Имя: Евклид (Эвклид)

Годы жизни: примерно 325 год до н. э. – 265 год до н. э.

Государство: Древняя Греция

Сфера деятельности: Наука, Математика, Геометрия

Всем известно, что наука не вчера была изобретена – еще в древние времена выдающиеся умы открывали различные теоремы, теории, создавали новые элементы. Особым почетом пользовалась математика и астрономия. В этих науках преуспели и египтяне.

Сейчас невозможно представить себе математику без теоремы , без знаменитого открытия Архимеда в ванной. Был еще один грек, который внес ощутимый вклад в науку в целом. Его имя – Евклид.

Евклид (325 г. до н. э. – 265 г. до н. э.) — греческий математик. Он считается «отцом геометрии». Его учебник «Элементы» оставался весьма востребованным и точным пособием по математике до конца 19-го века и является одним из наиболее широко опубликованных книг в мире. Но что же можно сказать про самого автора? К сожалению, немного. Сведения о его жизни крайне скудны и зачастую неправдоподобны.

Биография Евклида

Евклид родился в середине 4-го века до нашей эры и жил в Александрии, на территории ; пик его творческой деятельности пришелся на время правления (323-283 до н.э), а его имя Евклид означает «известный, славный». В некоторых источниках он также упоминается, как Евклид Александрийский.

Вероятно, Евклид работал с командой математиков в Александрии, и он получил степень при помощи его математических работ. Некоторые историки считают, что работы Евклида, возможно, были результатом нескольких авторов, но большинство согласны с тем, что один человек – Евклид – был главным автором.

Вполне вероятно, что Евклид учился в Академии в Афинах, и большая часть его знаний пришла оттуда. Именно там он впервые познакомился с математикой, а именно с одной ее частью – геометрией.

Современники описывали его, как доброго, приятного в общении человека. Например, историк Папп пишет, что Евклид был

«.. наиболее справедливым и благожелательным по отношению ко всем, кто смог в какой-либо мере продвинуть математику. Он осторожно отзывался, чтобы никоим образом не причинить обиду. И хотя он был великим ученым, никогда не хвастался сам».

О личной жизни математика неизвестно – почти все время он посвящал науке.

Постулаты Евклида

Его главная книга «Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала базовой работой важных математических учений. Она разделена на 13 отдельных книг.

• Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
• Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
• Книга восьмая о геометрической прогрессии
• Книга десятая посвящена иррациональным числам
• Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

Алгоритм Евклида

Используя лемму Евклида, эта теорема утверждает, что каждое целое число больше единицы либо само по себе простое число, либо произведение простых чисел и что существует определенный порядок простых чисел.

«Если два числа, умножая одно на другое, составляют некоторое число, и любое число, которое делится на их произведение, также будет делиться на каждое из исходных чисел».

Евклидов алгоритм - эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, наибольшего числа, которое делит их оба, не оставляя остатка.

Геометрия Евклида

Евклид описал систему геометрии, связанную с формой, относительным положением и свойствами пространства. Его работа известна как евклидова геометрия. Предполагается, что пространство имеет размерность, равную трем.

Иногда его труд «Элементы» сравнивают с Библией – в том смысле, что его работа переведена на множество языков и в прямом смысле стала настольной книгой многих ученых и математиков последующих веков.

Помимо геометрии, Евклид исследовал и другие отрасли математики. Однако стоит признать, что вклад Евклида в науку огромен – без него, наверно, математика не смогла бы настолько раскрыться перед учеными. Его имя неразрывно связано с геометрией, изучением пространства.

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης , от «добрая слава» , время расцвета - около 300 года до н. э.) - древнегреческий математик , автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала ; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии» .

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола , раз он хочет извлекать прибыль из учёбы» . Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар .

  Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала » Аполлония . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира …

  В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых .

  «Начала » Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала . Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским , Леонтом и Февдием . Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского . В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским , а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа , доказывается бесконечность множества простых чисел . В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал , строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский . XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский . Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским .

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского , строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда , Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон , Порфирий , Папп , Прокл , Симпликий . Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα ) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (περὶ διαιρέσεων ) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα ) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά ) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα ) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά );
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία ) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  Евклид и античная философия

  Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

  Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами , что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

  Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

  Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике , Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю , такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля : «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

  Псевдо-Евклид

  Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (

  Купчинские юношеские чтения «Наука. Творчество. Поиск».
  Секция «Математика»

  «Евклид и его вклад в науку»

  Работу выполнил ученик 6 «Б» класса
  Суровегин Николай
  Руководитель: Васильева
  Дарья Геннадьевна

  Санкт-Петербург 2008

  I. Введение…………………………………….…3

  II. Математика в Древней Греции……………..4

  III. Биография Евклида……………………….….5

  IV. Алгоритм Евклида……………………………8

  V. Аксиоматика....……………………………….11

  VI. Евклидова геометрия и V постулат………..12

  VII. Начала…………………………………………19

  VIII. Задачи из начал Евклида…………………...22

  IX. Решение задач………………………………..23

  X. Ссылки на информационные источники…...24

  XI. Заключение…………………………………..25

  I. Введение

  В этом реферате я постараюсь рассказать вам всё, что я знаю о великом древнегреческом математике Евклиде. Идея написать именно про него пришла мне в голову после того, как я узнал об алгоритме Евклида. Этот ученый, очень много сделал для алгебры и геометрии, и его открытиями мы пользуемся постоянно. В реферате также есть практические задачи из начал, книг Евклида.

  Глава II.
  Математика в Древней Греции

  Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всём человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретённых человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретённых человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершённого цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках.

  Глава I I I Биография Евклида

  ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

  БИОГРАФИЯ

  Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

  ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

  Главные труды Эвклида "Начала" (латинизированное назв.- "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В "Началах" Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение "Начал" Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики . Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482г. "Начала" Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

  "Начала"

  Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

  Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т. д.

  За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
  1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
  2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
  3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
  4) и что все прямые углы равны между собой;
  5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

  Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

  Теория пропорций, разработанная в книге V, одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

  В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII, VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т. д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т. е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

  Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

  Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

  ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

  Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Не сохранилась педагогическая работа Эвклида "О ложных заключениях" (в математике). Эвклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке.

  ЗАСЛУГИ ЕВКЛИДА

  ЕВКЛИДА ТЕОРЕМА о простых числах: множество простых чисел является бесконечным ("Начала" Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. закон распределения простых чисел.

  ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к-рой было дано в "Началах" Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых "точками", "прямыми", "плоскостями"; отношениями между ними: принадлежности, порядка ("лежать между"), конгруэнтности (или понятием движения); непрерывностью. Особое место в аксиоматике Е. г. занимает, аксиома о параллельных (пятый постулат). Первая достаточно строгая аксиоматика Ё. г. была предложена Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. Гильберта система аксиом). Существуют модификации системы аксиом Гильберта и другие варианты аксиоматики Е. г. Напр., в векторно-точечной аксиоматике за одно из основных понятий принято понятие вектора; в основу аксиоматики Е. г. может быть положено отношение симметрии (см. ).

  ЕВКЛИДОВО ПОЛЕ - упорядоченное поле, в к-ром каждый положительный элемент является квадратом. Напр., поле R действительных чисел - Е. п. Поле Q рациональных чисел не является Е. п. в. Л. Попов.

  ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства к-рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п.- конечномерное действительное векторное пространство Rn со скалярным произведением (х, у), х, к-рое в надлежащим образом выбранных координатах (декартовых) выражается формулой

  Глава I V Алгоритм Евклида

  Алгори́тм Евкли́да - алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Этот агоритм применим также для нахождения наибольшего общего делителя многочленов, кольца в которых применим алгоритм Евклида получили название Евклидовы кольца.

  Евклид описал его в VII книге и в X книге «Начал». В обоих случаях он дал геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков. Алгоритм Евклида был известен в древнегреческой математике по крайней мере за век до Евклида под названием «антифайресис» - «последовательное взаимное вычитание».

  Алгоритм Евклида для целых чисел

  Пусть a и b суть целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

  определена тем, что каждое rk это остаток от деления пред-предыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, т. е.

  a = bq 0 + r 1

  b = r 1q 1 + r 2

  r 1 = r 2q 2 + r 3

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image004_176.gif" width="47" height="20">, доказывается индукцией по m .

  Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

  Пусть a = bq + r , тогда (a ,b ) = (b ,r ). (0,r ) = r . для любого ненулевого r . Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу

  Формулы для ri могут быть переписаны следующим образом:

  r 1 = a + b (- q 0)

  r 2 = b − r 1q 1 = a (− q 1) + b (1 + q 1q 0)

  margin-top:0cm" type="disc"> Отношение a / b допускает представление в виде цепной дроби:

  .

  Отношение - t / s , в расширенном алгоритме Евклида допускает представление в виде цепной дроби:

  .

  Вариации и обобщения

  Кольца в которых применим алгоритм Евклида называются евклидовыми кольцами, к ним относятся в частности кольцо многочленов..

  Ускоренные версии алгоритма

  Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является выбор симметричного остатка :

  

  Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. При применении стратегии Divide & Conqurer наблюдается большое ускорение асимптотической скорости алгоритма.

  Глава V .
  Аксиоматика

  Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα - утверждение, положение) или постулат - утверждение, принимаемое без доказательства.

  Аксиоматизация теории - явное указание конечного набора аксиом. Утверждения, вытекающие из аксиом, называются теоремами.

  Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

  Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию. Аксиомы являются своего рода "точками отсчёта" для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта).

  Впервые термин «аксиома» встречается у Аристо-322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времен Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы - как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

  Глава VI . Евклидова геометрия и V постулат

  Евкли́дова геоме́трия (старое произношение - «Эвклидова») - привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида. В его книге «Начала», в частности систематически описывается геометрия евклидовой плоскости.

  Аксиоматизация

  Аксиомы, приведённые Евклидом в «Началах», таковы:

  Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую. Вдоль любого отрезка можно провести прямую. Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок - радиус, а один из его концов - центр окружности. Все прямые углы равны. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

  Чтобы определить трёхмерное евклидово пространство, нужно ещё несколько аксиом. Существуют и другие, современные аксиоматизации.

  Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии - одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. Первую такую полную систему аксиом создал Д. Гильберт в 1899 г, она уже состоит из 20 аксиом разбитых на 5 групп.

  Аксиома параллельности Евклида или пятый постулат - одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида .

  И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

  Евклид различает понятия постулат и аксиома , не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

  На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

  Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

  В школьных учебниках обычно приводится другая формулировка, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу :

  margin-top:0cm" type="disc"> Существует прямоугольник (хотя бы один ), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые. Существуют подобные, но не равные треугольники. Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Существует треугольник как угодно большой площади. Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Существуют такие прямые, что расстояние от точек одной до другой постоянно. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону) расходиться. Сумма углов одинакова у всех треугольников. Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу. Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую. Для всякого треугольника существует описанная окружность. Справедлива теорема Пифагора.

  Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

  В неевклидовых геометриях вместо V постулата используется иная аксиома, что позволяет создать альтернативную, внутренне логически непротиворечивую систему. Например, в геометрии Лобачевского формулировка такая: «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с данной ». А в сферической геометрии, где аналогами прямых выступают большие круги, параллельные прямые вообще отсутствуют.

  Понятно, что в неевклидовой геометрии все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

  Попытки доказательства

  Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных (см. Начала Евклида). Он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

  Математики с давних времён пытались „улучшить Евклида“ - либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны ) действительно оказался лишним - он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.

  За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

  Первое дошедшее до нас упоминание о такой попытке сообщает, что этим занимался Клавдий Птолемей, но детали его доказательства неизвестны. Прокл (V век н. э.) приводит собственное доказательство, опираясь на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.

  После упадка античной культуры V постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство аль-Аббаса аль-Джаухари, ученика аль-Хорезми (IX век) , неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно V постулату.

  Сабит ибн Курра (IX век) дал 2 доказательства; в первом он опирается на предположение, что если две прямые удаляются друг от друга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. Во втором - исходит из существования равноотстоящих прямых, причём этот факт ибн Курра пытается вывести из представления о "простом движении", т. е. о равномерном движении на фиксированном расстоянии от прямой (ему представляется очевидным, что траектория такого движения - тоже прямая) . Каждое из двух упомянутых утверждений Ибн Курры эквивалентно V постулату.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image011_109.gif" width="180" height="229">

  Сочинение Саккери

  Глубокое исследование V постулата, основанное на совершенно оригинальном принципе, провёл в 1733 г. итальянский монах-иезуит, преподаватель математики Джироламо Саккери. Он опубликовал труд под названием "Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии ". Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив "ложную геометрию", и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного .

  Саккери рассматривает всё те же три гипотезы о 4-м угле четырехугольника Ламберта. Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив - ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает » .

  Поcле этого Саккери переходит к опровержению „гипотезы острого угла“, и здесь его исследование гораздо интереснее. Он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Сам того не подозревая, он продвигается довольно далеко в построении геометрии Лобачевского. Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в "ложной геометрии" любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии » .

  Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого „доказательства“, потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту - геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери знает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем ».

  Во второй половине XVIII века было опубликовано более 50 работ по теории параллельных. В обзоре тех лет () исследуется более 30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана посмертно в 1786 г.

  Сферическая геометрия: все прямые пересекаются

  Ламберт первым обнаружил, что „геометрия тупого угла“ реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из „гипотезы острого угла“ множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

  В своей книге Ламберт проницательно отметил:

  Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод - заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддается опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image014_44.jpg" width="180" height="135">

  Лобачевский и Бойяи проявили бо́льшую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (около 1830 г.), независимо друг от друга, опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского. Как профессионал высокого класса, Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она по праву носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить V постулат, измерив сумму углов треугольника) .

  Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого остракизму в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны. Но и его борьба была не напрасна. Спустя несколько десятилетий математики (Бернхард Риман), а затем и физики (Общая теория относительности, Эйнштейн), окончательно покончили с догматом об евклидовой геометрии физического пространства.

  Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели - тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна и другие модели, реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом, и доказать его невозможно. Многовековая драма идей завершилась.

  Глава VII. Начала Евклида.

  Греческий текст Начал.

  При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты Начал Евклида. Самый известный был найден на развалинах древнего города Oxyrhynchus, вблизи современной деревни Behnesa (примерно в 110 милях вверх по Нилу от Каира и в 10 милях к западу от него) в и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image016_37.jpg" width="292" height="230 src=">.jpg" width="291" height="229 src=">

  краткая биография Евклида

  1. Родился. Пожил. Умер.
  2. В научной жизни эпохи эллинизма особенно плодотворно развивались отрасли знаний естественного направления: физика, астрономия, землеведение, тесно связанные с математикой и геометрией. К числу самых прославленных эллинистических геометров и математиков относился знаменитый Евклид.

     Биография Евклида известна очень плохо. В молодости он, возможно, обучался в афинской Академии, которая была не только философской, но и математической и астрономической школой (к Академии примыкал Евдокс Книдский). Затем Евклид жил в Александрии при Птолемеях I и II. Так что биография Евклида проходила преимущественно в первой половине III в. до н. э. Живший много веков позднее неоплатоник Прокл рассказывает, что когда Птолемей I спросил Евклида, заглянув в его главный труд, нет ли более короткой дороги к геометрии, то Евклид якобы гордо ответил царю, что науке нет царского пути.

     Евклиду принадлежат такие фундаментальные исследования, как Оптика и Диоптрика. В своей оптике Евклид исходил из пифагорейской теории, согласно которой лучи света прямые линии, простирающиеся от глаза к воспринимаемому предмету.

     Евклид
     математик
     Древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э. Википедия
     Родился: 365 г. до н. э., Афины
     Умер: Александрия, Эллинистический Египет
     Чем известен: Отец Геометрии

  3. пееееееееееппппа
  4. одился в Афинах (по другим данным, в Тире). О жизни учного наверняка известно лишь то, что он был учеником Платона, а расцвет его деятельности пришлся на время царствования в Египте Птолемея I Сотера (IV в. до н. э.).
     Имя Евклида упоминается в письме Архимеда к друзьям, например к философу Досифею (О шаре и цилиндре). Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII в.: Евклид, сын Наукрата, известный под именем Геометра, учный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира.
     Во времена Птолемея Александрия, столица Египетского царства, была крупным культурным центром чтобы возвеличить сво государство, Птолемей призвал в страну учных и поэтов, создав для них храм муз Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономическая башня, комнаты для уединнной работы и главное великолепная Александрийская библиотека.
     В числе приглашнных оказался и Евклид, основавший здесь математическую школу и создавший для своих учеников фундаментальный труд по геометрии под общим названием Начала (около 325 г. до н. э.). В нм изложены основы планиметрии, стереометрии, теории чисел, алгебры, описаны методы определения площадей и объмов и т. д.
     Начала состоят из 15 книг. Частично они представляют собой обработку трактатов греческих математиков VIV вв. до н. э. Ни одна научная книга не пользовалась такой популярностью, - говорили даже, что после Библии это самый популярный письменный памятник древности. Начала копировали на папирусе; пергаменте, бумаге, а потом и типографским способом (впервые в 1533 г. в Базеле, Швейцария). Вплоть до XX в. книга считалась базовым учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.
     Ещ одно значительное сочинение Евклида Данные представляет собой введение в геометрический анализ. Учному принадлежат также Явления (посвящены элементарной сферической астрономии), Оптика (содержит учение о перспективе) и Катоптрика (излагает теорию отражений в зеркалах), небольшой трактат Сечения канона (включает десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур О делениях (дошл до нас в арабском переводе).
     Умер Евклид предположительно в Александрии.

  Античный математик и философ Евклид жил в 3 веке до нашей эры. И математиком он был действительно выдающимся – не только для своего времени, но и для современности. Ведь та самая геометрия, которую сегодня изучают школьники всего мира, носит название евклидовой. Она базируется на пяти аксиомах, выведенных именно им. Без преувеличения, этот ученый заложил фундамент современной геометрии и во многом – математики как науки.

  И наверняка многим будет интересно узнать некоторые занимательные факты из жизни Евклида.
  
  

  Откуда и когда

  Примечательно, что доподлинно не известно, когда именно и в каком месте родился Евклид. По скудным записям из арабских книг 12-го века можно судить, что отца его звали Наукрат, а сам будущий великий математик родился в Греции.

  Предполагается, что свое образование он начал получать Академии Платона, при входе в которую, кстати, была надпись: «Никогда не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

  Впрочем, и обстоятельства и даже точная дата смерти Евклида также покрыты тайной: предполагается, что это печальное событие произошло не позднее 265 года до нашей эры.

  Царские пути

  Одна из самых известных легенд о Евклиде дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию по «Началам» Евклида. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что Евклид произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».
  

  Выгодная наука

  Также известен случай, когда один ученик поинтересовался у знаменитого математика, чем ему может оказаться выгодной геометрия в жизни. На что Евклид подозвал слугу и велел дать ученику три обола (денежная единица), сказав при этом:

  — Дай ему денег, раз ему хочется только прибыли от науки.

  Множество Начал

  Интересно, что «Начала» Евклида не были единственными «Началами» и до него. Прежде многие ученые писали научные труды, и носили они название именно «Начала». Однако только Евклидовы стали знамениты в веках.

  Но великий геометр не строил свои труда на абсолютно пустом месте. Справедливости ради, стоит отметить, что многие из его теорем строились на базе уже имевшихся в то время знаний. Но Евклид собрал их воедино, классифицировал и смог обосновать с научной точки зрения.

  По строгой логической цепочке

  Именно в своих «Началах» Евклид сделал то, что сегодня кажется само собой разумеющимся: он стал основывать все свои выводы на цепочке строгих логических выводов. При этом он считал важным, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать из пустого места, поскольку при этом она может никогда и не закончиться. Должно быть, с этим связано и само название его научного труда. Но, поскольку добраться до самого начального суждения было весьма трудно, Евклид сам сформулировал свои знаменитые аксиомы – утверждения, не требующие доказательств. И только на этих аксиомах ему удалось вывести все остальные доказательства и теоремы.
  
  

  Платон мне друг

  Как уже было сказано, Евклид обучался в школе у самого Платона. Не удивительно, что и по философским своим суждениям он относился к так называемым платоником. В частности, он полагал, что в основе всего лежат четыре элемента – вода, воздух, земля и огонь.

  Недоказанные труды Евклида

  Арабы – да и не только они – часто приписывают Евклиду и прочие труды во многих областях знаний, начиная от музыки и заканчивая медициной. Например, фундаментальный труд по теории музыки «Гармоника», а также «Деление канонов». Однако уже в наше время было доказано, что никакого отношения математик к данным трудам не имеет. Скорее всего, автором их был пифагореец Клеонид. Хотя и это доподлинно не известно.

  Добрая математика

  Другой древний математик – Папп – сообщает, что Евклид был необычайно мягок и добр по отношению к тем, кто, во-первых, мог бы помочь в распространении математики как науки, а во-вторых, если видел, что человек действительно испытывает тягу к геометрии. Он был способен даже изменить свое мнение о том или ином человеке, если вдруг узнавал, что того интересует или наоборот – не интересует – математика.

  И музей, и библиотека

  Также известно, что Евклид на рубеже третьего столетия до нашей эры организовывал открытие музея и библиотеки в городе Александрии. Здесь же он совершил впоследствии множество своих открытий. Кроме того, и музей, и библиотека при Евклиде играли роль древних научных центров.
  

  «Вечная» книга

  Подчиняясь школе Платона, Евклид полагал, что все, что он излагает в своих «Началах» не только не подвергается сомнению, но и будет существовать вечно. Как бы то ни было, но более 2 тысяч лет именно по трудам Евклида ученики осваивают премудрости геометрии.

  Неевклидова геометрия

  И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной – о параллельных прямых.

  Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире – Евклидова, Римана и Лобачевского.

  Так ли это было, как описывают некоторые истории о Евклиде, а, может, и вовсе ничего подобного не было – не столь уж важно. Автор «Математических начал» навечно вписал свое имя в анналы науки, там он и останется – наряду с такими гениями, как Ньютон, Галилей, Сократ или Пифагор.