Eines der wirkungsvollsten Werkzeuge zum Studium von Problemen der mathematischen Physik ist die Methode der integralen Transformationen. Die Funktion f(x) sei auf dem endlichen oder unendlichen Intervall (a, 6) definiert. Die Integraltransformation der Funktion f(x) ist die Funktion, wobei K(x, w) eine für eine gegebene Transformation festgelegte Funktion ist, die als Transformationskern bezeichnet wird (es wird angenommen, dass das Integral (*) in seinem eigentlichen oder uneigentlichen Sinn existiert ). §ein. Fourier-Integral Jede Funktion f(x), die auf der Strecke [-f, I] die Bedingungen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe erfüllt, kann auf dieser Strecke durch eine trigonometrische Reihe dargestellt werden. Die Koeffizienten a* und 6n der Reihe (1 ) werden durch die Euler-Fourier-Formel bestimmt: Fourier-Transformation Fourier-Integral Komplexe Integralform Fourier-Transformation Cosinus- und Sinus-Transformationen Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften Die Reihen auf der rechten Seite von Gleichung (1) können in anderer Form geschrieben werden. Zu diesem Zweck führen wir aus den Formeln (2) die Werte der Koeffizienten a» und op ein, subsumieren die Integrale cos ^ x und sin x (was möglich ist, da die Integrationsvariable m) O ist) und verwenden die Formel für den Kosinus der Differenz. Wir haben Wenn die Funktion /(x) ursprünglich auf dem Intervall der numerischen Achse definiert wurde, das größer als das Intervall [-1,1] ist (z. B. auf der gesamten Achse), dann reproduziert Erweiterung (3) die Werte ​dieser Funktion nur auf dem Intervall [-1, 1] und weiter auf der gesamten reellen Achse als periodische Funktion mit einer Periode von 21 (Abb. 1). Wenn also die Funktion f(x) (allgemein gesprochen nicht periodisch) auf der gesamten reellen Achse definiert ist, kann man in Formel (3) versuchen, als I + oo an die Grenze zu gelangen. In diesem Fall ist es natürlich, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen: 1. f(x) erfüllt die Bedingungen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe auf jedem endlichen Abschnitt der Ox\-Achse 2. die Funktion f(x) ist absolut integrierbar auf der gesamten reellen Achse Wenn Bedingung 2 erfüllt ist, geht der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (3) gegen Null als I -* + oo. In der Tat, versuchen wir festzustellen, was die Summe auf der rechten Seite von (3) im Grenzwert als I + oo erreichen wird. Nehmen wir an, dass dann die Summe auf der rechten Seite von (3) die Form annehmen wird. Aufgrund der absoluten Konvergenz des Integrals unterscheidet sich diese Summe für große I wenig von einem Ausdruck, der der Integralsumme für die Funktion von ähnelt Variable £ für das Änderungsintervall (0, + oo) gebildet, daher ist zu erwarten, dass für , die Summe (5) in das Integral Ñ übergeht, für fest) folgt dagegen aus Formel (3 ), dass wir auch die Gleichheit erhalten. Die hinreichende Bedingung für die Gültigkeit von Formel (7) wird durch den folgenden Satz ausgedrückt. Satz 1. Wenn die Funktion f(x) auf der ganzen reellen Achse absolut integrierbar ist und zusammen mit ihrer Ableitung auf jeder Strecke [a, 6] eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen erster Art hat, dann der ten Art der Funktion /(x), der Wert des Integrals auf der rechten Seite von (7) gleich Formel (7) ist, wird Fourier-Integralformel genannt, und das Integral auf seiner rechten Seite wird Fourier-Integral genannt. Wenn wir die Formel für den Tag des Kosinus der Differenz verwenden, dann lässt sich Formel (7) schreiben als Die Funktionen a(t), b(t) sind Analoga der entsprechenden Fourier-Koeffizienten an und bn einer 2n-Periode Funktion, aber letztere sind für diskrete Werte von n definiert, während a(0 > HO) für kontinuierliche Werte von G(-oo, +oo) definiert sind. Die komplexe Form des Fourier-Integrals, offensichtlich eine ungerade Funktion von Aber andererseits ist das Integral eine gerade Funktion der Variablen, so dass die Fourier-Integralformel daher wie folgt geschrieben werden kann: Multiplizieren wir die Gleichheit mit der imaginären Einheit i und addieren zur Gleichheit (10). Dies ist die komplexe Form des Fourier-Integrals. Dabei wird die äußere Integration über t im Sinne des Cauchy-Hauptwerts verstanden: § 2. Fourier-Transformation Cosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen Seien die func Die Gerade f(x) ist auf jedem endlichen Segment der x-Achse stückweise glatt und auf der ganzen Achse absolut integrierbar. Definition. Die Funktion, aus der wir aufgrund der Euler-Formel kommen, heißt Fourier-Transformation der Funktion f(r) (Spektralfunktion). Dies ist die integrale Transformation der Funktion / (r) auf dem Intervall (-oo, + oo) mit einem Kernel. Unter Verwendung der Fourier-Integralformel erhalten wir Dies ist die sogenannte inverse Fourier-Transformation, die den Übergang von F ergibt (t) bis / (x). Manchmal wird die direkte Fourier-Transformation wie folgt angegeben: Dann wird die inverse Fourier-Transformation durch die Formel bestimmt. Die Fourier-Transformation der Funktion /(x) wird auch wie folgt definiert: FOURIER-TRANSFORMATION Fourier-Integral Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation Cosinus und Sinus der transformierten Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften Dann wiederum In diesem Fall ist die Position des Faktors ^ ziemlich willkürlich: Er kann entweder Formel (1") oder Formel (2") eingeben. Beispiel 1. Finden Sie die Fourier-Transformierte der Funktion -4 Wir haben Diese Gleichheit erlaubt die Differentiation nach £ unter dem Integralzeichen (das nach der Differentiation erhaltene Integral konvergiert gleichmäßig, wenn ( zu einem beliebigen endlichen Segment gehört): Partielle Integration, wir werden haben woher wir kommen (C ist die Integrationskonstante). Wenn wir in (4) £ = 0 setzen, finden wir С = F(0). Aufgrund von (3) haben wir Es ist bekannt, dass insbesondere denn) wir das erhalten Betrachten wir die Funktion 4. Für die Spektren oyu der Funktion F(t) erhalten wir daher (Abb. 2). Die Bedingung der absoluten Integrierbarkeit der Funktion f(x) auf der gesamten reellen Achse ist sehr streng. Sie schließt beispielsweise solche elementaren Funktionen wie f(x) = e1 aus, für die es die Fourier-Transformation (in der hier betrachteten klassischen Form) nicht gibt. Nur solche Funktionen haben eine Fourier-Transformation, die für |x| schnell genug gegen Null geht -+ +oo (wie in Beispiel 1 und 2). 2.1. Cosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen Unter Verwendung der Cosinus-Formel, der Differenz, schreiben wir die Fourier-Integralformel in die folgende Form um: Sei f(x) eine gerade Funktion. Dann, so dass wir aus Gleichung (5) haben Im Fall von ungeradem f(x) erhalten wir ähnlich Wenn f(x) nur auf (0, -foo) gegeben ist, dann erweitert Formel (6) f(x) auf die gesamte Ochsenachse gerade und Formel (7) - ungerade. (7) Definition. Die Funktion wird Kosinus-Fourier-Transformation der Funktion f(x) genannt. Aus (6) folgt für eine gerade Funktion f(x) Dies bedeutet, dass f(x) wiederum eine Kosinustransformation für Fc(t) ist. Mit anderen Worten, die Funktionen / und Fc sind wechselseitige Kosinustransformationen. Definition. Die Funktion wird Sinus-Fourier-Transformation der Funktion f(x) genannt. Aus (7) erhalten wir das für eine ungerade Funktion f(x), also f und Fs sind gegenseitige Sinustransformationen. Beispiel 3 (rechtwinkliger Impuls). Sei f(t) eine gerade Funktion, die wie folgt definiert ist: (Abb. 3). Lassen Sie uns das erhaltene Ergebnis verwenden, um das Integral zu berechnen. Aufgrund von Formel (9) haben wir Abb.3 0 0 Am Punkt t = 0 ist die Funktion f(t) stetig und gleich eins. Daher erhalten wir aus (12") 2.2. Amplituden- und Phasenspektren des Fourier-Integrals Sei f(x) eine periodische Funktion mit einer Periode von 2m und entfalte sie zu einer Fourier-Reihe. Diese Gleichheit kann geschrieben werden, wenn wir zu kommen Konzepte der Amplituden- und Phasenspektren einer periodischen Funktion Für eine auf (-oo, +oo) gegebene nichtperiodische Funktion f(x) erweist es sich unter bestimmten Bedingungen als möglich, sie durch das Fourier-Integral darzustellen, das entwickelt diese Funktion über alle Frequenzen (Entwicklung im kontinuierlichen Frequenzspektrum Definition Die Spektralfunktion oder die Spektraldichte des Fourier-Integrals ist ein Ausdruck (die direkte Fourier-Transformation der Funktion f heißt Amplitudenspektrum, und die Funktion Ф " ) \u003d -argSfc) ist das Phasenspektrum der Funktion / ("). Als Maß für den Beitrag der Frequenz t zur Funktion /(x) dient das Amplitudenspektrum A(t). Beispiel 4. Finden Sie die Amplituden- und Phasenspektren der Funktion 4 Finden Sie die Spektralfunktion Von hier aus Diagramme dieser Funktionen sind in Abb. 1 dargestellt. 4. §3. Fourier-Transformationseigenschaften 1. Linearität. Wenn und G(0) die Fourier-Transformierten der Funktionen f(x) bzw. g(x) sind, dann ist für jede Konstante a und p die Fourier-Transformierte der Funktion a f(x) + p g(x) die Funktion a Unter Verwendung der Linearitätseigenschaft des Integrals haben wir Also ist die Fourier-Transformation ein linearer Operator, und wir werden schreiben, wenn F(t) die Fourier-Transformation einer Funktion f(x) ist, die absolut über die ganze reelle Zahl integrierbar ist Achse, dann ist F(t) für alle beschränkt. Die Funktion f(x) sei auf der ganzen Achse absolut integrierbar - die Fourier-Transformierte der Funktion f (x). Dann 3 "flts J. Sei f (x). eine Funktion, deren Toleranz die Fourier-Transformation ist, L ist die Anzahl der Eigenschaften.Die Funktion fh (x) \u003d f (z-h) wird als Verschiebung des Fundiums f(x) bezeichnet.Unter Verwendung der Definition der Fourier-Transformation , zeige dieses Problem. Eine Funktion f(z) habe eine Fourier-Transformation F(0> h ist eine reelle Zahl). (x), die ebenfalls auf der gesamten Achse absolut integrierbar ist Oh, also tendiert /(n) gegen Null als |x| -» +oo. Unter der Annahme, dass f "(x) eine glatte Funktion ist, schreiben wir partielles Integrieren, wir haben den Term außerhalb des Integrals verschwunden (da, und wir erhalten also, die Differentiation der Funktion / (x) entspricht der Multiplikation ihrer Fourier image ^ P /] um den Faktor Wenn die Funktion f (x) glatte, absolut integrierbare Ableitungen bis zur Ordnung m einschließlich hat, und alle von ihnen, wie die Funktion f (x) selbst, gegen Null gehen, und dann partiell integrieren die erforderliche Anzahl von Malen erhalten wir die Fourier-Transformation ist gerade deshalb sehr nützlich, weil sie die Operation der Differentiation durch die Operation der Multiplikation mit einem Wert ersetzt und dadurch das Problem der Integration bestimmter Arten von Differentialgleichungen vereinfacht. Da die Fourier-Transformation einer absolut integrierbare Funktion f^k\x) ist eine beschränkte Funktion von (Eigenschaft 2), aus Beziehung (2) erhalten wir folgende Abschätzung für : Fourier-Transformation Fourier-Integral Komplexe Integralform Fourier-Transformation Cosinus- und Sinus-Transformationen Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften Von diese Auswertung mit folgt: Je mehr die Funktion f(x) absolut integrierbare Ableitungen hat, desto schneller strebt ihre Fourier-Transformation gegen Null. Kommentar. Die Bedingung ist ganz natürlich, denn die übliche Theorie der Fourier-Integrale befasst sich mit Prozessen, die in der einen oder anderen Bedeutung einen Anfang und ein Ende haben, sich aber nicht unendlich mit annähernd gleicher Intensität fortsetzen. 4. Zusammenhang zwischen der Zerfallsrate der Funktion f(x) für |z| -» -fo oo und die Glätte seiner Fourm-Transformation. Nehmen wir an, dass nicht nur /(x), sondern auch sein Produkt xf(x) eine absolut integrierbare Funktion auf der gesamten x-Achse ist. Dann ist die Fourier-Transformation eine differenzierbare Funktion. Formales Differenzieren nach dem Parameter £ des Integranden führt nämlich zu einem absolut gleichmäßig konvergenten Integral gegenüber dem Parameter. Wenn zusammen mit der Funktion f(x) Funktionen auf der gesamten Ox-Achse absolut integrierbar sind, dann kann der Vorgang des Differenzierens fortgesetzt werden. Wir erhalten, dass die Funktion Ableitungen bis einschließlich der Ordnung m hat, und Je schneller die Funktion f(x) abnimmt, desto glatter wird die Funktion.Theorem 2 (über den Bohrer). Seien die Fourier-Transformierten der Funktionen /,(x) bzw. f2(x). Dann konvergiert das Doppelintegral auf der rechten Seite absolut. Nehmen wir x. Dann haben wir oder, die Integrationsreihenfolge ändernd, Die Funktion heißt Faltung der Funktionen und wird mit dem Symbol bezeichnet. Formel (1) kann nun wie folgt geschrieben werden: Daraus ist ersichtlich, dass die Fourier-Transformation der Faltung der Funktionen f\(x) und f2(x) ist gleich multipliziert mit y/2x dem Produkt der Fouriertransformierten faltbarer Funktionen, Bemerkung. Es ist leicht, die folgenden Eigenschaften der Faltung festzustellen: 1) Linearität: 2) Kommutativität: §4. Anwendungen der Fourier-Transformation 1. Sei Р(^) ein linearer Differentialoperator der Ordnung m mit konstanten Koeffizienten, y(x) hat eine Fourier-Transformation y (O. und die Funktion f(x) hat eine Transformation /(t) Wendet man die Fourier-Transformation auf Gleichung (1) an, erhält man statt dessen eine differenzielle algebraische Gleichung auf der Achse in Bezug auf woher, so dass formal wobei das Symbol die inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Die Haupteinschränkung der Anwendbarkeit dieses Verfahrens hängt mit dem Folgenden zusammen Tatsache: Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten enthält Funktionen der Form< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Ich glaube, dass sich jeder im Allgemeinen der Existenz eines so wunderbaren mathematischen Werkzeugs wie der Fourier-Transformation bewusst ist. An Universitäten wird es jedoch aus irgendeinem Grund so schlecht gelehrt, dass relativ wenige Menschen verstehen, wie diese Transformation funktioniert und wie sie richtig verwendet werden sollte. Inzwischen ist die Mathematik dieser Transformation überraschend schön, einfach und elegant. Ich lade alle ein, etwas mehr über die Fourier-Transformation und das damit verbundene Thema zu erfahren, wie analoge Signale für die rechnerische Verarbeitung effektiv in digitale umgewandelt werden können.

Ohne komplexe Formeln und Matlab zu verwenden, werde ich versuchen, die folgenden Fragen zu beantworten:

• FT, DTF, DTFT – was sind die Unterschiede und wie kommen scheinbar völlig unterschiedliche Formeln zu solch konzeptionell ähnlichen Ergebnissen?
• So interpretieren Sie die Ergebnisse der schnellen Fourier-Transformation (FFT) richtig
• Was ist zu tun, wenn ein Signal von 179 Samples gegeben ist und die FFT eine Sequenz der Länge gleich der Zweierpotenz als Eingabe benötigt
• Wenn Sie versuchen, das Spektrum einer Sinuskurve mit Fourier zu erhalten, erscheint anstelle des erwarteten einzelnen „Sticks“ ein seltsames Kringeln auf dem Diagramm und was kann dagegen getan werden
• Warum analoge Filter vor dem ADC und nach dem DAC platziert werden
• Ist es möglich, ein ADC-Signal mit einer Frequenz zu digitalisieren, die höher als die halbe Abtastrate ist (die Schulantwort ist falsch, die richtige Antwort ist möglich)
• Wie die digitale Sequenz das Originalsignal wiederherstellt

Ich gehe davon aus, dass der Leser versteht, was ein Integral ist, eine komplexe Zahl (sowie ihr Modul und Argument), die Faltung von Funktionen und sich zumindest „an den Fingern“ vorstellt, was die Dirac-Delta-Funktion ist. Weiß nicht - es spielt keine Rolle, lesen Sie die obigen Links. Mit „Produkt von Funktionen“ meine ich in diesem Text immer „punktweise Multiplikation“

Wir sollten wahrscheinlich mit der Tatsache beginnen, dass die übliche Fourier-Transformation etwas ist, das, wie Sie dem Namen entnehmen können, eine Funktion in eine andere transformiert, dh jeder Funktion einer reellen Variablen x (t) ihr Spektrum zuweist oder Fourierbild y (w):

Wenn wir Analogien angeben, dann kann ein Beispiel für eine bedeutungsähnliche Transformation beispielsweise die Differentiation sein, die eine Funktion in ihre Ableitung verwandelt. Das heißt, die Fourier-Transformation ist tatsächlich dieselbe Operation wie das Bilden der Ableitung, und sie wird oft auf ähnliche Weise bezeichnet, indem eine dreieckige „Kappe“ über die Funktion gezogen wird. Nur anders als die Differentiation, die auch für reelle Zahlen definiert werden kann, „funktioniert“ die Fourier-Transformation immer mit allgemeineren komplexen Zahlen. Dadurch ergeben sich immer wieder Probleme bei der Darstellung der Ergebnisse dieser Transformation, da komplexe Zahlen nicht durch eine, sondern durch zwei Koordinaten auf einem mit reellen Zahlen arbeitenden Graphen bestimmt werden. Am bequemsten ist es in der Regel, komplexe Zahlen in Form eines Moduls und eines Arguments darzustellen und sie separat als zwei separate Graphen zu zeichnen:

Der Graph des Arguments eines komplexen Werts wird in diesem Fall oft als "Phasenspektrum" bezeichnet, und der Graph des Betrags wird oft als "Amplitudenspektrum" bezeichnet. Das Amplitudenspektrum ist in der Regel von viel größerem Interesse, weshalb der „Phasen“-Teil des Spektrums oft übersprungen wird. In diesem Artikel werden wir uns auch auf „Amplituden“-Dinge konzentrieren, aber wir sollten nicht die Existenz des fehlenden Phasenteils des Diagramms vergessen. Außerdem wird statt des üblichen Moduls eines komplexen Werts oft dessen Logarithmus multipliziert mit 10 gezeichnet.Das Ergebnis ist ein logarithmischer Plot, dessen Werte in Dezibel (dB) angezeigt werden.

Bitte beachten Sie, dass nicht sehr stark negative Zahlen der logarithmischen Kurve (-20 dB oder weniger) in diesem Fall fast null Zahlen auf der „normalen“ Kurve entsprechen. Daher verschwinden lange und breite „Schwänze“ verschiedener Spektren auf solchen Graphen, wenn sie in „gewöhnlichen“ Koordinaten angezeigt werden, in der Regel praktisch. Die Bequemlichkeit einer solch scheinbar seltsamen Darstellung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Fourier-Transformationen verschiedener Funktionen oft miteinander multipliziert werden müssen. Bei einer solchen punktweisen Multiplikation komplexwertiger Fourierbilder werden deren Phasenspektren addiert und deren Amplitudenspektren multipliziert. Das erste ist einfach zu machen, während das zweite relativ schwierig ist. Allerdings werden bei der Multiplikation der Amplituden die Logarithmen der Amplituden addiert, sodass die logarithmischen Amplitudenverläufe ebenso wie die Phasenverläufe einfach Punkt für Punkt addiert werden können. Außerdem ist es bei praktischen Problemen oft bequemer, nicht mit der "Amplitude" des Signals zu operieren, sondern mit seiner "Leistung" (dem Quadrat der Amplitude). Auf der logarithmischen Skala sehen beide Graphen (sowohl Amplitude als auch Leistung) identisch aus und unterscheiden sich nur im Koeffizienten – alle Werte auf der Leistungskurve sind genau doppelt so groß wie auf der Amplitudenskala. Um die Leistungsverteilung nach Frequenz (in Dezibel) darzustellen, können Sie dementsprechend nichts quadrieren, sondern den Dezimallogarithmus berechnen und mit 20 multiplizieren.

Bist du gelangweilt? Warten Sie noch ein wenig, wir werden bald mit dem langweiligen Teil des Artikels fertig sein, in dem erklärt wird, wie man Diagramme interpretiert :). Aber vorher ist es sehr wichtig zu verstehen, dass, obwohl alle obigen Spektraldiagramme für einige begrenzte Wertebereiche (insbesondere positive Zahlen) gezeichnet wurden, alle diese Diagramme tatsächlich in plus und minus unendlich fortgesetzt werden. Diagramme zeigen einfach einen „aussagekräftigsten“ Teil des Diagramms, der normalerweise für negative Werte des Parameters gespiegelt wird und sich bei Betrachtung in einem größeren Maßstab häufig periodisch mit einigen Schritten wiederholt.

Nachdem wir entschieden haben, was in den Graphen gezeichnet wird, kehren wir zur Fourier-Transformation selbst und ihren Eigenschaften zurück. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Transformation zu definieren, die sich in kleinen Details (unterschiedliche Normalisierungen) unterscheiden. Zum Beispiel verwenden sie an unseren Universitäten aus irgendeinem Grund oft die Normalisierung der Fourier-Transformation, die das Spektrum in Bezug auf die Winkelfrequenz (Radiant pro Sekunde) bestimmt. Ich werde eine bequemere westliche Formulierung verwenden, die das Spektrum in Bezug auf die übliche Frequenz (Hertz) definiert. Die direkten und inversen Fourier-Transformationen werden in diesem Fall durch die Formeln auf der linken Seite definiert, und einige der Eigenschaften dieser Transformation, die wir benötigen, sind eine Liste mit sieben Elementen auf der rechten Seite:

Die erste dieser Eigenschaften ist die Linearität. Wenn wir eine lineare Kombination von Funktionen nehmen, dann ist die Fourier-Transformation dieser Kombination die gleiche lineare Kombination der Fourier-Bilder dieser Funktionen. Diese Eigenschaft ermöglicht es, komplexe Funktionen und ihre Fourier-Transformationen auf einfachere zu reduzieren. Beispielsweise ist die Fourier-Transformation einer Sinusfunktion mit der Frequenz f und der Amplitude a eine Kombination aus zwei Delta-Funktionen, die sich an den Punkten f und -f befinden und den Koeffizienten a/2 haben:

Wenn wir eine Funktion nehmen, die aus der Summe einer Reihe von Sinuskurven mit unterschiedlichen Frequenzen besteht, dann besteht die Fourier-Transformation dieser Funktion gemäß der Linearitätseigenschaft aus der entsprechenden Menge von Delta-Funktionen. Dies ermöglicht uns eine naive, aber visuelle Interpretation des Spektrums nach dem Prinzip „Wenn im Spektrum einer Funktion die Frequenz f der Amplitude a entspricht, dann kann die ursprüngliche Funktion als Summe von Sinuskurven dargestellt werden, von denen eine wird sei eine Sinuskurve mit der Frequenz f und der Amplitude 2a“. Genau genommen ist diese Interpretation falsch, da die Delta-Funktion und der Punkt auf dem Graphen völlig verschiedene Dinge sind, aber wie wir weiter sehen werden, wird es für diskrete Fourier-Transformationen nicht so weit von der Wahrheit entfernt sein.

Die zweite Eigenschaft der Fourier-Transformation ist die Unabhängigkeit des Amplitudenspektrums von der zeitlichen Verschiebung des Signals. Wenn wir die Funktion entlang der x-Achse nach links oder rechts verschieben, ändert sich nur ihr Phasenspektrum.

Die dritte Eigenschaft – das Dehnen (Komprimieren) der ursprünglichen Funktion entlang der Zeitachse (x) komprimiert (dehnt) proportional ihre Fourier-Transformation entlang der Frequenzskala (w). Insbesondere ist das Spektrum eines Signals endlicher Dauer immer unendlich breit, und umgekehrt entspricht das Spektrum endlicher Breite immer einem Signal unbegrenzter Dauer.

Die vierte und fünfte Eigenschaft sind vielleicht die nützlichsten von allen. Sie ermöglichen es, die Faltung von Funktionen auf die punktweise Multiplikation ihrer Fourier-Transformierten und umgekehrt die punktweise Multiplikation von Funktionen auf die Faltung ihrer Fourier-Transformierten zu reduzieren. Ein wenig weiter werde ich zeigen, wie bequem es ist.

Die sechste Eigenschaft spricht über die Symmetrie der Fourier-Bilder. Insbesondere folgt aus dieser Eigenschaft, dass bei der Fourier-Transformation einer reellwertigen Funktion (d. h. jedes „echten“ Signals) das Amplitudenspektrum immer eine gerade Funktion ist und das Phasenspektrum (reduziert auf den Bereich -pi.. .pi) ist ungerade . Aus diesem Grund wird der negative Teil des Spektrums fast nie in den Spektrumgraphen gezeichnet - für reellwertige Signale liefert er keine neuen Informationen (aber ich wiederhole, er ist auch nicht Null).

Schließlich besagt die letzte, siebte Eigenschaft, dass die Fourier-Transformation die „Energie“ des Signals bewahrt. Es macht nur Sinn für Signale endlicher Dauer, deren Energie endlich ist, und besagt, dass das Spektrum solcher Signale im Unendlichen schnell gegen Null geht. Gerade wegen dieser Eigenschaft wird in der Regel nur der „Hauptteil“ des Signals auf den Spektrumsgraphen dargestellt, der den Löwenanteil an Energie trägt – der Rest des Graphen tendiert einfach gegen Null (aber noch einmal , es ist nicht null).

Bewaffnet mit diesen 7 Eigenschaften, werfen wir einen Blick auf die Mathematik der „Digitalisierung“ eines Signals, um ein kontinuierliches Signal in eine Folge von Ziffern zu übersetzen. Dazu benötigen wir eine Funktion, die als „Dirac-Kamm“ bekannt ist:

Ein Dirac-Kamm ist einfach eine periodische Folge von Einheits-Delta-Funktionen, die bei Null beginnt und mit Schritt T fortfährt. Um Signale zu digitalisieren, wird T so klein wie möglich gewählt, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Anstelle einer kontinuierlichen Funktion wird nach einer solchen Multiplikation eine Folge von Deltaimpulsen einer bestimmten Höhe erhalten. In diesem Fall ist gemäß Eigenschaft 5 der Fourier-Transformation das Spektrum des resultierenden diskreten Signals die Faltung des ursprünglichen Spektrums mit dem entsprechenden Dirac-Kamm. Es ist leicht zu verstehen, dass aufgrund der Faltungseigenschaften das Spektrum des Originalsignals entlang der Frequenzachse quasi unendlich oft mit einem Schritt von 1/T „kopiert“ und dann aufsummiert wird .

Beachten Sie, dass, wenn das ursprüngliche Spektrum eine endliche Breite hatte und wir eine ausreichend hohe Abtastrate verwendet haben, sich die Kopien des ursprünglichen Spektrums nicht überlappen und daher nicht miteinander addiert werden. Es ist leicht zu verstehen, dass es einfach ist, das ursprüngliche Spektrum aus einem solchen „gefalteten“ Spektrum wiederherzustellen - es reicht aus, nur die Komponente des Spektrums im Bereich von Null zu nehmen und die zusätzlichen Kopien abzuschneiden zur Unendlichkeit. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, das Spektrum mit einer Rechteckfunktion zu multiplizieren, die gleich T im Bereich -1/2T...1/2T und Null außerhalb dieses Bereichs ist. Eine ähnliche Fourier-Transformation entspricht der Funktion sinc(Tx) und gemäß Eigenschaft 4 entspricht eine solche Multiplikation der Faltung der ursprünglichen Folge von Deltafunktionen mit der Funktion sinc(Tx)

Das heißt, mit der Fourier-Transformation haben wir eine Möglichkeit, das ursprüngliche Signal aus einem zeitgesampelten Signal einfach wiederherzustellen, was funktioniert, vorausgesetzt, wir verwenden eine Abtastfrequenz, die mindestens doppelt so hoch ist (aufgrund des Vorhandenseins negativer Frequenzen im Spektrum). ) die im Originalsignal vorhandene maximale Frequenz. Dieses Ergebnis ist allgemein bekannt und wird als Satz von Kotelnikov / Shannon-Nyquist bezeichnet. Wie jedoch jetzt (nach dem Verständnis des Beweises) leicht zu sehen ist, ist dieses Ergebnis entgegen einem weit verbreiteten Irrglauben ausschlaggebend reicht aus, aber nicht notwendig Bedingung für die Wiederherstellung des ursprünglichen Signals. Alles, was wir brauchen, ist sicherzustellen, dass der für uns interessante Teil des Spektrums nach dem Abtasten des Signals sich nicht gegenseitig überlappt und ob das Signal ausreichend schmalbandig ist (eine kleine „Breite“ des von Null verschiedenen Teils hat Spektrum), dann kann dieses Ergebnis oft sogar mit einer Abtastrate erreicht werden, die viel niedriger als die doppelte maximale Signalfrequenz ist. Diese Technik wird als „Undersampling“ (Unterabtastung, Bandpass-Abtastung) bezeichnet und ist bei der Verarbeitung aller Arten von Funksignalen weit verbreitet. Nehmen wir zum Beispiel ein UKW-Radio, das im Frequenzband von 88 bis 108 MHz arbeitet, dann kann ein ADC mit einer Frequenz von nur 43,5 MHz verwendet werden, um es zu digitalisieren, anstatt der vom Kotelnikov-Theorem angenommenen 216 MHz. In diesem Fall benötigen Sie jedoch einen hochwertigen ADC und einen guten Filter.

Ich stelle fest, dass die „Verdopplung“ hoher Frequenzen durch Frequenzen niedrigerer Ordnung (Aliasing) eine direkte Eigenschaft der Signalabtastung ist und das Ergebnis irreversibel „verdirbt“. Wenn also grundsätzlich höherwertige Frequenzen im Signal vorhanden sein können (also fast immer), wird dem ADC ein analoges Filter vorgeschaltet, das direkt im Originalsignal alles Überflüssige „abschneidet“ (da es so sein wird zu spät sein, um dies nach der Probenahme zu tun). Die Eigenschaften dieser Filter als analoge Geräte sind nicht ideal, so dass immer noch ein gewisser „Schaden“ des Signals auftritt, und in der Praxis folgt daraus, dass die höchsten Frequenzen im Spektrum normalerweise unzuverlässig sind. Um dieses Problem zu mindern, ist es nicht ungewöhnlich, das Signal mit einer überabgetasteten Rate abzutasten, während der analoge Eingangsfilter auf eine niedrigere Bandbreite eingestellt wird und nur der untere Teil des theoretisch verfügbaren Frequenzbereichs des ADC verwendet wird.

Ein weiterer häufiger Irrtum ist übrigens, wenn das Signal am Ausgang des DAC in „Schritten“ gezeichnet wird. „Schritte“ entsprechen der Faltung einer abgetasteten Signalfolge mit einer Rechteckfunktion der Breite T und Höhe 1:

Bei einer solchen Transformation wird das Signalspektrum mit der Fourier-Transformierten dieser Rechteckfunktion multipliziert und für eine ähnliche Rechteckfunktion wieder sinc(w), je stärker „gedehnt“, je kleiner die Breite des entsprechenden Rechtecks ​​ist. Das Spektrum des abgetasteten Signals mit einem ähnlichen "DAC" wird punktweise mit diesem Spektrum multipliziert. In diesem Fall werden unnötige hohe Frequenzen mit „zusätzlichen Kopien“ des Spektrums nicht vollständig abgeschnitten, und der obere Teil des „nützlichen“ Teils des Spektrums wird im Gegenteil geschwächt.

In der Praxis macht das natürlich niemand. Es gibt viele verschiedene Ansätze zum Aufbau eines DAC, aber selbst bei den ähnlichsten Wichtungstyp-DACs werden im Gegensatz dazu Rechteckimpulse im DAC so kurz wie möglich gewählt (annähernd an eine echte Folge von Deltafunktionen), um eine unnötige Unterdrückung zu vermeiden des nützlichen Teils des Spektrums. „Überschüssige“ Frequenzen im resultierenden Breitbandsignal werden fast immer gedämpft, indem das Signal durch ein analoges Tiefpassfilter geleitet wird, so dass weder „innerhalb“ des Wandlers noch „an seinem Ausgang“ „digitale Stufen“ vorhanden sind.

Gehen wir jedoch zurück zur Fourier-Transformation. Die oben beschriebene Fourier-Transformation, die auf eine vorab abgetastete Sequenz von Signalen angewendet wird, wird als zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) bezeichnet. Das durch eine solche Transformation erhaltene Spektrum ist immer 1/T-periodisch, daher ist das DTFT-Spektrum vollständig durch seine Werte auf dem Segment bestimmt.)