So finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion. Lösen der Ableitung für Dummies: Definition, wie man findet, Beispiele für Lösungen

Dabei haben wir die einfachsten Ableitungen analysiert und uns auch mit den Ableitungsregeln und einigen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut gemacht. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte dieses Artikels nicht ganz klar sind, dann lesen Sie zuerst die obige Lektion. Bitte stellen Sie sich auf eine ernste Stimmung ein - der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis hat man sehr oft, ich würde sagen fast immer, mit der Ableitung einer komplexen Funktion zu tun, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir betrachten in der Tabelle die Regel (Nr. 5) zum Ableiten einer komplexen Funktion:

Wir verstehen. Werfen wir zunächst einen Blick auf die Notation. Hier haben wir zwei Funktionen - und , und die Funktion ist bildlich gesprochen in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieser Art (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – innere (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben erscheinen. Ich verwende die umgangssprachlichen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis der Materie zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „x“, sondern den ganzen Ausdruck, also wird es nicht funktionieren, die Ableitung sofort aus der Tabelle zu finden. Wir bemerken auch, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass es unmöglich ist, den Sinus „auszureißen“:

In diesem Beispiel ist bereits aus meinen Erläuterungen intuitiv klar, dass die Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt, die durchgeführt werden muss, wenn die Ableitung einer komplexen Funktion gefunden werden soll verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Bei einfachen Beispielen scheint klar, dass ein Polynom unter den Sinus geschachtelt ist. Aber was ist, wenn es nicht offensichtlich ist? Wie kann man genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Dazu schlage ich vor, die folgende Technik zu verwenden, die im Kopf oder an einem Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, dass wir den Wert des Ausdrucks mit einem Taschenrechner berechnen müssen (statt einer kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? In erster Linie Sie müssen die folgende Aktion ausführen: , sodass das Polynom eine interne Funktion ist:

Zweitens Sie müssen finden, also wird der Sinus - eine externe Funktion sein:

Nachdem wir VERSTEHE Bei inneren und äußeren Funktionen ist es an der Zeit, die Ableitungsregel für zusammengesetzte Funktionen anzuwenden .

Wir beginnen zu entscheiden. Aus dem Unterricht Wie finde ich die Ableitung? Wir erinnern uns, dass das Design der Lösung einer Ableitung immer so beginnt - wir schließen den Ausdruck in Klammern ein und setzen oben rechts einen Strich:

Zunaechst Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), sehen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln gelten auch dann, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Beachten Sie, dass die innere Funktion hat sich nicht geändert, wir berühren es nicht.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Ergebnis der Anwendung der Formel sauber sieht so aus:

Der konstante Faktor steht normalerweise am Anfang des Ausdrucks:

Halten Sie bei Missverständnissen die Entscheidung auf Papier fest und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir schreiben wie immer:

Wir finden heraus, wo wir eine externe Funktion haben und wo eine interne. Dazu versuchen wir (im Kopf oder auf einem Entwurf), den Wert des Ausdrucks für zu berechnen. Was muss zuerst getan werden? Zuerst müssen Sie berechnen, was die Basis gleich ist:, was bedeutet, dass das Polynom die interne Funktion ist:

Und nur dann wird potenziert, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Nach der Formel , müssen Sie zuerst die Ableitung der externen Funktion finden, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die gewünschte Formel in der Tabelle:. Wir wiederholen noch einmal: jede Tabellenformel gilt nicht nur für "x", sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Also das Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregel einer komplexen Funktion nächste:

Ich betone noch einmal, dass sich die innere Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der äußeren Funktion bilden:

Nun bleibt noch, eine ganz einfache Ableitung der inneren Funktion zu finden und das Ergebnis ein wenig zu „kämmen“:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Um das Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, werde ich ein kommentarloses Beispiel geben, versuchen Sie es selbst herauszufinden, denken Sie, wo ist die externe und wo die interne Funktion, warum werden die Aufgaben so gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung einer Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu unterscheiden, muss sie als Grad dargestellt werden. Wir bringen also zunächst die Funktion in die richtige Form zum Differenzieren:

Wenn wir die Funktion analysieren, kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe von drei Termen eine interne Funktion ist und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an :

Der Grad wird wieder als Wurzel (Wurzel) dargestellt, und für die Ableitung der inneren Funktion wenden wir eine einfache Regel zum Differenzieren der Summe an:

Bereit. Du kannst den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch schreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn umständliche lange Ableitungen erhalten werden, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht verwirrt, macht einen unnötigen Fehler und es ist für den Lehrer unpraktisch, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Ableiten einer komplexen Funktion die Regel zum Ableiten eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine ungewöhnliche Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Ableitungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differenzierung vor - wir entfernen das Minuszeichen der Ableitung und erhöhen den Kosinus auf den Zähler:

Cosinus ist eine interne Funktion, Exponentiation ist eine externe Funktion.
Wenden wir unsere Regel an :

Wir finden die Ableitung der inneren Funktion, setzen den Kosinus wieder zurück:

Bereit. Bei dem betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich bei den Zeichen nicht zu verwirren. Versuchen Sie übrigens, es mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir Fälle betrachtet, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Ableitungen, bei denen, wie Puppen ineinander verschachtelt, 3 oder sogar 4-5 Funktionen auf einmal verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verstehen die Anhänge dieser Funktion. Wir versuchen, den Ausdruck mit dem experimentellen Wert auszuwerten. Wie würden wir auf einen Taschenrechner zählen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Verschachtelung ist:

Dieser Arkussinus der Einheit sollte dann quadriert werden:

Und schließlich erheben wir die Sieben zur Potenz:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Verschachtelungen, während die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Wir beginnen zu entscheiden

Nach der Regel Zuerst müssen Sie die Ableitung der äußeren Funktion nehmen. Wir sehen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von "x" einen komplexen Ausdruck haben, der die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Also das Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregel einer komplexen Funktion nächste.

Nach der vorbereitenden Vorbereitung der Artillerie werden Beispiele mit 3-4-5 Anhängen von Funktionen weniger beängstigend sein. Vielleicht werden die folgenden beiden Beispiele für einige kompliziert erscheinen, aber wenn sie verstanden werden (jemand leidet), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es zunächst notwendig, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden Rechts INVESTITIONEN VERSTEHEN. In Zweifelsfällen erinnere ich Sie an einen nützlichen Trick: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert "x" und versuchen (gedanklich oder auf einem Entwurf), diesen Wert in den "schrecklichen Ausdruck" zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, also ist die Summe die tiefste Verschachtelung.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Dann würfeln Sie den Kosinus:

5) Im fünften Schritt die Differenz:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Differenzierungsformel für komplexe Funktionen werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Scheint fehlerfrei zu sein:

1) Wir ziehen die Ableitung der Quadratwurzel.

2) Wir leiten die Differenz nach der Regel ab

3) Die Ableitung des Tripels ist gleich Null. Im zweiten Term nehmen wir die Ableitung des Grades (Würfel).

4) Wir nehmen die Ableitung des Kosinus.

6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Verschachtelung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel Kuznetsovs Sammlung und Sie werden den ganzen Charme und die Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie bei der Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob der Schüler versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion findet, oder ob er es nicht versteht.

Das folgende Beispiel gilt für eine eigenständige Lösung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitäts- und die Differentiationsregel des Produkts an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kompakterem und Hübscherem überzugehen.
Nicht selten kommt es vor, dass in einem Beispiel das Produkt von nicht zwei, sondern drei Funktionen angegeben wird. Wie findet man die Ableitung des Produkts von drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Zuerst schauen wir, aber ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in ein Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Hätten wir zum Beispiel zwei Polynome im Produkt, könnten wir die Klammern öffnen. Aber in diesem Beispiel sind alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig nacheinander Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick ist, dass wir für "y" das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: , und für "ve" - den Logarithmus:. Warum ist das möglich? Ist es - das ist nicht das Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun bleibt die Regel ein zweites Mal anzuwenden zu klammern:

Sie können immer noch pervertieren und etwas aus den Klammern nehmen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort in dieser Form zu belassen - es ist einfacher zu überprüfen.

Das obige Beispiel kann auf die zweite Art gelöst werden:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, im Beispiel wird es auf die erste Art gelöst.

Betrachten Sie ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie auf mehreren Wegen vorgehen:

Oder so:

Die Lösung lässt sich aber kompakter schreiben, wenn wir zunächst die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , wobei für den ganzen Zähler gilt:

Wir bringen den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und werden den dreistöckigen Bruch los:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht beim Auffinden eines Derivats, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Auf der anderen Seite lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Techniken zum Finden der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem ein „schrecklicher“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung der Exponentialfunktion

Wir verbessern unsere Differenzierungstechnik weiter. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, betrachten komplexere Ableitungen und lernen auch neue Tricks und Kniffe zum Finden der Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten den Artikel lesen Wie finde ich die Ableitung? Lösungsbeispiele wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer komplexen Funktion, verstehen und lösen alles die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, an der Position „Wo sonst? Ja, und das reicht!“, denn alle Beispiele und Lösungen stammen aus realen Tests und sind oft in der Praxis zu finden.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Wir haben eine Reihe von Beispielen mit detaillierten Kommentaren betrachtet. Im Laufe des Studiums der Differentialrechnung und anderer Bereiche der mathematischen Analyse müssen Sie sehr oft differenzieren, und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele sehr detailliert zu malen. Daher werden wir in der mündlichen Findung von Derivaten üben. Die geeignetsten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster von komplexen Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion :

Wenn in Zukunft andere Themen von Matan studiert werden, ist eine solche detaillierte Aufzeichnung meistens nicht erforderlich, es wird davon ausgegangen, dass der Student in der Lage ist, ähnliche Ableitungen im Autopiloten zu finden. Stellen wir uns vor, dass um 3 Uhr morgens das Telefon klingelte und eine angenehme Stimme fragte: "Was ist die Ableitung des Tangens von zwei x?". Darauf sollte eine fast sofortige und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel ist gleich für eine eigenständige Lösung gedacht.

Beispiel 1

Finden Sie zum Beispiel die folgenden Ableitungen mündlich in einem Schritt: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls sie sich nicht schon erinnert hat). Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, empfehle ich, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer komplexen Funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, also ist die Summe die tiefste Verschachtelung.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Dann würfeln Sie den Kosinus:

5) Im fünften Schritt die Differenz:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Differenzierungsformel für komplexe Funktionen werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Scheint kein Fehler zu sein...

(1) Wir ziehen die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir leiten die Differenz nach der Regel ab

(3) Die Ableitung des Tripels ist gleich Null. Im zweiten Term nehmen wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Wir nehmen die Ableitung des Kosinus.

(5) Wir leiten den Logarithmus ab.

(6) Schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Verschachtelung.

Das folgende Beispiel gilt für eine eigenständige Lösung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitäts- und die Differentiationsregel des Produkts an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

In solchen Fällen ist es notwendig nacheinander Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Nun bleibt die Regel ein zweites Mal anzuwenden zu klammern:

Sie können immer noch pervertieren und etwas aus den Klammern nehmen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort in dieser Form zu belassen - es ist einfacher zu überprüfen.

Das obige Beispiel kann auf die zweite Art gelöst werden:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, im Beispiel wird es auf die erste Art gelöst.

Betrachten Sie ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie auf mehreren Wegen vorgehen:

Oder so:

Die Lösung lässt sich aber kompakter schreiben, wenn wir zunächst die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , wobei für den ganzen Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn es in dieser Form belassen wird, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, einen Entwurf zu überprüfen, aber ist es möglich, die Antwort zu vereinfachen? Wir bringen den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Befreien Sie sich von der dreistöckigen Fraktion:

Ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Techniken zum Finden der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem ein „schrecklicher“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie einen langen Weg gehen, indem Sie die Ableitungsregel einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt Sie sofort in Verzweiflung - Sie müssen eine unangenehme Ableitung von einem Bruchteil und dann auch von einem Bruch nehmen.

So Vor wie man die Ableitung des „ausgefallenen“ Logarithmus bildet, wird zuvor mit bekannten Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, zeichnen Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann wie folgt formuliert werden:

Transformieren wir die Funktion:

Wir finden die Ableitung:

Die vorläufige Transformation der Funktion selbst hat die Lösung stark vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, ist es immer ratsam, ihn „zu zerlegen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten am Ende der Lektion.

logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so süße Musik ist, stellt sich die Frage, ob es in einigen Fällen möglich ist, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Ähnliche Beispiele haben wir kürzlich betrachtet. Was zu tun ist? Man kann nacheinander die Ableitungsregel des Quotienten und dann die Ableitungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode ist, dass Sie einen riesigen dreistöckigen Bruch erhalten, mit dem Sie sich überhaupt nicht beschäftigen möchten.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten "aufhängt":

Notiz : da Die Funktion kann negative Werte annehmen, dann müssen Sie im Allgemeinen Module verwenden: , die durch Differenzierung verschwinden. Das aktuelle Design ist jedoch auch akzeptabel, wobei standardmäßig die Komplex Werte. Aber wenn bei aller Strenge, dann ist es in beiden Fällen notwendig, dies zu reservieren.

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Vorgang ausführlich beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Beide Teile schließen wir mit einem Strich ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach, ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum gibt es einen Buchstaben „y“ unter dem Logarithmus?“.

Tatsache ist, dass dieser "ein Buchstabe y" - IST EINE FUNKTION FÜR SICH(Wenn es nicht sehr klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion und "y" eine interne Funktion. Und wir verwenden die Differenzierungsregel für zusammengesetzte Funktionen :

Auf der linken Seite haben wir wie durch Zauberei eine Ableitung. Außerdem werfen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und jetzt erinnern wir uns, über was für eine "Spiel"-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Beispieldesign eines solchen Beispiels am Ende der Lektion.

Mit Hilfe der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, eine andere Sache ist, dass die Funktionen dort einfacher sind und die Verwendung der logarithmischen Ableitung möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt ist.

Ableitung der Exponentialfunktion

Diese Funktion haben wir noch nicht berücksichtigt. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die hat und der Grad und die Basis hängen von "x" ab. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder bei jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie findet man die Ableitung einer Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade betrachtete Technik zu verwenden - die logarithmische Ableitung. Wir hängen Logarithmen auf beiden Seiten auf:

In der Regel wird der Grad unter dem Logarithmus auf der rechten Seite herausgenommen:

Als Ergebnis haben wir auf der rechten Seite ein Produkt zweier Funktionen, die nach der Standardformel differenziert werden .

Wir finden die Ableitung, dazu schließen wir beide Teile unter Striche ein:

Die nächsten Schritte sind einfach:

Endlich:

Wenn eine Transformation nicht ganz klar ist, lesen Sie die Erläuterungen zu Beispiel 11 bitte noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus von x“ (ein weiterer Logarithmus ist unter dem Logarithmus verschachtelt). Beim Ableiten einer Konstanten ist es, wie wir uns erinnern, besser, sie gleich aus dem Vorzeichen der Ableitung herauszunehmen, damit sie nicht stört; und wenden Sie natürlich die bekannte Regel an :

Seit Sie hierher gekommen sind, haben Sie diese Formel wahrscheinlich schon im Lehrbuch gesehen

und mach ein Gesicht wie dieses:

Freund, mach dir keine Sorgen! In der Tat ist alles einfach zu blamieren. Sie werden auf jeden Fall alles verstehen. Nur eine Bitte - lesen Sie den Artikel langsam versuche jeden Schritt zu verstehen. Ich habe so einfach und klar wie möglich geschrieben, aber Sie müssen sich noch mit der Idee befassen. Und stellen Sie sicher, dass Sie die Aufgaben aus dem Artikel lösen.

Was ist eine komplexe Funktion?

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen in eine andere Wohnung und packen deshalb Sachen in große Kartons. Lassen Sie es notwendig sein, einige kleine Gegenstände zu sammeln, zum Beispiel Schulsachen. Wenn Sie sie einfach in eine riesige Kiste werfen, gehen sie unter anderem verloren. Um dies zu vermeiden, steckt man sie zum Beispiel zuerst in eine Tüte, die man dann in eine große Kiste steckt, die man dann verschließt. Dieser „härteste“ Prozess ist im folgenden Diagramm dargestellt:

Es scheint, woher kommt die Mathematik? Und außerdem wird eine komplexe Funktion auf GENAU DIE GLEICHE Weise gebildet! Nur „packen“ wir nicht Hefte und Stifte, sondern \(x\), indem wir verschiedene „Pakete“ und „Kisten“ bedienen.

Nehmen wir zum Beispiel x und "packen" es in eine Funktion:

Als Ergebnis erhalten wir natürlich \(\cos⁡x\). Das ist unsere „Tüte“. Und jetzt packen wir es in eine "Box" - wir packen es zum Beispiel in eine kubische Funktion.

Was wird am Ende passieren? Ja, das ist richtig, es wird ein "Paket mit Dingen in einer Schachtel" geben, dh "Kosinus von x in Würfel".

Die resultierende Konstruktion ist eine komplexe Funktion. Darin unterscheidet sie sich von der einfachen MEHRERE „Impacts“ (Pakete) werden hintereinander auf ein X angewendet und es stellt sich sozusagen "eine Funktion von einer Funktion" - "ein Paket in einem Paket" heraus.

Im Schulkurs gibt es nur sehr wenige Arten dieser gleichen „Pakete“, nur vier:

„Packen“ wir nun x erst in eine Exponentialfunktion zur Basis 7 und dann in eine trigonometrische Funktion. Wir bekommen:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Und jetzt „packen“ wir x zweimal in trigonometrische Funktionen, zuerst in und dann in:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Einfach, oder?

Schreiben Sie nun selbst die Funktionen, wobei x:
- zuerst wird es in einen Kosinus „gepackt“, und dann in eine Exponentialfunktion mit Basis \(3\);
- zuerst zur fünften Potenz und dann zur Tangente;
- zuerst zum Basislogarithmus \(4\) , dann hoch \(-2\).

Die Antworten auf diese Frage finden Sie am Ende des Artikels.

Aber können wir x nicht zwei-, sondern dreimal „packen“? Kein Problem! Und viermal und fünfmal und fünfundzwanzigmal. Hier ist zum Beispiel eine Funktion, in der x \(4\) mal "gepackt" wird:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Aber solche Formeln werden in der Schulpraxis nicht zu finden sein (Schüler haben mehr Glück - sie können schwieriger sein☺).

"Auspacken" einer komplexen Funktion

Sehen Sie sich die vorherige Funktion noch einmal an. Können Sie die Reihenfolge des "Verpackens" herausfinden? In was X wurde zuerst hineingestopft, was dann und so weiter bis zum Schluss. Das heißt, welche Funktion ist in welcher verschachtelt? Nimm ein Blatt Papier und schreibe auf, was du denkst. Sie können dies mit einer Pfeilkette tun, wie wir oben geschrieben haben, oder auf andere Weise.

Nun ist die richtige Antwort: zuerst wurde x in die \(4\)-te Potenz „gepackt“, dann wurde das Ergebnis in den Sinus gepackt, dieser wiederum zur Basis logarithmiert \(2\), und in Am Ende wurde die ganze Konstruktion in die Power Fives geschoben.

Das heißt, es ist notwendig, die Sequenz IN DER UMGEKEHRTEN REIHENFOLGE abzuwickeln. Und hier ist ein Tipp, wie es einfacher geht: Schauen Sie einfach auf das X - Sie müssen davon tanzen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Hier ist zum Beispiel eine Funktion: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Wir schauen uns X an - was passiert zuerst mit ihm? Von ihm genommen. Und dann? Der Tangens des Ergebnisses wird genommen. Und die Reihenfolge wird die gleiche sein:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ein weiteres Beispiel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Wir analysieren - zuerst wurde x gewürfelt und dann wurde der Kosinus aus dem Ergebnis genommen. Die Sequenz lautet also: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Achtung, die Funktion scheint der allerersten ähnlich zu sein (wobei mit Bildern). Aber das ist eine ganz andere Funktion: hier im Würfel x (also \(\cos⁡((x x x))))\), und dort im Würfel der Kosinus \(x\) (also \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Dieser Unterschied ergibt sich aus unterschiedlichen "Verpackungs"-Sequenzen.

Das letzte Beispiel (mit wichtigen Informationen darin): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Es ist klar, dass wir hier zuerst Rechenoperationen mit x durchgeführt haben, dann wurde der Sinus aus dem Ergebnis genommen: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Und das ist ein wichtiger Punkt: Obwohl Rechenoperationen an sich keine Funktionen sind, wirken sie hier auch als „Verpackung“. Lassen Sie uns ein wenig tiefer in diese Subtilität eintauchen.

Wie ich oben sagte, wird x in einfachen Funktionen einmal "gepackt" und in komplexen Funktionen - zwei oder mehr. Darüber hinaus ist jede Kombination einfacher Funktionen (dh ihre Summe, Differenz, Multiplikation oder Division) ebenfalls eine einfache Funktion. Beispielsweise ist \(x^7\) eine einfache Funktion, ebenso wie \(ctg x\). Daher sind alle ihre Kombinationen einfache Funktionen:

\(x^7+ ctg x\) - einfach,
\(x^7 ctg x\) ist einfach,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) ist einfach, und so weiter.

Wenn jedoch eine weitere Funktion auf eine solche Kombination angewendet wird, wird es bereits eine komplexe Funktion sein, da es zwei „Pakete“ geben wird. Siehe Zeichnung:

Okay, machen wir jetzt weiter. Schreiben Sie die Abfolge der „Wrapping“-Funktionen:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Die Antworten sind wieder am Ende des Artikels.

Interne und externe Funktionen

Warum müssen wir die Verschachtelung von Funktionen verstehen? Was bringt uns das? Der Punkt ist, dass wir ohne eine solche Analyse nicht in der Lage sein werden, die Ableitungen der oben diskutierten Funktionen zuverlässig zu finden.

Und um weiterzukommen, brauchen wir zwei weitere Konzepte: interne und externe Funktionen. Dies ist eine sehr einfache Sache, im Übrigen haben wir sie bereits oben analysiert: Wenn wir uns an unsere Analogie ganz am Anfang erinnern, dann ist die innere Funktion das „Paket“ und die äußere die „Box“. Jene. was X zuerst „verpackt“ ist, ist eine interne Funktion, und was das Interne „verpackt“ ist, ist bereits extern. Nun, es ist verständlich, warum - es ist außerhalb, es bedeutet extern.

Hier in diesem Beispiel: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), die Funktion \(\log_2⁡x\) ist intern, und
- extern.

Und in diesem: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ist intern, und
- extern.

Führen Sie die letzte Übung zur Analyse komplexer Funktionen durch und gehen Sie schließlich zu dem Punkt über, an dem alles begonnen hat - wir werden Ableitungen komplexer Funktionen finden:

Füllen Sie die Lücken in der Tabelle aus:

Ableitung einer komplexen Funktion

Bravo, wir sind immer noch beim "Boss" dieses Themas angelangt - tatsächlich bei der Ableitung einer komplexen Funktion und insbesondere bei dieser sehr schrecklichen Formel vom Anfang des Artikels.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Diese Formel lautet wie folgt:

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion nach der konstanten internen Funktion und der Ableitung der internen Funktion.

Und sehen Sie sich sofort das Parsing-Schema "nach Wörtern" an, um zu verstehen, worauf Sie sich beziehen sollen:

Ich hoffe, die Begriffe "Derivat" und "Produkt" bereiten keine Schwierigkeiten. "Komplexe Funktion" - haben wir bereits demontiert. Der Haken liegt in der „Ableitung der äußeren Funktion nach der inneren Konstante“. Was ist das?

Antwort: Dies ist die übliche Ableitung der äußeren Funktion, bei der sich nur die äußere Funktion ändert, während die innere gleich bleibt. Noch unklar? Okay, nehmen wir ein Beispiel.

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion \(y=\sin⁡(x^3)\). Es ist klar, dass die innere Funktion hier \(x^3\) ist und die äußere
. Finden wir nun die Ableitung des Äußeren nach dem konstanten Inneren.

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differentiation genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen, Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen zu finden, indem die Ableitung als Grenze des Verhältnisses des Inkrements zum Inkrement des Arguments definiert wurde, erschien eine Ableitungstabelle und genau definierte Ableitungsregeln . Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren die ersten, die sich mit dem Auffinden von Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es daher heutzutage nicht erforderlich, die oben erwähnte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern nur die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Der folgende Algorithmus eignet sich zum Auffinden der Ableitung.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen einfache Funktionen zerlegen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) diese Funktionen sind verwandt. Außerdem finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen des Produkts, der Summe und des Quotienten - in den Ableitungsregeln. Die Ableitungstabelle und Ableitungsregeln folgen nach den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Aus den Ableitungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen der Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von "X" gleich eins ist und die Ableitung des Sinus Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Als Ableitung der Summe differenzieren, bei der der zweite Term mit konstantem Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung genommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden sie in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Ableitungsregeln klar. Wir gehen gleich zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstanten (Zahl). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer null. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, da es sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Meistens "x". Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Cosinus-Ableitung
8. Tangensableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des inversen Tangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung der Exponentialfunktion

Abgrenzungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann an der gleichen Stelle die Funktionen

und

jene. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen durch eine Konstante unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

an einer Stelle differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an derselben Stelle differenzierbar

und

jene. die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folge 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden:

Folge 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v und

jene. die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo kann man auf anderen Seiten suchen

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Ableitungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie weitere Beispiele zu diesen Ableitungen im Artikel."Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten".

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist dessen Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird er aus dem Vorzeichen der Ableitungen herausgenommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Ableitungsstudiums auftritt, aber wenn der durchschnittliche Schüler mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele löst, macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie beim Differenzieren eines Produkts oder eines Quotienten einen Begriff haben u"v, indem u- eine Zahl, z. B. 2 oder 5, dh eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert). .

Ein weiterer häufiger Fehler ist die mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. So Ableitung einer komplexen Funktion einem eigenen Artikel gewidmet. Aber zuerst werden wir lernen, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise in neuen Windows-Handbüchern öffnen Aktionen mit Kräften und Wurzeln und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, dh wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion " Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe wie z , dann befinden Sie sich in der Lektion "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Wir bestimmen die Teile des Ausdrucks der Funktion: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, von denen einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. Also wird "x" zu eins und minus 5 - zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die durch die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Und Sie können die Lösung des Problems auf der Ableitung auf überprüfen.

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten finden. Wir wenden die Formel zum Ableiten eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel dann willkommen im Unterricht "Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, das heißt, wann die Funktion aussieht , dann hast du Unterricht "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen einer der Faktoren die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, mit deren Ableitung wir uns in der Ableitungstabelle vertraut gemacht haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Sie können die Lösung des Ableitungsproblems auf überprüfen Ableitungsrechner online .

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Ableitungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler loszuwerden, multipliziere Zähler und Nenner mit .

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Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion nach der konstanten internen Funktion und der Ableitung der internen Funktion.

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