Direkte und inverse Kosinustransformation. Fourier-Transformation Fourier-Integral Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation Kosinus- und Sinus-Transformationen Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften

I. Fourier-Transformationen.

Bestimmung 1. Funktion

namens Fourier-Transformation Funktionen .

Das Integral wird hier im Sinne des Hauptwertes verstanden

und es wird angenommen, dass es existiert.

Wenn eine absolut integrierbare Funktion auf ℝ ist, dann, seit für , die Fourier-Transformation (1) ist für jede solche Funktion sinnvoll, und das Integral (1) konvergiert absolut und gleichmäßig in Bezug auf die gesamte Linie ℝ.

Bestimmung 2. Wenn ein ist die Fourier-Transformation der Funktion
, dann das zugehörige Integral

Im Sinne der Hauptbedeutung verstanden, heißt Fourier-Integral der Funktion .

Beispiel 1 Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion

Die gegebene Funktion ist absolut integrierbar auf , in der Tat,

Bestimmung 3. Im Sinne des Hauptwertes der Integrale zu verstehen

Entsprechend benannt Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationsfunktionen .

Vorausgesetzt , , , erhalten wir zum Teil die bereits aus der Fourier-Reihe bekannte Beziehung

Wie aus den Beziehungen (3), (4) ersichtlich ist,

Die Formeln (5), (6) zeigen, dass die Fourier-Transformationen auf der gesamten Linie vollständig definiert sind, wenn sie nur für nicht negative Werte des Arguments bekannt sind.

Beispiel 2 Finden Sie die Cosinus- und Sinus-Fourier-Transformation einer Funktion

Wie in Beispiel 1 gezeigt, ist die gegebene Funktion absolut integrierbar auf .

Lassen Sie uns seine Kosinus-Fourier-Transformation nach der Formel (3) finden:

Ebenso ist es nicht schwierig, die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion zu finden f(x) nach Formel (4):

Anhand der Beispiele 1 und 2 lässt sich leicht durch direkte Substitution verifizieren, dass z f(x) Beziehung (5) erfüllt ist.

Wenn die Funktion reellwertig ist, dann implizieren die Formeln (5), (6) in diesem Fall

Da in diesem Fall und reelle Funktionen auf R sind, was aus ihren Definitionen (3), (4) hervorgeht. Jedoch Gleichheit (7) unter der Bedingung ergibt sich auch direkt aus der Definition (1) der Fourier-Transformation, wenn man berücksichtigt, dass das Konjugationszeichen unter das Integralzeichen gestellt werden kann. Die letzte Beobachtung lässt uns den Schluss zu, dass jede Funktion die Gleichheit erfüllt

Es ist auch nützlich zu beachten, dass if eine reelle und gerade Funktion ist, d.h. , dann

wenn eine reelle und eine ungerade Funktion ist, d.h. , dann

Und wenn eine rein imaginäre Funktion ist, d.h. . , dann

Beachten Sie, dass wenn es sich um eine reellwertige Funktion handelt, das Fourier-Integral auch in der Form geschrieben werden kann

Woher

Beispiel 3
(vorausgesetzt )

da wir den Wert des Dirichlet-Integrals kennen

Die im Beispiel betrachtete Funktion ist nicht absolut integrierbar und ihre Fourier-Transformation weist Unstetigkeiten auf. Dass die Fourier-Transformation absolut integrierbarer Funktionen keine Unstetigkeiten aufweist, zeigt das Folgende

Lemma 1. Wenn die Funktion lokal integrierbar und absolut integrierbar auf , dann

a) seine Fourier-Transformation für jeden Wert definiert

Denken Sie daran, wenn ist eine reelle oder komplexwertige Funktion, die auf einer offenen Menge definiert ist, dann die Funktion namens lokal integrierbar auf, wenn überhaupt Punkt hat eine Umgebung, in der die Funktion integrierbar ist. Insbesondere wenn , ist die Bedingung der lokalen Integrierbarkeit der Funktion offensichtlich äquivalent zu der Tatsache, dass für jedes Segment.

Beispiel 4 Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion :

Differenzieren wir das letzte Integral nach dem Parameter und integrieren dann partiell, finden wir das

oder

Meint, , wobei eine Konstante ist, die wir mit dem Euler-Poisson-Integral aus der Beziehung finden

Also haben wir das gefunden und gleichzeitig gezeigt, dass und .

Bestimmung 4. Sie sagen, dass die Funktion , definiert in einer punktierten Umgebung des Punktes , erfüllt die Dini-Bedingungen am Punkt if

a) an dem Punkt existieren beide einseitigen Grenzen

b) beide Integrale

stimme absolut zu.

Absolute Konvergenz des Integrals bedeutet die absolute Konvergenz des Integrals zumindest für einen Wert von .

Hinreichende Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion durch ein Fourier-Integral.

Satz 1.Wenn absolut integrierbar auf und lokal stückweise stetige Funktion erfüllt an der Stelle Dini-Bedingungen, dann konvergiert sein Fourier-Integral an diesem Punkt und gegen den Wert

gleich der Hälfte der Summe der linken und rechten Grenzen der Funktionswerte an dieser Stelle.

Folge 1.Wenn die Funktion kontinuierlich, hat an jedem Punkt endliche einseitige Ableitungen und absolut integrierbar auf , dann erscheint es als mit seinem Fourier-Integral

wo Fourier-Transformation einer Funktion .

Die Darstellung einer Funktion durch das Fourier-Integral kann umgeschrieben werden als:

Kommentar. Die in Satz 1 und Korollar 1 formulierten Bedingungen an die Funktion sind ausreichend, aber nicht notwendig für die Möglichkeit einer solchen Darstellung.

Beispiel 5 Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar, wenn

Diese Funktion ist ungerade und stetig auf ℝ, mit Ausnahme der Punkte , , .

Aufgrund der Seltsamkeit und Echtheit der Funktion haben wir:

und aus den Gleichungen (5) und (10) folgt das

An den Stetigkeitspunkten der Funktion gilt:

Aber die Funktion ist seltsam, also

da das Integral im Sinne des Hauptwertes berechnet wird.

Die Funktion ist eben, also

Wenn , . Für , die Gleichheit

Angenommen, von hier aus finden wir

Wenn wir den letzten Ausdruck für eingeben, dann

Angenommen hier finden wir

Wenn eine reellwertige Funktion auf jedem Segment der reellen Linie stückweise stetig ist, absolut integrierbar ist und an jedem Punkt endliche einseitige Ableitungen hat, dann wird sie an den Stetigkeitspunkten der Funktion als Fourier-Integral dargestellt

und an den Diskontinuitätspunkten der Funktion sollte die linke Seite der Gleichheit (1) durch ersetzt werden

Wenn eine stetige, absolut integrierbare Funktion an jedem Punkt endliche einseitige Ableitungen an jedem Punkt hat, dann ist im Fall, dass diese Funktion gerade ist, die Gleichheit

und für den Fall, dass eine ungerade Funktion ist, die Gleichheit

Beispiel 5'. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar, wenn:

Da eine stetige gerade Funktion ist, haben wir unter Verwendung der Formeln (13.2), (13.2’)

Mit dem Symbol bezeichnen wir das im Sinne des Hauptwertes verstandene Integral

Folge 2.Für jede Funktion die Bedingungen von Korollar 1 erfüllen, gibt es alle Transformationen , , , und es gibt gleichheiten

Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen wird oft Transformation (14) genannt inverse Fourier-Transformation und schreiben Sie stattdessen , und Gleichheiten (15) selbst werden aufgerufen Fourier-Transformations-Inversionsformel.

Beispiel 6 Lassen Sie und

Beachten Sie, dass wenn , dann für jede Funktion

Nehmen wir jetzt eine Funktion. Dann

Wenn wir eine Funktion nehmen, die eine ungerade Fortsetzung der Funktion ist , auf der gesamten numerischen Achse, dann

Mit Satz 1 erhalten wir das

Alle Integrale werden hier im Sinne von Hauptwert verstanden,

Wenn wir die Real- und Imaginärteile in den letzten beiden Integralen trennen, finden wir die Laplace-Integrale

Definition . Funktion

wird die normalisierte Fourier-Transformation genannt.

Definition . Wenn die normalisierte Fourier-Transformation der Funktion ist, dann das zugehörige Integral

Wir nennen das normalisierte Fourier-Integral der Funktion .

Wir betrachten die normalisierte Fourier-Transformation (16).

Der Einfachheit halber führen wir die folgende Notation ein:

(jene. ).

Im Vergleich zur bisherigen Notation ist dies nur eine Renormierung: Daher lassen insbesondere die Relationen (15) darauf schließen

oder, in kürzerer Schreibweise,

Bestimmung 5. Der Operator wird als normalisierte Fourier-Transformation bezeichnet, und der Operator wird als inverse normalisierte Fourier-Transformation bezeichnet.

In Lemma 1 wurde festgestellt, dass die Fourier-Transformation jeder absolut integrierbaren Funktion einer Funktion im Unendlichen gegen Null geht. Die nächsten beiden Aussagen besagen, dass die Fourier-Transformation wie die Fourier-Koeffizienten umso schneller gegen Null geht, je glatter die Funktion ist, aus der sie entnommen wird (in der ersten Aussage); Eine gemeinsame Tatsache damit wird sein, dass je schneller die Funktion, aus der die Fourier-Transformation genommen wird, gegen Null geht, desto glatter ihre Fourier-Transformation (zweite Aussage).

Aussage 1(über den Zusammenhang zwischen der Glätte einer Funktion und der Abnahmerate ihrer Fourier-Transformation). Wenn ein und alle Funktionen absolut integrierbar auf , dann:

a) für alle

Aussage 2(über die Beziehung zwischen der Zerfallsrate einer Funktion und der Glätte ihrer Fourier-Transformation). Wenn eine lokal integrierbare Funktion : ist so, dass die Funktion absolut integrierbar a , dann:

a) Fourier-Transformation einer Funktion gehört zur Klasse

b) es gibt eine ungleichheit

Wir präsentieren die wichtigsten Hardware-Eigenschaften der Fourier-Transformation.

Lemma 2. Angenommen, es gibt eine Fourier-Transformation für die Funktionen und (bzw. die inverse Fourier-Transformation), dann gibt es unabhängig von den Zahlen und eine Fourier-Transformation (bzw. die inverse Fourier-Transformation) und für die Funktion , und

(bzw ).

Diese Eigenschaft wird die Linearität der Fourier-Transformation (bzw. der inversen Fourier-Transformation) genannt.

Folge. .

Lemma 3. Die Fourier-Transformation, wie auch die inverse Transformation, ist eine Eins-zu-eins-Transformation auf der Menge der kontinuierlichen, absolut integrierbaren Funktionen auf der gesamten Achse, die an jedem Punkt einseitige Ableitungen hat.

Dies bedeutet, dass if und zwei Funktionen des angegebenen Typs und if sind (bzw. ggf ), dann auf der gesamten Achse.

Aus der Behauptung von Lemma 1 können wir das folgende Lemma erhalten.

Lemma 4. Ist die Folge absolut integrierbarer Funktionen und eine absolut integrierbare Funktion sind so dass

dann konvergiert die Folge gleichmäßig auf der gesamten Achse gegen die Funktion .

Betrachten wir nun die Fourier-Transformation von Faltungen zweier Funktionen. Der Einfachheit halber modifizieren wir die Definition der Faltung, indem wir einen zusätzlichen Faktor hinzufügen

Satz 2. Seien also die Funktionen und auf der reellen Achse beschränkt, stetig und absolut integrierbar

jene. die Fourier-Transformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformationen dieser Funktionen.

Stellen wir eine zusammenfassende Tabelle Nr. 1 der Eigenschaften der normalisierten Fourier-Transformation zusammen, die zur Lösung der folgenden Probleme nützlich ist.

Tabelle 1

Funktion	Normalisierte Fourier-Transformation

Mit den Eigenschaften 1-4 und 6 erhalten wir

Beispiel 7 Finden Sie die normalisierte Fourier-Transformation einer Funktion

Beispiel 4 hat das gezeigt

als ob

Nach Eigenschaft 3 gilt:

In ähnlicher Weise können Sie Tabelle Nr. 2 für die normalisierte inverse Fourier-Transformation erstellen:

Tischnummer 2

Funktion	Normalisierte inverse Fourier-Transformation

Wie zuvor erhalten wir das mit den Eigenschaften 1-4 und 6

Beispiel 8 Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

Wie aus Beispiel 6 folgt

Wenn wir haben:

Darstellen der Funktion im Formular

Verwenden Sie Eigenschaft 6, wenn

Optionen für Aufgaben für Abrechnung und grafische Arbeiten

1. Ermitteln Sie die Sinus-Fourier-Transformation einer Funktion

2. Ermitteln Sie die Sinus-Fourier-Transformation einer Funktion

3. Cosinus ermitteln – Fourier-Transformation einer Funktion

4. Cosinus ermitteln – Fourier-Transformation einer Funktion

5. Ermitteln Sie die Sinus-Fourier-Transformation einer Funktion

6.Cosinus finden - Fourier-Transformation einer Funktion

7. Ermitteln Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

8. Cosinus finden - Fourier-Transformation einer Funktion

9. Cosinus ermitteln – Fourier-Transformation einer Funktion

10. Ermitteln Sie die Sinus-Fourier-Transformation einer Funktion

11. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation einer Funktion

12. Sinusfunktionstransformation finden

13. Sinusfunktionstransformation finden

14. Cosinus finden - Funktionstransformation

15. Cosinus finden - Funktionstransformation

16. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion, wenn:

17. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion, wenn:

18. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion, wenn:

19. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion, wenn:

20. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion, wenn:

21. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion, wenn:

22. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

24. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

26. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

28. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

30. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

23. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

25. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

27. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

29. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

31. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

mit der Formel

32. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

33. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

34. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

35. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

36. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

37. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

38. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

39. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

40. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

41. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

42. Stellen Sie eine Funktion als Fourier-Integral dar

43. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar und erweitern Sie sie auf seltsame Weise auf das Intervall, wenn:

44. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar und setzen Sie sie auf eine seltsame Weise bis zum Intervall if fort.

Eines der wirkungsvollsten Werkzeuge zum Studium von Problemen der mathematischen Physik ist die Methode der integralen Transformationen. Die Funktion f(x) sei auf dem endlichen oder unendlichen Intervall (a, 6) definiert. Die integrale Transformation der Funktion f (x) ist die Funktion, wobei K (x, w) eine für eine gegebene Transformation festgelegte Funktion ist, die als Transformationskern bezeichnet wird (es wird angenommen, dass das Integral (*) in seinem eigentlichen oder uneigentlichen Sinn existiert ). §ein. Fourier-Integral Jede Funktion f(x), die auf der Strecke [-f, I] die Bedingungen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe erfüllt, kann auf dieser Strecke durch eine trigonometrische Reihe dargestellt werden: Fourier-Transformation Fourier-Integral Komplexe Integralform Fourier-Transformation Cosinus- und Sinustransformationen Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften Die Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (1) kann in anderer Form geschrieben werden. Zu diesem Zweck führen wir aus den Formeln (2) die Werte der Koeffizienten a» und op ein, subsumieren die Integrale cos ^ x und sin x (was möglich ist, da die Integrationsvariable m) O ist) und verwenden die Formel für den Kosinus der Differenz. Wir werden haben Wenn die Funktion /(x) ursprünglich auf dem Intervall der numerischen Achse definiert wurde, das größer als das Intervall [-1,1] ist (z. B. auf der gesamten Achse), dann reproduziert Erweiterung (3) die Werte dieser Funktion nur auf dem Intervall [-1, 1] und weiter auf der gesamten reellen Achse als periodische Funktion mit einer Periode von 21 (Abb. 1). Wenn also die Funktion f(x) (allgemein gesprochen nicht periodisch) auf der gesamten reellen Achse definiert ist, kann man in Formel (3) versuchen, als I + oo an die Grenze zu gelangen. In diesem Fall ist es natürlich, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen: 1. f(x) erfüllt die Bedingungen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe auf jedem endlichen Abschnitt der Ox\-Achse 2. die Funktion f(x) ist absolut integrierbar auf der gesamten reellen Achse Wenn Bedingung 2 erfüllt ist, geht der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (3) gegen Null als I -* + oo. Lassen Sie uns tatsächlich versuchen festzustellen, was die Summe auf der rechten Seite von (3) in der Grenze als I + oo erreichen wird. Nehmen wir an, dass dann die Summe auf der rechten Seite von (3) die Form annehmen wird. Aufgrund der absoluten Konvergenz des Integrals unterscheidet sich diese Summe für große I wenig von einem Ausdruck, der der Integralsumme für die Funktion von ähnelt Variable £ für das Änderungsintervall (0, + oo) gebildet, daher ist zu erwarten, dass für , die Summe (5) in das Integral Ñ übergeht, für fest) folgt dagegen aus Formel (3 ), dass wir auch die Gleichheit erhalten. Die hinreichende Bedingung für die Gültigkeit von Formel (7) wird durch den folgenden Satz ausgedrückt. Satz 1. Wenn die Funktion f(x) auf der ganzen reellen Achse absolut integrierbar ist und zusammen mit ihrer Ableitung auf jeder Strecke [a, 6] eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen erster Art hat, dann der ten Art der Funktion /(x), der Wert des Integrals auf der rechten Seite von (7) gleich Formel (7) ist, wird Fourier-Integralformel genannt, und das Integral auf seiner rechten Seite wird Fourier-Integral genannt. Wenn wir die Formel für den Tag des Kosinus der Differenz verwenden, dann lässt sich Formel (7) schreiben als Die Funktionen a(t), b(t) sind Analoga der entsprechenden Fourier-Koeffizienten an und bn einer 2n-Periode Funktion, aber letztere sind für diskrete Werte von n definiert, während a(0 > HO) für kontinuierliche Werte von G(-oo, +oo) definiert sind. Die komplexe Form des Fourier-Integrals, offensichtlich eine ungerade Funktion von Aber andererseits ist das Integral eine gerade Funktion der Variablen, so dass sich daher die Fourier-Integralformel wie folgt schreiben lässt: Multiplizieren wir die Gleichheit mit der imaginären Einheit i und addieren zur Gleichheit (10). Dies ist die komplexe Form des Fourier-Integrals. Dabei wird die äußere Integration über t im Sinne des Cauchy-Hauptwerts verstanden: § 2. Fourier-Transformation Cosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen Seien die func Die Gerade f(x) ist auf jedem endlichen Segment der x-Achse stückweise glatt und auf der ganzen Achse absolut integrierbar. Definition. Die Funktion, aus der wir aufgrund der Euler-Formel kommen, heißt Fourier-Transformation der Funktion f(r) (Spektralfunktion). Dies ist die Integraltransformation der Funktion / (r) auf dem Intervall (-oo, + oo) mit einem Kernel. Unter Verwendung der Fourier-Integralformel erhalten wir Dies ist die sogenannte inverse Fourier-Transformation, die den Übergang von F ergibt (t) bis / (x). Manchmal wird die direkte Fourier-Transformation wie folgt angegeben: Dann wird die inverse Fourier-Transformation durch die Formel bestimmt Die Fourier-Transformation der Funktion f(x) wird auch wie folgt definiert: FOURIER-TRANSFORMATION Fourier-Integral Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation Cosinus und Sinus der transformierten Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften Dann wiederum, In diesem Fall ist die Position des Faktors ^ ziemlich willkürlich: Er kann entweder Formel (1") oder Formel (2") eingeben. Beispiel 1. Finden Sie die Fourier-Transformierte der Funktion -4 Wir haben Diese Gleichheit erlaubt die Differentiation nach £ unter dem Integralzeichen (das nach der Differentiation erhaltene Integral konvergiert gleichmäßig, wenn ( zu einem beliebigen endlichen Segment gehört): Partielle Integration, wir werden haben woher wir kommen (C ist die Integrationskonstante). Wenn wir in (4) £ = 0 setzen, finden wir С = F(0). Aufgrund von (3) haben wir Es ist bekannt, dass insbesondere denn) wir das erhalten Betrachten wir die Funktion 4. Für die Spektren oyu der Funktion F(t) erhalten wir daher (Abb. 2). Die Bedingung der absoluten Integrierbarkeit der Funktion f(x) auf der gesamten reellen Achse ist sehr streng. Sie schließt beispielsweise solche elementaren Funktionen wie f(x) = e1 aus, für die es die Fourier-Transformation (in der hier betrachteten klassischen Form) nicht gibt. Nur solche Funktionen haben eine Fourier-Transformation, die für |x| schnell genug gegen Null geht -+ +oo (wie in Beispiel 1 und 2). 2.1. Cosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen Unter Verwendung der Cosinus-Formel, der Differenz, schreiben wir die Fourier-Integralformel in die folgende Form um: Sei f(x) eine gerade Funktion. Dann, so dass wir aus Gleichung (5) haben Im Fall von ungeradem f(x) erhalten wir in ähnlicher Weise Wenn f(x) nur auf (0, -foo) gegeben ist, dann erweitert Formel (6) f(x) auf die gesamte Ochsenachse gerade und Formel (7) - ungerade. (7) Definition. Die Funktion wird Kosinus-Fourier-Transformation der Funktion f(x) genannt. Aus (6) folgt, dass für eine gerade Funktion f(x) Dies bedeutet, dass f(x) wiederum eine Kosinustransformation für Fc(t) ist. Mit anderen Worten, die Funktionen / und Fc sind wechselseitige Kosinustransformationen. Definition. Die Funktion wird Sinus-Fourier-Transformation der Funktion f(x) genannt. Aus (7) erhalten wir das für eine ungerade Funktion f(x), also f und Fs sind gegenseitige Sinustransformationen. Beispiel 3 (rechtwinkliger Impuls). Sei f(t) eine gerade Funktion, die wie folgt definiert ist: (Abb. 3). Lassen Sie uns das erhaltene Ergebnis verwenden, um das Integral zu berechnen. Aufgrund von Formel (9) haben wir Abb.3 0 0 Am Punkt t = 0 ist die Funktion f(t) stetig und gleich eins. Daher erhalten wir aus (12") 2.2. Amplituden- und Phasenspektren des Fourier-Integrals Sei f(x) eine periodische Funktion mit einer Periode von 2m und entfalte sie zu einer Fourier-Reihe. Diese Gleichheit kann geschrieben werden, wenn wir zu kommen Konzepte der Amplituden- und Phasenspektren einer periodischen Funktion Für eine auf (-oo, +oo) gegebene nichtperiodische Funktion f(x) erweist es sich unter bestimmten Bedingungen als möglich, sie durch das Fourier-Integral darzustellen, das entwickelt diese Funktion über alle Frequenzen (Entwicklung im kontinuierlichen Frequenzspektrum Definition Die Spektralfunktion oder die Spektraldichte des Fourier-Integrals ist ein Ausdruck (die direkte Fourier-Transformation der Funktion f heißt Amplitudenspektrum, und die Funktion Ф " ) = -argSfc) - das Phasenspektrum der Funktion / ("). Als Maß für den Beitrag der Frequenz t zur Funktion /(x) dient das Amplitudenspektrum A(t). Beispiel 4. Finden Sie die Amplituden- und Phasenspektren der Funktion 4. Finden Sie die Spektralfunktion. 4. §3. Fourier-Transformationseigenschaften 1. Linearität. Wenn und G(0) die Fourier-Transformierten der Funktionen f(x) bzw. q(x) sind, dann ist für jede Konstante a und p die Fourier-Transformierte der Funktion a f(x) + p g(x) die Funktion a Unter Verwendung der Linearitätseigenschaft des Integrals haben wir Also ist die Fourier-Transformation ein linearer Operator, den wir mit bezeichnen, wenn wir schreiben: Wenn F(t) die Fourier-Transformation einer Funktion f(x) ist, die absolut über die ganze Zahl integrierbar ist Achse, dann ist F(t) für alle beschränkt. Die Funktion f(x) sei auf der ganzen Achse absolut integrierbar - die Fouriertransformierte der Funktion f (x). Dann 3 "flts J. Sei f (x). eine Funktion, deren Toleranz die Fourier-Transformation ist, L ist die Anzahl der Eigenschaften.Die Funktion fh (x) \u003d f (z-h) wird als Verschiebung des Fundiums f(x) bezeichnet.Unter Verwendung der Definition der Fourier-Transformation , zeige dieses Problem. Eine Funktion f(z) habe eine Fourier-Transformation F(0> h ist eine reelle Zahl). (x), die ebenfalls auf der gesamten Achse absolut integrierbar ist Oh, also tendiert /(n) gegen Null als |x| -» +oo. Unter der Annahme, dass f "(x) eine glatte Funktion ist, schreiben wir partielles Integrieren, wir haben den Term außerhalb des Integrals verschwindet (da, und wir erhalten, entspricht die Differentiation der Funktion / (x) der Multiplikation ihrer Fourier image ^ P /] um den Faktor Wenn die Funktion f (x) glatte, absolut integrierbare Ableitungen bis zur Ordnung m einschließlich hat, und alle von ihnen, wie die Funktion f (x) selbst, gegen Null gehen, und dann partiell integrieren die erforderliche Anzahl von Malen erhalten wir die Fourier-Transformation ist gerade deshalb sehr nützlich, weil sie die Operation der Differentiation durch die Operation der Multiplikation mit einem Wert ersetzt und dadurch das Problem der Integration bestimmter Arten von Differentialgleichungen vereinfacht. Da die Fourier-Transformation einer absolut integrierbare Funktion f^k\x) ist eine beschränkte Funktion von (Eigenschaft 2), aus Beziehung (2) erhalten wir folgende Abschätzung für : Fourier-Transformation Fourier-Integral Komplexe Integralform Fourier-Transformation Cosinus- und Sinus-Transformationen Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften Von diese Auswertung mit folgt: Je mehr die Funktion f(x) absolut integrierbare Ableitungen hat, desto schneller strebt ihre Fourier-Transformation gegen Null. Kommentar. Die Bedingung ist ganz natürlich, da die übliche Theorie der Fourier-Integrale sich mit Prozessen befasst, die in der einen oder anderen Bedeutung einen Anfang und ein Ende haben, aber nicht unendlich mit ungefähr der gleichen Intensität andauern. 4. Zusammenhang zwischen der Zerfallsrate der Funktion f(x) für |z| -» -fo oo und die Glätte seiner Fourm-Transformation. Nehmen wir an, dass nicht nur /(x), sondern auch sein Produkt xf(x) eine absolut integrierbare Funktion auf der gesamten x-Achse ist. Dann ist die Fourier-Transformation eine differenzierbare Funktion. Formales Differenzieren nach dem Parameter £ des Integranden führt nämlich zu einem absolut gleichmäßig konvergenten Integral gegenüber dem Parameter. Wenn zusammen mit der Funktion f(x) Funktionen auf der gesamten Ox-Achse absolut integrierbar sind, dann kann der Vorgang des Differenzierens fortgesetzt werden. Wir erhalten, dass die Funktion Ableitungen bis einschließlich der Ordnung m hat, und Je schneller die Funktion f(x) abnimmt, desto glatter wird die Funktion.Theorem 2 (über den Bohrer). Seien die Fourier-Transformierten der Funktionen /,(x) bzw. f2(x). Dann konvergiert das Doppelintegral auf der rechten Seite absolut. Nehmen wir x. Dann haben wir oder, die Integrationsreihenfolge ändernd, Die Funktion heißt Faltung von Funktionen und wird mit dem Symbol bezeichnet. Formel (1) kann nun wie folgt geschrieben werden: Daraus ist ersichtlich, dass die Fourier-Transformation der Faltung der Funktionen f\(x) und f2(x) ist gleich multipliziert mit y/2x dem Produkt der Fouriertransformierten faltbarer Funktionen, Bemerkung. Es ist leicht, die folgenden Eigenschaften der Faltung festzustellen: 1) Linearität: 2) Kommutativität: §4. Anwendungen der Fourier-Transformation 1. Sei Р(^) ein linearer Differentialoperator der Ordnung m mit konstanten Koeffizienten, y(x) hat eine Fourier-Transformation y (O. und die Funktion f(x) hat eine Transformation /(t) Wendet man die Fourier-Transformation auf Gleichung (1) an, erhält man statt dessen eine differenzielle algebraische Gleichung auf der Achse in Bezug auf woher, so dass formal wobei das Symbol die inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Die Haupteinschränkung der Anwendbarkeit dieses Verfahrens hängt mit dem Folgenden zusammen Tatsache: Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten enthält Funktionen der Form< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Die sind schon ziemlich satt. Und ich fühle, dass der Moment gekommen ist, in dem es an der Zeit ist, neue Konserven aus den strategischen Reserven der Theorie zu extrahieren. Ist es möglich, die Funktion auf andere Weise zu einer Reihe zu erweitern? Zum Beispiel ein gerades Liniensegment durch Sinus und Cosinus ausdrücken? Es scheint unglaublich, aber solche scheinbar entfernten Funktionen bieten sich an
"Wiedervereinigung". Neben den bekannten Abschlüssen in Theorie und Praxis gibt es weitere Ansätze, eine Funktion zu einer Reihe zu erweitern.

In dieser Lektion werden wir uns mit der trigonometrischen Fourier-Reihe vertraut machen, das Thema ihrer Konvergenz und Summe ansprechen und natürlich zahlreiche Beispiele für die Erweiterung von Funktionen zu einer Fourier-Reihe analysieren. Ich wollte den Artikel aufrichtig „Fourierreihe für Dummies“ nennen, aber das wäre schlau, da das Lösen von Problemen Kenntnisse in anderen Bereichen der mathematischen Analyse und einige praktische Erfahrungen erfordert. Daher wird die Präambel dem Training von Astronauten ähneln =)

Erstens sollte das Studium der Seitenmaterialien in ausgezeichneter Form angegangen werden. Schläfrig, ausgeruht und nüchtern. Ohne starke Emotionen über die gebrochene Pfote eines Hamsters und obsessive Gedanken über die Strapazen des Aquarienfischlebens. Die Fourier-Reihe ist vom Verständnis her nicht schwierig, praktische Aufgaben erfordern jedoch einfach eine erhöhte Konzentration der Aufmerksamkeit – idealerweise sollte man auf äußere Reize komplett verzichten. Die Situation wird durch die Tatsache verschlimmert, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die Lösung und die Antwort zu überprüfen. Wenn Ihre Gesundheit also unterdurchschnittlich ist, dann ist es besser, etwas Einfacheres zu tun. Wahrheit.

Zweitens ist es vor dem Flug ins All notwendig, die Instrumententafel des Raumfahrzeugs zu studieren. Beginnen wir mit den Werten der Funktionen, die auf der Maschine angeklickt werden sollen:

Für jeden natürlichen Wert:

ein) . Und tatsächlich "blitzt" die Sinuskurve die x-Achse durch jedes "pi":
. Bei negativen Werten des Arguments ist das Ergebnis natürlich dasselbe: .

2). Aber das wussten nicht alle. Der Kosinus „pi en“ entspricht einem „Blinklicht“:

Ein negatives Argument ändert nichts am Fall: .

Vielleicht genug.

Und drittens, liebes Kosmonautenkorps, müssen Sie in der Lage sein ... integrieren.
Insbesondere sicher Bringen Sie eine Funktion unter ein Differentialzeichen, partiell integrieren und sich gut verstehen Newton-Leibniz-Formel. Beginnen wir mit den wichtigen Übungen vor dem Flug. Ich empfehle dringend, es nicht zu überspringen, damit Sie später nicht in der Schwerelosigkeit platt machen:

Beispiel 1

Bestimmte Integrale berechnen

wo nimmt natürliche Werte.

Entscheidung: Die Integration wird über die Variable "x" ausgeführt und in diesem Stadium wird die diskrete Variable "en" als Konstante betrachtet. In allen Integralen Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials:

Eine kurze Version der Lösung, die gut zum Schießen wäre, sieht so aus:

Sich an etwas gewöhnen:

Die vier verbleibenden Punkte sind für sich alleine. Versuchen Sie, die Aufgabe gewissenhaft zu bearbeiten und die Integrale kurz zu ordnen. Beispiellösungen am Ende der Lektion.

Nach einer QUALITÄTSübung ziehen wir Raumanzüge an
und startklar machen!

Erweiterung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall

Betrachten wir eine Funktion, die bestimmt zumindest auf dem Intervall (und möglicherweise auf einem größeren Intervall). Wenn diese Funktion auf dem Segment integrierbar ist, kann sie in eine trigonometrische erweitert werden die Fourierreihe:
, wo sind die sog Fourier-Koeffizienten.

In diesem Fall wird die Nummer angerufen Zersetzungszeit, und die Zahl ist Halbwertszeitzerlegung.

Offensichtlich besteht die Fourier-Reihe im allgemeinen Fall aus Sinus und Cosinus:

Schreiben wir es in der Tat im Detail:

Der Nullterm der Reihe wird normalerweise als geschrieben.

Fourier-Koeffizienten werden mit den folgenden Formeln berechnet:

Ich verstehe sehr gut, dass neue Begriffe für Anfänger immer noch undurchsichtig sind, um das Thema zu studieren: Zersetzungszeit, Halbzyklus, Fourier-Koeffizienten Keine Panik, es ist nicht vergleichbar mit der Aufregung vor einem Weltraumspaziergang. Lassen Sie uns alles im nächsten Beispiel herausfinden, bevor Sie es ausführen, was logisch ist, dringende praktische Fragen zu stellen:

Was müssen Sie bei den folgenden Aufgaben tun?

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe. Außerdem ist es oft erforderlich, einen Funktionsgraphen, einen Reihensummengraphen, eine Partialsumme zu zeichnen und bei ausgefeilten Professorenphantasien noch etwas anderes zu tun.

Wie erweitert man eine Funktion in eine Fourier-Reihe?

Im Wesentlichen müssen Sie finden Fourier-Koeffizienten, das heißt, komponiere und berechne drei bestimmte Integrale.

Bitte übertrage die allgemeine Form der Fourier-Reihe und die drei Arbeitsformeln in dein Heft. Ich freue mich sehr, dass bei einigen Besuchern der Website ein Kindheitstraum, Astronaut zu werden, vor meinen Augen wahr wird =)

Beispiel 2

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall . Erstellen Sie einen Graphen, einen Graphen der Summe einer Reihe und einer Teilsumme.

Entscheidung: Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern.

Der Anfang ist Standard, notieren Sie sich Folgendes:

In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode .

Wir erweitern die Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall:

Unter Verwendung der entsprechenden Formeln finden wir Fourier-Koeffizienten. Jetzt müssen wir drei zusammensetzen und berechnen bestimmte Integrale. Der Einfachheit halber nummeriere ich die Punkte:

1) Das erste Integral ist das einfachste, erfordert aber schon Auge und Auge:

2) Wir verwenden die zweite Formel:

Dieses Integral ist bekannt und er nimmt es Stück für Stück:

Wenn gebraucht gefunden Methode, eine Funktion unter ein Differentialzeichen zu bringen.

Bei der betrachteten Aufgabe ist es bequemer, sie sofort zu verwenden Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral :

Ein paar technische Anmerkungen. Zuerst nach Anwendung der Formel der gesamte Ausdruck muss in große Klammern eingeschlossen werden, da vor dem ursprünglichen Integral eine Konstante steht. Lass es uns nicht verlieren! Klammern können bei jedem weiteren Schritt geöffnet werden, ich habe es in der allerletzten Runde gemacht. Im ersten "Stück" Wir zeigen extreme Genauigkeit bei der Substitution, wie Sie sehen können, ist die Konstante aus dem Geschäft, und die Integrationsgrenzen werden in das Produkt eingesetzt. Diese Aktion ist mit eckigen Klammern gekennzeichnet. Nun, das Integral des zweiten "Stücks" der Formel ist Ihnen aus der Trainingsaufgabe bekannt ;-)

Und vor allem - die ultimative Aufmerksamkeitskonzentration!

3) Wir suchen den dritten Fourier-Koeffizienten:

Ein Relativer des vorherigen Integrals wird erhalten, was auch ist stückweise integriert:

Diese Instanz ist etwas komplizierter, ich werde die weiteren Schritte Schritt für Schritt auskommentieren:

(1) Der gesamte Ausdruck wird in große Klammern eingeschlossen.. Ich wollte nicht wie ein Langweiler wirken, sie verlieren zu oft die Konstante.

(2) In diesem Fall habe ich diese großen Klammern sofort erweitert. Besondere Aufmerksamkeit widmen wir uns dem ersten „Stück“: das raucht ständig am Rande und beteiligt sich nicht an der Substitution der Integrationsgrenzen ( und ) in das Produkt . Angesichts der Unordnung des Protokolls empfiehlt es sich wiederum, diese Aktion in eckigen Klammern hervorzuheben. Mit dem zweiten "Stück" alles ist einfacher: Hier erschien der Bruch nach dem Öffnen großer Klammern und die Konstante - als Ergebnis der Integration des bekannten Integrals ;-)

(3) In eckigen Klammern führen wir Transformationen durch und im rechten Integral setzen wir die Integrationsgrenzen ein.

(4) Wir entfernen den „Flasher“ aus den eckigen Klammern: , danach öffnen wir die inneren Klammern: .

(5) Wir kürzen die 1 und -1 in Klammern und nehmen letzte Vereinfachungen vor.

Endlich alle drei Fourier-Koeffizienten gefunden:

Setze sie in die Formel ein :

Vergessen Sie nicht, in zwei Hälften zu teilen. Im letzten Schritt wird die Konstante ("minus zwei"), die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt.

Damit haben wir die Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall erhalten:

Betrachten wir die Frage der Konvergenz der Fourier-Reihe. Ich werde insbesondere die Theorie erläutern Satz von Dirichlet, wörtlich "an den Fingern", wenn Sie also strenge Formulierungen benötigen, schlagen Sie bitte in einem Lehrbuch über Analysis nach (zum Beispiel der 2. Band von Bohan; oder der 3. Band von Fichtenholtz, aber darin ist es schwieriger).

Im zweiten Teil der Aufgabe gilt es, einen Graphen, einen Reihensummengraphen und einen Teilsummengraphen zu zeichnen.

Der Graph der Funktion ist der übliche Gerade im Flugzeug, die mit einer schwarzen gepunkteten Linie gezeichnet ist:

Wir beschäftigen uns mit der Summe der Reihen. Wie Sie wissen, konvergieren Funktionsreihen zu Funktionen. In unserem Fall die konstruierte Fourier-Reihe für jeden Wert von "x" konvergiert gegen die rot dargestellte Funktion. Diese Funktion unterliegt Pausen der 1. Art in Punkten , sondern auch darin definiert (rote Punkte in der Zeichnung)

Auf diese Weise: . Es ist leicht zu erkennen, dass es sich deutlich von der ursprünglichen Funktion unterscheidet, weshalb in der Notation Anstelle eines Gleichheitszeichens wird eine Tilde verwendet.

Untersuchen wir einen Algorithmus, mit dem es bequem ist, die Summe einer Reihe zu bilden.

Auf dem zentralen Intervall konvergiert die Fourier-Reihe zur Funktion selbst (das zentrale rote Segment fällt mit der schwarz gepunkteten Linie der linearen Funktion zusammen).

Lassen Sie uns nun ein wenig über die Natur der betrachteten trigonometrischen Erweiterung sprechen. die Fourierreihe enthält nur periodische Funktionen (Konstante, Sinus und Cosinus), also die Summe der Reihen ist ebenfalls eine periodische Funktion.

Was bedeutet das in unserem speziellen Beispiel? Und das bedeutet, dass die Summe der Reihe –unbedingt periodisch und das rote Segment des Intervalls muss links und rechts unendlich wiederholt werden.

Ich denke, dass jetzt endlich die Bedeutung des Ausdrucks "Zeit der Zersetzung" klar geworden ist. Einfach gesagt, jedes Mal wiederholt sich die Situation immer wieder.

In der Praxis reicht es meist aus, wie in der Zeichnung drei Zersetzungsperioden darzustellen. Nun, und weitere "Stümpfe" benachbarter Perioden - um deutlich zu machen, dass das Diagramm fortgesetzt wird.

Von besonderem Interesse sind Unstetigkeitsstellen 1. Art. An solchen Stellen konvergiert die Fourier-Reihe zu isolierten Werten, die sich genau in der Mitte des Unstetigkeits-"Sprungs" befinden (rote Punkte in der Zeichnung). Wie findet man die Ordinate dieser Punkte? Suchen wir zunächst die Ordinate der „oberen Etage“: Dazu berechnen wir den Wert der Funktion am äußersten rechten Punkt der mittleren Expansionsperiode: . Um die Ordinate der „unteren Etage“ zu berechnen, nehmen Sie am einfachsten den Wert ganz links im gleichen Zeitraum: . Die Ordinate des Mittelwertes ist das arithmetische Mittel der Summe aus „oben und unten“: . Schön ist, dass man beim Erstellen einer Zeichnung sofort sieht, ob die Mitte richtig oder falsch berechnet ist.

Bilden wir eine Partialsumme der Reihe und wiederholen wir gleichzeitig die Bedeutung des Begriffs "Konvergenz". Das Motiv ist aus der Lektion über bekannt die Summe der Zahlenreihe. Lassen Sie uns unser Vermögen im Detail beschreiben:

Um eine Teilsumme zu bilden, musst du null + zwei weitere Terme der Reihe aufschreiben. Also,

In der Zeichnung ist der Graph der Funktion grün dargestellt, und wie Sie sehen können, umschließt er die Gesamtsumme ziemlich eng. Wenn wir eine Teilsumme von fünf Termen der Reihe betrachten, wird der Graph dieser Funktion die roten Linien noch genauer annähern, wenn es hundert Terme gibt, dann verschmilzt die „grüne Schlange“ tatsächlich vollständig mit den roten Segmenten, etc. Somit konvergiert die Fourier-Reihe gegen ihre Summe.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Teilsumme ist kontinuierliche Funktion, aber die Gesamtsumme der Reihe ist immer noch unstetig.

In der Praxis ist es nicht ungewöhnlich, einen Partialsummengraphen zu erstellen. Wie kann man es machen? In unserem Fall ist es notwendig, die Funktion auf dem Segment zu berücksichtigen und ihre Werte an den Enden des Segments und an Zwischenpunkten zu berechnen (je mehr Punkte Sie berücksichtigen, desto genauer wird das Diagramm). Dann sollten Sie diese Punkte auf der Zeichnung markieren und sorgfältig ein Diagramm über die Periode zeichnen und es dann in benachbarte Intervalle „replizieren“. Wie sonst? Approximation ist schließlich auch eine periodische Funktion ... ... deren Graph erinnert mich irgendwie an einen gleichmäßigen Herzrhythmus auf dem Display eines Medizingerätes.

Natürlich ist es nicht sehr bequem, die Konstruktion durchzuführen, da Sie äußerst vorsichtig sein müssen und eine Genauigkeit von nicht weniger als einem halben Millimeter einhalten müssen. Ich werde jedoch Leser erfreuen, die mit dem Zeichnen uneins sind - bei einer "echten" Aufgabe ist es bei weitem nicht immer notwendig, eine Zeichnung durchzuführen, irgendwo in 50% der Fälle ist es erforderlich, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern und das ist es.

Nach Abschluss der Zeichnung erledigen wir die Aufgabe:

Antworten:

Bei vielen Aufgaben leidet die Funktion Ruptur 1. Art direkt am Zersetzungszeitraum:

Beispiel 3

Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die auf dem Intervall gegebene Funktion. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Gesamtsumme der Reihe.

Die vorgeschlagene Funktion ist stückweise gegeben (und wohlgemerkt nur auf dem Segment) und aushalten Ruptur 1. Art am Punkt . Kann man die Fourier-Koeffizienten berechnen? Kein Problem. Sowohl der linke als auch der rechte Teil der Funktion sind in ihren Intervallen integrierbar, daher sollten die Integrale in jeder der drei Formeln als Summe von zwei Integralen dargestellt werden. Sehen wir uns zum Beispiel an, wie dies für einen Koeffizienten von Null gemacht wird:

Das zweite Integral stellte sich als gleich Null heraus, was die Arbeit reduzierte, aber das ist nicht immer der Fall.

Zwei andere Fourier-Koeffizienten werden ähnlich geschrieben.

Wie zeigt man die Summe einer Reihe an? Auf dem linken Intervall zeichnen wir ein gerades Liniensegment und auf dem Intervall - ein gerades Liniensegment (markieren Sie den Achsenabschnitt fett-fett). Das heißt, im Expansionsintervall stimmt die Summe der Reihe überall mit der Funktion überein, mit Ausnahme von drei "schlechten" Punkten. An der Unstetigkeitsstelle der Funktion konvergiert die Fourier-Reihe gegen einen isolierten Wert, der genau in der Mitte des „Sprungs“ der Unstetigkeit liegt. Es ist nicht schwer, es mündlich zu sehen: linke Grenze:, rechte Grenze: und offensichtlich ist die Ordinate des Mittelpunkts 0,5.

Aufgrund der Periodizität der Summe muss das Bild in benachbarte Perioden „multipliziert“ werden, insbesondere auf den Intervallen und dasselbe darstellen. In diesem Fall konvergiert die Fourier-Reihe an den Punkten gegen die Medianwerte.

Eigentlich gibt es hier nichts Neues.

Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Ein ungefähres Beispiel für feines Design und Zeichnen am Ende der Lektion.

Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine beliebige Periode

Für eine beliebige Expansionsperiode, bei der "el" eine beliebige positive Zahl ist, unterscheiden sich die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten in einem etwas komplizierten Sinus- und Cosinus-Argument:

Wenn , dann erhalten wir die Formeln für das Intervall, mit dem wir begonnen haben.

Der Algorithmus und die Prinzipien zur Lösung des Problems bleiben vollständig erhalten, aber die technische Komplexität der Berechnungen nimmt zu:

Beispiel 4

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe und zeichnen Sie die Summe.

Entscheidung: in der Tat ein Analogon von Beispiel Nr. 3 mit Ruptur 1. Art am Punkt . In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Die Funktion ist nur auf dem Halbintervall definiert, aber das ändert nichts - es ist wichtig, dass beide Teile der Funktion integrierbar sind.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe:

Da die Funktion am Ursprung unstetig ist, sollte jeder Fourier-Koeffizient offensichtlich als Summe zweier Integrale geschrieben werden:

1) Ich schreibe das erste Integral so detailliert wie möglich:

2) Schauen Sie vorsichtig in die Oberfläche des Mondes:

Zweites Integral Teile aufnehmen:

Worauf sollten Sie genau achten, nachdem wir die Fortsetzung der Lösung mit einem Sternchen geöffnet haben?

Erstens verlieren wir das erste Integral nicht , wo wir sofort ausführen unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Zweitens, vergessen Sie nicht die unglückselige Konstante vor den großen Klammern und Lassen Sie sich nicht von Zeichen verwirren bei Verwendung der Formel . Große Klammern ist es schließlich bequemer, sie gleich im nächsten Schritt zu öffnen.

Der Rest ist eine Frage der Technik, nur unzureichende Erfahrung beim Lösen von Integralen kann zu Schwierigkeiten führen.

Ja, es war nicht umsonst, dass die bedeutenden Kollegen des französischen Mathematikers Fourier empört waren - wie konnte er es wagen, Funktionen in trigonometrische Reihen zu zerlegen?! =) Wahrscheinlich interessiert sich übrigens jeder für die praktische Bedeutung der jeweiligen Aufgabe. Fourier selbst arbeitete an einem mathematischen Modell der Wärmeleitung, und in der Folge begann man mit der nach ihm benannten Reihe viele periodische Prozesse zu untersuchen, die in der Außenwelt scheinbar unsichtbar sind. Jetzt habe ich mich übrigens dabei ertappt, dass ich den Graphen des zweiten Beispiels nicht zufällig mit einem periodischen Herzrhythmus verglichen habe. Interessierte können sich mit der praktischen Anwendung vertraut machen Fourier-Transformationen aus Drittquellen. ... Obwohl es besser ist, es nicht zu tun - es wird als First Love in Erinnerung bleiben =)

3) Angesichts der immer wieder erwähnten Schwachstellen behandeln wir den dritten Koeffizienten:

Teilweise integrieren:

Wir setzen die gefundenen Fourier-Koeffizienten in die Formel ein , ohne zu vergessen, den Nullkoeffizienten zu halbieren:

Lassen Sie uns die Summe der Reihe zeichnen. Lassen Sie uns den Vorgang kurz wiederholen: Auf dem Intervall bauen wir eine Linie und auf dem Intervall - eine Linie. Bei einem Nullwert von "x" setzen wir einen Punkt in die Mitte des "Sprungs" der Lücke und "replizieren" das Diagramm für benachbarte Perioden:

An den "Verbindungspunkten" der Perioden ist die Summe auch gleich den Mittelpunkten des "Sprungs" der Lücke.

Bereit. Ich erinnere Sie daran, dass die Funktion selbst nur im Halbintervall bedingt definiert ist und offensichtlich mit der Summe der Reihen in den Intervallen übereinstimmt

Antworten:

Manchmal ist eine stückweise gegebene Funktion auch auf der Expansionsperiode stetig. Das einfachste Beispiel: . Entscheidung (Siehe Bohan Band 2) ist dasselbe wie in den beiden vorherigen Beispielen: trotz Funktionskontinuität am Punkt wird jeder Fourier-Koeffizient als Summe zweier Integrale ausgedrückt.

In der Trennungspause Unstetigkeitsstellen 1. Art und/oder "Knoten"-Punkte des Graphen können mehr sein (zwei, drei und im Allgemeinen beliebige Finale Menge). Wenn eine Funktion auf jedem Teil integrierbar ist, dann ist sie auch in einer Fourier-Reihe erweiterbar. Aber aus praktischer Erfahrung erinnere ich mich nicht an eine solche Dose. Trotzdem gibt es schwierigere Aufgaben als gerade betrachtet, und am Ende des Artikels gibt es für alle Links zu Fourier-Reihen mit erhöhter Komplexität.

In der Zwischenzeit entspannen wir uns, lehnen uns in unseren Stühlen zurück und betrachten die endlosen Weiten der Sterne:

Beispiel 5

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall und zeichnen Sie die Summe der Reihen.

In dieser Aufgabe ist die Funktion kontinuierlich auf dem Zersetzungshalbintervall, was die Lösung vereinfacht. Alles ist sehr ähnlich zu Beispiel Nr. 2. Es gibt kein Entkommen aus dem Raumschiff - Sie müssen sich entscheiden =) Ein ungefähres Designbeispiel am Ende der Lektion, der Zeitplan ist beigefügt.

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen

Bei geraden und ungeraden Funktionen wird die Problemlösung spürbar vereinfacht. Und deshalb. Kehren wir zur Erweiterung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine Periode von "zwei Pi" zurück und beliebiger Zeitraum "zwei Ales" .

Nehmen wir an, unsere Funktion ist gerade. Wie Sie sehen können, enthält der allgemeine Begriff der Reihe gerade Kosinusse und ungerade Sinusse. Und wenn wir eine GERADE-Funktion zerlegen, warum brauchen wir dann ungerade Sinus?! Lassen Sie uns den unnötigen Koeffizienten zurücksetzen: .

Auf diese Weise, Eine gerade Funktion wird nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe erweitert:

Soweit Integrale gerader Funktionenüber ein zu Null symmetrisches Integrationssegment verdoppelt werden, dann werden auch die übrigen Fourier-Koeffizienten vereinfacht.

Für Spanne:

Für ein beliebiges Intervall:

Lehrbuchbeispiele, die in fast jedem Lehrbuch für Analysis zu finden sind, beinhalten Erweiterungen von geraden Funktionen . Darüber hinaus haben sie sich in meiner persönlichen Praxis immer wieder getroffen:

Beispiel 6

Gegeben eine Funktion. Erforderlich:

1) Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe mit Punkt , wobei eine beliebige positive Zahl ist;

2) Schreiben Sie die Erweiterung des Intervalls auf, bauen Sie eine Funktion auf und stellen Sie die Gesamtsumme der Reihe graphisch dar.

Entscheidung: Im ersten Absatz wird vorgeschlagen, das Problem allgemein zu lösen, und das ist sehr praktisch! Es wird einen Bedarf geben - ersetzen Sie einfach Ihren Wert.

1) In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Im weiteren Verlauf, insbesondere beim Integrieren, wird "el" als Konstante betrachtet

Die Funktion ist gerade, was bedeutet, dass sie nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe expandiert: .

Fourier-Koeffizienten werden durch die Formeln gesucht . Achten Sie auf ihre absoluten Vorteile. Zunächst wird die Integration über das positive Segment der Erweiterung durchgeführt, was bedeutet, dass wir das Modul sicher loswerden , wobei nur "x" von zwei Stücken berücksichtigt wird. Und zweitens wird die Integration spürbar vereinfacht.