsetzen, bis sie die Seite DE des Quadrats ABDE im Punkt Q schneidet; Verbinde die Punkte C und E, B und G.

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Offensichtlich sind die Winkel CAE=GAB(=A+90°); Daraus folgt, dass die Dreiecke ACE und AGB (in der Abbildung schattiert) einander gleich sind (auf zwei Seiten und dem zwischen ihnen eingeschlossenen Winkel). Vergleichen Sie als nächstes das Dreieck ACE und das Rechteck PQEA; sie haben eine gemeinsame Basis AE und eine auf diese Basis fallende Höhe AP, daher SPQEA = 2SACE. In ähnlicher Weise haben das Quadrat FCAG und das Dreieck BAG eine gemeinsame Basis GA und eine Höhe AC; also SFCAG=2SGAB

Daraus und aus der Gleichheit der Dreiecke ACE und GBA folgt die gleiche Fläche des Rechtecks ​​QPBD und des Quadrats CFGA; ebenso wird die gleiche Fläche des Rechtecks ​​QPAE und des Quadrats CHIB bewiesen. Und daraus folgt, dass das Quadrat von ABDE gleich der Summe der Quadrate von ACFG und BCHI ist, d.h. Satz des Pythagoras.

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Algebraischer Beweis

Gegeben: ABC-rechtwinkliges Dreieck. Beweise: AB2=AC2+BC2

Beweis: 1) Ziehe die Höhe CD vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C. 2) Durch Definition des Kosinus des Winkels cosA=AD/AC=AC/AB folgt AB*AD=AC2. 3) Ebenso cosB=BD/BC=BC/AB, also AB*BD=BC2. 4) Wenn wir die resultierenden Gleichheiten Term für Term addieren, erhalten wir: AC2+BC2=AB*(AD + DB) AB2=AC2+BC2. Q.E.D.

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geometrischer Beweis

Gegeben: ABC-rechtwinkliges Dreieck. Beweise: BC2=AB2+AC2

Beweis: 1) Konstruiere eine Strecke CD gleich der Strecke AB auf der Verlängerung des Schenkels AC des rechtwinkligen Dreiecks ABC. Dann senken wir die Senkrechte ED auf das Segment AD, gleich dem Segment AC, verbinden die Punkte B und E. 2) Die Fläche der Figur ABED kann gefunden werden, wenn wir sie als Summe der Flächen dreier Dreiecke betrachten :

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Figur ABED ist ein Trapez, also ist ihre Fläche: SABED= (DE+AB)*AD/2. 4) Wenn wir die linken Teile der gefundenen Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2 /2 AB* AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2. Dieser Beweis wurde 1882 von Garfield veröffentlicht.

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Die Bedeutung des Satzes des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten Sätze der Geometrie. Seine Bedeutung liegt darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet werden können.

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Die Schüler des Mittelalters hielten den Beweis des Satzes des Pythagoras für sehr schwierig und nannten ihn Dons asinorum - Eselsbrücke, oder Elefuga - die Flucht der "Elenden", da einige "elende" Studenten, die keine ernsthafte mathematische Ausbildung hatten, flohen Geometrie. Schwache Schüler, die Sätze ohne Verständnis auswendig lernten und deshalb „Esel“ genannt wurden, konnten den Satz des Pythagoras nicht überwinden, der ihnen wie eine unüberwindbare Brücke diente. Aufgrund der Zeichnungen zum Satz des Pythagoras nannten die Schüler es auch „Windmühle“, verfassten Gedichte wie „Pythagoräische Hosen sind auf allen Seiten gleich“ und zeichneten Karikaturen.

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Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind ... Dies ist einer der berühmtesten geometrischen Theoreme der Antike, der als Satz des Pythagoras bezeichnet wird. Es ist immer noch fast jedem bekannt, der sich jemals mit Planimetrie befasst hat. Es scheint uns, dass wir, wenn wir außerirdische Zivilisationen über die Existenz intelligenten Lebens auf der Erde wissen lassen wollen, ein Bild der pythagoreischen Figur in den Weltraum schicken sollten. Es scheint, dass, wenn denkende Wesen diese Informationen akzeptieren können, sie ohne komplizierte Signaldekodierung verstehen werden, dass es eine ziemlich entwickelte Zivilisation auf der Erde gibt.

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Pythagoras von Samos

(ca. 580 - ca. 500 v. Chr.)

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Heute ist allgemein anerkannt, dass Pythagoras den ersten Beweis des Satzes, der seinen Namen trägt, geliefert hat. Leider ist auch von diesem Beweis keine Spur erhalten. Daher haben wir keine andere Wahl, als einige der klassischen Beweise des Satzes des Pythagoras zu betrachten, die aus alten Abhandlungen bekannt sind. Dies ist auch deshalb sinnvoll, weil moderne Schulbücher einen algebraischen Beweis des Satzes liefern. Gleichzeitig verschwindet die ursprüngliche geometrische Aura des Theorems spurlos, jener Faden der Ariadne, der die alten Weisen zur Wahrheit führte, geht verloren, und dieser Weg erwies sich fast immer als der kürzeste und immer schöne. Der Satz des Pythagoras besagt: „Das Quadrat, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut wird, ist gleich der Summe der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut werden.“ Den einfachsten Beweis des Satzes erhält man im einfachsten Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Wahrscheinlich begann das Theorem mit ihm. Tatsächlich reicht es aus, sich nur die Kachelung gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke anzusehen, um zu sehen, dass der Satz wahr ist.

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Beweis durch Zerlegung

Es gibt eine Reihe von Beweisen für den Satz des Pythagoras, in dem die auf den Beinen und auf der Hypotenuse gebauten Quadrate so geschnitten werden, dass jeder Teil des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats einem Teil eines der auf den Beinen gebauten Quadrate entspricht. In all diesen Fällen genügt ein Blick auf die Zeichnung, um den Beweis zu verstehen; das Argument kann hier auf ein einziges Wort beschränkt werden: „Schau!“, wie es in den Schriften der alten hinduistischen Mathematiker getan wurde. Es sollte jedoch beachtet werden, dass der Beweis tatsächlich nicht als vollständig angesehen werden kann, bis wir die Gleichheit aller einander entsprechenden Teile bewiesen haben. Dies ist fast immer ziemlich einfach, kann aber (insbesondere bei einer großen Anzahl von Teilen) ziemlich viel Arbeit erfordern.

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Epsteins Beweis

Beginnen wir mit Epsteins Beweis (Abb. 1); sein Vorteil ist, dass hier nur Dreiecke als Bestandteile der Zerlegung auftreten. Zum Verständnis der Zeichnung ist zu beachten, dass die Linie CD senkrecht zur Linie EF gezeichnet ist. Die Zerlegung in Dreiecke kann auch visueller gemacht werden als in der Figur.

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Nielsens Beweis.

In der Abbildung wurden auf Anregung von Nielsen die Hilfslinien geändert.

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Betchers Beweis.

Die Abbildung zeigt eine sehr anschauliche Boether-Erweiterung.

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Nachweis von Perigal.

Lehrbücher enthalten oft die in der Abbildung angegebene Zerlegung (das sogenannte "Rad mit Klingen"; dieser Beweis wurde von Perigal gefunden). Durch das Zentrum O des Quadrats, das auf dem größeren Bein gebaut ist, ziehen wir gerade Linien, parallel und senkrecht zur Hypotenuse. Die Entsprechung der Teile der Figur ist aus der Zeichnung deutlich ersichtlich.

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Gutheils Beweis.

Die in der Abbildung gezeigte Zersetzung ist auf Gutheil zurückzuführen; es zeichnet sich durch eine optische Anordnung der Einzelteile aus, die Sie sofort erkennen lassen, welche Vereinfachungen der Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit sich bringt.

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CE-Beweis aus dem 9. Jahrhundert

Bisher wurden nur solche Beweise vorgelegt, bei denen das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat einerseits und die auf den Beinen gebauten Quadrate andererseits aus gleichen Teilen zusammengesetzt waren. Solche Beweise werden als Additionsbeweise ("additive Beweise") oder häufiger als Zerlegungsbeweise bezeichnet. Bisher sind wir von der üblichen Anordnung von Quadraten ausgegangen, die auf den entsprechenden Seiten des Dreiecks, also außerhalb des Dreiecks, gebaut sind. In vielen Fällen ist jedoch eine andere Anordnung der Quadrate vorteilhafter. In der Abbildung sind die auf den Beinen aufgebauten Quadrate in Stufen nebeneinander angeordnet. Diese Zahl, die spätestens im 9. Jahrhundert n. Chr. Belegt ist, h., die Hindus nannten den „Stuhl der Braut“. Die Methode zum Konstruieren eines Quadrats mit einer Seite gleich der Hypotenuse ist aus der Zeichnung ersichtlich. Der gemeinsame Teil von zwei Quadraten, die auf den Beinen gebaut sind, und einem Quadrat, das auf der Hypotenuse gebaut ist, ist ein unregelmäßig schattiertes Fünfeck 5.

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Wenn wir die Dreiecke 1 und 2 daran befestigen, erhalten wir beide Quadrate auf den Beinen; Wenn wir die Dreiecke 1 und 2 durch die Dreiecke 3 und 4 ersetzen, die ihnen gleich sind, erhalten wir ein Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist. Die folgenden Abbildungen zeigen zwei unterschiedliche Anordnungen, die der in der ersten Abbildung nahekommen.

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Beweise nach dem Komplementverfahren

Neben Beweisen nach dem Additionsverfahren können Beispiele für Subtraktionsbeweise, auch Beweise nach dem Additionsverfahren genannt, angegeben werden. Die allgemeine Idee solcher Beweise ist wie folgt. Von zwei gleichen Flächen müssen gleiche Teile abgezogen werden, so dass in einem Fall zwei Quadrate auf den Beinen und im anderen ein Quadrat auf der Hypotenuse gebaut werden. Wenn nämlich in den Gleichheiten B-A \u003d C und B1-A1 \u003d C1 Teil A gleich Teil A1 und Teil B gleich B1 ist, dann sind auch die Teile C und C1 gleich.

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Lassen Sie uns diese Methode anhand eines Beispiels erläutern. Auf Abb. Die Dreiecke 2 und 3, gleich dem ursprünglichen Dreieck 1, werden oben und unten an eine gewöhnliche pythagoräische Figur angehängt.Die Linie DG verläuft notwendigerweise durch C. Wir stellen jetzt fest (wir werden dies später beweisen), dass die Sechsecke DABGFE und CAJKHB gleich sind . Wenn wir die Dreiecke 1 und 2 vom ersten subtrahieren, bleiben die auf den Beinen aufgebauten Quadrate erhalten, und wenn wir die gleichen Dreiecke 1 und 3 vom zweiten Sechseck subtrahieren, bleibt das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat erhalten. Dies impliziert, dass das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Beinen gebildeten Quadrate ist. Es bleibt zu beweisen, dass unsere Sechsecke gleich sind. Beachten Sie, dass die Linie DG das obere Sechseck in gleiche Teile teilt; dasselbe gilt für die Gerade CK und das untere Sechseck. Drehen Sie das Viereck DABG, das die Hälfte des Sechsecks DABGFE ist, um den Punkt A im Uhrzeigersinn um einen Winkel von 90; dann fällt es mit dem Viereck CAJK zusammen, das die Hälfte des Sechsecks CAJKHB ist. Daher sind die Sechsecke DABGFE und CAJKHB gleich

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Ein weiterer Beweis durch Subtraktion

Machen wir uns mit einem anderen Beweis durch die Subtraktionsmethode vertraut. Wir schließen die bekannte Zeichnung des Satzes von Pythagoras in einen rechteckigen Rahmen ein, dessen Seitenrichtungen mit den Richtungen der Schenkel des Dreiecks übereinstimmen. Lassen Sie uns einige der Segmente der Figur wie in der Abbildung gezeigt fortsetzen, während das Rechteck in mehrere Dreiecke, Rechtecke und Quadrate zerfällt. Lassen Sie uns zunächst einige Teile aus dem Rechteck entfernen, sodass nur ein auf der Hypotenuse aufgebautes Quadrat übrig bleibt. Diese Teile sind wie folgt:

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Dreiecke 1, 2, 3, 4; Rechteck 5; Rechteck 6 und Quadrat 8; Rechteck 7 und Quadrat 9; Dann werfen wir die Teile aus dem Rechteck weg, sodass nur die an den Beinen gebauten Quadrate übrig bleiben. Diese Teile sind: Rechtecke 6 und 7; Rechteck 5; Rechteck 1 (schattiert); Rechteck 2 (schattiert); Es bleibt uns nur noch zu zeigen, dass die subtrahierten Teile gleich sind. Dies ist aufgrund der Anordnung der Figuren leicht zu erkennen. Aus der Figur wird deutlich, dass: das Rechteck 5 gleich groß wie sich selbst ist; vier Dreiecke 1,2,3,4 haben die gleiche Fläche wie zwei Rechtecke 6 und 7; Rechteck 6 und Quadrat 8 zusammengenommen haben die gleiche Größe wie Rechteck 1 (schattiert);; Rechteck 7 zusammen mit Quadrat 9 sind flächengleich mit Rechteck 2 (schattiert); Beweis abgeschlossen

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Der vereinfachte Beweis von Euklid

Sowohl bei Zerlegungsbeweisen als auch bei Beweisen vom euklidischen Typ kann man von einer beliebigen Anordnung von Quadraten ausgehen. Manchmal ist es möglich, Vereinfachungen zu erreichen. Lassen Sie das Quadrat, das auf einem der Beine gebaut ist (in der Abbildung ist es ein Quadrat, das auf dem größeren Bein gebaut ist), sich auf derselben Seite des Beins wie das Dreieck selbst befinden. Dann verläuft die Fortsetzung der dem Bein gegenüberliegenden Seite dieses Quadrats durch den Scheitelpunkt des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats. Der Beweis erweist sich in diesem Fall als recht einfach, denn hier reicht es aus, die Bereiche der für uns interessanten Figuren mit dem Bereich des Knochendreiecks (es ist schattiert) - dem Bereich von - zu vergleichen Dieses Dreieck ist gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats und gleichzeitig der Hälfte der Fläche des Rechtecks

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Hawkins-Beweis.

Lassen Sie uns noch einen weiteren Beweis geben, der rechnerischer Natur ist, sich aber stark von allen vorherigen unterscheidet. Es wurde 1909 von dem Engländer Hawkins veröffentlicht; ob es vorher bekannt war, ist schwer zu sagen. Drehe das rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel C um 90°, sodass es die Position A"CB" einnimmt. Wir setzen die Hypotenuse A "B" über Punkt A "bis zum Schnittpunkt mit der Linie AB bei Punkt D fort. Das Segment B" D wird die Höhe des Dreiecks B "AB" sein. Betrachten Sie nun das schattierte Viereck A "AB" B. Es kann in zwei gleichschenklige Dreiecke CAA "und SVV" (oder zwei Dreiecke A"B"A und A"B"B) zerlegt werden. SCAA"=b²/2 SCBB"=a²/2 SA"AB"B=(a² +b²)/2 Dreiecke A"B" A und A "B" B haben eine gemeinsame Basis c und Höhen DA und DB, also: SA "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2 Wenn wir die beiden erhaltenen Ausdrücke für die Fläche vergleichen, erhalten wir: a²+b²=c² Der Satz ist bewiesen.

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Der Beweis basiert auf der Ähnlichkeitstheorie.

Zeichnen Sie in einem rechtwinkligen Dreieck ABC eine Höhe CD vom Scheitelpunkt des rechten Winkels; dann wird das Dreieck in zwei Dreiecke geteilt, die ebenfalls rechtwinklig sind. Die resultierenden Dreiecke ähneln einander und dem ursprünglichen Dreieck. Dies lässt sich leicht mit dem ersten Ähnlichkeitstest (bei zwei Winkeln) nachweisen. Tatsächlich ist sofort klar, dass die Dreiecke ABC und ACD neben dem rechten Winkel einen gemeinsamen Winkel a haben, die Dreiecke CBD und ABC einen gemeinsamen Winkel b. Dass auch kleine Dreiecke einander ähnlich sind, ergibt sich aus der Tatsache, dass jedes von ihnen einem großen Dreieck ähnlich ist. Sie kann aber auch direkt eingestellt werden.

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Andere Beweise des Satzes von Pythagoras

Beweise basierend auf der Verwendung des Konzepts der gleichen Fläche von Zahlen. zusätzliche Beweise. Beweise durch Erweiterungsverfahren Algebraisches Beweisverfahren. Nachweis Waldheim.

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Es gibt viele Beweise für den Satz des Pythagoras, die sowohl mit jeder der beschriebenen Methoden als auch mit einer Kombination verschiedener Methoden durchgeführt werden. Um die Übersicht der Beispiele verschiedener Beweise zu vervollständigen, werden wir weitere Zeichnungen geben, die acht Wege veranschaulichen, auf die es in Euklids „Elementen“ Hinweise gibt (Abb. 16-23). In diesen Zeichnungen ist die pythagoräische Figur mit einer durchgezogenen Linie gezeigt, und zusätzliche Konstruktionen sind mit einer gepunkteten Linie gezeigt.

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Versuchen Sie anhand dieser Abbildungen, den Satz des Pythagoras selbst zu beweisen.

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Fazit

Abschließend stellen wir fest, dass es eine umfangreiche Literatur über den Satz des Pythagoras, seine Geschichte und viele andere damit zusammenhängende geometrische Fakten gibt.

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Referenzliste:

1. Van der Waerden B.L. Erwachende Wissenschaft. Mathematik des alten Ägypten, Babylon und Griechenland. M, 1959.2. Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. M, 1982,3. Yelensky Sh. Auf den Spuren von Pythagoras. M, 1961.4. Litzman V. Der Satz des Pythagoras. M, 1960,5. Skopets Z.A. Geometrische Miniaturen. M., 1990.

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Verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Abgeschlossen von: einer Schülerin der 8. Klasse "A" des MBOU "OSH No. 26" in der Stadt Engels, Lyusina Alena. Lehrerin: Eremeeva Elena Borisovna

Geschichte des Theorems. Chu-pei 500-200 v. Auf der linken Seite befindet sich die Inschrift: Die Summe der Quadrate der Längen der Höhe und der Basis ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse. Das alte chinesische Buch Chu-pei (englisch) (chinesisch 周髀算經) spricht von einem pythagoreischen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5. Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie übereinstimmt von Bashara.

Geschichte des Theorems. Moritz Cantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3 ​​² + 4 ² = 5² bereits den Ägyptern um 2300 v. Chr. bekannt war. h., während der Zeit von König Amenemhet I. (nach Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten Harpedonapten oder „Saitenspanner“ rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten 3, 4 und 5.

Geschichte des Theorems. Gemäß dem Kommentar von Proclus zu Euklid verwendete Pythagoras (von dem allgemein angenommen wird, dass er zwischen 570 und 490 v. Chr. Lebte) algebraische Methoden, um pythagoreische Tripel zu finden. Proclus glaubte jedoch, dass nicht ausdrücklich erwähnt wurde, dass Pythagoras der Autor des Theorems war. Wenn jedoch Autoren wie Plutarch und Cicero über den Satz des Pythagoras schreiben, schreiben sie, als ob die Urheberschaft des Pythagoras weithin bekannt und sicher wäre. Periode der pythagoreischen Mathematik. Der Legende nach feierte Pythagoras die Entdeckung seines Satzes mit einem riesigen Festmahl, bei dem er zur Feier hundert Stiere schlachtete. Um 400 v. h., laut Proclus gab Plato eine Methode zum Finden von pythagoreischen Tripeln, indem er Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. e. Euklids Elemente enthalten den ältesten axiomatischen Beweis des Satzes des Pythagoras.

Aussage des Theorems. Satz des Pythagoras: Die Summe der Flächen der Quadrate, die auf den Beinen (a und b) basieren, ist gleich der Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse (c) gebaut ist. Geometrische Formulierung: Ursprünglich wurde der Satz wie folgt formuliert: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate.

Aussage des Theorems. Algebraische Formulierung: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenusenlänge gleich der Summe der Quadrate der Schenkellängen.

Beweis für. Derzeit sind 367 Beweise dieses Theorems in der wissenschaftlichen Literatur verzeichnet. Wahrscheinlich ist der Satz des Pythagoras der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Eine solche Vielfalt kann nur durch die grundlegende Bedeutung des Theorems für die Geometrie erklärt werden.

Beweis durch Äquikomplementation Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a, b und der Hypotenuse c. Vervollständigen wir das Dreieck zu einem Quadrat mit den Seiten a + b, wie in der Abbildung rechts gezeigt. Die Fläche S dieses Quadrats ist (a+b) 2 . Andererseits besteht dieses Quadrat aus vier gleichgroßen rechtwinkligen Dreiecken mit der Fläche ab und einem Quadrat mit der Seite c, also S=4 · ab+c 2 =2ab+c 2 . Somit ist (a+b) 2 =2ab+c 2 , womit a 2 +b 2 =c 2 . Der Satz ist bewiesen.

Beweis von Leonardo da Vinci Die Hauptelemente des Beweises sind Symmetrie und Bewegung. Betrachten Sie die Zeichnung, wie aus der Symmetrie ersichtlich ist, schneidet das Segment CI das Quadrat ABHJ in zwei identische Teile (da die Dreiecke ABC und JHI baugleich sind). Unter Verwendung einer 90-Grad-Drehung gegen den Uhrzeigersinn um Punkt A sehen wir die Gleichheit der schraffierten Figuren CAJI und DABG. Jetzt ist klar, dass die Fläche der Figur, die wir schattiert haben, gleich der Summe der Hälfte der Flächen kleiner Quadrate (auf den Beinen gebaut) und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits ist es gleich der Hälfte der Fläche des großen Quadrats (auf der Hypotenuse gebaut) plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Somit ist die halbe Summe der Flächen der kleinen Quadrate gleich der Hälfte der Fläche des großen Quadrats, und daher ist die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate gleich der Fläche des gebauten Quadrats auf der Hypotenuse.

Hier ist die übliche pythagoreische Figur - ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Quadraten an seinen Seiten. An dieser Figur sind die Dreiecke 1 und 2 angebracht, die dem ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck entsprechen. Nachweis durch Vervollständigungsmethode

"Rad mit Schaufeln" Hier: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C; O - die Mitte eines Quadrats, das auf einem großen Bein gebaut ist; gestrichelte Linien, die durch den Punkt O verlaufen, sind senkrecht oder parallel zur Hypotenuse. Diese Zerlegung von Quadraten ist insofern interessant, als ihre paarweise gleichen Vierecke durch Paralleltranslation aufeinander abgebildet werden können.

Beweis von An-Nairiziya In dieser Partition wird das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat in 3 Dreiecke und 2 Vierecke unterteilt. Hier: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C.

Bhaskaris Beweis Die Figur wurde von nur einem Wort begleitet: SCHAU!

Garfields Beweis Hier bilden drei rechtwinklige Dreiecke ein Trapez. Daher kann die Fläche dieser Figur durch die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes oder als Summe der Flächen von drei Dreiecken ermittelt werden. Im ersten Fall ist diese Fläche im zweiten gleich. Durch Gleichsetzen dieser Ausdrücke erhalten wir den Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras ist einer der grundlegenden Sätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks festlegt. „Das Schaufelrad“ An-Nairiziyas Beweis Garfields Beweis

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