Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Probleme umfassen zum Beispiel lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische reduzieren. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, welche Art von Aufgabe gelöst wird, und sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, die Fähigkeiten zu haben, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Es ist manchmal schwierig, seinen Typ durch das Auftreten einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

Prüfen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Entscheidung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Entscheidung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Entscheidung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Entscheidung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung unter Verwendung aller Arten von trigonometrischen Formeln in eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst werden kann.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Entscheidung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

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Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Die Lösung trigonometrischer Gleichungen jeder Komplexitätsstufe läuft letztendlich auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen hinaus. Und dabei erweist sich der trigonometrische Kreis wieder als der beste Helfer.

Erinnere dich an die Definitionen von Cosinus und Sinus.

Der Kosinus eines Winkels ist die Abszisse (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen gegebenen Winkel entspricht.

Der Sinus eines Winkels ist die Ordinate (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen bestimmten Winkel entspricht.

Die positive Bewegungsrichtung entlang des trigonometrischen Kreises wird als Bewegung gegen den Uhrzeigersinn betrachtet. Eine Drehung um 0 Grad (oder 0 Bogenmaß) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten (1; 0)

Wir verwenden diese Definitionen, um die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

1. Lösen Sie die Gleichung

Diese Gleichung wird von allen solchen Werten des Drehwinkels erfüllt, die den Punkten des Kreises entsprechen, dessen Ordinate gleich ist.

Markieren wir einen Punkt mit Ordinate auf der y-Achse:

Zeichnen Sie eine horizontale Linie parallel zur x-Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf einem Kreis liegen und eine Ordinate haben. Diese Punkte entsprechen Rotationswinkeln von und Radianten:

Wenn wir, nachdem wir den dem Rotationswinkel pro Radiant entsprechenden Punkt verlassen haben, einen vollen Kreis umrunden, kommen wir zu einem Punkt, der dem Rotationswinkel pro Radiant entspricht und dieselbe Ordinate hat. Das heißt, dieser Drehwinkel erfüllt auch unsere Gleichung. Wir können so viele "leere" Kurven fahren, wie wir möchten, und zum selben Punkt zurückkehren, und alle diese Winkelwerte werden unsere Gleichung erfüllen. Die Anzahl der "Leerlauf"-Umdrehungen wird mit dem Buchstaben (oder) bezeichnet. Da wir diese Umdrehungen sowohl in positiver als auch in negativer Richtung ausführen können, kann (oder ) beliebige ganzzahlige Werte annehmen.

Das heißt, die erste Reihe von Lösungen der ursprünglichen Gleichung hat die Form:

, , - Menge von ganzen Zahlen (1)

In ähnlicher Weise hat die zweite Reihe von Lösungen die Form:

, wo , . (2)

Wie Sie erraten haben, basiert diese Reihe von Lösungen auf dem Punkt des Kreises, der dem Drehwinkel von entspricht.

Diese beiden Lösungsreihen können in einem Eintrag kombiniert werden:

Wenn wir diesen Eintrag (also gerade) aufnehmen, erhalten wir die erste Reihe von Lösungen.

Wenn wir diesen Eintrag (also ungerade) aufnehmen, erhalten wir die zweite Reihe von Lösungen.

2. Lassen Sie uns nun die Gleichung lösen

Da die Abszisse des durch Drehen um den Winkel erhaltenen Punktes des Einheitskreises ist, markieren wir auf der Achse einen Punkt mit der Abszisse:

Zeichnen Sie eine vertikale Linie parallel zur Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf einem Kreis liegen und eine Abszisse haben. Diese Punkte entsprechen Rotationswinkeln von und Radiant. Denken Sie daran, dass wir bei einer Bewegung im Uhrzeigersinn einen negativen Drehwinkel erhalten:

Wir schreiben zwei Reihen von Lösungen auf:

,

,

(Wir kommen zum richtigen Punkt, indem wir vom Hauptkreis ausgehen, das heißt.

Lassen Sie uns diese beiden Serien zu einem Beitrag kombinieren:

3. Lösen Sie die Gleichung

Die Tangentenlinie verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten (1,0) des Einheitskreises parallel zur OY-Achse

Markieren Sie darauf einen Punkt mit einer Ordinate gleich 1 (wir suchen nach der Tangente, deren Winkel 1 sind):

Verbinden Sie diesen Punkt mit einer Geraden mit dem Ursprung und markieren Sie die Schnittpunkte der Geraden mit dem Einheitskreis. Die Schnittpunkte der Geraden und des Kreises entsprechen den Drehwinkeln an und :

Da die Punkte, die den Rotationswinkeln entsprechen, die unsere Gleichung erfüllen, im Bogenmaß voneinander entfernt liegen, können wir die Lösung wie folgt schreiben:

4. Lösen Sie die Gleichung

Die Kotangenslinie verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten des Einheitskreises parallel zur Achse.

Wir markieren einen Punkt mit der Abszisse -1 auf dem Kotangensstrahl:

Verbinden Sie diesen Punkt mit dem Ursprung der Geraden und setzen Sie ihn fort, bis er sich mit dem Kreis schneidet. Diese Linie schneidet den Kreis an Punkten, die den Rotationswinkeln und Radianten entsprechen:

Da diese Punkte durch einen Abstand gleich voneinander getrennt sind, können wir die allgemeine Lösung dieser Gleichung wie folgt schreiben:

In den angegebenen Beispielen, die die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen veranschaulichen, wurden tabellarische Werte trigonometrischer Funktionen verwendet.

Wenn sich jedoch auf der rechten Seite der Gleichung ein nicht tabellarischer Wert befindet, ersetzen wir den Wert in der allgemeinen Lösung der Gleichung:

SONDERLÖSUNGEN:

Markieren Sie Punkte auf dem Kreis, dessen Ordinate 0 ist:

Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate gleich 1 ist:

Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate gleich -1 ist:

Da es üblich ist, die Werte anzugeben, die am nächsten bei Null liegen, schreiben wir die Lösung wie folgt:

Markieren Sie die Punkte auf dem Kreis, dessen Abszisse 0 ist:

5.
Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich 1 ist:

Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich -1 ist:

Und einige komplexere Beispiele:

1.

Der Sinus ist eins, wenn das Argument ist

Das Argument unseres Sinus ist , also erhalten wir:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3:

Antworten:

2.

Der Kosinus ist Null, wenn das Kosinus-Argument Null ist

Das Argument unseres Kosinus ist , also erhalten wir:

Wir drücken aus, dazu gehen wir zunächst mit umgekehrtem Vorzeichen nach rechts:

Vereinfachen Sie die rechte Seite:

Teilen Sie beide Teile durch -2:

Beachten Sie, dass sich das Vorzeichen vor dem Term nicht ändert, da k beliebige ganzzahlige Werte annehmen kann.

Antworten:

Sehen Sie sich abschließend das Video-Tutorial „Auswahl von Wurzeln in einer trigonometrischen Gleichung mithilfe eines trigonometrischen Kreises“ an.

Damit ist das Gespräch über das Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen abgeschlossen. Beim nächsten Mal sprechen wir darüber, wie man es löst.

Unterricht und Präsentation zum Thema: "Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen"

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Was werden wir studieren:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Betrachten wir nun allgemeine trigonometrische Gleichungen.

Trigonometrische Gleichungen - Gleichungen, in denen die Variable unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wir wiederholen die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: Т(kx+m)=a, T- eine beliebige trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Gleichungen lösen: a) sin(3x)= √3/2

Entscheidung:

A) Lassen Sie uns 3x=t bezeichnen, dann werden wir unsere Gleichung in der Form umschreiben:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kommen wir zurück zu unserer Variablen: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n - minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Entscheidung:

A) Dieses Mal gehen wir direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung über:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Das wissen wir: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Gleichungen lösen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment .

Entscheidung:

Lösen wir unsere Gleichung in allgemeiner Form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Mal sehen, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Für k Für k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment .
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen sie wieder.
Für k=2 ist x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir auch für große k nicht treffen werden.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben die einfachsten trigonometrischen Gleichungen betrachtet, aber es gibt komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Entscheidung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen, bezeichnet als: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir haben die einfachste trigonometrische Gleichung, lasst uns ihre Wurzeln finden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Entscheidung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung lautet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Führen wir die Ersetzung t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

weil Cosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Eine Gleichung der Form a sin(x)+b cos(x) heißen homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, teilen wir sie durch cos(x): Es ist unmöglich, durch Kosinus zu dividieren, wenn es gleich Null ist, stellen wir sicher, dass dies nicht so ist:
Sei cos(x)=0, dann asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir haben einen Widerspruch, also können wir sicher dividieren um null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Entscheidung:

Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 für x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0 Dividieren Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, haltet euch immer an diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a gleich ist, wenn a \u003d 0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) an, ein Beispiel für die Lösung davon ist oben gleiten

2. Wenn a≠0, müssen Sie beide Teile der Gleichung durch den quadrierten Kosinus dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel #:3

Löse die Gleichung:
Entscheidung:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Lösen Sie Beispiel #:4

Löse die Gleichung:

Entscheidung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Lösen Sie Beispiel #:5

Löse die Gleichung:

Entscheidung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir führen die Ersetzung tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Gleichungen lösen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Das Konzept der Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, konvertieren Sie sie in eine oder mehrere trigonometrische Grundgleichungen. Das Lösen der trigonometrischen Gleichung läuft letztlich darauf hinaus, die vier grundlegenden trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Lösung grundlegender trigonometrischer Gleichungen.

• Es gibt 4 Arten von grundlegenden trigonometrischen Gleichungen:
• Sünde x = a; cos x = a
• tan x = a; ctgx = a
• Das Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen beinhaltet das Betrachten der verschiedenen x-Positionen auf dem Einheitskreis sowie die Verwendung einer Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners).
• Beispiel 1. sin x = 0,866. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: 2π/3. Denken Sie daran: Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, dh ihre Werte werden wiederholt. Beispielsweise beträgt die Periodizität von sin x und cos x 2πn, und die Periodizität von tg x und ctg x beträgt πn. Die Antwort ist also so geschrieben:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Beispiel 2 cos x = -1/2. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = 2π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Beispiel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Antwort: x \u003d π / 4 + πn.
• Beispiel 4. ctg 2x = 1,732.
• Antwort: x \u003d π / 12 + πn.

Transformationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Zur Transformation trigonometrischer Gleichungen werden algebraische Transformationen (Faktorisierung, Reduktion homogener Terme etc.) und trigonometrische Identitäten verwendet.
• Beispiel 5. Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Gleichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 in die Gleichung 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 umgewandelt. Somit ergeben sich die folgenden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen müssen gelöst werden: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Winkel aus bekannten Werten von Funktionen finden.

  • Bevor Sie lernen, wie man trigonometrische Gleichungen löst, müssen Sie lernen, wie man Winkel aus bekannten Werten von Funktionen findet. Dies kann mit einer Umrechnungstabelle oder einem Taschenrechner erfolgen.
  • Beispiel: cos x = 0,732. Der Taschenrechner gibt die Antwort x = 42,95 Grad. Der Einheitskreis ergibt zusätzliche Winkel, deren Kosinus ebenfalls 0,732 beträgt.

• Lege die Lösung auf dem Einheitskreis beiseite.

  • Sie können Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis platzieren. Die Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/3 + πn/2 auf dem Einheitskreis sind die Ecken des Quadrats.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/4 + πn/3 auf dem Einheitskreis sind die Ecken eines regelmäßigen Sechsecks.

• Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

  • Wenn die gegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie diese Gleichung als trigonometrische Grundgleichung. Wenn eine gegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, gibt es zwei Methoden zum Lösen einer solchen Gleichung (abhängig von der Möglichkeit ihrer Transformation).
    • Methode 1
  • Transformieren Sie diese Gleichung in eine Gleichung der Form: f(x)*g(x)*h(x) = 0, wobei f(x), g(x), h(x) die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen sind.
  • Beispiel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Entscheidung. Verwenden Sie die Doppelwinkelformel sin 2x = 2*sin x*cos x und ersetzen Sie sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Löse nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
  • Beispiel 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformiere diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Löse nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
  • Beispiel 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0.
    • Methode 2
  • Wandeln Sie die gegebene trigonometrische Gleichung in eine Gleichung um, die nur eine trigonometrische Funktion enthält. Ersetzen Sie dann diese trigonometrische Funktion durch eine Unbekannte, zum Beispiel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t usw.).
  • Beispiel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Entscheidung. Ersetzen Sie in dieser Gleichung (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) (entsprechend der Identität). Die transformierte Gleichung sieht so aus:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetze sin x durch t. Jetzt sieht die Gleichung so aus: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit zwei Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Die zweite Wurzel t2 erfüllt nicht den Wertebereich der Funktion (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Beispiel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Entscheidung. Ersetze tg x durch t. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finden Sie nun t und dann x für t = tg x.