Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige geistige Qualitäten zu entwickeln und die Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Kurs "Mathematik" besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist die Addition und Subtraktion von Brüchen. Vielen Studenten fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.

Wie man Brüche subtrahiert, deren Nenner gleich sind

Brüche sind die gleichen Zahlen, mit denen Sie verschiedene Aktionen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie beim Ausführen von Aktionen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als gleiche Zahl dargestellt werden. Es wird nicht schwierig sein, diese Aktion auszuführen, wenn Sie eine einfache Regel kennen:

• Um die Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, muss der Zähler des zu subtrahierenden Bruchs vom Zähler des gekürzten Bruchs subtrahiert werden. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k / m - b / m = (k-b) / m.

Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen, deren Nenner gleich sind

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Subtrahieren Sie vom Zähler des reduzierten Bruchs "7" den Zähler des subtrahierten Bruchs "3", wir erhalten "4". Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und setzen in den Nenner dieselbe Zahl, die in den Nennern des ersten und zweiten Bruchs stand - "19".

Das Bild unten zeigt einige weitere solcher Beispiele.

Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel, bei dem Brüche mit demselben Nenner subtrahiert werden:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vom Zähler des reduzierten Bruchs "29" durch Subtrahieren der Zähler aller nachfolgenden Brüche - "3", "8", "2", "7". Als Ergebnis erhalten wir das Ergebnis "9", das wir in den Zähler der Antwort schreiben, und in den Nenner schreiben wir die Zahl, die sich in den Nennern all dieser Brüche befindet - "47".

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Die Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche erfolgt nach dem gleichen Prinzip.

• Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, musst du die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe, und der Nenner bleibt gleich: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mal sehen, wie es in einem Beispiel aussieht:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Zum Zähler des ersten Bruchteils - "1" - addieren wir den Zähler des zweiten Bruchteils - "2". Das Ergebnis - "3" - wird in den Zähler des Betrags geschrieben, und der Nenner bleibt der gleiche wie in den Brüchen - "4".

Brüche mit verschiedenen Nennern und ihre Subtraktion

Wir haben bereits die Wirkungsweise mit Brüchen betrachtet, die den gleichen Nenner haben. Wie Sie sehen können, ist das Lösen solcher Beispiele mit einfachen Regeln recht einfach. Aber was ist, wenn Sie eine Aktion mit Brüchen ausführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier, wenn Sie das Prinzip der Lösung kennen, werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwer fallen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen sie auf denselben kleinsten Nenner gekürzt werden.



Wir werden ausführlicher darüber sprechen, wie dies zu tun ist.

Brucheigenschaft

Um mehrere Brüche auf denselben Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft des Bruchs in der Lösung verwenden: Nachdem Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert oder multipliziert haben, erhalten Sie einen Bruch, der dem angegebenen entspricht.

So kann zum Beispiel der Bruch 2/3 Nenner wie „6“, „9“, „12“ usw. haben, das heißt, er kann wie eine beliebige Zahl aussehen, die ein Vielfaches von „3“ ist. Nachdem wir Zähler und Nenner mit „2“ multipliziert haben, erhalten wir einen Bruch von 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit "3" multipliziert haben, erhalten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Aktion mit der Zahl "4" ausführen, erhalten wir 8/12. In einer Gleichung kann dies geschrieben werden als:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Wie man mehrere Brüche auf den gleichen Nenner bringt

Überlegen Sie, wie Sie mehrere Brüche auf denselben Nenner kürzen können. Nehmen Sie zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Um es einfacher zu machen, zerlegen wir die verfügbaren Nenner in Faktoren.

Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner von 7/9 hat zwei Teiler 7/9 = 7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6 = 5/(2 x 3). Jetzt müssen Sie bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche die kleinsten sein werden. Da der erste Bruch die Zahl „2“ im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss, im Bruch 7/9 gibt es zwei Tripel, was bedeutet, dass sie auch im Nenner vorhanden sein müssen. Angesichts des Obigen bestimmen wir, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und gleich 3 x 2 x 3 = 18 ist.



Betrachten Sie den ersten Bruchteil - 1/2. Sein Nenner enthält "2", aber es gibt keine einzelne "3", sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripel, aber gemäß der Brucheigenschaft müssen wir den Zähler mit zwei Tripel multiplizieren:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

In ähnlicher Weise führen wir Aktionen mit den verbleibenden Fraktionen durch.

• 2/3 - im Nenner fehlen eins drei und eins zwei:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 oder 7/(3 x 3) - dem Nenner fehlen zwei:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 oder 5/(2 x 3) - dem Nenner fehlt ein Tripel:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Alles zusammen sieht so aus:



Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren und addieren

Wie oben erwähnt, müssen zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern diese auf denselben Nenner gekürzt werden und dann die bereits beschriebenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.

Betrachten Sie dies anhand eines Beispiels: 4/18 - 3/15.

Vielfache von 18 und 15 finden:

• Die Zahl 18 besteht aus 3 x 2 x 3.
• Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
• Das gemeinsame Vielfache besteht aus den folgenden Faktoren 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss ein Faktor berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Dazu dividieren wir die gefundene Zahl (gemeinsames Vielfaches) durch den Nenner des Bruches, für den weitere Faktoren bestimmt werden müssen.

• 90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl „6“ ist ein Multiplikator für 3/15.
• 90 geteilt durch 18. Die resultierende Zahl "5" ist ein Multiplikator für 4/18.

Der nächste Schritt in unserer Lösung besteht darin, jeden Bruch auf den Nenner „90“ zu bringen.

Wie das geht, haben wir bereits besprochen. Mal sehen, wie dies in einem Beispiel geschrieben wird:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Handelt es sich um Brüche mit kleinen Zahlen, dann kannst du den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten gezeigt.



Ähnlich produziert und mit unterschiedlichen Nennern.

Subtraktion und mit ganzzahligen Teilen

Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich analysiert. Aber wie subtrahiert man, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns wieder ein paar Regeln verwenden:

• Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil haben, in unechte Brüche um. In einfachen Worten, entfernen Sie das gesamte Teil. Dazu wird die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs multipliziert, das resultierende Produkt zum Zähler addiert. Die Zahl, die nach diesen Aktionen erhalten wird, ist der Zähler eines unechten Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert.
• Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf denselben gekürzt werden.
• Führe Addition oder Subtraktion mit denselben Nennern durch.
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie den ganzen Teil aus.



Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzzahligen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzzahligen Teilen und getrennt mit Brüchen ausgeführt und die Ergebnisse zusammen aufgezeichnet.



Das obige Beispiel besteht aus Brüchen, die den gleichen Nenner haben. Falls die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen reduziert werden, und dann folgen Sie den Schritten, wie im Beispiel gezeigt.

Brüche von einer ganzen Zahl subtrahieren

Eine andere Art von Aktionen mit Brüchen ist der Fall, wenn der Bruch subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick scheint ein solches Beispiel schwierig zu lösen. Hier ist jedoch alles ganz einfach. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, und zwar mit einem solchen Nenner, der sich in dem zu subtrahierenden Bruch befindet. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit denselben Nennern durch. Zum Beispiel sieht es so aus:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Die in diesem Artikel gegebene Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in nachfolgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird anschließend verwendet, um Funktionen, Ableitungen usw. zu lösen. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Aktionen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.

Betrachten Sie den Bruch $\frac63$. Sein Wert ist 2, da $\frac63 =6:3 = 2$. Was passiert, wenn Zähler und Nenner mit 2 multipliziert werden? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Offensichtlich hat sich der Wert des Bruchs nicht geändert, also ist $\frac(12)(6)$ auch gleich 2 als y. Zähler und Nenner multiplizieren um 3 und erhalte $\frac(18)(9)$ oder um 27 und erhalte $\frac(162)(81)$ oder um 101 und erhalte $\frac(606)(303)$. In jedem dieser Fälle ist der Wert des Bruchs, den wir durch Teilen des Zählers durch den Nenner erhalten, 2. Das bedeutet, dass er sich nicht geändert hat.

Dasselbe Muster wird im Fall anderer Fraktionen beobachtet. Wenn Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(120)(60)$ (gleich 2) durch 2 (Ergebnis von $\frac(60)(30)$) oder durch 3 (Ergebnis von $\ frac(40)(20) $), oder durch 4 (das Ergebnis von $\frac(30)(15)$) und so weiter, dann bleibt der Wert des Bruchs jeweils unverändert und gleich 2.

Diese Regel gilt auch für Brüche, die nicht gleich sind. ganze Zahl.

Wenn Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(3)$ mit 2 multipliziert werden, erhalten wir $\frac(2)(6)$, das heißt, der Wert des Bruchs hat sich nicht geändert. Und tatsächlich, wenn Sie den Kuchen in 3 Teile teilen und einen davon nehmen, oder ihn in 6 Teile teilen und 2 Teile nehmen, erhalten Sie in beiden Fällen die gleiche Menge Kuchen. Daher sind die Zahlen $\frac(1)(3)$ und $\frac(2)(6)$ identisch. Formulieren wir eine allgemeine Regel.

Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs können mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, und der Wert des Bruchs ändert sich nicht.

Diese Regel ist sehr nützlich. Beispielsweise erlaubt es in einigen Fällen, aber nicht immer, Operationen mit großen Zahlen zu vermeiden.

Zum Beispiel können wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(126)(189)$ durch 63 dividieren und erhalten den viel einfacher zu berechnenden Bruch $\frac(2)(3)$. Noch ein Beispiel. Wir können Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(155)(31)$ durch 31 teilen und erhalten den Bruch $\frac(5)(1)$ oder 5, da 5:1=5.

In diesem Beispiel begegneten wir zuerst ein Bruch, dessen Nenner 1 ist. Solche Brüche spielen bei Berechnungen eine wichtige Rolle. Es sollte daran erinnert werden, dass jede Zahl durch 1 geteilt werden kann und ihr Wert sich nicht ändert. Das heißt, $\frac(273)(1)$ ist gleich 273; $\frac(509993)(1)$ entspricht 509993 und so weiter. Daher müssen wir Zahlen nicht durch dividieren, da jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann.

Mit solchen Brüchen, deren Nenner gleich 1 ist, können Sie die gleichen Rechenoperationen durchführen wie mit allen anderen Brüchen: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Sie fragen sich vielleicht, was es nützt, eine ganze Zahl als Bruch darzustellen, der eine Einheit unter dem Strich hat, weil es bequemer ist, mit einer ganzen Zahl zu arbeiten. Tatsache ist jedoch, dass uns die Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch die Möglichkeit gibt, verschiedene Aktionen effizienter auszuführen, wenn wir es gleichzeitig mit ganzen Zahlen und Bruchzahlen zu tun haben. Zum Beispiel zum Lernen Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren. Angenommen, wir müssen $\frac(1)(3)$ und $\frac(1)(5)$ hinzufügen.

Wir wissen, dass man nur Brüche addieren kann, deren Nenner gleich sind. Wir müssen also lernen, Brüche in eine solche Form zu bringen, wenn ihre Nenner gleich sind. Auch in diesem Fall benötigen wir wieder die Tatsache, dass man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multiplizieren kann, ohne deren Wert zu verändern.

Zuerst multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(3)$ mit 5. Wir erhalten $\frac(5)(15)$, der Wert des Bruchs hat sich nicht geändert. Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(5)$ mit 3. Wir erhalten $\frac(3)(15)$, auch hier hat sich der Wert des Bruchs nicht geändert. Daher ist $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Versuchen wir nun, dieses System auf die Addition von Zahlen anzuwenden, die sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Teile enthalten.

Wir müssen $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ hinzufügen. Zuerst wandeln wir alle Terme in Brüche um und erhalten: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Jetzt müssen wir alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 12, des zweiten mit 4 und des dritten mit 3. Als Ergebnis erhalten wir $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, was gleich $\frac(55)(12)$ ist. Wenn Sie loswerden wollen unechter Bruch, kann sie in eine Zahl umgewandelt werden, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil besteht: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ oder $4\frac( 7)(12)$.

Alle Regeln, die es erlauben Operationen mit Brüchen, die wir gerade untersucht haben, gelten auch für negative Zahlen. Also kann -1: 3 als $\frac(-1)(3)$ und 1: (-3) als $\frac(1)(-3)$ geschrieben werden.

Da sowohl die Division einer negativen Zahl durch eine positive Zahl als auch die Division einer positiven Zahl durch eine negative negative Zahlen ergeben, erhalten wir in beiden Fällen die Antwort in Form einer negativen Zahl. Also

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ oder $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Das so geschriebene Minuszeichen bezieht sich auf den ganzen Bruch als Ganzes und nicht einzeln auf den Zähler oder Nenner.

Andererseits kann (-1) : (-3) als $\frac(-1)(-3)$ geschrieben werden, und da die Division einer negativen Zahl durch eine negative Zahl eine positive Zahl ergibt, dann $\frac (-1 )(-3)$ kann als $+\frac(1)(3)$ geschrieben werden.

Die Addition und Subtraktion negativer Brüche erfolgt auf die gleiche Weise wie die Addition und Subtraktion positiver Brüche. Was ist zum Beispiel $1- 1\frac13$? Stellen wir beide Zahlen als Brüche dar und erhalten $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und erhalten $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, also $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, oder $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Addition von Brüchen.

Das Addieren von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit dem Addieren ganzer Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Begriffe) zu einer Zahl (Summe) kombiniert werden, die alle Einheiten und Brüche von Einheiten von Begriffen enthält.

Wir betrachten der Reihe nach drei Fälle:

1. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Addition von gemischten Zahlen.

1. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.

Betrachten Sie ein Beispiel: 1 / 5 + 2 / 5 .

Nehmen Sie das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als Einheit und teilen Sie es in 5 gleiche Teile, dann entspricht der Teil AC dieses Segments 1/5 des Segments AB und der Teil desselben Segments CD entspricht 2/5 AB.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass, wenn wir das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber das Segment AD ist genau die Summe der Segmente AC und CD. Wir können also schreiben:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Wenn wir diese Terme und den resultierenden Betrag betrachten, sehen wir, dass der Zähler der Summe durch Addition der Zähler der Terme erhalten wurde und der Nenner unverändert blieb.

Daraus erhalten wir folgende Regel: Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Betrachten Sie ein Beispiel:

2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Addieren wir Brüche: 3/4 + 3/8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gebracht werden:

Das Zwischenglied 6/8 + 3/8 hätte nicht geschrieben werden können; Wir haben es hier für mehr Klarheit geschrieben.

Um also Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, ihre Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner vorzeichenen.

Betrachten Sie ein Beispiel (wir schreiben zusätzliche Faktoren über die entsprechenden Brüche):

3. Addition von gemischten Zahlen.

Addieren wir die Zahlen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Bringen wir zunächst die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie noch einmal um:

Fügen Sie nun der Reihe nach die ganzzahligen und gebrochenen Teile hinzu:

§ 88. Subtraktion von Brüchen.

Die Subtraktion von Brüchen wird genauso definiert wie die Subtraktion von ganzen Zahlen. Dies ist eine Aktion, bei der aus der Summe von zwei Termen und einem von ihnen ein weiterer Term gefunden wird. Betrachten wir der Reihe nach drei Fälle:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Betrachten Sie ein Beispiel:

13 / 15 - 4 / 15

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 18), nehmen es als Einheit und teilen es in 15 gleiche Teile; dann ist der AC-Teil dieses Segments 1/15 von AB, und der AD-Teil desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen Sie uns ein weiteres Segment ED beiseite legen, gleich 4/15 AB.

Wir müssen 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass das Segment ED vom Segment AD subtrahiert werden muss. Infolgedessen bleibt das Segment AE bestehen, was 9/15 des Segments AB entspricht. Wir können also schreiben:

Das von uns gemachte Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtraktion der Zähler erhalten wurde und der Nenner gleich blieb.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie daher den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuends subtrahieren und denselben Nenner belassen.

2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Beispiel. 3/4 - 5/8

Lassen Sie uns diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen:

Der Zwischenlink 6 / 8 - 5 / 8 wird hier aus Gründen der Übersichtlichkeit geschrieben, kann aber in Zukunft übersprungen werden.

Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, musst du sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, dann den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuends subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz signieren.

Betrachten Sie ein Beispiel:

3. Subtraktion gemischter Zahlen.

Beispiel. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Bringen wir die Nachkommastellen von Minuend und Subtrahend auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:

Wir subtrahieren ein Ganzes von einem Ganzen und einen Bruch von einem Bruch. Aber es gibt Fälle, in denen der Bruchteil des Subtrahends größer ist als der Bruchteil des Minuends. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil des reduzierten Teils nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und zum Bruchteil des reduzierten Teils hinzufügen. Und dann wird die Subtraktion auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:

§ 89. Multiplikation von Brüchen.

Beim Studium der Multiplikation von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Das Konzept des Interesses.
7. Finden von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl. Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat dieselbe Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Das Multiplizieren eines Bruchs (Multiplikand) mit einer ganzen Zahl (Multiplikator) bedeutet, die Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Wenn Sie also 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies folgendermaßen tun:

Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion auf das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner reduziert wurde. Somit,

Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass das Multiplizieren eines Bruchs mit einer Ganzzahl dem Erhöhen dieses Bruchs so oft entspricht, wie es Einheiten in der Ganzzahl gibt. Und da die Erhöhung des Bruchs entweder durch Erhöhen seines Zählers erreicht wird

oder indem man seinen Nenner verringert , dann können wir entweder den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner durch sie dividieren, falls eine solche Division möglich ist.

Von hier erhalten wir die Regel:

Um einen Bruch mit einer Ganzzahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser Ganzzahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen oder, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl teilen, wobei der Zähler unverändert bleibt.

Beim Multiplizieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl. Es gibt viele Aufgaben, bei denen Sie einen Teil einer gegebenen Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben und anderen besteht darin, dass sie die Anzahl einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und Sie einen Teil dieser Nummer finden müssen, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Um das Verständnis zu erleichtern, werden wir zunächst Beispiele für solche Probleme geben und dann die Methode zu ihrer Lösung vorstellen.

Aufgabe 1. Ich hatte 60 Rubel; 1/3 dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?

Aufgabe 2. Der Zug muss die Strecke zwischen den Städten A und B zurücklegen, die 300 km entspricht. 2/3 dieser Strecke hat er bereits zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind das?

Aufgabe 3. Es gibt 400 Häuser im Dorf, 3/4 davon sind aus Backstein, der Rest aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es?

Hier sind einige der vielen Probleme, mit denen wir uns befassen müssen, um einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden. Sie werden normalerweise Probleme zum Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl genannt.

Lösung des Problems 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Um also die Kosten für Bücher zu ermitteln, müssen Sie die Zahl 60 durch 3 teilen:

Problemlösung 2. Die Bedeutung des Problems ist, dass Sie 2 / 3 von 300 km finden müssen. Berechnen Sie das erste 1/3 von 300; Dies wird erreicht, indem 300 km durch 3 geteilt werden:

300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).

Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, also mit 2 multiplizieren:

100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).

Lösung des Problems 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 ausmachen. Lassen Sie uns zuerst 1/4 von 400 finden,

400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).

Um drei Viertel von 400 zu berechnen, muss der resultierende Quotient verdreifacht, also mit 3 multipliziert werden:

100 x 3 = 300 (das sind 3/4 von 400).

Basierend auf der Lösung dieser Probleme können wir die folgende Regel ableiten:

Um den Wert eines Bruchs einer gegebenen Zahl zu finden, musst du diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.

3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.

Zuvor (§ 26) wurde festgelegt, dass die Multiplikation ganzer Zahlen als Addition identischer Terme zu verstehen ist (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In diesem Absatz (Absatz 1) wurde festgelegt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, dass die Summe identischer Terme gleich diesem Bruch ist.

In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe identischer Terme zu finden.

Jetzt gehen wir dazu über, eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Hier werden wir zum Beispiel auf eine solche Multiplikation treffen: 9 2 / 3. Es ist ziemlich offensichtlich, dass die vorherige Definition der Multiplikation auf diesen Fall nicht zutrifft. Das zeigt sich daran, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addition gleicher Zahlen ersetzen können.

Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, d.h. mit anderen Worten, die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist, wie diese Aktion zu verstehen ist.

Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch ergibt sich aus der folgenden Definition: eine ganze Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikators zu finden.

Das Multiplizieren von 9 mit 2/3 bedeutet nämlich, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Probleme gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir am Ende 6 haben.

Aber jetzt stellt sich eine interessante und wichtige Frage: Warum werden scheinbar unterschiedliche Aktionen wie das Finden der Summe gleicher Zahlen und das Finden des Bruchs einer Zahl in der Arithmetik mit demselben Wort „Multiplikation“ bezeichnet?

Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (mehrfaches Wiederholen der Zahl mit Begriffen) und die neue Aktion (Finden des Bruchs einer Zahl) eine Antwort auf homogene Fragen geben. Das heißt, wir gehen hier von den Überlegungen aus, dass homogene Fragestellungen bzw. Aufgaben durch ein und dieselbe Handlung gelöst werden.

Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Problem: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem wird gelöst, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert wird, d. H. 50 x 4 = 200 (Rubel).

Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchzahl ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 3/4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem muss auch gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.

Sie können die darin enthaltenen Zahlen auch mehrmals ändern, ohne die Bedeutung der Aufgabe zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.

Da diese Probleme den gleichen Inhalt haben und sich nur in Zahlen unterscheiden, nennen wir die Aktionen, die zu ihrer Lösung verwendet werden, das gleiche Wort - Multiplikation.

Wie wird eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert?

Nehmen wir die Zahlen aus dem letzten Problem:

Gemäß der Definition müssen wir 3 / 4 von 50 finden. Zuerst finden wir 1 / 4 von 50 und dann 3 / 4.

1/4 von 50 ist 50/4;

3/4 von 50 ist .

Somit.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel: 12 5 / 8 = ?

1/8 von 12 ist 12/8,

5/8 der Zahl 12 ist .

Somit,

Von hier erhalten wir die Regel:

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner des gegebenen Bruchs als Nenner signieren.

Wir schreiben diese Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 aufgestellten Regel zum Multiplizieren einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen

Es muss daran erinnert werden, dass Sie vor der Multiplikation (wenn möglich) Folgendes tun sollten: Schnitte, Zum Beispiel:

4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat dieselbe Bedeutung wie das Multiplizieren einer Ganzzahl mit einem Bruch, dh wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch im Multiplikator aus dem ersten Bruch (Multiplikator) finden.

Das Multiplizieren von 3/4 mit 1/2 (halb) bedeutet nämlich, die Hälfte von 3/4 zu finden.

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?

Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 mal 5/7. Das bedeutet, dass Sie 5/7 aus 3/4 finden müssen. Finden Sie zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7

1/7 von 3/4 würde so ausgedrückt werden:

5 / 7 Zahlen 3 / 4 werden wie folgt ausgedrückt:

Auf diese Weise,

Ein weiteres Beispiel: 5/8 mal 4/9.

1/9 von 5/8 ist ,

4/9 Zahlen 5/8 sind .

Auf diese Weise,

Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite Produkt zum Nenner des Produkts machen.

Dies ist die Regel in Gesamtansicht kann so geschrieben werden:

Beim Multiplizieren müssen (wenn möglich) Abstriche gemacht werden. Betrachten Sie Beispiele:

5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, macht man sich diesen Umstand meist bei der Multiplikation gemischter Zahlen zunutze. Das bedeutet, dass in den Fällen, in denen der Multiplikand oder der Multiplikator oder beide Faktoren als gemischte Zahlen ausgedrückt werden, diese durch unechte Brüche ersetzt werden. Multiplizieren Sie zum Beispiel gemischte Zahlen: 2 1/2 und 3 1/5. Wir verwandeln jeden von ihnen in einen unechten Bruch und multiplizieren dann die resultierenden Brüche gemäß der Regel, einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren:

Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie zuerst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren.

Notiz. Wenn einer der Faktoren eine ganze Zahl ist, kann die Multiplikation nach dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:

6. Das Konzept des Interesses. Beim Lösen von Problemen und bei verschiedenen praktischen Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Aber man muss bedenken, dass viele Größen keine, sondern für sie natürliche Unterteilungen zulassen. Zum Beispiel können Sie ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es wird ein Penny sein, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel sind 3 Kopeken. Sie können 1/10 des Rubels nehmen, es sind "10 Kopeken oder ein Cent. Sie können ein Viertel des Rubels nehmen, d. H. 25 Kopeken, einen halben Rubel, d. H. 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber sie ziehen praktisch an Nehmen Sie zum Beispiel nicht 2/7 Rubel, da der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.

Die Maßeinheit für das Gewicht, also das Kilogramm, erlaubt zunächst dezimale Unterteilungen, zum Beispiel 1/10 kg oder 100 g, und solche Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1/ 13 sind ungewöhnlich.

Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und erlauben dezimale Unterteilungen.

Es ist jedoch zu beachten, dass es in den unterschiedlichsten Fällen äußerst sinnvoll und bequem ist, die gleiche (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Größen zu verwenden. Langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine solche gut begründete Teilung die „Hundertstel“-Teilung ist. Betrachten wir einige Beispiele, die sich auf die unterschiedlichsten Bereiche menschlicher Praxis beziehen.

1. Der Buchpreis ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.

Beispiel. Der vorherige Preis des Buches beträgt 10 Rubel. Sie ging um 1 Rubel zurück. 20 Kop.

2. Sparkassen zahlen im Laufe des Jahres 2/100 des eingezahlten Betrags an Sparer aus.

Beispiel. 500 Rubel werden in die Kasse gesteckt, die Einnahmen aus diesem Betrag für das Jahr betragen 10 Rubel.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Studenten.

BEISPIEL Nur 1.200 Schüler besuchten die Schule, 60 von ihnen absolvierten die Schule.

Das Hundertstel einer Zahl wird Prozent genannt..

Das Wort „Prozent“ ist der lateinischen Sprache entlehnt und seine Wurzel „cent“ bedeutet hundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort „für hundert“. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich aus der Tatsache, dass Zinsen im alten Rom ursprünglich das Geld waren, das der Schuldner dem Kreditgeber "für jeden Hundert" zahlte. Das Wort "Cent" ist in so bekannten Wörtern zu hören: Zentner (einhundert Kilogramm), Zentimeter (sie sagen Zentimeter).

Anstatt beispielsweise zu sagen, dass das Werk im vergangenen Monat 1/100 aller von ihm hergestellten Produkte produziert hat, sagen wir Folgendes: Das Werk hat im vergangenen Monat ein Prozent der Ausschussware produziert. Anstatt zu sagen: Das Werk produzierte 4/100 Produkte mehr als der festgelegte Plan, werden wir sagen: Das Werk übertraf den Plan um 4 Prozent.

Die obigen Beispiele können anders ausgedrückt werden:

1. Der Preis für Bücher ist um 12 Prozent des vorherigen Preises gesunken.

2. Sparkassen zahlen Einlegern jährlich 2 Prozent des angelegten Sparbetrags aus.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent der Zahl aller Schüler der Schule.

Um den Buchstaben zu verkürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes "Prozent" das %-Zeichen zu schreiben.

Es muss jedoch beachtet werden, dass das %-Zeichen normalerweise nicht in Berechnungen geschrieben wird, es kann in die Problemstellung und in das Endergebnis geschrieben werden. Wenn Sie Berechnungen durchführen, müssen Sie mit diesem Symbol einen Bruch mit einem Nenner von 100 anstelle einer ganzen Zahl schreiben.

Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit einem Nenner von 100 zu ersetzen:

Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, anstelle eines Bruchs mit dem Nenner 100 eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol zu schreiben:

7. Finden von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl.

Aufgabe 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, wobei Birkenholz 30 % ausmacht. Wie viel Birkenholz war da?

Die Bedeutung dieses Problems ist, dass Birkenbrennholz nur ein Teil des Brennholzes war, das an die Schule geliefert wurde, und dieser Teil wird als Bruchteil von 30 / 100 ausgedrückt. Wir stehen also vor der Aufgabe, einen Bruchteil einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30 / 100 multiplizieren (Aufgaben zum Finden des Bruchs einer Zahl werden gelöst, indem eine Zahl mit einem Bruch multipliziert wird.).

Also 30% von 200 sind gleich 60.

Der bei dieser Aufgabe auftretende Bruch 30 / 100 kann um 10 reduziert werden. Es wäre möglich, diese Reduktion von Anfang an durchzuführen; die Lösung des Problems würde sich nicht ändern.

Aufgabe 2. Im Lager waren 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Kinder im Alter von 11 Jahren machten 21 % aus, Kinder im Alter von 12 Jahren 61 % und schließlich 13-Jährige 18 %. Wie viele Kinder jeden Alters waren im Lager?

Bei dieser Aufgabe müssen Sie drei Berechnungen durchführen, dh nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann 12 Jahren und schließlich 13 Jahren ermitteln.

Hier muss also dreimal ein Bruchteil einer Zahl gefunden werden. Machen wir das:

1) Wie viele Kinder waren 11 Jahre alt?

2) Wie viele Kinder waren 12 Jahre alt?

3) Wie viele Kinder waren 13 Jahre alt?

Nach Lösung der Aufgabe ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; Ihre Summe sollte 300 sein:

63 + 183 + 54 = 300

Beachten Sie auch, dass die Summe der in der Problembedingung angegebenen Prozentsätze 100 beträgt:

21% + 61% + 18% = 100%

Dies deutet darauf hin, dass die Gesamtzahl der Kinder im Lager mit 100 % angenommen wurde.

3 a da cha 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel aus, 6 % für Wohnung und Heizung, 4 % für Gas, Strom und Radio, 10 % für Kulturbedarf und 15 % sparte er. Wie viel Geld wurde für die in der Aufgabe angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?

Um dieses Problem zu lösen, musst du fünfmal einen Bruchteil der Zahl 1.200 finden.

1) Wie viel Geld wird für Lebensmittel ausgegeben? Die Aufgabe besagt, dass dieser Aufwand 65 % aller Einnahmen ausmacht, also 65/100 der Zahl 1200. Machen wir die Rechnung:

2) Wie viel Geld wurde für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir wie die vorherige argumentieren, kommen wir zu folgender Rechnung:

3) Wie viel Geld haben Sie für Gas, Strom und Radio bezahlt?

4) Wie viel Geld wird für kulturelle Zwecke ausgegeben?

5) Wie viel Geld hat der Arbeiter gespart?

Zur Überprüfung ist es sinnvoll, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zu addieren. Der Betrag sollte 1.200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden zu 100 % angenommen, was leicht zu überprüfen ist, indem man die in der Aufgabenstellung angegebenen Prozentsätze addiert.

Wir haben drei Probleme gelöst. Obwohl es bei diesen Aufgaben um verschiedene Dinge ging (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Ausgaben des Arbeiters), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil bei allen Aufgaben ein paar Prozent der angegebenen Zahlen gefunden werden mussten.

§ 90. Teilung von Brüchen.

Beim Studium der Division von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl
3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.
4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs.
7. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.

Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.

Wie im Abschnitt über ganze Zahlen angedeutet, ist die Division die Handlung, die darin besteht, dass bei gegebenem Produkt zweier Faktoren (dem Dividenden) und einem dieser Faktoren (dem Divisor) ein weiterer Faktor gefunden wird.

Die Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl haben wir in der Abteilung für ganze Zahlen betrachtet. Wir trafen dort auf zwei Fälle von Division: Division ohne Rest oder "ganz" (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 im Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividende nicht immer das Produkt aus dem Divisor und der ganzen Zahl ist. Nach der Einführung der Multiplikation mit einem Bruch können wir jeden Fall der Division ganzer Zahlen als möglich betrachten (nur die Division durch Null ist ausgeschlossen).

Zum Beispiel bedeutet das Teilen von 7 durch 12, eine Zahl zu finden, deren Produkt mal 12 7 wäre. Diese Zahl ist der Bruch 7/12, weil 7/12 12 = 7. Ein weiteres Beispiel: 14: 25 = 14/25, weil 14/25 25 = 14.

Um also eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu teilen, müssen Sie einen Bruch bilden, dessen Zähler gleich dem Dividenden ist und dessen Nenner der Divisor ist.

2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl.

Teilen Sie den Bruch 6 / 7 durch 3. Gemäß der oben gegebenen Definition der Division haben wir hier das Produkt (6 / 7) und einen der Faktoren (3); Es ist erforderlich, einen solchen zweiten Faktor zu finden, der, wenn er mit 3 multipliziert wird, das gegebene Produkt 6 / 7 ergeben würde. Offensichtlich sollte es dreimal kleiner sein als dieses Produkt. Das bedeutet, dass die vor uns gestellte Aufgabe darin bestand, den Bruch 6 / 7 um das Dreifache zu verkleinern.

Wir wissen bereits, dass die Kürzung eines Bruchs entweder durch Verringerung seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners erfolgen kann. Daher kann man schreiben:

In diesem Fall ist der Zähler 6 durch 3 teilbar, also sollte der Zähler um das Dreifache reduziert werden.

Nehmen wir ein anderes Beispiel: 5 / 8 geteilt durch 2. Hier ist der Zähler 5 nicht durch 2 teilbar, was bedeutet, dass der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden muss:

Darauf aufbauend können wir die Regel aufstellen: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, musst du den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren(wenn möglich), den gleichen Nenner belassen, oder den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den gleichen Zähler belassen.

3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.

Es sei erforderlich, 5 durch 1 / 2 zu dividieren, d.h. eine Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit 1 / 2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1 / 2 ein echter Bruch ist, und wenn eine Zahl mit einem echten Bruch multipliziert wird, muss das Produkt kleiner als der Multiplikand sein. Um es klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1 / 2 = X , also x 1 / 2 \u003d 5.

Wir müssen eine solche Zahl finden X , was mit 1 / 2 multipliziert 5 ergeben würde. Da eine bestimmte Zahl mit 1 / 2 zu multiplizieren bedeutet, 1 / 2 dieser Zahl zu finden, also 1 / 2 der unbekannten Zahl X ist 5 und die ganze Zahl X doppelt so viel, d. H. 5 2 \u003d 10.

Also 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Lass uns das Prüfen:

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Es sei erforderlich, 6 durch 2/3 zu teilen. Versuchen wir zunächst, anhand der Zeichnung (Abb. 19) das gewünschte Ergebnis zu finden.

Abb.19

Zeichne ein Segment AB, gleich 6 von einigen Einheiten, und teile jede Einheit in 3 gleiche Teile. In jeder Einheit sind drei Drittel (3 / 3) im gesamten Abschnitt AB 6-mal größer, d.h. E. 18/3. Wir verbinden mit Hilfe von kleinen Klammern 18 erhaltene Segmente von 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Das bedeutet, dass der Bruch 2/3 9 mal in b Einheiten enthalten ist, oder anders ausgedrückt, der Bruch 2/3 ist 9 mal kleiner als 6 ganzzahlige Einheiten. Somit,

Wie erhält man dieses Ergebnis ohne eine Zeichnung, die nur Berechnungen verwendet? Wir argumentieren wie folgt: Es ist erforderlich, 6 durch 2 / 3 zu teilen, d.h. es ist erforderlich, die Frage zu beantworten, wie oft 2 / 3 in 6 enthalten ist. Lassen Sie uns zuerst herausfinden: wie oft ist 1 / 3 in 6 enthalten? In einer ganzen Einheit - 3 Drittel und in 6 Einheiten - 6 mal mehr, d. H. 18 Drittel; Um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Also ist 1/3 in b-Einheiten 18-mal enthalten und 2/3 ist in b-Einheiten nicht 18-mal, sondern halb so oft enthalten, also 18: 2 = 9 Daher haben wir bei der Division von 6 durch 2 / 3 Folgendes getan:

Von hier aus erhalten wir die Regel zum Teilen einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen, indem Sie es durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.

Wir schreiben die Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 aufgestellten Regel zum Teilen einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Beachten Sie, dass dort dieselbe Formel erhalten wurde.

Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.

Es sei erforderlich, 3/4 durch 3/8 zu teilen. Was bezeichnet die Zahl, die als Ergebnis der Teilung erhalten wird? Es wird die Frage beantworten, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, machen wir eine Zeichnung (Abb. 20).

Nehmen Sie das Segment AB, nehmen Sie es als Einheit, teilen Sie es in 4 gleiche Teile und markieren Sie 3 solcher Teile. Das Segment AC entspricht 3/4 des Segments AB. Lassen Sie uns nun jedes der vier Anfangssegmente halbieren, dann wird das Segment AB in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile wird gleich 1/8 des Segments AB sein. Wir verbinden 3 solcher Segmente mit Bögen, dann ist jedes der Segmente AD und DC gleich 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass das Segment gleich 3/8 genau zweimal in dem Segment gleich 3/4 enthalten ist; Das Ergebnis der Division kann also wie folgt geschrieben werden:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Es sei erforderlich, 15/16 durch 3/32 zu teilen:

Wir können so argumentieren: Wir müssen eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 3 / 32 ein Produkt von 15 / 16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen wie folgt:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 unbekannte Nummer X bilden 15 / 16

1/32 unbekannte Zahl X ist ,

32 / 32 Zahlen X bilden .

Somit,

Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multiplizieren und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und dem machen zweitens der Nenner.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

5. Division gemischter Zahlen.

Beim Teilen von gemischten Zahlen müssen sie zuerst in unechte Brüche umgewandelt werden, und dann sollten die resultierenden Brüche gemäß den Regeln zum Teilen von Bruchzahlen geteilt werden. Betrachten Sie ein Beispiel:

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Jetzt teilen wir uns auf:

Um also gemischte Zahlen zu dividieren, musst du sie in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zum Dividieren von Brüchen dividieren.

6. Finden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs.

Unter den verschiedenen Aufgaben zu Brüchen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchteils einer unbekannten Zahl angegeben ist und es erforderlich ist, diese Zahl zu finden. Diese Art von Problem ist umgekehrt zu dem Problem, einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden; dort wurde eine Zahl angegeben und es musste ein Bruchteil dieser Zahl gefunden werden, hier wird ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es ist erforderlich, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch deutlicher, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.

Aufgabe 1. Am ersten Tag verglasten Glaser 50 Fenster, was 1 / 3 aller Fenster des gebauten Hauses entspricht. Wie viele Fenster hat dieses Haus?

Entscheidung. Die Aufgabe besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster des Hauses ausmachen, was bedeutet, dass es insgesamt dreimal mehr Fenster gibt, d.h.

Das Haus hatte 150 Fenster.

Aufgabe 2. Der Laden verkaufte 1.500 kg Mehl, das sind 3/8 des gesamten Mehlbestands im Laden. Was war der anfängliche Mehlvorrat des Ladens?

Entscheidung. Aus der Problemstellung ist ersichtlich, dass die verkauften 1.500 kg Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; das bedeutet, dass 1/8 dieses Bestands dreimal weniger ist, d.h. um ihn zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:

1.500 : 3 = 500 (das ist 1/8 der Aktie).

Offensichtlich wird der gesamte Bestand 8-mal größer sein. Somit,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Der anfängliche Vorrat an Mehl im Lager betrug 4.000 kg.

Aus der Betrachtung dieses Problems kann die folgende Regel abgeleitet werden.

Um eine Zahl durch einen bestimmten Wert ihres Bruchs zu finden, reicht es aus, diesen Wert durch den Zähler des Bruchs zu dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs zu multiplizieren.

Wir haben zwei Probleme beim Auffinden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs gelöst. Solche Probleme werden, wie besonders gut aus dem letzten zu sehen ist, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).

Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen studiert haben, können die obigen Probleme in einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.

Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einer Aktion wie folgt gelöst werden:

In Zukunft werden wir das Problem lösen, eine Zahl durch ihren Bruch in einer Aktion zu finden - Division.

7. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.

Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden und einige Prozent dieser Zahl kennen.

Aufgabe 1. Anfang dieses Jahres bekam ich von der Sparkasse 60 Rubel. Einkommen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr gespart habe. Wie viel Geld habe ich bei der Sparkasse angelegt? (Kassen geben Einlegern 2 % des Einkommens pro Jahr.)

Der Sinn des Problems ist, dass ein bestimmter Geldbetrag von mir in eine Sparkasse gelegt wurde und dort ein Jahr lag. Nach einem Jahr erhielt ich von ihr 60 Rubel. Einkommen, das sind 2/100 des Geldes, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich eingezahlt?

Wenn wir also den Teil dieses Geldes kennen, der auf zwei Arten ausgedrückt wird (in Rubel und in Bruchteilen), müssen wir den gesamten, noch unbekannten Betrag finden. Dies ist ein gewöhnliches Problem, eine Zahl zu finden, wenn ihr Bruch gegeben ist. Folgende Aufgaben werden durch Teilung gelöst:

Also wurden 3.000 Rubel in die Sparkasse gesteckt.

Aufgabe 2. In zwei Wochen erfüllten die Fischer den Monatsplan zu 64 %, nachdem sie 512 Tonnen Fisch zubereitet hatten. Was war ihr Plan?

Aus dem Zustand des Problems ist bekannt, dass die Fischer einen Teil des Plans abgeschlossen haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wie viele Tonnen Fisch laut Plan geerntet werden müssen, wissen wir nicht. Die Lösung des Problems besteht darin, diese Nummer zu finden.

Solche Aufgaben werden gelöst durch Teilen:

Laut Plan müssen Sie also 800 Tonnen Fisch zubereiten.

Aufgabe 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er den 276. Kilometer passierte, fragte einer der Passagiere den vorbeifahrenden Schaffner, wie viel von der Strecke sie bereits zurückgelegt hätten. Darauf antwortete der Schaffner: „Wir haben bereits 30 % der gesamten Fahrt zurückgelegt.“ Wie weit ist es von Riga nach Moskau?

Aus dem Zustand des Problems ist ersichtlich, dass 30 % der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten finden, d. h. für diesen Teil das Ganze finden:

§ 91. Reziproke Zahlen. Division durch Multiplikation ersetzen.

Nehmen Sie den Bruch 2/3 und ordnen Sie den Zähler an die Stelle des Nenners, wir erhalten 3/2. Wir haben einen Bruchteil, den Kehrwert von diesem.

Um den Kehrwert eines gegebenen Bruchs zu erhalten, musst du seinen Zähler an die Stelle des Nenners setzen und den Nenner an die Stelle des Zählers. Auf diese Weise können wir einen Bruch erhalten, der der Kehrwert eines beliebigen Bruchs ist. Zum Beispiel:

3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, umgekehrt 6/5

Man nennt zwei Brüche, die die Eigenschaft haben, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist gegenseitig invers.

Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 sein wird. Offensichtlich wird es 2 / 1 oder nur 2 sein. Wenn wir nach dem Kehrwert davon suchen, haben wir eine ganze Zahl erhalten. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit einem Zähler von 1 (eins) sind die Kehrwerte ganze Zahlen, zum Beispiel:

1 / 3, umgekehrt 3; 1/5, rückwärts 5

Da wir bei der Suche nach Kehrwerten auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, sprechen wir künftig nicht mehr von Kehrwerten, sondern von Kehrwerten.

Lass uns herausfinden, wie man den Kehrwert einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen wird dies einfach gelöst: Sie müssen den Nenner an die Stelle des Zählers setzen. Auf die gleiche Weise können Sie den Kehrwert einer ganzen Zahl erhalten, da jede ganze Zahl einen Nenner von 1 haben kann. Daher ist der Kehrwert von 7 1 / 7, weil 7 \u003d 7 / 1; für die Zahl 10 ist das Gegenteil 1 / 10, da 10 = 10 / 1

Diese Idee kann man auch anders ausdrücken: Den Kehrwert einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch die gegebene Zahl dividiert. Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. In der Tat, wenn Sie eine Zahl schreiben möchten, die der Kehrwert des Bruchs 5 / 9 ist, dann können wir 1 nehmen und durch 5 / 9 teilen, d.h.

Lassen Sie uns nun auf einen hinweisen Eigentum gegenseitig reziproke Zahlen, die uns nützlich sein werden: das Produkt reziproker Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:

Unter Verwendung dieser Eigenschaft können wir Kehrwerte auf folgende Weise finden. Finden wir den Kehrwert von 8.

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben X , dann 8 X = 1, also X = 1/8 . Lassen Sie uns eine andere Zahl finden, die Umkehrung von 7/12, bezeichnen Sie sie mit einem Buchstaben X , dann 7 / 12 X = 1, also X = 1:7/12 bzw X = 12 / 7 .

Wir haben hier den Begriff der reziproken Zahlen eingeführt, um die Informationen über die Division von Brüchen etwas zu ergänzen.

Wenn wir die Zahl 6 durch 3 / 5 teilen, gehen wir wie folgt vor:

Achten Sie besonders auf den Ausdruck und vergleichen Sie ihn mit dem gegebenen: .

Wenn wir den Ausdruck getrennt nehmen, ohne Verbindung mit dem vorherigen, dann ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er stammt: von der Division von 6 durch 3/5 oder von der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen ist das Ergebnis das gleiche. Also können wir sagen dass die Division einer Zahl durch eine andere durch die Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden kann.

Die Beispiele, die wir unten geben, bestätigen diese Schlussfolgerung voll und ganz.

Unterrichtsinhalt

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Beginnen wir mit der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Lassen Sie uns zum Beispiel die Brüche und addieren. Wir addieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Wenn Sie Pizza zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizza:

Beispiel 2 Addiere Brüche und .

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Wenn das Ende der Aufgabe kommt, ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen. In unserem Fall ist der ganzzahlige Teil einfach zuzuordnen - zwei geteilt durch zwei ist gleich eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine zweigeteilte Pizza denken. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Addieren Sie wieder die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Wenn Sie mehr Pizzen zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizzen:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und mehr Pizzen.

Wie du siehst, ist das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner nicht schwierig. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner dieser Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Zum Beispiel können Brüche addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Brüche können jedoch nicht auf einmal addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu bringen. Heute werden wir nur eine davon betrachten, da die restlichen Methoden für einen Anfänger kompliziert erscheinen mögen.

Das Wesen dieser Methode liegt darin, dass zuerst (LCM) der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs geteilt und der erste zusätzliche Faktor wird erhalten. Dasselbe machen sie mit dem zweiten Bruch – das LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs geteilt und der zweite zusätzliche Faktor wird erhalten.

Dann werden die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Brüche addieren und

Zunächst finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Nun zurück zu den Brüchen und . Zuerst dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Faktor. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Dazu ziehen wir einen kleinen Schrägstrich über den Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Faktor. Wir schreiben es in den zweiten Bruch. Auch hier machen wir einen kleinen Schrägstrich über dem zweiten Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Jetzt können wir alles hinzufügen. Es bleibt, die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, was wir erreicht haben. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Damit endet das Beispiel. Um es hinzuzufügen, stellt sich heraus.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Das Kürzen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Fraktionen werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile geteilt (auf denselben Nenner gebracht) werden.

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (vier Teile von sechs) und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei Teile von sechs). Wenn wir diese Teile zusammenfügen, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist falsch, deshalb haben wir den ganzzahligen Teil darin hervorgehoben. Das Ergebnis war (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu detailliert gemalt haben. In Bildungseinrichtungen ist es nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, das LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren schnell zu finden und die zusätzlichen Faktoren, die von Ihren Zählern und Nennern gefunden wurden, schnell zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch die andere Seite der Medaille. Wenn in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen gemacht werden, dann solche Fragen „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden aus Brüchen plötzlich ganz andere Brüche? «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu vereinfachen, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen;
2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch;
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Brüche mit gleichem Nenner addieren;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus;

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Lassen Sie uns die Anweisungen oben verwenden.

Schritt 1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen

Finde das LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch

Teilen Sie das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, erhalten wir 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit Ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit unseren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit gleichem Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Es bleibt, diese Brüche zu addieren. Addieren:

Die Addition passte nicht in eine Zeile, also haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. In Mathematik ist dies erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile übernommen, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang einer neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) gesetzt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass dies eine Fortsetzung des Ausdrucks in der ersten Zeile ist.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil darin aus

Unsere Antwort ist ein unechter Bruch. Wir müssen den ganzen Teil davon herausgreifen. Wir heben hervor:

Habe eine Antwort bekommen

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Es gibt zwei Arten der Bruchsubtraktion:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Lass uns zuerst lernen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, musst du den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks finden. Um dieses Beispiel zu lösen, ist es notwendig, den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner unverändert zu lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der restlichen Brüche subtrahieren:

Wie du siehst, ist es nicht kompliziert, Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil darin auswählen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispielsweise kann ein Bruch von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche denselben Nenner haben. Aber ein Bruch kann nicht von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip gefunden, das wir beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Bestimmen Sie zunächst das kgV der Nenner beider Brüche. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über den ersten Bruch geschrieben wird. In ähnlicher Weise wird das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über den zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner bringen.

Zuerst finden wir das LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Nun zurück zu Brüchen und

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, erhalten wir 4. Wir schreiben die Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie ein Tripel über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Habe eine Antwort bekommen

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie Pizzen aus einer Pizza schneiden, erhalten Sie Pizzen.

Dies ist die ausführliche Version der Lösung. In der Schule müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde wie folgt aussehen:

Das Kürzen von Brüchen und auf einen gemeinsamen Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch dieselben Pizzastücke dargestellt, aber dieses Mal werden sie in dieselben Brüche geteilt (auf denselben Nenner gekürzt):

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruchteil (acht Teile von zwölf), und das zweite Bild zeigt einen Bruchteil (drei Teile von zwölf). Indem wir drei von acht Stücken abschneiden, erhalten wir fünf von zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Stücke.

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie zuerst auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Finden Sie das LCM der Nenner dieser Brüche.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir zusätzliche Faktoren für jeden Bruch. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, erhalten wir den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, also verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Anteil reduzieren.

Um einen Bruch zu kürzen, musst du seinen Zähler und Nenner durch (gcd) die Zahlen 20 und 30 dividieren.

Wir finden also den ggT der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen ggT, ​​also durch 10

Habe eine Antwort bekommen

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multipliziere den Bruch mit der Zahl 1.

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Der Eintrag kann so verstanden werden, dass er die Hälfte der 1-Zeit in Anspruch nimmt. Wenn Sie zum Beispiel 1 Mal Pizza nehmen, erhalten Sie Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Multiplikator vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich . Auch hier funktioniert die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Dieser Eintrag kann als Übernahme der Hälfte der Einheit verstanden werden. Wenn es zum Beispiel 1 ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man 4 mal zwei Viertel nimmt. Wenn Sie beispielsweise viermal Pizza nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen.

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator stellenweise vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es ist auch gleich 2. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass zwei Pizzen von vier ganzen Pizzen genommen werden:

Multiplikation von Brüchen

Um Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Beispiel 1 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Habe eine Antwort bekommen. Es ist wünschenswert, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 gekürzt werden. Dann hat die endgültige Lösung folgende Form:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man eine Pizza von einer halben Pizza nimmt. Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nehme ich zwei Drittel von dieser Hälfte? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Stücken:

Wir holen Pizza. Denken Sie daran, wie eine Pizza aussieht, die in drei Teile geteilt ist:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, haben die gleichen Abmessungen:

Mit anderen Worten, wir sprechen von der gleichen Pizzagröße. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, aber es wird gut sein, wenn es reduziert wird. Um diesen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Finden wir also den ggT der Zahlen 105 und 450:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort auf den nun gefundenen ggT, ​​also durch 15

Eine ganze Zahl als Bruch darstellen

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Daraus wird fünf seine Bedeutung nicht ändern, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie Sie wissen, gleich fünf ist:

Zahlen umkehren

Jetzt werden wir uns mit einem sehr interessanten Thema in der Mathematik vertraut machen. Es heißt "umgekehrte Zahlen".

Definition. Umgekehrt zur Zahla ist die Zahl, die, wenn multipliziert mita gibt eine Einheit.

Lassen Sie uns in dieser Definition eine Variable ersetzen a Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Zahl 5 ist die Zahl, die, wenn multipliziert mit 5 gibt eine Einheit.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 5 multipliziert wird, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Stellen wir fünf als Bruch dar:

Dann multipliziere diesen Bruch mit sich selbst, vertausche einfach Zähler und Nenner. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur umgekehrt:

Was wird daraus resultieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eins:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn 5 mit eins multipliziert wird, erhält man eins.

Der Kehrwert kann auch für jede andere ganze Zahl gefunden werden.

Du kannst auch den Kehrwert für jeden anderen Bruch finden. Dazu reicht es aus, es umzudrehen.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viele Pizzen bekommt jeder?

Es ist ersichtlich, dass nach dem Teilen der Hälfte der Pizza zwei gleiche Stücke erhalten wurden, die jeweils eine Pizza bilden. Also bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt mit Kehrwerten. Mit Kehrwerten können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Teilung unserer Hälfte der Pizza in zwei Teile auf.

Also musst du den Bruch durch die Zahl 2 teilen. Hier ist der Dividende ein Bruch und der Divisor 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist ein Bruch. Also musst du mit multiplizieren

In dieser Lektion betrachten wir die Addition und Subtraktion von algebraischen Brüchen mit gleichem Nenner. Wir wissen bereits, wie man gemeinsame Brüche mit gleichem Nenner addiert und subtrahiert. Es stellt sich heraus, dass algebraische Brüche denselben Regeln folgen. Die Fähigkeit, mit Brüchen mit gleichen Nennern zu arbeiten, ist einer der Eckpfeiler beim Erlernen der Regeln für die Arbeit mit algebraischen Brüchen. Insbesondere das Verständnis dieses Themas wird es Ihnen erleichtern, ein komplexeres Thema zu meistern - Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Als Teil der Lektion werden wir die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit demselben Nenner studieren und eine Reihe typischer Beispiele analysieren

Regel zum Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit gleichem Nenner

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (du-chi-ta-niya) al-geb-ra-und-che-dro-bey mit einem-gegen-dich - mi-know-on-te-la-mi (es ist co-pa-yes-et mit dem ana-logischen Daumenrecht für gewöhnliche-aber-ven-nyh-dr-bay): Das ist für die Hinzufügung oder you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey mit one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi ist notwendig -ho-di-mo mit -stand mit-vom-tierarzt-stu-u-th al-geb-ra-i-che-summe der nummer von-li-te-lei, und das zeichen-mich-am-tel lasse ohne iz-me- nein-nein.

Wir werden dieses Right-vi-lo sowohl am Beispiel von gewöhnlichen-aber-Vein-Shot-Beats als auch am Beispiel von al-geb-ra-and-che-drobey analysieren.

Beispiele für die Anwendung der Regel für gewöhnliche Brüche

Beispiel 1. Brüche addieren:.

Entscheidung

Lassen Sie uns die Zahl-ob-sie-ob-Schlag hinzufügen, und lassen Sie uns das Zeichen-mich-am-Telefon gleich lassen. Danach teilen wir das numer-li-tel und das sign-me-on-tel in einfache Multiplikatoren und so-kra-tim. Holen wir es uns: .

Hinweis: Standardfehler, ich beginne etwas beim Auflösen in einem guten Beispiel für -key-cha-et-sya in der folgenden du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Dies ist ein grober Fehler, da das Sign-On-Tel das gleiche bleibt, wie es in den ursprünglichen Brüchen war.

Beispiel 2. Brüche addieren:.

Entscheidung

Dieses Za-da-cha ist nichts von-ob-cha-et-sya vom vorherigen:.

Beispiele für die Anwendung der Regel für algebraische Brüche

Von der üblichen-aber-Ader-nyh dro-bay per-rey-dem zu al-geb-ra-i-che-skim.

Beispiel 3. Brüche addieren:.

Lösung: Wie bereits oben erwähnt, ist der Zusatz von al-geb-ra-und-che-dro-bey nichts von-is-cha-is-sya aus dem zhe-niya-normalerweise-aber-vene-nyh dro-bay. Daher ist die Lösungsmethode die gleiche:.

Beispiel 4. Sie-Ehrenfraktionen:.

Entscheidung

You-chi-ta-nie al-geb-ra-und-che-dro-bey von-ob-cha-et-sya von der Komplikation nur durch die Tatsache, dass in der Anzahl von pi-sy-va-et-sya Unterschied in der Anzahl von-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. So .

Beispiel 5. Sie-Ehrenfraktionen:.

Entscheidung: .

Beispiel 6. Vereinfachen:.

Entscheidung: .

Beispiele für die Anwendung der Regel mit anschließender Reduktion

In einem Bruchteil befindet sich jemand-Paradies in einem re-zul-ta-diesen Zusatz oder you-chi-ta-nia, es ist möglich, schön niya zu koennen. Außerdem sollte man das ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey nicht vergessen.

Beispiel 7. Vereinfachen:.

Entscheidung: .

Dabei . Wenn die ODZ der Out-of-Hot-Drow-Bay-Eulen-pa-yes-et mit der ODZ des Total-Go-Heuls übereinstimmt, können Sie dies im Allgemeinen nicht angeben (immerhin ein Bruchteil in einem lu-chen-naya in from-ve-these, wird auch nicht mit co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh existieren). Aber wenn die ODZ die Quelle des laufenden dro-bay ist und from-ve-that nicht co-pa-ye-et, dann zeigt die ODZ das Need-ho-di-mo an.

Beispiel 8. Vereinfachen:.

Entscheidung: . Gleichzeitig y (ODZ der ausgehenden Drawbay stimmt nicht mit der ODZ von re-zul-ta-ta überein).

Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche mit unterschiedlichen Nennern

Um und du-chi-tat al-geb-ra-und-che-Fraktionen mit verschiedenen-wir-kennen-mich-auf-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu vom Üblichen zu speichern- aber-ven-ny-mi dro-bya-mi und re-re-not-sem es in al-geb-ra-and-che-Fraktionen.

Ras-Schauen Sie sich das einfachste Beispiel für gewöhnliche venöse Injektionen an.

Beispiel 1. Brüche addieren:.

Entscheidung:

Erinnern wir uns an die rechte-vi-lo-slo-drow-Bucht. Für na-cha-la-Brüche ist es notwendig, ve-sti zum gemeinsamen Zeichen-mich-zu-te-lu hinzuzufügen. In der Rolle eines allgemeinen Sign-me-on-te-la für gewöhnliche, aber aderziehende Beats, you-stu-pa-et kleinstes gemeinsames Vielfaches(NOK) die Quelle der Signs-me-on-the-lei.

Definition

Die kleinste Hals-zu-Tun-Zahl, jemand-Schwarm wird gleichzeitig in Zahlen de-litt und.

Um das NOC zu finden, müssen Sie Know-me-on-the-ob in einfache Multiplikatoren de-lo-leben und sich dann dafür entscheiden, alles zu nehmen – es gibt viele, viele, einige von ihnen sind in der Differenz zwischen beiden enthalten Zeichen-mich-auf-der-lei.

; . Dann sollte das LCM der Zahlen zwei Zweien und zwei Dreien enthalten:.

Nachdem das allgemeine Sign-on-te-la gefunden wurde, ist es für jede der Dro-Buchten notwendig, ein zusätzliches Multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, beim Entgießen eines gemeinsamen Sign-me- on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraktion).

Dann wird jeder Bruchteil mit einem Semi-Chenny-zu-Half-No-Tel-ny-Multiplikator multipliziert. Brüche mit dem Gleichen-auf-du-kennst-mich-auf-te-la-mi, Lagerhäuser und du-chi-tat jemand, auf dem wir uns befinden - in den vergangenen Lektionen gelernt.

By-lu-cha-essen: .

Antworten:.

Ras-look-rim jetzt die Falte von al-geb-ra-and-che-dro-bey mit verschiedenen Zeichen-me-on-te-la-mi. Schlaf-cha-la, wir-sehen uns die Brüche an, wissen-mich-ob-einige von ihnen-la-yut-sya Zahl-la-mi sind.

Addition und Subtraktion von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispiel 2. Brüche addieren:.

Entscheidung:

Al-go-Rhythmus von re-she-niya ab-so-lyut-aber ana-lo-gi-chen vorheriges-du-sche-mu p-me-ru. Es ist einfach, die gegebenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen: und Add-to-Full-Multiplikatoren für jeden von ihnen.

.

Antworten:.

Also, sfor-mu-li-ru-em al-go-rhythmus der komplikation und you-chi-ta-niya al-geb-ra-und-che-dro-beats mit verschiedenen-wir-kennen-mich-auf-te-la-mi:

1. Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Sign-me-on-Tel Drawbay.

2. Finden Sie zusätzliche Multiplikatoren für jeden der Draw-Bay-Bruchteile).

3. Do-Multiplizieren-Live-Zahlen-ob-das-Ob-auf-dem-Co-ot-vet-stu-u-s-bis-zu-halb-no-tel-nye-multiple-thes.

4. Add-to-live oder you-honor die Brüche, benutze das Right-wi-la-mi der Falte und You-chi-ta-niya Draw Bay mit One-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim jetzt ein Beispiel mit dro-bya-mi, im Know-me-on-the-le-es-gibt-es-gibt-es-gibt-beech-ven-nye you-ra-same - nung.