Grundlage für die Lösung wirtschaftlicher Probleme sind mathematische Modelle.

mathematisches Modell Problem ist eine Reihe von mathematischen Beziehungen, die das Wesen des Problems beschreiben.

Die Erstellung eines mathematischen Modells umfasst:

• Auswahl der Task-Variablen
• Erstellung eines Beschränkungssystems
• Wahl der Zielfunktion

Task-Variablen heißen Größen X1, X2, Xn, die den ökonomischen Prozess vollständig charakterisieren. Normalerweise werden sie als Vektor geschrieben: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).

Das System der Beschränkungen Aufgaben sind eine Reihe von Gleichungen und Ungleichungen, die die begrenzten Ressourcen des betrachteten Problems beschreiben.

Zielfunktion Aufgabe wird eine Funktion von Aufgabenvariablen genannt, die die Qualität der Aufgabe charakterisiert und deren Extremum gefunden werden muss.

Im Allgemeinen kann ein lineares Programmierproblem wie folgt geschrieben werden:

Dieser Eintrag bedeutet folgendes: Finde das Extremum der Zielfunktion (1) und die entsprechenden Variablen X=(X 1 , X 2 ,...,X n) vorausgesetzt, dass diese Variablen das System von Zwangsbedingungen (2) erfüllen und nicht -Negativitätsbedingungen (3) .

Akzeptable Lösung(Plan) eines linearen Programmierproblems ist jeder n-dimensionale Vektor X=(X 1 , X 2 , ..., X n ), der das System von Nebenbedingungen und Nicht-Negativitätsbedingungen erfüllt.

Die Menge der zulässigen Lösungen (Pläne) der Problemformen Reihe machbarer Lösungen(ODR).

Die optimale Lösung(Plan) eines linearen Programmierproblems ist eine solche zulässige Lösung (Plan) des Problems, bei der die Zielfunktion ein Extremum erreicht.

Ein Beispiel für die Erstellung eines mathematischen Modells

Die Aufgabe der Nutzung von Ressourcen (Rohstoffen)

Zustand: Für die Herstellung von n Arten von Produkten werden m Arten von Ressourcen verwendet. Erstellen Sie ein mathematisches Modell.

Bekannt:

• b i (i = 1,2,3,...,m) sind die Reserven jeder i-ten Ressourcenart;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) sind die Kosten jeder i-ten Ressourcenart für die Produktion einer Volumeneinheit von die j-te Produktart;
• c j (j = 1,2,3,...,n) ist der Gewinn aus dem Verkauf einer Volumeneinheit der j-ten Produktart.

Es ist erforderlich, einen Plan für die Herstellung von Produkten zu erstellen, der bei gegebenen Ressourcenbeschränkungen (Rohstoffen) einen maximalen Gewinn erzielt.

Entscheidung:

Wir führen einen Variablenvektor X=(X 1 , X 2 ,...,X n) ein, wobei x j (j = 1,2,...,n) das Produktionsvolumen der j-ten Art von ist Produkt.

Die Kosten der i-ten Art von Ressourcen für die Produktion eines bestimmten Volumens x j von Produkten sind gleich a ij x j , daher hat die Beschränkung der Verwendung von Ressourcen für die Produktion aller Arten von Produkten die Form:
Der Gewinn aus dem Verkauf des j-ten Produkttyps ist gleich c j x j , also ist die Zielfunktion gleich:

Antworten- Das mathematische Modell sieht so aus:

Kanonische Form eines linearen Programmierproblems

Im Allgemeinen wird ein lineares Programmierproblem so geschrieben, dass sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen Einschränkungen sind und Variablen entweder nicht negativ sein oder sich willkürlich ändern können.

Für den Fall, dass alle Nebenbedingungen Gleichungen sind und alle Variablen die Nicht-Negativitätsbedingung erfüllen, wird das Problem der linearen Programmierung genannt kanonisch.

Es kann in Koordinaten-, Vektor- und Matrixschreibweise dargestellt werden.

Das kanonische lineare Programmierproblem in Koordinatenschreibweise hat die Form:

Das kanonische lineare Programmierproblem in Matrixschreibweise hat die Form:

• A ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems
• X ist eine Spaltenmatrix von Aufgabenvariablen
• Ao ist die Matrix-Spalte der rechten Teile des Constraint-Systems

Häufig werden lineare Programmierprobleme verwendet, sogenannte symmetrische, die in Matrixschreibweise die Form haben:

Reduktion eines allgemeinen linearen Programmierproblems auf kanonische Form

Bei den meisten Verfahren zur Lösung von Problemen der linearen Programmierung wird davon ausgegangen, dass das System von Nebenbedingungen aus Gleichungen und natürlichen Bedingungen für die Nicht-Negativität von Variablen besteht. Bei der Erstellung von Modellen wirtschaftlicher Probleme werden jedoch hauptsächlich Randbedingungen in Form eines Systems von Ungleichungen gebildet, so dass es notwendig ist, von einem System von Ungleichungen zu einem System von Gleichungen übergehen zu können.

Dies kann folgendermaßen erfolgen:

Nimm eine lineare Ungleichung a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b und füge zu ihrer linken Seite einen Wert x n+1 hinzu, sodass die Ungleichung zur Gleichheit a 1 x 1 +a 2 x 2 + wird ...+a n x n + x n+1 =b. Außerdem ist dieser Wert x n+1 nicht negativ.

Betrachten wir alles anhand eines Beispiels.

Beispiel 26.1

Reduzieren Sie das Problem der linearen Programmierung auf die kanonische Form:

Entscheidung:
Kommen wir zum Problem, das Maximum der Zielfunktion zu finden.
Dazu ändern wir die Vorzeichen der Koeffizienten der Zielfunktion.
Um die zweite und dritte Ungleichung des Nebenbedingungssystems in Gleichungen umzuwandeln, führen wir nicht negative zusätzliche Variablen x 4 x 5 ein (diese Operation ist im mathematischen Modell mit dem Buchstaben D gekennzeichnet).
Die Variable x 4 wird auf der linken Seite der zweiten Ungleichung mit einem „+“-Zeichen eingetragen, da die Ungleichung die Form „≤“ hat.
Die Variable x 5 wird auf der linken Seite der dritten Ungleichung mit dem „-“-Zeichen eingetragen, da die Ungleichung die Form „≥“ hat.
Variablen x 4 x 5 gehen mit einem Koeffizienten in die Zielfunktion ein. gleich Null.
Wir schreiben das Problem in kanonischer Form.

In dem Artikel, auf den Sie aufmerksam gemacht wurden, bieten wir Beispiele für mathematische Modelle an. Darüber hinaus werden wir uns mit den Phasen der Modellerstellung befassen und einige der mit der mathematischen Modellierung verbundenen Probleme analysieren.

Ein weiteres Thema von uns sind mathematische Modelle in der Ökonomie, Beispiele, deren Definition wir etwas später betrachten werden. Wir schlagen vor, unser Gespräch mit dem eigentlichen Begriff „Modell“ zu beginnen, kurz auf ihre Klassifizierung einzugehen und zu unseren Hauptfragen überzugehen.

Der Begriff „Modell“

Wir hören oft das Wort „Modell“. Was ist es? Dieser Begriff hat viele Definitionen, hier sind nur drei davon:

• ein spezifisches Objekt, das erstellt wird, um Informationen zu empfangen und zu speichern, die einige Eigenschaften oder Merkmale usw. des Originals dieses Objekts widerspiegeln (dieses spezifische Objekt kann in verschiedenen Formen ausgedrückt werden: mental, Beschreibung durch Zeichen usw.);
• ein Modell bedeutet auch eine Darstellung einer bestimmten Situation, eines Lebens oder eines Managements;
• Ein Modell kann eine reduzierte Kopie eines Objekts sein (sie werden für eine detailliertere Untersuchung und Analyse erstellt, da das Modell die Struktur und die Beziehungen widerspiegelt).

Basierend auf allem, was zuvor gesagt wurde, können wir eine kleine Schlussfolgerung ziehen: Das Modell ermöglicht es Ihnen, ein komplexes System oder Objekt im Detail zu untersuchen.

Alle Modelle können nach einer Reihe von Merkmalen klassifiziert werden:

• nach Einsatzbereich (Bildung, Experimente, Wissenschaft und Technik, Gaming, Simulation);
• durch Dynamik (statisch und dynamisch);
• nach Wissenszweig (physikalisch, chemisch, geografisch, historisch, soziologische, wirtschaftliche, mathematische);
• je nach Art der Präsentation (materiell und informativ).

Informationsmodelle wiederum werden in Zeichen und verbal unterteilt. Und ikonisch - auf Computer und Nicht-Computer. Kommen wir nun zu einer detaillierten Betrachtung von Beispielen eines mathematischen Modells.

Mathematisches Modell

Wie Sie sich vorstellen können, spiegelt ein mathematisches Modell einige Merkmale eines Objekts oder Phänomens mithilfe spezieller mathematischer Symbole wider. Mathematik wird benötigt, um die Gesetze der Welt in ihrer eigenen spezifischen Sprache zu modellieren.

Die Methode der mathematischen Modellierung entstand vor ziemlich langer Zeit, vor Tausenden von Jahren, zusammen mit dem Aufkommen dieser Wissenschaft. Den Anstoß zur Entwicklung dieser Modellierungsmethode gab jedoch das Aufkommen von Computern (elektronischen Rechnern).

Kommen wir nun zur Klassifizierung. Es kann auch nach einigen Zeichen durchgeführt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wir schlagen vor, innezuhalten und uns die letzte Klassifikation genauer anzusehen, da sie die allgemeinen Muster der Modellierung und die Ziele der erstellten Modelle widerspiegelt.

Beschreibende Modelle

In diesem Kapitel schlagen wir vor, näher auf deskriptive mathematische Modelle einzugehen. Um alles sehr deutlich zu machen, wird ein Beispiel gegeben.

Diese Ansicht kann zunächst als deskriptiv bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass wir lediglich Berechnungen und Prognosen anstellen, aber den Ausgang der Veranstaltung in keiner Weise beeinflussen können.

Ein markantes Beispiel für ein beschreibendes mathematisches Modell ist die Berechnung der Flugbahn, Geschwindigkeit und Entfernung eines Kometen von der Erde, der in die Weiten unseres Sonnensystems eingedrungen ist. Dieses Modell ist beschreibend, da alle erhaltenen Ergebnisse uns nur vor einer Art von Gefahr warnen können. Auf den Ausgang der Veranstaltung können wir leider keinen Einfluss nehmen. Basierend auf den erhaltenen Berechnungen ist es jedoch möglich, alle Maßnahmen zu ergreifen, um das Leben auf der Erde zu erhalten.

Optimierungsmodelle

Jetzt werden wir ein wenig über wirtschaftliche und mathematische Modelle sprechen, Beispiele dafür können verschiedene Situationen sein. In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die helfen, unter bestimmten Bedingungen die richtige Antwort zu finden. Sie müssen einige Parameter haben. Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel aus dem Agrarbereich.

Wir haben einen Getreidespeicher, aber das Getreide verdirbt sehr schnell. In diesem Fall müssen wir das richtige Temperaturregime wählen und den Speicherprozess optimieren.

Somit können wir das Konzept des „Optimierungsmodells“ definieren. Im mathematischen Sinne ist dies ein Gleichungssystem (sowohl linear als auch nicht), dessen Lösung hilft, die optimale Lösung in einer bestimmten wirtschaftlichen Situation zu finden. Wir haben ein Beispiel für ein mathematisches Modell (Optimierung) betrachtet, aber ich möchte noch etwas hinzufügen: Diese Art gehört zur Klasse der Extremprobleme, sie helfen, das Funktionieren des Wirtschaftssystems zu beschreiben.

Wir bemerken eine weitere Nuance: Modelle können unterschiedlicher Natur sein (siehe Tabelle unten).

Multikriterielle Modelle

Jetzt laden wir Sie ein, ein wenig über das mathematische Modell der Mehrzieloptimierung zu sprechen. Zuvor haben wir ein Beispiel für ein mathematisches Modell zur Optimierung eines Prozesses nach einem beliebigen Kriterium gegeben, aber was ist, wenn es viele davon gibt?

Ein markantes Beispiel für eine multikriterielle Aufgabe ist die Organisation einer bedarfsgerechten, gesunden und zugleich sparsamen Ernährung großer Personengruppen. Solche Aufgaben werden oft in der Armee, in Schulkantinen, Sommerlagern, Krankenhäusern usw. angetroffen.

Welche Kriterien werden uns bei dieser Aufgabe vorgegeben?

1. Essen sollte gesund sein.
2. Die Verpflegungskosten sollten auf ein Minimum reduziert werden.

Wie Sie sehen können, stimmen diese Ziele überhaupt nicht überein. Das bedeutet, dass bei der Lösung eines Problems nach der optimalen Lösung gesucht werden muss, ein Gleichgewicht zwischen den beiden Kriterien.

Spielmodelle

Wenn man über Spielmodelle spricht, ist es notwendig, das Konzept der "Spieltheorie" zu verstehen. Einfach ausgedrückt spiegeln diese Modelle mathematische Modelle realer Konflikte wider. Es lohnt sich nur zu verstehen, dass ein mathematisches Spielmodell im Gegensatz zu einem echten Konflikt seine eigenen spezifischen Regeln hat.

Jetzt werde ich ein Minimum an Informationen aus der Spieltheorie geben, die Ihnen helfen zu verstehen, was ein Spielmodell ist. Und so gibt es im Modell notwendigerweise Parteien (zwei oder mehr), die normalerweise als Spieler bezeichnet werden.

Alle Modelle haben bestimmte Eigenschaften.

Das Spielmodell kann gepaart oder mehrfach sein. Wenn wir zwei Themen haben, ist der Konflikt gepaart, wenn mehr - mehrfach. Es kann auch ein antagonistisches Spiel unterschieden werden, es wird auch als Nullsummenspiel bezeichnet. Dies ist ein Modell, bei dem der Gewinn des einen Teilnehmers gleich dem Verlust des anderen ist.

Simulationsmodelle

In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf mathematische Simulationsmodelle. Beispiele für Aufgaben sind:

• Modell der Dynamik der Anzahl von Mikroorganismen;
• Modell der Molekularbewegung und so weiter.

In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die möglichst nahe an realen Prozessen liegen. Im Großen und Ganzen ahmen sie jede Manifestation in der Natur nach. Im ersten Fall können wir beispielsweise die Dynamik der Anzahl von Ameisen in einer Kolonie modellieren. In diesem Fall können Sie das Schicksal jedes Einzelnen beobachten. In diesem Fall wird selten die mathematische Beschreibung verwendet, häufiger gibt es schriftliche Bedingungen:

• nach fünf Tagen legt das Weibchen Eier;
• nach zwanzig Tagen stirbt die Ameise und so weiter.

Sie werden daher verwendet, um ein großes System zu beschreiben. Mathematischer Abschluss ist die Verarbeitung der erhaltenen statistischen Daten.

Anforderungen

Es ist sehr wichtig zu wissen, dass es einige Anforderungen für diesen Modelltyp gibt, darunter die in der folgenden Tabelle aufgeführten.

Vielseitigkeit	Mit dieser Eigenschaft können Sie dasselbe Modell verwenden, wenn Sie Gruppen von Objekten desselben Typs beschreiben. Es ist wichtig zu beachten, dass universelle mathematische Modelle völlig unabhängig von der physikalischen Natur des untersuchten Objekts sind.
Angemessenheit	Hier ist es wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft die genaueste Reproduktion realer Prozesse ermöglicht. Bei Betriebsproblemen ist diese Eigenschaft der mathematischen Modellierung sehr wichtig. Ein Beispiel für ein Modell ist der Prozess der Optimierung der Nutzung eines Gassystems. In diesem Fall werden berechnete und tatsächliche Indikatoren verglichen, wodurch die Korrektheit des erstellten Modells überprüft wird.
Genauigkeit	Diese Anforderung impliziert die Übereinstimmung der Werte, die wir bei der Berechnung des mathematischen Modells und der Eingabeparameter unseres realen Objekts erhalten
Wirtschaft	Die Forderung nach Wirtschaftlichkeit für jedes mathematische Modell ist durch Implementierungskosten gekennzeichnet. Wenn die Arbeit mit dem Modell manuell durchgeführt wird, muss berechnet werden, wie viel Zeit benötigt wird, um ein Problem mit diesem mathematischen Modell zu lösen. Wenn wir über computergestütztes Design sprechen, werden Indikatoren für Zeit und Computerspeicher berechnet

Modellierungsschritte

Insgesamt ist es üblich, bei der mathematischen Modellierung vier Stufen zu unterscheiden.

1. Formulierung von Gesetzmäßigkeiten, die Teile des Modells verbinden.
2. Studium mathematischer Probleme.
3. Herausfinden der Koinzidenz von praktischen und theoretischen Ergebnissen.
4. Analyse und Modernisierung des Modells.

Ökonomisches und mathematisches Modell

In diesem Abschnitt werden wir das Thema kurz beleuchten Beispiele für Aufgaben können sein:

• Erstellung eines Produktionsprogramms für die Herstellung von Fleischprodukten, um den maximalen Produktionsgewinn zu gewährleisten;
• Maximierung des Gewinns der Organisation durch Berechnung der optimalen Anzahl von Tischen und Stühlen, die in einer Möbelfabrik hergestellt werden sollen, und so weiter.

Das wirtschaftsmathematische Modell weist eine ökonomische Abstraktion auf, die durch mathematische Begriffe und Zeichen ausgedrückt wird.

Computermathematisches Modell

Beispiele für ein computermathematisches Modell sind:

• Hydraulikaufgaben mit Flussdiagrammen, Diagrammen, Tabellen usw.;
• Probleme mit der Festkörpermechanik und so weiter.

Ein Computermodell ist ein Abbild eines Objekts oder Systems, dargestellt als:

• Tische;
• Blockdiagramme;
• Diagramme;
• Grafiken und so weiter.

Gleichzeitig spiegelt dieses Modell den Aufbau und die Zusammenhänge des Systems wider.

Aufbau eines ökonomischen und mathematischen Modells

Wir haben bereits darüber gesprochen, was ein ökonomisch-mathematisches Modell ist. Ein Beispiel zum Lösen des Problems wird jetzt betrachtet. Wir müssen das Produktionsprogramm analysieren, um die Reserve für steigende Gewinne bei einer Sortimentsverschiebung zu identifizieren.

Wir werden das Problem nicht vollständig betrachten, sondern nur ein ökonomisches und mathematisches Modell erstellen. Das Kriterium unserer Aufgabe ist die Gewinnmaximierung. Dann hat die Funktion die Form: Ë=ð1*х1+ð2*х2… zum Maximum strebend. In diesem Modell ist p der Gewinn pro Einheit, x die Anzahl der produzierten Einheiten. Ferner ist es auf der Grundlage des konstruierten Modells notwendig, Berechnungen durchzuführen und zusammenzufassen.

Ein Beispiel für den Aufbau eines einfachen mathematischen Modells

Aufgabe. Der Fischer kehrte mit folgendem Fang zurück:

• 8 Fische - Bewohner der Nordmeere;
• 20% des Fangs - die Bewohner der südlichen Meere;
• kein einziger Fisch wurde aus dem örtlichen Fluss gefunden.

Wie viele Fische hat er im Laden gekauft?

Ein Beispiel für die Konstruktion eines mathematischen Modells dieses Problems ist wie folgt. Wir bezeichnen die Gesamtzahl der Fische als x. Gemäß der Bedingung ist 0,2x die Anzahl der Fische, die in südlichen Breiten leben. Jetzt kombinieren wir alle verfügbaren Informationen und erhalten ein mathematisches Modell des Problems: x=0,2x+8. Wir lösen die Gleichung und erhalten die Antwort auf die Hauptfrage: Er hat 10 Fische im Laden gekauft.

MATHEMATISCHES MODELL - Darstellung eines Phänomens oder Prozesses, das in konkreten wissenschaftlichen Erkenntnissen in der Sprache mathematischer Konzepte untersucht wurde. Gleichzeitig sollen auf dem Weg zur Untersuchung der tatsächlichen mathematischen Eigenschaften des Modells eine Reihe von Eigenschaften des untersuchten Phänomens erhalten werden. Bau von M.m. meistens durch die Notwendigkeit einer quantitativen Analyse der untersuchten Phänomene und Prozesse diktiert, ohne die es wiederum unmöglich ist, experimentell überprüfbare Vorhersagen über ihren Verlauf zu treffen.

Der Prozess der mathematischen Modellierung durchläuft in der Regel die folgenden Phasen. In der ersten Phase werden die Verbindungen zwischen den Hauptparametern des zukünftigen M.m. Zunächst geht es um eine qualitative Analyse der untersuchten Phänomene und die Formulierung von Mustern, die die Hauptforschungsgegenstände verbinden. Auf dieser Grundlage erfolgt die Identifizierung von Objekten, die eine quantitative Beschreibung zulassen. Die Stufe endet mit der Konstruktion eines hypothetischen Modells, mit anderen Worten, einer Aufzeichnung in der Sprache mathematischer Konzepte qualitativer Vorstellungen über die Beziehungen zwischen den Hauptobjekten des Modells, die quantitativ charakterisiert werden können.

In der zweiten Stufe erfolgt die Untersuchung der eigentlichen mathematischen Probleme, zu denen das konstruierte hypothetische Modell führt. In dieser Phase geht es vor allem darum, empirisch überprüfbare theoretische Konsequenzen (Lösung des direkten Problems) als Ergebnis der mathematischen Analyse des Modells zu erhalten. Gleichzeitig sind Fälle nicht ungewöhnlich, in denen für den Bau und das Studium von M.m. in verschiedenen Bereichen konkreter wissenschaftlicher Erkenntnisse werden dieselben mathematischen Apparate verwendet (z. B. Differentialgleichungen) und mathematische Probleme gleicher Art, wenn auch im Einzelfall sehr nicht trivial, auftreten. Darüber hinaus wird in dieser Phase der Einsatz von Hochgeschwindigkeits-Computertechnologie (Computer) von großer Bedeutung, die es ermöglicht, eine ungefähre Lösung von Problemen zu erhalten, die im Rahmen der reinen Mathematik oft unmöglich sind, mit einem zuvor nicht verfügbaren (ohne die Verwendung eines Computers) Grad der Genauigkeit.

Die dritte Stufe ist gekennzeichnet durch Aktivitäten zur Bestimmung des Grades der Angemessenheit des konstruierten hypothetischen M.m. jene Phänomene und Prozesse, zu deren Untersuchung es bestimmt war. Sind nämlich alle Parameter des Modells spezifiziert, versuchen die Forscher herauszufinden, wie ihre Ergebnisse im Rahmen der Beobachtungsgenauigkeit mit den theoretischen Konsequenzen des Modells übereinstimmen. Abweichungen über die Genauigkeit der Beobachtungen hinaus weisen auf die Unzulänglichkeit des Modells hin. Es gibt jedoch häufig Fälle, in denen beim Erstellen eines Modells eine Reihe seiner Parameter unverändert bleiben.

unbestimmt. Probleme, bei denen die parametrischen Eigenschaften des Modells so festgelegt sind, dass die theoretischen Konsequenzen innerhalb der Genauigkeit von Beobachtungen mit den Ergebnissen empirischer Tests vergleichbar sind, werden als inverse Probleme bezeichnet.

In der vierten Phase erfolgt unter Berücksichtigung der Feststellung des Angemessenheitsgrades des konstruierten hypothetischen Modells und des Auftauchens neuer experimenteller Daten zu den untersuchten Phänomenen die anschließende Analyse und Modifikation des Modells. Dabei variiert die getroffene Entscheidung von einer bedingungslosen Ablehnung der angewandten mathematischen Werkzeuge bis hin zur Übernahme des konstruierten Modells als Grundlage für den Aufbau einer grundlegend neuen wissenschaftlichen Theorie.

Die erste M.m. erschien in der antiken Wissenschaft. Um das Sonnensystem zu modellieren, gab der griechische Mathematiker und Astronom Eudoxus jedem Planeten vier Kugeln, deren Kombination der Bewegung ein Nilpferd erzeugte - eine mathematische Kurve, die der beobachteten Bewegung des Planeten ähnelt. Da dieses Modell jedoch nicht alle beobachteten Anomalien in der Bewegung der Planeten erklären konnte, wurde es später durch das epizyklische Modell des Apollonius von Perge ersetzt. Hipparchos verwendete das neueste Modell in seinen Studien und dann, nachdem er es einigen Modifikationen unterzogen hatte, Ptolemäus. Dieses Modell basierte wie seine Vorgänger auf der Annahme, dass die Planeten gleichmäßige Kreisbewegungen ausführen, deren Überlappung die offensichtlichen Unregelmäßigkeiten erklärte. Zugleich ist anzumerken, dass das kopernikanische Modell nur in qualitativer Hinsicht (aber nicht als M.M.) grundlegend neu war. Und nur Kepler baute auf der Grundlage der Beobachtungen von Tycho Brahe eine neue M.m. Das Sonnensystem beweist, dass sich die Planeten nicht auf kreisförmigen, sondern auf elliptischen Bahnen bewegen.

Am geeignetsten sind derzeit die MMs, die zur Beschreibung mechanischer und physikalischer Phänomene konstruiert wurden. Über die Angemessenheit von M.m. Außerhalb der Physik kann man, bis auf wenige Ausnahmen, mit ziemlicher Vorsicht sprechen. Dennoch, die Feststellung der Hypothetik und oft einfach der Unzulänglichkeit von M.m. in verschiedenen Wissensgebieten, ihre Rolle bei der Entwicklung der Wissenschaft sollte nicht unterschätzt werden. Es kommt immer wieder vor, dass selbst bei weitem nicht hinreichend organisierte und zu weiteren Forschungen anregende Modelle neben irrigen Schlussfolgerungen jene Körnchen Wahrheit enthielten, die den Aufwand zur Entwicklung dieser Modelle voll und ganz rechtfertigten.

Literatur:

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Wörterbuch der philosophischen Begriffe. Wissenschaftliche Ausgabe von Professor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

Die Aufgabenstellungen, die durch LP-Methoden gelöst werden, sind inhaltlich sehr vielfältig. Ihre mathematischen Modelle sind jedoch ähnlich und werden bedingt zu drei großen Problemgruppen kombiniert:

• Transportaufgaben;
• Planungsaufgaben;

Lassen Sie uns Beispiele für spezifische wirtschaftliche Probleme jeder Art betrachten und uns im Detail mit dem Aufbau eines Modells für jedes Problem befassen.

Transportaufgabe

Auf zwei Handelsbasen SONDERN und BEIM Es gibt 30 Möbelsätze, 15 für jeden. Alle Möbel müssen an zwei Möbelhäuser geliefert werden, Mit und D und in Mit Sie müssen 10 Headsets liefern und rein D- 20. Es ist bekannt, dass die Lieferung eines Headsets von der Basis aus erfolgt SONDERN Zum Geschäft Mit kostet eine Geldeinheit in den Laden D- in drei Geldeinheiten. Laut Basis BEIM zu Geschäften Mit und D: zwei und fünf Geldeinheiten. Machen Sie einen Transportplan, damit die Kosten für alle Transporte am geringsten sind.
Der Einfachheit halber markieren wir diese Aufgaben in einer Tabelle. Am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten stehen Zahlen, die die Kosten des jeweiligen Transports charakterisieren (Tab. 3.1).

Tabelle 3.1

Lassen Sie uns ein mathematisches Modell des Problems erstellen.
Variablen müssen eingegeben werden. Der Wortlaut der Frage besagt, dass es notwendig ist, einen Transportplan zu erstellen. Bezeichne mit X 1 , X 2 Anzahl von Headsets, die von der Basis transportiert werden SONDERN zu Geschäften Mit und D bzw. durch beim 1 , beim 2 - die Anzahl der von der Basis transportierten Headsets BEIM zu Geschäften Mit und D bzw. Dann die Menge der aus dem Lager entnommenen Möbel SONDERN, gleich ( X 1 + X 2) gut ab Lager BEIM - (beim 1 + beim 2). Bedarf speichern Mit ist gleich 10 Headsets, und sie haben es mitgebracht ( X 1 + beim 1) Stücke, d.h. X 1 + beim 1 = 10. Ähnlich für den Laden D wir haben X 2 + beim 2 = 20. Beachten Sie, dass der Bedarf der Geschäfte genau der Anzahl der auf Lager befindlichen Headsets entspricht X 1 + beim 2 = 15 und beim 1 + beim 2 = 15. Wenn Sie weniger als 15 Sets aus den Lagern wegnehmen würden, hätten die Läden nicht genug Möbel, um ihren Bedarf zu decken.
Also die Variablen X 1 , X 2 , beim 1 , beim 2 sind im Sinne des Problems nichtnegativ und erfüllen das Nebenbedingungssystem:
(3.1)
Bezeichnung durch F Versandkosten, lass sie uns zählen. für den Transport eines Möbelsatzes aus SONDERN in Mit einen Tag verbringen. Einheiten, für den Transport x 1 Sätze - x 1 Tag Einheiten Ebenso für den Transport x 2 Sätze von SONDERN in D Kosten 3 x 2 Tage Einheiten; aus BEIM in MIT - 2j 1 Tag Einheiten, ab BEIM in D - 5j 2 Tage Einheiten
So,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2j 1 + 5j 2 → Minute (3.2)
(Wir möchten, dass die Gesamtversandkosten so niedrig wie möglich sind).
Formulieren wir das Problem mathematisch.
Finden Sie auf der Lösungsmenge des Constraint-Systems (3.1) eine Lösung, die die Zielfunktion minimiert F(3.2) oder finde den optimalen Plan ( x 1 , x 2, j 1 , j 2) bestimmt durch das Nebenbedingungssystem (3.1) und die Zielfunktion (3.2).
Das betrachtete Problem lässt sich allgemeiner darstellen, mit beliebig vielen Anbietern und Verbrauchern.
In dem betrachteten Problem ist die Verfügbarkeit von Fracht von Lieferanten (15 + 15) gleich dem Gesamtbedarf der Verbraucher (10 + 20). Ein solches Modell heißt geschlossen, und die entsprechende Aufgabe ist ausgewogener Transport Aufgabe.
Bei ökonomischen Berechnungen spielen auch die sogenannten offenen Modelle eine große Rolle, bei denen die angegebene Gleichheit nicht eingehalten wird. Entweder ist das Angebot der Lieferanten größer als die Nachfrage der Verbraucher oder die Nachfrage übersteigt die Verfügbarkeit von Gütern. Beachten Sie, dass dann das System der Beschränkungen des unausgeglichenen Transportproblems zusammen mit den Gleichungen auch Ungleichungen enthalten wird.

Fragen zur Selbstkontrolle
1. Darstellung des Transportproblems. beschreiben den Aufbau eines mathematischen Modells.
2. Was ist ein balanciertes und unbalanciertes Transportproblem?
3. Was wird in der Zielfunktion der Transportaufgabe berechnet?
4. Was spiegelt jede Ungleichung des Systems der Nebenbedingungen des Planproblems wider?
5. Was spiegelt jede Ungleichung des Nebenbedingungensystems des Mischungsproblems wider?
6. Was bedeuten die Variablen im Planproblem und im Mischungsproblem?

Das Konzept von Modell und Simulation.

Modell im weitesten Sinne- Dies ist jedes Bild, Analogon eines mentalen oder etablierten Bildes, Beschreibung, Diagramm, Zeichnung, Karte usw. eines Volumens, Prozesses oder Phänomens, das als Ersatz oder Repräsentant verwendet wird. Das Objekt, der Prozess oder das Phänomen selbst wird als Original dieses Modells bezeichnet.

Modellieren - Dies ist das Studium eines beliebigen Objekts oder Systems von Objekten durch den Bau und das Studium ihrer Modelle. Dies ist die Verwendung von Modellen, um die Eigenschaften zu bestimmen oder zu verfeinern und die Art und Weise der Konstruktion neu konstruierter Objekte zu rationalisieren.

Jede Methode der wissenschaftlichen Forschung basiert auf der Idee der Modellierung, gleichzeitig werden verschiedene Arten von Zeichen, abstrakte Modelle in theoretischen Methoden und Subjektmodelle in experimentellen verwendet.

In der Studie wird ein komplexes reales Phänomen durch eine vereinfachte Kopie oder ein Schema ersetzt, manchmal dient eine solche Kopie nur dazu, sich zu erinnern und das gewünschte Phänomen beim nächsten Treffen zu erkennen. Manchmal spiegelt das konstruierte Schema einige wesentliche Merkmale wider, ermöglicht es Ihnen, den Mechanismus des Phänomens zu verstehen, und ermöglicht es, seine Veränderung vorherzusagen. Verschiedene Modelle können demselben Phänomen entsprechen.

Die Aufgabe des Forschers besteht darin, die Natur des Phänomens und den Verlauf des Prozesses vorherzusagen.

Manchmal kommt es vor, dass ein Objekt verfügbar ist, aber Experimente damit teuer sind oder schwerwiegende Folgen für die Umwelt haben. Erkenntnisse über solche Prozesse werden mit Hilfe von Modellen gewonnen.

Ein wichtiger Punkt ist, dass die Natur der Wissenschaft nicht das Studium eines bestimmten Phänomens, sondern einer breiten Klasse verwandter Phänomene beinhaltet. Es impliziert die Notwendigkeit, einige allgemeine kategorische Aussagen zu formulieren, die Gesetze genannt werden. Natürlich werden bei einer solchen Formulierung viele Details vernachlässigt. Um das Muster klarer zu identifizieren, setzen sie bewusst auf Vergröberung, Idealisierung, Schematisierung, das heißt, sie studieren nicht das Phänomen selbst, sondern eine mehr oder weniger exakte Kopie oder ein Modell davon. Alle Gesetze sind Gesetze über Modelle, und daher ist es nicht verwunderlich, dass sich einige wissenschaftliche Theorien im Laufe der Zeit als unbrauchbar herausstellen. Dies führt nicht zum Zusammenbruch der Wissenschaft, da ein Modell durch ein anderes ersetzt wurde. mehr modern.

Eine besondere Rolle in der Wissenschaft spielen mathematische Modelle, das Baumaterial und die Werkzeuge dieser Modelle – mathematische Konzepte. Sie haben sich über Jahrtausende angesammelt und verbessert. Die moderne Mathematik bietet außergewöhnlich leistungsfähige und universelle Forschungsmittel. Nahezu jeder Begriff in der Mathematik, jedes mathematische Objekt, ausgehend vom Begriff einer Zahl, ist ein mathematisches Modell. Bei der Konstruktion eines mathematischen Modells eines untersuchten Objekts oder Phänomens werden diejenigen seiner Merkmale, Merkmale und Details herausgegriffen, die einerseits mehr oder weniger vollständige Informationen über das Objekt enthalten und andererseits ermöglichen mathematische Formalisierung. Mathematische Formalisierung bedeutet, dass die Merkmale und Details eines Objekts mit angemessenen mathematischen Konzepten verknüpft werden können: Zahlen, Funktionen, Matrizen usw. Dann können die im Untersuchungsobjekt gefundenen und angenommenen Verbindungen und Beziehungen zwischen seinen einzelnen Teilen und Komponenten in mathematische Beziehungen geschrieben werden: Gleichheiten, Ungleichungen, Gleichungen. Das Ergebnis ist eine mathematische Beschreibung des untersuchten Prozesses oder Phänomens, dh sein mathematisches Modell.

Das Studium eines mathematischen Modells ist immer mit einigen Handlungsregeln für die untersuchten Objekte verbunden. Diese Regeln spiegeln die Beziehungen zwischen Ursachen und Wirkungen wider.

Der Aufbau eines mathematischen Modells ist ein zentraler Schritt beim Studium oder Entwurf eines Systems. Die gesamte spätere Analyse des Objekts hängt von der Qualität des Modells ab. Das Erstellen eines Modells ist kein formales Verfahren. Es kommt stark auf den Forscher an, dessen Erfahrung und Geschmack, immer auf bestimmtes Versuchsmaterial angewiesen ist. Das Modell sollte genau genug, angemessen und bequem zu verwenden sein.

Mathematische Modellierung.

Klassifizierung mathematischer Modelle.

Mathematische Modelle können seinbestimmt und stochastisch .

Deterministisch Modell und - dies sind Modelle, in denen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Variablen hergestellt wird, die ein Objekt oder Phänomen beschreiben.

Dieser Ansatz basiert auf der Kenntnis des Funktionsmechanismus von Objekten. Das zu modellierende Objekt ist oft komplex und die Entschlüsselung seines Mechanismus kann sehr mühsam und zeitaufwändig sein. Dabei gehen sie wie folgt vor: Es werden Experimente am Original durchgeführt, die Ergebnisse aufbereitet und, ohne in den Mechanismus und die Theorie des modellierten Objekts einzudringen, mit Methoden der mathematischen Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie Zusammenhänge hergestellt die Variablen, die das Objekt beschreiben. In diesem Fall bekommenstochastisch Modell . BEIM stochastisch Modell, die Beziehung zwischen Variablen ist zufällig, manchmal passiert es grundlegend. Der Einfluss einer großen Anzahl von Faktoren, ihre Kombination führt zu einem zufälligen Satz von Variablen, die ein Objekt oder Phänomen beschreiben. Durch die Art der Modi ist das Modellstatistisch und dynamisch.

StatistischModellenthält eine Beschreibung der Beziehungen zwischen den Hauptvariablen des simulierten Objekts im stationären Zustand, ohne die Änderung der Parameter im Laufe der Zeit zu berücksichtigen.

BEIM dynamischModellebeschreibt die Beziehung zwischen den Hauptvariablen des simulierten Objekts beim Übergang von einem Modus zum anderen.

Modelle sind diskret und kontinuierlich, und auch gemischt Typ. BEIM kontinuierlich Variablen nehmen Werte aus einem bestimmten Intervall an, indiskretVariablen nehmen isolierte Werte an.

Lineare Modelle- alle Funktionen und Relationen, die das Modell beschreiben, sind linear abhängig von den Variablen undnicht linearsonst.

Mathematische Modellierung.

Anforderungen , vorgestellt zu den Modellen.

1. Vielseitigkeit- charakterisiert die Vollständigkeit der Darstellung durch das Modell der untersuchten Eigenschaften des realen Objekts.

1. Angemessenheit - die Fähigkeit, die gewünschten Eigenschaften des Objekts mit einem Fehler wiederzugeben, der nicht höher als der angegebene ist.
2. Genauigkeit - wird durch den Grad der Übereinstimmung der Werte der Eigenschaften eines realen Objekts und der Werte dieser Eigenschaften geschätzt, die mit Modellen erhalten werden.
3. Wirtschaft - wird durch die Kosten der Computerspeicherressourcen und die Zeit für deren Implementierung und Betrieb bestimmt.

Mathematische Modellierung.

Die Hauptphasen der Modellierung.

1. Problemstellung.

Bestimmen des Zwecks der Analyse und der Wege, ihn zu erreichen, und Entwickeln eines gemeinsamen Ansatzes für das untersuchte Problem. In dieser Phase ist ein tiefes Verständnis des Wesens der Aufgabe erforderlich. Manchmal ist es nicht weniger schwierig, eine Aufgabe richtig zu stellen, als sie zu lösen. Staging ist kein formaler Prozess, es gibt keine allgemeinen Regeln.

2. Das Studium der theoretischen Grundlagen und das Sammeln von Informationen über den Gegenstand des Originals.

In dieser Phase wird eine geeignete Theorie ausgewählt oder entwickelt. Wenn es nicht vorhanden ist, werden kausale Beziehungen zwischen den das Objekt beschreibenden Variablen hergestellt. Eingangs- und Ausgangsdaten werden ermittelt, vereinfachende Annahmen getroffen.

3. Formalisierung.

Es besteht darin, ein System von Symbolen auszuwählen und damit die Beziehung zwischen den Komponenten des Objekts in Form mathematischer Ausdrücke aufzuschreiben. Es wird eine Klasse von Aufgaben festgelegt, denen das resultierende mathematische Modell des Objekts zugeordnet werden kann. Die Werte einiger Parameter können zu diesem Zeitpunkt noch nicht angegeben werden.

4. Wahl des Lösungsverfahrens.

In dieser Phase werden die endgültigen Parameter der Modelle unter Berücksichtigung der Bedingungen für den Betrieb des Objekts festgelegt. Für das erhaltene mathematische Problem wird ein Lösungsverfahren ausgewählt oder ein spezielles Verfahren entwickelt. Bei der Auswahl einer Methode werden das Wissen des Benutzers, seine Vorlieben sowie die Vorlieben des Entwicklers berücksichtigt.

5. Implementierung des Modells.

Nachdem ein Algorithmus entwickelt wurde, wird ein Programm geschrieben, das debuggt, getestet und eine Lösung für das gewünschte Problem erhalten wird.

6. Analyse der erhaltenen Informationen.

Die erhaltene und die erwartete Lösung werden verglichen, der Modellierungsfehler kontrolliert.

7. Überprüfung der Angemessenheit eines realen Objekts.

Die vom Modell erhaltenen Ergebnisse werden verglichenentweder mit den verfügbaren Informationen über das Objekt, oder es wird ein Experiment durchgeführt und dessen Ergebnisse mit den berechneten verglichen.

Der Modellierungsprozess ist iterativ. Bei unbefriedigenden Ergebnissen der Etappen 6. oder 7. eine Rückkehr zu einem der frühen Stadien, die zur Entwicklung eines erfolglosen Modells führen könnte, erfolgt. Diese Stufe und alle nachfolgenden Stufen werden verfeinert, und eine solche Verfeinerung des Modells findet statt, bis akzeptable Ergebnisse erhalten werden.

Ein mathematisches Modell ist eine ungefähre Beschreibung einer beliebigen Klasse von Phänomenen oder Objekten der realen Welt in der Sprache der Mathematik. Der Hauptzweck der Modellierung besteht darin, diese Objekte zu erforschen und die Ergebnisse zukünftiger Beobachtungen vorherzusagen. Die Modellierung ist aber auch eine Methode der Wahrnehmung der Umwelt, die es ermöglicht, sie zu kontrollieren.

Die mathematische Modellierung und das damit verbundene Computerexperiment sind unverzichtbar, wenn ein Experiment in Originalgröße aus dem einen oder anderen Grund unmöglich oder schwierig ist. Zum Beispiel ist es unmöglich, ein umfassendes Experiment in der Geschichte durchzuführen, um zu überprüfen, „was passieren würde, wenn ...“. Es ist unmöglich, die Richtigkeit dieser oder jener kosmologischen Theorie zu überprüfen. Grundsätzlich ist es möglich, aber kaum sinnvoll, mit der Ausbreitung irgendeiner Krankheit wie der Pest zu experimentieren oder eine Atomexplosion durchzuführen, um deren Folgen zu untersuchen. All dies kann jedoch auf einem Computer durchgeführt werden, nachdem zuvor mathematische Modelle der untersuchten Phänomene erstellt wurden.

1.1.2 2. Hauptstufen der mathematischen Modellierung

1) Modellbau. In diesem Stadium wird ein "nicht mathematisches" Objekt angegeben - ein Naturphänomen, eine Konstruktion, ein Wirtschaftsplan, ein Produktionsprozess usw. In diesem Fall ist eine klare Beschreibung der Situation in der Regel schwierig. Zunächst werden die Hauptmerkmale des Phänomens und die Beziehung zwischen ihnen auf qualitativer Ebene identifiziert. Dann werden die gefundenen qualitativen Abhängigkeiten in der Sprache der Mathematik formuliert, das heißt, es wird ein mathematisches Modell aufgebaut. Dies ist der schwierigste Teil der Modellierung.

2) Lösen des mathematischen Problems, zu dem das Modell führt. In dieser Phase wird viel Aufmerksamkeit auf die Entwicklung von Algorithmen und numerischen Methoden zur Lösung des Problems auf einem Computer gelegt, mit deren Hilfe das Ergebnis mit der erforderlichen Genauigkeit und innerhalb der zulässigen Zeit gefunden werden kann.

3) Interpretation der erhaltenen Konsequenzen aus dem mathematischen Modell.Die aus dem Modell abgeleiteten Konsequenzen in der Sprache der Mathematik werden in der in diesem Bereich akzeptierten Sprache interpretiert.

4) Überprüfung der Angemessenheit des Modells.In diesem Stadium wird festgestellt, ob die Ergebnisse des Experiments mit den theoretischen Konsequenzen aus dem Modell innerhalb einer gewissen Genauigkeit übereinstimmen.

5) Modellmodifikation.In diesem Stadium wird das Modell entweder komplexer, um der Realität besser gerecht zu werden, oder es wird vereinfacht, um eine praktisch akzeptable Lösung zu erreichen.

1.1.3 3. Modellklassifizierung

Modelle können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Zum Beispiel können Modelle entsprechend der Art der zu lösenden Probleme in funktionale und strukturelle Modelle unterteilt werden. Im ersten Fall werden alle Größen, die ein Phänomen oder Objekt charakterisieren, quantitativ ausgedrückt. Gleichzeitig werden einige von ihnen als unabhängige Variablen betrachtet, während andere als Funktionen dieser Größen betrachtet werden. Ein mathematisches Modell ist normalerweise ein System von Gleichungen verschiedener Art (differential, algebraisch usw.), die quantitative Beziehungen zwischen den betrachteten Größen herstellen. Im zweiten Fall charakterisiert das Modell die Struktur eines komplexen Objekts, das aus einzelnen Teilen besteht, zwischen denen bestimmte Verbindungen bestehen. Typischerweise sind diese Beziehungen nicht quantifizierbar. Um solche Modelle zu erstellen, ist es zweckmäßig, die Graphentheorie zu verwenden. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt, bei dem es sich um eine Menge von Punkten (Scheitelpunkten) auf einer Ebene oder im Raum handelt, von denen einige durch Linien (Kanten) verbunden sind.

Je nach Art der Ausgangsdaten und Vorhersageergebnisse lassen sich die Modelle in deterministische und probabilistisch-statistische einteilen. Modelle des ersten Typs geben bestimmte, eindeutige Vorhersagen. Modelle des zweiten Typs basieren auf statistischen Informationen, und die mit ihrer Hilfe gewonnenen Vorhersagen sind probabilistischer Natur.

MATHEMATISCHE MODELLIERUNG UND ALLGEMEINE COMPUTERISIERUNG ODER SIMULATIONSMODELLE

Jetzt, wo im Land eine fast universelle Computerisierung stattfindet, kann man Aussagen von Spezialisten verschiedener Berufe hören: "Lasst uns einen Computer in unserem Land einführen, dann werden alle Aufgaben sofort gelöst." Diese Sichtweise ist völlig falsch, Computer selbst können nichts ohne mathematische Modelle bestimmter Prozesse, und von einer universellen Computerisierung kann man nur träumen.

Zur Unterstützung des Vorstehenden werden wir versuchen, die Notwendigkeit der Modellierung, einschließlich der mathematischen Modellierung, zu rechtfertigen, ihre Vorteile bei der Kenntnis und Transformation der Außenwelt durch eine Person aufzuzeigen, bestehende Mängel zu identifizieren und ... zur Simulationsmodellierung überzugehen, d.h. Modellieren mit Computern. Aber alles ist in Ordnung.

Lassen Sie uns zunächst die Frage beantworten: Was ist ein Modell?

Ein Modell ist ein materielles oder mental repräsentiertes Objekt, das im Prozess der Erkenntnis (Studie) das Original ersetzt und einige typische Eigenschaften behält, die für diese Studie wichtig sind.

Ein gut gebautes Modell ist für die Forschung zugänglicher als ein reales Objekt. Beispielsweise sind Experimente mit der Wirtschaft des Landes zu Bildungszwecken nicht akzeptabel, hier kann man nicht auf ein Modell verzichten.

Zusammenfassend lässt sich die Frage beantworten: Wozu dienen Modelle? Damit

• verstehen, wie ein Objekt funktioniert (seine Struktur, Eigenschaften, Entwicklungsgesetze, Interaktion mit der Außenwelt).
• lernen, ein Objekt (Prozess) zu verwalten und die besten Strategien zu bestimmen
• Vorhersage der Folgen des Aufpralls auf das Objekt.

Was ist positiv in jedem Modell? Es ermöglicht Ihnen, neues Wissen über das Objekt zu erlangen, ist aber leider nicht bis zu einem gewissen Grad vollständig.

Modellein mathematisches Modell, das mit mathematischen Methoden in der Sprache der Mathematik formuliert wird, wird als mathematisches Modell bezeichnet.

Ausgangspunkt für seine Konstruktion ist meist eine Aufgabe, beispielsweise eine wirtschaftliche. Weit verbreitet, sowohl beschreibend als auch optimierungsmathematisch, verschiedene Charakterisierung wirtschaftliche Prozesse und Veranstaltungen wie:

• Ressourcenallokation
• rationelles Schneiden
• Transport
• Konsolidierung von Unternehmen
• Netzwerkplanung.

Wie ist ein mathematisches Modell aufgebaut?

• Zunächst werden Zweck und Gegenstand der Studie formuliert.
• Zweitens werden die wichtigsten Eigenschaften, die diesem Ziel entsprechen, hervorgehoben.
• Drittens werden die Beziehungen zwischen den Elementen des Modells verbal beschrieben.
• Außerdem wird die Beziehung formalisiert.
• Und die Berechnung wird nach dem mathematischen Modell und der Analyse der erhaltenen Lösung durchgeführt.

Mit diesem Algorithmus können Sie jedes Optimierungsproblem lösen, einschließlich eines multikriteriellen, d.h. eine, in der nicht ein, sondern mehrere Ziele, auch widersprüchliche, verfolgt werden.

Nehmen wir ein Beispiel. Warteschlangentheorie - das Problem der Warteschlangen. Sie müssen zwei Faktoren gegeneinander abwägen – die Kosten für die Wartung von Servicegeräten und die Kosten für die Warteschlange. Nachdem eine formale Beschreibung des Modells erstellt wurde, werden Berechnungen mit analytischen und rechnerischen Methoden durchgeführt. Ist das Modell gut, dann sind die mit seiner Hilfe gefundenen Antworten dem Modellierungssystem angemessen, ist es schlecht, muss es verbessert und ersetzt werden. Das Kriterium der Angemessenheit ist die Praxis.

Optimierungsmodelle, auch multikriterielle, haben eine gemeinsame Eigenschaft – ein Ziel (oder mehrere Ziele) sind bekanntlich zu erreichen, wofür man sich oft mit komplexen Systemen auseinandersetzen muss, bei denen es nicht so sehr um das Lösen von Optimierungsproblemen, sondern um das Erforschen und Vorhersagen von Zuständen geht je nach gewählter Regelstrategie. Und hier stehen wir vor Schwierigkeiten bei der Umsetzung des bisherigen Plans. Sie sind wie folgt:

• Ein komplexes System enthält viele Verbindungen zwischen Elementen
• Da das reale System von Zufallsfaktoren beeinflusst wird, können diese nicht analytisch berücksichtigt werden
• die Möglichkeit, das Original mit dem Modell zu vergleichen, besteht nur zu Beginn und nach der Anwendung des mathematischen Apparats, weil Zwischenergebnisse haben möglicherweise keine Entsprechungen in einem realen System.

Im Zusammenhang mit den aufgeführten Schwierigkeiten, die beim Studium komplexer Systeme auftreten, erforderte die Praxis eine flexiblere Methode, und es stellte sich heraus - Simulationsmodellierung " Simulationsmodellierung".

Üblicherweise wird ein Simulationsmodell als eine Reihe von Computerprogrammen verstanden, die die Funktionsweise einzelner Systemblöcke und die Regeln der Interaktion zwischen ihnen beschreiben. Die Verwendung von Zufallsvariablen macht wiederholte Experimente mit einem Simulationssystem (auf einem Computer) und eine anschließende statistische Auswertung der erhaltenen Ergebnisse erforderlich. Ein sehr verbreitetes Beispiel für den Einsatz von Simulationsmodellen ist die Lösung eines Warteschlangenproblems nach der MONTE-CARLO-Methode.

Die Arbeit mit dem Simulationssystem ist also ein am Computer durchgeführtes Experiment. Was sind die Vorteile?

– größere Nähe zum realen System als mathematische Modelle;

– Das Blockprinzip ermöglicht es, jeden Block zu verifizieren, bevor er in das Gesamtsystem aufgenommen wird;

– Die Verwendung von Abhängigkeiten komplexerer Art, die nicht durch einfache mathematische Beziehungen beschrieben werden.

Die aufgeführten Vorteile bestimmen die Nachteile

– Der Aufbau eines Simulationsmodells ist länger, schwieriger und teurer;

– Um mit dem Simulationssystem arbeiten zu können, benötigen Sie einen für die Klasse geeigneten Computer;

– die Interaktion zwischen dem Benutzer und dem Simulationsmodell (Schnittstelle) sollte nicht zu kompliziert, bequem und bekannt sein;

- Die Konstruktion eines Simulationsmodells erfordert eine tiefere Untersuchung des realen Prozesses als eine mathematische Modellierung.

Es stellt sich die Frage: Kann Simulationsmodellierung Optimierungsmethoden ersetzen? Nein, aber ergänzt sie bequem. Ein Simulationsmodell ist ein Programm, das einen Algorithmus implementiert, um dessen Steuerung zu optimieren, wobei zuerst ein Optimierungsproblem gelöst wird.

Weder ein Computer, noch ein mathematisches Modell, noch ein Algorithmus, um es separat zu untersuchen, können also ein ziemlich kompliziertes Problem lösen. Aber zusammen stellen sie die Kraft dar, die es Ihnen ermöglicht, die Welt um sich herum zu kennen und sie im Interesse der Menschen zu verwalten.

1.2 Modellklassifizierung

1.2.1 Klassifizierung unter Berücksichtigung des Zeitfaktors und des Einsatzgebiets (Makarova N.A.) Statisches Modell - es ist wie eine einmalige Information über das Objekt (das Ergebnis einer Umfrage) Dynamisch Modell erlaubt Veränderungen am Objekt im Laufe der Zeit sehen (Karte in der Klinik) Modelle können nach klassifiziert werden welchem ​​Wissensgebiet sie angehören(biologisch, historisch, ökologisch usw.) Zurück zum Start

1.2.2 Klassifizierung nach Einsatzbereich (Makarova N.A.) Ausbildung- visuell Hilfsmittel, Trainer , oh Prügel Programme Erfahren Modelle-reduziert Kopien (Auto im Windkanal) Wissenschaftlich und technisch Synchrophasotron, Ständer zum Testen elektronischer Geräte Spiel- wirtschaftlich, Sport, Planspiele Simulation- nicht sie spiegeln die Realität lediglich wider, ahmen sie aber nach (Medikamente werden an Mäusen getestet, Experimente werden in Schulen durchgeführt etc.). Versuch und Irrtum Zurück zum Start

1.2.3 Klassifizierung nach der Darstellungsmethode Makarova N.A.) Material Modelle- ansonsten kann als Subjekt bezeichnet werden. Sie nehmen die geometrischen und physikalischen Eigenschaften des Originals wahr und haben immer eine reale Verkörperung. Informativ Modelle - nicht erlaubt berühren oder sehen. Sie basieren auf Informationen. .Information Modell ist eine Menge von Informationen, die die Eigenschaften und Zustände eines Objekts, Prozesses, Phänomens sowie die Beziehung zur Außenwelt charakterisieren. Verbales Modell - Informationsmodell in mentaler oder Gesprächsform. Ikonisch Modell-Information Modell durch Zeichen ausgedrückt , d.h.. mittels irgendeiner formalen Sprache. Computermodell - m Ein Modell, das mittels einer Softwareumgebung implementiert wird.

1.2.4 Klassifizierung von Modellen aus dem Buch "Land of Informatics" (Gein A.G.)) "... hier ist eine scheinbar einfache Aufgabe: Wie lange wird es dauern, die Karakum-Wüste zu durchqueren? Antworten natürlich hängt von der Reiseart ab. Wenn ein weiterreisen Kamele, dann wird ein Begriff benötigt, ein weiterer, wenn Sie mit dem Auto anreisen, ein dritter, wenn Sie mit dem Flugzeug fliegen. Und vor allem braucht es unterschiedliche Modelle, um eine Reise zu planen. Für den ersten Fall findet sich das benötigte Modell in den Memoiren berühmter Wüstenforscher: Schließlich kann man auf Informationen über Oasen und Kamelpfade nicht verzichten. Im zweiten Fall unersetzliche Informationen, die im Straßenatlas enthalten sind. Im dritten - können Sie den Flugplan verwenden. Diese drei Modelle unterscheiden sich - Memoiren, Atlas und Zeitplan und die Art der Präsentation von Informationen. Im ersten Fall wird das Modell durch eine verbale Beschreibung der Information dargestellt (beschreibendes Modell), im zweiten - wie ein Foto aus der Natur (natürliches Vorbild), im dritten - eine Tabelle mit Symbolen: Abfahrts- und Ankunftszeit, Wochentag, Ticketpreis (das sogenannte Vorzeichenmodell) Diese Unterteilung ist jedoch sehr willkürlich - Karten und Diagramme (Elemente eines Modells in Originalgröße) finden sich in Memoiren, es gibt Symbole auf den Karten (Elemente eines symbolischen Modells), eine Entschlüsselung von Symbolen (Elemente eines beschreibenden Modells ) ist im Zeitplan angegeben. Also diese Klassifizierung von Modellen ... ist unserer Meinung nach unproduktiv. Dieses Fragment demonstriert meines Erachtens die allen Gein-Büchern gemeinsame beschreibende (wunderbare Sprache und Darstellungsweise) und gleichsam den sokratischen Unterrichtsstil (Jeder denkt, dass dies so ist. Ich stimme Ihnen vollkommen zu, aber wenn Sie genau hinsehen, dann ...). In solchen Büchern ist es ziemlich schwierig, ein klares System von Definitionen zu finden (es ist nicht vom Autor beabsichtigt). In dem von N.A. Makarova demonstriert einen anderen Ansatz – die Begriffsdefinitionen sind klar voneinander abgegrenzt und etwas statisch.

1.2.5 Klassifizierung von Modellen im Handbuch von A. I. Bochkin Es gibt viele Möglichkeiten zu klassifizieren .Wir präsentieren nur einige der bekannteren Stiftungen und Zeichen: Diskretion und Kontinuität, Matrix und skalare Modelle, statische und dynamische Modelle, Analyse- und Informationsmodelle, Subjekt- und Bildzeichenmodelle, große und nicht-maßstäbliche... Jedes Zeichen gibt ein gewisses Wissen über die Eigenschaften sowohl des Modells als auch der modellierten Realität. Das Zeichen kann als Hinweis darauf dienen, wie die Simulation durchgeführt wurde oder durchgeführt werden soll. Diskretion u Kontinuität Diskretion - ein charakteristisches Merkmal von Computermodellen .Letztendlich Ein Computer kann sich in einer endlichen, wenn auch sehr großen Anzahl von Zuständen befinden. Auch wenn das Objekt (zeitlich) kontinuierlich ist, ändert es sich daher im Modell in Sprüngen. Es könnte in Betracht gezogen werden Kontinuität ein Zeichen für Nicht-Computer-Modelle. Zufälligkeit u Determinismus . Unsicherheit, Unfall zunächst gegen die Computerwelt: Der neu gestartete Algorithmus muss sich wiederholen und die gleichen Ergebnisse liefern. Aber um zufällige Prozesse zu simulieren, werden Pseudo-Zufallszahlensensoren verwendet. Die Einführung von Zufälligkeit in deterministische Probleme führt zu leistungsfähigen und interessanten Modellen (Random Toss Area Calculation). Matrix - Skalar. Verfügbarkeit von Parametern Matrix Modell zeigt seine größere Komplexität und möglicherweise Genauigkeit im Vergleich zu Skalar. Wenn wir beispielsweise nicht alle Altersgruppen in der Bevölkerung des Landes herausgreifen, erhalten wir bei Betrachtung der Veränderung als Ganzes ein skalares Modell (z. B. das Malthus-Modell), wenn wir es herausgreifen, eine Matrix (Geschlecht und Alter) Modell. Es war das Matrixmodell, das es ermöglichte, die Schwankungen der Geburtenrate nach dem Krieg zu erklären. statische Dynamik. Diese Eigenschaften des Modells sind in der Regel durch die Eigenschaften des realen Objekts vorgegeben. Hier gibt es keine Wahlfreiheit. Gerade statisch Modell kann ein Schritt in Richtung sein dynamisch, oder einige der Modellvariablen können vorerst als unverändert angesehen werden. Bewegt sich beispielsweise ein Satellit um die Erde, wird seine Bewegung vom Mond beeinflusst. Wenn wir den Mond während der Satellitenumdrehung als stationär betrachten, erhalten wir ein einfacheres Modell. Analytische Modelle. Beschreibung von Prozessen analytisch, Formeln und Gleichungen. Aber wenn Sie versuchen, ein Diagramm zu erstellen, ist es bequemer, Tabellen mit Funktionswerten und Argumenten zu haben. Simulationsmodelle. Simulation Modelle sind vor langer Zeit in Form von großformatigen Kopien von Schiffen, Brücken usw. aufgetaucht. Sie sind vor langer Zeit erschienen, aber in Verbindung mit Computern werden sie in letzter Zeit betrachtet. Zu wissen, wie verbunden Wenn Sie Elemente analytisch und logisch modellieren, ist es einfacher, ein System bestimmter Beziehungen und Gleichungen nicht zu lösen, sondern das reale System unter Berücksichtigung der Verknüpfungen zwischen Speicherelementen in den Computerspeicher abzubilden. Informationsmodelle. Informativ Es ist üblich, Modelle mathematischen, genauer algorithmischen gegenüberzustellen. Wichtig ist hier das Daten/Algorithmus-Verhältnis. Wenn es mehr Daten gibt oder sie wichtiger sind, haben wir ein Informationsmodell, ansonsten - mathematisch. Themenmodelle. Dies ist in erster Linie ein Kindermodell - ein Spielzeug. Bildzeichenmodelle. Es ist in erster Linie ein Modell im menschlichen Geist: bildlich, wenn grafische Bilder vorherrschen, und ikonisch, wenn es mehr als Wörter und/oder Zahlen sind. Bildzeichenmodelle werden am Computer erstellt. maßstabsgetreue Modelle. Zu großflächig Modelle sind solche des Subjekts oder figurative Modelle, die die Form des Objekts (Karte) wiederholen.