Einmal mussten die Ermittler drei Zeugen des Raubüberfalls vernehmen. Syllogismen Einmal musste ein Ermittler drei Zeugen gleichzeitig vernehmen: Claude, Jacques und Dick

Einmal musste der Ermittler drei Zeugen gleichzeitig vernehmen: Claude, Jacques und Dick. Ihre Aussagen widersprachen einander und jeder von ihnen beschuldigte jemanden der Lüge. Claude behauptete, Jacques habe gelogen, Jacques beschuldigte Dick der Lüge, und Dick überredete den Ermittler, weder Claude noch Jacques zu glauben. Aber der Ermittler brachte sie schnell zu sauberem Wasser, ohne ihnen eine einzige Frage zu stellen. Welcher der Zeugen hat die Wahrheit gesagt?

Ilya Muromets, Dobrynya Nikitich und Alyosha Popovich erhielten 6 Münzen für ihren treuen Dienst: 3 Gold und 3 Silber. Jeder erhielt zwei Münzen. Ilya Muromets weiß nicht, welche Münzen Dobrynya und welche Aljoscha bekommen hat, aber er weiß, welche Münzen er selbst bekommen hat. Denken Sie an eine Frage, auf die Ilya Muromets mit "Ja", "Nein" oder "Ich weiß nicht" antwortet, und anhand der Antwort können Sie verstehen, welche Münzen er bekommen hat

Regeln für Syllogismen 1. In einem Syllogismus sollten nur drei Aussagen und nur drei Begriffe vorkommen. ZhG Alle Touristen sind in verschiedene Richtungen geflohen, Petrov ist ein Touristen, was bedeutet, dass er in verschiedene Richtungen geflohen ist. 3. Handelt es sich bei beiden Prämissen um private Äußerungen, ist ein Rückschluss nicht möglich. 2. Wenn eine der Prämissen eine private Aussage ist, muss die Schlussfolgerung privat sein. 4. Wenn eine der Prämissen eine negative Aussage ist, dann ist auch die Konklusion eine negative Aussage. 5. Wenn beide Prämissen negative Aussagen sind, kann die Schlussfolgerung nicht gezogen werden 6. Der mittlere Begriff muss in mindestens einer der Prämissen verteilt sein. 7. Ein Begriff kann nicht in einer Schlussfolgerung verteilt werden, wenn er nicht in einer Prämisse verteilt wird.

Alle Katzen haben vier Beine. Alle Hunde haben vier Beine. Alle Hunde sind Katzen. Alle Menschen sind sterblich. Alle Hunde sind keine Menschen. Hunde sind unsterblich (nicht sterblich). Die Ukraine nimmt ein riesiges Territorium ein. Die Krim ist Teil der Ukraine. Die Krim nimmt ein riesiges Territorium ein

. 18 Jahre.

Entscheidung

Erster Weg . Je nach Zustand des Problems können Sie eine Gleichung schreiben. Das Alter von Dima sei x Jahre, dann ist das Alter der Schwester x/3 und das Alter des Bruders x/2; (x + x / 3 + x / 2): 3 \u003d 11. Nachdem wir diese Gleichung gelöst haben, erhalten wir x = 18. Dima ist 18 Jahre alt. Es wird nützlich sein, eine etwas andere Lösung "in Teilen" anzugeben.

Zweiter Weg . Wenn das Alter von Dima, seinem Bruder und seiner Schwester durch Segmente dargestellt wird, dann besteht „Dimins Segment“ aus zwei „Brudersegmenten“ oder drei „Schwestersegmenten“. Wenn dann das Alter von Dima in 6 Teile geteilt wird, dann ist das Alter der Schwester zwei solche Teile und das Alter des Bruders drei solche Teile. Dann ist die Summe ihres Alters 11 solcher Teile. Wenn das Medianalter andererseits 11 Jahre beträgt, beträgt die Alterssumme 33 Jahre. Daraus folgt in einem Teil - drei Jahre. Dima ist also 18 Jahre alt.

Verifizierungskriterien .

Komplette richtige Lösung 7 Punkte.

Die Gleichung ist richtig, aber bei der Lösung wurden Fehler gemacht - 3 Punkte .

Richtige Antwort gegeben und Überprüfung durchgeführt - 2 Punkte .

0 Punkte .

Antworten . Sam Gray.

Entscheidung .

Aus der Situation des Problems geht hervor, dass die Aussagen jedes Zeugen in Bezug auf die Aussagen der anderen beiden Zeugen geäußert werden. Betrachten Sie die Aussage von Bob Black. Wenn das stimmt, was er sagt, dann lügen Sam Gray und John White. Aber aus der Tatsache, dass John White lügt, folgt, dass nicht alle Aussagen von Sam Gray eine komplette Lüge sind. Und das widerspricht den Worten von Bob Black, dem wir glauben wollten und der behauptet, Sam Gray lüge. Bob Blacks Worte können also nicht wahr sein. Er hat also gelogen, und wir müssen zugeben, dass die Worte von Sam Gray wahr sind und daher die Aussagen von John White falsch sind. Antwort: Sam Grey hat nicht gelogen.

Verifizierungskriterien .

Es wird eine vollständige korrekte Analyse der Problemsituation gegeben und die richtige Antwort gegeben - 7 Punkte .

Es wird eine vollständige korrekte Analyse der Situation gegeben, aber aus irgendeinem Grund wird eine falsche Antwort gegeben (z. B. gibt die Antwort anstelle desjenigen, der NICHT gelogen hat, diejenigen an, die gelogen haben) - 6 Punkte .

Eine korrekte Analyse der Situation wird gegeben, aber aus irgendeinem Grund wird die richtige Antwort nicht gegeben (zum Beispiel wird bewiesen, dass Bob Black gelogen hat, aber es werden keine weiteren Schlussfolgerungen gezogen) - 4 Punkte .

Die richtige Antwort wird gegeben und es wird gezeigt, dass sie die Bedingung des Problems erfüllt (der Test wurde durchgeführt), aber es wurde nicht bewiesen, dass die Antwort die einzige ist - 3 Punkte .

1 Punktzahl .

0 Punkte .

Antworten . Eine Nummer 175.

Entscheidung . Erster Weg . Die Ziffernzusammensetzung, mit der die Zahl geschrieben wird, enthält nicht die Ziffer 0, da sonst die Bedingung der Aufgabe nicht erfüllt werden kann. Diese dreistellige Zahl erhält man, indem man das Produkt ihrer Ziffern mit 5 multipliziert, daher ist sie durch 5 teilbar. Daher endet ihr Eintrag mit der Zahl 5. Wir erhalten, dass das Produkt aus Ziffern multipliziert mit 5 durch 25 teilbar sein muss Beachten Sie, dass es keine geraden Ziffern in der Zahl geben kann, da sonst das Produkt der Ziffern Null wäre. Eine dreistellige Zahl muss also durch 25 teilbar sein und darf keine geraden Ziffern enthalten. Es gibt nur fünf solcher Zahlen: 175, 375, 575, 775 und 975. Das Produkt der Ziffern der gewünschten Zahl muss kleiner als 200 sein, sonst ergibt es mit 5 multipliziert eine vierstellige Zahl. Daher sind die Nummern 775 und 975 offensichtlich nicht geeignet. Von den verbleibenden drei Zahlen erfüllt nur 175 die Bedingung des Problems. Zweiter Weg. Beachten Sie (ähnlich wie bei der ersten Lösungsmethode), dass die letzte Ziffer der gesuchten Zahl 5 ista , b , 5 - fortlaufende Ziffern der gewünschten Nummer. Je nach Zustand des Problems haben wir: 100a + 10 b + 5 = a · b 5 5. Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch 5 teilen, erhalten wir: 20a + 2 b + 1 = 5 ab . Nach Subtrahieren der Gleichheit 20a auf beiden Seiten und Einklammern des gemeinsamen Faktors auf der rechten Seite erhalten wir: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a) (1 ). Angesichts dessen a und b natürliche Werte von 1 bis 9 annehmen kann, erhalten wir, dass die möglichen Werte von a nur 1 oder 2 sind. Aber a=2 erfüllt nicht die Gleichheit (1 ), auf deren linker Seite eine ungerade Zahl steht, und auf der rechten Seite, wenn a = 2 eingesetzt wird, eine gerade Zahl erhalten wird. Die einzige Möglichkeit ist also a=1. Setzen Sie diesen Wert in (1 ), erhalten wir: 2 b + 1 = 5 b- 20, woher b =7. Antwort: Die einzige gewünschte Zahl ist 175.

Verifizierungskriterien .

Komplette richtige Lösung 7 Punkte .

Die richtige Antwort wird erhalten und es gibt Argumente, die die Aufzählung der Optionen erheblich reduzieren, aber es gibt keine vollständige Lösung - 4 Punkte .

Die Gleichung ist richtig zusammengesetzt und es werden Transformationen und Begründungen gegeben, die eine Lösung des Problems ermöglichen, aber die Lösung wird nicht zu Ende gebracht - 4 Punkte .

Die Aufzählung der Optionen ist reduziert, aber es gibt keine Erklärung dafür, und die richtige Antwort wird angezeigt - 3 Punkte .

Die Gleichung ist richtig, aber das Problem ist nicht gelöst - 2 Punkte .

Es gibt Argumente in der Lösung, die es ermöglichen, beliebige Zahlen von der Betrachtung auszuschließen oder Zahlen mit bestimmten Eigenschaften zu berücksichtigen (z. B. die auf die Zahl 5 enden), aber es gibt keinen weiteren wesentlichen Fortschritt in der Lösung - 1 Punktzahl .

Nur die richtige Antwort oder die Antwort mit Bestätigung wird gegeben - 1 Punktzahl .

Antworten . 75° .

Entscheidung . Betrachten Sie das Dreieck AOC, wobei O der Mittelpunkt des Kreises ist. Dieses Dreieck ist gleichschenklig, da OS und OA Radien sind. Aufgrund der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks sind die Winkel A und C also gleich. Zeichnen wir eine senkrechte SM zur Seite AO und betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck OMC. Je nach Zustand des Problems ist das Bein des SM die Hälfte der Hypotenuse des OS. Daher beträgt der Wert des Winkels COM 30°. Dann erhalten wir nach dem Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks, dass der Winkel CAO (oder CAB) 75 ° beträgt.

Verifizierungskriterien .

Richtige begründete Lösung des Problems - 7 Punkte.

Es wird eine korrekte Begründung gegeben, die eine Lösung des Problems darstellt, aber aus irgendeinem Grund wird eine falsche Antwort gegeben (z. B. wird der Winkel COA anstelle des Winkels CAO angegeben) - 6 Punkte.

Im Allgemeinen wird eine korrekte Begründung gegeben, bei der Fehler gemacht werden, die für das Wesen der Entscheidung keine grundlegende Natur haben, und die richtige Antwort gegeben wird - 5 Punkte.

Die richtige Lösung des Problems wird ohne Begründung angegeben: Alle Zwischenergebnisse werden angegeben, ohne dass die Verbindungen zwischen ihnen angegeben werden (Bezüge auf Theoreme oder Definitionen) - 4 Punkte.

Auf der Zeichnung wurden zusätzliche Konstruktionen und Bezeichnungen vorgenommen, aus denen der Lösungsweg ersichtlich ist, die richtige Antwort gegeben wird, aber die Begründung selbst nicht gegeben wird - 3 Punkte.

Die richtige Antwort wird mit falscher Begründung gegeben - 0 Punkte.

Nur richtige Antwort gegeben 0 Punkte.

Antworten . Zeichnung sehen.

Entscheidung . Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das volle Quadrat unter dem Wurzelzeichen hervorheben: . Der Ausdruck auf der rechten Seite macht nur Sinn, wenn x = 9 ist. Setzen wir diesen Wert in die Gleichung ein, erhalten wir: 9 2 – j 4 = 0. Wir faktorisieren die linke Seite: (3 –j)(3 + j)(9 + j 2 ) = 0. Woher j= 3 bzw j = -3. Das bedeutet, dass die Koordinaten von nur zwei Punkten (9; 3) oder (9; -3) diese Gleichung erfüllen. Der Graph der Gleichung ist in der Abbildung dargestellt.

Verifizierungskriterien.

Die korrekten Transformationen und Überlegungen wurden durchgeführt und der Graph wurde korrekt erstellt - 7 Punkte.

Korrekte Transformationen durchgeführt, aber Bedeutung geht verloren j = -3; ein Punkt wird als Graph angezeigt -3 Punkte.

Evtl. werden ein oder zwei geeignete Punkte angezeigt mit Verifikation, aber ohne weitere Erklärungen oder nach falschen Transformationen -1 Punktzahl.

Es werden korrekte Transformationen durchgeführt, aber es wird erklärt, dass der Ausdruck unter der Wurzel (oder auf der rechten Seite nach dem Quadrieren) negativ ist und der Graph eine leere Menge von Punkten ist - 1 Punktzahl.

Es wurde eine Überlegung durchgeführt, die zur Angabe von zwei Punkten geführt hat, aber diese Punkte sind irgendwie verbunden (z. B. durch ein Segment) - 1 Punktzahl.

Zwei Punkte werden ohne Erklärung angedeutet, die irgendwie zusammenhängen - 0 Punkte.

In anderen Fällen - 0 Punkte.

Antworten auf die Aufgaben der zweiten Stufe der Olympiade

Antworten . Sie können.

Entscheidung . Wenn a \u003d, b \u003d -, dann a \u003d b + 1 und a 2 \u003d b 2

Sie können das Gleichungssystem auch lösen:

Verifizierungskriterien.

Richtige Antwort mit Zahlen a und b – 7 Punkte .

Ein Gleichungssystem wurde erstellt, aber bei seiner Lösung wurde ein Rechenfehler gemacht - 3 Punkte .

Einzige Antwort ist 1 Punktzahl .

Antworten . In 12 Sekunden .

Entscheidung . Es gibt 3 Spannen zwischen dem ersten und vierten Stock und 4 Spannen zwischen dem 5. und 1. Gemäß der Bedingung läuft Petya 4 Spannen 2 Sekunden länger als Mama mit dem Aufzug fährt, und drei Spannen sind 2 Sekunden schneller als Mama. In 4 Sekunden läuft Petya also durch eine Spanne. Dann läuft Petya in 4 * 3 = 12 Sekunden vom vierten zum ersten Stock (dh 3 Flüge).

Verifizierungskriterien.

Richtige Antwort mit vollständiger Lösung - 7 Punkte .

Es wird erklärt, dass es 4 Sekunden für eine Spanne dauert, die Antwort sagt 4 Sekunden − 5 Punkte .

Korrekte Begründung unter der Annahme, dass der Weg vom fünften zum ersten Stock 1,25-mal die Entfernung vom vierten zum ersten Stock beträgt und die Antwort 16 Sekunden beträgt - 3 Punkte .

Einzige Antwort ist 0 Punkte .

Antworten . Zeichnung sehen.

Entscheidung . weil X 2 =| X | 2 , dann =| X |, mit x≠ 0.

Es ist auch möglich, über die Definition des Moduls zu erhalten, dass (für x = 0 Funktion nicht definiert).

Verifizierungskriterien.

Richtige Grafik mit Erklärung - 7 Punkte .

Korrekter Graph ohne Erklärung - 5 Punkte .

Funktionsgraph y =|x| ohne gestanzte Spitze3 Punkte .

Antworten . Ja .

Entscheidung . Teilen wir dieses Quadrat mit der Seite 5 durch gerade Linien parallel zu seinen Seiten in 25 Quadrate mit der Seite 1 (siehe Abbildung). Wenn es in jedem solchen Quadrat nicht mehr als 4 markierte Punkte gäbe, dann wären nicht mehr als 25 * 4 = 100 Punkte markiert, was der Bedingung widerspricht. Daher muss mindestens eines der resultierenden Quadrate 5 der markierten Punkte enthalten.

Verifizierungskriterien.

Die richtige Entscheidung - 7 Punkte .

Einzige Antwort ist 0 Punkte .

Antworten . Acht Wege.

Entscheidung . Aus Punkt a) folgt, dass die Färbung aller Punkte mit ganzzahligen Koordinaten eindeutig durch die Färbung der Punkte bestimmt ist, die den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6 entsprechen. Der Punkt 0=14-2* 7 muss genauso gefärbt werden wie 14, jene. rot. Ebenso sollte Punkt 1=71-107 blau gefärbt sein, Punkt 3=143-20*7 blau und 6=20-2*7 rot. Daher bleibt nur zu berechnen, auf wie viele verschiedene Arten Sie die Punkte entsprechend den Zahlen 2, 4 und 5 einfärben können. Da jeder Punkt auf zwei Arten eingefärbt werden kann - rot oder blau - gibt es nur 2 * 2 * 2 = 8 Wege. Notiz. Beim Zählen der Wege zum Färben der Punkte 2, 4 und 5 kannst du einfach alle Wege zum Beispiel in Form einer Tabelle auflisten:

Verifizierungskriterien .

Richtige Antwort mit richtiger Begründung 7 Punkte .

Das Problem reduziert sich darauf, die Anzahl der Möglichkeiten zum Färben von 3 Punkten zu zählen, aber die Antwort ist 6 oder 7 - 4 Punkte .

Das Problem reduziert sich darauf, die Anzahl der Möglichkeiten zum Färben von 3 Punkten zu zählen, aber es gibt keine Zählung der Anzahl der Möglichkeiten oder die Antwort unterscheidet sich von den oben angegebenen - 3 Punkte .

Antwort (einschließlich der richtigen) ohne Begründung - 0 Punkte .

Antworten . 4 Mal.

Entscheidung .

Zeichnen wir die Segmente MK und AC . Das MVKE-Viereck besteht aus

Dreiecke MVK und MKE , und vierseitige AECD- aus Dreiecken

1 Weg . Dreiecke MVK und ACD- rechteckig und die Beine des ersten sind 2-mal kleiner als die Beine des zweiten, daher sind sie ähnlich und die Fläche des Dreiecks ACD 4 mal die Fläche des Dreiecks MBK. weil M und K – die Mittelpunkte von AB bzw. BC, dann MK– , also MK || AS und MK = 0,5 AC . Aus der Parallelität der Geraden MK und AS folgt die Ähnlichkeit

Dreiecke MKE und AEC, und seit Ähnlichkeitskoeffizient ist 0,5, dann ist die Fläche des Dreiecks AEC das 4-fache der Fläche des Dreiecks MKE. Jetzt: S AES D=SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK= 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 Weg . Lassen Sie die Fläche des Rechtecks ABCD entspricht S. Dann der Bereich des Dreiecks ACD entspricht ( die Diagonale eines Rechtecks teilt es in zwei gleiche Dreiecke), und die Fläche des Dreiecks MVK ist gleich MV × VK \u003d T.k. M und K – Mittelpunkte der Segmente AB und BC, dann AK und SM – Mediane des Dreiecks ABC, also e – Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC, jene. der Abstand von E nach AC isth, wo h- Höhe des Dreiecks ABC, vom Scheitelpunkt B gezogen. Dann ist die Fläche des Dreiecks AEC. Dann für den Bereich des Vierecks AECD, gleich der Summe der Flächen der Dreiecke AEC und ACD, wir bekommen: Weiter, weil MK– Mittellinie des Dreiecks ABC, dann ist die Fläche des Dreiecks MKE gleich* h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Daher für den Bereich des Vierecks MVKE, gleich der Summe der Flächen der Dreiecke MVK und MKE, wir bekommen: . Somit ist das Verhältnis der Flächen von Vierecken AECD und MVKE ist das gleiche.

Verifizierungskriterien.

Richtige Entscheidung und richtige Antwort7 Punkte .

Richtige Lösung, aber die Antwort ist aufgrund eines Rechenfehlers falsch -5 Punkte .

5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSZEICHNUNG DER GEWINNER

Die Endziffern der absolvierten Wettbewerbsaufgaben werden von der Jury in festgelegtgemäß den entwickelten Bewertungskriterien;

Für die Sieger der Olympiade, ermittelt nach der höchsten Punktzahl,drei Preise werden festgelegt;

Die Ergebnisse des Wettbewerbs werden durch den Bericht des Veranstalters der Olympiade dokumentiert.

Die Gewinner werden mit Diplomen und wertvollen Geschenken ausgezeichnet.

Bei Uneinigkeit mit der von der Jury vergebenen Punktzahl kann der Teilnehmer einreichenschriftlicher Einspruch innerhalb einer Stunde nach Bekanntgabe der Ergebnisse.

Die Öffentlichkeit des Wettbewerbs ist gewährleistet – die Ergebnisse des Wettbewerbs werden bekannt gegebenPreis Gewinner.

Wir können die folgende Abfolge von Schritten zur Lösung logischer Probleme herausgreifen.

1. Wählen Sie elementare (einfache) Aussagen aus der Problemstellung aus und kennzeichnen Sie diese mit Buchstaben.

2. Schreiben Sie den Zustand des Problems in der Sprache der Algebra der Logik auf, kombinieren Sie einfache Aussagen zu komplexen, indem Sie logische Operationen verwenden.

3. Verfassen Sie einen einzigen logischen Ausdruck für die Anforderungen des Problems.

4. Versuchen Sie, den resultierenden Ausdruck mit den Gesetzen der Algebra der Logik zu vereinfachen und alle seine Werte zu berechnen, oder erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für den fraglichen Ausdruck.

5. Wählen Sie eine Lösung - Wert gesetzt einfache Sätze, in denen der konstruierte logische Ausdruck wahr ist.

6. Überprüfen Sie, ob die erhaltene Lösung die Bedingung des Problems erfüllt.

Beispiel:

Aufgabe 1:„Bei dem Versuch, sich an die Gewinner des letztjährigen Turniers zu erinnern, erklärten fünf ehemalige Turnierzuschauer Folgendes:

1. Anton wurde Zweiter und Boris Fünfter.

2. Viktor wurde Zweiter und Denis Dritter.

3. Gregory war der erste und Boris war der dritte.

4. Anton wurde Dritter und Evgeny Sechster.

5. Viktor wurde Dritter und Evgeny Vierter.

Anschließend stellte sich heraus, dass sich jeder Zuschauer in einer seiner beiden Aussagen geirrt hatte. Wie war die tatsächliche Verteilung der Plätze im Turnier.

1) Bezeichnen Sie mit dem ersten Buchstaben im Namen des Turnierteilnehmers und - die Nummer des Platzes, den er hat, d.h. wir haben.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Ein einziger logischer Ausdruck für alle Anforderungen der Aufgabe: .

4) In der Formel L führen wir äquivalente Transformationen durch, erhalten wir: .

5) Aus Absatz 4 folgt:,.

6) Verteilung der Plätze im Turnier: Anton wurde Dritter, Boris Fünfter, Viktor Zweiter, Grigory Erster und Evgeny Vierter.

Aufgabe 2:„Ivanov, Petrov, Sidorov erschienen wegen Raubes vor Gericht. Die Untersuchung ergab:

1. wenn Ivanov nicht schuldig ist oder Petrov schuldig ist, dann ist Sidorov schuldig;

2. Wenn Ivanov nicht schuldig ist, dann ist Sidorov nicht schuldig.

Ist Iwanow schuldig?

1) Betrachten Sie die Aussagen:

SONDERN: "Iwanow ist schuldig", BEIM: "Petrow ist schuldig", Mit: "Sidorov ist schuldig."

2) Durch die Untersuchung festgestellte Tatsachen:,.

3) Ein einzelner logischer Ausdruck: . Es stimmt.

Machen wir dafür eine Wahrheitstabelle.

SONDERN	BEIM	Mit	L

Ein Problem zu lösen bedeutet anzugeben, für welche Werte von A die resultierende komplexe Aussage L wahr ist. Wenn, aber, dann hat die Untersuchung nicht genug Fakten, um Ivanov eines Verbrechens zu beschuldigen. Die Analyse der Tabelle zeigt und, d.h. Ivanov ist des Raubes schuldig.

Fragen und Aufgaben.

1. RCS für die Formeln kompilieren:

2. RCS vereinfachen:

3. Erstellen Sie basierend auf diesem Schaltkreis eine entsprechende logische Formel.

4. Überprüfen Sie die Äquivalenz des RCS:

5. Bauen Sie einen Stromkreis aus drei Schaltern und einer Glühbirne auf, sodass das Licht nur angeht, wenn genau zwei Schalter auf „Ein“ stehen.

6. Bauen Sie unter Verwendung dieser Leitfähigkeitstabelle eine Schaltung aus Funktionselementen mit drei Eingängen und einem Ausgang auf, die die Formel implementiert.

x	j	z	F

7. Analysieren Sie das in der Abbildung gezeigte Diagramm und schreiben Sie die Formel für die Funktion auf F.

8. Aufgabe: „Einmal musste der Ermittler drei Zeugen gleichzeitig vernehmen: Claude, Jacques, Dick. Ihre Aussagen widersprachen einander und jeder von ihnen beschuldigte jemanden der Lüge.

1) Claude behauptete, Jacques habe gelogen.

2) Jacques beschuldigte Dick der Lüge.

3) Dick überredete den Ermittler, weder Claude noch Jacques zu glauben.

Aber der Ermittler brachte sie schnell zu sauberem Wasser, ohne ihnen eine einzige Frage zu stellen. Welcher Zeuge hat die Wahrheit gesagt?

9. Stellen Sie fest, welcher der vier Studenten die Prüfung bestanden hat, wenn bekannt ist, dass:

1) Wenn der Erste bestanden hat, dann hat der Zweite bestanden.

2) Wenn der Zweite bestanden hat, dann hat der Dritte bestanden oder der Erste nicht bestanden.

3) Wenn der vierte nicht bestanden hat, dann hat der erste bestanden und der dritte nicht bestanden.

4) Wenn der Vierte bestanden hat, dann hat der Erste bestanden.

10. Auf die Frage, welcher der drei Studenten Logik studiert hat, wurde die Antwort erhalten: Wenn er den ersten studiert hat, dann hat er den dritten studiert, aber es ist nicht wahr, dass wenn er den zweiten studiert hat, dann hat er den dritten studiert. Wer hat Logik studiert?

1. a) ( Kommutativität der Disjunktion );

b)

(Konjunktion Kommutativität );

2. a) ( Disjunktionsassoziativität );

b) ( Konjunktion Assoziativität );

3. a) ( Distributivität der Disjunktion in Bezug auf die Konjunktion );

b) ( Distributivität der Konjunktion in Bezug auf die Disjunktion );

4.

und

–Gesetze von de Morgan .

5.

;

;

;

6.

(oder

) (Gesetz des ausgeschlossenen Dritten );

(oder

(Gesetz des Widerspruchs );

7.

(oder

);

(oder

);

(oder

);

(oder

).

Die aufgelisteten Eigenschaften werden häufig verwendet, um logische Formeln umzuwandeln und zu vereinfachen. Hier sind nur die Eigenschaften von drei logischen Operationen (Disjunktion, Konjunktion und Negation) angegeben, aber es wird später gezeigt, dass alle anderen Operationen durch sie ausgedrückt werden können.

Mit Hilfe logischer Verknüpfungen können Sie logische Gleichungen aufstellen und logische Probleme auf die gleiche Weise lösen, wie arithmetische Probleme mit Systemen gewöhnlicher Gleichungen gelöst werden.

Beispiel. Einmal musste der Ermittler drei Zeugen gleichzeitig vernehmen: Claude, Jacques und Dick. Ihre Aussagen widersprachen einander und jeder von ihnen beschuldigte jemanden der Lüge. Claude behauptete, Jacques habe gelogen, Jacques beschuldigte Dick der Lüge, und Dick überredete den Ermittler, weder Claude noch Jacques zu glauben. Aber der Ermittler brachte sie schnell zu sauberem Wasser, ohne ihnen eine einzige Frage zu stellen. Welcher Zeuge hat die Wahrheit gesagt?

Entscheidung. Betrachten Sie die Aussagen:

(Claude sagt die Wahrheit);

(Jacques sagt die Wahrheit);

(Dick sagt die Wahrheit).

Wir wissen nicht, welche davon richtig sind, aber wir wissen Folgendes:

1) entweder hat Claude die Wahrheit gesagt, und dann hat Jacques gelogen, oder Claude hat gelogen, und dann hat Jacques die Wahrheit gesagt;

2) entweder hat Jacques die Wahrheit gesagt, und dann hat Dick gelogen, oder Jacques hat gelogen, und dann hat Dick die Wahrheit gesagt;

3) Entweder hat Dick die Wahrheit gesagt, und dann haben Claude und Jacques gelogen, oder Dick hat gelogen, und dann ist es nicht wahr, dass die beiden anderen Zeugen gelogen haben (d. h. mindestens einer dieser Zeugen hat die Wahrheit gesagt).

Wir drücken diese Aussagen in Form eines Gleichungssystems aus:

Die Bedingung des Problems ist erfüllt, wenn diese drei Aussagen gleichzeitig wahr sind, was bedeutet, dass ihre Verbindung wahr ist. Wir multiplizieren diese Gleichheiten (d. h. nehmen ihre Konjunktion)

Aber

dann und nur dann, wenn

, a

. Daher sagt Jacques die Wahrheit, während Claude und Dick lügen.

Irgendein -Term-Operation, bezeichnet zum Beispiel

, wird vollständig bestimmt, ob für welche Werte von Aussagen festgestellt wird

das Ergebnis wird wahr oder falsch sein. Eine Möglichkeit, eine solche Operation anzugeben, besteht darin, eine Wertetabelle auszufüllen:

In der Tabelle der Bedeutungen der Anweisung gebildet aus die einfachsten Aussagen

, erhältlich Linien. Die Wertspalte hat auch Positionen. Daher gibt es

verschiedene Optionen zum Füllen und dementsprechend die Anzahl aller -term Operationen ist gleich

. Beim

die Anzahl der Ein-Term-Operationen ist 4, mit

die Zahl der Binomiale - 16, mit

die Zahl der Dreigliedrigen ist 256 usw.

Betrachten Sie einige spezielle Arten von Formeln.

Die Formel wird aufgerufen elementare Konjunktion wenn es sich um eine Konjunktion von Variablen und Negationen von Variablen handelt. Zum Beispiel Formeln ,

,

,

sind elementare Konjunktionen.

Eine Formel, die eine Disjunktion (möglicherweise ein Term) von elementaren Konjunktionen ist, wird aufgerufen disjunktive Normalform (D.Sc.). Zum Beispiel Formeln ,

,

.

Satz 1(bei Reduktion auf D.Sc.). Für jede Formel , wer ist d. f. .

Dieser Satz und der darauf folgende Satz 2 werden im nächsten Unterabschnitt bewiesen. Durch Anwendung dieser Theoreme kann man die Form logischer Formeln standardisieren.

Die Formel wird aufgerufen elementare Disjunktion wenn es sich um eine Disjunktion von Variablen und Negationen von Variablen handelt. Zum Beispiel Formeln

,

,

usw.

Eine Formel, die eine Konjunktion (möglicherweise ein Term) elementarer Disjunktionen ist, wird aufgerufen Konjunktive Normalform (Promotion). Zum Beispiel Formeln

,

.

Satz 2(bei Reduzierung auf Ph.D.). Für jede Formel man kann eine äquivalente Formel finden , das ist Ph.D. f.

Aufgabe 35

Ein Mann ging mit einem Jahresgehalt von 1.000 Dollar zur Arbeit. Bei der Besprechung der Aufnahmebedingungen wurde ihm versprochen, dass bei guter Arbeit eine Gehaltserhöhung erfolgen würde. Darüber hinaus kann die Höhe der Erhöhung nach eigenem Ermessen aus zwei Optionen gewählt werden: In einem Fall wurde eine Erhöhung um 50 USD alle sechs Monate ab der zweiten Hälfte angeboten, im anderen um 200 USD pro Jahr ab der zweiten Hälfte der Zweite. Angesichts der Wahlfreiheit wollten die Arbeitgeber nicht nur versuchen, beim Lohn zu sparen, sondern auch prüfen, wie schnell der neue Mitarbeiter denkt. Nach kurzem Nachdenken nannte er selbstbewusst die Bedingungen für die Erhöhung.

Welche Option wurde bevorzugt?

Aufgabe 36

Einmal musste der Ermittler drei Zeugen gleichzeitig vernehmen: Claude, Jacques und Dick. Ihre Aussagen widersprachen einander und jeder von ihnen beschuldigte jemanden der Lüge. Claude behauptete, Jacques habe gelogen. Jacques beschuldigte Dick der Lüge, und Dick überredete den Ermittler, weder Claude noch Jacques zu glauben. Aber der Ermittler führte sie schnell zu sauberem Wasser, ohne ihnen eine einzige Frage zu stellen.

Welcher Zeuge hat die Wahrheit gesagt?

Aufgabe 37

Schreckliches Unglück, Inspector, sagte der Museumsangestellte. - Sie können sich nicht vorstellen, wie aufgeregt ich bin. Ich erzähle dir alles der Reihe nach. Ich war heute im Museum, um zu arbeiten und unsere Finanzen in Ordnung zu bringen. Ich saß gerade an diesem Schreibtisch und schaute die Konten durch, als ich plötzlich auf der rechten Seite einen Schatten sah. Das Fenster war offen.

Und du hast kein Rauschen gehört? fragte der Inspektor.

Absolut keine. Das Radio spielte Musik, und außerdem war ich zu sehr in das vertieft, was ich tat. Als ich den Blick von der Hitze abwandte, sah ich, dass ein Mann aus dem Fenster gesprungen war. Ich schaltete sofort das Deckenlicht ein und stellte fest, dass zwei Kisten mit der wertvollsten Münzsammlung, die ich zur Arbeit in mein Büro gebracht hatte, verschwunden waren. Ich bin in einem schrecklichen Zustand, schließlich ist diese Sammlung auf 10.000 Mark geschätzt.

Glaubst du, dass ich es wirklich tue; Glaube ich deinen Gedanken?

Der Inspektor war irritiert. - Niemand hat es bisher geschafft, mich in die Irre zu führen, und Sie werden nicht der Erste sein.

Wie kam der Inspektor darauf, dass sie versuchten, ihn zu täuschen?

Aufgabe 38

Die Leiche der vermissten Person wurde in ein Laken eingewickelt gefunden, auf dem ein Wäschenummernschild angebracht war. Es wurde eine Familie identifiziert, die solche Tags verwendete, aber während des Überprüfungsprozesses stellte sich heraus, dass die Mitglieder dieser Familie den Verstorbenen und seine Angehörigen nicht kannten und keinen Kontakt zu ihm hatten. Es wurden keine weiteren Beweise für ihre Beteiligung an dem Mord gefunden.

Gab es bei der Prüfung Fehler in der Vollständigkeit und Richtigkeit der Informationsbeschaffung?

Aufgabe 39

Potapov, Shchedrin, Semyonov dienen in der Luftfahrteinheit. Konovalov und Samoilov. Ihre Spezialgebiete sind: Pilot, Navigator, Flugmechaniker, Funker und Wettervorhersager.

Bestimmen Sie, welche Spezialität jeder von ihnen hat, wenn die folgenden Fakten bekannt sind.

Shchedrin und Konovalov sind mit der Flugzeugsteuerung nicht vertraut;

Potapov und Konovalov bereiten sich darauf vor, Navigatoren zu werden; Die Wohnungen von Shchedrin und Samoilov befinden sich neben der Wohnung des Funkers;

Semyon traf in einem Erholungsheim Shchedrin und die Schwester des Prognostikers: Potapov und Shchedrin spielen in ihrer Freizeit Schach mit dem Flugingenieur und dem Piloten; Konovalov, Semyonov und der Wetterfrosch boxen gern; Boxen mag der Funker nicht.

Aufgabe 40

Die Tante, die auf ihren Neffen, den Inspektor, wartete, eilte ihm entgegen und verbarg ihre Ungeduld nicht.

Irgendeine Frau gerade eben; schnappte mir meine Handtasche mit Geld und verschwand sofort.

Höchstwahrscheinlich ist sie in genau der Sparkasse verschwunden, in der Sie waren, - bemerkte der Inspektor. - Versuchen wir es zu finden.

Und tatsächlich sah die Tante sofort ihre Tasche, die zwischen zwei Frauen auf einer Bank stand. Sie war entlarvt. Als der Inspektor sich die Tasche genau ansah, standen beide Frauen auf und gingen zum anderen Ende des Raums. Die Handtasche blieb auf der Bank.

Aber ich weiß nicht, wer von denen meine Tasche gestohlen hat. Yana hat es geschafft, sie zu sehen, - sagte die Tante.

Nun, es ist nichts, - antwortete der Neffe. - Wir werden beide verhören, aber ich glaube, die Tasche wurde Ihnen von demjenigen gestohlen, der ...

Welche?

Aufgabe 41

Nachdem er die Nachricht erhalten hatte, dass ein grauer Chevrolet mit einer Nummer, die mit sechs beginnt, eine Frau angefahren hatte und verschwand, fuhren der Inspektor und sein Assistent zur Villa des Herrn, dessen Auto der Beschreibung zu entsprechen schien. Keine halbe Stunde später waren sie da.

Vor dem Haus stand ein grauer Chevrolet. Als der Besitzer die Polizei sah, ging er direkt im Pyjama zu ihnen hinunter.

Ich bin heute nirgendwo hingegangen“, sagte er, nachdem er dem Inspektor zugehört hatte. - Ja, und ich konnte nicht: Gestern habe ich den Zündschlüssel verloren, und der neue wird erst am Freitag fertig sein.

Der Assistent, der es inzwischen geschafft hatte, das Auto zu inspizieren, flüsterte dem Inspektor zu:

Offenbar sagt er die Wahrheit. Es gibt keine Anzeichen einer Kollision am Auto.

Der Inspektor, auf die Motorhaube gestützt, antwortete:

Das hat nichts zu bedeuten, der Schlag war nicht stark, denn das Opfer lebt. Und Ihr Alibi, Sir, erscheint mir äußerst verdächtig. Warum versuchst du mir zu verheimlichen, dass du gerade in genau diesem Auto hier angekommen bist?

Was gab dem Inspektor Anlass, den Herrn einer Lüge zu verdächtigen?

Aufgabe 42

Der Firmenchef informiert den Ermittler über den Diebstahl in seinem Haus.

Als ich zur Arbeit kam, fiel mir ein, dass ich die notwendigen Dokumente zu Hause vergessen hatte. Ich gab meinem Assistenten den Schlüssel zum Haustresor und schickte ihm den Aktenordner. Wir arbeiten schon lange zusammen, ich vertraue ihm schon lange und habe ihn oft nach Hause geschickt, um etwas aus dem Safe zu holen. Diesmal rief er mich kurz nach dem Verlassen an und sagte, als er den Raum betrat, sah er, dass die Tür des Wandsafes offen stand und im ganzen Büro Papiere verstreut waren. Ich kam nach Hause und stellte fest, dass neben verstreuten Dokumenten auch Schmuck und Geld aus dem Safe verschwunden waren.

Aussage des Assistenten: „Als ich ankam, ließ mich der Butler herein und ich ging in den zweiten Stock der Wohnung. Als er das Büro betrat, fand er auf dem Boden verstreute Papiere und eine offene Tresortür. Ich rief sofort meinen Chef an und berichtete, was ich gesehen hatte. Danach sprang ich zum Treppenabsatz hinaus und rief den Butler an. Auf meinen Schrei hin erschien unten aus dem Wohnzimmer ein Dienstmädchen und fragte, was los sei. Ich erzählte ihr, was ich sah. Auf ihren Ruf hin kam der Butler aus dem Hof gerannt. Auf meine Frage sagten sie, dass niemand in die Wohnung kam, nachdem der Eigentümer gegangen war, und sie hörten keinen Lärm im Haus.

Der Butler erklärte: „Nachdem der Besitzer am Morgen gegangen war, habe ich meine übliche Arbeit im Untergeschoss erledigt und niemanden gesehen oder etwas Ungewöhnliches gehört. Das Dienstmädchen verließ nie mit mir die Küche. Als ein Mitarbeiter unseres Gastgebers, den ich schon lange kannte, ankam, ging er zur Treppe in den zweiten Stock und ging hinaus in den Hof. Ein paar Minuten später rief mich der Koch an und ich betrat das Haus, wo der Assistent von dem Diebstahl aus dem Büro des Eigentümers erzählte.

Das Dienstmädchen sagte, dass sie nach dem Frühstück in der Küche war, nirgendwo hinausging und erst, nachdem sie den Schrei des Assistenten gehört hatte, ins Wohnzimmer ging. Der Assistent erzählte von dem Diebstahl im Haus und erkundigte sich beim Butler.

Auf Nachfrage des Ermittlers antwortete der Assistent, dass er im Büro außer dem Telefon nichts angefasst und auch nicht umgestellt habe. Der Butler und das Zimmermädchen sagten, sie seien überhaupt nicht ins Büro gegangen.

Bei der Kontrolle im Büro fanden die Ermittler keine Fingerspuren an der Bürotür, der Tresortür, Gegenständen und dem Telefon auf dem Tisch. Nach der Untersuchung des Schlosses der Safetür fand der Spezialist keine Spuren von Gegenständen oder Fremdschlüsseln an seinen Details.

Wir können die folgende Abfolge von Schritten zur Lösung logischer Probleme herausgreifen.

1. Wählen Sie elementare (einfache) Aussagen aus der Problemstellung aus und kennzeichnen Sie diese mit Buchstaben.

2. Schreiben Sie den Zustand des Problems in der Sprache der Algebra der Logik auf, kombinieren Sie einfache Aussagen zu komplexen, indem Sie logische Operationen verwenden.

3. Verfassen Sie einen einzigen logischen Ausdruck für die Anforderungen des Problems.

5. Wählen Sie eine Lösung - Wert gesetzt einfache Sätze, in denen der konstruierte logische Ausdruck wahr ist.

6. Überprüfen Sie, ob die erhaltene Lösung die Bedingung des Problems erfüllt.

Beispiel:

Aufgabe 1:„Bei dem Versuch, sich an die Gewinner des letztjährigen Turniers zu erinnern, erklärten fünf ehemalige Turnierzuschauer Folgendes:

1. Anton wurde Zweiter und Boris Fünfter.

2. Viktor wurde Zweiter und Denis Dritter.

3. Gregory war der erste und Boris war der dritte.

4. Anton wurde Dritter und Evgeny Sechster.

5. Viktor wurde Dritter und Evgeny Vierter.

Anschließend stellte sich heraus, dass sich jeder Zuschauer in einer seiner beiden Aussagen geirrt hatte. Wie war die tatsächliche Verteilung der Plätze im Turnier.

1) Bezeichnen Sie mit dem ersten Buchstaben im Namen des Turnierteilnehmers und - die Nummer des Platzes, den er hat, d.h. wir haben .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Ein einziger logischer Ausdruck für alle Anforderungen der Aufgabe: .

4) In der Formel L führen wir äquivalente Transformationen durch, erhalten wir: .

5) Aus Absatz 4 folgt: , , , , .

6) Verteilung der Plätze im Turnier: Anton wurde Dritter, Boris Fünfter, Viktor Zweiter, Grigory Erster und Evgeny Vierter.

Aufgabe 2:„Ivanov, Petrov, Sidorov erschienen wegen Raubes vor Gericht. Die Untersuchung ergab:

1. wenn Ivanov nicht schuldig ist oder Petrov schuldig ist, dann ist Sidorov schuldig;

2. Wenn Ivanov nicht schuldig ist, dann ist Sidorov nicht schuldig.

Ist Iwanow schuldig?

1) Betrachten Sie die Aussagen:

SONDERN: "Iwanow ist schuldig", BEIM: "Petrow ist schuldig", Mit: "Sidorov ist schuldig."

2) Durch die Untersuchung festgestellte Tatsachen:,.

3) Ein einzelner logischer Ausdruck: . Es stimmt.

Machen wir dafür eine Wahrheitstabelle.

SONDERN	BEIM	Mit	L

Ein Problem zu lösen bedeutet anzugeben, für welche Werte von A die resultierende komplexe Aussage L wahr ist. Wenn , und , dann hat die Untersuchung nicht genug Fakten, um Ivanov eines Verbrechens zu beschuldigen. Die Analyse der Tabelle zeigt und , d. h. Ivanov ist des Raubes schuldig.

Fragen und Aufgaben.

1. RCS für die Formeln kompilieren:

2. RCS vereinfachen:

3. Erstellen Sie basierend auf diesem Schaltkreis eine entsprechende logische Formel.

4. Überprüfen Sie die Äquivalenz des RCS:

5. Bauen Sie einen Stromkreis aus drei Schaltern und einer Glühbirne auf, sodass das Licht nur angeht, wenn genau zwei Schalter auf „Ein“ stehen.

6. Bauen Sie basierend auf dieser Leitfähigkeitstabelle eine Schaltung aus Funktionselementen mit drei Eingängen und einem Ausgang auf, die die Formel implementiert.

x	j	z	F

7. Analysieren Sie das in der Abbildung gezeigte Diagramm und schreiben Sie die Formel für die Funktion auf F.

8. Aufgabe: „Einmal musste der Ermittler drei Zeugen gleichzeitig vernehmen: Claude, Jacques, Dick. Ihre Aussagen widersprachen einander und jeder von ihnen beschuldigte jemanden der Lüge.

1) Claude behauptete, Jacques habe gelogen.

2) Jacques beschuldigte Dick der Lüge.

3) Dick überredete den Ermittler, weder Claude noch Jacques zu glauben.

Aber der Ermittler brachte sie schnell zu sauberem Wasser, ohne ihnen eine einzige Frage zu stellen. Welcher Zeuge hat die Wahrheit gesagt?

9. Stellen Sie fest, welcher der vier Studenten die Prüfung bestanden hat, wenn bekannt ist, dass:

1) Wenn der Erste bestanden hat, dann hat der Zweite bestanden.

2) Wenn der Zweite bestanden hat, dann hat der Dritte bestanden oder der Erste nicht bestanden.

3) Wenn der vierte nicht bestanden hat, dann hat der erste bestanden und der dritte nicht bestanden.

4) Wenn der Vierte bestanden hat, dann hat der Erste bestanden.

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