Lokaler Satz von Moivre-Laplace. 0 und 1, dann die Wahrscheinlichkeit P t p dafür, dass das Ereignis A in n unabhängigen Versuchen für eine hinreichend große Zahl n m-mal eintritt, ist ungefähr gleich

- Gaußsche Funktion und

Je größer und, desto genauer wird die Näherungsformel (2.7), genannt nach der lokalen Moivre-Laplace-Formel. Ungefähre Wahrscheinlichkeiten R-TPU gegeben durch die lokale Formel (2.7) werden in der Praxis als exakte für verwendet pru in der Größenordnung von zwei oder mehr Zehnern, d.h. gegeben das pru > 20.

Um die mit der Verwendung der Formel (2.7) verbundenen Berechnungen zu vereinfachen, wurde eine Wertetabelle der Funktion /(x) zusammengestellt (Tabelle I in den Anhängen). Bei der Verwendung dieser Tabelle sind die offensichtlichen Eigenschaften der Funktion f(x) (2.8) zu beachten.

• 1. Funktion/(X) ist gerade, d.h. /(-x) = /(x).
• 2. Funktion/(X) - monoton fallend für positive Werte X, und bei x -> co /(x) -» 0.
• (In der Praxis können wir sogar für x > 4 /(x) « 0 davon ausgehen.)

[> Beispiel 2.5. In einigen Gegenden haben 80 von 100 Familien einen Kühlschrank. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 400 Familien 300 einen Kühlschrank haben.

Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie einen Kühlschrank hat, ist p = 80/100 = 0,8. Als P= 100 ist groß genug (condition pru= = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 erfüllt), dann wenden wir die lokale Moivre-Laplace-Formel an.

Zunächst definieren wir nach Formel (2.9)

Dann nach Formel (2.7)

(Der Wert /(2,50) wurde aus Tabelle I der Anhänge gefunden). Der eher kleine Wert der Wahrscheinlichkeit /300.400 sollte nicht in Zweifel gezogen werden, da abgesehen vom Ereignis

„Genau 300 von 400 Familien haben Kühlschränke“ 400 weitere Ereignisse sind möglich: „0 von 400“, „1 von 400“, …, „400 von 400“ mit eigenen Wahrscheinlichkeiten. Zusammen bilden diese Ereignisse eine vollständige Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist. ?

Unter den Bedingungen von Beispiel 2.5 muss die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass 300 bis 360 Familien (einschließlich) Kühlschränke haben. Dabei ist nach dem Additionstheorem die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses

Im Prinzip kann jeder Term mit der lokalen Moivre-Laplace-Formel berechnet werden, aber eine große Anzahl von Termen macht die Berechnung sehr umständlich. In solchen Fällen wird das folgende Theorem verwendet.

Integralsatz von Moivre - Laplace. Wenn die Wahrscheinlichkeit p des Eintretens des Ereignisses A in jedem Versuch konstant und unterschiedlich ist 0 und 1, dann die Wahrscheinlichkeit von, dass die Anzahl m des Auftretens von Ereignis A in n unabhängigen Versuchen zwischen a und b liegt (inklusive), für eine genügend große Zahl ist n ungefähr gleich

- Funktion(oder Integral von Wahrscheinlichkeiten) Laplace",

(Der Beweis des Satzes wird in Abschnitt 6.5 gegeben.)

Formel (2.10) wird aufgerufen Moivre-Laplace-Integralformel. Je mehr P, desto genauer die Formel. Wenn die Bedingung pr > > 20 Die Integralformel (2.10), wie auch die lokale, liefert in der Regel einen für die Praxis zufriedenstellenden Fehler bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die Funktion Φ(dg) ist tabelliert (siehe Tabelle II der Anhänge). Um diese Tabelle verwenden zu können, müssen Sie die Eigenschaften der Funktion Ф(х) kennen.

1. Funktion f(x) seltsam, jene. F(-x) = -F(x).

? Sollen wir die Variable ändern? = -G. Dann (k =

= -(12. Die Integrationsgrenzen für Variable 2 sind 0 und X. Werden

da der Wert des bestimmten Integrals nicht von der Bezeichnung der Integrationsvariablen abhängt. ?

2. Die Funktion Ä(х) ist monoton steigend, und für x ->+co f(.g) -> 1 (in der Praxis können wir davon ausgehen, dass bereits bei x > 4 φ(x)~ 1).

Da die Ableitung des Integrals bezüglich der variablen Obergrenze gleich dem Integranden am Wert der Obergrenze ist, ist r.s.

, und immer positiv ist, dann wächst Ä(х) monoton

entlang des gesamten Zahlenstrahls.

Wir machen eine Variablenänderung, dann ändern sich die Integrationsgrenzen nicht und

(da das Integral einer geraden Funktion

Angesichts dessen (Euler-Integral - Poisson), wir bekommen

?

O Beispiel 2.6. Berechnen Sie anhand der Daten aus Beispiel 2.5 die Wahrscheinlichkeit, dass 300 bis 360 (einschließlich) Familien von 400 einen Kühlschrank haben.

Entscheidung. Wir wenden den Integralsatz von Moivre-Laplace an (pr= 64 > 20). Zunächst definieren wir durch Formeln (2.12)

Nun erhalten wir gemäß Formel (2.10) unter Berücksichtigung der Eigenschaften von Ä(.т).

(gemäß Tabelle II der Anhänge?

Betrachten Sie eine Konsequenz aus dem Integralsatz von Moivre-Laplace. Folge. Wenn die Wahrscheinlichkeit p des Eintretens des Ereignisses A in jedem Versuch konstant und unterschiedlich ist 0 und I, dann ist für eine hinreichend große Anzahl n unabhängiger Versuche die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) die Anzahl m des Ereignisses A weicht vom Produkt pr um nicht mehr als ab e > 0 (in absoluten Werten), jene.

b) die Frequenz des t / n-Ereignisses A liegt innerhalb von a bis r ( einschließlich- respektvoll, d.h.

in) die Häufigkeit des Ereignisses A unterscheidet sich von seiner Wahrscheinlichkeit p um nicht mehr als A > 0 (im absoluten Wert), d.h.

A) Ungleichung |/?7-7?/?| entspricht einer doppelten Ungleichung pr-e Daher nach der Integralformel (2.10)

• b) Ungleichheit und ist äquivalent zur Ungleichung und bei a = pa und b= /?r. Ersetzen Sie in den Formeln (2.10), (2.12) die Größen a und b erhaltenen Ausdrücke erhalten wir die beweisbaren Formeln (2.14) und (2.15).
• c) Ungleichheit mjn-p entspricht der Ungleichung t-pr Ersetzen in der Formel (2.13) r = Ap, erhalten wir die zu beweisende Formel (2.16). ?

[> Beispiel 2.7. Berechnen Sie anhand der Daten in Beispiel 2.5 die Wahrscheinlichkeit, dass 280 bis 360 von 400 Familien einen Kühlschrank haben.

Entscheidung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit Р 400 (280 t pr \u003d 320. Dann nach der Formel (2.13)

[> Beispiel 2.8. Laut Statistik werden durchschnittlich 87 % der Neugeborenen 50 Jahre alt.

• 1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 1000 Neugeborenen der Anteil (Häufigkeit) derjenigen, die das 50. Lebensjahr erreichen, a) im Bereich von 0,9 bis 0,95 liegt; b) von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses um nicht mehr als 0,04 (jedoch im absoluten Wert) abweichen wird.
• 2. Bei welcher Anzahl von Neugeborenen mit einer Zuverlässigkeit von 0,95 wird der Anteil derjenigen, die das 50. Lebensjahr erreicht haben, innerhalb der Grenzen von 0,86 bis 0,88 liegen?

Entscheidung. 1a) Wahrscheinlichkeit R dass ein Neugeborenes 50 Jahre alt wird, beträgt 0,87. Als P= 1000 groß (Zustand prd=1000 0,87 0,13 = 113,1 > 20 erfüllt), dann verwenden wir die Folgerung des Integralsatzes von Moivre - Laplace. Zuerst definieren wir durch die Formeln (2.15)

Jetzt nach der Formel (2.14)

1, b) Nach Formel (2.16)

Wegen Ungleichheit ist gleichbedeutend mit der Ungleichung

Das erhaltene Ergebnis bedeutet, dass es praktisch sicher ist, dass 0,83 bis 0,91 der Anzahl der Neugeborenen von 1000 50 Jahre alt werden. ?

2. Nach Bedingung oder

Nach der Formel (2.16) bei A = 0,01

Laut Tabelle II Anwendungen F(G) = 0,95 bei G = 1,96, daher

wo

jene. Zustand (*) kann bei einer deutlichen Erhöhung der Zahl der berücksichtigten Neugeborenen bis zu gewährleistet werden P = 4345. ?

• Der Beweis des Satzes wird in Abschnitt 6.5 gegeben. Die probabilistische Bedeutung der Größen pr, prs( wird in Abschnitt 4.1 festgelegt (siehe Anmerkung auf S. 130).
• Die probabilistische Bedeutung des Werts pf/n wird in Abschnitt 4.1 festgelegt.

Der Druck direkt unter der konvexen Flüssigkeitsoberfläche ist größer als der Druck unter der flachen Flüssigkeitsoberfläche, und der Druck unter der konkaven Flüssigkeitsoberfläche ist geringer als der Druck unter der flachen Oberfläche.

Berechnung des Drucks unter der Kugeloberfläche einer Flüssigkeit

Es ist eine dünne Wasserschicht, die zwei Begrenzungsflächen hat: eine innere und eine äußere. Die Krümmungsradien dieser Oberflächen können als gleich angesehen werden, da die Filmdicke tausendmal kleiner ist als der Blasenradius. Wasser aus dieser Schicht läuft allmählich ab, die Schicht wird dünner und bricht schließlich. So schwimmen die Blasen nicht sehr lange auf dem Wasser: von Sekundenbruchteilen bis zu zehn Sekunden. Zu beachten ist, dass sich bei dünner werdendem Wasserfilm die Blasengröße praktisch nicht ändert.

Berechnen wir den Überdruck in einer solchen Blase. Stellen Sie sich der Einfachheit halber eine einschichtige Halbkugel mit dem Radius r vor, die sich auf einer horizontalen Oberfläche befindet. Wir nehmen auch an, dass keine Luft draußen ist. Durch die Benetzung wird der Film auf der schattierten Fläche gehalten (Abb. 2.3). In diesem Fall ist entlang der Kontaktgrenze mit der Oberfläche eine Oberflächenspannungskraft gleich

wo ist der Oberflächenspannungskoeffizient der Flüssigkeit,

Die Länge der Film-Oberflächen-Grenzfläche ist gleich .

Das heißt, wir haben:

.

Diese auf die Folie und damit auf die Luft wirkende Kraft ist senkrecht zur Oberfläche gerichtet (siehe Abb. 2.3). Der Luftdruck an der Oberfläche und damit im Inneren der Blase lässt sich also wie folgt berechnen:

Wobei F die Oberflächenspannungskraft gleich ist,

S - Oberfläche: .

Setzen wir den Wert der Kraft F und die Fläche S in die Formel zur Berechnung des Drucks ein, erhalten wir:

und schlussendlich.

In unserem Beispiel mit einer Luftblase auf der Wasseroberfläche ist der Film doppelt und somit der Überdruck .

Abbildung 2.4 zeigt Beispiele für einschichtige sphärische Oberflächen, die sich auf der Oberfläche einer Flüssigkeit bilden können. Über der Flüssigkeit befindet sich ein Gas, das Druck hat.

Kapillarität (von lateinisch capillaris - Haar), Kapillarwirkung - ein physikalisches Phänomen, das in der Fähigkeit von Flüssigkeiten besteht, den Füllstand in Röhren, engen Kanälen beliebiger Form, porösen Körpern zu ändern. Das Aufsteigen der Flüssigkeit erfolgt, wenn die Kanäle mit Flüssigkeiten benetzt werden, beispielsweise Wasser in Glasrohren, Sand, Erde usw. Das Absenken der Flüssigkeit erfolgt in Rohren und Kanälen, die nicht mit Flüssigkeit benetzt werden, beispielsweise Quecksilber in einem Glasrohr.

Auf der Grundlage der Kapillarität basieren die Lebenstätigkeit von Tieren und Pflanzen, chemische Technologien und alltägliche Phänomene (z. B. das Heben von Kerosin am Docht einer Petroleumlampe, das Abwischen der Hände mit einem Handtuch). Die Bodenkapillarität wird durch die Geschwindigkeit bestimmt, mit der Wasser im Boden aufsteigt, und hängt von der Größe der Lücken zwischen Bodenpartikeln ab.

Laplace-Formel

Stellen Sie sich einen dünnen Flüssigkeitsfilm vor, dessen Dicke vernachlässigt werden kann. In dem Bemühen, seine freie Energie zu minimieren, erzeugt der Film einen Druckunterschied von verschiedenen Seiten. Dies erklärt die Existenz von Seifenblasen: Der Film wird komprimiert, bis der Druck innerhalb der Blase den atmosphärischen Druck um den Wert des zusätzlichen Drucks des Films übersteigt. Der zusätzliche Druck an einem Punkt der Oberfläche hängt von der durchschnittlichen Krümmung an diesem Punkt ab und wird durch die Laplace-Formel angegeben:

Dabei sind R 1,2 die Radien der Hauptkrümmungen in einem Punkt. Sie haben das gleiche Vorzeichen, wenn die entsprechenden Krümmungsmittelpunkte auf der gleichen Seite der Tangentialebene im Punkt liegen, und sie haben ein anderes Vorzeichen, wenn sie auf der gegenüberliegenden Seite liegen. Beispielsweise fallen bei einer Kugel die Krümmungsmittelpunkte an jedem Punkt der Oberfläche mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen, also

Für die Oberfläche eines Kreiszylinders mit Radius R gilt:

Es ist bekannt, dass die Oberfläche der Flüssigkeit in der Nähe der Gefäßwände gekrümmt ist. Die freie Oberfläche einer Flüssigkeit, die in der Nähe der Gefäßwände gekrümmt ist, wird als Meniskus bezeichnet.(Abb. 145).

Stellen Sie sich einen dünnen Flüssigkeitsfilm vor, dessen Dicke vernachlässigt werden kann. In dem Bemühen, seine freie Energie zu minimieren, erzeugt der Film einen Druckunterschied von verschiedenen Seiten. Aufgrund der Wirkung von Oberflächenspannungskräften in Flüssigkeitströpfchen und im Inneren von Seifenblasen, zusätzlicher Druck(Die Folie wird komprimiert, bis der Druck in der Blase den atmosphärischen Druck nicht um den Wert des zusätzlichen Drucks der Folie übersteigt).

Reis. 146.

Stellen Sie sich die Oberfläche einer Flüssigkeit vor, die auf einer flachen Kontur ruht (Abb. 146, a). Wenn die Oberfläche der Flüssigkeit nicht flach ist, führt ihre Kontraktionstendenz zum Auftreten von Druck, zusätzlich zu dem, den eine Flüssigkeit mit einer ebenen Oberfläche erfährt. Bei einer konvexen Oberfläche ist dieser zusätzliche Druck positiv (Abb. 146, b), bei einer konkaven Oberfläche - negativ (Abb. 146, in). Im letzteren Fall dehnt die Oberflächenschicht, die sich zusammenzuziehen versucht, die Flüssigkeit.

Die Größe des zusätzlichen Drucks sollte offensichtlich mit einer Zunahme des Oberflächenspannungskoeffizienten und der Oberflächenkrümmung zunehmen.

Reis. 147.

Berechnen wir den zusätzlichen Druck für die Kugeloberfläche der Flüssigkeit. Schneiden wir dazu gedanklich einen kugelförmigen Flüssigkeitstropfen mit einer diametralen Ebene in zwei Halbkugeln (Abb. 147). Aufgrund der Oberflächenspannung werden beide Hemisphären mit einer Kraft angezogen, die gleich ist:

.

Diese Kraft drückt beide Halbkugeln entlang der Oberfläche aneinander und verursacht somit zusätzlichen Druck:

Die Krümmung einer Kugeloberfläche ist überall gleich und wird durch den Radius der Kugel bestimmt. Offensichtlich ist die Krümmung der sphärischen Oberfläche umso größer, je kleiner .

Der Überdruck innerhalb der Seifenblase ist doppelt so hoch, da die Folie zwei Oberflächen hat:

Zusätzlicher Druck bewirkt eine Änderung des Flüssigkeitsspiegels in engen Röhren (Kapillaren), weshalb es manchmal genannt wird Kapillardruck.

Die Krümmung einer beliebigen Oberfläche wird üblicherweise durch die sogenannte mittlere Krümmung charakterisiert, die für verschiedene Punkte auf der Oberfläche unterschiedlich sein kann.

Der Wert gibt die Krümmung der Kugel an. In der Geometrie ist bewiesen, dass die Halbsumme der reziproken Krümmungsradien für jedes Paar senkrecht zueinander stehender Normalschnitte denselben Wert hat:

. (1)

Dieser Wert ist die durchschnittliche Krümmung der Oberfläche an einem bestimmten Punkt. In dieser Formel sind die Radien algebraische Größen. Liegt der Krümmungsmittelpunkt eines Normalschnitts unterhalb einer gegebenen Fläche, so ist der entsprechende Krümmungsradius positiv; liegt der Krümmungsmittelpunkt über der Oberfläche, ist der Krümmungsradius negativ (Abb. 148).

Reis. 148.

Somit kann eine nicht ebene Oberfläche eine durchschnittliche Krümmung gleich Null haben. Dazu ist es erforderlich, dass die Krümmungsradien betragsmäßig gleich und entgegengesetzt im Vorzeichen sind.

Beispielsweise fallen bei einer Kugel die Krümmungsmittelpunkte an jedem Punkt der Oberfläche mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und daher . Für den Fall der Oberfläche eines kreisförmigen Zylinders mit Radius haben wir: , und .

Es kann bewiesen werden, dass für eine Oberfläche beliebiger Form die Beziehung gilt:

Durch Einsetzen von Ausdruck (1) in Formel (2) erhalten wir die Formel für zusätzlichen Druck unter einer beliebigen Oberfläche, genannt Laplace-Formel(Abb. 148):

. (3)

Die Radien und in Formel (3) sind algebraische Größen. Liegt der Krümmungsmittelpunkt eines Normalschnitts unterhalb einer gegebenen Fläche, so ist der entsprechende Krümmungsradius positiv; liegt der Krümmungsmittelpunkt über der Oberfläche, ist der Krümmungsradius negativ.

Beispiel. Wenn sich in der Flüssigkeit eine Gasblase befindet, übt die Oberfläche der Blase, die zu schrumpfen versucht, zusätzlichen Druck auf das Gas aus . Finden wir den Radius einer Blase in Wasser, bei der der zusätzliche Druck 1 ist Geldautomat. .Koeffizient der Oberflächenspannung von Wasser bei gleich . Daher erhält man für den folgenden Wert: .

Für ausreichend große ergibt die Bernoulli-Formel umständliche Berechnungen. Daher wird in solchen Fällen das lokale Laplace-Theorem verwendet.

Satz(lokales Laplace-Theorem). Wenn die Wahrscheinlichkeit p des Eintretens von Ereignis A in jedem Versuch konstant und von 0 und 1 verschieden ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit
die Tatsache, dass das Ereignis A genau k Mal in n unabhängigen Versuchen auftritt, entspricht ungefähr dem Wert der Funktion:

,

.

Es gibt Tabellen, die die Werte der Funktion enthalten
, für positive Werte von x.

Beachten Sie, dass die Funktion
sogar.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A genau k Mal in n Versuchen auftritt, ist also ungefähr gleich

, wo
.

Beispiel. Auf dem Versuchsfeld wurden 1500 Samen ausgesät. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sämlinge 1200 Samen produzieren, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samen keimt, 0,9 beträgt.

Entscheidung.

Integralsatz von Laplace

Die Wahrscheinlichkeit, dass in n unabhängigen Versuchen das Ereignis A mindestens k1 mal und höchstens k2 mal auftritt, wird nach dem Integralsatz von Laplace berechnet.

Satz(Integralsatz von Laplace). Wenn die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens von Ereignis a in jedem Versuch konstant und von 0 und 1 verschieden ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A in n Versuchen mindestens k 1 -mal und höchstens k 2 -mal auftritt, ungefähr gleich dem Wert eines bestimmten Integrals:

.

Funktion
heißt Laplace-Integralfunktion, sie ist ungerade und ihr Wert findet sich in der Tabelle für positive Werte von x.

Beispiel. Im Labor wurden aus einer Samencharge mit einer Keimrate von 90 % 600 Samen gesät, die gekeimt haben, nicht weniger als 520 und nicht mehr als 570.

Entscheidung.

Poisson-Formel

Wenn n unabhängige Versuche durchgeführt werden, ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A in jedem Versuch konstant und gleich p. Wie wir bereits gesagt haben, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A in n unabhängigen Versuchen genau k mal mit Hilfe der Bernoulli-Formel ermitteln. Für hinreichend großes n wird das lokale Laplace-Theorem verwendet. Diese Formel ist jedoch ungeeignet, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem Versuch eintritt, klein oder nahe 1 ist. Und wenn p = 0 oder p = 1 ist, ist sie überhaupt nicht anwendbar. In solchen Fällen wird das Poisson-Theorem verwendet.

Satz(Satz von Poisson). Wenn die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens von Ereignis A in jedem Versuch konstant und nahe 0 oder 1 ist und die Anzahl der Versuche groß genug ist, dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass in n unabhängigen Versuchen das Ereignis A genau k Mal eintritt, durch die ermittelt Formel:

.

Beispiel. Das maschinengeschriebene Manuskript mit 1.000 Seiten enthält 1.000 Tippfehler. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Seite mindestens einen Druckfehler enthält.

Entscheidung.

Fragen zum Selbsttest

Formulieren Sie die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Formulieren Sie Sätze zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.

Definieren Sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Schreiben Sie die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit auf.

Schreiben Sie die Bayes-Formel auf.

Schreiben Sie die Bernoulli-Formel auf.

Schreiben Sie die Poisson-Formel auf.

Schreiben Sie die lokale Laplace-Formel auf.

Schreiben Sie die Integralformel von Laplace auf.

Thema 13. Zufallsvariable und ihre numerischen Eigenschaften

Literatur: ,,,,,.

Eines der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Konzept der Zufallsvariablen. So ist es üblich, eine Variable aufzurufen, die je nach Fall ihre Werte annimmt. Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen: diskrete und kontinuierliche. Zufallsvariablen werden üblicherweise mit X,Y,Z bezeichnet.

Eine Zufallsvariable X heißt stetig (diskret), wenn sie nur endlich oder abzählbar viele Werte annehmen kann. Eine diskrete Zufallsvariable X ist definiert, wenn alle ihre möglichen Werte x 1 , x 2 , x 3 ,…x n (deren Anzahl entweder endlich oder unendlich sein kann) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2 , p gegeben sind 3 ,… pn.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen X wird normalerweise durch die Tabelle angegeben:

Die erste Zeile enthält die möglichen Werte der Zufallsvariablen X, und die zweite Zeile enthält die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Zufallsvariable X alle ihre Werte annimmt, ist also gleich Eins

p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen X lässt sich grafisch darstellen. Dazu werden die Punkte M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) in einem Rechteck aufgebaut Koordinatensystem und verbinden Sie diese direkt mit Segmenten. Die resultierende Figur wird als Verteilungspolygon der Zufallsvariablen X bezeichnet.

Beispiel. Der diskrete Wert X ist durch das folgende Verteilungsgesetz gegeben:

Zu berechnen sind: a) mathematischer Erwartungswert M(X), b) Varianz D(X), c) Standardabweichung σ.

Entscheidung . a) Der mathematische Erwartungswert von M(X), einer diskreten Zufallsvariablen X ist die Summe paarweiser Produkte aller möglichen Werte der Zufallsvariablen und der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dieser möglichen Werte. Ist eine diskrete Zufallsvariable X anhand der Tabelle (1) gegeben, so wird der mathematische Erwartungswert M(X) durch die Formel berechnet

Ì(Õ)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Der mathematische Erwartungswert M(X) wird auch Mittelwert der Zufallsvariablen X genannt. Mit (2) erhalten wir:

Ì(Å)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

b) Ist M(X) der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, so heißt die Differenz X-M(X). Abweichung Zufallsvariable X vom Mittelwert. Dieser Unterschied charakterisiert die Streuung einer Zufallsvariablen.

Streuung(Streuung) einer diskreten Zufallsvariablen X ist der mathematische Erwartungswert (Mittelwert) der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert. Per Definition haben wir also:

D(X)=M2. (3)

Wir berechnen alle möglichen Werte des Quadrats der Abweichung.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Um die Varianz D(X) zu berechnen, stellen wir das Verteilungsgesetz der quadrierten Abweichung zusammen und wenden dann Formel (2) an.

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Es sei darauf hingewiesen, dass zur Berechnung der Varianz häufig folgende Eigenschaft verwendet wird: Die Varianz D(X) ist gleich der Differenz zwischen dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats der Zufallsvariablen X und dem Quadrat ihres mathematischen Erwartungswerts

D(X)-M(X 2)- 2 . (4)

Um die Varianz mit Formel (4) zu berechnen, setzen wir das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X 2 zusammen:

Lassen Sie uns nun die mathematische Erwartung M(X 2) finden.

Ì(Õ 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Durch Anwendung von (4) erhalten wir:

D(X) = 2931,2-(54) 2 = 2931,2 – 2916 = 15,2.

Wie Sie sehen können, haben wir das gleiche Ergebnis erhalten.

c) Die Dimension der Varianz ist gleich dem Quadrat der Dimension der Zufallsvariablen. Um die Streuung möglicher Werte einer Zufallsvariablen um ihren Mittelwert zu charakterisieren, ist es daher bequemer, einen Wert zu berücksichtigen, der gleich dem arithmetischen Wert der Quadratwurzel der Varianz ist
. Dieser Wert wird als Standardabweichung der Zufallsvariablen X bezeichnet und mit σ bezeichnet. Auf diese Weise

σ=
. (5)

Mit (5) erhalten wir: σ=
.

Beispiel. Die Zufallsvariable X ist nach dem Normalgesetz verteilt. Mathematischer Erwartungswert М(Х)=5; Varianz D(X)=0,64. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X als Ergebnis des Tests einen Wert im Intervall (4; 7) annimmt.

Entscheidung.Es ist bekannt, dass, wenn eine Zufallsvariable X durch eine Differentialfunktion f(x) gegeben ist, die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der zum Intervall (α,β) gehört, durch die Formel berechnet wird

. (1)

Wenn der Wert X nach dem Normalgesetz verteilt ist, dann die Differentialfunktion

,

wo a=M(X) und σ=
. In diesem Fall erhalten wir aus (1)

. (2)

Formel (2) kann mit der Laplace-Funktion transformiert werden.

Machen wir einen Ersatz. Lassen
. Dann
oder dx=σ∙ dt.

Somit
, wobei t 1 und t 2 die entsprechenden Grenzen für die Variable t sind.

Durch Reduzieren um σ haben wir

Von der Eingabesubstitution
folgt dem
und
.

Auf diese Weise,

(3)

Je nach Problemstellung gilt: a=5; σ=
=0,8; α = 4; β=7. Setzen wir diese Daten in (3) ein, erhalten wir:

=F(2,5)-F(-1,25)=

\u003d F (2,5) + F (1,25) \u003d 0,4938 + 0,3944 \u003d 0,8882.

Beispiel. Es wird angenommen, dass die Abweichung der Länge hergestellter Teile von der Norm eine nach dem normalen Gesetz verteilte Zufallsvariable ist. Standardlänge (Erwartung) a = 40 cm, Standardabweichung σ = 0,4 cm Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung der Länge vom Standard nicht mehr als 0,6 cm im absoluten Wert beträgt.

Entscheidung.Wenn X die Länge des Teils ist, dann sollte dieser Wert je nach Problemstellung im Intervall (a-δ, a + δ) liegen, wobei a=40 und δ=0,6.

Wenn wir in Formel (3) α= a-δ und β= a+δ einsetzen, erhalten wir

. (4)

Durch Einsetzen der verfügbaren Daten in (4) erhalten wir:

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge der hergestellten Teile im Bereich von 39,4 bis 40,6 cm liegt, 0,8664.

Beispiel. Der Durchmesser der vom Werk hergestellten Teile ist eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsgröße. Standard-Durchmesserlänge a=2,5 cm, Standardabweichung σ=0,01. Innerhalb welcher Grenzen kann man die Länge des Durchmessers dieses Teils praktisch garantieren, wenn ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9973 als zuverlässig angenommen wird?

Entscheidung. Durch die Bedingung des Problems haben wir:

a = 2,5; σ=0,01; .

Durch Anwendung von Formel (4) erhalten wir die Gleichheit:

oder
.

Gemäß Tabelle 2 finden wir, dass die Laplace-Funktion bei x=3 einen solchen Wert hat. Somit,
; womit σ=0,03.

Somit kann garantiert werden, dass die Länge des Durchmessers zwischen 2,47 und 2,53 cm variiert.

Stellen Sie sich die Oberfläche einer Flüssigkeit vor, die auf einer flachen Kontur ruht. Wenn die Oberfläche der Flüssigkeit nicht flach ist, führt ihre Kontraktionstendenz zum Auftreten von Druck, zusätzlich zu dem, den eine Flüssigkeit mit einer ebenen Oberfläche erfährt. Bei einer konvexen Oberfläche ist dieser zusätzliche Druck positiv, bei einer konkaven Oberfläche negativ. Im letzteren Fall dehnt die Oberflächenschicht, die sich zusammenzuziehen versucht, die Flüssigkeit. Arbeiten Sie als Lehrer des Kurses HR Records Management Moskau.

Die Größe des zusätzlichen Drucks sollte offensichtlich mit einer Zunahme des Oberflächenspannungskoeffizienten α und der Oberflächenkrümmung zunehmen. Berechnen wir den zusätzlichen Druck für die Kugeloberfläche der Flüssigkeit. Dazu schneiden wir einen kugelförmigen Flüssigkeitstropfen durch eine Diametralebene in zwei Halbkugeln (Abb. 5).

Querschnitt eines kugelförmigen Flüssigkeitstropfens.

Aufgrund der Oberflächenspannung werden beide Hemisphären mit einer Kraft angezogen, die gleich ist:

Diese Kraft drückt die beiden Halbkugeln entlang der Fläche S=πR2 aneinander und verursacht somit einen zusätzlichen Druck:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

Die Krümmung einer Kugeloberfläche ist überall gleich und wird durch den Radius der Kugel R bestimmt. Je kleiner R, desto größer ist natürlich die Krümmung der Kugeloberfläche. Die Krümmung einer beliebigen Oberfläche wird üblicherweise durch die sogenannte mittlere Krümmung charakterisiert, die für verschiedene Punkte auf der Oberfläche unterschiedlich sein kann.

Die mittlere Krümmung wird durch die Krümmung der Normalschnitte bestimmt. Der Normalschnitt einer Fläche an einem bestimmten Punkt ist die Schnittlinie dieser Fläche mit einer Ebene, die durch die Flächennormale an dem betrachteten Punkt verläuft. Für eine Kugel ist jeder Normalschnitt ein Kreis mit dem Radius R (R ist der Radius der Kugel). Der Wert H=1/R gibt die Krümmung der Kugel an. Im Allgemeinen haben verschiedene Schnitte, die durch denselben Punkt gezogen werden, unterschiedliche Krümmungen. In der Geometrie ist bewiesen, dass die Halbsumme der reziproken Krümmungsradien

H=0,5(1/R1+1/R2) (5)

denn jedes Paar senkrecht aufeinander stehender Normalschnitte hat den gleichen Wert. Dieser Wert ist die durchschnittliche Krümmung der Oberfläche an einem bestimmten Punkt.

Die Radien R1 und R2 in Formel (5) sind algebraische Größen. Liegt der Krümmungsmittelpunkt eines Normalschnitts unterhalb der gegebenen Fläche, ist der zugehörige Krümmungsradius positiv, liegt der Krümmungsmittelpunkt oberhalb der Fläche, ist der Krümmungsradius negativ.

Für Kugel R1=R2=R, also nach (5) H=1/R. Ersetzen wir 1/R durch H in (4), erhalten wir das

Laplace hat bewiesen, dass Formel (6) für eine beliebig geformte Fläche gilt, wenn mit H die mittlere Krümmung der Fläche an diesem Punkt gemeint ist, unter der der zusätzliche Druck bestimmt wird. Durch Einsetzen des Ausdrucks (5) für die durchschnittliche Krümmung in (6) erhalten wir die Formel für den zusätzlichen Druck unter einer beliebigen Oberfläche:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

Sie wird Laplace-Formel genannt.

Zusätzlicher Druck (7) bewirkt eine Änderung des Flüssigkeitsspiegels in der Kapillare, weshalb er manchmal als Kapillardruck bezeichnet wird.

Das Vorhandensein des Kontaktwinkels führt zur Krümmung der Flüssigkeitsoberfläche in der Nähe der Gefäßwände. In einer Kapillare oder in einem schmalen Spalt zwischen zwei Wänden ist die gesamte Oberfläche gekrümmt. Wenn die Flüssigkeit die Wände benetzt, hat die Oberfläche eine konkave Form, wenn sie nicht benetzt, ist sie konvex (Abb. 4). Solche gekrümmten Flüssigkeitsoberflächen werden Menisken genannt.

Wenn die Kapillare mit einem Ende in eine Flüssigkeit getaucht wird, die in ein breites Gefäß gegossen wird, dann unterscheidet sich der Druck unter der gekrümmten Oberfläche in der Kapillare von dem Druck entlang der flachen Oberfläche in dem weiten Gefäß um den Wert ∆p, der durch Formel (7 ). Dadurch ist der Flüssigkeitsstand in der Kapillare bei benetzter Kapillare höher als im Gefäß und bei unbenetzter Kapillare niedriger.