Das Gebiet der Mechanik, in dem die Bedingungen für das Gleichgewicht von Körpern untersucht werden, heißt Statik. Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt, dass wenn die Vektorsumme aller auf einen Körper wirkenden Kräfte Null ist, der Körper seine Geschwindigkeit unverändert beibehält. Insbesondere wenn die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, bleibt der Körper in Ruhe. Die Bedingung der Invarianz der Geschwindigkeit des Körpers kann geschrieben werden als:

oder in Projektionen auf die Koordinatenachsen:

.

Es ist offensichtlich, dass ein Körper nur bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems in Ruhe sein kann. In der Statik werden die Gleichgewichtsverhältnisse von Körpern in einem solchen System genau untersucht. Die notwendige Gleichgewichtsbedingung kann auch durch Betrachtung der Bewegung des Massenschwerpunkts eines Systems materieller Punkte erhalten werden. Innere Kräfte wirken sich nicht auf die Bewegung des Massenschwerpunkts aus. Die Beschleunigung des Massenschwerpunktes wird durch die Vektorsumme der äußeren Kräfte bestimmt. Aber wenn diese Summe gleich Null ist, dann die Beschleunigung des Massenschwerpunkts und folglich die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts. Wenn im Anfangsmoment , dann bleibt der Schwerpunkt des Körpers in Ruhe.

Somit wird die erste Bedingung für das Gleichgewicht von Körpern wie folgt formuliert: Die Geschwindigkeit des Körpers ändert sich nicht, wenn die Summe der an jedem Punkt angreifenden äußeren Kräfte gleich Null ist. Die resultierende Ruhebedingung für den Schwerpunkt ist eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers.

Beispiel

Es kann sein, dass alle auf den Körper wirkenden Kräfte ausgeglichen sind, der Körper jedoch beschleunigt. Wenn Sie zum Beispiel zwei gleiche und entgegengesetzt gerichtete Kräfte (man nennt sie ein Kräftepaar) auf den Massenmittelpunkt des Rads anwenden, dann befindet sich das Rad im Ruhezustand, wenn seine Anfangsgeschwindigkeit null war. Werden diese Kräfte an verschiedenen Stellen aufgebracht, beginnt sich das Rad zu drehen (Abb. 4.5). Denn der Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte an jedem Punkt des Körpers Null ist. Wenn aber die Summe der äußeren Kräfte gleich Null ist und die Summe aller Kräfte, die auf jedes Element des Körpers einwirken, nicht gleich Null ist, befindet sich der Körper nicht im Gleichgewicht, möglicherweise (wie im betrachteten Beispiel) in einer Drehbewegung . Wenn sich also ein Körper um eine bestimmte Achse drehen kann, dann reicht es für sein Gleichgewicht nicht aus, dass die Resultierende aller Kräfte gleich Null ist.

Um die zweite Gleichgewichtsbedingung zu erhalten, verwenden wir die Rotationsbewegungsgleichung , wobei die Summe der Momente äußerer Kräfte um die Rotationsachse ist. Wenn , dann ist b = 0, was bedeutet, dass sich die Winkelgeschwindigkeit des Körpers nicht ändert . Wenn im Anfangsmoment w = 0 ist, dreht sich der Körper nicht weiter. Folglich ist die zweite Bedingung für das mechanische Gleichgewicht die Forderung, dass die algebraische Summe der Momente aller äußeren Kräfte um die Rotationsachse gleich Null ist:

Im allgemeinen Fall beliebig vieler äußerer Kräfte lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen wie folgt darstellen:

,

.

Diese Bedingungen sind notwendig und ausreichend.

Beispiel

Gleichgewicht ist stabil, instabil und indifferent. Das Gleichgewicht ist stabil, wenn bei kleinen Verschiebungen des Körpers aus der Gleichgewichtslage die auf ihn einwirkenden Kräfte und Kraftmomente bestrebt sind, den Körper wieder in die Gleichgewichtslage zu bringen (Abb. 4.6a). Das Gleichgewicht wird instabil, wenn die einwirkenden Kräfte den Körper gleichzeitig noch weiter aus der Gleichgewichtslage bringen (Abb. 4.6b). Sind bei kleinen Auslenkungen des Körpers die einwirkenden Kräfte noch ausgeglichen, so ist das Gleichgewicht indifferent (Abb. 4.6c). Eine auf einer ebenen horizontalen Fläche liegende Kugel befindet sich in einem indifferenten Gleichgewichtszustand. Eine Kugel, die sich oben auf einem kugelförmigen Vorsprung befindet, ist ein Beispiel für ein instabiles Gleichgewicht. Schließlich befindet sich die Kugel am Boden des kugelförmigen Hohlraums in einem stabilen Gleichgewichtszustand.

Ein interessantes Beispiel für das Gleichgewicht eines Körpers auf einer Stütze ist der schiefe Turm in der italienischen Stadt Pisa, der der Legende nach von Galileo zum Studium der Gesetze des freien Falls von Körpern verwendet wurde. Der Turm hat die Form eines Zylinders mit einem Radius von 7 m. Die Spitze des Turms weicht um 4,5 m von der Vertikalen ab.

Der Schiefe Turm von Pisa ist berühmt für seinen steilen Abhang. Der Turm fällt. Die Höhe des Turms beträgt 55,86 Meter vom Boden auf der niedrigsten Seite und 56,70 Meter auf der höchsten Seite. Sein Gewicht wird auf 14.700 Tonnen geschätzt. Die aktuelle Neigung beträgt ca. 5,5°. Eine vertikale Linie, die durch den Massenmittelpunkt des Turms gezogen wird, schneidet die Basis etwa 2,3 m von ihrem Mittelpunkt entfernt. Somit befindet sich der Turm in einem Gleichgewichtszustand. Das Gleichgewicht wird gestört und der Turm wird fallen, wenn die Abweichung seiner Spitze von der Vertikalen 14 m erreicht. Offenbar wird dies nicht sehr bald passieren.

Es wurde angenommen, dass die Krümmung des Turms ursprünglich von den Architekten konzipiert wurde - um ihre herausragenden Fähigkeiten zu demonstrieren. Aber etwas anderes ist viel wahrscheinlicher: Die Architekten wussten, dass sie auf einem äußerst unsicheren Fundament bauten, und legten daher im Entwurf die Möglichkeit geringfügiger Abweichungen fest.

Als der Einsturz des Turms wirklich drohte, nahmen moderne Ingenieure es auf. Es wurde in ein Stahlkorsett aus 18 Seilen eingezogen, das Fundament mit Bleiblöcken beschwert und gleichzeitig der Boden durch Unterpumpen von Beton verstärkt. Mit all diesen Maßnahmen konnte der Neigungswinkel des fallenden Turms um ein halbes Grad verringert werden. Experten sagen, dass es jetzt noch mindestens 300 Jahre halten kann. Aus physikalischer Sicht sind die Gleichgewichtsbedingungen des Turms durch die getroffenen Maßnahmen zuverlässiger geworden.

Bei einem Körper mit fester Rotationsachse sind alle drei Gleichgewichtsarten möglich. Indifferentes Gleichgewicht tritt auf, wenn die Rotationsachse durch den Massenmittelpunkt verläuft. Im stabilen und instabilen Gleichgewicht liegt der Schwerpunkt auf einer senkrechten Linie, die durch die Rotationsachse verläuft. Liegt der Schwerpunkt in diesem Fall unterhalb der Rotationsachse, ist der Gleichgewichtszustand stabil (Abb. 4.7a). Liegt der Schwerpunkt oberhalb der Achse, ist der Gleichgewichtszustand instabil (Abb. 4.7b).

Ein Sonderfall des Gleichgewichts ist das Gleichgewicht eines Körpers auf einer Unterlage. In diesem Fall wird die elastische Kraft der Stütze nicht punktuell aufgebracht, sondern über die Grundfläche des Körpers verteilt. Der Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn eine durch den Schwerpunkt des Körpers gezogene vertikale Linie durch die Auflagefläche verläuft, also innerhalb der Kontur, die durch Verbindungslinien der Auflagepunkte gebildet wird. Wenn diese Linie den Stützbereich nicht kreuzt, kippt der Körper um.

Im Gleichgewichtszustand befindet sich der Körper im gewählten Bezugssystem in Ruhe (der Geschwindigkeitsvektor ist gleich Null), er bewegt sich entweder gleichförmig geradlinig oder rotiert ohne tangentiale Beschleunigung.

Definition durch die Energie des Systems[ | ]

Da Energie und Kräfte durch grundlegende Abhängigkeiten verbunden sind, ist diese Definition äquivalent zur ersten. Die energetische Definition kann jedoch erweitert werden, um Aussagen über die Stabilität der Gleichgewichtslage zu erhalten.

Arten von Gleichgewicht [ | ]

Es gibt drei Arten von Körpergleichgewichten: stabil, instabil und gleichgültig. Das Gleichgewicht wird als stabil bezeichnet, wenn der Körper nach kleinen äußeren Einflüssen in seinen ursprünglichen Gleichgewichtszustand zurückkehrt. Gleichgewicht wird als instabil bezeichnet, wenn bei einer geringfügigen Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage die Resultierende der auf ihn einwirkenden Kräfte ungleich Null ist und aus der Gleichgewichtslage gerichtet ist. Gleichgewicht heißt indifferent, wenn bei einer kleinen Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage die Resultierende der auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null ist.

Lassen Sie uns ein Beispiel für ein System mit einem Freiheitsgrad geben. In diesem Fall ist eine ausreichende Bedingung für die Gleichgewichtslage das Vorhandensein eines lokalen Extremums der potentiellen Energie am untersuchten Punkt. Bekanntlich ist die Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion die Nullgleichheit ihrer ersten Ableitung . Um zu bestimmen, wann dieser Punkt ein Minimum oder Maximum ist, ist es notwendig, seine zweite Ableitung zu analysieren. Die Stabilität der Gleichgewichtslage zeichnet sich durch folgende Möglichkeiten aus:

• instabiles Gleichgewicht;
• stabiles Gleichgewicht;
• gleichgültiges Gleichgewicht.

Instabiles Gleichgewicht[ | ]

Für den Fall, dass die zweite Ableitung negativ ist, befindet sich die potentielle Energie des Systems im Zustand eines lokalen Maximums. Damit ist die Gleichgewichtslage gemeint instabil. Wird das System um eine geringe Strecke verschoben, setzt es seine Bewegung aufgrund der auf das System einwirkenden Kräfte fort. Das heißt, wenn der Körper aus dem Gleichgewicht gebracht wird, kehrt er nicht in seine ursprüngliche Position zurück.

nachhaltiges Gleichgewicht[ | ]

Zweite Ableitung > 0: potentielle Energie am lokalen Minimum, Gleichgewichtslage ständig(siehe Satz von Lagrange über die Stabilität eines Gleichgewichts). Wenn das System um eine kleine Strecke verschoben wird, kehrt es in den Gleichgewichtszustand zurück. Das Gleichgewicht ist stabil, wenn der Schwerpunkt des Körpers im Vergleich zu allen möglichen Nachbarpositionen die niedrigste Position einnimmt. Bei einem solchen Gleichgewicht kehrt der unausgeglichene Körper an seinen ursprünglichen Platz zurück.

Gleichgültiges Gleichgewicht[ | ]

Zweite Ableitung = 0: In diesem Bereich ändert sich die Energie nicht und die Gleichgewichtsposition ist gleichgültig. Wenn das System um eine kleine Strecke bewegt wird, bleibt es in der neuen Position. Wenn Sie den Körper auslenken oder bewegen, bleibt er im Gleichgewicht.

Stabilität in Systemen mit vielen Freiheitsgraden[ | ]

Wenn das System mehrere Freiheitsgrade hat, dann kann sich herausstellen, dass bei Abweichungen entlang einer bestimmten Richtung das Gleichgewicht stabil ist, aber wenn das Gleichgewicht in mindestens einer Richtung instabil ist, dann ist es auch im Allgemeinen instabil. Das einfachste Beispiel einer solchen Situation ist ein Gleichgewichtspunkt vom Typ „Sattel“ oder „Pass“.

Das Gleichgewicht eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden ist nur dann stabil, wenn es in allen Richtungen stabil ist.

Alle Kräfte, die um eine beliebige Rotationsachse auf den Körper ausgeübt werden, sind ebenfalls gleich Null.

Im Gleichgewichtszustand befindet sich der Körper in Ruhe (der Geschwindigkeitsvektor ist gleich Null) im gewählten Bezugssystem bewegt sich entweder gleichmäßig geradlinig oder rotiert ohne tangentiale Beschleunigung.

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✪ Physik. Statik: Bedingungen für das Gleichgewicht eines Körpers. Foxford Online-Lernzentrum

✪ GLEICHGEWICHTSZUSTAND DER KÖRPER Grad 10 Romanov

✪ Lektion 70. Arten von Waagen. Der Gleichgewichtszustand eines Körpers ohne Rotation.

Untertitel

Definition durch die Energie des Systems

Da Energie und Kräfte durch grundlegende Abhängigkeiten verbunden sind, ist diese Definition äquivalent zur ersten. Die energetische Definition kann jedoch erweitert werden, um Aussagen über die Stabilität der Gleichgewichtslage zu erhalten.

Arten von Gleichgewicht

Lassen Sie uns ein Beispiel für ein System mit einem Freiheitsgrad geben. In diesem Fall ist eine ausreichende Bedingung für die Gleichgewichtslage das Vorhandensein eines lokalen Extremums an der untersuchten Stelle. Bekanntlich ist die Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion die Nullgleichheit ihrer ersten Ableitung . Um zu bestimmen, wann dieser Punkt ein Minimum oder Maximum ist, ist es notwendig, seine zweite Ableitung zu analysieren. Die Stabilität der Gleichgewichtslage zeichnet sich durch folgende Möglichkeiten aus:

• instabiles Gleichgewicht;
• stabiles Gleichgewicht;
• gleichgültiges Gleichgewicht.

Für den Fall, dass die zweite Ableitung negativ ist, befindet sich die potentielle Energie des Systems im Zustand eines lokalen Maximums. Damit ist die Gleichgewichtslage gemeint instabil. Wird das System um eine geringe Strecke verschoben, setzt es seine Bewegung aufgrund der auf das System einwirkenden Kräfte fort. Das heißt, wenn der Körper aus dem Gleichgewicht gebracht wird, kehrt er nicht in seine ursprüngliche Position zurück.

nachhaltiges Gleichgewicht

Zweite Ableitung > 0: potentielle Energie am lokalen Minimum, Gleichgewichtslage ständig(siehe Satz von Lagrange über die Stabilität des Gleichgewichts). Wenn das System um eine kleine Strecke verschoben wird, kehrt es in den Gleichgewichtszustand zurück. Das Gleichgewicht ist stabil, wenn der Schwerpunkt des Körpers im Vergleich zu allen möglichen Nachbarpositionen die niedrigste Position einnimmt. Bei einem solchen Gleichgewicht kehrt der unausgeglichene Körper an seinen ursprünglichen Platz zurück.

Gleichgültiges Gleichgewicht

Zweite Ableitung = 0: In diesem Bereich ändert sich die Energie nicht und die Gleichgewichtsposition ist gleichgültig. Wenn das System um eine kleine Strecke bewegt wird, bleibt es in der neuen Position. Wenn Sie den Körper auslenken oder bewegen, bleibt er im Gleichgewicht.

• Arten von Nachhaltigkeit

Gleichgewicht ist ein Zustand des Systems, in dem die auf das System einwirkenden Kräfte im Gleichgewicht sind. Das Gleichgewicht kann stabil, instabil oder indifferent sein.

Der Begriff des Gleichgewichts ist einer der universellsten in den Naturwissenschaften. Es gilt für jedes System, sei es ein System von Planeten, die sich in stationären Umlaufbahnen um einen Stern bewegen, oder eine Population tropischer Fische in einer Atolllagune. Aber der einfachste Weg, das Konzept des Gleichgewichtszustands eines Systems zu verstehen, ist das Beispiel mechanischer Systeme. In der Mechanik geht man davon aus, dass sich ein System im Gleichgewicht befindet, wenn alle auf es einwirkenden Kräfte vollständig im Gleichgewicht sind, sich also gegenseitig aufheben. Wenn Sie dieses Buch beispielsweise auf einem Stuhl sitzend lesen, dann befinden Sie sich gerade in einem Gleichgewichtszustand, da die Schwerkraft, die Sie nach unten zieht, vollständig durch den Druck des Stuhls auf Ihren Körper kompensiert wird, der von dort aus wirkt Prost. Du fällst nicht hin und hebst ab, gerade weil du in einem Gleichgewichtszustand bist.

Es gibt drei Arten von Gleichgewicht, die drei physikalischen Situationen entsprechen.

nachhaltiges Gleichgewicht

Das ist es, was die meisten Menschen normalerweise unter „Gleichgewicht“ verstehen. Stellen Sie sich eine Kugel am Boden einer kugelförmigen Schale vor. Im Ruhezustand befindet es sich genau in der Mitte der Schüssel, wo die Wirkung der Gravitationskraft der Erde durch die Reaktionskraft der streng nach oben gerichteten Stütze ausgeglichen wird und die Kugel dort genauso ruht wie Sie dein Stuhl. Bewegt man die Kugel von der Mitte weg, rollt sie seitwärts und nach oben zum Rand der Schüssel, dann rast sie, sobald man sie loslässt, sofort zurück zum tiefsten Punkt in der Mitte der Schüssel – in Richtung die Position des stabilen Gleichgewichts.

Sie sitzen auf einem Stuhl und sind dadurch in Ruhe, dass sich das System aus Körper und Stuhl in einem stabilen Gleichgewichtszustand befindet. Wenn sich also einige Parameter dieses Systems ändern – zum Beispiel wenn Sie Ihr Gewicht erhöhen, wenn beispielsweise ein Kind auf Ihrem Schoß sitzt – ändert der Stuhl als materielles Objekt seine Konfiguration so, dass die Reaktion erfolgt die Kraft der Stütze nimmt zu - und Sie bleiben in stabiler Balance (höchstens, dass das Kissen unter Ihnen etwas tiefer einsinkt).

In der Natur gibt es viele Beispiele für stabile Gleichgewichte in verschiedenen Systemen (und nicht nur in mechanischen). Betrachten Sie zum Beispiel die Räuber-Beute-Beziehung in einem Ökosystem. Das Verhältnis der Anzahl geschlossener Populationen von Raubtieren und ihrer Beute kommt schnell ins Gleichgewicht - so viele Hasen im Wald von Jahr zu Jahr machen relativ so viele Füchse aus. Wenn sich die Beutepopulation aus irgendeinem Grund dramatisch ändert (z. B. aufgrund eines Anstiegs der Geburtenrate von Hasen), wird das ökologische Gleichgewicht aufgrund der raschen Zunahme der Anzahl von Raubtieren, die zu vernichten beginnen, sehr bald wiederhergestellt Hasen in einem beschleunigten Tempo, bis sie die Anzahl der Hasen wieder normalisiert haben und sie nicht selbst an Hunger sterben und ihren eigenen Viehbestand wieder normalisieren, wodurch die Populationen sowohl von Hasen als auch von Füchsen wieder auf den Normalwert zurückkehren Norm, die vor dem Anstieg der Geburtenrate von Hasen beobachtet wurde. Das heißt, in einem stabilen Ökosystem wirken auch innere Kräfte (wenn auch nicht im physikalischen Sinne des Wortes), die versuchen, das System in einen stabilen Gleichgewichtszustand zurückzuführen, falls das System davon abweicht.

Ähnliche Effekte lassen sich in Wirtschaftssystemen beobachten. Ein starker Preisverfall eines Gutes führt zu einem Anstieg der Nachfrage von Schnäppchenjägern, einem anschließenden Abbau der Lagerbestände und in der Folge zu einem Anstieg des Preises und einem Rückgang der Nachfrage nach dem Gut – und so weiter, bis das System zurückkehrt zu einem stabilen Preisgleichgewicht von Angebot und Nachfrage. (Natürlich kann es in realen Systemen, sowohl ökologisch als auch ökonomisch, äußere Faktoren geben, die das System aus dem Gleichgewichtszustand bringen – beispielsweise saisonaler Abschuss von Füchsen und/oder Hasen oder staatliche Preisregulierung und/oder Verbrauchsquoten. Solche Eingriffe führen dazu zu einem Bias-Gleichgewicht, dessen Analogon in der Mechanik beispielsweise die Verformung oder Neigung der Schale wäre.)

Instabiles Gleichgewicht

Nicht jedes Gleichgewicht ist jedoch stabil. Stellen Sie sich einen Ball vor, der auf einer Messerklinge balanciert. Die streng nach unten gerichtete Schwerkraft wird dabei selbstverständlich auch durch die nach oben gerichtete Reaktionskraft des Trägers vollständig ausgeglichen. Aber sobald das Zentrum der Kugel vom Ruhepunkt weg abgelenkt wird, mindestens um den Bruchteil eines Millimeters auf der Linie der Klinge (und dazu reicht eine magere Krafteinwirkung), wird das Gleichgewicht sofort gestört und Die Schwerkraft beginnt, den Ball immer weiter von ihm wegzuziehen.

Ein Beispiel für ein instabiles natürliches Gleichgewicht ist die Wärmebilanz der Erde, wenn Perioden der globalen Erwärmung durch neue Eiszeiten ersetzt werden und umgekehrt ( cm. Milankovitch-Zyklen). Die durchschnittliche jährliche Oberflächentemperatur unseres Planeten wird durch die Energiebilanz zwischen der gesamten Sonnenstrahlung, die die Oberfläche erreicht, und der gesamten Wärmestrahlung der Erde in den Weltraum bestimmt. Dieses Wärmegleichgewicht wird wie folgt instabil. Einige Winter bekommen mehr Schnee als gewöhnlich. Im darauffolgenden Sommer reicht die Hitze nicht aus, um den überschüssigen Schnee zu schmelzen, und der Sommer ist auch kälter als gewöhnlich, da die Erdoberfläche aufgrund des Schneeüberschusses einen größeren Teil des Schnees zurück ins All reflektiert die Sonnenstrahlen als zuvor. Aus diesem Grund erweist sich der nächste Winter als noch schneereicher und kälter als der vorherige, und im folgenden Sommer bleiben noch mehr Schnee und Eis auf der Oberfläche und reflektieren Sonnenenergie in den Weltraum ... Es ist leicht zu erkennen, dass die Je mehr ein solches globales Klimasystem vom Ausgangspunkt des thermischen Gleichgewichts abweicht, desto schneller nehmen die Prozesse zu, die das Klima noch weiter davon entfernen. Schließlich bilden sich auf der Erdoberfläche in den Polarregionen nach langjähriger globaler Abkühlung viele Kilometer Gletscherschichten, die sich unaufhaltsam in immer niedrigere Breiten bewegen und eine weitere Eiszeit über den Planeten bringen. Es ist also schwierig, sich ein prekäreres Gleichgewicht als das globale Klima vorzustellen.

Besonders hervorzuheben ist eine Art instabiles Gleichgewicht metastabil oder quasistabiles Gleichgewicht. Stellen Sie sich einen Ball in einer schmalen und flachen Rille vor - zum Beispiel auf der Kufe eines umgedrehten Eiskunstlaufs. Eine geringfügige Abweichung von einem oder zwei Millimetern vom Gleichgewichtspunkt führt zum Auftreten von Kräften, die die Kugel in einen Gleichgewichtszustand in der Mitte der Rille zurückbringen. Etwas mehr Kraft reicht jedoch aus, um den Ball aus der Zone des metastabilen Gleichgewichts zu bringen, und er fällt von der Schlittschuhkufe. Metastabile Systeme haben in der Regel die Eigenschaft, einige Zeit in einem Gleichgewichtszustand zu bleiben, wonach sie infolge einiger Schwankungen äußerer Einflüsse "ausbrechen" und in einen irreversiblen Prozess "fallen", der für instabil charakteristisch ist Systeme.

Ein typisches Beispiel für ein quasistabiles Gleichgewicht wird in den Atomen der Arbeitssubstanz einiger Arten von Lasersystemen beobachtet. Die Elektronen in den Atomen des Arbeitskörpers des Lasers besetzen metastabile Atombahnen und verbleiben auf ihnen bis zum Durchgang des ersten Lichtquants, das sie aus der metastabilen Bahn in eine niedrigere stabile Bahn "stößt", während sie ein neues Lichtquant emittieren , kohärent mit dem vorbeigehenden, das wiederum das Elektron des nächsten Atoms aus der metastabilen Umlaufbahn schlägt usw. Als Ergebnis wird eine lawinenartige Reaktion der Emission kohärenter Photonen gestartet, die einen Laserstrahl bilden, der, tatsächlich liegt dem Betrieb jedes Lasers zugrunde.

Gleichgültiges Gleichgewicht

Ein Zwischenfall zwischen stabilem und instabilem Gleichgewicht ist das sogenannte indifferente Gleichgewicht, bei dem jeder Punkt des Systems ein Gleichgewichtspunkt ist und die Abweichung des Systems vom anfänglichen Ruhepunkt nichts am inneren Kräftegleichgewicht ändert es. Stellen Sie sich einen Ball auf einem perfekt glatten, horizontalen Tisch vor - egal, wohin Sie ihn bewegen, er bleibt in einem Gleichgewichtszustand.

Das Gebiet der Mechanik, in dem die Bedingungen für das Gleichgewicht von Körpern untersucht werden, heißt Statik. Am einfachsten ist es, die Gleichgewichtsbedingungen für einen absolut starren Körper zu betrachten, d. h. einen solchen Körper, dessen Abmessungen und Form unverändert angenommen werden können. Das Konzept eines absolut starren Körpers ist eine Abstraktion, da alle realen Körper unter dem Einfluss von auf sie ausgeübten Kräften bis zu einem gewissen Grad deformiert werden, dh sie ändern ihre Form und Größe. Die Größe der Verformungen hängt sowohl von den auf den Körper ausgeübten Kräften als auch von den Eigenschaften des Körpers selbst ab - seiner Form und den Eigenschaften des Materials, aus dem er besteht. In vielen praktisch wichtigen Fällen sind die Verformungen klein, und die Verwendung der Konzepte eines absolut starren Körpers ist gerechtfertigt.

Modell eines vollkommen starren Körpers. Die Kleinheit der Verformungen ist jedoch nicht immer eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Körper als absolut starr angesehen werden kann. Um dies zu verdeutlichen, betrachten Sie das folgende Beispiel. Ein auf zwei Stützen ruhendes Brett (Abb. 140a) kann als absolut starrer Körper angesehen werden, obwohl es sich unter dem Einfluss der Schwerkraft leicht biegt. In diesem Fall ermöglichen es die Bedingungen des mechanischen Gleichgewichts tatsächlich, die Reaktionskräfte der Stützen zu bestimmen, ohne die Verformung der Platte zu berücksichtigen.

Wenn jedoch dieselbe Platte auf denselben Stützen liegt (Abb. 1406), ist die Idee eines absolut starren Körpers nicht anwendbar. Lassen Sie die äußersten Stützen tatsächlich auf derselben horizontalen Linie liegen und die mittlere etwas niedriger. Wenn das Brett absolut fest ist, das heißt, es biegt sich überhaupt nicht, dann übt es überhaupt keinen Druck auf die Mittelstütze aus.Wenn sich das Brett biegt, dann drückt es auf die Mittelstütze, und je stärker, desto größer Verformung. Bedingungen

Das Gleichgewicht eines absolut starren Körpers erlaubt es in diesem Fall nicht, die Reaktionskräfte der Lager zu bestimmen, da sie zu zwei Gleichungen für drei Unbekannte führen.

Reis. 140. Reaktionskräfte, die auf ein Brett wirken, das auf zwei (a) und drei (b) Stützen liegt

Solche Systeme nennt man statisch unbestimmt. Um sie zu berechnen, müssen die elastischen Eigenschaften von Körpern berücksichtigt werden.

Das angeführte Beispiel zeigt, dass die Anwendbarkeit des absolut starren Körpermodells in der Statik nicht so sehr von den Eigenschaften des Körpers selbst bestimmt wird, sondern von den Bedingungen, in denen er sich befindet. So kann im betrachteten Beispiel auch ein dünner Strohhalm als absolut fester Körper angesehen werden, wenn er auf zwei Stützen liegt. Aber auch ein sehr starrer Balken kann nicht als absolut starrer Körper angesehen werden, wenn er auf drei Stützen ruht.

Gleichgewichtsbedingungen. Die Gleichgewichtsbedingungen für einen absolut starren Körper sind ein Sonderfall dynamischer Gleichungen, wenn keine Beschleunigung auftritt, obwohl die Statik historisch fast zwei Jahrtausende früher als die Dynamik aus den Bedürfnissen von Baumaschinen entstanden ist. In einem Trägheitsbezugssystem befindet sich ein starrer Körper im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte und die Vektorsumme der Momente dieser Kräfte gleich Null sind. Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, ist die Beschleunigung des Massenschwerpunkts des Körpers gleich Null. Wenn die zweite Bedingung erfüllt ist, gibt es keine Winkelbeschleunigung der Drehung. Wenn also der Körper im ersten Moment in Ruhe war, bleibt er weiter in Ruhe.

Wir beschränken uns im Folgenden auf die Untersuchung relativ einfacher Systeme, bei denen alle wirkenden Kräfte in einer Ebene liegen. In diesem Fall die Vektorbedingung

reduziert sich auf zwei Skalare:

wenn die Achsen der Wirkungsebene der Kräfte liegen. Einige der in den Gleichgewichtsbedingungen (1) auf den Körper einwirkenden äußeren Kräfte können angegeben werden, d.h. ihre Module und Richtungen sind bekannt. Die Reaktionskräfte von Bindungen oder Stützen, die die mögliche Bewegung des Körpers begrenzen, sind in der Regel nicht vorgegeben und unterliegen selbst der Bestimmung. Ohne Reibung stehen die Reaktionskräfte senkrecht zur Kontaktfläche der Körper.

Reis. 141. Um die Richtung der Reaktionskräfte zu bestimmen

Reaktionskräfte. Manchmal tauchen Zweifel bei der Bestimmung der Richtung der Bindungsreaktionskraft auf, wie zum Beispiel in Abb. 141, die einen Stab zeigt, der am Punkt A auf der glatten konkaven Oberfläche des Bechers und am Punkt B auf der scharfen Kante des Bechers ruht.

Um die Richtung der Reaktionskräfte in diesem Fall zu bestimmen, können Sie den Stab gedanklich ein wenig bewegen, ohne seinen Kontakt mit dem Becher zu stören. Die Reaktionskraft wird senkrecht zu der Oberfläche gerichtet, auf der der Kontaktpunkt gleitet. Am Punkt A ist die auf den Stab wirkende Reaktionskraft also senkrecht zur Oberfläche des Bechers und am Punkt B senkrecht zum Stab.

Moment der Macht. Moment M der Kraft relativ zu einem Punkt

O heißt das Vektorprodukt des von O zum Angriffspunkt der Kraft gezogenen Radiusvektors durch den Kraftvektor

Der Vektor M des Kraftmoments steht senkrecht auf der Ebene, in der die Vektoren liegen

Gleichung der Momente. Wirken mehrere Kräfte auf den Körper, so wird die zweite mit den Momenten der Kräfte verbundene Gleichgewichtsbedingung geschrieben als

In diesem Fall muss der Punkt O, von dem aus die Radiusvektoren gezogen werden, für alle wirkenden Kräfte gemeinsam gewählt werden.

Bei einem ebenen Kräftesystem sind die Vektoren der Momente aller Kräfte senkrecht auf die Ebene gerichtet, in der die Kräfte liegen, wenn die Momente relativ zu einem in derselben Ebene liegenden Punkt betrachtet werden. Daher reduziert sich die Vektorbedingung (4) für die Momente auf eine skalare: In der Gleichgewichtslage ist die algebraische Summe der Momente aller von außen wirkenden Kräfte gleich Null. Der Modul des Kraftmoments relativ zum Punkt O ist gleich dem Produkt des Moduls

Kräfte in einem Abstand von Punkt O zu der Linie, entlang der die Kraft wirkt.In diesem Fall werden die Momente, die dazu neigen, den Körper im Uhrzeigersinn zu drehen, mit einem Vorzeichen gegen den Uhrzeigersinn genommen - mit dem Gegenteil. Die Wahl des Punktes, in Bezug auf den die Momente der Kräfte betrachtet werden, erfolgt ausschließlich aus Bequemlichkeitsgründen: Die Momentengleichung wird umso einfacher, je mehr Kräfte Momente gleich Null haben.

Beispiel Balance. Um die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen für einen vollkommen starren Körper zu veranschaulichen, betrachten Sie das folgende Beispiel. Eine leichte Trittleiter besteht aus zwei identischen Teilen, die oben angelenkt und unten mit einem Seil festgebunden sind (Abb. 142). Bestimmen wir, wie groß die Spannkraft des Seils ist, mit welchen Kräften die Leiterhälften im Scharnier zusammenwirken und mit welchen Kräften sie auf den Boden drücken, wenn eine Person mit dem Gewicht P in der Mitte einer von ihnen steht .

Das betrachtete System besteht aus zwei starren Körpern - Leiterhälften, und die Gleichgewichtsbedingungen können sowohl auf das System als Ganzes als auch auf seine Teile angewendet werden. Wendet man die Gleichgewichtsbedingungen auf das Gesamtsystem an, erhält man die Reaktionskräfte des Bodens und (Abb. 142). Ohne Reibung sind diese Kräfte senkrecht nach oben gerichtet, und die Bedingung, dass die Vektorsumme der äußeren Kräfte (1) gleich Null ist, nimmt die Form an

Die Gleichgewichtsbedingung für die Momente äußerer Kräfte relativ zum Punkt A lautet wie folgt:

wo - die Länge der Treppe, der Winkel, den die Treppe mit dem Boden bildet. Lösen wir das Gleichungssystem (5) und (6), finden wir

Reis. 142. Die Vektorsumme der äußeren Kräfte und die Summe der Momente der äußeren Kräfte im Gleichgewicht ist Null

Natürlich könnte man anstelle der Momentengleichung (6) in Bezug auf Punkt A die Momentengleichung in Bezug auf Punkt B (oder jeden anderen Punkt) schreiben. Dies würde zu einem Gleichungssystem führen, das dem verwendeten System (5) und (6) entspricht.

Die Zugkraft des Seils und die Wechselwirkungskraft im Scharnier für das betrachtete physikalische System sind interne und können daher nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen des gesamten Systems als Ganzes bestimmt werden. Um diese Kräfte zu bestimmen, müssen die Bedingungen für das Gleichgewicht einzelner Teile des Systems betrachtet werden. Dabei

Durch eine gute Wahl des Punktes, relativ zu dem die Gleichung der Kräftemomente aufgestellt wird, kann eine Vereinfachung des algebraischen Gleichungssystems erreicht werden. So können wir beispielsweise in diesem System die Gleichgewichtsbedingung für die Kraftmomente betrachten, die auf die linke Hälfte der Leiter wirken, relativ zu Punkt C, wo sich das Scharnier befindet.

Bei dieser Wahl des Punktes C treten die im Scharnier wirkenden Kräfte nicht in diesen Zustand ein, und wir finden sofort die Spannkraft des Seils T:

woher, vorausgesetzt, dass wir bekommen

Bedingung (7) bedeutet, dass die Resultierende der Kräfte T und durch den Punkt C verläuft, d. h. entlang der Treppe gerichtet ist. Daher ist das Gleichgewicht dieser Leiterhälfte nur möglich, wenn die im Gelenk auf sie wirkende Kraft auch entlang der Leiter gerichtet ist (Abb. 143) und ihr Modul gleich dem Modul der resultierenden Kräfte T und ist

Reis. 143. Die Wirkungslinien aller drei auf die linke Hälfte der Treppe wirkenden Kräfte gehen durch einen Punkt

Der Absolutwert der Kraft, die im Scharnier auf der anderen Hälfte der Treppe wirkt, ist nach dem dritten Newtonschen Gesetz gleich und ihre Richtung ist der Richtung des Vektors entgegengesetzt.Die Richtung der Kraft könnte direkt aus Abb. 2 bestimmt werden . 143, da, wenn ein Körper unter der Wirkung von drei Kräften im Gleichgewicht ist, sich die Linien, entlang denen diese Kräfte wirken, in einem Punkt schneiden. Betrachten Sie in der Tat den Schnittpunkt der Wirkungslinien von zwei dieser drei Kräfte und stellen Sie eine Momentengleichung um diesen Punkt auf. Die Momente der ersten beiden Kräfte um diesen Punkt sind gleich Null; also muss auch das Moment der dritten Kraft gleich Null sein, was nach (3) nur möglich ist, wenn auch ihre Wirkungslinie durch diesen Punkt geht.

Die goldene Regel der Mechanik. Manchmal kann das Problem der Statik gelöst werden, ohne die Gleichgewichtsbedingungen überhaupt zu berücksichtigen, sondern unter Verwendung des Energieerhaltungssatzes in Bezug auf Mechanismen ohne Reibung: Kein Mechanismus gibt einen Arbeitsgewinn. Dieses Gesetz

die goldene Regel der Mechanik genannt. Um diesen Ansatz zu veranschaulichen, betrachten Sie das folgende Beispiel: Eine schwere Last mit dem Gewicht P wird an einem schwerelosen Scharnier mit drei Gliedern aufgehängt (Abb. 144). Welche Spannung müssen die Fadenverbindungspunkte A und B aufrechterhalten?

Reis. 144. Bestimmung der Spannkraft des Fadens in einem Dreigelenkscharnier, das eine Gewichtslast P trägt

Versuchen wir diesen Mechanismus zum Heben der Last P. Nachdem wir den Faden an Punkt A gelöst haben, ziehen wir ihn nach oben, so dass Punkt B langsam um eine Strecke ansteigt, die dadurch begrenzt ist, dass die Spannkraft des Fadens T unverändert bleiben muss während der Bewegung. In diesem Fall hängt die Kraft T, wie aus der Antwort hervorgeht, überhaupt nicht davon ab, wie stark das Scharnier zusammengedrückt oder gedehnt wird. Ein gut gemachter Job. Dadurch steigt die Last P auf eine Höhe, die, wie aus geometrischen Überlegungen ersichtlich ist, gleich ist Da ohne Reibung keine Energieverluste auftreten, kann argumentiert werden, dass die Änderung der potentiellen Energie der Last gleich ist to wird durch die beim Heben verrichtete Arbeit bestimmt. So

Für ein Scharnier, das eine beliebige Anzahl identischer Glieder enthält, gilt offensichtlich:

Es ist nicht schwierig, die Spannkraft des Fadens zu ermitteln, und wenn das Gewicht des Scharniers selbst berücksichtigt werden muss, sollte die während des Hebens geleistete Arbeit der Summe der Änderungen der potenziellen Energien von gleichgesetzt werden die Last und das Scharnier. Für ein Scharnier aus identischen Gliedern steigt sein Massenmittelpunkt auf Daher

Das formulierte Prinzip („Goldene Regel der Mechanik“) gilt auch dann, wenn sich die potentielle Energie beim Verschiebungsvorgang nicht ändert und der Mechanismus zur Kraftumwandlung genutzt wird. Getriebe, Transmissionen, Tore, Hebel- und Blocksysteme – bei all diesen Systemen kann die transformierte Kraft durch Gleichsetzen der Arbeit der transformierten und aufgebrachten Kräfte bestimmt werden. Mit anderen Worten, bei fehlender Reibung wird das Verhältnis dieser Kräfte nur durch die Geometrie der Vorrichtung bestimmt.

Betrachten Sie unter diesem Gesichtspunkt das obige Beispiel mit einer Trittleiter. Natürlich ist es kaum ratsam, eine Stehleiter als Hebemechanismus zu verwenden, d. h. eine Person anzuheben, indem die Hälften der Stehleiter zusammengebracht werden. Dies kann uns jedoch nicht daran hindern, die beschriebene Methode anzuwenden, um die Spannung im Seil zu finden. Gleicht man die geleistete Arbeit beim Annähern der Teile der Stehleiter an die Änderung der potentiellen Energie einer Person auf der Stehleiter und verbindet aus geometrischen Überlegungen die Bewegung des unteren Endes der Leiter mit der Änderung der Höhe der Last (Abb .145) erhalten wir, wie erwartet, das zuvor angegebene Ergebnis:

Wie bereits erwähnt, sollte die Verschiebung so gewählt werden, dass die einwirkende Kraft während ihres Verlaufs als konstant angesehen werden kann. Es ist leicht zu erkennen, dass dieser Zustand im Beispiel mit einem Scharnier keine Bewegungseinschränkung darstellt, da die Fadenspannung nicht vom Winkel abhängt (Abb. 144). Beim Trittleiterproblem hingegen sollte die Verschiebung klein gewählt werden, da die Seilspannung vom Winkel a abhängt.

Gleichgewichtsstabilität. Gleichgewicht ist stabil, instabil und indifferent. Das Gleichgewicht ist stabil (Abb. 146a), wenn die einwirkenden Kräfte bei kleinen Verschiebungen des Körpers aus der Gleichgewichtslage dazu neigen, ihn zurückzubringen, und instabil (Abb. 1466), wenn die Kräfte ihn weiter von der Gleichgewichtslage entfernen .

Reis. 145. Bewegung der unteren Enden der Leiter und Bewegung der Ladung, wenn sich die Hälften der Leiter aneinander annähern

Reis. 146. Stabiles (a), instabiles (b) und indifferentes (c) Gleichgewicht

Sind bei kleinen Verschiebungen die auf den Körper wirkenden Kräfte und ihre Momente noch im Gleichgewicht, so ist das Gleichgewicht indifferent (Abb. 146c). Bei indifferentem Gleichgewicht sind auch die benachbarten Körperstellen im Gleichgewicht.

Betrachten wir Beispiele für die Untersuchung der Gleichgewichtsstabilität.

1. Ein stabiles Gleichgewicht entspricht einer minimalen potentiellen Energie des Körpers in Bezug auf seine Werte in benachbarten Positionen des Körpers. Es ist oft bequem, diese Eigenschaft beim Auffinden der Gleichgewichtsposition und beim Studium der Art des Gleichgewichts zu verwenden.

Reis. 147. Stabilität des Körpergleichgewichts und der Position des Massenschwerpunkts

Eine vertikal freistehende Säule befindet sich im stabilen Gleichgewicht, da ihr Massenschwerpunkt bei kleinen Neigungen ansteigt. Dies geschieht so lange, bis die senkrechte Projektion des Massenschwerpunktes über die Auflagefläche hinausgeht, d.h. der Winkel der Abweichung von der Senkrechten einen bestimmten Maximalwert nicht überschreitet. Mit anderen Worten, der Stabilitätsbereich erstreckt sich vom Minimum der potentiellen Energie (in vertikaler Position) bis zum Maximum, das diesem am nächsten liegt (Abb. 147). Wenn sich der Massenschwerpunkt genau über der Grenze des Stützbereichs befindet, ist die Säule ebenfalls im Gleichgewicht, aber instabil. Eine horizontal liegende Säule entspricht einem viel breiteren Stabilitätsbereich.

2. Es gibt zwei runde Bleistifte mit Radien und Einer von ihnen liegt horizontal, der andere ist darauf in einer horizontalen Position balanciert, so dass die Achsen der Bleistifte senkrecht aufeinander stehen (Abb. 148a). Bei welchem ​​Verhältnis zwischen den Radien ist das Gleichgewicht stabil? In welchem ​​maximalen Winkel kann der obere Stift von der Horizontalen abgelenkt werden? Der Reibungskoeffizient der Bleistifte gegeneinander ist gleich

Auf den ersten Blick mag es so aussehen, als ob die Balance des oberen Stifts im Allgemeinen instabil ist, da der Massenmittelpunkt des oberen Stifts über der Achse liegt, um die er sich drehen kann. Allerdings bleibt hier die Lage der Rotationsachse nicht unverändert, so dass dieser Fall einer besonderen Untersuchung bedarf. Da der obere Stift horizontal ausbalanciert ist, liegen die Massenschwerpunkte der Stifte auf dieser Vertikalen (Abb. ).

Weichen Sie den oberen Stift in einem gewissen Winkel von der Horizontalen ab. Ohne Haftreibung würde es sofort nach unten rutschen. Um vorerst nicht an möglichen Schlupf zu denken, gehen wir davon aus, dass die Reibung ausreichend groß ist. In diesem Fall "rollt" der obere Bleistift am unteren entlang, ohne zu verrutschen. Der Drehpunkt von Position A bewegt sich zu einer neuen Position C und dem Punkt, an dem der obere Bleistift vor der Abweichung auf dem unteren auflag

bewegt sich zu Position B. Da kein Schlupf vorhanden ist, ist die Länge des Bogens gleich der Länge des Segments

Reis. 148. Der obere Bleistift wird in horizontaler Position auf dem unteren Bleistift balanciert (a); zur Untersuchung der Gleichgewichtsstabilität (b)

Der Massenmittelpunkt des oberen Bleistifts bewegt sich in Position . Wenn die durchgezogene Vertikale links vom neuen Drehpunkt C verläuft, neigt die Schwerkraft dazu, den oberen Bleistift in seine Gleichgewichtsposition zurückzubringen.

Lassen Sie uns diese Bedingung mathematisch ausdrücken. Wenn wir eine vertikale Linie durch Punkt B ziehen, sehen wir, dass die Bedingung erfüllt sein muss

Seitdem erhalten wir aus Bedingung (8).

Da die Schwerkraft dazu neigt, den oberen Stift nur um 100 % in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen, ist ein stabiles Gleichgewicht des oberen Stifts auf dem unteren nur dann möglich, wenn sein Radius kleiner ist als der Radius des unteren Stifts.

Die Rolle der Reibung. Zur Beantwortung der zweiten Frage muss geklärt werden, welche Gründe den zulässigen Ablenkwinkel begrenzen. Erstens kann bei großen Auslenkungswinkeln die durch den Schwerpunkt des oberen Bleistifts gezogene Vertikale rechts vom Stützpunkt C verlaufen. Aus der Bedingung (9) ist ersichtlich, dass für ein gegebenes Verhältnis der Bleistiftradien das Maximum gilt Ablenkwinkel

Reichen die Gleichgewichtsbedingungen eines starren Körpers immer aus, um die Reaktionskräfte zu bestimmen?

Wie kann man praktisch die Richtung der Reaktionskräfte ohne Reibung bestimmen?

Wie kann die goldene Regel der Mechanik bei der Analyse von Gleichgewichtsbedingungen angewendet werden?

Wenn in dem in Abb. 144, mit einem Faden, um nicht die Punkte A und B, sondern die Punkte L und C zu verbinden, was wird dann seine Spannkraft sein?

Wie hängt die Stabilität des Gleichgewichts eines Systems von seiner potentiellen Energie ab?

Welche Bedingungen bestimmen den maximalen Auslenkungswinkel eines Körpers, der in drei Punkten auf einer Ebene ruht, damit seine Stabilität nicht verloren geht?