Variante 1. beim

1. Graph einer Funktion y=f(x) in der Abbildung gezeigt.

Geben Sie den größten Wert dieser Funktion an 1

auf dem Segment [ a; b]. a 0 1 bx

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funktionen y=f(x) auf das Segment setzen [ a; b]. beim

Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung

y=f ´(x). Suche nach Extremen 1 b

Funktion y=f(x). Bitte geben Sie die Menge in Ihrer Antwort an. a 0 1x

Mindestpunktzahl.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Finden Sie den größten Wert einer Funktion y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Finde den kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Finde den kleinsten Wert einer Funktion y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> hat an der Stelle ein Minimum xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.beim

9. Geben Sie den größten Wert der Funktion an y=f(x) ,

1x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Finde den kleinsten Wert einer Funktion y=2Sünde-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Prüfung 14 Der größte (kleinste) Wert der Funktion.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graph der Funktion y=f(x) in der Abbildung gezeigt.

Geben Sie den kleinsten Wert dieser Funktion an 1

auf dem Segment [ a; b]. a b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. beim Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x).

Wie viele Maximalpunkte hat die Funktion?

1

0 1x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. An welcher Stelle ist die Funktion y \u003d 2x2 + 24x -25 den kleinsten Wert annimmt?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> auf dem Segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> hat an der Stelle ein Minimum xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.beim

9. Geben Sie den kleinsten Wert der Funktion an y=f(x) ,

dessen Graph in der Abbildung dargestellt ist. 1x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Finden Sie den größten Wert einer Funktion y=Protokoll11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Finden Sie den größten Wert einer Funktion y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Antworten :

Und um es zu lösen, benötigen Sie minimale Kenntnisse des Themas. Das nächste Studienjahr geht zu Ende, alle wollen in den Urlaub, und um diesen Moment näher zu bringen, komme ich gleich zur Sache:

Beginnen wir mit dem Bereich. Der in der Bedingung genannte Bereich ist begrenzt geschlossen Menge von Punkten in der Ebene. Zum Beispiel eine Reihe von Punkten, die durch ein Dreieck begrenzt sind, einschließlich des GESAMTEN Dreiecks (wenn von Grenzen Mindestens einen Punkt „herausstechen“, dann wird der Bereich nicht mehr geschlossen). In der Praxis gibt es auch Bereiche mit rechteckigen, runden und etwas komplexeren Formen. Es sollte beachtet werden, dass in der Theorie der mathematischen Analyse strenge Definitionen gegeben sind Beschränkungen, Isolation, Grenzen usw., aber ich denke, jeder ist sich dieser Konzepte auf einer intuitiven Ebene bewusst, und mehr ist jetzt nicht erforderlich.

Der flache Bereich wird standardmäßig mit dem Buchstaben bezeichnet und in der Regel analytisch angegeben - durch mehrere Gleichungen (nicht unbedingt linear); seltener Ungleichheiten. Ein typischer Wortwechsel: „Geschlossener Bereich, begrenzt durch Linien“.

Ein wesentlicher Bestandteil der betrachteten Aufgabe ist die Konstruktion des Bereichs auf der Zeichnung. Wie kann man es machen? Es müssen alle aufgeführten Linien gezeichnet werden (in diesem Fall 3 gerade) und analysieren, was passiert ist. Der gewünschte Bereich wird normalerweise leicht schraffiert und sein Rand mit einer dicken Linie hervorgehoben:


Derselbe Bereich kann eingestellt werden Lineare Ungleichungen: , die aus irgendeinem Grund häufiger als Aufzählungsliste geschrieben werden, und nicht System.
Da die Grenze zur Region gehört, sind natürlich alle Ungleichheiten nicht streng.

Und jetzt der springende Punkt. Stellen Sie sich vor, die Achse geht vom Koordinatenursprung direkt zu Ihnen. Betrachten Sie eine Funktion, die kontinuierlich in jedem Gebietspunkt. Der Graph dieser Funktion ist Fläche, und das kleine Glück ist, dass wir zur Lösung des heutigen Problems überhaupt nicht wissen müssen, wie diese Oberfläche aussieht. Es kann sich über, unter, über dem Flugzeug befinden - all dies ist nicht wichtig. Und folgendes ist wichtig: gem Weierstraß-Theoreme, kontinuierlich in begrenzt geschlossen Bereich erreicht die Funktion ihr Maximum (von den "Höchsten") und am wenigsten (von den "niedrigsten") Werte zu finden. Diese Werte werden erreicht oder in stationäre Punkte, Zugehörigkeit zur RegionD , oder an Punkten, die auf der Grenze dieser Region liegen. Daraus folgt ein einfacher und transparenter Lösungsalgorithmus:

Beispiel 1

In einem begrenzten geschlossenen Bereich

Entscheidung: Zunächst müssen Sie den Bereich auf der Zeichnung darstellen. Leider ist es für mich technisch schwierig, ein interaktives Modell des Problems zu erstellen, und deshalb werde ich sofort die endgültige Illustration geben, die alle "verdächtigen" Punkte zeigt, die während der Studie gefunden wurden. Normalerweise werden sie nacheinander abgelegt, wenn sie gefunden werden:

Basierend auf der Präambel kann die Entscheidung bequem in zwei Punkte unterteilt werden:

I) Lassen Sie uns stationäre Punkte finden. Dies ist eine Standardaktion, die wir in der Lektion wiederholt durchgeführt haben. über Extrema mehrerer Variablen:

Festpunkt gefunden gehört Bereiche: (markiere es auf der Zeichnung), was bedeutet, dass wir den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen sollten:

- wie im Artikel Die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment, werde ich die wichtigen Ergebnisse fett hervorheben. In einem Notizbuch ist es praktisch, sie mit einem Bleistift einzukreisen.

Achten Sie auf unser zweites Glück - es macht keinen Sinn, es zu überprüfen hinreichende Bedingung für ein Extremum. Wieso den? Auch wenn an dem Punkt, an dem die Funktion beispielsweise erreicht, lokales Minimum, dann BEDEUTET dies NICHT, dass der resultierende Wert sein wird minimal in der ganzen Region (Siehe Anfang der Lektion über unbedingte Extreme) .

Was ist, wenn der stationäre Punkt NICHT zur Fläche gehört? Fast nichts! Es sollte beachtet werden, dass und zum nächsten Absatz gehen.

II) Wir untersuchen die Grenze der Region.

Da die Grenze aus den Seiten eines Dreiecks besteht, ist es zweckmäßig, die Studie in 3 Unterabsätze zu unterteilen. Aber es ist besser, es nicht zu tun. Aus meiner Sicht ist es zunächst vorteilhafter, Strecken parallel zu den Koordinatenachsen zu betrachten, und zwar zunächst solche, die auf den Achsen selbst liegen. Um die ganze Abfolge und Logik der Handlungen zu erfassen, versuchen Sie, das Ende „in einem Atemzug“ zu studieren:

1) Beschäftigen wir uns mit der unteren Seite des Dreiecks. Dazu setzen wir direkt in die Funktion ein:

Alternativ kannst du es auch so machen:

Geometrisch bedeutet dies die Koordinatenebene (was auch durch die Gleichung gegeben ist)"ausgeschnitten" aus Oberflächen"räumliche" Parabel, deren Spitze sofort in Verdacht gerät. Lass es uns herausfinden wo ist sie:

- der resultierende Wert "trifft" in den Bereich, und es kann gut sein, dass an der Stelle (Markierung auf der Zeichnung) die Funktion erreicht den größten oder kleinsten Wert im gesamten Bereich. Wie auch immer, machen wir die Berechnungen:

Andere "Kandidaten" sind natürlich die Enden des Segments. Berechnen Sie die Werte der Funktion in Punkten (Markierung auf der Zeichnung):

Hier können Sie übrigens einen mündlichen Mini-Check der „abgespeckten“ Version durchführen:

2) Um die rechte Seite des Dreiecks zu untersuchen, setzen wir sie in die Funktion ein und „ordnen dort die Dinge“:

Hier machen wir gleich einen groben Check, indem wir das bereits bearbeitete Ende des Segments „klingeln“ lassen:
, perfekt.

Die geometrische Situation hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen:

- Der resultierende Wert ist auch „in den Bereich unserer Interessen eingetreten“, was bedeutet, dass wir berechnen müssen, was die Funktion an der erschienenen Stelle ist:

Untersuchen wir das zweite Ende des Segments:

Verwendung der Funktion , Lass uns das Prüfen:

3) Jeder weiß wahrscheinlich, wie man die verbleibende Seite erkundet. Wir setzen in die Funktion ein und führen Vereinfachungen durch:

Zeile endet wurden bereits untersucht, aber auf dem Entwurf prüfen wir noch, ob wir die Funktion richtig gefunden haben :
– stimmte mit dem Ergebnis von Unterabsatz 1 überein;
– deckte sich mit dem Ergebnis von Unterabsatz 2.

Es bleibt abzuwarten, ob es in dem Segment etwas Interessantes gibt:

- Es gibt! Setzen wir eine Gerade in die Gleichung ein, erhalten wir die Ordinate dieser „Interessanz“:

Wir markieren einen Punkt auf der Zeichnung und finden den entsprechenden Wert der Funktion:

Kontrollieren wir die Berechnungen nach der "Budget" -Version :
, Befehl.

Und der letzte Schritt: SORGFÄLTIG alle "fetten" Zahlen durchsehen, ich empfehle auch Anfängern, eine einzige Liste zu erstellen:

aus denen wir den größten und den kleinsten Wert auswählen. Antworten schreiben Sie im Stil des Findungsproblems die größten und kleinsten Werte der Funktion im Intervall:

Für alle Fälle werde ich noch einmal auf die geometrische Bedeutung des Ergebnisses eingehen:
– hier ist der höchste Punkt der Oberfläche in der Region;
- hier ist der tiefste Punkt der Oberfläche in der Gegend.

In dem analysierten Problem haben wir 7 „verdächtige“ Punkte gefunden, aber ihre Anzahl variiert von Aufgabe zu Aufgabe. Für eine dreieckige Region besteht der minimale "Explorationssatz" aus drei Punkten. Dies geschieht beispielsweise beim Setzen der Funktion Flugzeug- Es ist ziemlich klar, dass es keine stationären Punkte gibt und die Funktion die maximalen / minimalen Werte nur an den Eckpunkten des Dreiecks erreichen kann. Aber solche Beispiele gibt es nicht einmal, zweimal - normalerweise muss man sich mit irgendeiner Art auseinandersetzen Oberfläche 2. Ordnung.

Wenn Sie solche Aufgaben ein wenig lösen, können Dreiecke Ihnen den Kopf verdrehen, und deshalb habe ich ungewöhnliche Beispiele für Sie vorbereitet, um es quadratisch zu machen :))

Beispiel 2

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem durch Linien begrenzten geschlossenen Bereich

Beispiel 3

Finden Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem begrenzten geschlossenen Bereich.

Achten Sie besonders auf die rationelle Reihenfolge und Technik der Untersuchung der Bereichsgrenze sowie auf die Kette der Zwischenprüfungen, die Rechenfehler fast vollständig vermeiden. Im Allgemeinen können Sie es nach Belieben lösen, aber bei einigen Problemen, beispielsweise in demselben Beispiel 2, besteht jede Chance, Ihr Leben erheblich zu verkomplizieren. Ein ungefähres Beispiel für das Beenden von Aufgaben am Ende der Lektion.

Wir systematisieren den Lösungsalgorithmus, sonst ist er mit meinem Fleiß einer Spinne irgendwie in einem langen Kommentarstrang des 1. Beispiels verloren gegangen:

- Im ersten Schritt bauen wir einen Bereich, es ist wünschenswert, ihn zu schattieren und die Grenze mit einer dicken Linie hervorzuheben. Während der Lösung erscheinen Punkte, die auf die Zeichnung gesetzt werden müssen.

– Finden Sie stationäre Punkte und berechnen Sie die Werte der Funktion nur in denen, die zum Gebiet gehören . Die erhaltenen Werte werden im Text hervorgehoben (z. B. mit einem Bleistift eingekreist). Gehört der stationäre Punkt NICHT zum Bereich, dann markieren wir diese Tatsache mit einem Icon oder verbal. Wenn es überhaupt keine stationären Punkte gibt, ziehen wir eine schriftliche Schlussfolgerung, dass sie fehlen. In jedem Fall kann dieser Punkt nicht übersprungen werden!

– Erkundung des Grenzgebiets. Erstens ist es vorteilhaft, mit geraden Linien zu arbeiten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind (falls es welche gibt). Auch die an „verdächtigen“ Stellen berechneten Funktionswerte werden hervorgehoben. Oben wurde viel über die Lösungstechnik gesagt, und unten wird noch etwas anderes gesagt - lesen, erneut lesen, vertiefen!

- Wählen Sie aus den ausgewählten Zahlen den größten und den kleinsten Wert aus und geben Sie eine Antwort. Manchmal kommt es vor, dass die Funktion an mehreren Stellen gleichzeitig solche Werte erreicht - in diesem Fall sollten sich alle diese Punkte in der Antwort widerspiegeln. Lassen Sie zum Beispiel und es stellte sich heraus, dass dies der kleinste Wert ist. Dann schreiben wir das

Die letzten Beispiele sind anderen nützlichen Ideen gewidmet, die sich in der Praxis als nützlich erweisen werden:

Beispiel 4

Finden Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem geschlossenen Bereich .

Ich habe die Formulierung des Autors beibehalten, in der die Fläche als doppelte Ungleichung angegeben ist. Diese Bedingung kann für dieses Problem in einem äquivalenten System oder in einer traditionelleren Form geschrieben werden:

Daran erinnere ich Sie mit nichtlinear Wir sind auf Ungleichungen gestoßen, und wenn Sie die geometrische Bedeutung des Eintrags nicht verstehen, dann zögern Sie bitte nicht und klären Sie die Situation sofort ;-)

Entscheidung beginnt wie immer mit dem Bau des Geländes, das eine Art „Sohle“ ist:

Hmm, manchmal muss man nicht nur am Granit der Wissenschaft nagen....

I) Stationäre Punkte finden:

Idiotentraumsystem :)

Der stationäre Punkt gehört zum Bereich, liegt nämlich auf dessen Rand.

Und so ist es nichts ... lustige Lektion ging - das bedeutet es, den richtigen Tee zu trinken =)

II) Wir untersuchen die Grenze der Region. Beginnen wir ohne weiteres mit der x-Achse:

1) Wenn, dann

Finde heraus, wo die Spitze der Parabel ist:
- Schätzen Sie solche Momente - "schlagen" Sie genau auf den Punkt, ab dem schon alles klar ist. Aber vergessen Sie nicht zu überprüfen:

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den Enden des Segments berechnen:

2) Wir werden uns mit dem unteren Teil der „Sohle“ „in einer Sitzung“ befassen - ohne Komplexe ersetzen wir sie in die Funktion, außerdem interessieren wir uns nur für das Segment:

Die Kontrolle:

Das bringt jetzt schon etwas Schwung in die eintönige Fahrt auf einer Rändelbahn. Finden wir die kritischen Punkte:

Wir entscheiden quadratische Gleichung erinnerst du dich an diesen? ... Aber denken Sie natürlich daran, sonst hätten Sie diese Zeilen nicht gelesen =) Wenn in den beiden vorherigen Beispielen Berechnungen in Dezimalbrüchen bequem waren (was übrigens selten vorkommt), dann warten wir hier auf die üblichen gewöhnlichen Brüche. Wir finden die „x“-Wurzeln und bestimmen mithilfe der Gleichung die entsprechenden „Spiel“-Koordinaten der „Kandidaten“-Punkte:


Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den gefundenen Punkten berechnen:

Prüfen Sie die Funktion selbst.

Jetzt studieren wir sorgfältig die gewonnenen Trophäen und schreiben sie auf Antworten:

Hier sind die "Kandidaten", also die "Kandidaten"!

Für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

Ein Eintrag mit geschweiften Klammern lautet so: „eine Menge von Punkten, so dass“.

Manchmal verwenden sie in solchen Beispielen Lagrange-Multiplikator-Methode, aber die wirkliche Notwendigkeit, es zu verwenden, wird wahrscheinlich nicht entstehen. Wenn also zum Beispiel eine Funktion mit dem gleichen Bereich "de" gegeben ist, dann nach dem Einsetzen in sie - mit einer Ableitung ohne Schwierigkeiten; außerdem ist alles in einer „Einzeile“ (mit Vorzeichen) gezeichnet, ohne dass der obere und der untere Halbkreis getrennt betrachtet werden müssen. Aber natürlich gibt es kompliziertere Fälle, wo ohne die Lagrange-Funktion (wobei zum Beispiel dieselbe Kreisgleichung ist) es ist schwer zu überstehen - wie schwer ist es, ohne eine gute Erholung auszukommen!

Alles Gute zum Bestehen der Session und bis bald in der nächsten Saison!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Entscheidung: Zeichnen Sie den Bereich auf der Zeichnung:

Aus praktischer Sicht ist die Verwendung der Ableitung am interessantesten, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden. Womit ist es verbunden? Gewinne maximieren, Kosten minimieren, die optimale Auslastung der Ausrüstung bestimmen ... Mit anderen Worten, in vielen Lebensbereichen muss man das Problem lösen, einige Parameter zu optimieren. Und das ist das Problem, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden.

Es sei darauf hingewiesen, dass der größte und kleinste Wert einer Funktion normalerweise in einem bestimmten Intervall X gesucht wird, das entweder der gesamte Bereich der Funktion oder ein Teil des Bereichs ist. Das Intervall X selbst kann ein Liniensegment, ein offenes Intervall sein , ein unendliches Intervall .

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, den größten und kleinsten Wert einer explizit gegebenen Funktion einer Variablen y=f(x) zu finden.

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Der größte und kleinste Wert einer Funktion - Definitionen, Illustrationen.

Lassen Sie uns kurz auf die wichtigsten Definitionen eingehen.

Der größte Wert der Funktion , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Der kleinste Wert der Funktion y=f(x) auf dem Intervall X heißt ein solcher Wert , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Diese Definitionen sind intuitiv: Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) Wert, der im betrachteten Intervall mit der Abszisse akzeptiert wird.

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet.

Warum brauchen wir stationäre Punkte, um die größten und kleinsten Werte zu finden? Die Antwort auf diese Frage liefert der Satz von Fermat. Aus diesem Satz folgt: Wenn eine differenzierbare Funktion irgendwann ein Extremum (lokales Minimum oder lokales Maximum) hat, dann ist dieser Punkt stationär. Daher nimmt die Funktion oft ihren maximalen (kleinsten) Wert auf dem Intervall X an einem der stationären Punkte aus diesem Intervall an.

Auch kann eine Funktion oft die größten und kleinsten Werte an Stellen annehmen, an denen die erste Ableitung dieser Funktion nicht existiert, und die Funktion selbst definiert ist.

Lassen Sie uns gleich eine der häufigsten Fragen zu diesem Thema beantworten: "Ist es immer möglich, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu bestimmen"? Nein nicht immer. Manchmal fallen die Grenzen des Intervalls X mit den Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion zusammen, oder das Intervall X ist unendlich. Und einige Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs können sowohl unendlich große als auch unendlich kleine Werte annehmen. In diesen Fällen kann nichts über den größten und kleinsten Wert der Funktion gesagt werden.

Zur Verdeutlichung geben wir eine grafische Darstellung. Schauen Sie sich die Bilder an - und vieles wird deutlich.

Auf dem Segment

In der ersten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des Segments [-6;6] an.

Betrachten Sie den in der zweiten Abbildung gezeigten Fall. Ändern Sie das Segment in . In diesem Beispiel wird der kleinste Wert der Funktion an einem stationären Punkt und der größte an einem Punkt erreicht, dessen Abszisse der rechten Grenze des Intervalls entspricht.

In Abbildung Nr. 3 sind die Randpunkte des Segments [-3; 2] die Abszissen der Punkte, die dem größten und kleinsten Wert der Funktion entsprechen.

Im offenen Bereich

In der vierten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des offenen Intervalls (-6;6) an.

Über das Intervall lassen sich keine Rückschlüsse auf den größten Wert ziehen.

Im Unendlichen

In dem in der siebten Abbildung gezeigten Beispiel nimmt die Funktion den größten Wert (max y ) an einem stationären Punkt mit der Abszisse x=1 an, und der kleinste Wert (min y ) wird am rechten Rand des Intervalls erreicht. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y=3 .

Auf dem Intervall erreicht die Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert. Da x=2 nach rechts tendiert, tendieren die Funktionswerte gegen minus unendlich (die Gerade x=2 ist eine vertikale Asymptote), und da die Abszisse gegen plus unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 . Eine grafische Darstellung dieses Beispiels ist in Abbildung 8 dargestellt.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf dem Segment.

Wir schreiben einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

1. Wir finden den Definitionsbereich der Funktion und prüfen, ob er das gesamte Segment enthält.
2. Wir finden alle Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert und die im Segment enthalten sind (normalerweise kommen solche Punkte in Funktionen mit einem Argument unter dem Modulzeichen und in Potenzfunktionen mit einem gebrochen-rationalen Exponenten vor). Wenn es keine solchen Punkte gibt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
3. Wir bestimmen alle stationären Punkte, die in das Segment fallen. Dazu setzen wir es mit Null gleich, lösen die resultierende Gleichung und wählen die passenden Wurzeln. Wenn es keine stationären Punkte gibt oder keiner von ihnen in das Segment fällt, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den ausgewählten stationären Punkten (falls vorhanden), an Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), und auch bei x=a und x=b .
5. Aus den erhaltenen Werten der Funktion wählen wir den größten und den kleinsten aus - sie sind die gewünschten maximalen bzw. kleinsten Werte der Funktion.

Lassen Sie uns den Algorithmus analysieren, wenn Sie ein Beispiel zum Auffinden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Segment lösen.

Beispiel.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

• auf dem Segment;
• im Intervall [-4;-1] .

Entscheidung.

Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, also . Beide Segmente fallen in den Definitionsbereich.

Wir finden die Ableitung der Funktion nach:

Offensichtlich existiert die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente und [-4;-1] .

Stationäre Punkte werden aus der Gleichung bestimmt. Die einzige echte Wurzel ist x=2 . Dieser stationäre Punkt fällt in das erste Segment.

Für den ersten Fall berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an einem stationären Punkt, also für x=1 , x=2 und x=4 :

Daher der größte Wert der Funktion wird bei x=1 erreicht und dem kleinsten Wert – bei x=2 .

Für den zweiten Fall berechnen wir die Werte der Funktion nur an den Enden des Segments [-4;-1] (da es keinen einzigen stationären Punkt enthält):

Entscheidung.

Beginnen wir mit dem Funktionsumfang. Das quadratische Trinom im Nenner eines Bruchs darf nicht verschwinden:

Es ist leicht zu überprüfen, dass alle Intervalle von der Bedingung des Problems zum Definitionsbereich der Funktion gehören.

Differenzieren wir die Funktion:

Offensichtlich existiert die Ableitung im gesamten Definitionsbereich der Funktion.

Lassen Sie uns stationäre Punkte finden. Die Ableitung verschwindet bei . Dieser stationäre Punkt fällt in die Intervalle (-3;1] und (-3;2) .

Und jetzt können Sie die an jedem Punkt erhaltenen Ergebnisse mit dem Graphen der Funktion vergleichen. Die blau gepunkteten Linien zeigen die Asymptoten.

Dies kann damit enden, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden. Die in diesem Artikel besprochenen Algorithmen ermöglichen es Ihnen, mit einem Minimum an Aktionen Ergebnisse zu erzielen. Es kann jedoch sinnvoll sein, zunächst die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion zu bestimmen und erst danach Rückschlüsse auf den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem beliebigen Intervall zu ziehen. Dies ergibt ein klareres Bild und eine strenge Begründung der Ergebnisse.

Bei vielen Problemen ist es erforderlich, den maximalen oder minimalen Wert einer quadratischen Funktion zu berechnen. Das Maximum oder Minimum kann gefunden werden, wenn die ursprüngliche Funktion in Standardform geschrieben wird: oder durch die Koordinaten des Parabelscheitels: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Darüber hinaus kann das Maximum oder Minimum jeder quadratischen Funktion unter Verwendung mathematischer Operationen berechnet werden.

Schritte

Die quadratische Funktion wird in Standardform geschrieben

Schreiben Sie die Funktion in Standardform. Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, deren Gleichung eine Variable enthält x 2 (\displaystyle x^(2)). Die Gleichung kann eine Variable enthalten oder nicht x (\displaystyle x). Wenn eine Gleichung eine Variable mit einem Exponenten größer als 2 enthält, beschreibt sie keine quadratische Funktion. Bringen Sie bei Bedarf ähnliche Terme und ordnen Sie sie neu an, um die Funktion in Standardform zu schreiben.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Äste einer Parabel zeigen nach oben oder unten. Wenn der Koeffizient ein (\displaystyle ein) mit einer Variablen x 2 (\displaystyle x^(2)) ein (\displaystyle ein)

Berechnen Sie -b/2a. Bedeutung − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) ist die Koordinate x (\displaystyle x) Spitze der Parabel. Wenn die quadratische Funktion in der Standardform geschrieben wird a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), verwenden Sie die Koeffizienten für x (\displaystyle x) und x 2 (\displaystyle x^(2)) auf die folgende Weise:

• In Funktionskoeffizienten a = 1 (\displaystyle a=1) und b = 10 (\displaystyle b=10)
• Betrachten Sie als zweites Beispiel die Funktion . Hier a = − 3 (\displaystyle a=-3) und b = 6 (\displaystyle b=6). Berechnen Sie daher die x-Koordinate der Parabelspitze wie folgt:

1. Finden Sie den entsprechenden Wert von f(x). Ersetzen Sie den gefundenen Wert von "x" in die ursprüngliche Funktion, um den entsprechenden Wert von f(x) zu finden. So finden Sie das Minimum oder Maximum der Funktion.

   • Im ersten Beispiel f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) Sie haben berechnet, dass die x-Koordinate die Spitze der Parabel ist x = − 5 (\displaystyle x=-5). In der ursprünglichen Funktion statt x (\displaystyle x) Ersatz − 5 (\displaystyle -5)
   • Im zweiten Beispiel f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) Sie haben herausgefunden, dass die x-Koordinate der Scheitelpunkt der Parabel ist x = 1 (\displaystyle x=1). In der ursprünglichen Funktion statt x (\displaystyle x) Ersatz 1 (\displaystyle 1) um seinen Maximalwert zu finden:

2. Schreibe die Antwort auf. Lesen Sie den Zustand des Problems erneut. Wenn Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel finden müssen, notieren Sie beide Werte in Ihrer Antwort x (\displaystyle x) und y (\displaystyle y)(oder f (x) (\displaystyle f(x))). Wenn Sie das Maximum oder Minimum einer Funktion berechnen müssen, schreiben Sie in Ihrer Antwort nur den Wert auf y (\displaystyle y)(oder f (x) (\displaystyle f(x))). Betrachten Sie noch einmal das Vorzeichen des Koeffizienten ein (\displaystyle ein) um zu überprüfen, ob Sie das Maximum oder Minimum berechnet haben.

   Die quadratische Funktion wird in Bezug auf die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel geschrieben

   1. Schreiben Sie die quadratische Funktion in Bezug auf die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. Eine solche Gleichung hat folgende Form:

      Bestimmen Sie die Richtung der Parabel. Betrachten Sie dazu das Vorzeichen des Koeffizienten ein (\displaystyle ein). Wenn der Koeffizient ein (\displaystyle ein) positiv, die Parabel ist nach oben gerichtet. Wenn der Koeffizient ein (\displaystyle ein) negativ, die Parabel zeigt nach unten. Zum Beispiel:

      Finden Sie den minimalen oder maximalen Wert der Funktion. Wenn die Funktion in Bezug auf die Koordinaten des Parabelscheitels geschrieben wird, ist das Minimum oder Maximum gleich dem Wert des Koeffizienten k (\ displaystyle k). In den obigen Beispielen:

      Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. Wenn es in dem Problem erforderlich ist, den Scheitelpunkt der Parabel zu finden, sind seine Koordinaten (h , k) (\displaystyle (h,k)). Beachten Sie, dass, wenn eine quadratische Funktion in Bezug auf die Koordinaten des Parabelscheitels geschrieben wird, die Subtraktionsoperation in Klammern eingeschlossen werden muss (x − h) (\displaystyle (x-h)), also der Wert h (\ displaystyle h) mit umgekehrtem Vorzeichen aufgenommen.

   Wie man das Minimum oder Maximum mit mathematischen Operationen berechnet

   Betrachten wir zunächst die Standardform der Gleichung. Schreiben Sie die quadratische Funktion in Standardform: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Bringen Sie bei Bedarf ähnliche Terme und ordnen Sie sie neu an, um die Standardgleichung zu erhalten.

   Finde die erste Ableitung. Die erste Ableitung einer quadratischen Funktion, die in Standardform geschrieben wird, ist gleich f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime)(x)=2ax+b).

   Setzen Sie die Ableitung auf Null. Denken Sie daran, dass die Ableitung einer Funktion gleich der Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt ist. Am Minimum oder Maximum ist die Steigung Null. Um den Minimal- oder Maximalwert einer Funktion zu finden, muss daher die Ableitung gleich Null gesetzt werden. In unserem Beispiel:

Manchmal gibt es in Aufgaben B15 "schlechte" Funktionen, für die es schwierig ist, die Ableitung zu finden. Früher war dies nur auf Sonden, aber jetzt sind diese Aufgaben so häufig, dass sie bei der Vorbereitung auf diese Prüfung nicht mehr ignoriert werden können.

In diesem Fall funktionieren andere Tricks, von denen einer - monoton.

Die Funktion f (x) heißt auf der Strecke monoton wachsend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke gilt:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Die Funktion f (x) heißt auf der Strecke monoton fallend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke gilt:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Mit anderen Worten, je größer x ist, desto größer ist f(x) für eine ansteigende Funktion. Für eine fallende Funktion gilt das Gegenteil: Je größer x , desto mehr kleiner f(x).

Beispielsweise steigt der Logarithmus monoton, wenn die Basis a > 1 ist, und fällt monoton, wenn 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Die arithmetische Quadratwurzel (und nicht nur die Quadratwurzel) wächst über den gesamten Definitionsbereich monoton:

Die Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie der Logarithmus: Sie steigt für a > 1 und fällt für 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Schließlich Grade mit negativem Exponenten. Du kannst sie als Bruch schreiben. Sie haben einen Bruchpunkt, an dem die Monotonie gebrochen wird.

Alle diese Funktionen werden nie in ihrer reinen Form gefunden. Polynome, Brüche und anderer Unsinn werden hinzugefügt, wodurch es schwierig wird, die Ableitung zu berechnen. Was in diesem Fall passiert - jetzt werden wir analysieren.

Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

Meistens wird das Funktionsargument durch ersetzt quadratisches Trinom der Form y = ax 2 + bx + c . Ihr Graph ist eine Standardparabel, an der wir interessiert sind:

1. Parabelzweige - können nach oben (für a > 0) oder nach unten (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Endpunkt einer quadratischen Funktion, an dem diese Funktion ihren kleinsten (für a > 0) oder größten (a< 0) значение.

Von größtem Interesse ist Spitze einer Parabel, deren Abszisse nach folgender Formel berechnet wird:

Wir haben also den Endpunkt der quadratischen Funktion gefunden. Aber wenn die ursprüngliche Funktion monoton ist, dann wird der Punkt x 0 auch ein Extremumpunkt sein. Damit formulieren wir die Kernregel:

Die Extrempunkte des quadratischen Trinoms und der komplexen Funktion, in die es eintritt, fallen zusammen. Daher können Sie nach x 0 für ein quadratisches Trinom suchen und die Funktion vergessen.

Aus der obigen Argumentation bleibt unklar, was für ein Punkt wir erhalten: ein Maximum oder ein Minimum. Allerdings sind die Aufgaben speziell so gestaltet, dass es darauf keine Rolle spielt. Urteile selbst:

1. Es gibt kein Segment im Zustand des Problems. Daher ist es nicht erforderlich, f(a) und f(b) zu berechnen. Es bleiben nur die Extrempunkte zu betrachten;
2. Aber es gibt nur einen solchen Punkt - das ist die Spitze der Parabel x 0, deren Koordinaten buchstäblich mündlich und ohne Ableitungen berechnet werden.

Somit wird die Lösung des Problems stark vereinfacht und auf nur zwei Schritte reduziert:

1. Schreiben Sie die Parabelgleichung y = ax 2 + bx + c auf und finden Sie ihren Scheitelpunkt mit der Formel: x 0 = −b /2a;
2. Ermitteln Sie an dieser Stelle den Wert der ursprünglichen Funktion: f (x 0). Wenn es keine zusätzlichen Bedingungen gibt, wird dies die Antwort sein.

Auf den ersten Blick mag dieser Algorithmus und seine Begründung kompliziert erscheinen. Ich poste bewusst kein „nacktes“ Lösungsschema, da die gedankenlose Anwendung solcher Regeln mit Fehlern behaftet ist.

Betrachten Sie die realen Aufgaben aus der Probeklausur in Mathematik – hier ist diese Technik am gebräuchlichsten. Gleichzeitig werden wir dafür sorgen, dass viele Probleme von B15 auf diese Weise fast verbal werden.

Unter der Wurzel befindet sich eine quadratische Funktion y \u003d x 2 + 6x + 13. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, da der Koeffizient a \u003d 1\u003e 0 ist.

Spitze der Parabel:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Da die Zweige der Parabel nach oben gerichtet sind, nimmt die Funktion y \u003d x 2 + 6x + 13 am Punkt x 0 \u003d −3 den kleinsten Wert an.

Die Wurzel ist monoton steigend, also ist x 0 der Minimalpunkt der gesamten Funktion. Wir haben:

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Unter dem Logarithmus ist wieder eine quadratische Funktion: y \u003d x 2 + 2x + 9. Der Graph ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, weil a = 1 > 0.

Spitze der Parabel:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

An der Stelle x 0 = −1 nimmt die quadratische Funktion also den kleinsten Wert an. Aber die Funktion y = log 2 x ist monoton, also:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Der Exponent ist eine quadratische Funktion y = 1 − 4x − x 2 . Schreiben wir es in Normalform um: y = −x 2 − 4x + 1.

Offensichtlich ist der Graph dieser Funktion eine Parabel, verzweigt sich nach unten (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Die ursprüngliche Funktion ist exponentiell, sie ist monoton, also wird der größte Wert am gefundenen Punkt x 0 = −2 liegen:

Ein aufmerksamer Leser wird sicherlich bemerken, dass wir den Bereich der zulässigen Werte von Wurzel und Logarithmus nicht ausgeschrieben haben. Dies war jedoch nicht erforderlich: Im Inneren befinden sich Funktionen, deren Werte immer positiv sind.

Konsequenzen aus dem Umfang einer Funktion

Manchmal reicht es zur Lösung von Problem B15 nicht aus, nur den Scheitelpunkt der Parabel zu finden. Der gewünschte Wert kann liegen am Ende des Segments, aber nicht am Extremum. Wenn die Aufgabe überhaupt kein Segment angibt, schauen Sie sich an Toleranzbereich ursprüngliche Funktion. Nämlich:

Nochmal aufgepasst: Null darf zwar unter der Wurzel stehen, aber niemals im Logarithmus oder Nenner eines Bruchs. Mal sehen, wie es mit konkreten Beispielen funktioniert:

Aufgabe. Finden Sie den größten Wert der Funktion:

Unter der Wurzel befindet sich wieder eine quadratische Funktion: y \u003d 3 - 2x - x 2. Ihr Graph ist eine Parabel, verzweigt sich aber seit a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Wir schreiben den Bereich der zulässigen Werte (ODZ) aus:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; ein]

Finden Sie nun den Scheitelpunkt der Parabel:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Der Punkt x 0 = −1 gehört zum ODZ-Segment – ​​und das ist gut so. Nun betrachten wir den Wert der Funktion am Punkt x 0, sowie an den Enden der ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Wir haben also die Zahlen 2 und 0. Wir werden gebeten, die größte zu finden - das ist die Zahl 2.

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Innerhalb des Logarithmus gibt es eine quadratische Funktion y \u003d 6x - x 2 - 5. Dies ist eine Parabel mit Zweigen nach unten, aber der Logarithmus kann keine negativen Zahlen enthalten, also schreiben wir die ODZ aus:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Bitte beachten Sie: Die Ungleichung ist streng, daher gehören die Enden nicht zur ODZ. Auf diese Weise unterscheidet sich der Logarithmus von der Wurzel, wo uns die Segmentenden recht gut liegen.

Suche nach dem Scheitelpunkt der Parabel:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Die Spitze der Parabel passt entlang der ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Da uns aber die Segmentenden nicht interessieren, betrachten wir den Wert der Funktion nur am Punkt x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2