Fertige Werke

DIESE ARBEITEN

Vieles liegt schon hinter dir und jetzt bist du Absolvent, wenn du deine Abschlussarbeit natürlich rechtzeitig schreibst. Aber das Leben ist so, dass Ihnen erst jetzt klar wird, dass Sie, nachdem Sie aufgehört haben, ein Student zu sein, alle Studentenfreuden verlieren werden, von denen Sie viele nicht versucht haben, alles aufschieben und auf später verschieben. Und jetzt bastelst du statt Nachholbedarf an deiner Abschlussarbeit? Es gibt einen tollen Ausweg: Laden Sie die gewünschte Abschlussarbeit von unserer Website herunter - und Sie haben sofort viel Freizeit!
Diplomarbeiten wurden an den führenden Universitäten der Republik Kasachstan erfolgreich verteidigt.
Arbeitskosten ab 20 000 Tenge

KURSARBEITEN

Das Kursprojekt ist die erste ernsthafte praktische Arbeit. Mit dem Verfassen einer Hausarbeit beginnt die Vorbereitung auf die Entwicklung von Abschlussarbeiten. Wenn ein Student lernt, in einem Studienprojekt das Thema inhaltlich richtig zu formulieren und korrekt zu erarbeiten, dann wird er in Zukunft weder mit dem Verfassen von Referaten noch mit dem Verfassen von Abschlussarbeiten oder anderen praktischen Aufgaben Probleme haben. Um Studierende beim Verfassen einer solchen Studienarbeit zu unterstützen und die Fragen zu klären, die sich im Laufe der Erstellung ergeben, wurde dieser Informationsteil geschaffen.
Arbeitskosten ab 2 500 Tenge

MASTERARBEITEN

Gegenwärtig ist in den Hochschulen Kasachstans und der GUS-Staaten die Phase der höheren Berufsbildung, die auf den Bachelor-Abschluss folgt, der Master-Abschluss, sehr verbreitet. In der Magistratur studieren die Studierenden mit dem Ziel, einen Master-Abschluss zu erlangen, der in den meisten Ländern der Welt mehr als ein Bachelor-Abschluss anerkannt und auch von ausländischen Arbeitgebern anerkannt wird. Das Ergebnis der Ausbildung im Magistrat ist die Verteidigung einer Masterarbeit.
Wir stellen Ihnen aktuelles Analyse- und Textmaterial zur Verfügung, der Preis beinhaltet 2 wissenschaftliche Artikel und ein Abstract.
Arbeitskosten ab 35 000 Tenge

PRAXISBERICHTE

Nach Abschluss jeder Art von Studentenpraxis (Bildung, Industrie, Grundstudium) ist ein Bericht erforderlich. Dieses Dokument ist eine Bestätigung der praktischen Arbeit des Studenten und die Grundlage für die Bildung der Bewertung für das Praktikum. Für die Erstellung eines Praktikumsberichts müssen Sie in der Regel Informationen über das Unternehmen sammeln und analysieren, die Struktur und den Arbeitsplan der Organisation, in der das Praktikum stattfindet, berücksichtigen, einen Kalenderplan erstellen und Ihre praktische Tätigkeit beschreiben.
Wir helfen Ihnen beim Verfassen eines Praktikumsberichts unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Tätigkeit eines bestimmten Unternehmens.

Mechanische Schwingungen, die sich in einem elastischen Medium (fest, flüssig oder gasförmig) ausbreiten, werden als mechanisch oder elastisch bezeichnet Wellen.

Der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen in einem kontinuierlichen Medium wird als Wellenvorgang oder als Welle bezeichnet. Teilchen des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet, werden von der Welle nicht in Translationsbewegungen einbezogen. Sie schwingen nur um ihre Gleichgewichtslagen. Zusammen mit der Welle wird nur der Zustand der Schwingungsbewegung und deren Energie vom Teilchen auf das Teilchen des Mediums übertragen. So Die Haupteigenschaft aller Wellen, unabhängig von ihrer Natur, ist die Übertragung von Energie ohne die Übertragung von Materie.

Je nach Richtung der Teilchenschwingungen bzgl

in die Richtung, in der sich die Welle ausbreitet Profi-

Senke und quer Wellen.

Die elastische Welle heißt längs, wenn die Schwingungen der Teilchen des Mediums in Richtung der Wellenausbreitung erfolgen. Längswellen sind mit volumetrischer Zugdehnung verbunden – Kompression des Mediums, sodass sie sich sowohl in Festkörpern als auch ausbreiten können

in flüssigen und gasförmigen Medien.

x Scherverformungen. Diese Eigenschaft haben nur feste Körper.

λ In Abb. 6.1.1 präsentiert die Harmonie

die Abhängigkeit der Verschiebung aller Teilchen des Mediums vom Abstand zur Schwingungsquelle zu einem bestimmten Zeitpunkt. Der Abstand zwischen den nächsten Teilchen, die in der gleichen Phase schwingen, wird genannt Wellenlänge. Die Wellenlänge ist auch gleich der Strecke, über die sich eine bestimmte Phase der Schwingung über die Schwingungsdauer ausbreitet

Nicht nur Teilchen, die sich entlang der 0-Achse befinden, schwingen X, sondern eine Reihe von Teilchen, die in einem bestimmten Volumen eingeschlossen sind. Geometrischer Ort von Punkten, zu denen Schwankungen zum Zeitpunkt der Zeit gelangen t, wird genannt Wellenfront. Die Wellenfront ist die Fläche, die den bereits am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich trennt, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind. Der Ort von Punkten, die in der gleichen Phase oszillieren, wird genannt Wellenoberfläche. Die Wellenoberfläche kann durch einen beliebigen Punkt im vom Wellenprozess abgedeckten Raum gezogen werden. Wellenoberflächen können jede beliebige Form haben. Im einfachsten Fall haben sie die Form einer Ebene oder Kugel. Dementsprechend wird die Welle in diesen Fällen als flach oder kugelförmig bezeichnet. Bei einer ebenen Welle sind die Wellenoberflächen eine Reihe von Ebenen, die parallel zueinander verlaufen, und bei einer sphärischen Welle sind sie eine Reihe konzentrischer Kugeln.

Gleichung für ebene Wellen

Die Gleichung für ebene Wellen ist ein Ausdruck, der die Verschiebung eines schwingenden Teilchens als Funktion seiner Koordinaten angibt x, j, z und Zeit t

S=S(x,j,z,t).

(6.2.1)

Diese Funktion muss zeitlich periodisch sein t, sowie in Bezug auf die Koordinaten x, j, z. Die zeitliche Periodizität folgt aus der Tatsache, dass die Verschiebung S beschreibt Schwingungen eines Teilchens mit Koordinaten x, j, z, und die Periodizität in Koordinaten folgt aus der Tatsache, dass Punkte, die einen Abstand voneinander haben, der gleich der Wellenlänge ist, auf die gleiche Weise schwingen.

Nehmen wir an, dass die Schwingungen harmonischer Natur sind, und die 0-Achse X stimmt mit der Ausbreitungsrichtung der Welle überein. Dann stehen die Wellenflächen senkrecht zur 0-Achse X und da alles

die Punkte der Wellenoberfläche schwingen in gleicher Weise, der Verschiebung S hängt nur von der Koordinate ab X und Zeit t

Lassen Sie uns die Art der Schwingung von Punkten in der Ebene finden, die einem beliebigen Wert entspricht X. Um den Weg aus dem Flugzeug zu gehen X= 0 zur Ebene X, die Welle benötigt die Zeit τ = x/υ. Also Schwingungen von Teilchen, die in einer Ebene liegen X, wird zeitlich um τ Teilchenschwingungen in der Ebene nacheilen X= 0 und durch die Gleichung beschrieben werden

S(x;t)=EIN cosω( t− τ)+ϕ		= EIN cos	ω t −	x		+ϕ		. (6.2.4)
						υ

wo SONDERN ist die Amplitude der Welle; ϕ 0 - die Anfangsphase der Welle (bestimmt durch die Wahl der Referenzpunkte X und t).

Lassen Sie uns einen Wert der Phase ω( t − xυ) +ϕ 0 = const .

Dieser Ausdruck definiert die Beziehung zwischen Zeit t und dieser Ort X, bei der die Phase einen festen Wert hat. Wenn wir diesen Ausdruck differenzieren, erhalten wir

Geben wir die Gleichung einer ebenen Welle an, die symmetrisch zu ist

effektiv X und t Aussicht. Dazu führen wir den Wert ein k= 2 λ π , was aufgerufen wird

etsja Wellennummer, die dargestellt werden kann als

Wir haben angenommen, dass die Schwingungsamplitude nicht davon abhängt X. Bei einer ebenen Welle wird dies beobachtet, wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird. Bei der Ausbreitung in einem energieabsorbierenden Medium nimmt die Intensität der Welle mit der Entfernung von der Schwingungsquelle allmählich ab, d.h. es wird eine Wellendämpfung beobachtet. In einem homogenen Medium tritt eine solche Dämpfung exponentiell auf

Gesetz EIN = EIN 0 e −β x. Dann hat die ebene Wellengleichung für ein absorbierendes Medium die Form

wo r r ist der Radiusvektor, Wellenpunkte; k = k ⋅n r- Wellenvektor; n r ist der Einheitsvektor der Normalen zur Wellenoberfläche.

Wellenvektor ist ein Vektor, der im Absolutwert gleich der Wellenzahl ist k und mit der Richtung der Normalen zur Wellenoberfläche auf-

namens.
Gehen wir vom Radiusvektor eines Punktes zu seinen Koordinaten x, j, z
r	r	(6.3.2)
k	⋅r=kxx+k y y+k z z.
Dann nimmt Gleichung (6.3.1) die Form an
S(x,j,z;t)=EIN cos(ω t−kxx−k y y−k z z+ϕ 0).	(6.3.3)

Stellen wir die Form der Wellengleichung auf. Dazu finden wir die zweiten partiellen Ableitungen nach Koordinaten und Zeit, den Ausdruck (6.3.3)

∂ 2 S

r

r

∂t

= −ω EIN cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ 0) = −ω S;

∂ 2 S

r

r

∂x

= − k x A cos(ω t − k

⋅r

+ϕ 0) = − k x S

.

(6.3.4)

∂ 2 S

r

r

∂j

= − k y A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ 0) = − k y S;

∂ 2 S

r

r

∂z

= − k z A cos(ω t − k

⋅r

+ϕ 0) = − k z S

Addieren von Ableitungen in Bezug auf Koordinaten und Berücksichtigen der Ableitung

rechtzeitig bekommen wir

∂

2

2

∂

2

∂

2

S 2

+ ∂

S 2

+

S 2

= − (kx 2 + k y 2 + kz 2)S

= − k 2 S =

k

S 2 .

(6.3.5)

∂t

∂x

∂j

∂z

ω

2

Wir sorgen für Ersatz

k

=

ω 2

=

und erhalte die Wellengleichung

ω

υ

ω

υ

∂ 2 S

+

∂ 2 S

+

∂ 2 S

=

1 ∂ 2 S

oder

S=

1 ∂ 2 S

,

(6.3.6)

∂x 2

∂j 2

∂z 2

υ 2 ∂ t 2

υ 2 ∂ t 2

wo =

∂ 2

+

∂ 2

+

∂ 2

ist der Laplace-Operator.

∂x 2

∂j 2

∂z 2

Wellen sind alle Störungen des Zustands der Materie oder des Feldes, die sich im Laufe der Zeit im Raum ausbreiten.

Mechanisch sogenannte Wellen, die in elastischen Medien entstehen, d.h. in Medien, in denen Kräfte entstehen, die verhindern:

1) Zug-(Druck-)Verformungen;

2) Scherverformungen.

Im ersten Fall dort Längswelle, bei dem die Schwingungen der Teilchen des Mediums in Ausbreitungsrichtung der Schwingungen erfolgen. Longitudinalwellen können sich in festen, flüssigen und gasförmigen Körpern ausbreiten, weil Sie sind mit dem Auftreten elastischer Kräfte beim Wechsel verbunden Volumen.

Im zweiten Fall existiert es im Raum Querwelle, bei dem die Teilchen des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Schwingungen schwingen. Transversalwellen können sich nur in Festkörpern ausbreiten, weil verbunden mit der Entstehung elastischer Kräfte beim Wechseln Formen Karosserie.

Schwingt ein Körper in einem elastischen Medium, so wirkt er auf die ihm benachbarten Teilchen des Mediums ein und versetzt sie in erzwungene Schwingungen. Das Medium in der Nähe des schwingenden Körpers wird verformt, es entstehen in ihm elastische Kräfte, die auf immer weiter vom Körper entfernte Teilchen des Mediums wirken und diese aus dem Gleichgewicht bringen. Im Laufe der Zeit werden immer mehr Teilchen des Mediums in oszillierende Bewegung versetzt.

Mechanische Wellenphänomene sind für das tägliche Leben von großer Bedeutung. Zum Beispiel können wir dank der Schallwellen, die durch die Elastizität der Umgebung verursacht werden, hören. Diese Wellen in Gasen oder Flüssigkeiten sind Druckschwankungen, die sich in einem bestimmten Medium ausbreiten. Als Beispiele für mechanische Wellen können auch genannt werden: 1) Wellen auf der Wasseroberfläche, bei denen die Verbindung benachbarter Abschnitte der Wasseroberfläche nicht auf Elastizität, sondern auf Schwerkraft und Oberflächenspannungskräften beruht; 2) Druckwellen von Granatenexplosionen; 3) seismische Wellen - Schwankungen in der Erdkruste, die sich vom Ort eines Erdbebens ausbreiten.

Der Unterschied zwischen elastischen Wellen und jeder anderen geordneten Bewegung der Teilchen des Mediums besteht darin, dass die Ausbreitung von Schwingungen nicht mit der Übertragung der Substanz des Mediums von einem Ort zum anderen über große Entfernungen verbunden ist.

Der Ort der Punkte, an denen Schwingungen einen bestimmten Zeitpunkt erreichen, wird genannt Vorderseite Wellen. Die Wellenfront ist die Fläche, die den bereits am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich trennt, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind.

Der Ort von Punkten, die in der gleichen Phase oszillieren, wird genannt Wellenoberfläche. Die Wellenoberfläche kann durch einen beliebigen Punkt im vom Wellenprozess abgedeckten Raum gezogen werden. Folglich gibt es unendlich viele Wellenflächen, während es zu jedem Zeitpunkt nur eine Wellenfront gibt, die sich ständig bewegt. Die Form der Front kann je nach Form und Abmessungen der Schwingungsquelle und den Eigenschaften des Mediums unterschiedlich sein.

Im Falle eines homogenen und isotropen Mediums breiten sich Kugelwellen von einer Punktquelle aus, d.h. die Wellenfront ist in diesem Fall eine Kugel. Wenn die Schwingungsquelle eine Ebene ist, unterscheidet sich in ihrer Nähe jeder Abschnitt der Wellenfront kaum von einem Teil der Ebene, daher werden Wellen mit einer solchen Front als ebene Wellen bezeichnet.

Nehmen wir an, dass sich während der Zeit ein Teil der Wellenfront nach verschoben hat. Wert

heißt Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront bzw Phasengeschwindigkeit Wellen an dieser Stelle.

Eine Linie, deren Tangente an jedem Punkt mit der Richtung der Welle an diesem Punkt übereinstimmt, d.h. mit der Richtung der Energieübertragung bezeichnet Strahl. In einem homogenen isotropen Medium ist der Strahl eine gerade Linie senkrecht zur Wellenfront.

Schwingungen von der Quelle können entweder harmonisch oder nicht harmonisch sein. Dementsprechend laufen Wellen von der Quelle aus einfarbig und nicht einfarbig. Eine nicht-monochromatische Welle (die Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen enthält) kann in monochromatische Wellen zerlegt werden (von denen jede Schwingungen der gleichen Frequenz enthält). Eine monochromatische (sinusförmige) Welle ist eine Abstraktion: Eine solche Welle muss räumlich und zeitlich unendlich ausgedehnt werden.

Vortrag Nr. 9

mechanische Wellen

6.1. Ausbreitung von Schwingungen in einem elastischen Medium.

6.2. Gleichung für ebene Wellen.

6.3. Wellengleichung.

6.4. Win verschiedenen Medien.

Mechanische Schwingungen, die sich in einem elastischen Medium (fest, flüssig oder gasförmig) ausbreiten, werden als mechanisch oder elastisch bezeichnet Wellen.

Der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen in einem kontinuierlichen Medium wird allgemein als Wellenprozess oder als Welle bezeichnet. Die Teilchen des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet, werden durch die Welle nicht in Translationsbewegungen verwickelt. sie schwingen nur um ihre Gleichgewichtslagen. Zusammen mit der Welle werden nur der Schwingungszustand und seine Energie von Teilchen zu Teilchen des Mediums übertragen. Aus diesem Grund Die Haupteigenschaft aller Wellen, unabhängig von ihrer Natur, ist die Übertragung von Energie ohne die Übertragung von Materie.

Unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit von Teilchenschwingungen in Bezug auf die Richtung, in der sich die Welle ausbreitet, unterscheiden wir längs und quer Wellen.

längs, wenn die Schwingungen der Teilchen des Mediums in Richtung der Wellenausbreitung erfolgen. Longitudinalwellen sind mit volumetrischer Zug-Druck-Verformung des Mediums verbunden und können sich daher sowohl in Festkörpern als auch in flüssigen und gasförmigen Medien ausbreiten.

Eine elastische Welle wird genannt quer, wenn die Schwingungen der Teilchen des Mediums in Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle auftreten: Querwellen können nur in einem Medium entstehen, das die Elastizität der Form hat, d.h. in der Lage ist, einer Scherverformung zu widerstehen. Diese Eigenschaft haben nur feste Körper.

Auf Abb. 6.1.1 zeigt eine harmonische Scherwelle, die sich entlang der 0-Achse ausbreitet X. Das Wellendiagramm gibt die Abhängigkeit der Verschiebung aller Teilchen des Mediums vom Abstand zur Schwingungsquelle zu einem bestimmten Zeitpunkt an. Der Abstand zwischen den nächsten Teilchen, die in der gleichen Phase schwingen, wird genannt Wellenlänge. Die Wellenlänge ist auch gleich diesem Abstand, eine bestimmte Phase der Schwingung breitet sich während der Schwingungsperiode über den ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ aus

Nicht nur Teilchen, die sich entlang der 0-Achse befinden, schwingen X, sondern eine Reihe von Teilchen, die in einem bestimmten Volumen eingeschlossen sind. Der Ort der Punkte, die Schwingungen zum Zeitpunkt der Zeit erreichen t, allgemein genannt Wellenfront. Die Wellenfront ist die Fläche, die den bereits am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich trennt, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind. Der Ort von Punkten, die in der gleichen Phase oszillieren, wird genannt Wellenoberfläche. Die Wellenoberfläche kann durch einen beliebigen Punkt im vom Wellenprozess abgedeckten Raum gezogen werden. Wellenoberflächen gibt es in allen Formen. Im einfachsten Fall haben sie die Form einer Ebene oder Kugel. Dementsprechend wird die Welle in diesen Fällen als flach oder kugelförmig bezeichnet. Bei einer ebenen Welle sind die Wellenoberflächen eine Reihe von Ebenen, die parallel zueinander verlaufen, und bei einer sphärischen Welle sind sie eine Reihe konzentrischer Kugeln.

Wellen

Die wichtigsten Arten von Wellen sind elastische (z. B. Schall- und seismische Wellen), Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit und elektromagnetische Wellen (einschließlich Licht- und Radiowellen). Charakteristisch für Wellen ist, dass bei ihrer Ausbreitung Energie ohne Materie übertragen wird. Betrachten Sie zunächst die Ausbreitung von Wellen in einem elastischen Medium.

Wellenausbreitung in einem elastischen Medium

Ein schwingender Körper, der in einem elastischen Medium angeordnet ist, wird die ihm benachbarten Teilchen des Mediums mitziehen und in oszillierende Bewegung versetzen. Letzteres wirkt sich wiederum auf benachbarte Teilchen aus. Es ist klar, dass die mitgerissenen Teilchen jenen Teilchen, die sie mitreißen, in der Phase hinterherhinken, da die Übertragung von Schwingungen von Punkt zu Punkt immer mit einer endlichen Geschwindigkeit erfolgt.

Ein schwingender Körper in einem elastischen Medium ist also eine Quelle von Schwingungen, die sich von ihm in alle Richtungen ausbreiten.

Als Welle bezeichnet man den Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen in einem Medium. Oder Eine elastische Welle ist der Fortpflanzungsprozess einer Störung in einem elastischen Medium .

Wellen passieren quer (Schwingungen treten in einer Ebene senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung auf). Dazu gehören elektromagnetische Wellen. Wellen passieren längs wenn die Schwingungsrichtung mit der Wellenausbreitungsrichtung übereinstimmt. Zum Beispiel die Schallausbreitung in der Luft. Komprimierung und Verdünnung von Partikeln des Mediums erfolgen in Richtung der Wellenausbreitung.

Wellen können eine unterschiedliche Form haben, sie können regelmäßig und unregelmäßig sein. Von besonderer Bedeutung in der Theorie der Wellen ist eine harmonische Welle, d.h. eine unendliche Welle, bei der die Zustandsänderung des Mediums nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz erfolgt.

Prüfen elastische harmonische Wellen . Zur Beschreibung des Wellenprozesses werden eine Reihe von Parametern verwendet. Lassen Sie uns die Definitionen einiger von ihnen aufschreiben. Die Störung, die irgendwann im Medium zu einem bestimmten Zeitpunkt aufgetreten ist, breitet sich im elastischen Medium mit einer bestimmten Geschwindigkeit aus. Ausgehend von der Schwingungsquelle erfasst der Wellenprozess immer neue Teile des Weltraums.

Der Ort der Punkte, an denen Schwingungen einen bestimmten Zeitpunkt erreichen, wird als Wellenfront oder Wellenfront bezeichnet.

Die Wellenfront trennt den bereits am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind.

Der Ort von Punkten, die in der gleichen Phase schwingen, wird als Wellenoberfläche bezeichnet.

Es kann viele Wellenflächen geben, und es gibt immer nur eine Wellenfront.

Wellenoberflächen können jede beliebige Form haben. Im einfachsten Fall haben sie die Form einer Ebene oder Kugel. Dementsprechend heißt die Welle in diesem Fall Wohnung oder kugelförmig . Bei einer ebenen Welle sind die Wellenflächen ein Satz von zueinander parallelen Ebenen, bei einer Kugelwelle ein Satz konzentrischer Kugeln.

Lassen Sie eine ebene harmonische Welle mit einer Geschwindigkeit entlang der Achse ausbreiten. Grafisch wird eine solche Welle als Funktion (Zeta) für einen festen Zeitpunkt dargestellt und stellt die Abhängigkeit der Verschiebung von Punkten mit unterschiedlichen Werten von der Gleichgewichtslage dar. ist der Abstand von der Schwingungsquelle , in der sich beispielsweise das Teilchen befindet. Die Abbildung gibt ein augenblickliches Bild der Verteilung von Störungen entlang der Richtung der Wellenausbreitung. Die Strecke, über die sich die Welle in einer Zeit ausbreitet, die gleich der Schwingungsdauer der Teilchen des Mediums ist, wird genannt Wellenlänge .

,

wo ist diet.

Gruppengeschwindigkeit

Eine streng monochromatische Welle ist eine endlose Folge von "Höckern" und "Tälern" in Zeit und Raum.

Die Phasengeschwindigkeit dieser Welle, bzw (2)

Mit Hilfe einer solchen Welle ist es unmöglich, ein Signal zu übertragen, weil. An jedem Punkt der Welle sind alle "Buckel" gleich. Das Signal muss anders sein. Sei ein Zeichen (Label) auf der Welle. Aber dann ist die Welle nicht mehr harmonisch und wird nicht durch Gleichung (1) beschrieben. Das Signal (Impuls) kann nach dem Fourier-Theorem als Überlagerung von Oberwellen mit in einem bestimmten Intervall enthaltenen Frequenzen dargestellt werden Dw . Eine Überlagerung von Wellen, die sich in der Frequenz wenig voneinander unterscheiden

namens Wellenpaket oder Wellengruppe .

Der Ausdruck für eine Gruppe von Wellen kann wie folgt geschrieben werden.

(3)

Symbol w betont, dass diese Größen von der Frequenz abhängen.

Dieses Wellenpaket kann eine Summe von Wellen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen sein. Bei Phasengleichheit der Wellen kommt es zu einer Amplitudenzunahme, bei gegenläufigen Phasen zu einer Dämpfung der Amplitude (Ergebnis von Interferenzen). Ein solches Bild ist in der Abbildung dargestellt. Damit die Überlagerung von Wellen als eine Gruppe von Wellen betrachtet werden kann, muss die folgende Bedingung erfüllt sein Dw<< w 0 .

In einem nichtdispersiven Medium breiten sich alle ein Wellenpaket bildenden ebenen Wellen mit der gleichen Phasengeschwindigkeit aus v . Dispersion ist die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit einer Sinuswelle in einem Medium von der Frequenz. Wir werden das Dispersionsphänomen später im Abschnitt Wellenoptik betrachten. In Abwesenheit von Dispersion fällt die Geschwindigkeit der Wellenpaketbewegung mit der Phasengeschwindigkeit zusammen v . In einem dispersiven Medium breitet sich jede Welle mit ihrer eigenen Geschwindigkeit aus. Daher breitet sich das Wellenpaket mit der Zeit aus, seine Breite nimmt zu.

Wenn die Dispersion klein ist, dann erfolgt die Ausbreitung des Wellenpakets nicht zu schnell. Daher kann der Bewegung des gesamten Pakets eine bestimmte Geschwindigkeit zugeordnet werden U .

Die Geschwindigkeit, mit der sich das Zentrum des Wellenpakets (der Punkt mit dem größten Amplitudenwert) bewegt, wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet.

In einem dispersiven Medium v¹ U . Zusammen mit der Bewegung des Wellenpakets selbst gibt es eine Bewegung von "Buckeln" innerhalb des Pakets selbst. "Buckel" bewegen sich mit einer Geschwindigkeit im Raum v , und das Paket als Ganzes mit der Geschwindigkeit U .

Betrachten wir die Bewegung eines Wellenpakets näher am Beispiel einer Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude und unterschiedlicher Frequenz w (verschiedene Wellenlängen l ).

Schreiben wir die Gleichungen zweier Wellen auf. Nehmen wir der Einfachheit halber die Anfangsphasen j0 = 0.

Hier

Lassen Dw<< w , bzw Dk<< k .

Wir addieren die Schwankungen und führen Transformationen mit der trigonometrischen Formel für die Kosinussumme durch:

Im ersten Kosinus vernachlässigen wir Dwt und Dkx , die viel kleiner sind als andere Größen. Das lernen wir cos(–a) = cosa . Schreiben wir es endlich auf.

(4)

Der Faktor in eckigen Klammern ändert sich mit der Zeit und koordiniert viel langsamer als der zweite Faktor. Daher kann der Ausdruck (4) als eine ebene Wellengleichung mit einer durch den ersten Faktor beschriebenen Amplitude betrachtet werden. Graphisch ist die durch Ausdruck (4) beschriebene Welle in der oben gezeigten Figur gezeigt.

Die resultierende Amplitude wird als Ergebnis der Addition von Wellen erhalten, daher werden Maxima und Minima der Amplitude beobachtet.

Die maximale Amplitude wird durch die folgende Bedingung bestimmt.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax ist die Koordinate der maximalen Amplitude.

Der Kosinus nimmt den Maximalwert modulo durch p .

Jedes dieser Maxima kann als Zentrum der entsprechenden Wellengruppe betrachtet werden.

Auflösung (5) bzgl xmax werden.

Da die Phasengeschwindigkeit die Gruppengeschwindigkeit genannt. Mit dieser Geschwindigkeit bewegt sich die maximale Amplitude des Wellenpakets. In der Grenze hat der Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit die folgende Form.

(6)

Dieser Ausdruck gilt für das Zentrum einer Gruppe beliebig vieler Wellen.

Es sei darauf hingewiesen, dass bei genauer Berücksichtigung aller Terme der Entwicklung (für eine beliebige Anzahl von Wellen) der Ausdruck für die Amplitude so erhalten wird, dass daraus folgt, dass sich das Wellenpaket über die Zeit ausbreitet.
Dem Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit kann eine andere Form gegeben werden.

Daher kann der Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit wie folgt geschrieben werden.

(7)

ist ein impliziter Ausdruck, da v , und k hängt von der Wellenlänge ab l .

Dann (8)

Setze (7) ein und erhalte.

(9)

Dies ist die sogenannte Rayleigh-Formel. J. W. Rayleigh (1842-1919), englischer Physiker, Nobelpreisträger 1904, für die Entdeckung von Argon.

Aus dieser Formel folgt, dass je nach Vorzeichen der Ableitung die Gruppengeschwindigkeit größer oder kleiner als die Phasengeschwindigkeit sein kann.

In Abwesenheit von Dispersion

Das Intensitätsmaximum fällt auf die Mitte der Wellengruppe. Daher ist die Energieübertragungsrate gleich der Gruppengeschwindigkeit.

Das Konzept der Gruppengeschwindigkeit ist nur unter der Bedingung anwendbar, dass die Wellenabsorption im Medium gering ist. Bei einer deutlichen Dämpfung der Wellen verliert der Begriff der Gruppengeschwindigkeit seine Bedeutung. Dieser Fall wird im Bereich der anomalen Dispersion beobachtet. Wir werden dies im Abschnitt Wellenoptik betrachten.

Saitenschwingungen

Bei Anregung von Querschwingungen werden in einer gespannten, an beiden Enden fixierten Saite stehende Wellen aufgebaut und an den Stellen, an denen die Saite fixiert ist, Knoten lokalisiert. Daher werden in einer Saite nur solche Schwingungen mit merklicher Intensität angeregt, deren halbe Wellenlänge ganzzahlig über die Länge der Saite passt.

Dies impliziert die folgende Bedingung.

Oder

(n = 1, 2, 3, …),

l- String-Länge. Die Wellenlängen entsprechen den folgenden Frequenzen.

(n = 1, 2, 3, …).

Die Phasengeschwindigkeit der Welle wird durch die Saitenspannung und die Masse pro Längeneinheit bestimmt, d.h. die lineare Dichte der Saite.

F - Saitenspannkraft, ρ" ist die lineare Dichte des Saitenmaterials. Frequenzen vn namens natürliche Frequenzen Saiten. Eigenfrequenzen sind Vielfache der Grundfrequenz.

Diese Frequenz wird aufgerufen fundamentale Frequenz .

Harmonische Schwingungen mit solchen Frequenzen nennt man Eigen- oder Normalschwingungen. Sie werden auch gerufen Obertöne . Im Allgemeinen ist die Schwingung einer Saite eine Überlagerung verschiedener Obertöne.

Saitenschwingungen sind insofern bemerkenswert, als nach klassischen Vorstellungen für sie diskrete Werte einer der Schwingungen charakterisierenden Größen (Frequenz) erhalten werden. Für die klassische Physik ist eine solche Diskretion eine Ausnahme. Bei Quantenprozessen ist Diskretion eher die Regel als die Ausnahme.

Elastische Wellenenergie

Irgendwann von dem Medium in die Richtung lassen x Eine ebene Welle breitet sich aus.

(1)

Wir heben einen elementaren Band im Medium hervor ΔV so dass innerhalb dieses Volumens die Verdrängungsgeschwindigkeit der Partikel des Mediums und die Deformation des Mediums konstant sind.

Volumen ΔV hat kinetische Energie.

(2)

(ρΔV ist die Masse dieses Volumens).

Dieses Volumen hat auch potentielle Energie.

Denken wir daran, zu verstehen.

relative Verschiebung, α - Verhältnismäßigkeitskoeffizient.

Elastizitätsmodul E = 1/α . normale Spannung T=F/S . Von hier.

In unserem Fall .

In unserem Fall haben wir

(3)

Erinnern wir uns auch.

Dann . Wir setzen in (3) ein.

(4)

Für die Gesamtenergie, die wir erhalten.

Teile durch Elementarvolumen ΔV und erhalten Sie die volumetrische Energiedichte der Welle.

(5)

Wir erhalten aus (1) und .

(6)

Wir setzen (6) in (5) ein und berücksichtigen das . Wir werden empfangen.

Aus (7) folgt, dass die Volumenenergiedichte zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum unterschiedlich ist. An einem Punkt im Raum ändert sich W 0 gemäß dem Quadratsinusgesetz. Und der Mittelwert dieser Größe aus der periodischen Funktion . Folglich wird der Mittelwert der volumetrischen Energiedichte durch den Ausdruck bestimmt.

(8)

Ausdruck (8) ist dem Ausdruck für die Gesamtenergie eines schwingenden Körpers sehr ähnlich . Folglich verfügt das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, über einen Energievorrat. Diese Energie wird von der Schwingungsquelle auf verschiedene Punkte des Mediums übertragen.

Die Energiemenge, die eine Welle pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Oberfläche transportiert, wird als Energiefluss bezeichnet.

Wenn durch eine bestimmte Oberfläche in der Zeit dt Energie übertragen wird dW , dann der Energiefluss F wird gleich sein.

(9)

- Gemessen in Watt.

Um den Energiefluss an verschiedenen Punkten im Raum zu charakterisieren, wird eine Vektorgröße eingeführt, die als bezeichnet wird Energieflussdichte . Sie ist numerisch gleich dem Energiefluss durch eine Flächeneinheit, die sich an einem gegebenen Raumpunkt senkrecht zur Richtung der Energieübertragung befindet. Die Richtung des Energieflussdichtevektors fällt mit der Richtung der Energieübertragung zusammen.

(10)

Diese Eigenschaft der von einer Welle getragenen Energie wurde vom russischen Physiker N.A. Umov (1846 - 1915) im Jahr 1874.

Betrachten Sie den Fluss der Wellenenergie.

Wellenenergiefluss

Wellenenergie

W0 ist die volumetrische Energiedichte.

Dann bekommen wir.

(11)

Da sich die Welle in eine bestimmte Richtung ausbreitet, kann sie geschrieben werden.

(12)

Das Vektor der Energieflussdichte oder der Energiefluss durch eine Einheitsfläche senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung pro Zeiteinheit. Dieser Vektor wird Umov-Vektor genannt.

~ Sünde 2 ωt.

Dann ist der Mittelwert des Umov-Vektors gleich.

(13)

Wellenintensität – zeitlicher Mittelwert der von der Welle getragenen Energieflussdichte .

Offensichtlich.

(14)

Bzw.

(15)

Klang

Schall ist die vom menschlichen Ohr wahrgenommene Schwingung eines elastischen Mediums.

Das Studium des Klangs heißt Akustik .

Die physiologische Wahrnehmung von Schall: laut, leise, hoch, leise, angenehm, unangenehm – spiegelt seine physikalischen Eigenschaften wider. Als musikalischer Ton wird eine harmonische Schwingung einer bestimmten Frequenz wahrgenommen.

Die Tonfrequenz entspricht der Tonhöhe.

Das Ohr nimmt den Frequenzbereich von 16 Hz bis 20.000 Hz wahr. Bei Frequenzen unter 16 Hz - Infraschall und bei Frequenzen über 20 kHz - Ultraschall.

Mehrere gleichzeitige Schallschwingungen sind Konsonanz. Angenehm ist Konsonanz, unangenehm Dissonanz. Eine große Anzahl gleichzeitig erklingender Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen ist Rauschen.

Wie wir bereits wissen, versteht man unter Schallintensität den zeitlich gemittelten Wert der Energieflussdichte, die eine Schallwelle mit sich führt. Um eine Schallempfindung hervorzurufen, muss eine Welle eine bestimmte Mindestintensität haben, die als bezeichnet wird Hörschwelle (Kurve 1 in der Abbildung). Die Hörschwelle ist bei verschiedenen Menschen etwas unterschiedlich und hängt stark von der Frequenz des Schalls ab. Das menschliche Ohr ist am empfindlichsten für Frequenzen von 1 kHz bis 4 kHz. In diesem Bereich liegt die Hörschwelle im Mittel bei 10 -12 W/m 2 . Bei anderen Frequenzen ist die Hörschwelle höher.

Bei Intensitäten in der Größenordnung von 1 ÷ 10 W/m2 wird die Welle nicht mehr als Schall wahrgenommen und verursacht nur ein Schmerz- und Druckgefühl im Ohr. Der Intensitätswert, bei dem dies geschieht, wird aufgerufen Schmerzgrenze (Kurve 2 in der Abbildung). Die Schmerzschwelle hängt wie die Hörschwelle von der Frequenz ab.

Somit liegen fast 13 Bestellungen vor. Daher reagiert das menschliche Ohr nicht auf kleine Änderungen der Schallintensität. Um die Lautstärkeänderung zu spüren, muss sich die Intensität der Schallwelle um mindestens 10 ÷ 20 % ändern. Daher wird als Intensitätsmerkmal nicht die Schallleistung selbst gewählt, sondern der nächste Wert, der als Schallleistungspegel (oder Lautstärkepegel) bezeichnet und in Bel gemessen wird. Zu Ehren des amerikanischen Elektroingenieurs A.G. Bell (1847-1922), einer der Erfinder des Telefons.

Ich 0 \u003d 10 -12 W / m 2 - Nullpegel (Hörschwelle).

Jene. 1B = 10 ich 0 .

Sie verwenden auch eine zehnmal kleinere Einheit - das Dezibel (dB).

Mit dieser Formel lässt sich die Intensitätsabnahme (Dämpfung) einer Welle über einen bestimmten Weg in Dezibel ausdrücken. Beispielsweise bedeutet eine Dämpfung von 20 dB, dass die Intensität der Welle um den Faktor 100 reduziert wird.

Der gesamte Intensitätsbereich, bei dem die Welle im menschlichen Ohr eine Schallempfindung hervorruft (von 10 -12 bis 10 W / m 2 ), entspricht Lautstärkewerten von 0 bis 130 dB.

Die Energie, die Schallwellen mit sich führen, ist extrem gering. Um beispielsweise ein Glas Wasser mit einer Schallwelle mit einer Lautstärke von 70 dB (in diesem Fall werden etwa 2 · 10 -7 W pro Sekunde vom Wasser absorbiert) von Raumtemperatur zum Sieden zu erhitzen, dauert es etwa zehn tausend Jahre.

Ultraschallwellen können in Form von gerichteten Strahlen empfangen werden, ähnlich wie Lichtstrahlen. Gerichtete Ultraschallstrahlen haben im Sonar eine breite Anwendung gefunden. Die Idee wurde von dem französischen Physiker P. Langevin (1872 - 1946) während des Ersten Weltkriegs (1916) vorgebracht. Übrigens ermöglicht die Methode der Ultraschallortung der Fledermaus eine gute Navigation beim Fliegen im Dunkeln.

Wellengleichung

Auf dem Gebiet der Wellenprozesse gibt es sogenannte Gleichungen Welle , die alle möglichen Wellen unabhängig von ihrer spezifischen Form beschreiben. Vom Sinn her ähnelt die Wellengleichung der Grundgleichung der Dynamik, die alle möglichen Bewegungen eines materiellen Punktes beschreibt. Die Gleichung einer bestimmten Welle ist eine Lösung der Wellengleichung. Holen wir es uns. Dazu differenzieren wir zweimal nach t und in allen Koordinaten die ebene Wellengleichung .

(1)

Von hier bekommen wir.

(*)

Lassen Sie uns Gleichungen (2) hinzufügen.

Lassen Sie uns ersetzen x in (3) aus Gleichung (*). Wir werden empfangen.

Das lernen wir und bekomme.

, oder . (4)

Das ist die Wellengleichung. In dieser Gleichung ist die Phasengeschwindigkeit, ist der Nabla-Operator oder der Laplace-Operator.

Jede Funktion, die Gleichung (4) erfüllt, beschreibt eine bestimmte Welle, und die Quadratwurzel des Kehrwerts des Koeffizienten bei der zweiten Ableitung der Verschiebung von der Zeit ergibt die Phasengeschwindigkeit der Welle.

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Wellengleichung durch die Gleichungen der ebenen und sphärischen Wellen sowie durch jede Gleichung der Form erfüllt ist

Für eine ebene Welle, die sich in Richtung ausbreitet, hat die Wellengleichung die Form:

.

Dies ist eine eindimensionale Wellengleichung zweiter Ordnung in partiellen Ableitungen, gültig für homogene isotrope Medien mit vernachlässigbarer Dämpfung.

Elektromagnetische Wellen

Unter Berücksichtigung der Maxwell-Gleichungen haben wir eine wichtige Schlussfolgerung niedergeschrieben, dass ein elektrisches Wechselfeld ein magnetisches Feld erzeugt, das sich auch als variabel herausstellt. Das magnetische Wechselfeld wiederum erzeugt ein elektrisches Wechselfeld und so weiter. Das elektromagnetische Feld ist in der Lage, unabhängig zu existieren - ohne elektrische Ladungen und Ströme. Die Zustandsänderung dieses Feldes hat Wellencharakter. Felder dieser Art werden aufgerufen Elektromagnetische Wellen . Die Existenz elektromagnetischer Wellen folgt aus den Maxwellschen Gleichungen.

Stellen Sie sich ein homogenes neutrales () nichtleitendes () Medium vor, zum Beispiel der Einfachheit halber Vakuum. Für diese Umgebung können Sie schreiben:

, .

Wenn irgendein anderes homogenes, neutrales, nicht leitendes Medium betrachtet wird, müssen und zu den oben geschriebenen Gleichungen hinzugefügt werden.

Schreiben wir die Maxwellschen Differentialgleichungen in allgemeiner Form.

, , , .

Für das betrachtete Medium haben diese Gleichungen die Form:

, , ,

Wir schreiben diese Gleichungen wie folgt:

, , , .

Alle Wellenprozesse müssen durch eine Wellengleichung beschrieben werden, die die zweiten Ableitungen nach Zeit und Koordinaten verbindet. Aus den oben geschriebenen Gleichungen können wir durch einfache Transformationen das folgende Gleichungspaar erhalten:

,

Diese Beziehungen sind identische Wellengleichungen für die Felder und .

Denken Sie daran, dass in der Wellengleichung ( ) ist der Faktor vor der zweiten Ableitung auf der rechten Seite der Kehrwert des Quadrats der Phasengeschwindigkeit der Welle. Somit, . Es stellte sich heraus, dass im Vakuum diese Geschwindigkeit für eine elektromagnetische Welle gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.

Dann können die Wellengleichungen für die Felder und geschrieben werden als

und .

Diese Gleichungen zeigen, dass elektromagnetische Felder in Form von elektromagnetischen Wellen existieren können, deren Phasengeschwindigkeit im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.

Die mathematische Analyse der Maxwell-Gleichungen erlaubt uns, eine Schlussfolgerung über die Struktur einer elektromagnetischen Welle zu ziehen, die sich in einem homogenen, neutralen, nichtleitenden Medium ohne Ströme und freie Ladungen ausbreitet. Insbesondere können wir einen Rückschluss auf die Vektorstruktur der Welle ziehen. Die elektromagnetische Welle ist streng transversale Welle in dem Sinne, dass die ihn charakterisierenden Vektoren und senkrecht zum Wellengeschwindigkeitsvektor , d.h. in Richtung seiner Ausbreitung. Die Vektoren , und bilden in der Reihenfolge, in der sie geschrieben werden rechtshändiges orthogonales Tripel von Vektoren . In der Natur gibt es nur rechtshändige elektromagnetische Wellen und keine linkshändigen Wellen. Dies ist eine der Manifestationen der Gesetze der gegenseitigen Erzeugung von magnetischen und elektrischen Wechselfeldern.