Themen des USE-Kodierers: mechanische Wellen, Wellenlänge, Schall.

mechanische Wellen - Dies ist der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen von Teilchen eines elastischen Mediums (fest, flüssig oder gasförmig) im Raum.

Das Vorhandensein elastischer Eigenschaften im Medium ist eine notwendige Bedingung für die Ausbreitung von Wellen: Die Verformung, die an einem beliebigen Ort aufgrund der Wechselwirkung benachbarter Teilchen auftritt, wird sukzessive von einem Punkt des Mediums auf einen anderen übertragen. Verschiedene Arten von Verformungen entsprechen verschiedenen Arten von Wellen.

Längs- und Querwellen.

Die Welle wird gerufen längs, wenn die Teilchen des Mediums parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen. Eine Longitudinalwelle besteht aus abwechselnden Zug- und Druckdehnungen. Auf Abb. Fig. 1 zeigt eine Longitudinalwelle, die eine Schwingung flacher Schichten des Mediums ist; die Richtung, entlang der die Schichten oszillieren, fällt mit der Richtung der Wellenausbreitung zusammen (d. h. senkrecht zu den Schichten).

Eine Welle heißt transversal, wenn die Teilchen des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen. Eine Transversalwelle wird durch Scherverformungen einer Schicht des Mediums relativ zu einer anderen verursacht. Auf Abb. 2 oszilliert jede Schicht in sich selbst, und die Welle breitet sich senkrecht zu den Schichten aus.

In Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen können sich Longitudinalwellen ausbreiten: In all diesen Medien kommt es zu einer elastischen Reaktion auf Kompression, wodurch Kompression und Verdünnung nacheinander ablaufen.

Flüssigkeiten und Gase haben jedoch im Gegensatz zu Feststoffen keine Elastizität gegenüber der Scherung der Schichten. Daher können sich Transversalwellen in Festkörpern ausbreiten, nicht jedoch in Flüssigkeiten und Gasen*.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Teilchen des Mediums während des Durchgangs der Welle in der Nähe konstanter Gleichgewichtspositionen oszillieren, d.h. im Durchschnitt an ihrem Platz bleiben. Die Welle also
Übertragung von Energie ohne Übertragung von Materie.

Am einfachsten zu lernen harmonische Wellen. Sie werden durch einen äußeren Einfluss auf die Umgebung verursacht, der sich gemäß dem harmonischen Gesetz ändert. Wenn sich eine harmonische Welle ausbreitet, führen die Teilchen des Mediums harmonische Schwingungen mit einer Frequenz aus, die gleich der Frequenz der äußeren Einwirkung ist. In Zukunft beschränken wir uns auf Oberwellen.

Betrachten wir den Prozess der Wellenausbreitung genauer. Nehmen wir an, ein Teilchen des Mediums (Teilchen ) begann mit einer Periode zu schwingen. Wenn es auf ein benachbartes Teilchen einwirkt, zieht es dieses mit sich. Das Teilchen wiederum zieht das Teilchen mit sich usw. Es entsteht also eine Welle, in der alle Teilchen mit einer Periode schwingen.

Teilchen haben jedoch Masse, d.h. sie haben Trägheit. Es dauert einige Zeit, um ihre Geschwindigkeit zu ändern. Folglich wird das Teilchen in seiner Bewegung dem Teilchen etwas hinterherhinken, das Teilchen wird dem Teilchen hinterherhinken usw. Wenn das Teilchen nach einiger Zeit die erste Schwingung beendet und mit der zweiten beginnt, befindet sich das Teilchen in einem bestimmten Abstand vom Teilchen , beginnt seine erste Schwingung.

Für eine Zeit, die der Periode der Teilchenschwingungen entspricht, breitet sich die Störung des Mediums also über eine Entfernung aus . Diese Entfernung wird genannt Wellenlänge. Die Schwingungen des Teilchens sind identisch mit den Schwingungen des Teilchens, die Schwingungen des nächsten Teilchens sind identisch mit den Schwingungen des Teilchens usw. Die Schwingungen reproduzieren sich sozusagen in der Ferne räumliche Schwingungsdauer; Sie ist neben der Zeitspanne das wichtigste Merkmal des Wellenverlaufs. Bei einer Longitudinalwelle ist die Wellenlänge gleich dem Abstand zwischen benachbarten Kompressionen oder Verdünnungen (Abb. 1). In der Querrichtung - der Abstand zwischen benachbarten Buckeln oder Vertiefungen (Abb. 2). Im Allgemeinen ist die Wellenlänge gleich dem Abstand (entlang der Richtung der Wellenausbreitung) zwischen zwei nächsten Partikeln des Mediums, die auf die gleiche Weise oszillieren (dh mit einer Phasendifferenz gleich ).

Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Wellenlänge zur Schwingungsdauer der Teilchen des Mediums:

Die Frequenz der Welle ist die Frequenz der Teilchenschwingungen:

Daraus ergibt sich der Zusammenhang von Wellengeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz:

. (1)

Klang.

Schallwellen im weiteren Sinne werden alle Wellen bezeichnet, die sich in einem elastischen Medium ausbreiten. Im engeren Sinne Klang so genannte Schallwellen im Frequenzbereich von 16 Hz bis 20 kHz, die vom menschlichen Ohr wahrgenommen werden. Unterhalb dieses Bereichs liegt die Fläche Infrasound, oben - Bereich Ultraschall.

Die Hauptmerkmale des Klangs sind Volumen und Höhe.
Die Lautstärke des Schalls wird durch die Amplitude der Druckschwankungen in der Schallwelle bestimmt und in speziellen Einheiten gemessen - Dezibel(dB). Die Lautstärke von 0 dB ist also die Hörschwelle, 10 dB das Ticken einer Uhr, 50 dB ein normales Gespräch, 80 dB ein Schrei, 130 dB die obere Hörgrenze (sog Schmerzgrenze).

Ton - Dies ist der Ton, den ein Körper erzeugt, der harmonische Schwingungen erzeugt (z. B. eine Stimmgabel oder eine Saite). Die Tonhöhe wird durch die Frequenz dieser Schwingungen bestimmt: Je höher die Frequenz, desto höher erscheint uns der Ton. Indem wir also an der Saite ziehen, erhöhen wir die Frequenz ihrer Schwingungen und dementsprechend die Tonhöhe.

Die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien ist unterschiedlich: Je elastischer das Medium ist, desto schneller breitet sich der Schall darin aus. In Flüssigkeiten ist die Schallgeschwindigkeit größer als in Gasen und in Feststoffen größer als in Flüssigkeiten.
Zum Beispiel beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft ungefähr 340 m / s (es ist praktisch, sich daran als "ein Drittel eines Kilometers pro Sekunde" zu erinnern) *. Im Wasser breitet sich Schall mit einer Geschwindigkeit von etwa 1500 m/s und in Stahl mit etwa 5000 m/s aus.
beachte das Frequenz Schall aus einer bestimmten Quelle ist in allen Medien gleich: Die Teilchen des Mediums führen erzwungene Schwingungen mit der Frequenz der Schallquelle aus. Nach Formel (1) schließen wir dann, dass sich beim Übergang von einem Medium zum anderen mit der Schallgeschwindigkeit auch die Länge der Schallwelle ändert.

DEFINITION

Längswelle- Dies ist eine Welle, bei deren Ausbreitung die Verschiebung der Partikel des Mediums in Richtung der Wellenausbreitung erfolgt (Abb. 1, a).

Die Ursache für das Auftreten einer Longitudinalwelle ist Kompression / Dehnung, d.h. der Widerstand eines Mediums gegen eine Volumenänderung. In Flüssigkeiten oder Gasen geht eine solche Verformung mit einer Verdünnung oder Verdichtung der Partikel des Mediums einher. Longitudinalwellen können sich in allen Medien ausbreiten – fest, flüssig und gasförmig.

Beispiele für Longitudinalwellen sind Wellen in einem elastischen Stab oder Schallwellen in Gasen.

Transversalwellen

DEFINITION

Querwelle- Dies ist eine Welle, bei deren Ausbreitung die Verschiebung der Partikel des Mediums in Richtung senkrecht zur Ausbreitung der Welle erfolgt (Abb. 1b).

Die Ursache einer Transversalwelle ist die Scherverformung einer Schicht des Mediums relativ zu einer anderen. Wenn sich eine Transversalwelle in einem Medium ausbreitet, werden Wellenberge und Wellentäler gebildet. Flüssigkeiten und Gase haben im Gegensatz zu Festkörpern keine Elastizität gegenüber Schichtscherung, d.h. Widerstehen Sie der Formänderung nicht. Daher können sich Transversalwellen nur in Festkörpern ausbreiten.

Beispiele für Transversalwellen sind Wellen, die entlang eines gespannten Seils oder entlang einer Schnur laufen.

Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit sind weder längs noch quer. Wenn Sie einen Schwimmer auf die Wasseroberfläche werfen, können Sie sehen, dass er sich kreisförmig bewegt und auf den Wellen schwankt. Somit hat eine Welle auf einer Flüssigkeitsoberfläche sowohl Quer- als auch Längskomponenten. Auf der Oberfläche einer Flüssigkeit können auch Wellen besonderer Art auftreten - die sogenannten Oberflächenwellen. Sie entstehen durch die Wirkung und Kraft der Oberflächenspannung.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

Die Übung

Bestimmen Sie die Ausbreitungsrichtung der Transversalwelle, wenn der Schwimmer zu einem bestimmten Zeitpunkt die in der Abbildung angegebene Geschwindigkeitsrichtung hat.

Entscheidung

Machen wir eine Zeichnung. Lassen Sie uns die Oberfläche der Welle in der Nähe des Schwimmers nach einem bestimmten Zeitintervall zeichnen, wobei zu berücksichtigen ist, dass der Schwimmer während dieser Zeit nach unten gegangen ist, da er im Moment nach unten gerichtet war. Wenn wir die Linie nach rechts und links fortsetzen, zeigen wir die Position der Welle zum Zeitpunkt . Wenn wir die Position der Welle zum Anfangszeitpunkt (durchgezogene Linie) und zum Zeitpunkt (gestrichelte Linie) vergleichen, schließen wir, dass sich die Welle nach links ausbreitet.

Wenn an irgendeiner Stelle eines festen, flüssigen oder gasförmigen Mediums Teilchenschwingungen angeregt werden, ist das Ergebnis der Wechselwirkung der Atome und Moleküle des Mediums die Übertragung von Schwingungen von einem Punkt zum anderen mit endlicher Geschwindigkeit.

Bestimmung 1

Welle ist der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen im Medium.

Es gibt folgende Arten von mechanischen Wellen:

Bestimmung 2

Querwelle: Teilchen des Mediums werden senkrecht zur Ausbreitungsrichtung einer mechanischen Welle verschoben.

Beispiel: Wellen, die sich entlang einer Schnur oder einem Gummiband unter Spannung ausbreiten (Abbildung 2.6.1);

Bestimmung 3

Längswelle: Die Teilchen des Mediums werden in Ausbreitungsrichtung der mechanischen Welle verschoben.

Beispiel: Wellenausbreitung in einem Gas oder einem elastischen Stab (Bild 2.6.2).

Interessanterweise enthalten die Wellen auf der Flüssigkeitsoberfläche sowohl transversale als auch longitudinale Komponenten.

Bemerkung 1

Wir weisen auf eine wichtige Klarstellung hin: Wenn sich mechanische Wellen ausbreiten, übertragen sie Energie, bilden sich, übertragen aber keine Masse, d.h. bei beiden Wellenarten findet keine Materieübertragung in Wellenausbreitungsrichtung statt. Während der Ausbreitung oszillieren die Teilchen des Mediums um die Gleichgewichtslagen. In diesem Fall übertragen Wellen, wie wir bereits gesagt haben, Energie, nämlich die Energie von Schwingungen, von einem Punkt des Mediums zu einem anderen.

Figur 2. 6. ein . Ausbreitung einer Transversalwelle entlang eines unter Spannung stehenden Gummibandes.

Figur 2. 6. 2. Ausbreitung einer Longitudinalwelle entlang eines elastischen Stabes.

Ein charakteristisches Merkmal mechanischer Wellen ist ihre Ausbreitung in materiellen Medien, anders als beispielsweise Lichtwellen, die sich auch im Vakuum ausbreiten können. Für das Auftreten eines mechanischen Wellenimpulses wird ein Medium benötigt, das die Fähigkeit besitzt, kinetische und potentielle Energien zu speichern: d.h. das Medium muss inerte und elastische Eigenschaften haben. In realen Umgebungen sind diese Eigenschaften über das gesamte Volumen verteilt. Beispielsweise hat jedes kleine Element eines Festkörpers Masse und Elastizität. Das einfachste eindimensionale Modell eines solchen Körpers ist ein Satz aus Kugeln und Federn (Abbildung 2.6.3).

Figur 2. 6. 3 . Das einfachste eindimensionale Modell eines starren Körpers.

In diesem Modell werden inerte und elastische Eigenschaften getrennt. Die Kugeln haben Masse m, und Federn - Steifigkeit k . Ein solch einfaches Modell ermöglicht es, die Ausbreitung von longitudinalen und transversalen mechanischen Wellen in einem Festkörper zu beschreiben. Wenn sich eine Longitudinalwelle ausbreitet, werden die Kugeln entlang der Kette verschoben und die Federn gedehnt oder zusammengedrückt, was eine Zug- oder Druckverformung ist. Tritt eine solche Verformung in einem flüssigen oder gasförmigen Medium auf, geht sie mit einer Verdichtung oder Verdünnung einher.

Bemerkung 2

Eine Besonderheit von Longitudinalwellen ist, dass sie sich in jedem Medium ausbreiten können: fest, flüssig und gasförmig.

Wenn in dem angegebenen Modell eines starren Körpers eine oder mehrere Kugeln eine Verschiebung senkrecht zur gesamten Kette erfahren, kann man vom Auftreten einer Schubverformung sprechen. Federn, die infolge einer Verschiebung eine Verformung erfahren haben, neigen dazu, die verschobenen Partikel in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen, und die nächsten unverdrängten Partikel werden beginnen, von elastischen Kräften beeinflusst zu werden, die dazu neigen, diese Partikel aus der Gleichgewichtsposition abzulenken. Das Ergebnis ist das Auftreten einer Querwelle in Richtung entlang der Kette.

In einem flüssigen oder gasförmigen Medium tritt keine elastische Scherverformung auf. Die Verschiebung einer Flüssigkeits- oder Gasschicht in einigem Abstand relativ zur benachbarten Schicht führt nicht zum Auftreten von Tangentialkräften an der Grenze zwischen den Schichten. Die Kräfte, die an der Grenze einer Flüssigkeit und eines Festkörpers wirken, sowie die Kräfte zwischen benachbarten Schichten einer Flüssigkeit, sind immer entlang der Normalen zur Grenze gerichtet – das sind Druckkräfte. Dasselbe gilt für das gasförmige Medium.

Bemerkung 3

Somit ist das Auftreten von Transversalwellen in flüssigen oder gasförmigen Medien unmöglich.

Aus praktischer Sicht sind vor allem einfache Oberwellen oder Sinuswellen interessant. Sie sind durch die Teilchenschwingungsamplitude A, die Frequenz f und die Wellenlänge λ gekennzeichnet. Sinuswellen breiten sich in homogenen Medien mit einer konstanten Geschwindigkeit υ aus.

Lassen Sie uns einen Ausdruck schreiben, der die Abhängigkeit der Verschiebung y (x, t) der Teilchen des Mediums von der Gleichgewichtsposition in einer Sinuswelle von der Koordinate x auf der Achse O X, entlang der sich die Welle ausbreitet, und von der Zeit t zeigt:

y (x, t) = A cos ω t - x υ = A cos ω t - k x .

Im obigen Ausdruck ist k = ω υ die sogenannte Wellenzahl und ω = 2 π f die Kreisfrequenz.

Figur 2. 6. 4 zeigt "Schnappschüsse" einer Scherwelle zum Zeitpunkt t und t + Δt. Während des Zeitintervalls Δ t bewegt sich die Welle entlang der Achse O X in einem Abstand υ Δ t . Solche Wellen nennt man Wanderwellen.

Figur 2. 6. 4 . "Schnappschüsse" einer wandernden Sinuswelle zu einem bestimmten Zeitpunkt t und t + ∆t.

Bestimmung 4

Wellenlängeλ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten auf der Achse O X oszillieren in den gleichen Phasen.

Die Strecke, deren Wert die Wellenlänge λ ist, die die Welle in einer Periode T zurücklegt. Die Formel für die Wellenlänge lautet also: λ = υ T, wobei υ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist.

Mit Ablauf der Zeit t ändert sich die Koordinate x ein beliebiger Punkt auf dem Graphen, der den Wellenverlauf darstellt (z. B. Punkt A in Abbildung 2 .6 .4), während der Wert des Ausdrucks ω t - k x unverändert bleibt. Nach einer Zeit Δ t bewegt sich Punkt A entlang der Achse O X etwas Abstand Δ x = υ Δ t . Auf diese Weise:

ω t - k x = ω (t + ∆ t) - k (x + ∆ x) = c o n s t oder ω ∆ t = k ∆ x .

Aus diesem Ausdruck folgt:

υ = ∆ x ∆ t = ω k oder k = 2 π λ = ω υ .

Es wird deutlich, dass eine wandernde Sinuswelle eine doppelte Periodizität hat – in Zeit und Raum. Die Zeitperiode ist gleich der Schwingungsperiode T der Teilchen des Mediums und die räumliche Periode ist gleich der Wellenlänge λ.

Bestimmung 5

Wellennummer k = 2 π λ ist das räumliche Analogon der Kreisfrequenz ω = - 2 π T .

Lassen Sie uns betonen, dass die Gleichung y (x, t) = A cos ω t + k x eine Beschreibung einer Sinuswelle ist, die sich in der Richtung entgegen der Richtung der Achse ausbreitet O X, mit der Geschwindigkeit υ = - ω k .

Bei der Ausbreitung einer Wanderwelle schwingen alle Teilchen des Mediums harmonisch mit einer bestimmten Frequenz ω. Das heißt, wie bei einem einfachen Schwingungsvorgang ist die durchschnittliche potentielle Energie, die der Vorrat eines bestimmten Volumens des Mediums ist, die durchschnittliche kinetische Energie im selben Volumen, proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude.

Bemerkung 4

Aus dem Vorstehenden können wir schließen, dass bei der Ausbreitung einer Wanderwelle ein Energiefluss auftritt, der proportional zur Wellengeschwindigkeit und dem Quadrat ihrer Amplitude ist.

Wanderwellen bewegen sich in einem Medium mit bestimmten Geschwindigkeiten, die von der Wellenart, den trägen und elastischen Eigenschaften des Mediums abhängen.

Die Geschwindigkeit, mit der sich Transversalwellen in einer gespannten Schnur oder einem Gummiband ausbreiten, hängt von der linearen Masse μ (oder Masse pro Längeneinheit) und der Spannkraft ab T:

Die Geschwindigkeit, mit der sich Longitudinalwellen in einem unendlichen Medium ausbreiten, wird unter Beteiligung von Größen wie der Dichte des Mediums ρ (oder der Masse pro Volumeneinheit) und dem Kompressionsmodul berechnet B(gleich dem Proportionalitätskoeffizienten zwischen der Druckänderung Δ p und der relativen Volumenänderung Δ V V , mit entgegengesetztem Vorzeichen genommen):

∆ p = - B ∆ V V .

Somit wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen in einem unendlichen Medium durch die Formel bestimmt:

Beispiel 1

Bei einer Temperatur von 20 °C beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen in Wasser υ ≈ 1480 m/s, in verschiedenen Stahlsorten υ ≈ 5 - 6 km/s.

Wenn es sich um Longitudinalwellen handelt, die sich in elastischen Stäben ausbreiten, enthält die Formel für die Wellengeschwindigkeit nicht den Kompressionsmodul, sondern den Elastizitätsmodul:

Für Stahl Unterschied E aus B unwesentlich, kann aber bei anderen Materialien 20 - 30 % oder mehr betragen.

Figur 2. 6. 5 . Modell von Longitudinal- und Transversalwellen.

Angenommen, eine mechanische Welle, die sich in einem bestimmten Medium ausbreitet, stößt auf ihrem Weg auf ein Hindernis: In diesem Fall ändert sich die Art ihres Verhaltens dramatisch. Beispielsweise wird die Welle an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen mechanischen Eigenschaften teilweise reflektiert und dringt teilweise in das zweite Medium ein. Eine Welle, die entlang eines Gummibandes oder einer Schnur läuft, wird vom festen Ende reflektiert, und es entsteht eine Gegenwelle. Wenn beide Enden der Saite befestigt sind, treten komplexe Schwingungen auf, die das Ergebnis der Überlagerung (Überlagerung) zweier Wellen sind, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten und an den Enden Reflexionen und Rückreflexionen erfahren. So „funktionieren“ die Saiten aller Saitenmusikinstrumente, an beiden Enden fixiert. Ein ähnlicher Vorgang tritt beim Klang von Blasinstrumenten auf, insbesondere bei Orgelpfeifen.

Wenn die Wellen, die sich entlang der Saite in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, eine Sinusform haben, dann bilden sie unter bestimmten Bedingungen eine stehende Welle.

Angenommen, eine Zeichenfolge der Länge l ist so festgelegt, dass sich eines ihrer Enden am Punkt x \u003d 0 und das andere am Punkt x 1 \u003d L befindet (Abbildung 2.6.6). Es gibt Spannung in der Saite T.

Bild 2 . 6 . 6 . Entstehung einer stehenden Welle in einer an beiden Enden befestigten Schnur.

Zwei Wellen mit gleicher Frequenz laufen gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Saite:

• y 1 (x, t) = A cos (ω t + k x) ist eine Welle, die sich von rechts nach links ausbreitet;
• y 2 (x, t) = A cos (ω t – k x) ist eine Welle, die sich von links nach rechts ausbreitet.

Der Punkt x = 0 ist eines der festen Enden der Saite: An diesem Punkt erzeugt die einfallende Welle y 1 durch Reflexion eine Welle y 2 . Beim Reflektieren vom festen Ende tritt die reflektierte Welle mit der einfallenden gegenphasig ein. Nach dem (experimentellen) Überlagerungsprinzip summieren sich die durch gegenläufige Wellen erzeugten Schwingungen an allen Punkten der Saite. Aus dem Obigen folgt, dass die endgültige Fluktuation an jedem Punkt als die Summe der Fluktuationen definiert ist, die durch die Wellen y 1 und y 2 separat verursacht werden. Auf diese Weise:

y \u003d y 1 (x, t) + y 2 (x, t) \u003d (- 2 A sin ω t) sin k x.

Der obige Ausdruck ist eine Beschreibung einer stehenden Welle. Lassen Sie uns einige Konzepte einführen, die auf ein solches Phänomen wie eine stehende Welle anwendbar sind.

Bestimmung 6

Knoten sind Punkte der Unbeweglichkeit in einer stehenden Welle.

Bäuche– Punkte, die sich zwischen den Knoten befinden und mit der maximalen Amplitude schwingen.

Wenn wir diesen Definitionen folgen, müssen beide festen Enden der Saite Knoten sein, damit eine stehende Welle auftritt. Die obige Formel erfüllt diese Bedingung am linken Ende (x = 0) . Damit die Bedingung am rechten Ende (x = L) erfüllt ist, muss k L = n π sein, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Aus dem Gesagten können wir schließen, dass eine stehende Welle nicht immer in einer Saite auftritt, sondern nur, wenn die Länge L string ist gleich einer ganzen Zahl von halben Wellenlängen:

l = n λ n 2 oder λ n = 2 l n (n = 1 , 2 , 3 , . . .) .

Die Wertemenge λ n der Wellenlängen entspricht der Menge möglicher Frequenzen f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

In dieser Notation ist υ = T μ die Geschwindigkeit, mit der sich Transversalwellen entlang der Saite ausbreiten.

Bestimmung 7

Jede der Frequenzen f n und die damit verbundene Art der Saitenschwingung wird als Normalmodus bezeichnet. Die niedrigste Frequenz f 1 wird als Grundfrequenz bezeichnet, alle anderen (f 2 , f 3 , ...) werden als Harmonische bezeichnet.

Figur 2. 6. 6 veranschaulicht den Normalmodus für n = 2.

Eine stehende Welle hat keinen Energiefluss. Die Energie der Schwingungen, die in dem Segment der Saite zwischen zwei benachbarten Knoten "eingeschlossen" ist, wird nicht auf den Rest der Saite übertragen. In jedem dieser Segmente wird eine Periode (zweimal pro Periode) T) Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt, ähnlich wie bei einem gewöhnlichen schwingungsfähigen System. Allerdings gibt es hier einen Unterschied: Wenn ein Gewicht an einer Feder oder einem Pendel eine einzige Eigenfrequenz f 0 = ω 0 2 π hat, dann ist die Saite durch das Vorhandensein unendlich vieler Eigenfrequenzen f n gekennzeichnet. Figur 2. 6. Fig. 7 zeigt mehrere Varianten von stehenden Wellen in einer beidseitig fixierten Saite.

Figur 2. 6. 7. Die ersten fünf normalen Schwingungsmodi einer an beiden Enden befestigten Saite.

Nach dem Superpositionsprinzip werden stehende Wellen unterschiedlicher Art (mit unterschiedlichen Werten n) gleichzeitig in den Schwingungen der Saite vorhanden sein können.

Figur 2. 6. acht . Modell der normalen Moden einer Saite.

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Sie können sich vorstellen, was mechanische Wellen sind, indem Sie einen Stein ins Wasser werfen. Die Kreise, die darauf erscheinen und abwechselnd Mulden und Grate sind, sind ein Beispiel für mechanische Wellen. Was ist ihr Wesen? Mechanische Wellen sind der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen in elastischen Medien.

Wellen auf flüssigen Oberflächen

Solche mechanischen Wellen entstehen aufgrund des Einflusses zwischenmolekularer Kräfte und der Schwerkraft auf die Teilchen der Flüssigkeit. Dieses Phänomen wird seit langem von Menschen untersucht. Am bemerkenswertesten sind das Meer und die Meereswellen. Mit zunehmender Windgeschwindigkeit verändern sie sich und ihre Höhe nimmt zu. Auch die Form der Wellen selbst wird komplizierter. Im Ozean können sie erschreckende Ausmaße annehmen. Eines der offensichtlichsten Beispiele für Gewalt ist der Tsunami, der alles auf seinem Weg hinwegfegt.

Energie von Meeres- und Ozeanwellen

Beim Erreichen der Küste nehmen die Meereswellen mit einer starken Änderung der Tiefe zu. Sie erreichen teilweise eine Höhe von mehreren Metern. In solchen Momenten wird eine kolossale Wassermasse auf Küstenhindernisse übertragen, die unter ihrem Einfluss schnell zerstört werden. Die Stärke der Brandung erreicht teilweise grandiose Werte.

elastische Wellen

In der Mechanik werden nicht nur Schwingungen an der Oberfläche einer Flüssigkeit untersucht, sondern auch die sogenannten elastischen Wellen. Dies sind Störungen, die sich in verschiedenen Medien unter Einwirkung elastischer Kräfte in ihnen ausbreiten. Eine solche Störung ist jede Abweichung der Teilchen eines gegebenen Mediums von der Gleichgewichtslage. Ein gutes Beispiel für elastische Wellen ist ein langes Seil oder ein Gummischlauch, der an einem Ende an etwas befestigt ist. Wenn man es straff zieht und dann an seinem zweiten (losen) Ende mit einer seitlichen scharfen Bewegung eine Störung erzeugt, sieht man, wie es über die gesamte Länge des Seils bis zur Stütze „läuft“ und zurückreflektiert wird.

Die anfängliche Störung führt zum Auftreten einer Welle im Medium. Es wird durch die Wirkung eines Fremdkörpers verursacht, der in der Physik als Quelle der Welle bezeichnet wird. Es kann die Hand einer Person sein, die ein Seil schwingt, oder ein Kieselstein, der ins Wasser geworfen wird. Wenn die Wirkung der Quelle kurzlebig ist, erscheint oft eine einzelne Welle im Medium. Wenn der „Störer“ lange Wellen macht, erscheinen sie nacheinander.

Bedingungen für das Auftreten mechanischer Wellen

Solche Schwingungen werden nicht immer gebildet. Eine notwendige Bedingung für ihr Auftreten ist das Auftreten von Kräften, die sie verhindern, insbesondere Elastizität, im Moment der Störung des Mediums. Sie neigen dazu, benachbarte Teilchen näher zusammenzubringen, wenn sie sich voneinander entfernen, und sie voneinander wegzuschieben, wenn sie sich einander nähern. Elastische Kräfte, die weit entfernt von der Störungsquelle auf Teilchen einwirken, beginnen, sie aus dem Gleichgewicht zu bringen. Im Laufe der Zeit sind alle Teilchen des Mediums an einer Schwingungsbewegung beteiligt. Die Ausbreitung solcher Schwingungen ist eine Welle.

Mechanische Wellen in einem elastischen Medium

In einer elastischen Welle gibt es gleichzeitig 2 Arten von Bewegung: Teilchenschwingungen und Störungsausbreitung. Eine Longitudinalwelle ist eine mechanische Welle, deren Teilchen entlang ihrer Ausbreitungsrichtung schwingen. Eine Transversalwelle ist eine Welle, deren mittlere Teilchen quer zu ihrer Ausbreitungsrichtung schwingen.

Eigenschaften mechanischer Wellen

Störungen in einer Longitudinalwelle sind Verdünnung und Kompression, und in einer Transversalwelle sind sie Verschiebungen (Verschiebungen) einiger Schichten des Mediums in Bezug auf andere. Die Druckverformung wird von dem Auftreten elastischer Kräfte begleitet. In diesem Fall ist es mit dem Auftreten elastischer Kräfte ausschließlich in Festkörpern verbunden. In gasförmigen und flüssigen Medien ist die Verschiebung der Schichten dieser Medien nicht mit dem Auftreten der erwähnten Kraft verbunden. Aufgrund ihrer Eigenschaften können sich Longitudinalwellen in jedem Medium und Transversalwellen - nur in festen - ausbreiten.

Merkmale von Wellen auf der Oberfläche von Flüssigkeiten

Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit sind weder längs noch quer. Sie haben einen komplexeren, sogenannten Längs-Quer-Charakter. Dabei bewegen sich die Fluidpartikel auf einem Kreis oder entlang langgestreckter Ellipsen. Partikel auf der Flüssigkeitsoberfläche, und insbesondere bei großen Schwankungen, werden von ihrer langsamen, aber kontinuierlichen Bewegung in Richtung der Wellenausbreitung begleitet. Es sind diese Eigenschaften mechanischer Wellen im Wasser, die das Erscheinen verschiedener Meeresfrüchte am Ufer verursachen.

Frequenz mechanischer Wellen

Wenn in einem elastischen Medium (flüssig, fest, gasförmig) eine Schwingung seiner Teilchen angeregt wird, breitet es sich aufgrund der Wechselwirkung zwischen ihnen mit einer Geschwindigkeit u aus. Befindet sich also ein schwingender Körper in einem gasförmigen oder flüssigen Medium, beginnt sich seine Bewegung auf alle ihm benachbarten Teilchen zu übertragen. Sie werden die nächsten in den Prozess einbeziehen und so weiter. In diesem Fall beginnen absolut alle Punkte des Mediums mit der gleichen Frequenz zu schwingen, die gleich der Frequenz des schwingenden Körpers ist. Es ist die Frequenz der Welle. Mit anderen Worten, diese Größe kann als Punkte im Medium charakterisiert werden, an denen sich die Welle ausbreitet.

Es ist möglicherweise nicht sofort klar, wie dieser Prozess abläuft. Mechanische Wellen sind mit der Energieübertragung der Schwingungsbewegung von ihrer Quelle zur Peripherie des Mediums verbunden. Dadurch entstehen sogenannte periodische Verformungen, die von der Welle von einem Punkt zum anderen getragen werden. In diesem Fall bewegen sich die Partikel des Mediums selbst nicht mit der Welle mit. Sie schwingen nahe ihrer Gleichgewichtslage. Deshalb geht die Ausbreitung einer mechanischen Welle nicht mit der Übertragung von Materie von einem Ort zum anderen einher. Mechanische Wellen haben unterschiedliche Frequenzen. Daher wurden sie in Bereiche unterteilt und eine spezielle Skala erstellt. Die Frequenz wird in Hertz (Hz) gemessen.

Grundlegende Formeln

Mechanische Wellen, deren Berechnungsformeln recht einfach sind, sind ein interessantes Untersuchungsobjekt. Die Wellengeschwindigkeit (υ) ist die Bewegungsgeschwindigkeit ihrer Front (geometrischer Ort aller Punkte, die die Schwingung des Mediums zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht hat):

wobei ρ die Dichte des Mediums ist, G der Elastizitätsmodul ist.

Bei der Berechnung darf man die Geschwindigkeit einer mechanischen Welle in einem Medium nicht mit der Bewegungsgeschwindigkeit der daran beteiligten Teilchen des Mediums verwechseln. So breitet sich beispielsweise eine Schallwelle in Luft mit einer mittleren Schwingungsgeschwindigkeit ihrer Moleküle aus von 10 m/s, während die Geschwindigkeit einer Schallwelle unter normalen Bedingungen 330 m/s beträgt.

Die Wellenfront kann von verschiedenen Arten sein, von denen die einfachsten sind:

Sphärisch - verursacht durch Schwankungen in einem gasförmigen oder flüssigen Medium. In diesem Fall nimmt die Wellenamplitude mit der Entfernung von der Quelle umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ab.

Flach - ist eine Ebene, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle steht. Sie tritt beispielsweise in einem geschlossenen Kolbenzylinder auf, wenn dieser schwingt. Eine ebene Welle ist durch eine nahezu konstante Amplitude gekennzeichnet. Ihre leichte Abnahme mit der Entfernung von der Störquelle hängt mit dem Viskositätsgrad des gasförmigen oder flüssigen Mediums zusammen.

Wellenlänge

Unter verstehen Sie die Entfernung, über die sich seine Front in einer Zeit bewegt, die gleich der Schwingungsperiode der Teilchen des Mediums ist:

λ = υT = υ/v = 2πυ/ ω,

wobei T die Schwingungsperiode ist, υ die Wellengeschwindigkeit ist, ω die zyklische Frequenz ist, ν die Schwingungsfrequenz der mittleren Punkte ist.

Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer mechanischen Welle vollständig von den Eigenschaften des Mediums abhängt, ändert sich ihre Länge λ beim Übergang von einem Medium zum anderen. Dabei bleibt die Schwingfrequenz ν immer gleich. Mechanisch und ähnliches insofern, als bei ihrer Ausbreitung Energie übertragen wird, aber keine Materie übertragen wird.

Die Existenz einer Welle erfordert eine Schwingungsquelle und ein materielles Medium oder Feld, in dem sich diese Welle ausbreitet. Wellen sind unterschiedlichster Natur, aber sie gehorchen ähnlichen Gesetzen.

Durch körperliche Natur unterscheiden:

Je nach Ausrichtung der Störungen unterscheiden:

Longitudinalwellen - Die Verschiebung von Partikeln erfolgt entlang der Ausbreitungsrichtung; es ist notwendig, während der Kompression eine elastische Kraft im Medium zu haben; kann in jeder Umgebung verteilt werden. Beispiele: Schallwellen

Transversalwellen - Die Verdrängung von Teilchen erfolgt quer zur Ausbreitungsrichtung; kann sich nur in elastischen Medien ausbreiten; es ist eine scherelastische Kraft im Medium erforderlich; kann sich nur in festen Medien (und an der Grenze zweier Medien) ausbreiten. Beispiele: elastische Wellen in einer Schnur, Wellen auf Wasser

Je nach Art der Zeitabhängigkeit unterscheiden:

elastische Wellen - mechanische Verschiebungen (Verformungen), die sich in einem elastischen Medium ausbreiten. Die elastische Welle heißt harmonisch(sinusförmig), wenn die Schwingungen des ihm entsprechenden Mediums harmonisch sind.

laufende Wellen - Wellen, die Energie im Raum transportieren.

Entsprechend der Form der Wellenoberfläche : ebene, sphärische, zylindrische Welle.

Wellenfront- der Ort der Punkte, an denen die Schwingungen zu einem bestimmten Zeitpunkt angekommen sind.

Wellenoberfläche- Ort der in einer Phase oszillierenden Punkte.

Welleneigenschaften

Wellenlänge λ - die Entfernung, über die sich die Welle in einer Zeit ausbreitet, die der Schwingungsperiode entspricht

Wellenamplitude A - Schwingungsamplitude von Teilchen in einer Welle

Wellengeschwindigkeit V - Ausbreitungsgeschwindigkeit von Störungen im Medium

Wellenperiode T - Schwingungsdauer

Wellenfrequenz ν - der Kehrwert der Periode

Wanderwellengleichung

Bei der Ausbreitung einer Wanderwelle erreichen die Störungen des Mediums die nächsten Punkte im Raum, während die Welle Energie und Impuls überträgt, aber keine Materie überträgt (die Teilchen des Mediums schwingen weiter an der gleichen Stelle im Raum).

wo v- Geschwindigkeit , φ 0 - Anfangsphase , ω – zyklische Frequenz , EIN– Amplitude

Eigenschaften mechanischer Wellen

1. Wellenreflexion – Mechanische Wellen jeglicher Herkunft können an der Grenzfläche zwischen zwei Medien reflektiert werden. Wenn eine mechanische Welle, die sich in einem Medium ausbreitet, auf ihrem Weg auf ein Hindernis trifft, kann sie die Art ihres Verhaltens dramatisch verändern. Beispielsweise wird an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen mechanischen Eigenschaften eine Welle teilweise reflektiert und dringt teilweise in das zweite Medium ein.

2. Brechung von Wellen – bei der ausbreitung mechanischer wellen kann man auch das phänomen der brechung beobachten: eine änderung der ausbreitungsrichtung mechanischer wellen beim übergang von einem medium in ein anderes.

3. Wellenbeugung – Abweichung von Wellen von der geradlinigen Ausbreitung, dh ihre Biegung um Hindernisse herum.

4. Welleninterferenz – Addition von zwei Wellen. In einem Raum, in dem sich mehrere Wellen ausbreiten, führt ihre Interferenz zum Auftreten von Bereichen mit minimalen und maximalen Werten der Schwingungsamplitude

Interferenz und Beugung mechanischer Wellen.

Eine entlang eines Gummibandes oder einer Schnur laufende Welle wird von einem festen Ende reflektiert; Dadurch entsteht eine Welle, die sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet.

Bei der Überlagerung von Wellen kann das Phänomen der Interferenz beobachtet werden. Das Phänomen der Interferenz tritt auf, wenn kohärente Wellen überlagert werden.

kohärent namensWellenmit gleichen Frequenzen, einer konstanten Phasendifferenz und die Schwingungen treten in der gleichen Ebene auf.

Interferenz bezeichnet das zeitkonstante Phänomen der gegenseitigen Verstärkung und Dämpfung von Schwingungen an verschiedenen Stellen des Mediums als Ergebnis der Überlagerung kohärenter Wellen.

Das Ergebnis der Wellenüberlagerung hängt von den Phasen ab, in denen sich die Schwingungen überlagern.

Wenn Wellen von den Quellen A und B in der gleichen Phase am Punkt C ankommen, werden die Schwingungen stärker; wenn es in entgegengesetzten Phasen ist, dann gibt es eine Schwächung der Schwingungen. Dadurch entsteht im Raum ein stabiles Muster aus abwechselnden Bereichen verstärkter und abgeschwächter Schwingungen.

Höchst- und Mindestbedingungen

Wenn die Schwingungen der Punkte A und B phasengleich sind und gleiche Amplituden haben, dann ist es offensichtlich, dass die resultierende Verschiebung am Punkt C von der Differenz zwischen den Bahnen der beiden Wellen abhängt.

Höchstbedingungen

Wenn die Differenz zwischen den Wegen dieser Wellen gleich einer ganzzahligen Anzahl von Wellen ist (d. h. einer geraden Anzahl von Halbwellen) Δd = kλ , wo k= 0, 1, 2, ..., dann bildet sich an der Überlagerungsstelle dieser Wellen ein Interferenzmaximum aus.

Maximaler Zustand :

A = 2x0.

Mindestbedingung

Wenn der Gangunterschied dieser Wellen gleich einer ungeraden Anzahl von Halbwellen ist, bedeutet dies, dass die Wellen von den Punkten A und B gegenphasig zum Punkt C kommen und sich gegenseitig auslöschen.

Mindestbedingung:

Die Amplitude der resultierenden Schwingung A = 0.

Wenn Δd ungleich einer ganzen Zahl von Halbwellen ist, dann 0< А < 2х 0 .

Beugung von Wellen.

Das Phänomen der Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung und Rundung von Hindernissen durch Wellen wird genanntBeugung.

Das Verhältnis zwischen der Wellenlänge (λ) und der Größe des Hindernisses (L) bestimmt das Verhalten der Welle. Die Beugung zeigt sich am deutlichsten, wenn die Länge der einfallenden Welle größer ist als die Abmessungen des Hindernisses. Experimente zeigen, dass Beugung immer vorhanden ist, sich aber unter der Bedingung bemerkbar macht d<<λ , wobei d die Größe des Hindernisses ist.

Beugung ist eine gemeinsame Eigenschaft von Wellen jeglicher Art, die immer auftritt, aber die Bedingungen für ihre Beobachtung sind unterschiedlich.

Eine Welle an der Wasseroberfläche breitet sich auf ein ausreichend großes Hindernis aus, hinter dem sich ein Schatten bildet, d.h. es wird kein Wellenprozess beobachtet. Diese Eigenschaft wird beim Bau von Wellenbrechern in Häfen verwendet. Wenn die Größe des Hindernisses mit der Wellenlänge vergleichbar ist, befindet sich hinter dem Hindernis eine Welle. Hinter ihm breitet sich die Welle aus, als gäbe es überhaupt kein Hindernis, d.h. Wellenbeugung wird beobachtet.

Beispiele für die Manifestation der Beugung . Um die Ecke des Hauses ein lautes Gespräch hören, Geräusche im Wald, Wellen auf der Wasseroberfläche.

stehende Wellen

stehende Wellen werden durch Addition der direkten und reflektierten Wellen gebildet, wenn sie die gleiche Frequenz und Amplitude haben.

In einer beidseitig eingespannten Saite entstehen komplexe Schwingungen, die als Ergebnis einer Überlagerung ( Überlagerungen) zwei Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten und an den Enden Reflexionen und Rückreflexionen erfahren. Schwingungen von Saiten, die an beiden Enden befestigt sind, erzeugen die Klänge aller Saitenmusikinstrumente. Ein sehr ähnliches Phänomen tritt beim Klang von Blasinstrumenten auf, einschließlich Orgelpfeifen.

Saitenschwingungen. Bei einer gespannten, an beiden Enden befestigten Saite, wenn Querschwingungen angeregt werden, stehende Wellen , und Knoten sollten sich an den Stellen befinden, an denen die Schnur befestigt ist. Daher wird die Saite mit gespannt spürbare Intensität nur solche Schwingungen, deren halbe Wellenlänge ganzzahlig auf die Länge der Saite passt.

Dies impliziert die Bedingung

Wellenlängen entsprechen Frequenzen

n = 1, 2, 3 ...Frequenzen vn namens natürliche Frequenzen Saiten.

Harmonische Schwingungen mit Frequenzen vn namens Eigene oder normale Schwingungen . Sie werden auch Harmonische genannt. Im Allgemeinen ist die Schwingung einer Saite eine Überlagerung verschiedener Obertöne.

Stehende Wellengleichung :

An Punkten, an denen die Koordinaten die Bedingung erfüllen (n= 1, 2, 3, ...), ist die Gesamtamplitude gleich dem Maximalwert - dies Bäuche stehende Welle. Antinode-Koordinaten :

An Punkten, deren Koordinaten die Bedingung erfüllen (n= 0, 1, 2, …), ist die Gesamtschwingungsamplitude gleich Null – Das Knoten stehende Welle. Knotenkoordinaten:

Die Bildung stehender Wellen wird beobachtet, wenn sich die fortschreitende und die reflektierte Welle überlagern. An der Grenze, an der die Welle reflektiert wird, entsteht ein Wellenbauch, wenn das Medium, von dem die Reflexion erfolgt, weniger dicht ist (a), und ein Knoten, wenn es dichter ist (b).

Wenn wir überlegen Wanderwelle , dann in Richtung seiner Ausbreitung Energie übertragen wird oszillierende Bewegung. Im Fall von gleich es gibt keine stehende Welle der Energieübertragung , da Einfallende und reflektierte Wellen gleicher Amplitude tragen die gleiche Energie in entgegengesetzte Richtungen.

Stehende Wellen entstehen beispielsweise in einer beidseitig gespannten Saite, wenn in ihr Querschwingungen angeregt werden. Darüber hinaus gibt es an den Befestigungsstellen Knoten einer stehenden Welle.

Erzeugt man in einer einseitig offenen Luftsäule eine stehende Welle (Schallwelle), so bildet sich am offenen Ende ein Bauch und am gegenüberliegenden Ende ein Knoten.