Die genialsten Entdeckungen der Wissenschaft können das menschliche Leben radikal verändern. Der erfundene Impfstoff kann Millionen von Menschen retten, die Herstellung von Waffen hingegen kostet diese Menschen das Leben. In jüngerer Zeit (im Maßstab der menschlichen Evolution) haben wir gelernt, Elektrizität zu „zähmen“ – und jetzt können wir uns ein Leben ohne all diese praktischen Geräte, die Elektrizität verwenden, nicht mehr vorstellen. Aber es gibt auch Entdeckungen, denen nur wenige Menschen Bedeutung beimessen, obwohl sie unser Leben ebenfalls stark beeinflussen.

Eine dieser „unmerklichen“ Entdeckungen sind Fraktale. Sie haben dieses griffige Wort wahrscheinlich schon einmal gehört, aber wissen Sie, was es bedeutet und wie viel Interessantes sich in diesem Begriff verbirgt?

Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, den Wunsch, etwas über die Welt um ihn herum zu lernen. Und bei diesem Streben versucht eine Person, sich in Urteilen an die Logik zu halten. Er analysiert die um ihn herum stattfindenden Prozesse und versucht, die Logik des Geschehens zu finden und eine gewisse Regelmäßigkeit abzuleiten. Mit dieser Aufgabe sind die größten Köpfe der Welt beschäftigt. Grob gesagt suchen Wissenschaftler nach einem Muster, wo es nicht sein sollte. Trotzdem kann man auch im Chaos eine Verbindung zwischen Ereignissen finden. Und diese Verbindung ist ein Fraktal.

Unsere kleine Tochter, viereinhalb Jahre alt, ist jetzt in diesem wunderbaren Alter, in dem die vielen Fragen „Warum? um ein Vielfaches größer als die Anzahl der Antworten, für die Erwachsene Zeit haben. Als meine Tochter vor nicht allzu langer Zeit einen vom Boden aufgerichteten Ast betrachtete, bemerkte sie plötzlich, dass dieser Ast mit Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussah. Und natürlich folgte die übliche Frage „Warum?“, für die die Eltern nach einer einfachen, für das Kind verständlichen Erklärung suchen mussten.

Die von einem Kind entdeckte Ähnlichkeit eines einzelnen Astes mit einem ganzen Baum ist eine sehr zutreffende Beobachtung, die einmal mehr das Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit in der Natur bezeugt. Sehr viele organische und anorganische Formen in der Natur werden ähnlich gebildet. Wolken, Muscheln, das "Haus" einer Schnecke, die Rinde und Krone von Bäumen, das Kreislaufsystem und so weiter - die zufälligen Formen all dieser Objekte können durch einen fraktalen Algorithmus beschrieben werden.

⇡ Benoit Mandelbrot: der Vater der fraktalen Geometrie

Das Wort "Fraktal" selbst ist dank des brillanten Wissenschaftlers Benoît B. Mandelbrot entstanden.

Er hat den Begriff in den 1970er Jahren selbst geprägt und das Wort fractus aus dem Lateinischen entlehnt, wo es wörtlich „gebrochen“ oder „zerquetscht“ bedeutet. Was ist es? Heutzutage wird das Wort "Fraktal" am häufigsten verwendet, um eine grafische Darstellung einer Struktur zu bezeichnen, die sich selbst in einem größeren Maßstab ähnlich ist.

Die mathematische Grundlage für die Entstehung der Fraktaltheorie wurde viele Jahre vor der Geburt von Benoit Mandelbrot gelegt, aber sie konnte sich erst mit dem Aufkommen von Computergeräten entwickeln. Zu Beginn seiner wissenschaftlichen Laufbahn arbeitete Benoit im Forschungszentrum von IBM. Damals arbeiteten die Mitarbeiter des Zentrums an der Datenfernübertragung. Im Zuge der Forschung sahen sich die Wissenschaftler mit dem Problem großer Verluste durch Störgeräusche konfrontiert. Benoit stand vor einer schwierigen und sehr wichtigen Aufgabe – zu verstehen, wie das Auftreten von Rauschinterferenzen in elektronischen Schaltungen vorhergesagt werden kann, wenn die statistische Methode unwirksam ist.

Beim Durchsehen der Ergebnisse der Rauschmessungen machte Mandelbrot auf ein seltsames Muster aufmerksam - die Rauschdiagramme in verschiedenen Maßstäben sahen gleich aus. Unabhängig davon, ob es sich um eine Rauschkurve für einen Tag, eine Woche oder eine Stunde handelte, wurde ein identisches Muster beobachtet. Es hat sich gelohnt, den Maßstab der Grafik zu ändern, und das Bild wurde jedes Mal wiederholt.

Benoit Mandelbrot sagte zu Lebzeiten immer wieder, dass er sich nicht mit Formeln auseinandersetze, sondern einfach mit Bildern spiele. Dieser Mann dachte sehr bildlich und übersetzte jedes algebraische Problem in das Gebiet der Geometrie, wo seiner Meinung nach die richtige Antwort immer offensichtlich ist.

Es ist nicht verwunderlich, dass ein Mann mit einem so reichen räumlichen Vorstellungsvermögen zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kommt die Erkenntnis der Essenz von Fraktalen genau dann, wenn Sie anfangen, Zeichnungen zu studieren und über die Bedeutung seltsamer Wirbelmuster nachzudenken.

Ein fraktales Muster hat keine identischen Elemente, ist aber in jedem Maßstab ähnlich. Ein solches Bild mit einem hohen Detailgrad manuell zu erstellen, war vorher einfach unmöglich, es erforderte eine Menge Berechnungen. Zum Beispiel beschrieb der französische Mathematiker Pierre Joseph Louis Fatou diese Menge mehr als siebzig Jahre vor der Entdeckung von Benoit Mandelbrot. Wenn wir über die Prinzipien der Selbstähnlichkeit sprechen, dann wurden sie in den Werken von Leibniz und Georg Cantor erwähnt.

Eine der ersten Zeichnungen eines Fraktals war eine grafische Interpretation der Mandelbrot-Menge, die aus der Forschung von Gaston Maurice Julia hervorgegangen ist.

Gaston Julia (immer maskiert - WWI-Verletzung)

Dieser französische Mathematiker fragte sich, wie eine Menge aussehen würde, wenn sie aus einer einfachen Formel konstruiert wäre, die durch eine Rückkopplungsschleife iteriert wird. Wenn es „an den Fingern“ erklärt wird, bedeutet dies, dass wir für eine bestimmte Zahl mithilfe der Formel einen neuen Wert finden, ihn dann wieder in die Formel einsetzen und einen anderen Wert erhalten. Das Ergebnis ist eine große Folge von Zahlen.

Um sich ein vollständiges Bild von einem solchen Satz zu machen, müssen Sie eine Vielzahl von Berechnungen durchführen - Hunderte, Tausende, Millionen. Es war einfach unmöglich, es manuell zu tun. Aber als den Mathematikern leistungsfähige Rechengeräte zur Verfügung standen, konnten sie einen neuen Blick auf Formeln und Ausdrücke werfen, die schon lange von Interesse waren. Mandelbrot war der erste, der einen Computer benutzte, um das klassische Fraktal zu berechnen. Nachdem er eine Folge verarbeitet hatte, die aus einer großen Anzahl von Werten bestand, übertrug Benoit die Ergebnisse in einen Graphen. Hier ist, was er hat.

Anschließend wurde dieses Bild gefärbt (eine der Möglichkeiten zum Färben ist beispielsweise die Anzahl der Iterationen) und wurde zu einem der beliebtesten Bilder, die jemals von Menschen geschaffen wurden.

Wie das alte Sprichwort, das Heraklit von Ephesus zugeschrieben wird, sagt: „Du kannst nicht zweimal in denselben Fluss steigen.“ Es ist am besten geeignet, um die Geometrie von Fraktalen zu interpretieren. Egal wie detailliert wir ein Fraktalbild untersuchen, wir werden immer ein ähnliches Muster sehen.

Wer sehen möchte, wie ein Bild des Mandelbrot-Raums aussehen würde, wenn es um ein Vielfaches vergrößert wird, kann dies tun, indem er ein animiertes GIF hochlädt.

⇡ Lauren Carpenter: von der Natur geschaffene Kunst

Die Theorie der Fraktale fand bald praktische Anwendung. Da es eng mit der Visualisierung selbstähnlicher Bilder verbunden ist, überrascht es nicht, dass die ersten, die sich Algorithmen und Prinzipien zur Konstruktion ungewöhnlicher Formen zu eigen machten, Künstler waren.

Der spätere Mitbegründer des legendären Pixar-Studios, Loren C. Carpenter, begann 1967 bei Boeing Computer Services zu arbeiten, einer der Abteilungen des bekannten Konzerns, die sich mit der Entwicklung neuer Flugzeuge beschäftigte.

1977 erstellte er Präsentationen mit Prototypen von Flugmodellen. Lauren war für die Entwicklung von Bildern des zu entwerfenden Flugzeugs verantwortlich. Er musste Bilder von neuen Modellen erstellen, die zukünftige Flugzeuge aus verschiedenen Blickwinkeln zeigen. Irgendwann hatte der spätere Gründer der Pixar Animation Studios die kreative Idee, ein Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heute kann jedes Schulkind ein solches Problem lösen, aber Ende der siebziger Jahre des letzten Jahrhunderts konnten Computer solche komplexen Berechnungen nicht bewältigen - es gab keine grafischen Editoren, geschweige denn Anwendungen für dreidimensionale Grafiken. 1978 sah Lauren zufällig Benoit Mandelbrots Buch Fractals: Form, Randomness and Dimension in einem Geschäft. In diesem Buch wurde seine Aufmerksamkeit auf die Tatsache gelenkt, dass Benoit viele Beispiele fraktaler Formen im wirklichen Leben gab und bewies, dass sie durch einen mathematischen Ausdruck beschrieben werden können.

Diese Analogie wurde vom Mathematiker nicht zufällig gewählt. Tatsache ist, dass er sich, sobald er seine Forschungen veröffentlichte, einer ganzen Flut von Kritik stellen musste. Die Hauptsache, die ihm seine Kollegen vorwarfen, war die Nutzlosigkeit der entwickelten Theorie. „Ja“, sagten sie, „das sind schöne Bilder, aber nicht mehr. Die Theorie der Fraktale hat keinen praktischen Wert.“ Es gab auch diejenigen, die im Allgemeinen glaubten, dass Fraktalmuster einfach ein Nebenprodukt der Arbeit von „Teufelsmaschinen“ seien, die vielen Ende der siebziger Jahre als etwas zu Kompliziertes und Unerforschtes erschienen, um vollständig vertrauenswürdig zu sein. Mandelbrot versuchte, eine offensichtliche Anwendung der Fraktaltheorie zu finden, aber im Großen und Ganzen war dies nicht nötig. Die Anhänger von Benoit Mandelbrot erwiesen sich in den nächsten 25 Jahren als sehr nützlich für eine solche "mathematische Kuriosität", und Lauren Carpenter war eine der ersten, die die fraktale Methode in die Praxis umsetzte.

Nachdem er das Buch studiert hatte, studierte der zukünftige Animator ernsthaft die Prinzipien der fraktalen Geometrie und begann nach einer Möglichkeit zu suchen, sie in der Computergrafik zu implementieren. In nur drei Arbeitstagen konnte Lauren ein realistisches Bild des Gebirgssystems auf seinem Computer visualisieren. Mit anderen Worten, er malte mit Hilfe von Formeln eine vollständig erkennbare Berglandschaft.

Das Prinzip, das Lauren benutzte, um ihr Ziel zu erreichen, war sehr einfach. Es bestand darin, eine größere geometrische Figur in kleine Elemente zu unterteilen, und diese wiederum wurden in ähnliche Figuren kleinerer Größe unterteilt.

Carpenter zerlegte größere Dreiecke in vier kleinere und wiederholte diesen Vorgang immer wieder, bis er eine realistische Berglandschaft hatte. So gelang es ihm, als erster Künstler einen fraktalen Algorithmus in der Computergrafik zu verwenden, um Bilder zu erstellen. Sobald die geleistete Arbeit bekannt wurde, griffen Enthusiasten auf der ganzen Welt diese Idee auf und begannen, den fraktalen Algorithmus zu verwenden, um realistische natürliche Formen zu simulieren.

Eines der ersten 3D-Renderings, das den Fraktal-Algorithmus verwendet

Nur wenige Jahre später konnte Lauren Carpenter seine Errungenschaften in einem viel größeren Projekt anwenden. Der Animator basierte sie auf einer zweiminütigen Demo, Vol Libre, die 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte alle, die es sahen, und Lauren erhielt eine Einladung von Lucasfilm.

Die Animation wurde auf einem VAX-11/780-Computer von Digital Equipment Corporation mit einer Taktrate von fünf Megahertz gerendert, und jedes Bild dauerte ungefähr eine halbe Stunde zum Zeichnen.

Der Animator arbeitete für Lucasfilm Limited und erstellte die gleichen 3D-Landschaften für den zweiten Spielfilm der Star-Trek-Saga. In The Wrath of Khan war Carpenter in der Lage, einen ganzen Planeten mit dem gleichen Prinzip der fraktalen Oberflächenmodellierung zu erschaffen.

Derzeit verwenden alle gängigen Anwendungen zum Erstellen von 3D-Landschaften dasselbe Prinzip zum Erzeugen natürlicher Objekte. Terragen, Bryce, Vue und andere 3D-Editoren verlassen sich auf einen fraktalen Oberflächen- und Texturmodellierungsalgorithmus.

⇡ Fraktale Antennen: Weniger ist besser, aber besser

Im letzten halben Jahrhundert hat sich das Leben schnell verändert. Die meisten von uns nehmen die Fortschritte in der modernen Technologie als selbstverständlich hin. An alles, was das Leben angenehmer macht, gewöhnt man sich sehr schnell. Selten stellt sich jemand die Frage „Wo kommt das her?“ und wie funktioniert es?". Ein Mikrowellenherd wärmt das Frühstück auf - na toll, ein Smartphone ermöglicht es Ihnen, mit einer anderen Person zu sprechen - großartig. Dies scheint uns eine naheliegende Möglichkeit zu sein.

Aber das Leben könnte völlig anders sein, wenn eine Person nicht nach einer Erklärung für die stattfindenden Ereignisse suchen würde. Nehmen wir zum Beispiel Handys. Erinnern Sie sich an die einziehbaren Antennen der ersten Modelle? Sie mischten sich ein, vergrößerten das Gerät und gingen am Ende oft kaputt. Wir glauben, dass sie für immer in Vergessenheit geraten sind, und teilweise deshalb ... Fraktale.

Fraktale Zeichnungen faszinieren mit ihren Mustern. Sie ähneln definitiv Bildern von Weltraumobjekten - Nebeln, Galaxienhaufen und so weiter. Daher ist es ganz natürlich, dass, als Mandelbrot seine Theorie der Fraktale vorstellte, seine Forschung erhöhtes Interesse unter denen weckte, die sich mit Astronomie befassten. Ein solcher Laie namens Nathan Cohen war nach dem Besuch eines Vortrags von Benoit Mandelbrot in Budapest von der Idee der praktischen Anwendung der gewonnenen Erkenntnisse begeistert. Er tat es zwar intuitiv, und der Zufall spielte bei seiner Entdeckung eine wichtige Rolle. Als Funkamateur war Nathan bestrebt, eine Antenne mit höchstmöglicher Empfindlichkeit zu entwickeln.

Die einzige Möglichkeit, die Parameter der damals bekannten Antenne zu verbessern, bestand darin, ihre geometrischen Abmessungen zu vergrößern. Der Besitzer von Nathans Wohnung in der Innenstadt von Boston war jedoch entschieden dagegen, große Geräte auf dem Dach zu installieren. Dann begann Nathan mit verschiedenen Antennenformen zu experimentieren und versuchte, mit minimaler Größe das maximale Ergebnis zu erzielen. Befeuert von der Idee fraktaler Formen, hat Cohen, wie man so schön sagt, zufällig eines der berühmtesten Fraktale aus Draht gemacht – die „Koch-Schneeflocke“. Der schwedische Mathematiker Helge von Koch hat diese Kurve bereits 1904 erfunden. Es wird erhalten, indem das Segment in drei Teile geteilt wird und das mittlere Segment durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt wird, dessen Seite nicht mit diesem Segment zusammenfällt. Die Definition ist etwas schwer zu verstehen, aber die Abbildung ist klar und einfach.

Es gibt auch andere Varianten der "Koch-Kurve", aber die ungefähre Form der Kurve bleibt ähnlich

Als Nathan die Antenne an den Funkempfänger anschloss, war er sehr überrascht – die Empfindlichkeit stieg dramatisch an. Nach einer Reihe von Experimenten erkannte der zukünftige Professor an der Boston University, dass eine nach einem fraktalen Muster hergestellte Antenne einen hohen Wirkungsgrad hat und im Vergleich zu klassischen Lösungen einen viel größeren Frequenzbereich abdeckt. Zudem kann die Form der Antenne in Form einer fraktalen Kurve die geometrischen Abmessungen deutlich reduzieren. Nathan Cohen hat sogar ein Theorem entwickelt, das beweist, dass es zur Herstellung einer Breitbandantenne ausreicht, ihr die Form einer selbstähnlichen Fraktalkurve zu geben.

Der Autor ließ seine Entdeckung patentieren und gründete eine Firma für die Entwicklung und das Design fraktaler Antennen Fractal Antenna Systems, in der zu Recht glauben, dass Mobiltelefone dank seiner Entdeckung in Zukunft in der Lage sein werden, sperrige Antennen loszuwerden und kompakter zu werden.

Im Grunde ist das passiert. Natürlich befindet sich Nathan bis heute in einem Rechtsstreit mit großen Unternehmen, die seine Entdeckung illegal nutzen, um kompakte Kommunikationsgeräte herzustellen. Mit dem Erfinder der fraktalen Antenne haben einige namhafte Mobilgerätehersteller wie Motorola bereits ein Friedensabkommen geschlossen.

⇡ Fraktale Dimensionen: Der Verstand versteht nicht

Benoit hat diese Frage von dem berühmten amerikanischen Wissenschaftler Edward Kasner entlehnt.

Letzterer unterhielt sich wie viele andere berühmte Mathematiker sehr gerne mit Kindern, stellte ihnen Fragen und erhielt unerwartete Antworten. Manchmal führte dies zu überraschenden Ergebnissen. So kam beispielsweise der neunjährige Neffe von Edward Kasner auf das heute bekannte Wort „googol“, das eine Einheit mit hundert Nullen bezeichnet. Aber zurück zu den Fraktalen. Der amerikanische Mathematiker fragte gern, wie lang die US-Küstenlinie ist. Nachdem er sich die Meinung des Gesprächspartners angehört hatte, sprach Edward selbst die richtige Antwort. Wenn Sie die Länge auf der Karte mit unterbrochenen Segmenten messen, ist das Ergebnis ungenau, da die Küste viele Unregelmäßigkeiten aufweist. Und was passiert, wenn man möglichst genau misst? Sie müssen die Länge jeder Unebenheit berücksichtigen - Sie müssen jedes Kap, jede Bucht, jeden Felsen, die Länge eines Felsvorsprungs, einen Stein darauf, ein Sandkorn, ein Atom und so weiter messen. Da die Anzahl der Unregelmäßigkeiten gegen unendlich tendiert, wird die gemessene Länge der Küstenlinie mit jeder neuen Unregelmäßigkeit ins Unendliche zunehmen.

Je kleiner das Maß beim Messen, desto größer die gemessene Länge

Interessanterweise waren die Kinder viel schneller als die Erwachsenen, wenn sie Edwards Aufforderungen folgten, die richtige Antwort zu sagen, während letztere Schwierigkeiten hatten, eine so unglaubliche Antwort zu akzeptieren.

Am Beispiel dieses Problems schlug Mandelbrot vor, einen neuen Messansatz zu verwenden. Da die Küstenlinie einer fraktalen Kurve nahe kommt, bedeutet dies, dass ein charakterisierender Parameter, die sogenannte fraktale Dimension, darauf angewendet werden kann.

Was das übliche Maß ist, ist jedem klar. Wenn die Dimension gleich eins ist, erhalten wir eine gerade Linie, wenn zwei - eine flache Figur, drei - Volumen. Ein solches Verständnis von Dimension in der Mathematik funktioniert jedoch nicht mit fraktalen Kurven, wo dieser Parameter einen gebrochenen Wert hat. Die fraktale Dimension in der Mathematik kann bedingt als "Rauheit" betrachtet werden. Je höher die Rauhigkeit der Kurve, desto größer ihre fraktale Dimension. Eine Kurve, die nach Mandelbrot eine fraktale Dimension hat, die höher ist als ihre topologische Dimension, hat eine ungefähre Länge, die nicht von der Anzahl der Dimensionen abhängt.

Derzeit finden Wissenschaftler immer mehr Bereiche für die Anwendung der Fraktaltheorie. Mit Hilfe von Fraktalen können Sie Schwankungen von Aktienkursen analysieren, alle Arten von natürlichen Prozessen untersuchen, wie z. B. Schwankungen in der Artenzahl, oder die Dynamik von Strömungen simulieren. Fraktale Algorithmen können zur Datenkomprimierung verwendet werden, beispielsweise zur Bildkomprimierung. Übrigens, um ein schönes Fraktal auf Ihren Computerbildschirm zu bekommen, müssen Sie keinen Doktortitel haben.

⇡ Fraktal im Browser

Vielleicht ist eine der einfachsten Möglichkeiten, ein Fraktalmuster zu erhalten, die Verwendung des Online-Vektoreditors des jungen talentierten Programmierers Toby Schachman. Das Toolkit dieses einfachen Grafikeditors basiert auf dem gleichen Prinzip der Selbstähnlichkeit.

Es stehen Ihnen nur zwei einfache Formen zur Verfügung - ein Quadrat und ein Kreis. Sie können sie der Leinwand hinzufügen, skalieren (um entlang einer der Achsen zu skalieren, halten Sie die Umschalttaste gedrückt) und drehen. In Anlehnung an das Prinzip der Booleschen Additionsoperationen bilden diese einfachsten Elemente neue, weniger triviale Formen. Darüber hinaus können diese neuen Formulare dem Projekt hinzugefügt werden, und das Programm wiederholt die Generierung dieser Bilder auf unbestimmte Zeit. In jeder Phase der Arbeit an einem Fraktal können Sie zu jeder Komponente einer komplexen Form zurückkehren und ihre Position und Geometrie bearbeiten. Es macht viel Spaß, besonders wenn man bedenkt, dass das einzige Werkzeug, das Sie brauchen, um kreativ zu sein, ein Browser ist. Wenn Sie das Prinzip der Arbeit mit diesem rekursiven Vektoreditor nicht verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich das Video auf der offiziellen Website des Projekts anzusehen, das den gesamten Prozess der Erstellung eines Fraktals detailliert zeigt.

⇡ XaoS: Fraktale für jeden Geschmack

Viele Grafikeditoren verfügen über integrierte Tools zum Erstellen von Fraktalmustern. Diese Werkzeuge sind jedoch normalerweise sekundär und ermöglichen Ihnen keine Feinabstimmung des generierten Fraktalmusters. In Fällen, in denen es notwendig ist, ein mathematisch genaues Fraktal zu erstellen, kommt der plattformübergreifende XaoS-Editor zur Rettung. Dieses Programm ermöglicht es nicht nur, ein selbstähnliches Bild zu erstellen, sondern auch verschiedene Manipulationen damit durchzuführen. Beispielsweise können Sie in Echtzeit durch ein Fraktal „gehen“, indem Sie seine Skalierung ändern. Animierte Bewegungen entlang eines Fraktals können als XAF-Datei gespeichert und dann im Programm selbst abgespielt werden.

XaoS kann einen zufälligen Satz von Parametern laden sowie verschiedene Bildnachbearbeitungsfilter verwenden - einen unscharfen Bewegungseffekt hinzufügen, scharfe Übergänge zwischen fraktalen Punkten glätten, ein 3D-Bild simulieren und so weiter.

⇡ Fractal Zoomer: kompakter Fraktalgenerator

Im Vergleich zu anderen Fraktalbildgeneratoren hat es mehrere Vorteile. Erstens ist es ziemlich klein und erfordert keine Installation. Zweitens implementiert es die Fähigkeit, die Farbpalette des Bildes zu definieren. Sie können Farbtöne in RGB-, CMYK-, HVS- und HSL-Farbmodellen auswählen.

Sehr komfortabel ist auch die Möglichkeit der zufälligen Auswahl von Farbtönen und die Funktion zum Invertieren aller Farben im Bild. Um die Farbe anzupassen, gibt es eine Funktion zur zyklischen Auswahl von Farbtönen - wenn der entsprechende Modus eingeschaltet ist, animiert das Programm das Bild und ändert zyklisch die Farben darauf.

Fractal Zoomer kann 85 verschiedene Fraktalfunktionen visualisieren, und Formeln werden deutlich im Programmmenü angezeigt. Es gibt Filter für die Nachbearbeitung von Bildern im Programm, wenn auch in geringer Menge. Jeder zugewiesene Filter kann jederzeit aufgehoben werden.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-Fraktal-Editor

Wenn der Begriff "Fraktal" verwendet wird, bedeutet dies meistens ein flaches zweidimensionales Bild. Die fraktale Geometrie geht jedoch über die 2D-Dimension hinaus. In der Natur findet man sowohl Beispiele für flache fraktale Formen, beispielsweise die Geometrie von Blitzen, als auch für dreidimensionale dreidimensionale Figuren. Fraktale Oberflächen können 3D sein, und eine sehr anschauliche Illustration von 3D-Fraktalen im Alltag ist ein Kohlkopf. Die vielleicht beste Art, Fraktale zu sehen, ist in Romanesco, einer Mischung aus Blumenkohl und Brokkoli.

Und dieses Fraktal kann gegessen werden

Das Programm Mandelbulb3D kann dreidimensionale Objekte mit ähnlicher Form erstellen. Um eine 3D-Oberfläche unter Verwendung des Fraktalalgorithmus zu erhalten, konvertierten die Autoren dieser Anwendung, Daniel White und Paul Nylander, die Mandelbrot-Menge in sphärische Koordinaten. Das von ihnen erstellte Mandelbulb3D-Programm ist ein echter dreidimensionaler Editor, der fraktale Oberflächen verschiedener Formen modelliert. Da wir häufig fraktale Muster in der Natur beobachten, erscheint ein künstlich erzeugtes fraktales dreidimensionales Objekt unglaublich realistisch und sogar „lebendig“.

Es kann wie eine Pflanze aussehen, es kann einem seltsamen Tier, einem Planeten oder etwas anderem ähneln. Dieser Effekt wird durch einen fortschrittlichen Rendering-Algorithmus verstärkt, der es ermöglicht, realistische Reflexionen zu erhalten, Transparenz und Schatten zu berechnen, den Effekt der Schärfentiefe zu simulieren und so weiter. Mandelbulb3D hat eine riesige Menge an Einstellungen und Rendering-Optionen. Sie können die Schattierungen von Lichtquellen steuern, den Hintergrund und den Detaillierungsgrad des modellierten Objekts auswählen.

Der Incendia-Fraktaleditor unterstützt die Doppelbildglättung, enthält eine Bibliothek mit fünfzig verschiedenen dreidimensionalen Fraktalen und verfügt über ein separates Modul zum Bearbeiten von Grundformen.

Die Anwendung nutzt Fractal Scripting, mit dem Sie eigenständig neuartige fraktale Strukturen beschreiben können. Incendia verfügt über Textur- und Materialeditoren sowie eine Rendering-Engine, mit der Sie volumetrische Nebeleffekte und verschiedene Shader verwenden können. Das Programm verfügt über eine Option zum Speichern des Puffers während des Langzeit-Renderings, die Animationserstellung wird unterstützt.

Mit Incendia können Sie ein Fraktalmodell in gängige 3D-Grafikformate exportieren - OBJ und STL. Incendia enthält ein kleines Geometrica-Hilfsprogramm - ein spezielles Werkzeug zum Einrichten des Exports einer fraktalen Oberfläche in ein dreidimensionales Modell. Mit diesem Dienstprogramm können Sie die Auflösung einer 3D-Oberfläche bestimmen und die Anzahl der fraktalen Iterationen angeben. Exportierte Modelle können in 3D-Projekten verwendet werden, wenn Sie mit 3D-Editoren wie Blender, 3ds max und anderen arbeiten.

In letzter Zeit hat sich die Arbeit am Incendia-Projekt etwas verlangsamt. Derzeit sucht der Autor nach Sponsoren, die ihn bei der Entwicklung des Programms unterstützen.

Wenn Sie nicht genug Fantasie haben, um in diesem Programm ein schönes dreidimensionales Fraktal zu zeichnen, macht das nichts. Verwenden Sie die Parameterbibliothek, die sich im Ordner INCENDIA_EX\parameters befindet. Mit Hilfe von PAR-Dateien können Sie schnell die ungewöhnlichsten fraktalen Formen finden, einschließlich animierter.

⇡ Aural: wie Fraktale singen

Wir sprechen normalerweise nicht von Projekten, an denen gerade gearbeitet wird, aber in diesem Fall müssen wir eine Ausnahme machen, dies ist eine sehr ungewöhnliche Anwendung. Ein Projekt namens Aural entstand mit der gleichen Person wie Incendia. Allerdings visualisiert das Programm dieses Mal nicht das fraktale Set, sondern bringt es zum Ausdruck und verwandelt es in elektronische Musik. Die Idee ist sehr interessant, besonders wenn man die ungewöhnlichen Eigenschaften von Fraktalen betrachtet. Aural ist ein Audio-Editor, der Melodien mit fraktalen Algorithmen erzeugt, das heißt, es ist tatsächlich ein Audio-Synthesizer-Sequenzer.

Die von diesem Programm ausgegebene Tonfolge ist ungewöhnlich und ... schön. Es kann durchaus nützlich sein, um moderne Rhythmen zu schreiben, und eignet sich unserer Meinung nach besonders gut, um Soundtracks für die Intros von Fernseh- und Radiosendungen sowie "Loops" von Hintergrundmusik für Computerspiele zu erstellen. Ramiro hat noch keine Demo seines Programms zur Verfügung gestellt, verspricht aber, dass er dann, um mit Aural zu arbeiten, nicht die Theorie der Fraktale lernen muss – sondern einfach mit den Parametern des Algorithmus zur Generierung einer Tonfolge spielen muss . Hören Sie, wie Fraktale klingen, und.

Fraktale: musikalische Pause

Tatsächlich können Fraktale helfen, Musik auch ohne Software zu schreiben. Das kann aber nur jemand, der wirklich von der Idee der natürlichen Harmonie besessen ist und gleichzeitig nicht zum unglücklichen „Nerd“ geworden ist. Es ist sinnvoll, sich an einem Musiker namens Jonathan Coulton zu orientieren, der unter anderem Kompositionen für das Magazin Popular Science schreibt. Und im Gegensatz zu anderen Künstlern veröffentlicht Colton alle seine Werke unter einer Creative Commons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die (bei Verwendung für nichtkommerzielle Zwecke) das kostenlose Kopieren, Verteilen, Übertragen von Werken an andere sowie deren Änderung (Erstellung von abgeleiteten Werken), um es an Ihre Bedürfnisse anzupassen.

Jonathan Colton hat natürlich ein Lied über Fraktale.

⇡ Fazit

In allem, was uns umgibt, sehen wir oft Chaos, aber tatsächlich ist dies kein Zufall, sondern eine ideale Form, die uns durch Fraktale zu erkennen hilft. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir irgendwo keine Muster sehen, bedeutet dies, dass wir es in einem anderen Maßstab suchen müssen. Die Menschen verstehen das immer besser und versuchen, natürliche Formen in vielerlei Hinsicht nachzuahmen. Ingenieure entwerfen Lautsprechersysteme in Form einer Hülle, erstellen Antennen mit Schneeflockengeometrie und so weiter. Wir sind sicher, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, und viele davon müssen noch vom Menschen entdeckt werden.

Was haben ein Baum, eine Küste, eine Wolke oder Blutgefäße in unserer Hand gemeinsam? Auf den ersten Blick scheinen all diese Objekte nichts gemeinsam zu haben. Tatsächlich gibt es jedoch eine Eigenschaft der Struktur, die allen aufgelisteten Objekten innewohnt: Sie sind selbstähnlich. Sowohl vom Ast als auch vom Stamm eines Baumes gehen kleinere Prozesse aus - noch kleinere usw., dh ein Ast ist dem ganzen Baum ähnlich. Das Kreislaufsystem ist ähnlich angeordnet: Arteriolen gehen von den Arterien aus und von ihnen - den kleinsten Kapillaren, durch die Sauerstoff in Organe und Gewebe gelangt. Schauen wir uns Satellitenbilder der Meeresküste an: Wir werden Buchten und Halbinseln sehen; werfen wir einen Blick darauf, aber aus der Vogelperspektive: Wir werden Buchten und Kaps sehen; Stellen Sie sich nun vor, wir stehen am Strand und schauen auf unsere Füße: Es wird immer Kiesel geben, die weiter ins Wasser ragen als die anderen. Das heißt, die Küstenlinie bleibt sich selbst ähnlich, wenn sie hineingezoomt wird. Der amerikanische Mathematiker Benoit Mandelbrot nannte diese Eigenschaft von Objekten Fraktalität und solche Objekte selbst - Fraktale (vom lateinischen fractus - gebrochen).

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort „Fraktal“ kein mathematischer Begriff. Normalerweise ist ein Fraktal eine geometrische Figur, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt: Es hat bei jeder Vergrößerung eine komplexe Struktur (anders als beispielsweise eine gerade Linie, von der jeder Teil die einfachste geometrische Figur ist - ein Segment). Es ist (annähernd) selbstähnlich. Es hat eine gebrochene Hausdorff- (fraktale) Dimension, die größer ist als die topologische. Kann mit rekursiven Prozeduren erstellt werden.

Geometrie und Algebra

Das Studium der Fraktale an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war eher episodisch als systematisch, da frühere Mathematiker hauptsächlich „gute“ Objekte untersuchten, die mit allgemeinen Methoden und Theorien untersucht werden konnten. 1872 baut der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Seine Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer zu verstehen. Daher hat der Schwede Helge von Koch 1904 eine kontinuierliche Kurve entwickelt, die nirgendwo tangiert und die ganz einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine Variation dieser Kurve wird Koch-Schneeflocke genannt.

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden von dem Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. 1938 erschien sein Artikel „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole“, in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wird – die Lévy C-Kurve. Alle diese oben aufgeführten Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine andere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, zu denen die Mandelbrot-Menge gehört. Die ersten Forschungen in diese Richtung begannen Anfang des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. 1918 wurden fast zweihundert Seiten von Julias Memoiren veröffentlicht, die Iterationen komplexer rationaler Funktionen gewidmet sind, in denen Julia-Mengen beschrieben werden - eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Diese Arbeit wurde mit dem Preis der französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, sodass die Schönheit der entdeckten Objekte nicht gewürdigt werden konnte. Obwohl diese Arbeit Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, geriet sie schnell in Vergessenheit. Erst ein halbes Jahrhundert später, mit dem Aufkommen der Computer, richtete sich die Aufmerksamkeit wieder darauf: Sie waren es, die den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar machten.

Fraktale Dimensionen

Wie Sie wissen, ist die Dimension (Anzahl der Messungen) einer geometrischen Figur die Anzahl der Koordinaten, die erforderlich sind, um die Position eines auf dieser Figur liegenden Punktes zu bestimmen.
Beispielsweise wird die Position eines Punktes auf einer Kurve durch eine Koordinate bestimmt, auf einer Fläche (nicht notwendigerweise einer Ebene) durch zwei Koordinaten, im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten.
Aus allgemeinerer mathematischer Sicht kann Dimension wie folgt definiert werden: Eine Vergrößerung der linearen Dimensionen, beispielsweise um das Doppelte, für eindimensionale (aus topologischer Sicht) Objekte (Segment) führt zu einer Vergrößerung der Größe (Länge ) um den Faktor zwei, für zweidimensional (Quadrat) führt die gleiche Zunahme der linearen Abmessungen zu einer Vergrößerung (Fläche) um das 4-fache, für dreidimensionale (Würfel) um das 8-fache. Das heißt, die „reale“ (sogenannte Hausdorff-)Dimension kann als Verhältnis des Logarithmus der Zunahme der „Größe“ eines Objekts zum Logarithmus der Zunahme seiner linearen Größe berechnet werden. Das heißt, für ein Segment D=log (2)/log (2)=1, für eine Ebene D=log (4)/log (2)=2, für ein Volumen D=log (8)/log (2 )=3.
Berechnen wir nun die Dimension der Koch-Kurve, zu deren Konstruktion die Einheitsstrecke in drei gleiche Teile geteilt wird und das mittlere Intervall durch ein gleichseitiges Dreieck ohne diese Strecke ersetzt wird. Bei einer dreifachen Vergrößerung der linearen Abmessungen des minimalen Segments erhöht sich die Länge der Koch-Kurve in log (4) / log (3) ~ 1,26. Das heißt, die Dimension der Koch-Kurve ist gebrochen!

Wissenschaft und Kunst

1982 erschien Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. Mandelbrot legte den Schwerpunkt seiner Präsentation nicht auf schwerfällige Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie geschickt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und die Fraktale einer breiten Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg bei Nichtmathematikern ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe von sehr einfachen Konstruktionen und Formeln, die selbst ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit entstehen. Als PCs leistungsfähig genug wurden, tauchte sogar ein ganzer Trend in der Kunst auf - Fraktalmalerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte es tun. Jetzt im Internet können Sie leicht viele Websites finden, die sich diesem Thema widmen.

Schema zum Erhalten der Koch-Kurve

Krieg und Frieden

Wie oben erwähnt, ist die Küste eines der natürlichen Objekte mit fraktalen Eigenschaften. Eine interessante Geschichte ist damit verbunden, oder besser gesagt, mit dem Versuch, seine Länge zu messen, die die Grundlage von Mandelbrots wissenschaftlichem Artikel bildete und auch in seinem Buch "The Fractal Geometry of Nature" beschrieben wird. Wir sprechen über ein Experiment, das von Lewis Richardson, einem sehr talentierten und exzentrischen Mathematiker, Physiker und Meteorologen, ins Leben gerufen wurde. Eine der Richtungen seiner Forschung war der Versuch, eine mathematische Beschreibung der Ursachen und der Wahrscheinlichkeit eines bewaffneten Konflikts zwischen zwei Ländern zu finden. Zu den Parametern, die er berücksichtigte, gehörte die Länge der gemeinsamen Grenze zwischen den beiden kriegführenden Ländern. Als er Daten für numerische Experimente sammelte, stellte er fest, dass sich die Angaben zur gemeinsamen Grenze zwischen Spanien und Portugal in verschiedenen Quellen stark unterscheiden. Dabei kam er zu folgender Entdeckung: Die Länge der Landesgrenzen hängt davon ab, mit welchem ​​Lineal wir sie messen. Je kleiner der Maßstab, desto länger wird der Rand. Dies liegt daran, dass bei stärkerer Vergrößerung immer mehr Küstenkrümmungen berücksichtigt werden können, die zuvor aufgrund der Unebenheit der Messungen vernachlässigt wurden. Und wenn bei jedem Zoom zuvor nicht berücksichtigte Linienkrümmungen geöffnet werden, stellt sich heraus, dass die Länge der Grenzen unendlich ist! Tatsächlich passiert dies jedoch nicht - die Genauigkeit unserer Messungen hat eine endliche Grenze. Dieses Paradoxon wird als Richardson-Effekt bezeichnet.

Konstruktive (geometrische) Fraktale

Der Algorithmus zum Konstruieren eines konstruktiven Fraktals im allgemeinen Fall ist wie folgt. Zunächst einmal brauchen wir zwei passende geometrische Formen, nennen wir sie die Basis und das Fragment. In der ersten Phase wird die Basis des zukünftigen Fraktals dargestellt. Dann werden einige seiner Teile durch ein Fragment in geeignetem Maßstab ersetzt - dies ist die erste Iteration der Konstruktion. Dann verwandeln sich in der resultierenden Figur einige Teile wieder in fragmentähnliche Figuren usw. Wenn wir diesen Prozess unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir am Ende ein Fraktal.

Betrachten Sie diesen Vorgang am Beispiel der Koch-Kurve (siehe Kasten auf der vorherigen Seite). Als Grundlage der Koch-Kurve kann jede beliebige Kurve genommen werden (bei der Koch-Schneeflocke ist dies ein Dreieck). Aber wir beschränken uns auf den einfachsten Fall - ein Segment. Das Fragment ist eine unterbrochene Linie, die oben in der Figur gezeigt ist. Nach der ersten Iteration des Algorithmus fällt in diesem Fall das ursprüngliche Segment mit dem Fragment zusammen, dann wird jedes seiner konstituierenden Segmente selbst durch eine unterbrochene Linie ähnlich dem Fragment ersetzt usw. Die Abbildung zeigt die ersten vier Schritte dieses Prozesses.

Die Sprache der Mathematik: dynamische (algebraische) Fraktale

Fraktale dieser Art entstehen bei der Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme (daher der Name). Das Verhalten eines solchen Systems kann durch eine komplexe nichtlineare Funktion (Polynom) f(z) beschrieben werden. Nehmen wir einen Anfangspunkt z0 auf der komplexen Ebene (siehe Seitenleiste). Betrachten Sie nun eine solche unendliche Folge von Zahlen auf der komplexen Ebene, von denen jede aus der vorherigen erhalten wird: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Je nach Anfangspunkt z0 kann sich eine solche Folge unterschiedlich verhalten: gegen unendlich gehen als n -> ∞; konvergieren zu einem Endpunkt; nehmen zyklisch eine Reihe fester Werte an; komplexere Optionen sind möglich.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zwei Teilen besteht - reelle und imaginäre, dh die formale Summe x + iy (x und y sind hier reelle Zahlen). Ich bin das sog. imaginäre Einheit, also eine Zahl, die die Gleichung erfüllt ich^ 2 = -1. Über komplexe Zahlen werden die grundlegenden mathematischen Operationen definiert - Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion (nur die Vergleichsoperation ist nicht definiert). Um komplexe Zahlen anzuzeigen, wird häufig eine geometrische Darstellung verwendet - in der Ebene (sie wird als komplex bezeichnet) wird der Realteil entlang der Abszissenachse und der Imaginärteil entlang der Ordinatenachse aufgetragen, während die komplexe Zahl einem Punkt entspricht mit kartesischen Koordinaten x und y.

Somit hat jeder Punkt z der komplexen Ebene seinen eigenen Verhaltenscharakter während Iterationen der Funktion f(z), und die gesamte Ebene wird in Teile geteilt. Darüber hinaus haben die an den Grenzen dieser Teile liegenden Punkte die folgende Eigenschaft: Bei einer beliebig kleinen Verschiebung ändert sich die Art ihres Verhaltens dramatisch (solche Punkte werden Bifurkationspunkte genannt). Es stellt sich also heraus, dass Mengen von Punkten, die einen bestimmten Verhaltenstyp haben, sowie Mengen von Bifurkationspunkten oft fraktale Eigenschaften haben. Dies sind die Julia-Mengen für die Funktion f(z).

Drachenfamilie

Indem Sie die Basis und das Fragment variieren, können Sie eine erstaunliche Vielfalt konstruktiver Fraktale erhalten.
Darüber hinaus können ähnliche Operationen im dreidimensionalen Raum durchgeführt werden. Beispiele für volumetrische Fraktale sind "Mengers Schwamm", "Sierpinskis Pyramide" und andere.
Die Familie der Drachen wird auch als konstruktive Fraktale bezeichnet. Sie werden manchmal mit dem Namen der Entdecker als "Drachen von Heiwei-Harter" bezeichnet (sie ähneln in ihrer Form chinesischen Drachen). Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Kurve zu konstruieren. Die einfachste und offensichtlichste davon ist die folgende: Sie müssen einen ausreichend langen Papierstreifen nehmen (je dünner das Papier, desto besser) und ihn in zwei Hälften biegen. Biegen Sie es dann erneut in der gleichen Richtung wie beim ersten Mal in zwei Hälften. Nach mehreren Wiederholungen (normalerweise nach fünf oder sechs Falten wird der Streifen zu dick, um vorsichtig weiter gebogen zu werden) müssen Sie den Streifen wieder gerade biegen und versuchen, an den Falten 90°-Winkel zu bilden. Dann wird die Kurve des Drachens im Profil ausfallen. Natürlich wird dies nur eine Annäherung sein, wie alle unsere Versuche, fraktale Objekte darzustellen. Der Computer ermöglicht es Ihnen, viele weitere Schritte in diesem Prozess darzustellen, und das Ergebnis ist eine sehr schöne Figur.

Das Mandelbrot-Set ist etwas anders aufgebaut. Betrachten Sie die Funktion fc (z) = z 2 +c, wobei c eine komplexe Zahl ist. Konstruieren wir eine Folge dieser Funktion mit z0=0, je nach Parameter c kann sie gegen unendlich divergieren oder beschränkt bleiben. Außerdem bilden alle Werte von c, für die diese Folge beschränkt ist, die Mandelbrot-Menge. Sie wurde von Mandelbrot selbst und anderen Mathematikern eingehend untersucht, die viele interessante Eigenschaften dieser Menge entdeckten.

Es ist ersichtlich, dass die Definitionen der Julia- und Mandelbrot-Mengen einander ähnlich sind. Tatsächlich sind diese beiden Gruppen eng miteinander verwandt. Die Mandelbrot-Menge sind nämlich alle Werte des komplexen Parameters c, für die die Julia-Menge fc (z) verbunden ist (eine Menge heißt verbunden, wenn sie nicht in zwei sich nicht schneidende Teile geteilt werden kann, mit einigen zusätzlichen Bedingungen).

Fraktale und Leben

Heutzutage wird die Theorie der Fraktale in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit weit verbreitet. Neben einem rein wissenschaftlichen Forschungsgegenstand und der bereits erwähnten Fraktalmalerei werden Fraktale in der Informationstheorie zur Komprimierung von Grafikdaten verwendet (hier wird hauptsächlich die Selbstähnlichkeitseigenschaft von Fraktalen genutzt – immerhin, um sich ein kleines Fragment zu merken einer Zeichnung und Transformationen, mit denen Sie die restlichen Teile erhalten können, wird viel weniger Speicherplatz benötigt, als die gesamte Datei zu speichern). Indem man zufällige Störungen zu den Formeln hinzufügt, die das Fraktal definieren, kann man stochastische Fraktale erhalten, die einige reale Objekte sehr plausibel wiedergeben – Reliefelemente, die Oberfläche von Wasserkörpern, einige Pflanzen, was in der Physik, Geographie und Computergrafik erfolgreich eingesetzt wird größere Ähnlichkeit simulierter Objekte mit realen. In der Funkelektronik begann man im letzten Jahrzehnt damit, Antennen mit fraktaler Form herzustellen. Sie nehmen wenig Platz ein und bieten einen recht hochwertigen Signalempfang. Ökonomen verwenden Fraktale, um Währungsschwankungskurven zu beschreiben (diese Eigenschaft wurde vor über 30 Jahren von Mandelbrot entdeckt). Damit beenden wir diesen kurzen Ausflug in die Welt der Fraktale, die an Schönheit und Vielfalt verblüfft.

MINISTERIUM FÜR HOCHSCHULBILDUNG UND BERUFLICHE BILDUNG

IRKUTSK STAATLICHE WIRTSCHAFTSAKADEMIE

ABTEILUNG FÜR INFORMATIONSSYSTEME

Nach ökonomischen und mathematischen Modellen und Methoden

FRAKTALTHEORIE UND IHRE ANWENDUNGEN

Erstellt von: Leiter:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetwerikov S.V.

IRKUTSK 1997

Alle Bilder sind ähnlich und

Aber nicht eins zum anderen

Goy ist nicht wie; ihre Chöre

Ich werde auf das geheime Gesetz hinweisen

Jut, zum heiligen Rätsel...

J. W. Goethe.

pflanzliche Metamorphose.

WARUM REDEN WIR ÜBER FRAKTALE?

In der zweiten Hälfte unseres Jahrhunderts in der Naturwissenschaft gab es
grundlegende Veränderungen, die zur sogenannten Theorie führten
Selbstorganisation oder Synergetik. Sie wurde plötzlich geboren, als ob auf
mehrere Linien der wissenschaftlichen Forschung überschreiten. Einer der entscheidenden
Erste Impulse verrieten ihr russische Wissenschaftler um die Wende des 20. Jahrhunderts
fünfziger - sechziger Jahre. In den fünfziger Jahren der Wissenschaftler
Der analytische Chemiker B. P. Belousov entdeckte Redox
chemische Reaktion. Entdeckung und Untersuchung von Selbstoszillationen und Autowaves während
Belousov-Reaktionen

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. Krinsky, A.N. Zaikin, G.R.
Ivanitsky - vielleicht die brillanteste Seite des Fundamentals
Russische Wissenschaft in der Nachkriegszeit. Schnelles und erfolgreiches Lernen
Reaktion Belousov - Zhabotinsky wirkte in der Wissenschaft als Auslöser
Hook: Sie erinnerten sich sofort daran, dass Prozesse dieser Art schon früher bekannt waren
Art und dass viele Naturphänomene von der Entstehung von Galaxien reichen
zu Tornados, Zyklonen und dem Lichtspiel auf spiegelnden Oberflächen (so
Kaustik genannt), - eigentlich die Prozesse der Selbstorganisation. Sie sind
kann sehr unterschiedlicher Natur sein: chemisch, mechanisch,
optisch, elektrisch usw. Außerdem stellte sich heraus, dass
ist seit langem fertig und perfekt entwickelte mathematische Theorie
Selbstorganisation. Seine Grundlage wurde durch die Arbeiten von A. Poincaré und A. A.
Lyapunov am Ende des letzten Jahrhunderts. Dissertation „Zur Nachhaltigkeit
Bewegung" wurde 1892 von Lyapunov geschrieben.

Die mathematische Theorie der Selbstorganisation zwingt uns auf eine neue Art und Weise
schau dir die Welt um uns herum an. Lassen Sie uns erklären, wie es sich von unterscheidet
klassische Weltanschauung, da wir das wann wissen müssen
das Studium fraktaler Objekte.

„Das klassische eindeutig deterministische Weltbild
kann durch eine flache, glatte Oberfläche symbolisiert werden, auf der
Bälle kollidieren, nachdem sie eine gewisse Bewegung erhalten haben.
Das zukünftige Schicksal eines jeden dieser Körper wird einzig von ihm bestimmt
"Vergangenheit" zum vorherigen Zeitpunkt (Impuls, Ladung) und
Interaktion mit anderen Körpern. Keine Integrität eines solchen Systems
besitzt nicht." (L. Belousov. Boten eines lebendigen Gewitters. \\ Wissen ist Macht. N
2. 1996. - S.32). So glaubte die klassische Wissenschaft, dass die Zukunft
ein solches System ist starr und eindeutig durch seine Vergangenheit bestimmt und unterliegt
Kenntnis der Vergangenheit, unbegrenzt vorhersehbar.

Die moderne Mathematik hat gezeigt, dass dies in einigen Fällen nicht der Fall ist
so: zum Beispiel, wenn die Kugeln auf eine konvexe Wand treffen, dann ist das vernachlässigbar
die Unterschiede in ihren Flugbahnen werden unendlich wachsen, so dass
das Verhalten des Systems wird irgendwann unvorhersehbar.
Damit wurden die Positionen des eindeutigen Determinismus sogar untergraben
in relativ einfachen Situationen.

Ein Weltbild, das auf der Theorie der Selbstorganisation basiert,
symbolisiert durch das Bild eines gebirgigen Landes mit Tälern, durch die Flüsse fließen,
und Wasserscheiderücken. Dieses Land hat ein starkes Feedback
- sowohl negativ als auch positiv. Wenn der Körper nach unten rollt
entlang der Steigung, dann gibt es ein positives
das Feedback, wenn es versucht, nach oben zu klettern, ist negativ.
Nichtlineare (ausreichend starke) Rückkopplungen sind eine unabdingbare Voraussetzung
Selbstorganisation. Nichtlinearität im ideologischen Sinne bedeutet
multivariate Evolutionspfade, das Vorhandensein einer Auswahl alternativer Pfade
und eine bestimmte Evolutionsrate sowie die Unumkehrbarkeit der Evolution
Prozesse. Betrachten Sie zum Beispiel die Wechselwirkung zweier Körper: A und B. B -
elastischer Baumstamm, A ist ein Bergbach in unserem Land. Die Strömung krümmt sich
Stamm in Richtung der Wasserbewegung, aber bei Erreichen einer bestimmten
Das Biegen des Rumpfes unter Einwirkung einer elastischen Kraft kann sich begradigen und abstoßen
Wasserpartikel zurück. Das heißt, wir sehen eine alternative Interaktion
zwei Körper A und B. Darüber hinaus tritt diese Wechselwirkung so auf, dass
dass die A-B-Beziehung positiv und die B-A-Beziehung negativ ist. Die Bedingung ist erfüllt
Nichtlinearität.

Darüber hinaus können wir in der Selbstorganisationstheorie unsere erzwingen
gebirgiges Land zu "leben", das heißt, sich in der Zeit zu verändern. Gleichzeitig ist es wichtig
Wählen Sie Variablen unterschiedlicher Reihenfolge aus. Eine solche Hierarchie von Variablen
Zeit ist eine notwendige Bedingung für die Anordnung von Selbstorganisation.
Brechen Sie es, "mischen" Sie die Zeiten - Chaos wird kommen (z. B. ein Erdbeben,
wenn Verschiebungen in der geologischen Ordnung innerhalb von Minuten auftreten, und
sollte - für mehrere Jahrtausende) jedoch, wie sich herausstellt, leben
Systeme haben keine so große Angst vor Chaos: Sie leben ständig an seiner Grenze,
manchmal sogar hineinfallen, aber dennoch wissen sie, wie, wenn nötig, daraus
geh raus. In diesem Fall sind die wichtigsten die langsamsten
Zeitvariablen (sie werden Parameter genannt). Es sind die Parameterwerte
Bestimmen Sie, welche Reihe nachhaltiger Lösungen das System haben wird, und
also welche Strukturen können darin überhaupt implementiert werden. BEIM
gleichzeitig schneller

(dynamische) Variablen sind für die konkrete Auswahl des Realisierbaren verantwortlich
stabile Zustände unter den möglichen.

Die Prinzipien der Nichtlinearität und Alternativen für die Wahl der Entwicklung von irgendwelchen
Prozess wird die Entwicklung des Systems auch in der Konstruktion von Fraktalen implementiert.

Wie sich in den letzten Jahrzehnten (aufgrund der Entwicklung der Theorie
Selbstorganisation), Selbstähnlichkeit tritt in einer Vielzahl von Objekten auf und
Phänomene. Beispielsweise kann Selbstähnlichkeit in Ästen und Ästen beobachtet werden
Sträucher, beim Teilen einer befruchteten Zygote, Schneeflocken, Kristalle
Eis, mit der Entwicklung von Wirtschaftssystemen (Kondratjew-Wellen), die Struktur
Gebirgssysteme, in der Struktur von Wolken. Alle oben genannten und andere
ihnen in ihrer Struktur ähnliche werden als Fraktale bezeichnet. Das heißt, sie
besitzen die Eigenschaften der Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianz. Und das
bedeutet, dass einige Fragmente ihrer Struktur streng wiederholt werden
bestimmte räumliche Intervalle. Es ist klar, dass diese Objekte
können beliebiger Art sein und ihr Aussehen und ihre Form bleiben unverändert
unabhängig vom Maßstab.

Daher können wir sagen, dass Fraktale als Modelle verwendet werden
Fall, wenn das reale Objekt nicht in klassischer Form dargestellt werden kann
Modelle. Und das bedeutet, dass wir es mit nichtlinearen Zusammenhängen zu tun haben und
nicht deterministische Natur der Daten. Nichtlinearität im Weltbild
Sinn bedeutet die Multivarianz von Entwicklungspfaden, die Verfügbarkeit einer Auswahl aus
Alternativpfade und ein gewisses Evolutionstempo sowie die Irreversibilität
evolutionäre Prozesse. Nichtlinearität im mathematischen Sinne bedeutet
eine bestimmte Art von mathematischen Gleichungen (nichtlineares Differential
Gleichungen), die die gewünschten Größen in Potenzen größer als eins oder enthalten
Koeffizienten in Abhängigkeit von den Eigenschaften des Mediums. Das heißt, wenn wir uns bewerben
klassische Modelle (z. B. Trend, Regression usw.), wir
wir sagen, dass die Zukunft des Objekts eindeutig bestimmt ist. Und wir können
vorhersagen, die Vergangenheit des Objekts kennen (Eingabedaten für
Modellieren). Und Fraktale werden verwendet, wenn ein Objekt hat
mehrere Entwicklungsmöglichkeiten und der Zustand des Systems wird ermittelt
die Position, in der es sich gerade befindet. Das heißt, wir
versuchen, eine chaotische Entwicklung zu simulieren.

Was gibt uns die Verwendung von Fraktalen?

Sie ermöglichen es Ihnen, komplexe Prozesse und Objekte erheblich zu vereinfachen, was sehr wichtig ist
wichtig für die Modellierung. Ermöglicht die Beschreibung instabiler Systeme und
Prozesse und vor allem die Zukunft solcher Objekte vorherzusagen.

FRAKTALE THEORIE

HINTERGRUND DES ERSCHEINUNGSBILDES

Die Theorie der Fraktale hat ein sehr junges Alter. Sie trat ein
Ende der sechziger Jahre an der Schnittstelle von Mathematik, Informatik, Linguistik
und Biologie. Damals durchdrangen Computer zunehmend das Leben.
Menschen, Wissenschaftler begannen, sie in ihrer Forschung anzuwenden, die Zahl der
Computernutzer. Für den Massengebrauch
Computern wurde es notwendig, den Kommunikationsprozess zwischen einer Person und zu erleichtern
Maschine. Wenn ganz am Anfang des Computerzeitalters ein paar
Programmierer-Benutzer haben selbstlos Befehle in die Maschine eingegeben
Codes und empfangene Ergebnisse in Form von endlosen Papierbändern, dann mit
Es entstand ein massiver und belasteter Modus der Verwendung von Computern
die Notwendigkeit, eine Programmiersprache zu erfinden, die war
für die Maschine verständlich und gleichzeitig leicht zu erlernen und wäre
Anwendung. Das heißt, der Benutzer müsste nur einen eingeben
Befehl, und der Computer würde ihn in einfachere zerlegen und ausführen
hätte sie schon. Um das Schreiben von Übersetzern zu erleichtern, an der Schnittstelle zur Informatik
und Linguistik entstand eine Theorie der Fraktale, die eine strenge Festlegung erlaubt
Beziehungen zwischen algorithmischen Sprachen. Und der dänische Mathematiker und
Der Biologe A. Lindenmeer entwickelte 1968 eine solche Grammatik,
das er das L-System nannte, das, wie er glaubte, auch das Wachstum modelliert
lebende Organismen, insbesondere die Bildung von Sträuchern und Ästen in Pflanzen.

So sieht sein Modell aus. Alphabet festlegen - beliebiger Satz
Figuren. Weisen Sie eines zu, das Anfangswort, das als Axiom bezeichnet wird, - Sie können
bedenken Sie, dass es dem Anfangszustand des Organismus entspricht - dem Embryo.
Und dann beschreiben sie die Regeln, um jedes Zeichen des Alphabets durch ein bestimmtes zu ersetzen
eine Reihe von Symbolen, das heißt, sie legen das Entwicklungsgesetz des Embryos fest. Arbeiten
Die Regeln lauten wie folgt: Wir lesen jedes Symbol des Axioms der Reihe nach und ersetzen es
es zu dem Wort, das in der Substitutionsregel angegeben ist.

Nachdem wir also das Axiom einmal gelesen haben, erhalten wir eine neue Zeile
Zeichen, auf die wir wieder das gleiche Verfahren anwenden. Schritt für Schritt
eine immer längere Zeichenfolge erscheint - jeder dieser Schritte kann sein
als eine der aufeinanderfolgenden Stufen in der Entwicklung des "Organismus" betrachtet.
Bestimmen Sie durch Begrenzung der Anzahl der Schritte, wann die Entwicklung als abgeschlossen gilt.

DER URSPRUNG DER THEORIE DER FRAKTALE

Benoit Mandelbrot kann zu Recht als Vater der Fraktale bezeichnet werden.
Mandelbrot ist der Erfinder des Begriffs „Fraktal“. Mandelbrot
schrieb: „Ich bin auf das Wort „Fraktal“ gekommen, basierend auf dem Lateinischen
Adjektiv "fractus", was unregelmäßig, rekursiv bedeutet,
fragmentarisch. Die erste Definition von Fraktalen stammt ebenfalls von B. Mandelbrot:

Ein Fraktal ist eine selbstähnliche Struktur, von deren Bild nichts abhängt
Skala. Dies ist ein rekursives Modell, bei dem sich jeder Teil für sich wiederholt
Entwicklung Entwicklung des gesamten Modells als Ganzes.

Bis heute gibt es viele verschiedene mathematische Modelle
Fraktale. Das Unterscheidungsmerkmal von jedem von ihnen ist das
sie basieren auf einer rekursiven Funktion, zum Beispiel: xi=f(xi-1).
Mit dem Einsatz von Computern haben Forscher die Möglichkeit, zu erhalten
grafische Bilder von Fraktalen. Die einfachsten Modelle erfordern keine großen
Berechnungen und sie können dabei direkt im Informatikunterricht umgesetzt werden
andere Modelle beanspruchen die Rechenleistung so sehr, dass sie
Die Umsetzung erfolgt auf einem Supercomputer. Übrigens in den USA
Fraktale Modelle werden vom National Application Center untersucht
für Supercomputer (NCSA). In dieser Arbeit wollen wir nur zeigen
mehrere fraktale Modelle, die wir bekommen haben.

Mandelbrot-Modell.

Benoit Mandelbrot hat ein fraktales Modell vorgeschlagen, das bereits geworden ist
klassisch und wird oft verwendet, um zu zeigen, wie typisch
Beispiel des Fraktals selbst und um die Schönheit von Fraktalen zu demonstrieren,
die auch Forscher, Künstler, gerade anzieht
interessierte Menschen.

Die mathematische Beschreibung des Modells lautet wie folgt: auf der komplexen Ebene in
ein gewisses Intervall für jeden Punkt mit der rekursiven Funktion wird berechnet
Z=Z2+c. Es scheint, was ist so besonders an dieser Funktion? Aber nach N
Wiederholungen dieses Verfahrens zur Berechnung der Koordinaten von Punkten, auf
komplexes Flugzeug, eine überraschend schöne Figur erscheint, etwas
birnenartig.

Im Mandelbrot-Modell ist der sich ändernde Faktor der Ausgangspunkt
c und der Parameter z abhängig ist. Daher ein Fraktal zu konstruieren
Mandelbrot gibt es eine Regel: Der Anfangswert von z ist Null (z=0)!
Diese Einschränkung wird eingeführt, damit die erste Ableitung der Funktion
z am Startpunkt war gleich Null. Und das bedeutet, dass in der Initiale
Punkt, die Funktion hat ein Minimum, und fortan wird es nur dauern
große Werte.

Wir möchten darauf hinweisen, dass, wenn die fraktale rekursive Formel eine andere hat
anzeigen, dann sollten Sie einen anderen Wert für den Startpunkt wählen
Parameter Z. Wenn die Formel beispielsweise wie folgt aussieht: z=z2+z+c, dann der Anfangsbuchstabe
Punkt wird sein:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

In dieser Arbeit haben wir die Möglichkeit, Bilder von Fraktalen zu bringen,
die in der NCSA gebaut wurden. Wir haben die Bilddateien per erhalten
Internet Netzwerk.

Abb.1 Mandelbrot-Fraktal

Sie kennen bereits das mathematische Modell des Mandelbrot-Fraktals. Jetzt wir
Lassen Sie uns zeigen, wie es grafisch implementiert wird. Ausgangspunkt des Modells
gleich Null ist. Grafisch entspricht es der Mitte des Birnenkörpers. Durch N
Schritte füllen den gesamten Körper der Birne und an der Stelle, an der sie endete
In der letzten Iteration beginnt sich der „Kopf“ des Fraktals zu bilden.
Der "Kopf" des Fraktals wird genau viermal kleiner sein als der Körper, da
Die mathematische Formel eines Fraktals ist ein Quadrat
Polynom. Dann wieder, nach N Iterationen, beginnt sich der "Körper" zu bilden
„Niere“ (rechts und links vom „Körper“). Usw. Je mehr gegeben
die Anzahl der Iterationen N, desto detaillierter wird das Bild des Fraktals sein,
desto mehr unterschiedliche Prozesse wird es haben. Schematische Darstellung
Die Wachstumsstadien des Mandelbrot-Fraktals sind in Abb. 2 dargestellt:

Abb.2 Schema der Entstehung des Mandelbrot-Fraktals

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen, dass jede nachfolgende Formation auf dem "Körper"
wiederholt in seiner Struktur genau den Körper selbst. Das ist das Besondere
Merkmal, dass dieses Modell ein Fraktal ist.

Die folgenden Abbildungen zeigen, wie sich die Position des Punktes ändert,
entsprechend dem Parameter z, für unterschiedliche Anfangspositionen des Punktes
c.

A) Startpunkt im "Körper" B) Startpunkt
Punkt im Kopf

C) Startpunkt in der „Niere“ D) Startpunkt in
"Niere" der zweiten Ebene

E) Ausgangspunkt in der „Niere“ der dritten Ebene

Aus den Abbildungen A - E ist deutlich zu sehen, wie mit jedem Schritt mehr und mehr
die Struktur des Fraktals wird komplizierter und der Parameter z wird zunehmend komplexer
Flugbahn.

Einschränkungen des Mandelbrot-Modells: Es gibt Hinweise darauf, dass in
das Mandelbrot-Modell |z|

Julia-Modell (Julia-Set)

Das Julia-Fraktalmodell hat die gleiche Gleichung wie das Modell
Mandelbrot: Z=Z2+c, nur hier ist der variable Parameter
nicht c, sondern z.

Dementsprechend ändert sich seither die gesamte Struktur des Fraktals
die Startposition unterliegt keinen Beschränkungen. Zwischen
Modelle von Mandelbrot und Julia, es gibt so einen Unterschied: wenn das Modell
Mandelbrot ist statisch (da das anfängliche z immer ist
Null), dann ist das Julia-Modell ein dynamisches Fraktalmodell. Auf der
Reis. 4 zeigt eine grafische Darstellung des Julia-Fraktals.

Reis. 4 Modell Julia

Wie aus der fraktalen Zeichnung ersichtlich ist, ist es in Bezug auf die Mitte symmetrisch
Punktform, während das Mandelbrot-Fraktal eine symmetrische Form hat
um die Achse.

Sierpinski-Teppich

Der Sierpinski-Teppich gilt als weiteres fraktales Muster. Es ist im Bau
wie folgt: ein Quadrat wird genommen, in neun Quadrate unterteilt,
Schneiden Sie das zentrale Quadrat aus. Dann mit jedem der acht verbleibenden
Quadrate, wird ein ähnliches Verfahren durchgeführt. Und so weiter bis ins Unendliche. BEIM
Als Ergebnis erhalten wir anstelle eines ganzen Quadrats einen Teppich mit einer Besonderheit
symmetrisches Muster. Dieses Modell wurde zuerst von dem Mathematiker vorgeschlagen
Sierpinsky, nach dem es benannt wurde. Beispiel Teppich
Sierpinski ist in Abb. 4d.

Abb.4 Aufbau des Sierpinski-Teppichs

4. Koch-Kurve

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts suchten Mathematiker nach Kurven, die sonst nirgendwo zu finden waren.
Punkte haben keine Tangente. Dies führte dazu, dass die Kurve abrupt ihre änderte
Richtung und noch dazu mit enorm hoher Geschwindigkeit (der Ableitung
ist gleich unendlich). Die Suche nach diesen Kurven wurde nicht einfach dadurch verursacht
müßiges Interesse der Mathematiker. Tatsache ist, dass zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts sehr
Die Quantenmechanik entwickelte sich schnell. Forscher M. Brown
skizzierte die Bahn der Bewegung von Schwebeteilchen im Wasser und erklärte diese
Phänomen ist wie folgt: zufällig bewegte Atome einer Flüssigkeit kollidieren mit
Schwebeteilchen und setzen sie dadurch in Bewegung. Nach so
Erklärung der Brownschen Bewegung standen die Wissenschaftler vor der Aufgabe, eine solche zu finden
Kurve, die die Bewegung am besten annähert
Brownsche Teilchen. Dazu musste die Kurve folgendem entsprechen
Eigenschaften: haben an keinem Punkt eine Tangente. Mathematiker Koch
schlug eine solche Kurve vor. Auf Erklärungen gehen wir nicht ein
Regeln für seine Konstruktion, sondern geben einfach sein Bild ab, aus dem alle
deutlich wird (Abb. 5).

Abb.5 Phasen der Konstruktion der Koch-Kurve

Die Koch-Kurve ist ein weiteres Beispiel für ein Fraktal, da jedes seiner
Teil ist ein reduziertes Bild der gesamten Kurve.

6. Grafische Bilder verschiedener Fraktale

In diesem Absatz haben wir uns entschieden, verschiedene grafische Bilder zu platzieren
Fraktale, die wir aus dem Internet erhalten haben. Leider sind wir nicht
konnten eine mathematische Beschreibung dieser Fraktale finden, aber um
Um ihre Schönheit zu verstehen, genügen Zeichnungen.

Reis. 6 Beispiele für die grafische Darstellung von Fraktalen

II ABSCHNITT

ANWENDUNG DER THEORIE DER FRAKTALE IN DER WIRTSCHAFT

TECHNISCHE ANALYSE DER FINANZMÄRKTE

Der Finanzmarkt in den entwickelten Ländern der Welt existiert seit mehr als hundert Jahren
Jahre. Seit Jahrhunderten kaufen und verkaufen Menschen Wertpapiere.
Diese Art von Transaktionen mit Wertpapieren brachte den Marktteilnehmern Einnahmen
weil die Kurse von Aktien und Anleihen ständig schwankten,
änderten sich ständig. Seit Jahrhunderten kaufen Menschen Wertpapiere zu
gleichen Preis und verkauft, wenn sie teurer wurden. Aber manchmal
Die Erwartungen des Käufers erfüllten sich nicht und die Preise für die gekauften Papiere begannen
fallen, so erhielt er nicht nur kein Einkommen, sondern litt auch
Verluste. Lange hat niemand darüber nachgedacht, warum das passiert:
der Preis steigt und fällt dann. Die Leute sahen einfach das Ergebnis der Aktion und taten es nicht
über den kausalen Mechanismus nachgedacht, der ihn erzeugt.

Dies geschah, bis ein amerikanischer Finanzier einer von ihnen war
Herausgeber der bekannten Zeitung "Financial Times", Charles Dow nicht
veröffentlichte eine Reihe von Artikeln, in denen er seine Ansichten darlegte
Funktionsweise des Finanzmarktes. Der Dow bemerkte, dass die Aktienkurse
konjunkturellen Schwankungen unterworfen: nach langer Wachstumsphase
ein langer Fall, dann ein weiteres Auf und Ab. Auf diese Weise,
Charles Dow bemerkte zuerst, dass es möglich ist, die Zukunft vorherzusagen
das Verhalten des Aktienkurses, wenn seine Richtung für einige bekannt ist
letzte Periode.

Abb.1 Preisverhalten nach Ch.Dow

Anschließend wird auf der Grundlage der von Ch. Dow gemachten Entdeckungen eine Gesamtheit
Theorie der technischen Analyse des Finanzmarktes, die erhalten
genannt Dow-Theorie. Diese Theorie stammt aus den neunziger Jahren
neunzehnten Jahrhundert, als C. Dow seine Artikel veröffentlichte.

Die technische Analyse der Märkte ist eine Methode zur Vorhersage der Zukunft
Verhalten des Preistrends, basierend auf der Kenntnis der Geschichte seines Verhaltens.
Die technische Analyse für Prognosen verwendet mathematische Verfahren
Eigenschaften von Trends, nicht die wirtschaftliche Performance von Wertpapieren.

In der Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts, als sich die ganze wissenschaftliche Welt nur dafür interessierte
dass die aufkommende Theorie der Fraktale, ein anderer bekannter Amerikaner
Finanzier Ralph Elliot stellte seine Theorie des Verhaltens von Aktienkursen vor,
die auf der Verwendung der Fraktaltheorie basierte.

Elliot ging davon aus, dass die Geometrie von Fraktalen nicht existiert.
nur in der belebten Natur, sondern auch in gesellschaftlichen Prozessen. zur Öffentlichkeit
Er führte die Vorgänge auf den Aktienhandel an der Börse zurück.

Elliot-Wellen-Theorie

Die Elliot-Wellen-Theorie ist eine der ältesten technischen Theorien.
Analyse. Seit seiner Gründung hat keiner der Benutzer dazu beigetragen
alle nennenswerten Änderungen. Im Gegenteil, alle Bemühungen waren darauf gerichtet
dass die von Elliot formulierten Prinzipien immer mehr in den Vordergrund traten
klarer. Das Ergebnis ist offensichtlich. Mit Hilfe von Elliots Theorie
die besten Prognosen für die Bewegung des amerikanischen Dow-Jones-Index.

Grundlage der Theorie ist das sogenannte Wellendiagramm. Die Welle ist
erkennbare Kursbewegung. Nach den Regeln der Masseentwicklung
psychologischen Verhaltens werden alle Preisbewegungen in fünf Wellen eingeteilt
Richtung eines stärkeren Trends und drei Wellen in die entgegengesetzte Richtung
Richtung. Bei einem dominanten Trend sehen wir beispielsweise fünf
Wellen, wenn sich der Preis nach oben bewegt, und drei - wenn er sich nach unten bewegt (korrigiert).

Um einen Fünf-Wellen-Trend anzuzeigen, werden Zahlen und für verwendet
die entgegengesetzte Dreiwelle - Buchstaben. Jede der fünf Wellenbewegungen
genannt Impuls, und jeder der drei gewonnen - Korrektiv. So
Jede der Wellen 1,3,5, A und C ist ein Impuls und 2,4 und B -
Korrektiv.

Reis. 7 Elliott-Wellendiagramm

Elliot war einer der ersten, der die Funktionsweise der Geometrie klar definierte
Fraktale in der Natur, in diesem Fall - im Preisdiagramm. Er
schlug vor, dass in jedem der gerade gezeigten Impulse und
Korrekturwellen ist auch ein Elliot-Wellendiagramm.
Diese Wellen wiederum können auch in Komponenten zerlegt werden und so weiter
Weiter. So wandte Elliot die Theorie der Fraktale auf die Zerlegung an
Trend zu kleineren und verständlicheren Teilen. Kenntnis dieser Teile in mehr
kleiner Maßstab als die größte Wellenform ist wichtig, weil
dass Händler (Finanzmarktteilnehmer) wissen, in welchem ​​Teil
Charts, in denen sie sich befinden, können getrost Wertpapiere verkaufen, wenn
eine Korrekturwelle beginnt und sollte sie kaufen, wenn sie beginnt
Impulswelle.

Abb.8 Fraktale Struktur des Elliott-Diagramms

FIBONACCCI-ZAHLEN UND EIGENSCHAFTEN DER WELLEN

Als erster kam Ralph Elliot auf die Idee, eine Zahlenfolge zu verwenden
Fibonacci zur Erstellung von Prognosen im Rahmen der technischen Analyse. Mit
Mit Fibonacci-Zahlen und -Koeffizienten können Sie die Länge vorhersagen
jede Welle und den Zeitpunkt ihres Abschlusses. Ohne das Thema Zeit zu berühren,
Kommen wir zu den am häufigsten verwendeten Regeln zur Bestimmung der Länge
Elliot winkt. Mit Länge meinen wir in diesem Fall
steigende oder fallende Preise.

Impulswellen.

Welle 3 hat normalerweise eine Länge von 1,618 von Welle 1, seltener - gleich
Sie.

Zwei der Impulswellen sind oft gleich lang, normalerweise Wellen 5
und 1. Dies geschieht normalerweise, wenn Wellenlänge 3 kleiner als 1,618 ist
Wellenlänge 1.

Oft gibt es ein Verhältnis, bei dem die Wellenlänge 5 gleich 0,382 ist
oder 0,618 die Entfernung, die der Preis vom Beginn der Welle 1 bis zum Ende zurückgelegt hat
Wellen 3.

Korrekturen

Die Längen der Korrekturwellen bilden einen bestimmten Koeffizienten
Fibonacci aus der Länge der vorherigen Impulswelle. Gemäß
Gemäß der Wechselregel müssen sich die Wellen 2 und 4 prozentual abwechseln
Verhältnis. Das häufigste Beispiel ist das folgende:
Welle 2 machte 61,8 % von Welle 1 aus, Welle 4 könnte es sein
nur 38,2 % oder 50 % der Welle 3.

FAZIT

In unserer Arbeit sind nicht alle Bereiche menschlichen Wissens gegeben,
wo die Theorie der Fraktale ihre Anwendung fand. Das wollen wir nur sagen
seit der Entstehung der Theorie ist nicht mehr als ein Dritteljahrhundert vergangen, ohne diese
Zeitfraktale sind für viele Forscher zu einem plötzlichen hellen Licht geworden
in den Nächten, die bisher unbekannte Tatsachen und Muster erhellten
bestimmte Datenbereiche. Mit der Theorie der Fraktale begann zu erklären
die Evolution von Galaxien und die Entwicklung der Zelle, die Entstehung von Bergen und die Formation
Wolken, die Kursentwicklung an der Börse und die Entwicklung von Gesellschaft und Familie. Vielleicht
vielleicht war diese Leidenschaft für Fraktale anfangs auch so
stürmisch und Versuche, alles mit der Theorie der Fraktale zu erklären, waren
ungerechtfertigt. Aber ohne Zweifel hat diese Theorie das Recht dazu
Existenz, und wir bedauern, dass sie in letzter Zeit irgendwie in Vergessenheit geraten ist
und blieb das Los der Auserwählten. Bei der Vorbereitung dieser Arbeit haben wir
Es ist sehr interessant, Anwendungen der THEORIE in der PRAXIS zu finden. Weil
Sehr oft hat man das Gefühl, dass theoretisches Wissen in ist
weg vom wirklichen Leben.

Am Ende unserer Arbeit wollen wir begeisterte Worte bringen
Pate der Fraktaltheorie, Benoit Mandelbrot: „Die Geometrie der Natur
fraktal! Heutzutage klingt es so dreist und absurd wie
der berühmte Ausruf von G. Galileo: „Aber es dreht sich trotzdem!“ im XVI
Jahrhundert.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

Sheipak ​​​​I.A. Fraktale, Graftale, Büsche… //Chemie und Leben. 1996 №6

Chaos verstehen //Chemie und Leben. 1992 №8

Erlich A. Technische Analyse von Rohstoff- und Aktienmärkten, M: Infra-M, 1996

Materialien aus dem Internet.

Die Fibonacci-Folge - eine Folge, die 1202 vorgeschlagen wurde
des mittelalterlichen Mathematikers Leonardo Fibonacci. Bezieht sich auf die Art
Rücksequenzen. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Fibonacci-Koeffizienten - der Quotient der Division zweier benachbarter Terme
Fibonacci-Folgen: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0,618. Diese Koeffizienten sind die sog
"goldener Schnitt".

Aktienkurs

Aktienkursdiagramm

Oft können brillante Entdeckungen in der Wissenschaft unser Leben radikal verändern. So kann beispielsweise die Erfindung eines Impfstoffs viele Menschen retten, und die Entwicklung einer neuen Waffe führt zu Mord. Buchstäblich gestern (im Maßstab der Geschichte) hat ein Mensch die Elektrizität "gezähmt", und heute kann er sich sein Leben ohne sie nicht mehr vorstellen. Es gibt jedoch auch solche Entdeckungen, die, wie sie sagen, im Schatten bleiben, obwohl sie auch einen gewissen Einfluss auf unser Leben haben. Eine dieser Entdeckungen war das Fraktal. Die meisten Menschen haben noch nicht einmal von einem solchen Konzept gehört und werden seine Bedeutung nicht erklären können. In diesem Artikel werden wir versuchen, uns mit der Frage zu befassen, was ein Fraktal ist, und die Bedeutung dieses Begriffs vom Standpunkt der Wissenschaft und Natur aus betrachten.

Ordnung im Chaos

Um zu verstehen, was ein Fraktal ist, sollte man die Nachbesprechung von der Position der Mathematik aus beginnen, aber bevor wir uns damit befassen, philosophieren wir ein wenig. Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, dank derer er die Welt um sich herum lernt. In seinem Verlangen nach Wissen versucht er oft, mit Logik in seinen Urteilen zu operieren. Er analysiert also die Prozesse, die um ihn herum stattfinden, versucht, die Zusammenhänge zu berechnen und bestimmte Muster abzuleiten. Die klügsten Köpfe der Welt sind damit beschäftigt, diese Probleme zu lösen. Grob gesagt suchen unsere Wissenschaftler nach Mustern, wo sie nicht sind und nicht sein sollten. Trotzdem gibt es auch im Chaos einen Zusammenhang zwischen bestimmten Ereignissen. Diese Verbindung ist das Fraktal. Betrachten Sie als Beispiel einen abgebrochenen Ast, der auf der Straße liegt. Wenn wir es genau betrachten, sehen wir, dass es mit all seinen Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussieht. Diese Ähnlichkeit eines separaten Teils mit einem einzigen Ganzen zeugt vom sogenannten Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit. Fraktale sind in der Natur immer wieder anzutreffen, da viele anorganische und organische Formen auf ähnliche Weise entstehen. Dies sind Wolken und Muscheln und Schneckenhäuser und Baumkronen und sogar das Kreislaufsystem. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. All diese zufälligen Formen lassen sich leicht durch den Fraktalalgorithmus beschreiben. Hier kommen wir dazu zu betrachten, was ein Fraktal vom Standpunkt der exakten Wissenschaften aus ist.

Ein paar trockene Fakten

Das Wort „Fraktal“ wird aus dem Lateinischen mit „teilweise“, „geteilt“, „fragmentiert“ übersetzt, und was den Inhalt dieses Begriffs betrifft, so existiert der Wortlaut als solcher nicht. Normalerweise wird es als eine selbstähnliche Menge behandelt, als ein Teil des Ganzen, das sich durch seine Struktur auf der Mikroebene wiederholt. Dieser Begriff wurde in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts von Benoit Mandelbrot geprägt, der als Vater anerkannt wird.Heute bedeutet der Begriff eines Fraktals eine grafische Darstellung einer bestimmten Struktur, die, wenn sie vergrößert wird, sich selbst ähnlich ist. Die mathematische Grundlage für die Entstehung dieser Theorie wurde jedoch schon vor der Geburt Mandelbrots selbst gelegt, konnte sich aber erst entwickeln, als elektronische Computer auftauchten.

Historische Referenz oder Wie alles begann

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war das Studium der Natur von Fraktalen episodisch. Dies liegt daran, dass Mathematiker bevorzugt Objekte untersuchten, die auf der Grundlage allgemeiner Theorien und Methoden untersucht werden können. 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker K. Weierstraß ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Diese Konstruktion erwies sich jedoch als völlig abstrakt und schwer verständlich. Als nächstes kam der Schwede Helge von Koch, der 1904 eine durchgehende Kurve baute, die nirgendwo tangiert ist. Es ist recht einfach zu zeichnen und zeichnet sich, wie sich herausstellte, durch fraktale Eigenschaften aus. Eine der Varianten dieser Kurve wurde nach ihrem Autor benannt - "Kochs Schneeflocke". Darüber hinaus wurde die Idee der Selbstähnlichkeit von Figuren vom zukünftigen Mentor von B. Mandelbrot, dem Franzosen Paul Levy, entwickelt. 1938 veröffentlichte er die Abhandlung „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole“. Darin beschrieb er eine neue Spezies – die Levy C-Kurve. Alle oben genannten Figuren beziehen sich bedingt auf eine solche Form wie geometrische Fraktale.

Dynamische oder algebraische Fraktale

Das Mandelbrot-Set gehört zu dieser Klasse. Die französischen Mathematiker Pierre Fatou und Gaston Julia waren die ersten Forscher in dieser Richtung. 1918 veröffentlichte Julia eine Arbeit, die auf der Untersuchung von Iterationen rationaler komplexer Funktionen basierte. Hier beschrieb er eine Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Trotz der Tatsache, dass diese Arbeit den Autor unter Mathematikern verherrlichte, geriet sie schnell in Vergessenheit. Und nur ein halbes Jahrhundert später erhielt Julias Werk dank Computern ein zweites Leben. Computer machten es möglich, jedem Menschen die Schönheit und den Reichtum der Welt der Fraktale sichtbar zu machen, die Mathematiker "sehen" konnten, indem sie sie durch Funktionen darstellten. Mandelbrot war der erste, der mit einem Computer Berechnungen durchführte (es ist unmöglich, ein solches Volumen manuell durchzuführen), die es ermöglichten, ein Bild dieser Zahlen zu erstellen.

Mann mit räumlichem Vorstellungsvermögen

Mandelbrot begann seine wissenschaftliche Laufbahn am IBM Research Center. Bei der Untersuchung der Möglichkeiten der Datenübertragung über große Entfernungen waren die Wissenschaftler mit der Tatsache konfrontiert, dass große Verluste durch Rauschstörungen entstanden. Benoit suchte nach Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Beim Durchsehen der Messergebnisse machte er auf ein merkwürdiges Muster aufmerksam, nämlich: Die Rauschkurven sahen auf verschiedenen Zeitskalen gleich aus.

Ein ähnliches Bild wurde sowohl für einen Tag als auch für sieben Tage oder für eine Stunde beobachtet. Benoit Mandelbrot selbst wiederholte oft, dass er nicht mit Formeln arbeite, sondern mit Bildern spiele. Dieser Wissenschaftler zeichnete sich durch einfallsreiches Denken aus, er übersetzte jedes algebraische Problem in einen geometrischen Bereich, in dem die richtige Antwort offensichtlich ist. So ist es nicht verwunderlich, dass es von den Reichen ausgezeichnet wurde und zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kann das Bewusstsein für diese Figur nur entstehen, wenn Sie die Zeichnungen studieren und über die Bedeutung dieser seltsamen Wirbel nachdenken, die das Muster bilden. Fraktale Zeichnungen haben keine identischen Elemente, aber sie sind in jedem Maßstab ähnlich.

Julia - Mandelbrot

Eine der ersten Zeichnungen dieser Figur war eine grafische Interpretation des Sets, die dank der Arbeit von Gaston Julia geboren und von Mandelbrot fertiggestellt wurde. Gaston versuchte sich vorzustellen, wie eine Menge aussieht, wenn sie aus einer einfachen Formel aufgebaut ist, die durch eine Rückkopplungsschleife iteriert wird. Versuchen wir, das Gesagte in menschlicher Sprache sozusagen an den Fingern zu erklären. Für einen bestimmten Zahlenwert finden wir mithilfe der Formel einen neuen Wert. Wir setzen es in die Formel ein und finden Folgendes. Das Ergebnis ist sehr groß.Um eine solche Menge darzustellen, müssen Sie diese Operation sehr oft ausführen: Hunderte, Tausende, Millionen. Das hat Benoit getan. Er verarbeitete die Sequenz und übertrug die Ergebnisse in grafische Form. Anschließend färbte er die resultierende Figur (jede Farbe entspricht einer bestimmten Anzahl von Iterationen). Dieses grafische Bild wird Mandelbrot-Fraktal genannt.

L. Carpenter: Kunst von der Natur geschaffen

Die Theorie der Fraktale fand schnell praktische Anwendung. Da es sehr eng mit der Visualisierung von selbstähnlichen Bildern verwandt ist, waren die ersten, die die Prinzipien und Algorithmen zur Konstruktion dieser ungewöhnlichen Formen übernahmen, Künstler. Die erste davon war die spätere Gründerin des Pixar-Studios Lauren Carpenter. Während er an der Präsentation von Flugzeugprototypen arbeitete, kam ihm die Idee, das Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heute kann fast jeder Computerbenutzer eine solche Aufgabe bewältigen, und in den siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts waren Computer nicht in der Lage, solche Prozesse auszuführen, da es zu dieser Zeit keine grafischen Editoren und Anwendungen für dreidimensionale Grafiken gab. Loren stieß auf Mandelbrots Fractals: Shape, Randomness, and Dimension. Darin gab Benois viele Beispiele, die zeigten, dass es Fraktale in der Natur gibt (fiva), er beschrieb ihre verschiedenen Formen und bewies, dass sie leicht durch mathematische Ausdrücke beschrieben werden können. Der Mathematiker führte diese Analogie als Argument für die Nützlichkeit der Theorie an, die er als Reaktion auf eine Flut von Kritik seiner Kollegen entwickelte. Sie argumentierten, dass ein Fraktal nur ein schönes Bild ohne Wert sei, ein Nebenprodukt elektronischer Maschinen. Carpenter beschloss, diese Methode in der Praxis auszuprobieren. Nachdem er das Buch sorgfältig studiert hatte, begann der zukünftige Animator nach einer Möglichkeit zu suchen, die fraktale Geometrie in der Computergrafik zu implementieren. Er brauchte nur drei Tage, um ein absolut realistisches Bild der Berglandschaft auf seinem Computer darzustellen. Und heute ist dieses Prinzip weit verbreitet. Wie sich herausstellte, erfordert das Erstellen von Fraktalen nicht viel Zeit und Mühe.

Zimmermanns Entscheidung

Das von Lauren verwendete Prinzip erwies sich als einfach. Sie besteht darin, größere in kleinere Elemente zu teilen und diese in ähnliche kleinere und so weiter. Carpenter zerkleinerte sie mit großen Dreiecken in 4 kleine und so weiter, bis er eine realistische Berglandschaft erhielt. So war er der erste Künstler, der den fraktalen Algorithmus in der Computergrafik anwendete, um das erforderliche Bild zu konstruieren. Heute wird dieses Prinzip genutzt, um verschiedene naturgetreue Formen zu simulieren.

Die erste 3D-Visualisierung basierend auf dem Fraktal-Algorithmus

Einige Jahre später wandte Lauren seine Arbeit in einem groß angelegten Projekt an – einem animierten Video Vol Libre, das 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte viele und sein Schöpfer wurde eingeladen, bei Lucasfilm zu arbeiten. Hier konnte sich der Animator voll entfalten, er schuf dreidimensionale Landschaften (den ganzen Planeten) für den Spielfilm „Star Trek“. Jedes moderne Programm ("Fraktale") oder Anwendung zum Erstellen dreidimensionaler Grafiken (Terragen, Vue, Bryce) verwendet denselben Algorithmus zum Modellieren von Texturen und Oberflächen.

Tom Bedard

Als ehemaliger Laserphysiker und jetzt digitaler Künstler und Künstler schuf Beddard eine Reihe höchst faszinierender geometrischer Formen, die er Faberges Fraktale nannte. Äußerlich ähneln sie den dekorativen Eiern eines russischen Juweliers, sie haben das gleiche brillante, komplizierte Muster. Beddard verwendete eine Vorlagenmethode, um seine digitalen Renderings der Modelle zu erstellen. Die daraus resultierenden Produkte bestechen durch ihre Schönheit. Obwohl viele es ablehnen, ein handgefertigtes Produkt mit einem Computerprogramm zu vergleichen, muss man zugeben, dass die resultierenden Formen ungewöhnlich schön sind. Das Highlight ist, dass jeder ein solches Fraktal mit der WebGL-Softwarebibliothek erstellen kann. Es ermöglicht Ihnen, verschiedene fraktale Strukturen in Echtzeit zu erkunden.

Fraktale in der Natur

Nur wenige Menschen achten darauf, aber diese erstaunlichen Figuren sind überall. Die Natur besteht aus selbstähnlichen Figuren, wir bemerken es nur nicht. Es reicht aus, durch ein Vergrößerungsglas auf unsere Haut oder ein Blatt eines Baumes zu schauen, und wir werden Fraktale sehen. Oder nehmen Sie zum Beispiel eine Ananas oder sogar einen Pfauenschwanz - sie bestehen aus ähnlichen Figuren. Und die Brokkoli-Sorte Romanescu fällt generell ins Auge, denn sie kann wirklich als Wunderwerk der Natur bezeichnet werden.

Musikalische Pause

Es stellt sich heraus, dass Fraktale nicht nur geometrische Formen sind, sie können auch Klänge sein. Der Musiker Jonathan Colton schreibt also Musik mit fraktalen Algorithmen. Er beansprucht, der natürlichen Harmonie zu entsprechen. Der Komponist veröffentlicht alle seine Werke unter der CreativeCommons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die die kostenlose Verteilung, Vervielfältigung und Übertragung von Werken durch andere Personen vorsieht.

Fraktal-Indikator

Diese Technik hat eine sehr unerwartete Anwendung gefunden. Auf seiner Grundlage wurde ein Instrument zur Analyse des Börsenmarktes geschaffen, das infolgedessen auf dem Devisenmarkt eingesetzt wurde. Jetzt ist der Fraktal-Indikator auf allen Handelsplattformen zu finden und wird in einer Handelstechnik namens Preisausbruch verwendet. Bill Williams hat diese Technik entwickelt. Wie der Autor seine Erfindung kommentiert, ist dieser Algorithmus eine Kombination mehrerer "Kerzen", bei denen die mittlere den maximalen oder umgekehrt den minimalen Extrempunkt widerspiegelt.

Abschließend

Also haben wir uns überlegt, was ein Fraktal ist. Es stellt sich heraus, dass es in dem Chaos, das uns umgibt, tatsächlich ideale Formen gibt. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir kein Muster finden können, heißt das nicht, dass es nicht existiert. Vielleicht müssen Sie sich einen anderen Maßstab ansehen. Wir können mit Zuversicht sagen, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, die wir noch entdecken müssen.

Hallo zusammen! Ich heiße, Ribenek Walerija, Uljanowsk und heute werde ich mehrere meiner wissenschaftlichen Artikel auf der LCI-Website veröffentlichen.

Mein erster wissenschaftlicher Artikel in diesem Blog wird gewidmet sein Fraktale. Ich werde gleich sagen, dass meine Artikel für fast jedes Publikum konzipiert sind. Jene. Ich hoffe, sie werden sowohl Schüler als auch Studenten interessieren.

Kürzlich habe ich von so interessanten Objekten der mathematischen Welt wie Fraktale erfahren. Aber sie existieren nicht nur in der Mathematik. Sie umgeben uns überall. Fraktale sind natürlich. Was Fraktale sind, über die Arten von Fraktal, über Beispiele dieser Objekte und ihre Anwendung, werde ich in diesem Artikel erzählen. Zunächst erkläre ich Ihnen kurz, was ein Fraktal ist.

Fraktal(lat. fractus - zerquetscht, gebrochen, gebrochen) ist eine komplexe geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit hat, das heißt, sie setzt sich aus mehreren Teilen zusammen, von denen jedes der ganzen Figur als Ganzes ähnlich ist. Im weiteren Sinne werden Fraktale als Mengen von Punkten im euklidischen Raum verstanden, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine andere als die topologische metrische Dimension haben. Zum Beispiel werde ich ein Bild von vier verschiedenen Fraktalen einfügen.

Lassen Sie mich Ihnen ein wenig über die Geschichte der Fraktale erzählen. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Das Wort "Fraktal" wurde 1975 von Benoit Mandelbrot eingeführt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch The Fractal Geometry of Nature im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875-1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zusammenzufassen.

Es gibt viele Beispiele für Fraktale, weil sie uns, wie gesagt, überall umgeben. Meiner Meinung nach ist sogar unser gesamtes Universum ein riesiges Fraktal. Schließlich wiederholt sich alles darin, von der Struktur des Atoms bis zur Struktur des Universums selbst, genau. Aber es gibt natürlich auch konkretere Beispiele für Fraktale aus verschiedenen Bereichen. Fraktale sind zum Beispiel in komplexen Dynamiken vorhanden. Dort tauchen sie natürlich in der Untersuchung des Nichtlinearen auf dynamische Systeme. Der am besten untersuchte Fall ist, wenn das dynamische System durch Iterationen spezifiziert wird Polynom oder holomorph Funktion eines Komplexes von Variablen auf der Oberfläche. Einige der bekanntesten Fraktale dieser Art sind die Julia-Menge, die Mandelbrot-Menge und die Newton-Becken. Unten zeigen die Bilder der Reihe nach jedes der obigen Fraktale.

Ein weiteres Beispiel für Fraktale sind Fraktalkurven. Wie man ein Fraktal aufbaut, lässt sich am besten am Beispiel fraktaler Kurven erklären. Eine solche Kurve ist die sogenannte Koch-Schneeflocke. Es gibt ein einfaches Verfahren, um fraktale Kurven auf einer Ebene zu erhalten. Wir definieren eine beliebige unterbrochene Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, die Generator genannt wird. Als nächstes ersetzen wir jedes Segment darin durch einen Generator (genauer gesagt, eine unterbrochene Linie, die einem Generator ähnelt). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir wieder jedes Segment durch einen Generator. Weiter bis ins Unendliche erhalten wir am Limit eine fraktale Kurve. Unten abgebildet ist eine Koch-Schneeflocke (oder Kurve).

Es gibt auch viele fraktale Kurven. Die bekanntesten davon sind die bereits erwähnte Koch-Schneeflocke, sowie die Levy-Kurve, die Minkowski-Kurve, der gebrochene Drache, die Piano-Kurve und der Pythagoräische Baum. Das Bild dieser Fraktale und ihre Geschichte, denke ich, können Sie, wenn Sie möchten, leicht auf Wikipedia finden.

Das dritte Beispiel oder eine Art Fraktale sind stochastische Fraktale. Solche Fraktale umfassen die Trajektorie der Brownschen Bewegung in einer Ebene und im Raum, Schramm-Löwner-Entwicklungen, verschiedene Arten von randomisierten Fraktalen, dh Fraktale, die unter Verwendung eines rekursiven Verfahrens erhalten werden, bei dem bei jedem Schritt ein zufälliger Parameter eingeführt wird.

Es gibt auch rein mathematische Fraktale. Dies sind zum Beispiel die Cantor-Menge, der Menger-Schwamm, das Sierpinski-Dreieck und andere.

Aber vielleicht sind die interessantesten Fraktale natürliche. Natürliche Fraktale sind Objekte in der Natur, die fraktale Eigenschaften haben. Und es gibt bereits eine große Liste. Ich werde nicht alles auflisten, weil ich wahrscheinlich nicht alle auflisten kann, aber ich werde über einige erzählen. In der lebenden Natur umfassen solche Fraktale zum Beispiel unser Kreislaufsystem und unsere Lungen. Und auch die Kronen und Blätter der Bäume. Auch hier können Sie Seesterne, Seeigel, Korallen, Muscheln, einige Pflanzen wie Kohl oder Brokkoli einschließen. Unten sind mehrere solcher natürlicher Fraktale von Wildtieren deutlich gezeigt.

Wenn wir die unbelebte Natur betrachten, dann gibt es viel interessantere Beispiele als in der belebten Natur. Blitze, Schneeflocken, Wolken, die jeder kennt, Muster auf Fenstern an frostigen Tagen, Kristalle, Bergketten - all dies sind Beispiele für natürliche Fraktale aus der unbelebten Natur.

Wir haben Beispiele und Arten von Fraktalen betrachtet. Was die Verwendung von Fraktalen betrifft, so werden sie in verschiedenen Wissensgebieten verwendet. In der Physik entstehen Fraktale natürlich bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse, wie z. B. turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden bei der Modellierung poröser Materialien verwendet, beispielsweise in der Petrochemie. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen innerer Organe (Blutgefäßsystem) verwendet. Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, sie zur Berechnung der Küstenlänge zu verwenden. Auch in der Funktechnik, in der Informatik und Computertechnik, der Telekommunikation und sogar der Wirtschaft werden Fraktale aktiv eingesetzt. Und natürlich wird das fraktale Sehen aktiv in der zeitgenössischen Kunst und Architektur eingesetzt. Hier ist ein Beispiel für fraktale Gemälde:

Und damit denke ich, meine Geschichte über ein so ungewöhnliches mathematisches Phänomen wie ein Fraktal zu vervollständigen. Heute haben wir gelernt, was ein Fraktal ist, wie es aussah, über die Arten und Beispiele von Fraktal. Und ich sprach auch über ihre Anwendung und demonstrierte einige der Fraktale deutlich. Ich hoffe, Ihnen hat dieser kurze Ausflug in die Welt der erstaunlichen und bezaubernden fraktalen Objekte gefallen.