Yleinen linearisointimenetelmä

Useimmissa tapauksissa on mahdollista linearisoida epälineaariset riippuvuudet käyttämällä pienten poikkeamien tai variaatioiden menetelmää. Otetaan huomioon ᴇᴦο, katsotaanpa jotain linkkiä automaattisessa ohjausjärjestelmässä (kuva 2.2). Tulo- ja lähtösuureet on merkitty X1:llä ja X2:lla ja ulkoista häiriötä F(t).

Oletetaan, että linkki on kuvattu jollakin muodon epälineaarisella differentiaaliyhtälöllä

Tällaisen yhtälön laatimiseksi sinun on käytettävä asianmukaista teknisten tieteiden haaraa (esimerkiksi sähkötekniikka, mekaniikka, hydrauliikka jne.), joka tutkii tämän tyyppistä laitetta.

Linearisoinnin perustana on oletus, että kaikkien linkkidynamiikan yhtälöön sisältyvien muuttujien poikkeamat ovat riittävän pieniä, koska juuri riittävän pienellä osuudella kaarevuuskäyrä voidaan korvata suoralla segmentillä. Muuttujien poikkeamat mitataan tässä tapauksessa niiden arvoista tasaisessa prosessissa tai tietyssä järjestelmän tasapainotilassa. Olkoon esimerkiksi tasaisen prosessin tunnusomaista muuttujan X1 vakioarvo, jota merkitsemme X10. Säätöprosessissa (kuva 2.3) muuttujalla X1 on arvot missä tarkoittaa muuttujan X 1 poikkeamaa vakioarvosta X10.

Samanlaiset suhteet otetaan käyttöön muille muuttujille. Tarkasteltavana olevaa tapausta varten meillä on ˸ ja myös .

Kaikkien poikkeamien oletetaan olevan riittävän pieniä. Tämä matemaattinen oletus ei ole ristiriidassa ongelman fyysisen merkityksen kanssa, koska jo ajatus automaattisesta ohjauksesta edellyttää, että kaikki ohjatun muuttujan poikkeamat ohjausprosessin aikana ovat riittävän pieniä.

Linkin vakaa tila määritetään arvoilla X10, X20 ja F0. Sitten yhtälö (2.1) tulee kirjoittaa vakiotilalle muodossa

Laajennataan yhtälön (2.1) vasenta puolta Taylor-sarjassa

missä D ovat korkeamman asteen termejä. Indeksi 0 osaderivaataille tarkoittaa, että derivaatan ottamisen jälkeen tulee kaikkien muuttujien tasainen arvo korvata sen lausekkeessa.

Kaavan (2.3) korkeamman asteen termit sisältävät korkeammat osittaiset derivaatat kerrottuna neliöillä, kuutioilla ja korkeammilla poikkeama-asteilla sekä poikkeamien tulot. Ne ovat pieniä ja korkeampia verrattuna itse poikkeamiin, jotka ovat pieniä ensimmäisen kertaluokan poikkeamia.

Yhtälö (2.3) on linkin dynamiikkayhtälö, aivan kuten (2.1), mutta kirjoitettu eri muodossa. Hylkäämme tämän yhtälön korkeamman kertaluvun pienet, minkä jälkeen vähennämme yhtälöstä (2.3) vakaan tilan yhtälöt (2.2). Tuloksena saadaan seuraava likimääräinen yhtälö linkin dynamiikasta pienillä poikkeamilla˸

Tässä yhtälössä kaikki muuttujat ja niiden derivaatat tulevat lineaarisesti eli ensimmäisissä määrin. Kaikki osittaiset derivaatat ovat joitain vakiokertoimia siinä tapauksessa, että tutkitaan järjestelmää, jossa on vakioparametrit. Jos järjestelmässä on muuttuvia parametreja, yhtälössä (2.4) on muuttuvat kertoimet. Tarkastellaan vain vakiokertoimien tapausta.

Yleinen linearisointimenetelmä - käsite ja tyypit. Luokan "Yleinen linearisointimenetelmä" luokitus ja ominaisuudet 2015, 2017-2018.

Harmonisen linearisoinnin (harmonisen tasapainon) menetelmän avulla voit määrittää mahdollisten itsevärähtelyjen olemassaolon ehdot ja parametrit epälineaarisissa automaattisissa ohjausjärjestelmissä. Itsevärähtelyt määräytyvät järjestelmien vaiheavaruuden rajasyklien avulla. Rajasyklit jakavat tilan (yleensä - moniulotteinen) vaimennettujen ja poikkeavien prosessien aloilla. Itsevärähtelyjen parametrien laskemisen tuloksena voidaan tehdä johtopäätös niiden hyväksyttävyydestä tietylle järjestelmälle tai tarpeesta muuttaa järjestelmän parametreja.

Menetelmä mahdollistaa:

Määritä epälineaarisen järjestelmän stabiilisuuden ehdot;

Selvitä järjestelmän vapaiden värähtelyjen taajuus ja amplitudi;

Syntetisoi korjauspiirejä varmistaaksesi vaaditut itsevärähtelyparametrit;

Tutkia pakotettuja värähtelyjä ja arvioida transienttiprosessien laatua epälineaarisissa automaattisissa ohjausjärjestelmissä.

Harmonisen linearisointimenetelmän sovellettavuuden edellytykset.

1) Menetelmää käytettäessä oletetaan, että lineaarinen osa järjestelmästä on vakaa tai neutraali.

2) Epälineaarisen linkin sisääntulossa oleva signaali on muodoltaan lähellä harmonista signaalia. Tämä säännös kaipaa selitystä.

Kuvassa 1 on esitetty epälineaarisen ACS:n lohkokaaviot. Piiri koostuu sarjaan kytketyistä linkeistä: epälineaarinen linkki y=F(x) ja lineaarinen

th, jota kuvaa differentiaaliyhtälö

Kun y = F(g - x) = g - x, saamme lineaarisen järjestelmän liikeyhtälön.

Harkitse vapaata liikkuvuutta, ts. arvolle g(t) º 0. Sitten

Siinä tapauksessa, että järjestelmässä on itsevärähtelyjä, järjestelmän vapaa liike on jaksollista. Ei-jaksollinen liike ajan mittaan päättyy järjestelmän pysähtymiseen johonkin lopulliseen asentoon (yleensä erityisellä rajoittimella).

Jos epälineaarisen elementin sisääntulossa on minkä tahansa muodon jaksollinen signaali, sen lähdössä oleva signaali sisältää perustaajuuden lisäksi korkeampia harmonisia. Oletus, että signaalia järjestelmän epälineaarisen osan sisääntulossa voidaan pitää harmonisena, ts.

x(t)@a×sin(wt),

missä w=1/T, T on järjestelmän vapaiden värähtelyjen jakso, vastaa oletusta, että järjestelmän lineaarinen osa tehokkaasti suodattimet signaalin korkeammat harmoniset y(t) = F(x (t)).

Yleisessä tapauksessa, kun harmonisen signaalin x(t) epälineaarinen elementti vaikuttaa sisääntuloon, lähtösignaali voidaan muuntaa Fourier:

Fourier-sarjan kertoimet

Laskelmien yksinkertaistamiseksi asetetaan C 0 =0, eli että funktio F(x) on symmetrinen origon suhteen. Tällainen rajoitus ei ole välttämätön, ja se tehdään analysoimalla. Kertoimien C k¹ 0 esiintyminen tarkoittaa, että yleensä signaalin epälineaariseen muunnokseen liittyy muunnetun signaalin vaihesiirtoja. Tämä tapahtuu erityisesti epälineaarisissa ominaisuuksissa, joilla on epäselvät ominaisuudet (erilaisilla hystereesisilmukoilla), sekä viiveellä että joissakin tapauksissa vaiheen eteneminen.

Tehokkaan suodatuksen oletus tarkoittaa, että korkeampien harmonisten amplitudit järjestelmän lineaarisen osan lähdössä ovat pieniä, ts.

Tämän ehdon täyttymistä helpottaa se, että monissa tapauksissa jo suoraan epälineaarisuuden lähdössä olevien harmonisten amplitudit osoittautuvat merkittävästi pienemmiksi kuin ensimmäisen harmonisen amplitudi. Esimerkiksi ihanteellisen releen lähdössä, jonka tulossa on harmoninen signaali

y(t)=F(с×sin(wt))=a×merkki(sin(wt))

ei ole parillisia harmonisia, ja kolmannen harmonisen amplitudi kolme kertaa pienempi kuin ensimmäisen harmonisen amplitudi

Tehdään tukahdutuksen asteen arviointi signaalin korkeammat harmoniset ACS:n lineaariosassa. Tätä varten teemme useita oletuksia.

1) ACS:n vapaiden värähtelyjen taajuus suunnilleen yhtä suuri kuin rajataajuus sen lineaarinen osa. Huomaa, että epälineaarisen automaattisen ohjausjärjestelmän vapaiden värähtelyjen taajuus voi poiketa merkittävästi lineaarisen järjestelmän vapaiden värähtelyjen taajuudesta, joten tämä oletus ei aina pidä paikkaansa.

2) Otetaan ACS-värähtelyindeksiksi M=1,1.

3) LAH:n rajataajuuden (w s) läheisyydessä on -20 dB/dec. Tämän LAH:n osan rajat liittyvät relaatioiden oskillaatioindeksiin

4) Taajuus w max on konjugoitu LPH-osion kanssa siten, että kun w > w max, LAH-jyrkkyys on vähintään miinus 40 dB/dec.

5) Epälineaarisuus - ihanteellinen rele, jonka ominaisuus on y = sgn(x), joten sen epälineaarisuuslähdössä on vain parittomat harmoniset.

Kolmannen harmonisen w 3 \u003d 3w c, viidennen w 5 \u003d 5w c taajuudet,

lgw 3 = 0,48+lgw c ,

lgw 5 = 0,7 + lgw c .

Taajuus w max = 1,91 w s, lgw max = 0,28 + lgw s. Kulmataajuus on 0,28 vuosikymmenen päässä rajataajuudesta.

Signaalin korkeampien harmonisten amplitudien lasku niiden kulkiessa järjestelmän lineaarisen osan läpi on kolmannelle harmoniselle

L 3 \u003d -0,28 × 20-(0,48-0,28) × 40 \u003d -13,6 dB, eli 4,8 kertaa,

viidennelle - L 5 \u003d -0,28 × 20-(0,7-0,28) × 40 = -22,4 dB, eli 13 kertaa.

Tämän seurauksena signaali lineaariosan lähdössä on lähellä harmonista

Tämä vastaa oletusta, että järjestelmä on alipäästösuodatin.

Mitä tulee funktioon Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ, argumenttijärjestelmän suhteen epälineaarinen, ongelman ratkaisu edellä esitetyssä formulaatiossa voidaan pääsääntöisesti saada vain likimääräisesti linearisointimenetelmän perusteella. Linearisointimenetelmän ydin on, että epälineaarinen funktio korvataan jollain lineaarisella ja sitten jo tunnettujen sääntöjen mukaan löydetään tämän lineaarisen funktion numeeriset ominaisuudet, joiden katsotaan olevan suunnilleen yhtä suuria kuin epälineaarisen funktion numeeriset ominaisuudet. lineaarinen funktio.

Tarkastellaan tämän menetelmän ydintä yhden satunnaisen argumentin funktion esimerkillä.

Jos satunnaismuuttuja Z on annettu funktio

satunnainen argumentti X, sitten sen mahdolliset arvot z liittyy argumentin mahdollisiin arvoihin X samanlainen toiminto, ts.

(esimerkiksi jos Z = sin X, niin z= sinX).

Laajennamme funktiota (3.20) Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X= m , rajoittuen vain laajennuksen kahteen ensimmäiseen termiin, ja oletamme sen

Funktion (3.20) derivaatan arvo argumentin suhteen X klo X = t x.

Tämä oletus vastaa annetun funktion (3.19) korvaamista lineaarisella funktiolla

Matemaattisia odotuksia ja varianssia koskevien lauseiden perusteella saadaan laskentakaavat numeeristen ominaisuuksien määrittämiseksi mz minä muodossa

Huomaa, että tarkasteltavassa tapauksessa keskihajonnan a r tulisi laskea kaavalla

(Dirivaatan moduuli otetaan tässä, koska se

voi olla negatiivinen.)

Linearisointimenetelmän soveltaminen epälineaarisen funktion numeeristen ominaisuuksien löytämiseen

mielivaltainen määrä satunnaisia ​​argumentteja johtaa laskentakaavoihin sen matemaattisen odotuksen määrittämiseksi, jolla on muoto

x 2, ..., x n) argumenteilla X. ja X. vastaavasti laskettuna ottaen huomioon pisteen merkit sh x, m^, t Xp, eli korvaamalla kaikki heidän argumenttinsa x v x 2, ..., x n heidän matemaattisia odotuksiaan.

Yhdessä kaavan (3.26) kanssa dispersion määrittämiseksi D? voit käyttää lomakkeen laskentakaavaa

missä g x x - satunnaisten argumenttien korrelaatiokerroin X.

Riippumattomien (tai ainakin korreloimattomien) satunnaisten argumenttien epälineaariseen funktioon sovellettuina kaavoilla (3.26) ja (3.27) on muoto

Satunnaisargumenttien epälineaaristen funktioiden linearisointiin perustuvat kaavat mahdollistavat niiden numeeristen ominaisuuksien määrittämisen vain likimääräisesti. Laskennan tarkkuus on sitä pienempi, mitä enemmän annetut funktiot eroavat lineaarisista ja sitä suurempi on argumenttien hajonta. Aina ei ole mahdollista arvioida mahdollista virhettä kussakin tapauksessa.

Tällä menetelmällä saatujen tulosten tarkentamiseksi voidaan käyttää tekniikkaa, joka perustuu siihen, että epälineaarisen funktion laajennuksessa säilytetään paitsi lineaarista myös joitain myöhempiä laajennuksen termejä (yleensä neliöllinen).

Lisäksi satunnaisargumenttien epälineaarisen funktion numeeriset ominaisuudet voidaan määrittää sen jakauman lain alustavan haun perusteella tietylle argumenttijärjestelmän jakaumalle. On kuitenkin pidettävä mielessä, että tällaisen ongelman analyyttinen ratkaisu on usein liian monimutkaista. Siksi tilastollisen mallintamisen menetelmää käytetään laajalti satunnaisargumenttien epälineaaristen funktioiden numeeristen ominaisuuksien löytämiseksi.

Menetelmän perustana on sarjan testien simulointi, joista jokaisessa on tietty sarja x i, x 2i, ..., xni satunnaiset argumenttiarvot x v x 2 ,..., x n niiden yhteisjakoa vastaavasta joukosta. Annetun suhteen (3.24) avulla saadut arvot muunnetaan vastaaviksi arvoiksi z. tutkitusta funktiosta Z. Tulosten mukaan z v z 2, ..., z., ..., zk kaikki to tällaisissa testeissä halutut numeeriset ominaisuudet lasketaan matemaattisten tilastojen menetelmillä.

Esimerkki 3.2. Määritä linearisointimenetelmän perusteella satunnaismuuttujan matemaattinen odotusarvo ja keskihajonta

1. Kaavalla (3.20) saadaan

2. Alkeisfunktioiden derivaattataulukon avulla löydämme

ja laske tämän derivaatan arvo pisteessä :

3. Kaavalla (3.23) saadaan

Esimerkki 3.3. Määritä linearisointimenetelmän perusteella satunnaismuuttujan matemaattinen odotusarvo ja keskihajonta

1. Kaavalla (3.25) saadaan

2. Kirjoitetaan kaava (3.27) kahden satunnaisen argumentin funktiolle

3. Etsi Z-funktion osittaiset derivaatat argumenttien suhteen X 1 ja X 2:

ja laske niiden arvot pisteessä (m Xi ,t x2):

4. Korvaamalla saadut tiedot Z-varianssin laskentakaavaan saadaan Dz= 1. Siksi u r = 1.

Differentiaaliyhtälöt voidaan linearisoida seuraavilla menetelmillä:

1. Työalueen epälineaarinen funktio laajennetaan Taylor-sarjaksi.

2. Kuvaajana annetut epälineaariset funktiot linearisoidaan koneistustasossa suorilla viivoilla.

3. Sen sijaan, että määritettäisiin suoraan osittaiset derivaatat, muuttujat sisällytetään alkuperäisiin epälineaarisiin yhtälöihin.

,

. (33)

4. Tämä menetelmä perustuu kertoimien määrittämiseen pienimmän neliösumman menetelmällä.

, (34)

missä - pneumaattisen toimilaitteen aikavakio;

- pneumaattisen toimilaitteen välityssuhde;

- pneumaattisen toimilaitteen vaimennuskerroin.

ACS-elementtien sisäinen rakenne määritetään yksinkertaisimmin käyttämällä kaavioiden lohkokaavioita. Toisin kuin tunnetuissa kaavioissa olevissa lohkokaavioissa, muuttujat ilmaistaan ​​ajan muodossa ja kaaret osoittavat joko tyypillisten linkkien parametreja tai siirtofunktioita. Niiden välillä on tasainen suhde.

mm epälineaariset elementit

Ensimmäisessä luvussa käsitellyt linearisointimenetelmät ovat sovellettavissa, kun LSA-olioon sisältyvä epälineaarisuus on ainakin kerran differentioitavissa tai approksimoitava jonkin toimintapisteen lähellä olevan ympäristön tangentilla pienellä virheellä. On olemassa kokonainen epälineaarisuuden luokka, jolle kumpikaan ehto ei täyty. Yleensä nämä ovat merkittäviä epälineaarisuutta. Näitä ovat: askel-, paloittain lineaariset ja moniarvoiset funktiot, joissa on ensimmäisen tyyppiset epäjatkuvuuspisteet, sekä teho- ja transtendentaalifunktiot. Loogis-algebrallisten operaatioiden suorittamista järjestelmissä tarjoavien CCM:ien käyttö on johtanut uudentyyppisiin lineaarisuuteen, joka esitetään jatkuvilla muuttujilla erityislogiikkaa käyttäen.

Tällaisten epälineaarisuuden matemaattiseen kuvaamiseen käytetään vastaavia siirtofunktioita linearisointikertoimista riippuen, jotka saadaan minimoimalla tietyn tulosignaalin toistovirheen keskineliö. Epälineaarisuuden tuloon tulevien tulosignaalien muoto voi olla mielivaltainen. Käytännössä yleisimmin käytetään harmonisia ja satunnaisia ​​tulosignaaleja ja niiden ajallisia yhdistelmiä. Sen mukaisesti linearisointimenetelmiä kutsutaan harmonisiksi ja staattisiksi.

Yleinen menetelmä ekvivalenttien siirtofunktioiden kuvaamiseksi ei

Koko olennaisten epälineaarisuuden luokka on jaettu kahteen ryhmään. Ensimmäiseen ryhmään kuuluvat yksiarvoiset epälineaarisuudet, joissa syötteen välinen yhteys ja viikonloppuisin vektorisignaalit riippuvat vain epälineaarisuuden staattisen ominaisuuden muodosta
.

.

Tässä tapauksessa tietyllä tulosignaalilla:

.

Linearisointimatriisin käyttö
löydät lähtösignaalien likimääräiset arvot:

.

(42):sta seuraa, että yksiarvoisten epälineaarisuuden linearisointikertoimien matriisi ovat reaalisuureita ja niiden ekvivalentteja siirtofunktioita:

.

Toiseen ryhmään kuuluvat kaksiarvoiset (moniarvoiset) epälineaarisuudet, joissa tulo- ja lähtösignaalien välinen suhde ei riipu pelkästään staattisen ominaisuuden muodosta, vaan sen määrää myös tulosignaalin historia. Tässä tapauksessa lauseke (42) kirjoitetaan seuraavasti:

.

Ottaaksemme huomioon jaksollisen tulosignaalin esihistorian vaikutuksen, otamme huomioon paitsi itse signaalin , mutta myös sen muutosnopeus, ero .

Tulosignaaleille:

tulosignaalin likimääräinen arvo on:

missä
ja
- kaksiarvoisten epälineaarisuuden harmonisen linearisoinnin kertoimet;

- värähtelyjakso oikealla harmonisella;

- harmoninen toiminto.

Vastaava siirtotoiminto:

On olemassa yleisemmän muodon epälineaarisuutta:

,

,

missä
ja
- harmonisen linearisoinnin kertoimet;

on harmoninen luku.

Jaksottaiset linearisointikerroinmatriisit . Tätä silmällä pitäen kahden kaksiarvoisen epälineaarisuuden siirtofunktio voidaan esittää analogisesti siirtofunktion kanssa

Määrittelemme käyttämällä yleistettyä kaavaa yksiarvoisten ja kaksiarvoisten epälineaarisuuden siirtofunktion laskemiseksi.

Yksiarvoisen epälineaarisuuden tapauksessa linearisointikertoimien matriisi , riippuen vektorin parametreista
, valitsemme siten, että linearisoimme tarkan erotuksen keskiarvon ja likimääräinen
tulosignaalit:

Muutosten, yksinkertaistamisen, temppujen ja lisääntyneen valppauden jälkeen saamme vastaavan siirtofunktion matriisijärjestelmän muodossa:
,
.

,

klo
,
.

.

Määritä yksiarvoisen epälineaarisuuden linearisointikerroin. Kun sinimuotoisen signaalin ensimmäinen harmoninen saapuu sen sisääntuloon:

missä
.

.

Yhtälö (56) on yksiarvoisen epälineaarisuuden ensimmäinen harmoninen linearisointikerroin, se määrittää ekvivalentin siirtofunktion
.

Jatkossa vertaamalla kaavaa yksinkertaisimpien epälineaarisuuden linearisointikertoimien määrittämiseen, kun niiden sisäänmenoon syötetään jaksollisia signaaleja: sinimuotoinen, kolmiomainen, näytämme tuloksena olevien ekvivalenttien siirtofunktioiden käytön tarkoituksenmukaisuuden.

Linearisointikerroin määritetään
,
.

,

.

Esimerkki. Määritä kaksiarvoisen epälineaarisuuden linearisaatiokerroin, kun sinimuotoisen signaalin ensimmäinen harmoninen tulee sen sisääntuloon ja sillä on yksi tulo. Matriisijärjestelmästä (60) saadaan:

,

.

Tässä esimerkissä kirjoitamme tulosignaalin seuraavasti:

,

.

Kun kaksiarvoisen epälineaarisuuden yleinen ekvivalenttifunktio on:

. .

AT

Riisi. 2.2. ATS-linkki

Useimmissa tapauksissa on mahdollista linearisoida epälineaariset riippuvuudet käyttämällä pienten poikkeamien tai variaatioiden menetelmää. Harkitse sitä, käännytään tiettyyn linkkiin automaattisessa ohjausjärjestelmässä (kuva 2.2). Tulo- ja lähtösuureet on merkitty X 1:llä ja X 2:lla, ja ulkoinen häiriö on merkitty F(t).

Oletetaan, että linkki on kuvattu jollakin muodon epälineaarisella differentiaaliyhtälöllä

Tällaisen yhtälön laatimiseksi sinun on käytettävä asianmukaista teknisten tieteiden haaraa (esimerkiksi sähkötekniikka, mekaniikka, hydrauliikka jne.), joka tutkii tämän tyyppistä laitetta.

Linearisoinnin perustana on oletus, että kaikkien linkkidynamiikan yhtälöön sisältyvien muuttujien poikkeamat ovat riittävän pieniä, koska juuri riittävän pienellä osuudella kaarevuuskäyrä voidaan korvata suoralla segmentillä. Muuttujien poikkeamat mitataan tässä tapauksessa niiden arvoista tasaisessa prosessissa tai tietyssä järjestelmän tasapainotilassa. Olkoon esimerkiksi vakaalle prosessille tunnusomaista muuttujan X 1 vakioarvo, jota merkitsemme X 10 . Säätöprosessissa (kuva 2.3) muuttujalla X 1 on arvot missä
tarkoittaa muuttujan X 1 poikkeamaa X 10:n vakioarvosta.

MUTTA

Riisi. 2.3. Linkin sääntelyprosessi

verosuhteet otetaan käyttöön muille muuttujille. Tarkasteltavana olevaa tapausta varten meillä on: ja
.

Seuraavaksi voit kirjoittaa:
;
ja
, koska
ja

Kaikkien poikkeamien oletetaan olevan riittävän pieniä. Tämä matemaattinen oletus ei ole ristiriidassa ongelman fyysisen merkityksen kanssa, koska jo ajatus automaattisesta ohjauksesta edellyttää, että kaikki ohjatun muuttujan poikkeamat ohjausprosessin aikana ovat riittävän pieniä.

Linkin vakaa tila määräytyy X 10:n, X 20:n ja F 0:n arvojen perusteella. Sitten yhtälö (2.1) voidaan kirjoittaa vakiotilalle muotoon

Laajennataan yhtälön (2.1) vasenta puolta Taylor-sarjassa

missä  ovat korkeamman asteen termejä. Osittaisderivaataiden indeksi 0 tarkoittaa, että derivaatan ottamisen jälkeen tulee kaikkien muuttujien tasainen arvo korvata sen lausekkeessa
.

Kaavan (2.3) korkeamman asteen termit sisältävät korkeammat osittaiset derivaatat kerrottuna neliöillä, kuutioilla ja korkeammilla poikkeama-asteilla sekä poikkeamien tulot. Ne ovat pieniä ja korkeampia verrattuna itse poikkeamiin, jotka ovat pieniä ensimmäisen kertaluokan poikkeamia.

Yhtälö (2.3) on linkin dynamiikkayhtälö, aivan kuten (2.1), mutta kirjoitettu eri muodossa. Hylkäämme tämän yhtälön korkeamman kertaluvun pienet, minkä jälkeen vähennämme yhtälöstä (2.3) vakaan tilan yhtälöt (2.2). Tuloksena saamme seuraavan likimääräisen linkin dynamiikkayhtälön pienillä poikkeamilla:

Tässä yhtälössä kaikki muuttujat ja niiden derivaatat tulevat lineaarisesti eli ensimmäisissä määrin. Kaikki osittaiset derivaatat ovat joitain vakiokertoimia siinä tapauksessa, että tutkitaan järjestelmää, jossa on vakioparametrit. Jos järjestelmässä on muuttuvia parametreja, yhtälössä (2.4) on muuttuvat kertoimet. Tarkastellaan vain vakiokertoimien tapausta.

Tehdyn linearisoinnin tavoitteena on yhtälön (2.4) saaminen. Automaattisen ohjauksen teoriassa on tapana kirjoittaa kaikkien linkkien yhtälöt siten, että lähtöarvo on yhtälön vasemmalla puolella ja kaikki muut termit siirretään oikealle puolelle. Tässä tapauksessa kaikki yhtälön ehdot jaetaan kertoimella lähtöarvossa. Tämän seurauksena yhtälö (2.4) saa muodon

jossa esitetään seuraava merkintä

. (2.6)

Lisäksi mukavuuden vuoksi on tapana kirjoittaa kaikki differentiaaliyhtälöt operaattorin muodossa merkinnällä

Sitten differentiaaliyhtälö (2.5) voidaan kirjoittaa muotoon

Tätä tietuetta kutsutaan linkin dynamiikkayhtälön vakiomuodoksi.

Kertoimien T 1 ja T 2 mitta on aika - sekuntia. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että yhtälön (2.8) kaikilla termeillä on oltava sama ulottuvuus, ja esim. (tai px 2) eroaa mitat x 2 sekunnissa miinus ensimmäiseen tehoon (
). Siksi kertoimia T 1 ja T 2 kutsutaan aikavakiot .

Kertoimella k1 on lähtöarvon dimensio jaettuna tulon dimensiolla. Sitä kutsutaan siirtosuhde linkki. Linkeille, joiden lähtö- ja tuloarvoilla on sama ulottuvuus, käytetään myös seuraavia termejä: vahvistus - linkille, joka on vahvistin tai jonka koostumuksessa on vahvistin; välityssuhde - vaihteistoille, jännitteenjakajille, skaalauslaitteille jne.

Siirtokerroin luonnehtii linkin staattisia ominaisuuksia, koska vakaassa tilassa
. Siksi se määrittää staattisen ominaiskäyrän jyrkkyyden pienillä poikkeamilla. Jos kuvaamme linkin koko todellisen staattisen ominaisuuden
, niin linearisointi antaa
tai
. Lähetyskerroin k 1 on kaltevuuden tangentti tangentti siinä pisteessä C (katso kuva 2.3), josta mitataan pienet poikkeamat x 1 ja x 2.

Kuvasta voidaan nähdä, että yllä oleva yhtälön linearisointi pätee ohjausprosesseille, jotka kaappaavat sellaisen AB-ominaiskäyrän osan, jonka tangentti eroaa vähän itse käyrästä.

Tästä seuraa lisäksi toinen, graafinen linearisointimenetelmä. Jos tunnetaan staattinen ominaisuus ja piste C, joka määrittää vakaan tilan, jonka ympärillä säätöprosessi tapahtuu, niin linkkiyhtälön siirtokerroin määritetään graafisesti piirustuksesta riippuvuuden k 1 = tg mukaan. ottaen huomioon piirustuksen mittakaava ja mitat x 2. Monessa tapauksessa graafinen linearisointimenetelmä osoittautuu mukavammaksi ja johtaa maaliin nopeammin.

Kertoimen k 2 dimensio on yhtä suuri kuin vahvistuksen dimensio k 1 kertaa aika. Siksi yhtälö (2.8) kirjoitetaan usein muodossa

missä
on aikavakio.

P

Riisi. 2.4. Itsenäinen viritysmoottori

aikavakiot T1, T2 ja T3 määrittävät linkin dynaamiset ominaisuudet. Tätä kysymystä tarkastellaan yksityiskohtaisesti jäljempänä.

Kerroin k 3 on ulkoisen häiriön vahvistus.

Esimerkkinä linearisoinnista harkitaan sähkömoottoria, jota ohjataan virityspiirin puolelta (kuva 2.4).

Löytääksemme differentiaaliyhtälön, joka yhdistää nopeuden lisäyksen virityskäämin jännitteen lisäykseen, kirjoitamme ylös sähkömotoristen voimien (emf) tasapainolaki virityspiirissä, emf:n tasapainolaki ankkuripiirissä ja laki momenttitasapaino moottorin akselilla:

;

.

Toisessa yhtälössä ankkuripiirin itseinduktio-emf:ää vastaava termi on yksinkertaisuuden vuoksi jätetty pois.

Näissä kaavoissa RB ja RI ovat herätepiirin ja ankkuripiirin resistanssit; І В ja І Я - virrat näissä piireissä; U V ja U I ovat näihin piireihin syötetyt jännitteet,  V on virityskäämin kierrosten lukumäärä; Ф – magneettivuo; Ω on moottorin akselin pyörimiskulmanopeus; M on ulkoisten voimien vastusmomentti, J on moottorin alennettu hitausmomentti; C E ja C M - suhteellisuuskertoimet.

Oletetaan, että ennen virityskäämiin syötetyn jännitteen lisäyksen ilmaantumista oli vakaa tila, jolle yhtälöt (2.10) kirjoitetaan seuraavasti:

(2.11)

Jos nyt herätejännite saa lisäyksen U B = U B0 + ΔU B, niin kaikki järjestelmän tilan määräävät muuttujat saavat myös lisäyksiä. Tämän seurauksena meillä on: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Korvaamme nämä arvot arvoiksi (2.10), hylkäämme korkeamman asteen pienet arvot ja saamme:

(2.12)

Vähentämällä yhtälöt (2.11) yhtälöistä (2.12), saadaan yhtälöjärjestelmä poikkeamia varten:

(2.13)

AT

Riisi. 2.5. Magnetisaatiokäyrä

nämä yhtälöt esittelivät suhteellisuuskertoimen vuon lisäyksen ja herätevirran lisäyksen välille
määritetty sähkömoottorin magnetointikäyrästä (kuva 2.5).

Järjestelmän (2.13) yhteisratkaisu antaa

missä on siirtokerroin, ,

; (2.15)

herätepiirin sähkömagneettinen aikavakio, s,

(2.16)

jossa L B = a B on herätepiirin itseinduktiokerroin; moottorin sähkömagneettinen aikavakio, s,

. (2.17)

Lausekkeista (2.15) - (2.17) voidaan nähdä, että tarkasteltava järjestelmä on oleellisesti epälineaarinen, koska siirtokerroin ja aika "vakio" eivät itse asiassa ole vakioita. Niitä voidaan pitää vakioina vain suunnilleen tietyssä tilassa, edellyttäen, että kaikkien muuttujien poikkeamat vakaan tilan arvoista ovat pieniä.

Mielenkiintoinen on erikoistapaus, kun vakaassa tilassa U B0 = 0; IB0 = 0; Ф 0 = 0 ja Ω 0 = 0. Sitten kaava (2.14) saa muodon

. (2.18)

Tässä tapauksessa staattinen ominaisuus liittyy moottorin kiihtyvyyden lisääntymiseen
ja jännitteen lisäys herätepiirissä.