Thema 1. Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen. (18 Stunden)

Sektion Mathematik. Durch die Leitung.

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  Zahlen und Berechnungen
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  Ausdrücke und Transformationen

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  Algebraischer Bruch.
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  Fraktionsreduktion.
• 
  Operationen mit algebraischen Brüchen.

• 
  

Programm	^ Stunde	Die Kontrolle markiert
U-1. Kombinierte Lektion "Grundbegriffe"	1		Aufgaben zum mündlichen Zählen. Übung 1 "Numerische Ausdrücke"
U-2. Vorlesungsvortrag "Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs. Reduktion von Brüchen"	1		Demomaterial "Grundlegende Eigenschaft eines algebraischen Bruchs"
U-3. Lektionskonsolidierung des Gelernten	1	Verbale Zählung Selbständiges Arbeiten 1.1 „Die Haupteigenschaft einer Fraktion. Fraktionsreduktion »	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Übung 2 "Reduktion algebraischer Brüche"
U-4. Kombinierte Lektion "Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner"	1
U-5. Lektion - Problemlösung	1		CD Mathematik 5-11 Übungen "Rationale Zahlen".
U-6. Kombinierte Lektion "Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern"	1		Demomaterial "Addition und Subtraktion algebraischer Brüche"
U-7. Lektion - Problemlösung	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 3 „Addition und Subtraktion algebraischer Brüche“
U-8. Lektion - selbstständiges Arbeiten	1	Selbständiges Arbeiten 1.2 "Addition und Subtraktion algebraischer Brüche"
U-9. Lektion - Problemlösung	1
U-10. Lektion - Test	1	Prüfung Nr. 1
U-11. Kombinierte Lektion "Multiplikation und Division algebraischer Brüche. Potenzieren algebraischer Brüche"	1
U-12. Lektion - Problemlösung	2	Selbständiges Arbeiten 1.3 "Multiplikation und Division von Brüchen"
U-13. Kombinierte Lektion "Umwandlung rationaler Ausdrücke"	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 4 „Multiplikation und Division algebraischer Brüche“
U-14. Lektion - Problemlösung	1
U-15. Lektion - selbstständiges Arbeiten	1	Selbständiges Arbeiten 1.4 "Transformation rationaler Ausdrücke"
U-16. Workshop-Lektion "Erste Ideen zur Lösung rationaler Gleichungen"	1		CD Mathematik 5-11 Virtuelles Labor „Funktionsgraph“.
U-17. Lektion - Problemlösung	1	Prüfung 1 "Algebraische Brüche"
U-18. Lektion - Kontrollarbeit.	1	Prüfung Nr. 2

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  Lerne, wie man algebraische Brüche kürzt.
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  Grundlegende Operationen mit algebraischen Brüchen durchführen können.
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  Kombinierte Übungen zu Aktionen mit algebraischen Brüchen durchführen können.

Thema 2. Quadratische Funktion. Funktion . (18 Stunden)

 Funktion

Verbindliche Mindestinhalte des Bildungsbereichs Mathematik

Programm. Kontrolle über seine Umsetzung

Programm	Menge pro Stunde	Die Kontrolle markiert	Computer Software Lektion
U-1. Kombistunde „Funktion , seine Eigenschaften und sein Diagramm"	1
	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 5 „Funktion“ Demonstrationsmaterial „Parabel. Anwendung in Wissenschaft und Technik»
U-3. Lektion zur Problemlösung	1	Selbständiges Arbeiten 2.1 "Funktion y = kx 2 »
U-4. Unterrichtsvortrag "Eine Funktion und ihr Graph"	1		Demomaterial "Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Graph"
^ U-5. Lektion zur Problemlösung	3	Verbale Zählung Selbständiges Arbeiten 2.2 "Funktion"	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 6 „Umgekehrte Proportionalität“
U-6.7. Lektionen-Übungen "Wie man einen Graphen einer Funktion erstellt »	2	Praktische Arbeit
U-8.9. Lektionen-Übungen "Wie man einen Graphen einer Funktion erstellt wenn der Graph der Funktion bekannt ist »	2		CD "Mathematik 5-11 Zellen." Virtuelles Labor "Funktionsgraphen"
^ U-10. Lektion - Test	1	Prüfung Nr. 3
L-11 Lektion-Übung "Wie man einen Graphen einer Funktion zeichnet wenn der Graph der Funktion bekannt ist »	1		CD "Mathematik 5-11 Zellen." Virtuelles Labor "Funktionsgraphen"
L-12 Lektion-Übung "Wie man einen Graphen einer Funktion zeichnet wenn der Graph der Funktion bekannt ist »	1	Selbständiges Arbeiten 2.3 "Graphen von Funktionen"	CD "Mathematik 5-11 Zellen." Virtuelles Labor "Funktionsgraphen"
U-13. Kombistunde „Funktion , seine Eigenschaften und sein Diagramm"	1		Demo "Eigenschaften einer quadratischen Funktion"
U-14. Unterrichtskonsolidierung des Gelernten ..	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 7 „Quadratische Funktion“
U-15. Lektion zur Problemlösung	1	Verbale Zählung Selbständiges Arbeiten 2.4 "Eigenschaften und Graph einer quadratischen Funktion"	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 8 „Eigenschaften einer quadratischen Funktion“
U-16. Unterrichtstest	1	Prüfung 2 "Quadratische Funktion"
^ U-17. Unterrichtsübung "Grafische Lösung quadratischer Gleichungen"	1		Demomaterial "Grafische Lösung quadratischer Gleichungen"
U-18. Lektion - Test	1	Testarbeit Nr. 4

Voraussetzungen für die mathematische Vorbereitung

Das Niveau der obligatorischen Ausbildung des Schülers

Das Niveau der möglichen Ausbildung des Schülers

Thema 3 Funktion . Eigenschaften der Quadratwurzel (11 Stunden)

Sektion Mathematik. durch Linie

• 
  Zahlen und Berechnungen
• 
  Ausdrücke und Transformationen
• 
  Funktionen

Verbindliche Mindestinhalte des Bildungsbereichs Mathematik

 Die Quadratwurzel einer Zahl. Arithmetische Quadratwurzel.

 Das Konzept einer irrationalen Zahl. Die Irrationalität einer Zahl.

 Reelle Zahlen.

 Eigenschaften von Quadratwurzeln und ihre Anwendung in Berechnungen.

 Funktion.

Programm. Kontrolle über seine Umsetzung

Programm	Menge Stunde	Die Kontrolle markiert	Computersoftware für den Unterricht
^ U-1. Vorlesung "Das Konzept der Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl"	1		Demonstrationsmaterial „Das Konzept der Quadratwurzel“
U-2. Lektion - Problemlösung	1	Selbständiges Arbeiten 3.1 "Arithmetische Quadratwurzel"
U-3. Kombistunde „Funktion , seine Eigenschaften und sein Diagramm"	1		Demomaterial "Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Graph"
^ U-4. Lektion - Problemlösung	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 9 „Arithmetische Quadratwurzel“
^ U-5. Kombinierte Lektion "Eigenschaften von Quadratwurzeln"	1		Demo: Anwenden der Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel
^ U-6-Lektion - Problemlösung	1	Verbale Zählung Selbständiges Arbeiten 3.2 "Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel"	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 10 „Quadratwurzel aus einem Produkt und einem Bruch“
^ U-7.8. Unterrichtsübungen "Umwandlung von Ausdrücken, die die Operation zum Ziehen einer Quadratwurzel enthalten."	2	Praktische Arbeit
^ U-9. Lektion - Problemlösung	1	Verbale Zählung Selbständiges Arbeiten 3.3 "Anwendung der Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel"	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 11 „Quadratwurzel aus dem Grad“
U-10. Lektion - Problemlösung	1	Prüfung 3 "Quadratwurzeln"
U-11. Lektion - Kontrollarbeit.	1	Prüfung Nr. 5

^ Voraussetzungen für die mathematische Vorbereitung

Das Niveau der obligatorischen Ausbildung des Schülers

 Finden Sie in einfachen Fällen die Werte der Wurzeln.

 Kennen Sie die Definition und Eigenschaften einer Funktion , in der Lage sein, es zu plotten.

 Sie können die Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel anwenden, um Werte und einfache Transformationen von numerischen Ausdrücken zu berechnen, die Quadratwurzeln enthalten.

Das Niveau der möglichen Ausbildung des Schülers

 Das Konzept der arithmetischen Quadratwurzel kennen.

 Beim Konvertieren von Ausdrücken die Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel anwenden können.

 Die Eigenschaften einer Funktion zur Lösung praktischer Probleme nutzen können.

 Eine Vorstellung von irrationalen und reellen Zahlen haben.

^ Thema 4 Quadratische Gleichungen (21 Stunden)

Sektion Mathematik. durch Linie

 Gleichungen und Ungleichungen

Verbindliche Mindestinhalte des Bildungsbereichs Mathematik

 Quadratische Gleichung: Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

 Lösung rationaler Gleichungen.

 Lösen von Textproblemen mit quadratischen und gebrochenen rationalen Gleichungen.

Programm. Kontrolle über seine Umsetzung

Programm	Menge Stunde	Die Kontrolle markiert	Computer Software Lektion
^ U-1. Unterrichtsstudium des neuen Materials "Grundlegende Konzepte".	1		Demo Quadratische Gleichungen
U-2. Lektionskonsolidierung des Gelernten.	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 12 „Eine quadratische Gleichung und ihre Wurzeln“
U-3. Kombinierte Lektion "Formeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung."	1	Selbständiges Arbeiten 4.1 "Die quadratische Gleichung und ihre Wurzeln"
U-4.5. Lektionen zur Problemlösung	2	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 11 „Quadratische Gleichungen lösen“
U-6. Lektion - selbstständiges Arbeiten	1	Selbständiges Arbeiten 4.2 „Quadratische Gleichungen formelmäßig lösen“
U-7. Kombistunde "Rationale Gleichungen"	1	Praktische Arbeit
U-8.9. Lektionen zur Problemlösung	2	Selbständiges Arbeiten 4.3 "Rationale Gleichungen"
U-10.11. Praktischer Unterricht "Rationale Gleichungen als mathematische Modelle realer Situationen".	2
U-12. Lektion zur Problemlösung	1
U-13. Lektion - selbstständiges Arbeiten	1	Selbständiges Arbeiten 4.4 "Problemlösung mit quadratischen Gleichungen"
U-14. Kombinierte Lektion "Eine weitere Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung."	1
U-15. Lektion - Problemlösung	1
U-16. Kombinierte Lektion "Theorem von Vieta".	1		Demo "Satz von Vieta"
U-17. Lektion - Problemlösung	1	Verbale Zählung	Aufgaben zum mündlichen Zählen. Aufgabe 14 „Satz von Vieta“
U-18. Kombistunde "Irrationale Gleichungen"	1
U-19. Lektion - Problemlösung	1
U-20. Lektion zur Problemlösung	1	Prüfung 4 "Quadratische Gleichungen"	CD Mathematik 5-11. Virtuelles Labor "Graphen von Gleichungen und Ungleichungen"
U-21. Lektion - Kontrollarbeit.	1	Prüfung Nr. 6

^ Voraussetzungen für die mathematische Vorbereitung

Das Niveau der obligatorischen Ausbildung des Schülers

 Quadratische Gleichungen, einfache rationale und irrationale Gleichungen lösen können.

 Einfache Textaufgaben mit Gleichungen lösen können.

Das Niveau der möglichen Ausbildung des Schülers

• 
  Verstehen, dass Gleichungen ein mathematischer Apparat sind, um verschiedene Probleme aus der Mathematik, verwandten Wissensgebieten und der Praxis zu lösen.
• 
  In der Lage sein, quadratische Gleichungen, rationale und irrationale Gleichungen zu lösen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen.
• 
  In der Lage sein, quadratische Gleichungen und rationale Gleichungen bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

In dieser Lektion wird das Konzept eines algebraischen Bruchs behandelt. Brüche begegnen dem Menschen in den einfachsten Lebenssituationen: Wenn es darum geht, einen Gegenstand in mehrere Teile zu teilen, um beispielsweise einen Kuchen für zehn Personen gleichmäßig zu schneiden. Natürlich bekommt jeder ein Stück vom Kuchen ab. In diesem Fall sind wir mit dem Konzept eines numerischen Bruchs konfrontiert, aber eine Situation ist möglich, wenn ein Objekt in eine unbekannte Anzahl von Teilen geteilt wird, beispielsweise durch x. In diesem Fall entsteht das Konzept eines Bruchausdrucks. Integerausdrücke (ohne Unterteilung in Ausdrücke mit Variablen) und deren Eigenschaften sind Ihnen bereits in der 7. Klasse begegnet. Als nächstes betrachten wir das Konzept eines rationalen Bruchs sowie die zulässigen Werte von Variablen.

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegendes Konzept

1. Definition und Beispiele für algebraische Brüche

Rationale Ausdrücke werden unterteilt in Ganzzahl- und Bruchausdrücke.

Definition. rationaler Bruch ist ein Bruchausdruck der Form , wobei Polynome sind. - Zähler Nenner.

Beispiele rationale Ausdrücke:- Bruchausdrücke; sind ganzzahlige Ausdrücke. Im ersten Ausdruck ist beispielsweise der Zähler , und der Nenner ist .

Bedeutung algebraischer Bruch, wie alle Algebraischer Ausdruck, hängt vom numerischen Wert der darin enthaltenen Variablen ab. Insbesondere hängt im ersten Beispiel der Wert des Bruchs von den Werten der Variablen und ab und im zweiten nur vom Wert der Variablen .

2. Berechnung des Werts eines algebraischen Bruchs und zwei grundlegende Probleme zu Brüchen

Betrachten Sie die erste typische Aufgabe: die Berechnung des Werts rationaler Bruch für unterschiedliche Werte der darin enthaltenen Variablen.

Beispiel 1. Berechnen Sie den Wert eines Bruchs für a), b), c)

Entscheidung. Ersetzen Sie die Werte der Variablen in den angegebenen Bruch: a), b), c) - existiert nicht (weil Sie nicht durch Null teilen können).

Antwort: 3; ein; existiert nicht.

Wie Sie sehen können, gibt es für jeden Bruch zwei typische Probleme: 1) das Berechnen des Bruchs, 2) das Finden gültige und ungültige Werte wörtliche Variablen.

Definition. Gültige Variablenwerte sind die Werte der Variablen, für die der Ausdruck sinnvoll ist. Die Menge aller zulässigen Werte von Variablen wird aufgerufen ODZ oder Domain.

3. Zulässige (ODZ) und ungültige Werte von Variablen in Brüchen mit einer Variablen

Der Wert von Literalvariablen kann ungültig sein, wenn der Nenner des Bruchs für diese Werte Null ist. In allen anderen Fällen gelten die Werte der Variablen, da der Bruch berechnet werden kann.

Beispiel 2. Bestimmen Sie, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn macht.

Entscheidung. Damit dieser Ausdruck sinnvoll ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Nenner des Bruchs nicht gleich Null ist. Daher sind nur die Werte der Variablen ungültig, deren Nenner gleich Null ist. Der Nenner des Bruchs, also lösen wir die lineare Gleichung:

Daher macht der Bruch für den Wert der Variablen keinen Sinn.

Aus der Lösung des Beispiels folgt die Regel zum Auffinden ungültiger Werte von Variablen - der Nenner des Bruchs ist gleich Null und die Wurzeln der entsprechenden Gleichung werden gefunden.

Schauen wir uns ein paar ähnliche Beispiele an.

Beispiel 3. Bestimmen Sie, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn macht.

Entscheidung. .

Beispiel 4. Bestimmen Sie, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn macht.

Entscheidung..

Es sind andere Formulierungen dieses Problems - zu finden Domain oder Bereich gültiger Ausdruckswerte (ODZ). Das bedeutet - finde alle gültigen Werte von Variablen. In unserem Beispiel sind das alle Werte außer . Der Definitionsbereich wird zweckmäßigerweise auf der numerischen Achse dargestellt.

Dazu schneiden wir einen Punkt darauf aus, wie in der Abbildung gezeigt:

Auf diese Weise, Fraktionsdomäne werden alle Zahlen außer 3 sein.

Beispiel 5. Bestimmen Sie, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn macht.

Entscheidung..

Lassen Sie uns die resultierende Lösung auf der numerischen Achse darstellen:

4. Grafische Darstellung des Bereichs zulässiger (ODZ) und ungültiger Werte von Variablen in Brüchen

Beispiel 6. Bestimmen Sie, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn macht.

Lösung.. Wir haben die Gleichheit zweier Variablen erhalten, wir geben numerische Beispiele: oder usw.

Lassen Sie uns diese Lösung in einem Graphen im kartesischen Koordinatensystem darstellen:

Reis. 3. Graph einer Funktion.

Die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf diesem Diagramm liegt, sind nicht im Bereich der zulässigen Werte des Bruchs enthalten.

5. Fall wie "Division durch Null"

In den betrachteten Beispielen wurden wir mit einer Situation konfrontiert, in der eine Division durch Null auftrat. Betrachten Sie nun den Fall, in dem eine interessantere Situation bei der Typenteilung auftritt.

Beispiel 7. Bestimmen Sie, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn macht.

Entscheidung..

Es stellt sich heraus, dass der Bruch keinen Sinn ergibt, wenn . Aber man kann argumentieren, dass dies nicht der Fall ist, denn: .

Es könnte den Anschein haben, dass, wenn der endgültige Ausdruck gleich 8 für ist, der ursprüngliche Ausdruck auch berechnet werden kann und daher für sinnvoll ist. Wenn wir es jedoch in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir - es ergibt keinen Sinn.

Um dieses Beispiel genauer zu verstehen, lösen wir folgendes Problem: Für welche Werte ist der angegebene Bruch gleich Null?

(ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null ist) . Aber es ist notwendig, die ursprüngliche Gleichung mit einem Bruch zu lösen, und es macht keinen Sinn für , weil bei diesem Wert der Variablen der Nenner Null ist. Diese Gleichung hat also nur eine Wurzel.

6. Die Regel zum Auffinden von ODZ

So können wir die genaue Regel zum Finden des Bereichs zulässiger Werte eines Bruchs formulieren: finden ODZBrüche Es ist notwendig und ausreichend, ihren Nenner mit Null gleichzusetzen und die Wurzeln der resultierenden Gleichung zu finden.

Wir haben uns zwei Hauptaufgaben überlegt: Bruchwert berechnen für die angegebenen Werte der Variablen und Finden des Bereichs zulässiger Werte eines Bruchs.

Betrachten wir nun einige weitere Probleme, die bei der Arbeit mit Brüchen auftreten können.

7. Verschiedene Aufgaben und Schlussfolgerungen

Beispiel 8. Beweisen Sie, dass für alle Werte der Variablen der Bruch .

Nachweisen. Der Zähler ist eine positive Zahl. . Folglich sind sowohl der Zähler als auch der Nenner positive Zahlen, daher ist der Bruch auch eine positive Zahl.

Bewährt.

Beispiel 9. Es ist bekannt, dass , find .

Entscheidung. Teilen wir den Bruch Term für Term. Wir haben das Recht, um zu kürzen, wobei wir berücksichtigen, was ein ungültiger Wert der Variablen für diesen Bruch ist.

In dieser Lektion haben wir uns die grundlegenden Konzepte im Zusammenhang mit Brüchen angesehen. In der nächsten Lektion schauen wir uns an Grundeigenschaft eines Bruchs.

Referenzliste

1. Bashmakov M. I. Algebra Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. -M.: Bildung, 2006.

1. Festival der pädagogischen Ideen.

2. Alte Schule.

3. Internetportal lib2.podelise. Ru.

Hausaufgaben

1. Nr. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.

2. Schreiben Sie einen rationalen Bruch auf, dessen Definitionsbereich ist: a) eine Menge, b) eine Menge, c) die gesamte Zahlenachse.

3. Beweisen Sie, dass für alle zulässigen Werte der Variablen der Wert des Bruchs nicht negativ ist.

4. Finden Sie den Gültigkeitsbereich des Ausdrucks. Hinweis: Betrachten Sie zwei Fälle getrennt: wenn der Nenner des kleineren Bruchs gleich Null ist und wenn der Nenner des ursprünglichen Bruchs gleich Null ist.

Gegenstand:

Lektion: Konvertieren von rationalen Ausdrücken

1. Rationeller Ausdruck und Methode seiner Vereinfachung

Erinnern wir uns zunächst an die Definition eines rationalen Ausdrucks.

Definition. rationaler Ausdruck- ein algebraischer Ausdruck, der keine Wurzeln enthält und nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Potenzierung) enthält.

Mit dem Begriff „einen rationalen Ausdruck umwandeln“ meinen wir vor allem seine Vereinfachung. Und dies geschieht in der uns bekannten Reihenfolge der Aktionen: zuerst Aktionen in Klammern, dann Produkt von Zahlen(Potenzierung), Division von Zahlen und dann Additions-/Subtraktionsoperationen.

2. Vereinfachung rationaler Ausdrücke mit der Summe/Differenz von Brüchen

Das Hauptziel der heutigen Lektion besteht darin, Erfahrungen bei der Lösung komplexerer Probleme zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke zu sammeln.

Beispiel 1

Entscheidung. Auf den ersten Blick mag es scheinen, als könnten diese Brüche gekürzt werden, da die Ausdrücke in den Zählern von Brüchen den Formeln für die ganzen Quadrate ihrer entsprechenden Nenner sehr ähnlich sind. In diesem Fall ist es wichtig, nicht zu überstürzen, sondern separat zu prüfen, ob dies der Fall ist.

Lassen Sie uns den Zähler des ersten Bruchs überprüfen: . Nun der zweite Zähler: .

Wie Sie sehen, waren unsere Erwartungen nicht gerechtfertigt, und die Ausdrücke in den Zählern sind keine perfekten Quadrate, da sie keine Verdopplung des Produkts haben. Wenn Sie sich an den Kurs der 7. Klasse erinnern, werden solche Ausdrücke unvollständige Quadrate genannt. Sie sollten in solchen Fällen sehr vorsichtig sein, denn die Verwechslung der vollständigen Quadratformel mit einer unvollständigen ist ein sehr häufiger Fehler, und solche Beispiele testen die Aufmerksamkeit des Schülers.

Da eine Kürzung nicht möglich ist, führen wir die Addition von Brüchen durch. Die Nenner haben keine gemeinsamen Faktoren, also multiplizieren sie einfach, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu erhalten, und der zusätzliche Faktor für jeden Bruch ist der Nenner des anderen Bruchs.

Natürlich können Sie dann die Klammern öffnen und dann ähnliche Terme bringen, aber in diesem Fall kommen Sie mit weniger Aufwand aus und bemerken im Zähler, dass der erste Term die Formel für die Kubiksumme ist und der zweite für die Unterschied von Würfeln. Der Einfachheit halber erinnern wir uns an diese Formeln in allgemeiner Form:

In unserem Fall werden die Ausdrücke im Zähler wie folgt gefaltet:

, der zweite Ausdruck ist ähnlich. Wir haben:

Antworten..

Beispiel 2 Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck .

Entscheidung. Dieses Beispiel ähnelt dem vorherigen, aber es ist sofort klar, dass es in den Zählern von Brüchen unvollständige Quadrate gibt, sodass eine Reduktion im Anfangsstadium der Lösung unmöglich ist. Ähnlich wie im vorherigen Beispiel addieren wir Brüche:

Hier haben wir, ähnlich wie bei der oben angegebenen Methode, Ausdrücke nach den Formeln für Summe und Differenz von Kubikzahlen bemerkt und zusammengeklappt.

Antworten..

Beispiel 3 Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck.

Entscheidung. Sie können sehen, dass der Nenner des zweiten Bruchs gemäß der Würfelsummenformel in Faktoren zerlegt wird. Wie wir bereits wissen, ist das Faktorisieren von Nennern nützlich, um den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen weiter zu finden.

Lassen Sie uns den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen angeben, er ist gleich: 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

Antworten.

3. Vereinfachung rationaler Ausdrücke mit komplexen "mehrstöckigen" Brüchen

Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel mit "mehrstöckigen" Brüchen.

Beispiel 4 Beweisen Sie die Identität" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Bewährt.

In der nächsten Lektion werden wir uns komplexere Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke genauer ansehen.

Gegenstand: Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion: Konvertieren komplexerer rationaler Ausdrücke

1. Ein Beispiel für den Beweis einer Identität unter Verwendung von Transformationen rationaler Ausdrücke

In dieser Lektion werden wir uns mit der Transformation komplexerer rationaler Ausdrücke befassen. Das erste Beispiel wird dem Nachweis der Identität gewidmet sein.

Beispiel 1

Identität beweisen: .

Nachweisen:

Bei der Umwandlung rationaler Ausdrücke muss zunächst die Reihenfolge der Aktionen festgelegt werden. Denken Sie daran, dass die Operationen in Klammern zuerst ausgeführt werden, dann Multiplikation und Division und dann Addition und Subtraktion. Daher wird in diesem Beispiel wie folgt vorgegangen: Führen Sie zuerst die Aktion in der ersten Klammer aus, dann in der zweiten Klammer, dividieren Sie dann die Ergebnisse und addieren Sie dann einen Bruch zum resultierenden Ausdruck. Als Ergebnis dieser Aktionen sowie der Vereinfachung sollte ein Ausdruck erhalten werden.

№ p/p	Inhaltselemente	In der Lage sein Probleme und Situationen lösen	C-9
26	Potenz mit einem negativen ganzzahligen Exponenten	Exponent mit natürlichem Exponenten, Exponent mit negativem Exponenten, Multiplikation, Division und Potenzierung einer Zahl	Haben Graddarstellung mit natürlichem Exponenten, Grad mit negativem Exponenten, Multiplikation, Division und Potenzierung einer Zahl In der Lage sein: - Ausdrücke vereinfachen, indem die Definition eines Grades mit negativem Exponenten und die Eigenschaften des Grades verwendet werden; - einen Text im wissenschaftlichen Stil verfassen	S-10
29	Prüfung Nr. 2 "Umwandlung rationaler Ausdrücke"		In der Lage sein selbstständig einen rationalen Weg zur Transformation rationaler Ausdrücke zu wählen, Identitäten zu beweisen, rationale Gleichungen zu lösen, indem man sie von Nennern befreit, ein mathematisches Modell einer realen Situation erstellt	K.R. #2

Fragen zum Offset

• 
  Formulieren Sie die Haupteigenschaft eines Bruchs.
• 
  Formulieren
  1. 
     Algorithmus zum Finden eines zusätzlichen Faktors zu einem algebraischen Bruch.
  2. 
     Regeln zum Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit gleichem Nenner.
  3. 
     Algorithmus zum Finden des gemeinsamen Nenners mehrerer Brüche
  4. 
     Die Regel der Addition (Subtraktion) von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
  5. 
     Multiplikationsregel für algebraische Brüche
  6. 
     Die Regel zur Division algebraischer Brüche.
  7. 
     Die Regel zum Potenzieren eines algebraischen Bruchs.

In dieser Lektion werden wir weiterhin die einfachsten Operationen mit algebraischen Brüchen betrachten - ihre Addition und Subtraktion. Heute konzentrieren wir uns auf die Betrachtung von Beispielen, bei denen der wichtigste Teil der Lösung darin besteht, den Nenner auf alle uns bekannten Arten in Faktoren zu zerlegen: mit dem Entfernen eines gemeinsamen Faktors, der Gruppierungsmethode, der Auswahl des vollständigen Quadrats, der Verwendung die reduzierten Multiplikationsformeln. Im Laufe der Lektion werden einige ziemlich komplexe Probleme zu Brüchen betrachtet.

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

In der Lektion werden wir alle Fälle des Addierens und Subtrahierens von Brüchen betrachten und verallgemeinern: mit demselben und mit unterschiedlichen Nennern. Im Allgemeinen werden wir Probleme der Form lösen:

Wir haben bereits gesehen, dass beim Addieren oder Subtrahieren von algebraischen Brüchen eine der wichtigsten Operationen das Faktorisieren der Nenner ist. Bei gewöhnlichen Brüchen wird ähnlich verfahren. Wir erinnern uns noch einmal daran, wie notwendig es ist, mit gewöhnlichen Brüchen zu arbeiten.

Beispiel 1 Berechnung .

Entscheidung. Wir verwenden wie zuvor den Hauptsatz der Arithmetik, dass jede Zahl in Primfaktoren zerlegt werden kann: .

Lassen Sie uns das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen: - Dies wird der gemeinsame Nenner der Brüche sein, und basierend darauf werden wir die zusätzlichen Faktoren für jeden der Brüche bestimmen: für den ersten Bruch , für die zweite Fraktion , für den dritten Bruchteil .

Antworten..

In diesem Beispiel haben wir den Fundamentalsatz der Arithmetik verwendet, um Zahlen zu faktorisieren. Wenn Polynome als Nenner fungieren, müssen sie außerdem mit den folgenden uns bekannten Methoden faktorisiert werden: Entfernen eines gemeinsamen Faktors, Gruppieren, Hervorheben des vollständigen Quadrats, Verwenden abgekürzter Multiplikationsformeln.

Beispiel 2 Brüche addieren und subtrahieren .

Entscheidung. Die Nenner aller drei Brüche sind komplexe Ausdrücke, die faktorisiert werden müssen, dann den kleinsten gemeinsamen Nenner für sie finden und zusätzliche Faktoren für jeden der Brüche angeben. Lassen Sie uns all diese Schritte separat ausführen und dann die Ergebnisse im ursprünglichen Ausdruck ersetzen.

Im ersten Nenner entfernen wir den gemeinsamen Faktor: - Nach dem Entfernen des gemeinsamen Faktors können Sie sehen, dass der Ausdruck in Klammern gemäß der Summenquadratformel zusammenbricht.

Im zweiten Nenner nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus: - Nach dem Herausnehmen des gemeinsamen Faktors wenden wir die Formel für die Differenz der Quadrate an.

Im dritten Nenner nehmen wir den gemeinsamen Teiler heraus: .

Nachdem Sie den dritten Nenner faktorisiert haben, können Sie sehen, dass Sie im zweiten Nenner einen Faktor für eine bequemere Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen auswählen können. Wir tun dies, indem wir das Minus aus Klammern entfernen, in der zweiten Klammer, die wir vertauscht haben die Begriffe für eine bequemere Form der Notation.

Wir definieren den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen als einen Ausdruck, der durch alle Nenner gleichzeitig geteilt wird, er wird gleich sein:.

Wir geben zusätzliche Faktoren an: für die erste Fraktion , für die zweite Fraktion - Das im Nenner herausgenommene Minus wird nicht berücksichtigt, da wir es für den dritten Bruch in den ganzen Bruch schreiben .

Lassen Sie uns nun Aktionen mit Brüchen ausführen und daran denken, das Vorzeichen vor dem zweiten Bruch zu ändern:

In der letzten Phase der Lösung haben wir ähnliche Begriffe gebracht und sie in absteigender Reihenfolge der Potenzen für die Variable notiert.

Antworten..

Im obigen Beispiel haben wir noch einmal, wie in den vorherigen Lektionen, den Algorithmus zum Addieren / Subtrahieren von Brüchen demonstriert, der wie folgt lautet: Nenner von Brüchen faktorisieren, den kleinsten gemeinsamen Nenner finden, Faktoren hinzufügen, das Additions- / Subtraktionsverfahren durchführen und , wenn möglich, Ausdruck vereinfachen und reduzieren. Wir werden diesen Algorithmus im Folgenden verwenden. Betrachten wir nun einfachere Beispiele.

Beispiel 3 Brüche abziehen .

Entscheidung. In diesem Beispiel ist es wichtig, die Möglichkeit zu sehen, den ersten Bruch zu kürzen, bevor man ihn mit dem zweiten Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Dazu zerlegen wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs in Faktoren.

Zähler: - Im ersten Schritt wurde ein Teil des Ausdrucks nach der Formel der Quadratdifferenz zerlegt und im zweiten Schritt der gemeinsame Teiler herausgenommen.

Nenner: - Im ersten Schritt wurde ein Teil des Ausdrucks nach der Formel des Differenzquadrats zerlegt und im zweiten der gemeinsame Teiler herausgenommen. Ersetzen Sie den resultierenden Zähler und Nenner in den ursprünglichen Ausdruck und kürzen Sie den ersten Bruch um einen gemeinsamen Faktor:

Antworten:.

Beispiel 4 Aktionen ausführen .

Entscheidung. In diesem Beispiel ist es wie im vorherigen wichtig, die Reduzierung des Bruchs zu bemerken und umzusetzen, bevor die Aktionen ausgeführt werden. Lassen Sie uns Zähler und Nenner faktorisieren.