То́чка - абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
Точка в евклидовой геометрии
Евклид определил точку как «объект, не имеющий частей». В современной аксиоматике евклидовой геометрии точка является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств - аксиомами.
В выбранной системе координат любую точку двумерного евклидова пространства можно представить как упорядоченную пару (x ; y ) действительных чисел. Аналогично, точку n -мерного евклидова пространства (а также векторного или аффинного пространства) можно представить как кортеж (a 1 , a 2 , … , a n ) из n чисел.
Ссылки
- Point (англ.) на сайте PlanetMath.
- Weisstein, Eric W. Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
точка это:
точка то́чка сущ. , ж. , употр. очень часто Морфология: (нет) чего? то́чки , чему? то́чке , (вижу) что? то́чку , чем? то́чкой , о чём? о то́чке ; мн. что? то́чки , (нет) чего? то́чек , чему? то́чкам , (вижу) что? то́чки , чем? то́чками , о чём? о то́чках 1. Точка - это маленькое круглое пятнышко, след от прикосновения чем-либо острым или пишущим.Узор из точек. | Точка от укола. | Город на карте указан маленькой точкой и о наличии объездной дороги остаётся только догадываться.
2. Точка - это что-то очень маленькое, плохо видимое из-за удалённости или по другим причинам.
Точка на горизонте. | Когда шар приблизился к горизонту в западной части неба, он стал медленно уменьшаться в размерах, пока не превратился в точку.
3. Точка - знак препинания, который ставится в конце предложения или при сокращении слов.
Поставить точку. | Не забудьте поставить точку в конце предложения
4. В математике, геометрии и физике точка - это единица, имеющая положение в пространстве, граница отрезка линии.
5. Точкой называют определённое место в пространстве, на местности или на поверхности чего-либо.
Точка размещения. | Болевая точка.
6. Точкой называют место, где расположено или осуществляется что-либо, определённый узел в системе или сети каких-либо пунктов.
Каждая торговая точка должна иметь свою вывеску.
7. Точкой называют предел развития чего-либо, определённый уровень или момент в развитии.
Наивысшая точка. | Точка в развитии. | Состояние дел достигло критической точки. | Это высшая точка проявления духовной силы человека.
8. Точкой называют температурный предел при котором наступает превращение вещества из одного агрегатного состояния в другое.
Точка кипения. | Точка замерзания. | Точка плавления. | Чем больше высота, тем ниже точка кипения воды.
9. Точкой с запятой (;) называют знак препинания, употребляемый для разделения распространенных, более самостоятельных частей сложносочиненного предложения.
В английском языке используются практически те же самые знаки препинания, что и в русском: точка, запятая, точка с запятой, тире, апостроф, скобки, многоточие, вопросительный и восклицательный знаки, дефис.
10. Когда говорят о точке зрения , имеют в виду чьё-либо мнение об определённой проблеме, взгляд на вещи.
Менее популярна теперь другая точка зрения, ранее почти общепризнанная. | Эту точку зрения в наше время не разделяет никто.
11. Если о людях говорят, что у них есть точки соприкосновения , значит, у них есть общие интересы.
Возможно, нам удастся найти точки соприкосновения.
12. Если о чём-то говорится точка в точку , имеется в виду абсолютно точное соответствие.
Точка в точку в том месте, где было указано, стояла кофейного цвета машина.
13. Если о каком-то человеке говорят, что он дошёл до точки , значит, он достиг крайнего предела в проявлении каких-то отрицательных качеств.
Мы дошли до точки! Так больше жить нельзя! | Не скажешь ведь ему, что спецслужбы дошли до точки под его мудрым руководством.
14. Если кто-то ставит точку в каком-то деле, значит, он прекращает его.
Тогда он вернулся из эмиграции на родину, в Рос сию, в Советский Союз, и этим поставил точку под всеми своими исканиями и раздумьями.
15. Если кто-то ставит точки над «и» (или над i ), значит, он доводит дело до логического конца, не оставляет ничего недосказанного.
Давайте расставим все точки над i. Я ничего не знал о вашей самодеятельности.
16. Если кто-то бьёт в одну точку , значит, он сосредоточил все силы на достижении одной цели.
Оттого-то его изображения так отчётливы; он всегда бьёт в одну точку, никогда не увлекаясь второстепенными подробностями. | Он очень хорошо понимает, какова задача его бизнеса, и целенаправленно бьёт в одну точку.
17. Если кто-то попал в точку , значит, он сказал или сделал именно то, что нужно, угадал.
Первое же письмо, которое пришло на очередной тур конкурса, приятно удивило редакцию - в одном из перечисленных вариантов наш читатель сразу же попал в точку!
то́чечный прил.Точечный массаж.
Толковый словарь русского языка Дмитриева. Д. В. Дмитриев. 2003.
Точка
То́чка может означать:
В Викисловаре есть статья «точка»- Точка - абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик, кроме координат.
- Точка - диакритический знак, который может ставиться над, под или в середине буквы.
- Точка - единица измерения расстояния в русской и английской системах мер.
- Точка - одно из представлений десятичного разделителя.
- Точка (сетевые технологии) - обозначение корневого домена в иерархии доменов глобальной сети.
- Точка - сеть магазинов электроники и развлечений
- Точка - альбом группы «Ленинград»
- Точка - российский кинофильм 2006 года по одноимённой повести Григория Ряжского
- Точка - второй студийный альбом рэп-исполнителя Стена.
- Точка - дивизионный ракетный комплекс.
- Точка - Красноярский молодёжно-субкультурный журнал.
- Точка - клуб и концертная площадка в Москве.
- Точка - один из символов азбуки Морзе.
- Точка - место несения боевого дежурства.
- Точка (обработка) - процесс механической обработки, вытачивания, заострения.
- ТОЧКА - Информационно-аналитическая программа на НТВ.
- тОчка - рок группа из города Норильска основаная в 2012 году.
Топоним
Казахстан
- Точка - до 1992 г. название аула Баяш Утепов в Уланском районе Восточно-Казахстанской области.
Россия
- Точка - деревня в Шекснинском районе Вологодской области.
- Точка - деревня в Волотовском районе Новгородской области.
- Точка - село в Лопатинском районе Пензенской области.
Вы можете дать определение таких понятий, как точка и прямая?
В наших школах и вузах этих определений не было, хотя они ключевые на мой взгляд (не знаю как с этим в других странах) . Мы можем дать этим понятиям определение, "удачные и неудачные" и рассмотреть есть ли в этом польза для развития мышления.
Wrestler
Странно, а нам определение точки давали. Это абстрактный объект (условность), расположенный в пространстве, который не имеет размеров. Это первое, что нам вбили в голову еще в школе - у точки нет мерностей, это "нульмерный" объект. Условное понятие, как и все в геометрии.
С прямой еще сложнее. В первую очередь это линия. Во вторую очередь это множество точек, расположенных в пространстве определенным образом. В самом простом определении это линия, заданная двумя точками, через которые она проходит.
Медив
Точка это какой то абстрактный объект. Точка имеет координаты, но не имеет массы и размеров. В геометрии все начинается именно с точки это начало всех остальных фигур.(в письменности кстати тоже, без точки не будет и начала слова). Прямая линия это расстояние между двумя точками.
Леонид кутний
Определение можно дать чему угодно и как угодно. Но есть вопрос:будет ли это определение "работать" в конкретной науке? Исходя из того что имеем, нет смысла давать определение точки, прямой и плоскости. Мне очень понравились замечания Артура.Хочу добавить, что точка имеет много свойств: не имеет длины, ширины, высоты, не имеет массы и веса и т.д.Но главное свойство точки - это то, что она чётко указывает местоположение предмета, объекта на плоскости, в пространстве. Вот зачем нужна нам точка!Но, умный читатель скажет, что тогда за точку можно принять книгу, стул, часы и другую вещь. Абсолютно верно! Поэтому и нет смысла давать определение точки. С уважением, Л.А.Кутний
Прямая - одно из основных понятий геометрии.
Точка - знак препинания при письме во многих языках.
Ещё, точка - один из символов азбуки Морзе
Так то много определений:D
Определения точки, прямой, плоскости были даны мною ещё в конце 80-х начала 90-х годов 20 века. даю ссылку:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
В 328 страничном объёме описывается совершенно в новом аспекте познавательная сущность этих понятий, которые объясняются на основе реального физического мировоззрения и ощущения Я есть, значит "Я" существую, так же как существует и сама Вселенная к которой я принадлежу.
Всё написанное в данном произведении подтверждается знанием человечества о природе и её свойствах давно открытых и ещё только исследуемых на данный момент времени. Математика стала столь сложной в понимании и в осмыслении её для применения её абстрактных образов на практике технологических прорывов. Раскрыв Основания, которые являются первоосновами, можно объяснить даже ученику начальной школы причины заложенные в основу существования Вселенной. Читайте и приблизитесь ближе к Истине. Дерзайте, перед Вами открывается в новом свете Мир в котором мы существуем.
Существует ли определение понятия "точка" в математике, геометрии.
Mikhail levin
"неопределяемое понятие" - это определение?
Вообще-то именно неопределенность понятий и дает возможность применять математику к разным объектам.
Математик может даже сказать "под точкой я буду понимать евклидову плоскость, под плоскостью - евклидову точку" - проверить все аксиомы и получить новую геометрию или новые теоремы.
Дело в том, что, чтобы дать определение термину А, надо использовать термин Б. Чтобы определить Б, нужен термин В. И так далее до бесконечности. И чтобы спастись от этой бесконечности, приходится часть терминов принимать без определений и на них строить определения прочих. ©
Григорий пивень
В математике Пивень Григория Точка- это часть пространства, которая абстрактно (зеркально) принимается как минимальный отрезок длины, равный 1, который используется для измерения других частей пространства. А потому масштаб точки выбирает человек для удобства, для производительного процесса измерения: 1мм, 1см, 1м, 1км, 1а. е., 1 св. год. и т. д.
См. также: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Уже два с половиной тысячелетия в математике используется абстракция безразмерной точки, противоречащая не только здравому смыслу, но и знаниям об окружающем мире, добытым такими науками, как физика, химия, квантовая механика и информатика.
В отличии от остальных абстракций, абстракция безразмерной математической точки не идеализирует реальность, упрощая её познание, а заведомо искажает, придавая ей прямо противоположный смысл, чем, в частности, делает принципиально невозможным понимание и изучение пространств высшей размерности!
Использование абстракции безразмерной точки в математике можно сравнить с применением в экономических расчётах базовой денежной единицы с нулевой стоимостью. К счастью, в экономике до такого не додумались.
Докажем абсурдность абстракции безразмерной точки.
Теорема. Математическая точка объёмна.
Доказательство.
Так как в математике
Размер_точки = 0,
Для отрезка конечной (ненулевой) длины имеем
Размер_отрезка = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Полученный нулевой размер отрезка, как последовательности составляющих его точек, противоречит условию конечности длины отрезка. Кроме того, нулевой размер точки абсурден тем, что сумма нулей, не зависит от числа слагаемых, то есть количество «нулевых» точек в отрезке не влияет на размер отрезка.
Следовательно, исходное предположение о нулевом размере математической точки ОШИБОЧНО.
Таким образом, можно утверждать, что математическая точка имеет ненулевой (конечный) размер. Поскольку точка принадлежит не только отрезку, но и пространству, в котором находится отрезок, она имеет размерность пространства, то есть математическая точка объёмна. Что и требовалось доказать.
Следствие.
Приведенное выше доказательство, выполненное с привлечением математического аппарата младшей группы детского сада вселяет гордость за безграничную мудрость жрецов и адептов «царицы всех наук», сумевших пронести через тысячелетия и сохранить для потомков в первозданном виде архидревнее заблуждение человечества.
Рецензии
Уважаемый Александр! Я не силен в математике, но может быть ВЫ мне подскажете, где и кем утверждается, что точка равна нулю? Другое дело, она имеет бесконечно малую величину, вплоть до условности, но совсем не ноль. Таким образом можно считать нулем любой отрезок, поскольку найдется другой отрезок в котором содержится бесконечное множество первоначальный отрезков, грубо говоря. Может быть не надо путать математику и физику. Математика наука о сущем, физика о существующем. С уважением.
Про Ахиллеса я вспоминал дважды подробно и множество раз вскользь:
«Почему Ахиллес не догонит черепаху»
«Ахиллес и черепаха - парадокс в кубе»
Может быть одно из решений парадокса Зенона состоит в том, что пространство дискретно, а время непрерывно. Он считал, как возможно и Вы, что дискретно и то и другое. Тело может оставаться в какой-то точке пространства какое-то время. Но не может в какой-то момент времени одновременно пребывать в разных местах. Это все, конечно, дилетанщина, как и весь наш диалог. С уважением.
Кстати, если точка объемна, то каковы ее размеры?
Дискретность времени вытекает, например, из апории «Стрела». «Одновременно пребывать в разных местах» может только электрон у физиков, которые в принципе не понимают и не принимают ни структуру эфира, ни структуру 4-х мерного пространства. Других примеров такого феномена я не знаю. Я не усматриваю в нашей беседе никакой «дилетанщины». Наоборот, всё предельно просто: точка либо безразмерна, либо имеет размер; непрерывность и бесконечность либо существуют, либо нет. Третьего не дано – либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ! Фундаментальные основы математики, к сожалению, построены на ложных догматах, принятых по невежеству 2500 лет назад.
Размер точки зависит от условия решаемой задачи и от требуемой точности. Например, если проектируется шестерёнка для наручных часов, то точность можно ограничить размером атома, то есть восемью знаками в дробной части. Сам атом здесь будет физическим аналогом математической точки. Возможно, где-то потребуется точность до 16 знаков; тогда роль точки будет играть частица эфира. Заметьте, что разговоры о якобы «бесконечной» точности на практике оборачиваются диким бредом, или помягче, абсурдом.
Я так и не понял: точка существует? Если она существует объективно, следовательно имеет определенную величину физическую, если существует субъективно, в виде абстракции нашего ума, то обладает величиной математической. Ноль не имеет НИЧЕГО, его не существует, это абстрактное определение Несуществования в математике или пустоты в физике. Точка не существует сама по себе вне отношений. Как только возникает вторая точка, появляется отрезок - Нечто и т.д. Это тему можно развивать бесконечно. С ув.
Мне казалось, что я привёл наглядный пример, но, наверное, недостаточно подробный. Объективно существует Мир, который познаёт наука, причём в настоящее время познаёт преимущественно математическими методами. Математика познаёт мир путём построения математических моделей. Для построения этих моделей привлекаются базовые математические абстракции, в частности, такие как: точка, прямая, непрерывность, бесконечность. Эти абстракции потому являются базовыми, что дальше дробить и упрощать их уже невозможно. Каждая из базовых абстракций может быть либо адекватна объективной реальности (истинна), либо нет (ложна). Все перечисленные выше абстракции изначально ложны, потому что противоречат последним знаниям о реальном мире. Значит, эти абстракции препятствуют правильному пониманию реального мира. С этим можно было ещё как-то мириться, пока наука изучала 3-х мерный мир. Однако абстракции безразмерной точки и непрерывности делают непознаваемыми все миры высшей размерности в принципе!
Кирпичик мироздания - точка - не может быть пустотой. Любому известно, что из пустоты не возникает ничего. Физики же, объявив эфир несуществующим, наполнили мир пустотой. Я считаю, что подтолкнула их к этой глупости математика со своей пустой точкой. Я уже не говорю об атомах-точках миров более высокой размерности, чем 4D. Итак, для каждого измерения роль неделимой (условно) математической точки играет (условно) неделимый атом этого мира (пространства, материи). Для 3D – физический атом, для 4D – частица эфира, для 5D – астральный атом, для 6D – ментальный атом и так далее. С уважением,
Так все же, кирпичик мироздания имеет какую- то абсолютную величину? И что она из себя представляет, по-Вашему в эфирном или ментальном мире. О самих мирах я уж и спрашивать опасаюсь. С интересом...
Частицы эфира (это не атомы!) представляют собой электронно-позитронные пары, в которых сами частицы вращаются друг относительно друга со скоростью света. Это полностью объясняет строение всех нуклонов, распространение электромагнитных колебаний и все эффекты так называемого физического вакуума. Структура атома мысли никому неизвестна. Есть данные только о том, что ВСЕ самые высшие миры материальны, то есть имеют собственные атомы. Вплоть до материи Абсолюта. Зря иронизируете, однако. Неужели кротовые норы и большие взрывы Вам представляются более правдоподобными?
Какая тут ирония, просто немного опешил после такой лавины информации. Я, в отличие от Вас, не профессионал и по поводу пяти- или шести-мерности пространств что либо сказать затрудняюсь. Я все про нашу многострадальную точку... Насколько я понял Вы против материальной непрерывности и точка у Вас реально существующий "демокритский" атом. "Кирпичик мироздания". Может я был невнимателен, но все же, на затруднитесь повторить, какова его структура, физ.параметры, размеры и пр.
И еще ответьте, существует ли единица сама по себе, как таковая, вне всяких отношений? Спасибо.
Разобравшись с тем, что такое единицы измерения и размерность, мы можем теперь перейти собственно к измерениям. В школьной математике используются два измерительных прибора - (1) линейка для измерения расстояний и (2) транспортир для измерения углов.
Точка
Расстояние всегда меряется между какими-либо двумя точками. С практической точки зрения, точка представляет собой маленькое пятнышко, которое остается на бумаге, если ткнуть в нее карандашом или ручкой. Другой, более предпочтительный способ задать точку, - это нарисовать крестик двумя тонкими линиями, в результате чего задается точка их пересечения. На чертежах в книгах точка часто изображается в виде маленького черного кружочка. Но это всё - лишь приблизительные наглядные изображения, а в строгом математическом смысле, точка - это воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю. Для математиков весь мир состоит из точек. Точки находятся везде. Когда мы тыкаем ручкой в бумагу или рисуем крестик, мы не создаем новую точку, а лишь ставим метку на уже существующую, для того чтобы привлечь к ней чье-либо внимание. Если не оговорено противное, то подразумевается, что точки неподвижны и не меняют своего взаимного расположения. Но несложно вообразить и движущуюся точку, которая перемещается с места на место, как бы сливаясь то с одной неподвижной точкой, то с другой.
Прямая
Приставив линейку к двум точкам, мы можем провести через них прямую линию, и притом единственным образом . Воображаемая математическая прямая , проведенная по воображаемой идеальной линейке, обладает нулевой толщиной и простирается в обе стороны до бесконечности. На реальном чертеже эта воображаемая конструкция принимает вид:
Собственно говоря, в этом рисунке всё неправильно. Толщина линии здесь явно больше нуля, и никак не скажешь, чтобы линия простиралась до бесконечности. Тем не менее подобные неправильные рисунки очень полезны в качестве опоры для воображения, и мы будем ими постоянно пользоваться. Для того чтобы было удобнее отличать одну точку от другой, их обычно помечают заглавными буквами латинского алфавита. На этом рисунке, например, точки обозначены буквами A и B . Прямая, проходящая через точки A и B , автоматически получает название «прямая A B ». Для краткости допустимо также обозначение (A B ), где опущено слово «прямая» и добавлены круглые скобки. Прямые также можно обозначать строчными буквами. На рисунке, приведенном выше, прямая A B обозначена буквой n .
Помимо точек A и B на прямой n имеется огромное число других точек, каждую из которых можно представить как пересечение с еще какой-то прямой. Через одну и ту же точку можно провести много разных прямых.
Если мы знаем, что на прямой имеются несовпадающие точки A , B , C и D , то ее с полным правом можно обозначить не только как (AB ), но и как (AC ), (BD ), (CD ) и т.п.
Отрезок. Длина отрезка. Расстояние между точками
Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком . Эти ограничивающие точки также принадлежат отрезку и называются его концами . Отрезок, концы которого приходятся на точки A и B , обозначается как «отрезок A B » или, несколько короче, [A B ].
Всякий отрезок характеризуется длиной - числом (возможно, дробным) «шагов», которые надо сделать вдоль отрезка, чтобы попасть из одного конца в другой. При этом длина самого «шага» является строго фиксированной величиной, которая принимается за единицу измерения. Длины отрезков, нарисованных на листе бумаги, удобнее всего измерять в сантиметрах . Если концы отрезка приходятся на точки A и B , то его длина обозначается как |A B |.
Под расстоянием между двумя точками понимается длина соединяющего их отрезка. Фактически, однако, проводить отрезок для измерения расстояния не требуется - достаточно приставить к обоим точкам линейку (на которой заранее нанесены следы от «шагов»). Поскольку в математике точка - это вымышленный объект, то ничто не мешает нам пользоваться в своем воображении идеальной линейкой, которая измеряет расстояние с абсолютной точностью. Не следует, однако, забывать, что реальная линейка, приложенная к пятнышкам или центрам крестиков на бумаге, позволяет устанавливать расстояние лишь приблизительно - с точностью до одного миллиметра. Расстояние всегда неотрицательно.
Положение точки на прямой
Пусть нам дана некоторая прямая. Отметим на ней произвольную точку и обозначим ее буквой O . Поставим рядом с ней число 0. Какое-то одно из двух возможных направлений вдоль прямой назовем «положительным», а противоположное ему - «отрицательным». Обычно за положительное принимается направление слева направо или снизу вверх, но это необязательно. Отметим положительное направление стрелочкой, как показано на рисунке:
Теперь для любой точки, расположенной на прямой, мы можем определить ее положение . Положение точки A задается величиной, которая может быть отрицательной, равной нулю или положительной. Ее абсолютное значение равно расстоянию между точками O и A (то есть длине отрезка O A ), а знак определяется тем, в каком направлении от точки O надо двигаться, чтобы попасть в точку A . Если двигаться надо в положительном направлении, то и знак положительный. Если в отрицательном, то и знак отрицательный. Вместо слова «положение» часто используют также слово «координата ».
Иррациональные и действительные (вещественные) числа
Когда мы имеем дело с реальным чертежом и определяем положение реальной точки на реальной проямой с помощью школьной линейки, у нас получается значение, округленное с точностью до одного миллиметра. Иначе говоря, результатом оказывается величина, взятая из следующего ряда:
0 мм , 1 мм , −1 мм , 2 мм , −2 мм , 3 мм , −3 мм и т.д.
Результат никак не может быть равен, например, 1/3 см , потому что, как мы знаем, одна треть санитиметра представима в виде бесконечной периодической дроби
0,333333333... см ,
которая после округления должна стать равной 0,3 см .
Иное дело, когда мы манипулируем в воображении идеальными математическими объектами.
Во-первых, в этом случае запросто можно отбрасывать единицы измерения и оперировать исключительно безразмерными величинами. Тогда мы приходим к геометрической конструкции, с которой мы познакомились, когда проходили рациональные числа, и которую мы назвали числовой прямой :
Поскольку слово «прямая» в геометрии и без того сильно «нагружено», эту же конструкцию часто называют числовой осью или просто осью .
Во-вторых, мы вполне можем себе представить, что координата точки задается какой-нибудь периодической десятичной дробью, вроде
Более того, мы можем вообразить бесконечную непериодическую дробь - такую, например, как
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Подобные воображаемые числа, представимые в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными . Иррациональные числа вместе с уже знакомыми нам рациональными числами образуют так называемые действительные числа. Вместо слова «действительные» употребимо также слово «вещественные ». Любое мыслимое положение точки на прямой может быть выражено действительным числом. И наборот, если нам дано какое-то действительное число x , мы всегда можем представить себе точку X , положение которой задается числом x .
Смещение
Пусть a - координата точки A , а b - координата точки B . Тогда величина
v = b − a
является смещением , которое переводит точку A в точку B . Это становится особенно очевидно, если предыдущее равенство переписать в виде
b = a + v .
Иногда вместо слова «смещение» используют слово «вектор ». Несложно видеть, что положение x произвольной точки X - это не что иное, как смещение, переводящее точку O (с координатой, равной нулю) в точку X :
x = 0 + x .
Смещения можно складывать между собой, а также вычитать друг из друга. Так, если смещение (b − a ) переводит точку A в точку B , а смещение (c − b ) точку B в точку C , тогда смещение
(b − a ) + (c − b ) = c − a
переводит точку A в точку C .
Примечание. По логике вещей, тут следовало бы уточнить, как надлежит складывать и вычитать иррациональные числа, поскольку смещение вполне может оказаться иррациональным. Разумеется, математики позаботились о том, чтобы выработать соответствующие формальные процедуры, но на практике мы этим заниматься не будем, так как для решения практических задач всегда достаточно приближенных вычислений с округленными величинами. Мы сейчас просто примем на веру, что понятия «сложение» и «вычитание» - а также «умножение» и «деление» - корректно определены для любых двух действительных чисел (с той, впрочем, оговоркой, что делить на ноль нельзя).
Тут, пожалуй, будет уместно отметить тонкое различие между понятиями «смещение» и «расстояние». Расстояние всегда неотрицательно. Оно фактически представляет собой смещение, взятое по абсолютной величине. Так, если смещение
v = b − a
переводит точку A в точку B , тогда расстояние s между точками A и B равно
s = |v| = |b − a|.
Это равенство остается справедливым независимо от того, которое из двух чисел больше - a или b .
Плоскость
В практическом смысле, плоскость - это лист бумаги, на котором мы чертим наши геометрические чертежи. Воображаемая математическая плоскость отличается от листа бумаги тем, что она имеет нулевую толщину и неограниченную поверхность, которая простирается в разные стороны до бесконечности. Кроме того, в отличие от листа бумаги, математическая плоскость является асолютно жесткой: она никогда не гнется и не мнется - даже если ее оторвать от письменного стола и расположить в пространстве каким угодно образом.
Расположение плоскости в пространстве однозначно задается тремя точками (если только они не лежат на какой-нибудь одной прямой). Чтобы это нагляднее себе представить, давайте нарисуем три произвольные точки, O , A и B , и проведем через них две прямые OA и OB , как показано на рисунке:
«Натянуть» в воображении плоскость на две пересекающиеся прямые уже несколько проще, чем «опереть» ее на три точки. Но для еще большей наглядности проделаем еще кое-какие дополнительные построения. Давайте возьмем наугад пару точек: одну в любом месте на прямой OA , а другую - в любом месте на прямой OB . Проведем через эту пару точек новую прямую. Далее, подобным же образом выберем другую пару точек и проведем через них еще одну прямую. Повторив эту процедуру много раз, мы получим что-то вроде паутины:
Наложить плоскость на такую конструкцию уже совсем просто - тем более что эту воображаемую паутину можно сделать настолько густой, что она покроет собой всю плоскость без пробелов.
Заметим, что если взять на плоскости пару несовпадающих точек и провести через них прямую, то эта прямая обязательно будет лежать в той же самой плоскости.
Конспект
Точка (A , B , и т.п.): воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю.
Прямая (n , m или (AB )): бесконечно тонкая линия; проводится через две точки (A и B ) по линейке однозначным образом; простирается в обе стороны до бесконечности.
Отрезок ([AB ]): часть прямой, ограниченная двумя точками (A и B ) - концами отрезка, которые также считаются принадлежащими отрезку.
Длина отрезка (|AB |): (дробное) число сантиметров (или же другой единицы измерения), укладывающихся между концами (A и B ).
Расстояние между двумя точками : длина отрезка с концами в этих точках.
Положение точки на прямой (координата ): расстояние от точки до некоторого заранее выбранного центра (также лежащего на прямой) с приписанным знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, по какую сторону от центра точка расположена.
Положение точки на прямой задается действительным (вещественным ) числом , а именно - десятичной дробью, которая может быть либо (1) конечной или бесконечной периодической (рациональные числа ), либо (2) бесконечной непериодической (иррациональные числа ).
Смещение , переводящее точку A (с координатой a ) в точку B (с координатой b ): v = b − a .
Расстояние равно смещению, взятому по абсолютной величине: |AB | = |b − a |.
Плоскость : бесконечно тонкий лист бумаги, простирающийся разные стороны до бесконечности; однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой.
Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений , и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий f: N n → M m {\displaystyle f:N^{n}\to M^{m}} . В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения f {\displaystyle f} в ней меньше максимально возможного значения, равного .
Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения , вариационное исчисление , теория устойчивости , а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф . Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов , определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления . Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями .
Формальное определение
Критической (или особой или стационарной ) точкой непрерывно дифференцируемого отображения f: R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется такая точка , в которой дифференциал этого отображения f ∗ = ∂ f ∂ x {\displaystyle f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x}}} является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств T x 0 R n {\displaystyle T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}} и T f (x 0) R m {\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m}} , то есть размерность образа преобразования f ∗ (x 0) {\displaystyle f_{*}(x_{0})} меньше min { n , m } {\displaystyle \min\{n,m\}} . В координатной записи при n = m {\displaystyle n=m} это означает что якобиан - определитель матрицы Якоби отображения f {\displaystyle f} , составленной из всех частных производных ∂ f j ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}} - обращается в точке в нуль . Пространства и R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} в этом определении могут быть заменены на многообразия N n {\displaystyle N^{n}} и M m {\displaystyle M^{m}} таких же размерностей.
Теорема Сарда
Значение отображения в критической точке называется его критическим значением . Согласно теореме Сарда , множество критических значений любого достаточно гладкого отображения f: R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для тождественного отображения любая точка является критической).
Отображения постоянного ранга
Если в окрестности точки x 0 ∈ R n {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} ранг непрерывно дифференцируемого отображения f: R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} равен одному и тому же числу r {\displaystyle r} , то в окрестности этой точки x 0 {\displaystyle x_{0}} существуют локальные координаты с центром в x 0 {\displaystyle x_{0}} , а в окрестности её образа - точки y 0 = f (x 0) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})} - существуют локальные координаты (y 1 , … , y m) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{m})} с центром в f {\displaystyle f} задается соотношениями :
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. {\displaystyle y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{r+1}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.}
В частности, если r = n = m {\displaystyle r=n=m} , то существуют локальные координаты (x 1 , … , x n) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} с центром в x 0 {\displaystyle x_{0}} и локальные координаты (y 1 , … , y n) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})} с центром в y 0 {\displaystyle y_{0}} , такие, что в них отображение f {\displaystyle f} является тождественным.
Случай m = 1
В случае данное определение означает, что градиент ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) {\displaystyle \nabla f=(f"_{x_{1}},\ldots ,f"_{x_{n}})} в данной точке обращается в нуль.
Предположим, что функция f: R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } имеет класс гладкости не ниже C 3 {\displaystyle C^{3}} . Критическая точка функции f называется невырожденной , если в ней гессиан | ∂ 2 f ∂ x 2 | {\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}} отличен от нуля. В окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция f имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса) .
Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является теорема Тужрона: в окрестности вырожденной критической точки функции f , дифференцируемой бесконечное число раз () конечной кратности μ {\displaystyle \mu } существует система координат, в которой гладкая функция имеет вид многочлена степени μ + 1 {\displaystyle \mu +1} (в качестве P μ + 1 (x) {\displaystyle P_{\mu +1}(x)} можно взять многочлен Тейлора функции f (x) {\displaystyle f(x)} в точке в исходных координатах) .
При m = 1 {\displaystyle m=1} имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция f {\displaystyle f} , определенная во всем пространстве R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr)}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr)},} i , j = 1 , … , n , {\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,} в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой . Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума) .
Случай n = m = 2
В случае n=m=2 мы имеем отображение f плоскости на плоскость (или двумерного многообразия на другое двумерное многообразие). Предположим, что отображение f дифференцируемо бесконечное число раз ( C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} ). В этом случае типичные критические точки отображения f суть те, в которых определитель матрицы Якоби равен нулю, но её ранг равен 1, и следовательно, дифференциал отображения f в таких точках имеет одномерное ядро . Вторым условием типичности является то, что в окрестности рассматриваемой точки на плоскости-прообразе множество критических точек образует регулярную кривую S , и почти во всех точках кривой S ядро ker f ∗ {\displaystyle \ker \,f_{*}} не касается S , а точки, где это не так, изолированы и в них касание имеет первый порядок. Критические точки первого типа называются точками складки , а второго типа - точками сборки . Складки и сборки являются единственными типами особенностей отображений плоскости на плоскость, устойчивыми относительно малых возмущений: при малом возмущении точки складки и сборки лишь немного перемещаются вместе с деформацией кривой S , но не исчезают, не вырождаются и не рассыпаются на другие особенности.
