Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Функция вида , где называется квадратичной функцией .
График квадратичной функции – парабола .
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
То есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подытожим:
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом.
§ 1. Парабола
Парабола известна читателю из школьного курса математики как кривая, являющаяся графиком функции
(рис. 76). (1)
График любого квадратного трехчлена
также является параболой; можно посредством одного лишь сдвига системы координат (на некоторый вектор ОО), т. е. преобразования
достигнуть того, чтобы график функции (во второй системе координат) совпадал с графиком (2) (в первой системе координат).
В самом деле, произведем подстановку (3) в равенство (2). Получим
Мы хотим подобрать так, чтобы коэффициент при и свободный член многочлена (относительно ) в правой части этого равенства были равны нулю. Для этого определяем из уравнения
что и дает
Теперь определяем из условия
в которое подставляем уже найденное значение . Получим
Итак, посредством сдвига (3), в котором
мы перешли к новой системе координат, в которой уравнение параболы (2) получило вид
(рис. 77).
Вернемся к уравнению (1). Оно может служить определением параболы. Напомним ее простейшие свойства. Кривая имеет ось симметрии: если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка симметричная точке М относительно оси ординат, также удовлетворяет уравнению (1) - кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 76).
Если , то парабола (1) лежит в верхней полуплоскости , имея с осью абсцисс единственную общую точку О.
При неограниченном возрастании модуля абсцисс ордината также неограниченно возрастает. Общий вид кривой дай на рис. 76, а.
Если (рис. 76, б), то кривая расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс к кривой .
Если перейти к новой системе координат, полученной из старой заменой положительного направления оси ординат на противоположное, то парабола, имеющая в старой системе уравнение , получит в новой системе координат уравнение у . Поэтому при изучении парабол можно ограничиться уравнениями (1), в которых .
Поменяем, наконец, названия осей, т. е. перейдем к иовой системе координат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс - старая ось ординат. В этой новой системе уравнение (1) запишется в виде
Или, если число - обозначить через , в виде
Уравнение (4) называется в аналитической геометрии каноническим уравнением параболы; прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (4), называется канонической системой координат (для этой параболы).
Сейчас мы установим геометрический смысл коэффициента . Для этого берем точку
называемую фокусом параболы (4), и прямую d, определенную уравнением
Эта прямая называется директрисой параболы (4) (см. рис. 78).
Пусть - произвольная точка параболы (4). Из уравнения (4) следует, что Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число
Расстояние точки М от фокуса F есть
Но , поэтому
Итак, все точки М параболы равноудалены от ее фокуса и директрисы:
Обратно, каждая точка М, удовлетворяющая условию (8), лежит на параболе (4).
В самом деле,
Следовательно,
и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,
Мы доказали, что каждая парабола (4) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и от директрисы d этой параболы.
Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффициента в уравнении (4): число равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы.
Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d.
Для этого проведем через точку F прямую g (рис. 79), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние (т. е. расстояние между точкой F и прямой d) обозначим через .
Прямую g превратим в ось, прнняв на ней направление DF в качестве положительного. Эту ось сделаем осью абсцисс прямоугольной системы координат, началом которой является середина О отрезка
Тогда и прямая d получает уравнение .
Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы:
причем точка F будет фокусом, а прямая d - директрисой параболы (4).
Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы).
Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через , мы можем всегда найти прямоугольную систему координат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид:
Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой прямоугольной системе координат, является параболой (в только что установленном геометрическом смысле).
Расстояние между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром, или просто параметром параболы.
Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы - это вытекает из того, что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, относительно которой уравнение параболы имеет вид (4).
Если точка удовлетворяет уравнению (4), то этому уравнению удовлетворяет и точка , симметричная точке М относительно оси абсцисс.
Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы; она является началом системы координат, канонической для данной параболы.
Дадим еще одно геометрическое истолкование параметра параболы.
Проведем через фокус параболы прямую, перпендикулярную к оси параболы; она пересечет параболу в двух точках (см. рис. 79) и определит так называемую фокальную хорду параболы (т. е. хорду, проходящую через фокус параллельно директрисе параболы). Половина длины фокальной хорды и есть параметр параболы.
В самом деле, половина длины фокальной хорды есть абсолютная величина ординаты любой из точек , абсцисса каждой из которых равна абсциссе фокуса, т. е. . Поэтому для ординаты каждой из точек имеем
что и требовалось доказать.
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
y 2 = 2 * p * x,
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
- x 0 = -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
Пример.
Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Для такой линии:
- х = -16 / (2 * 4) = -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Получаем координаты вершины (-2, -41).
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Имеем: b = 2, c = 3.
Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
- Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
- Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
D = (b 2 — 4 * a * c).
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
- D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
- D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.
Получаем алгоритм построения параболы:
- определить направление ветвей;
- найти координаты вершины;
- найти пересечение с осью ординат;
- найти пересечение с осью абсцисс.
Пример 1.
Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
- а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
- координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- с осью ординат пересекается в значении у = 4;
- найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
- ищем корни:
- Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).
Пример 2.
Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
- а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
- координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
- найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
- Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
- Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.
Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-
чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.
Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.
Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.
Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).
Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .
Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением
Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение
которое называют каноническим уравнением параболы .
Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.
Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).
Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).
В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).
Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.
