Allgemeines Linearisierungsverfahren
In den meisten Fällen ist es möglich, nichtlineare Abhängigkeiten mit der Methode der kleinen Abweichungen oder Variationen zu linearisieren. Um ᴇᴦο zu betrachten, wenden wir uns einer Verbindung im automatischen Steuersystem zu (Abb. 2.2). Die Eingangs- und Ausgangsgrößen werden mit X1 und X2 bezeichnet, und die externe Störung wird mit F(t) bezeichnet.
Nehmen wir an, dass die Verknüpfung durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Form beschrieben wird
Um eine solche Gleichung zu erstellen, müssen Sie den entsprechenden Zweig der technischen Wissenschaften (z. B. Elektrotechnik, Mechanik, Hydraulik usw.) verwenden, der sich mit diesem speziellen Gerätetyp befasst.
Grundlage der Linearisierung ist die Annahme, dass die Abweichungen aller in die Link-Dynamics-Gleichung einbezogenen Größen ausreichend klein sind, da gerade auf einem ausreichend kleinen Abschnitt die krummlinige Kennlinie durch ein Geradenstück ersetzt werden kann. Gemessen werden dabei die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im stationären Prozess bzw. in einem bestimmten Gleichgewichtszustand des Systems. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der stationäre Prozess durch einen konstanten Wert der Variablen X1 gekennzeichnet ist, den wir als X10 bezeichnen. Bei der Regelung (Abb. 2.3) hat die Variable X1 die Werte, wobei die Abweichung der Variablen X 1 vom konstanten Wert X10 bezeichnet.
Ähnliche Beziehungen werden für andere Variablen eingeführt. Für den betrachteten Fall haben wir ˸ und auch .
Alle Abweichungen werden als hinreichend klein angenommen. Diese mathematische Annahme widerspricht nicht der physikalischen Bedeutung des Problems, da die eigentliche Idee der automatischen Regelung erfordert, dass alle Abweichungen der Regelgröße während des Regelvorgangs ausreichend klein sind.
Der stationäre Zustand der Verbindung wird durch die Werte X10, X20 und F0 bestimmt. Dann ist Gleichung (2.1) für den stationären Zustand in die Form zu schreiben
Erweitern wir die linke Seite von Gleichung (2.1) in der Taylor-Reihe
wobei D Terme höherer Ordnung sind. Der Index 0 für partielle Ableitungen bedeutet, dass nach der Ableitung der stetige Wert aller Variablen in ihren Ausdruck eingesetzt werden muss.
Die Terme höherer Ordnung in Formel (2.3) umfassen höhere partielle Ableitungen multipliziert mit Quadraten, Kubikzahlen und höheren Abweichungsgraden sowie Abweichungsprodukten. Sie werden im Vergleich zu den Abweichungen selbst, die von erster Ordnung klein sind, von höherer Ordnung klein sein.
Gleichung (2.3) ist eine Link-Dynamic-Gleichung, genau wie (2.1), aber in einer anderen Form geschrieben. Lassen Sie uns die Kleinstwerte höherer Ordnung in dieser Gleichung verwerfen, danach subtrahieren wir die stationären Gleichungen (2.2) von Gleichung (2.3). Als Ergebnis erhalten wir die folgende Näherungsgleichung der Link-Dynamik bei kleinen Abweichungen˸
In diese Gleichung gehen alle Variablen und ihre Ableitungen linear, also bis zum ersten Grad, ein. Alle partiellen Ableitungen sind einige konstante Koeffizienten für den Fall, dass ein System mit konstanten Parametern untersucht wird. Wenn das System variable Parameter hat, dann hat Gleichung (2.4) variable Koeffizienten. Betrachten wir nur den Fall konstanter Koeffizienten.
Allgemeines Linearisierungsverfahren - Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie "Allgemeine Linearisierungsmethode" 2015, 2017-2018.
In den meisten Fällen ist es möglich, nichtlineare Abhängigkeiten mit der Methode der kleinen Abweichungen oder Variationen zu linearisieren. Wenden wir uns dazu einer bestimmten Verbindung im automatischen Steuersystem zu (Abb. 2.2). Die Eingangs- und Ausgangsgrößen werden mit X1 und X2 bezeichnet, und die externe Störung wird mit F(t) bezeichnet.
Nehmen wir an, dass die Verknüpfung durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Form beschrieben wird
Um eine solche Gleichung zu erstellen, müssen Sie den entsprechenden Zweig der technischen Wissenschaften (z. B. Elektrotechnik, Mechanik, Hydraulik usw.) verwenden, der sich mit diesem speziellen Gerätetyp befasst.
Grundlage der Linearisierung ist die Annahme, dass die Abweichungen aller in die Link-Dynamics-Gleichung einbezogenen Größen ausreichend klein sind, da gerade auf einem ausreichend kleinen Abschnitt die krummlinige Kennlinie durch ein Geradenstück ersetzt werden kann. Gemessen werden dabei die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im stationären Prozess bzw. in einem bestimmten Gleichgewichtszustand des Systems. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der stationäre Prozess durch einen konstanten Wert der Variablen X1 gekennzeichnet ist, den wir als X10 bezeichnen. Bei der Regelung (Abb. 2.3) hat die Variable X1 die Werte, wobei die Abweichung der Variablen X 1 vom konstanten Wert X10 bezeichnet.
Ähnliche Beziehungen werden für andere Variablen eingeführt. Für den betrachteten Fall haben wir: und auch .
Alle Abweichungen werden als hinreichend klein angenommen. Diese mathematische Annahme widerspricht nicht der physikalischen Bedeutung des Problems, da die eigentliche Idee der automatischen Regelung erfordert, dass alle Abweichungen der Regelgröße während des Regelvorgangs ausreichend klein sind.
Der stationäre Zustand der Verbindung wird durch die Werte X10, X20 und F0 bestimmt. Dann lässt sich Gleichung (2.1) für den stationären Zustand in die Form schreiben
Erweitern wir die linke Seite von Gleichung (2.1) in der Taylor-Reihe
wobei D Terme höherer Ordnung sind. Der Index 0 für partielle Ableitungen bedeutet, dass nach der Ableitung der stetige Wert aller Variablen in ihren Ausdruck eingesetzt werden muss.
Die Terme höherer Ordnung in Formel (2.3) umfassen höhere partielle Ableitungen multipliziert mit Quadraten, Kubikzahlen und höheren Abweichungsgraden sowie Abweichungsprodukten. Sie werden im Vergleich zu den Abweichungen selbst, die von erster Ordnung klein sind, von höherer Ordnung klein sein.
Gleichung (2.3) ist eine Link-Dynamic-Gleichung, genau wie (2.1), aber in einer anderen Form geschrieben. Lassen Sie uns die Kleinstwerte höherer Ordnung in dieser Gleichung verwerfen, wonach wir die stationären Gleichungen (2.2) von Gleichung (2.3) subtrahieren. Als Ergebnis erhalten wir bei kleinen Abweichungen die folgende ungefähre Link-Dynamic-Gleichung:
In diese Gleichung gehen alle Variablen und ihre Ableitungen linear, also bis zum ersten Grad, ein. Alle partiellen Ableitungen sind einige konstante Koeffizienten für den Fall, dass ein System mit konstanten Parametern untersucht wird. Wenn das System variable Parameter hat, dann hat Gleichung (2.4) variable Koeffizienten. Betrachten wir nur den Fall konstanter Koeffizienten.
Das Erhalten von Gleichung (2.4) ist das Ziel der durchgeführten Linearisierung. In der Theorie der automatischen Steuerung ist es üblich, die Gleichungen aller Verknüpfungen so zu schreiben, dass der Ausgabewert auf der linken Seite der Gleichung steht und alle anderen Terme auf die rechte Seite übertragen werden. In diesem Fall werden alle Terme der Gleichung durch den Koeffizienten am Ausgangswert dividiert. Als Ergebnis nimmt Gleichung (2.4) die Form an
wobei die folgende Notation eingeführt wird
Außerdem ist es der Einfachheit halber üblich, alle Differentialgleichungen in Operatorform mit der Notation zu schreiben
Usw. (2.7)
Dann lässt sich die Differentialgleichung (2.5) in die Form schreiben
Diese Aufzeichnung wird die Standardform der Verknüpfungsdynamikgleichung genannt.
Die Koeffizienten T1 und T2 haben die Dimension Zeit - Sekunden. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass alle Terme in Gleichung (2.8) die gleiche Dimension haben müssen und sich beispielsweise die Dimension (oder px2) von der Dimension von x2 um eine zweite hoch minus erste Potenz () unterscheidet. Daher werden die Koeffizienten T1 und T2 aufgerufen Zeitkonstanten .
Der Koeffizient k1 hat die Dimension des Ausgangswerts dividiert durch die Dimension des Eingangs. Es wird genannt Übersetzungsverhältnis Verknüpfung. Für Links, deren Ausgangs- und Eingangswerte die gleiche Dimension haben, werden auch die folgenden Begriffe verwendet: Verstärkung - für einen Link, der ein Verstärker ist oder einen Verstärker in seiner Zusammensetzung hat; Übersetzungsverhältnis - für Getriebe, Spannungsteiler, Skalierungsgeräte usw.
Der Übertragungsbeiwert charakterisiert die statischen Eigenschaften der Verbindung, da im eingeschwungenen Zustand . Er bestimmt also die Steilheit der statischen Kennlinie bei kleinen Abweichungen. Wenn wir die gesamte reale statische Charakteristik der Verbindung darstellen, ergibt die Linearisierung oder . Der Transmissionskoeffizient k1 ist der Tangens der Steigung der Tangente an dem Punkt C (siehe Abb. 2.3), von dem kleine Abweichungen x1 und x2 gemessen werden.
Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die obige Linearisierung der Gleichung für Regelvorgänge gilt, die einen solchen Abschnitt der AB-Kennlinie erfassen, an dem die Tangente wenig von der Kurve selbst abweicht.
Außerdem folgt daraus eine weitere, graphische Methode der Linearisierung. Sind die statische Kennlinie und der Punkt C, der den stationären Zustand bestimmt, um den herum der Regelvorgang stattfindet, bekannt, so wird der Übertragungsbeiwert in der Verknüpfungsgleichung grafisch aus der Zeichnung gemäß der Abhängigkeit k1 = tg unter Berücksichtigung bestimmt den Maßstab der Zeichnung und das Maß x2. In vielen Fällen grafische Linearisierungsmethode erweist sich als bequemer und führt schneller zum Ziel.
Die Dimension des Koeffizienten k2 ist gleich der Dimension der Verstärkung k1 multipliziert mit der Zeit. Daher wird Gleichung (2.8) oft in der Form geschrieben
wo ist die zeitkonstante.
Die Zeitkonstanten T1, T2 und T3 bestimmen die dynamischen Eigenschaften der Strecke. Diese Problematik wird weiter unten im Detail betrachtet.
Der Koeffizient k3 ist die externe Störverstärkung.
Betrachten Sie als Beispiel für die Linearisierung einen Elektromotor, der von der Seite des Erregerkreises gesteuert wird (Abb. 2.4).
Um eine Differenzialgleichung zu finden, die das Drehzahlinkrement mit dem Spannungsinkrement an der Erregerwicklung in Beziehung setzt, schreiben wir das Gleichgewichtsgesetz der elektromotorischen Kräfte (EMK) im Erregerkreis, das Gleichgewichtsgesetz der EMK im Ankerkreis und das Gesetz auf des Momentengleichgewichts an der Motorwelle:
In der zweiten Gleichung wird der Einfachheit halber der Term, der der Selbstinduktions-EMK im Ankerkreis entspricht, weggelassen.
In diesen Formeln sind RВ und Rß die Widerstände des Erregerkreises und des Ankerkreises; ІВ und ІЯ - Ströme in diesen Stromkreisen; UВ und Uß sind die Spannungen, die an diese Schaltungen angelegt werden; wВ ist die Anzahl der Windungen der Erregerwicklung; Ф – magnetischer Fluss; Ω die Winkelgeschwindigkeit der Motorwelle ist; M ist der Moment des Widerstands von äußeren Kräften; J das reduzierte Trägheitsmoment des Motors ist; CE und
SM - Proportionalitätskoeffizienten.
Nehmen wir an, dass vor dem Auftreten eines Anstiegs der an die Erregerwicklung angelegten Spannung ein stationärer Zustand bestand, für den die Gleichungen (2.10) wie folgt geschrieben werden:
Wenn nun die Erregerspannung eine Erhöhung UВ = UВ0 + ΔUВ erhält, dann erhalten alle Variablen, die den Zustand des Systems bestimmen, ebenfalls eine Erhöhung. Als Ergebnis erhalten wir: ІВ = ІВ0 + ΔІВ; Ä = Ä0 + ΔÄ; Iß = Iß0 + ΔІß; Ω = Ω0 + ΔΩ.
Wir setzen diese Werte in (2.10) ein, verwerfen die kleinen Werte höherer Ordnung und erhalten:
Durch Subtrahieren der Gleichungen (2.11) von den Gleichungen (2.12) erhalten wir ein Gleichungssystem für Abweichungen:
In diese Gleichungen wird ein Proportionalitätsfaktor zwischen dem Flussinkrement und dem Erregerstrominkrement eingeführt, der aus der Motormagnetisierungskurve bestimmt wird (Abb. 2.5).
Die gemeinsame Lösung von System (2.13) ergibt
wo ist der Übertragungskoeffizient, ,
elektromagnetische Zeitkonstante des Erregerkreises, s,
wobei LB = a wB der dynamische Koeffizient der Selbstinduktion des Erregerkreises ist; elektromagnetische Zeitkonstante des Motors, s,
Aus den Ausdrücken (2.15) – (2.17) ist ersichtlich, dass das betrachtete System im Wesentlichen nichtlinear ist, da der Übertragungskoeffizient und die Zeit „konstant“ tatsächlich nicht konstant sind. Sie können für einen bestimmten Modus nur näherungsweise als konstant angesehen werden, sofern die Abweichungen aller Variablen von den stationären Werten gering sind.
Interessant ist ein Sonderfall, wenn im eingeschwungenen Zustand UB0 = 0; IB0 = 0; Ф0 = 0 und Ω0 = 0. Dann nimmt Formel (2.14) die Form an
In diesem Fall verknüpft die statische Kennlinie den Schritt der Motorbeschleunigung und den Schritt der Spannung im Erregerkreis.
Testfragen
1. Beschreiben Sie lineare und nichtlineare ACS.
2. Geben Sie den Begriff der Linearisierung an und erläutern Sie seine Notwendigkeit.
3. Geben Sie die allgemeine Methode der Linearisierung an.
4. Was ist die Standardform zum Schreiben von Differentialgleichungen?
BEIM
Reis. 2.2. ATS-Link
Nehmen wir an, dass die Verknüpfung durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Form beschrieben wird
Um eine solche Gleichung zu erstellen, müssen Sie den entsprechenden Zweig der technischen Wissenschaften (z. B. Elektrotechnik, Mechanik, Hydraulik usw.) verwenden, der sich mit diesem speziellen Gerätetyp befasst.
Grundlage der Linearisierung ist die Annahme, dass die Abweichungen aller in die Link-Dynamics-Gleichung einbezogenen Größen ausreichend klein sind, da gerade auf einem ausreichend kleinen Abschnitt die krummlinige Kennlinie durch ein Geradenstück ersetzt werden kann. Gemessen werden dabei die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im stationären Prozess bzw. in einem bestimmten Gleichgewichtszustand des Systems. Ein stationärer Prozess sei beispielsweise durch einen konstanten Wert der Variablen X 1 gekennzeichnet, den wir als X 10 bezeichnen. Während des Regulierungsprozesses (Abb. 2.3) hat die Variable X 1 die Werte wo 
bezeichnet die Abweichung der Variablen X 1 vom konstanten Wert von X 10 .
SONDERN
Reis. 2.3. Linkregulierungsprozess
.
Als nächstes können Sie schreiben: 
;
und 
, als 
und 
Alle Abweichungen werden als hinreichend klein angenommen. Diese mathematische Annahme widerspricht nicht der physikalischen Bedeutung des Problems, da die Idee der automatischen Regelung erfordert, dass alle Abweichungen der Regelgröße während des Regelvorgangs ausreichend klein sind.
Der stationäre Zustand der Verbindung wird durch die Werte von X 10 , X 20 und F 0 bestimmt. Dann lässt sich Gleichung (2.1) für den stationären Zustand in die Form schreiben
Erweitern wir die linke Seite von Gleichung (2.1) in der Taylor-Reihe
wobei Terme höherer Ordnung sind. Der Index 0 für partielle Ableitungen bedeutet, dass nach der Ableitung der stetige Wert aller Variablen in ihren Ausdruck eingesetzt werden muss 
.
Die Terme höherer Ordnung in Formel (2.3) umfassen höhere partielle Ableitungen multipliziert mit Quadraten, Kubikzahlen und höheren Abweichungsgraden sowie Abweichungsprodukten. Sie werden im Vergleich zu den Abweichungen selbst, die von erster Ordnung klein sind, von höherer Ordnung klein sein.
Gleichung (2.3) ist eine Link-Dynamic-Gleichung, genau wie (2.1), aber in einer anderen Form geschrieben. Lassen Sie uns die Kleinstwerte höherer Ordnung in dieser Gleichung verwerfen, wonach wir die stationären Gleichungen (2.2) von Gleichung (2.3) subtrahieren. Als Ergebnis erhalten wir bei kleinen Abweichungen die folgende ungefähre Link-Dynamic-Gleichung:
In diese Gleichung gehen alle Variablen und ihre Ableitungen linear, also bis zum ersten Grad, ein. Alle partiellen Ableitungen sind einige konstante Koeffizienten für den Fall, dass ein System mit konstanten Parametern untersucht wird. Wenn das System variable Parameter hat, dann hat Gleichung (2.4) variable Koeffizienten. Betrachten wir nur den Fall konstanter Koeffizienten.
Das Erhalten von Gleichung (2.4) ist das Ziel der durchgeführten Linearisierung. In der Theorie der automatischen Steuerung ist es üblich, die Gleichungen aller Verknüpfungen so zu schreiben, dass der Ausgangswert auf der linken Seite der Gleichung steht und alle anderen Terme auf die rechte Seite übertragen werden. In diesem Fall werden alle Terme der Gleichung durch den Koeffizienten am Ausgabewert dividiert. Als Ergebnis nimmt Gleichung (2.4) die Form an
wobei die folgende Notation eingeführt wird
.
(2.6)
Außerdem ist es der Einfachheit halber üblich, alle Differentialgleichungen in Operatorform mit der Notation zu schreiben
Dann lässt sich die Differentialgleichung (2.5) in die Form schreiben
Diese Aufzeichnung wird die Standardform der Verknüpfungsdynamikgleichung genannt.
Die Koeffizienten T 1 und T 2 haben die Dimension Zeit - Sekunden. Dies folgt daraus, dass alle Terme in Gleichung (2.8) die gleiche Dimension haben müssen, und zwar beispielsweise die Dimension 
(oder px 2) unterscheidet sich von der Dimension x 2 pro Sekunde zur minus ersten Potenz ( 
). Daher werden die Koeffizienten T 1 und T 2 genannt Zeitkonstanten
.
Der Koeffizient k 1 hat die Dimension des Ausgabewerts dividiert durch die Dimension der Eingabe. Es wird genannt Übersetzungsverhältnis Verknüpfung. Für Links, deren Ausgangs- und Eingangswerte die gleiche Dimension haben, werden auch die folgenden Begriffe verwendet: Verstärkung - für einen Link, der ein Verstärker ist oder einen Verstärker in seiner Zusammensetzung hat; Übersetzungsverhältnis - für Getriebe, Spannungsteiler, Skalierungsgeräte usw.
Der Übertragungskoeffizient charakterisiert die statischen Eigenschaften der Verbindung, da im eingeschwungenen Zustand 
. Er bestimmt also die Steilheit der statischen Kennlinie bei kleinen Abweichungen. Wenn wir die gesamte reale statische Eigenschaft des Links abbilden 
, dann ergibt die Linearisierung 
oder 
. Der Transmissionskoeffizient k 1 ist der Tangens der Steigung 
Tangente an diesem Punkt C (siehe Abb. 2.3), von der kleine Abweichungen x 1 und x 2 gemessen werden.
Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die obige Linearisierung der Gleichung für Regelvorgänge gilt, die einen solchen Abschnitt der AB-Kennlinie erfassen, an dem die Tangente wenig von der Kurve selbst abweicht.
Außerdem folgt daraus eine weitere, graphische Methode der Linearisierung. Sind die statische Kennlinie und der Punkt C bekannt, der den stationären Zustand bestimmt, um den herum der Regelvorgang stattfindet, so wird der Übertragungsbeiwert in der Verknüpfungsgleichung grafisch aus der Zeichnung gemäß der Abhängigkeit k 1 = tg ermittelt 
unter Berücksichtigung des Zeichnungsmaßstabs und der Abmessungen x 2. In vielen Fällen grafische Linearisierungsmethode
erweist sich als bequemer und führt schneller zum Ziel.
Die Dimension des Koeffizienten k 2 ist gleich der Dimension der Verstärkung k 1 mal der Zeit. Daher wird Gleichung (2.8) oft in der Form geschrieben
wo 
ist die Zeitkonstante.
P
Reis. 2.4. Unabhängiger Erregermotor
Der Faktor k 3 ist die Verstärkung für äußere Störungen.
Betrachten Sie als Beispiel für die Linearisierung einen Elektromotor, der von der Seite des Erregerkreises gesteuert wird (Abb. 2.4).
Um eine Differenzialgleichung zu finden, die das Drehzahlinkrement mit dem Spannungsinkrement an der Erregerwicklung in Beziehung setzt, schreiben wir das Gleichgewichtsgesetz der elektromotorischen Kräfte (EMK) im Erregerkreis, das Gleichgewichtsgesetz der EMK im Ankerkreis und das Gesetz auf des Momentengleichgewichts an der Motorwelle:
;
.
In der zweiten Gleichung wird der Einfachheit halber der Term, der der Selbstinduktions-EMK im Ankerkreis entspricht, weggelassen.
In diesen Formeln sind R B und R I die Widerstände des Erregerkreises und des Ankerkreises; І В und І Я - Ströme in diesen Stromkreisen; U V und U I sind die an diesen Kreisen angelegten Spannungen, V ist die Anzahl der Windungen der Erregerwicklung; Ф – magnetischer Fluss; Ω die Winkelgeschwindigkeit der Motorwelle ist; M ist das Widerstandsmoment von äußeren Kräften, J ist das reduzierte Trägheitsmoment des Motors; C E und C M - Proportionalitätskoeffizienten.
Nehmen wir an, dass vor dem Auftreten eines Anstiegs der an die Erregerwicklung angelegten Spannung ein stationärer Zustand bestand, für den die Gleichungen (2.10) wie folgt geschrieben werden:
(2.11)
Wenn nun die Erregerspannung einen Inkrement U B = U B0 + ΔU B erhält, dann erhalten alle Größen, die den Zustand des Systems bestimmen, ebenfalls Inkremente. Als Ergebnis erhalten wir: І В = І В0 + ΔІ В; Ä = Ä 0 + ΔÄ; ich ich \u003d ich ich0 + ΔІ ich; Ω = Ω0 + ΔΩ.
Wir setzen diese Werte in (2.10) ein, verwerfen die kleinen Werte höherer Ordnung und erhalten:
(2.12)
Durch Subtrahieren der Gleichungen (2.11) von den Gleichungen (2.12) erhalten wir ein Gleichungssystem für Abweichungen:
(2.13)
BEIM
Reis. 2.5. Magnetisierungskurve
bestimmt aus der Magnetisierungskurve des Elektromotors (Abb. 2.5).
Die gemeinsame Lösung von System (2.13) ergibt
wo ist der Übertragungskoeffizient, 
,
;
(2.15)
elektromagnetische Zeitkonstante des Erregerkreises, s,
(2.16)
wobei L B = a B der dynamische Koeffizient der Selbstinduktion des Erregerkreises ist; elektromagnetische Zeitkonstante des Motors, s,
.
(2.17)
Aus den Ausdrücken (2.15) – (2.17) ist ersichtlich, dass das betrachtete System im Wesentlichen nichtlinear ist, da der Übertragungskoeffizient und die „Konstante“ der Zeit tatsächlich nicht konstant sind. Sie können für einen bestimmten Modus nur näherungsweise als konstant angesehen werden, sofern die Abweichungen aller Variablen von den stationären Werten gering sind.
Interessant ist der Sonderfall, wenn im eingeschwungenen Zustand U B0 = 0; Ich B0 = 0; Ä 0 = 0 und Ω 0 = 0. Dann nimmt Formel (2.14) die Form an
.
(2.18)
In diesem Fall bezieht sich die statische Charakteristik auf die Zunahme der Motorbeschleunigung 
und Spannungsinkrement im Erregerkreis.
Ich sollte diesen Artikel wie versprochen gestern Abend posten, aber dies wurde durch die sowjetische Vinyl-Technologie verhindert, die eine vollständige Demontage erfordert, unabhängig von der Schwere der Panne.
Ich werde weiterhin TAU-Geheimnisse werden. Diesmal geht es um die Linearisierung. Sehr oft sind zwei Parameter in einem nichtlinearen Zusammenhang miteinander verbunden. Hyperbolisch, parabolisch, logarithmisch usw. Dies ist bei Berechnungen sehr umständlich. Zum Beispiel haben wir einen Encoder, an dessen Ausgang eine Reihe von Impulsen ist. Die Gebergeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Impulsperiode. Das übergeordnete Ziel ist es, Geschwindigkeitsfeedback zu erhalten. Die gesamte Skala von 0 bis 100 % sollte relativ linear sein, um die Geschwindigkeit später zu stabilisieren.
Laut geschnittener Grafik von Calca viel Wasser und ein Tropfen Theorie:
Lassen Sie uns in openOffice Calc unsere Kurve aus der ursprünglichen Abhängigkeit erstellen:
Die Abhängigkeit der Drehfrequenz des Encoders in Prozent von der Impulswiederholungsperiode in Timer-Ticks.
Wie Sie sehen können, müssen Sie dividieren, um die Drehzahl zu ermitteln. Es ist ressourcenintensiv. Außerdem haben wir eine Übertreibung, aber irgendwo kann es einen Logarithmus geben. Es ist noch schlimmer. Wir müssen vereinfachen. Es muss linearisiert werden. Was ist Linearisierung? Hier kann es zwei Ansätze geben.
Nehmen wir zum Beispiel die Sättigungskurve von Stahl: 
Wenn Sie im Bereich von 0-a arbeiten, können wir davon ausgehen, dass dieses Element linear ist. Sinn einer solchen Aufgabe ist es, sich im Arbeitsbereich einzuschränken. Irgendwo passt es. Irgendwo nicht.
In unserem Fall ist die richtige Lösung ein anderer Weg - wir werden unsere Kurve in Intervalle unterteilen. Beispielsweise kann die Sättigungskurve in die Abschnitte 0-a, a-b, b- ... unterteilt werden. Innerhalb dieses Abschnitts ist das Verhältnis zwischen magnetischer Feldstärke und Magnetisierung ungefähr proportional.
Lassen Sie uns unseren Zeitplan in zwei Abschnitte unterteilen. So: 
Sieht grob aus, da stimme ich zu. Die beste Option wäre, die Kurve in drei Abschnitte zu unterteilen. Aber in unserem Fall reicht das aus.
Verwenden wir die Segmentformel: 
Aus dem Graphen bestimmen wir die Koordinaten:
Und berechnen wir unsere Funktionen:
Für den Abschnitt mit niedriger Geschwindigkeit:
Für den Highspeed-Bereich:
Mal sehen, was wir haben: 
Ja, es wird gut gehen. Gerade bei hohen Geschwindigkeiten ein kleiner Fehler. Sehen wir uns nun an, wie die Beziehung zwischen absoluter und relativer Geschwindigkeit aussieht: 
Gut, im Bereich niedriger Geschwindigkeiten sieht nicht alles optimal aus, aber mit dem Auge sehen wir dort wirklich nichts, aber im Bereich hoher Geschwindigkeiten ist es relativ linear. Ich persönlich bin sehr zufrieden mit diesem Ergebnis.
Jetzt muss nur noch der folgende Code beim Eintreffen des nächsten Impulses vom Encoder verwendet werden:
// Ich habe diesen Code von dem Timer aufgerufen, der für die PWM des Laufwerks verantwortlich ist. tick++; if (Encoder.Impulse)( if (tic>130)//rpm is more than 22% speed=-0.016*tic+24; else //rpm is less than 22% speed=-0.76*tic+121; tic= 0; ) else(//bei Nullgeschwindigkeit ist die Impulswiederholungsperiode gleich unendlich if (tic>2000)(//daher, wenn wir einen denkbaren Wert überschreiten speed=0;//dann gehen wir davon aus, dass der Encoder stationär ist .tic-=1000;// es ist unmöglich, Ticks mit Null gleichzusetzen - wenn beim nächsten Tick ein Impuls kommt, berechnet der Antrieb eine enorme Geschwindigkeit. ) )
Das hier beschriebene Verfahren erhebt keinen Anspruch auf Einzigartigkeit und Reproduzierbarkeit. Der Hauptpunkt dieses Artikels ist eine Empfehlung, solche Dinge zu modellieren und zu berechnen.
In der nächsten Zeit werden wir über digitale Umsetzungen typischer Verknüpfungen nachdenken und nach und nach eine Komponentenbibliothek erstellen.
Diskutieren wir noch einmal die Wahl des Maßstabs zur Darstellung dieser Daten in grafischer Form (siehe Abb. 30). Die Maximalmarke von °C, die der Temperaturachse X entspricht, passt sehr gut auf 40 Zellen, was einer sehr bequemen Teilung von 10 Zellen pro 50°C entspricht. Wie viel mehr Risiko ist nötig? In diesem Fall schlage ich vor, sie in 2 Zellen anzuordnen, was die Bestimmung der Koordinate erleichtert, da das Intervall zwischen solchen Risiken 10 ° C entspricht, was sehr praktisch ist.
Aber auf der Y-Achse habe ich die Risiken durch 5 Zellen pro 500 Ohm Widerstand platziert, was zu einer unvollständigen Nutzung der Papierfläche führte. Aber urteilen Sie selbst, wenn die Achse in 6 oder 7 Zellen unterteilt ist, wäre es unpraktisch, die Koordinate zu finden, und wenn es 8 Zellen sind, würde das maximale Risiko, das 2000 Ohm entspricht, nicht auf die Achse passen.
Nun müssen wir die Form der theoretischen Kurve diskutieren. Schlagen wir die Richtlinien zur Durchführung von Laborarbeiten auf Seite 28 auf und finden Formel 3, die die Abhängigkeit des Halbleiterwiderstands von der Temperatur beschreibt,
wo ist die Bandlücke, ist die Boltzmann-Konstante, ist eine Konstante mit der Widerstandsdimension und schließlich ist die Temperatur in Kelvin ausgedrückt. Beginnen wir mit der Erstellung einer neuen Tabelle. Zuerst rechnen wir die Temperatur in Kelvin um. Zweitens stellen wir uns die Aufgabe, nicht nur einen neuen Graphen zu zeichnen, sondern auch die Bandlücke anhand des Graphen zu finden. Dazu logarithmieren wir die exponentielle Abhängigkeit und erhalten 
Bezeichnen Sie , , und . Dann erhalten wir eine lineare Abhängigkeit,
die wir in der Grafik darstellen. Die den Werten entsprechenden Daten werden in Tabelle 9 eingetragen.
Tabelle 9. Neuberechnung der Daten in Tabelle 8.
| Punktnummer | ||||||||||
| T, K | ||||||||||
| 1/T, 10–3 K–1 | 3,34 | 3,19 | 3,00 | 2,83 | 2,68 | 2,54 | 2,42 | 2,31 | 2,21 | 2,11 |
| ln R, Ohm | 7,62 | 7,51 | 7,25 | 7,06 | 6,99 | 6,74 | 6,61 | 6,56 | 6,36 | 6,34 |
Wenn man gemäß Tabelle 9 einen Abhängigkeitsgraphen in Abb. 31 erstellt, nehmen alle experimentellen Punkte sehr wenig Platz auf dem Blatt mit einem großen leeren Raum ein. Warum ist das geschehen? Denn die Beschriftungen auf der X- und Y-Achse werden von 0 beginnend platziert, obwohl die Werte beispielsweise erst mit dem Wert beginnen. Ist es notwendig, das Anfangslabel gleich 0 zu machen? Die Antwort auf diese Frage hängt von der Aufgabenstellung ab. Im Beispiel mit dem Oberbeck-Pendel (siehe Abb. 28) war es sehr wichtig, den Schnittpunkt der X-Achse der theoretischen Geraden im Punkt mit der Koordinate Y=0 zu finden, der dem Wert entsprach. Und bei diesem Problem ist es nur notwendig, die Bandlücke zu finden, die sich auf die Konstante bezieht, die der Steigung der geraden Linie in Fig. 31 entspricht, so dass es überhaupt nicht notwendig ist, beginnend Beschriftungen auf den Achsen anzubringen ab 0.
Wenn wir die Daten aus Tabelle 9 studieren und einen geeigneten Maßstab wählen, können wir mit Zuversicht sagen, dass die Ausrichtung des Millimeterpapiers geändert werden muss, wie in Abb. 32 gezeigt. Studieren Sie die ausgewählte Skala selbst und stellen Sie sicher, dass sie für die Arbeit mit dem Diagramm sehr bequem ist. Auf der theoretischen Linie (am besten mit dem Auge zwischen den experimentellen Punkten gezogen) setzen wir zwei Punkte A und B mit den Koordinaten und . Der Steigungskoeffizient wird in Form der Koordinaten dieser Punkte durch die Formel ausgedrückt
Und schließlich berechnen wir die Bandlücke
Mit der Punktpaarmethode berechnen wir denselben Koeffizienten und seinen Fehler, dazu betrachten wir Punktpaare aus Tabelle 9:
1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9 und 7-10.
Berechnen Sie für diese Punktepaare die Steigungsbeiwerte der Geraden, die durch sie hindurchgehen
Mittlere Bedeutung
, 
Lassen Sie uns nun die Bandlücke und ihren Fehler berechnen.
Damit sind wir bei der Antwort angelangt
eV
Selbstständige Arbeit.
Ich schlage vor, dass Sie in der nächsten virtuellen Laborarbeit mit dem Codenamen "Bestimmen der Federsteifigkeit" unabhängige Berechnungen durchführen, Diagramme zeichnen und verarbeiten. Aber lassen Sie uns die Messlatte des Experiments auf ein höheres Niveau legen: Es ist nicht nur notwendig, eine Zahl zu erhalten, sondern zwei Methoden zur Messung der Steifigkeit einer Feder zu vergleichen - statisch und dynamisch.
Sehen wir uns diese Methoden kurz an.
statische Methode.
Wenn eine Masselast an einer festen vertikalen Feder aufgehängt wird, dehnt sich die Feder gemäß dem Hookeschen Gesetz, wobei die Länge der gedehnten Feder und die Länge der ungedehnten Feder (Anfangslänge) ist.
Hinweis: Das Hookesche Gesetz spricht von der Proportionalität der elastischen Kraft der Feder zur absoluten Dehnung, d.h. , wobei der Elastizitätskoeffizient (oder die Steifigkeit) der Feder ist.
In einem Gleichgewichtszustand wird die Schwerkraft der Last durch die Elastizitätskraft ausgeglichen und wir können schreiben. Lassen Sie uns die Klammern öffnen und die Abhängigkeit der Federlänge von der Masse der Last sehen
Ändert man Variablen, so erhält man die Geradengleichung. Es ist keine Linearisierung erforderlich!
Ihre Aufgabe besteht also darin, die Daten aus Tabelle 10 zu verarbeiten, die der junge Experimentator dort eingegeben hat (er hatte es satt, Ziegel vom Dach eines neunstöckigen Gebäudes zu werfen). Für Experimente deckte er sich mit einem Satz Gewichte ein, fand ein Dutzend oder zwei verschiedene Federn und maß, an Gewichten unterschiedlicher Masse hängend, die Länge der gespannten Feder mit einem Millimeterlineal.
Übung 1.
1. Wählen Sie eine Federnummer aus Tabelle 10 aus.
2. Erstellen Sie Ihre Tabelle mit zwei Spalten. Geben Sie die Schwerkraft in die erste Spalte ein, wobei die Masse der Last (in kg), m / s 2 ist. Übertragen Sie in der zweiten Spalte die Längen der ausgewählten Feder (in Meter). Geben Sie Zellen für Durchschnittswerte und an.
Tabelle 10
| m, g | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm |
| 11,8 | 15,4 | 17,6 | 19,4 | 13,2 | 15,4 | 19,6 | 21,4 | 11,2 | |
| 12,3 | 16,5 | 18,3 | 21,5 | 14,3 | 16,5 | 21,3 | 22,4 | 11,7 | |
| 13,6 | 17,6 | 19,3 | 21,6 | 14,8 | 16,5 | 22,1 | 22,6 | 12,7 | |
| 14,1 | 18,2 | 21,5 | 22,1 | 15,6 | 17,3 | 21,5 | 23,7 | 13,1 | |
| 16,6 | 22,3 | 22,5 | 24,9 | 17,6 | 19,9 | 23,9 | 25,5 | 15,4 | |
| 21,6 | 25,6 | 27,4 | 29,5 | 21,4 | 23,8 | 27,7 | 29,9 | 18,3 | |
| 22,5 | 26,4 | 28,8 | 31,4 | 22,6 | 24,2 | 28,8 | 32,1 | 19,6 | |
| 23,3 | 27,9 | 29,4 | 31,7 | 23,8 | 25,6 | 29,5 | 31,7 | 22,1 | |
| 26,2 | 32,1 | 32,0 | 34,3 | 25,5 | 27,9 | 31,9 | 33,6 | 22,2 | |
| 27,8 | 31,4 | 33,7 | 35,3 | 27,6 | 29,1 | 33,2 | 35,3 | 23,1 |
Tabelle 10 (Fortsetzung)
| m, g | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm | l, cm |
| 15,1 | 17,1 | 19,3 | 11,4 | 15,3 | 19,0 | 10,8 | 15,2 | 19,1 | |
| 15,6 | 17,7 | 19,7 | 11,6 | 15,6 | 19,6 | 11,5 | 15,3 | 19,3 | |
| 16,7 | 18,5 | 21,2 | 12,0 | 16,1 | 20,4 | 12,3 | 16,3 | 20,2 | |
| 17,3 | 19,3 | 21,4 | 12,5 | 16,5 | 20,7 | 12,4 | 16,7 | 20,4 | |
| 19,4 | 21,1 | 23,5 | 14,9 | 18,9 | 22,4 | 14,2 | 18,0 | 21,8 | |
| 22,3 | 24,6 | 26,3 | 17,4 | 21,4 | 25,8 | 16,5 | 20,7 | 24,4 | |
| 23,5 | 25,6 | 27,0 | 18,2 | 22,3 | 26,1 | 17,2 | 21,6 | 25,7 | |
| 24,4 | 26,1 | 28,5 | 19,4 | 23,3 | 27,0 | 18,4 | 22,0 | 26,4 | |
| 26,4 | 28,5 | 31,1 | 20,3 | 24,5 | 28,6 | 19,3 | 23,5 | 27,3 | |
| 27,0 | 29,0 | 31,4 | 21,9 | 25,8 | 29,9 | 20,7 | 24,7 | 28,5 |
3. Nehmen Sie ein Blatt Millimeterpapier, markieren Sie die Koordinatenachsen darauf. Wählen Sie nach den Daten optimal Skalieren und zeichnen Sie die Schwerkraft gegen die Federlänge, indem Sie die Werte entlang der x-Achse und die Werte entlang der y-Achse darstellen.
4. Machen Sie 7 Punktepaare: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Berechnen Sie mit der Paired-Point-Methode die 7 Steigungsfaktoren mit der Formel
Usw.
5. Ermitteln Sie den Mittelwert , der dem Mittelwert des Elastizitätskoeffizienten der Feder entspricht.
6. Ermitteln Sie die Standardabweichung 
, Konfidenzintervall 
, (weil 7 Werte erhalten wurden). Präsentieren Sie das Ergebnis als
Zusätzliche Aufgabe (optional)
7. Berechnen Sie die Anfangslänge der Feder. Holen Sie sich dazu einen Ausdruck für den Koeffizienten aus der Gleichgewichtsgleichung und setzen Sie die Durchschnittswerte ein
8. Berechnen Sie das Konfidenzintervall für den Koeffizienten
9. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dessen die Anfangslänge der Feder und das Vertrauensintervall dafür
, 
Dynamische Methode
Hängen Sie das Gewicht der Masse an die feste vertikale Steifigkeitsfeder und drücken Sie sie leicht nach unten. Es beginnen harmonische Schwingungen, deren Periode (siehe , Seite 76) ist. Wir drücken die Masse der Last durch die Schwingungsdauer aus
