Matematiikka tieteenä syntyi käytännön ongelmien ratkaisutarpeen yhteydessä: mittaukset maassa, navigointi jne. Tästä johtuen matematiikka oli numeerista matematiikkaa ja sen tavoitteena oli saada ratkaisu luvun muodossa. Sovellettujen ongelmien numeerinen ratkaisu on aina kiinnostanut matemaatikoita. Menneisyyden suurimmat edustajat yhdistivät tutkimuksissaan luonnonilmiöiden tutkimisen ja saivat niiden matemaattisen kuvauksen, ts. hänen matemaattinen mallinsa ja tutkimuksensa. Monimutkaisten mallien analysointi edellytti erityisten, yleensä numeeristen menetelmien luomista ongelmien ratkaisemiseksi. Joidenkin näiden menetelmien nimet osoittavat, että ne ovat aikansa suurimmat tiedemiehet kehittäneet. Nämä ovat Newtonin, Eulerin, Lobatševskin, Gaussin, Chebyshevin, Hermiten menetelmät.

Nykyaikaa leimaa matematiikan sovellusten jyrkkä laajeneminen, joka liittyy suurelta osin tietotekniikan luomiseen ja kehittämiseen. Tietokoneiden ilmaantumisen seurauksena alle 40 vuodessa toimintojen nopeus on kasvanut 0,1 operaatiosta sekunnissa manuaalisella laskennalla 10 operaatioon sekunnissa nykyaikaisissa tietokoneissa.

Laajalle levinnyt mielipide nykyaikaisten tietokoneiden kaikkivaltiudesta antaa vaikutelman, että matemaatikot ovat päässeet eroon kaikista ongelmien numeeriseen ratkaisuun liittyvistä ongelmista, eikä uusien menetelmien kehittäminen niiden ratkaisemiseksi ole enää niin merkittävää. Todellisuudessa tilanne on erilainen, koska evoluution tarpeet asettuvat pääsääntöisesti tieteen tehtävien edelle, jotka ovat sen kykyjen kynnyksellä. Matematiikan soveltamisen laajeneminen johti eri tieteenalojen matematisointiin: kemia, taloustiede, biologia, geologia, maantiede, psykologia, lääketiede, tekniikka jne.

On olemassa kaksi seikkaa, jotka alun perin johtivat haluun tieteiden matematisointiin:

Ensinnäkin vain matemaattisten menetelmien käyttö mahdollistaa kvantitatiivisen luonteen aineellisen maailman yhden tai toisen ilmiön tutkimukselle;

toiseksi, ja tämä on pääasia, vain matemaattinen ajattelutapa tekee kohteen. Tätä tutkimusmenetelmää kutsutaan laskennalliseksi kokeeksi - tutkimus on täysin objektiivinen.

Viime aikoina on ilmaantunut toinen tekijä, jolla on vahva vaikutus tiedon matematisoinnin prosesseihin. Tämä on tietotekniikan nopeaa kehitystä. Tietokoneiden käyttö tieteellisten, teknisten ja yleisesti sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen perustuu täysin niiden matematisointiin.

matemaattiset mallit.

Nykyaikainen tekniikka monimutkaisten ongelmien tutkimiseen perustuu tutkittavan ongelman matemaattisten mallien rakentamiseen ja analysointiin, yleensä tietokoneen avulla. Yleensä laskennallinen koe, kuten olemme jo nähneet, koostuu useista vaiheista: ongelman asettaminen, matemaattisen mallin rakentaminen (ongelman matemaattinen muotoilu), numeerisen menetelmän kehittäminen, algoritmin kehittäminen numeerisen menetelmän toteuttamiseksi, kehittäminen ohjelma, ohjelman virheenkorjaus, laskelmien suorittaminen, tulosten analysointi.

Joten tietokoneiden käyttö minkä tahansa tieteellisen tai teknisen ongelman ratkaisemiseen liittyy väistämättä siirtymiseen todellisesta prosessista tai ilmiöstä sen matemaattiseen malliin. Näin ollen mallien soveltaminen tieteellisessä tutkimuksessa ja suunnittelukäytännössä on matemaattisen mallintamisen taidetta.

Mallia kutsutaan yleensä esitetyksi tai aineellisesti toteutetuksi järjestelmäksi, joka toistaa tietyn ilmiön tärkeimmät tärkeimmät piirteet.

Tärkeimmät vaatimukset matemaattiselle mallille ovat tarkasteltavan ilmiön riittävyys, ts. sen tulee kuvastaa riittävästi ilmiön ominaispiirteitä. Samalla sen tulisi olla suhteellisen yksinkertaista ja tutkimuksen saavutettavuutta.

Matemaattinen malli heijastaa riippuvuutta tutkittavan ilmiön esiintymisolosuhteiden ja sen tulosten välillä tietyissä matemaattisissa konstruktioissa. Useimmiten tällaisina rakenteina käytetään seuraavia matemaattisia käsitteitä: funktio, funktionaalinen, operaattori, numeerinen yhtälö, tavallinen differentiaaliyhtälö, osittaisdifferentiaaliyhtälö.

Matemaattiset mallit voidaan luokitella eri kriteerien mukaan: staattiset ja dynaamiset, keskittyneet ja hajautetut; deterministinen ja todennäköisyys.

Harkitse epälineaarisen yhtälön juurien löytämisen ongelmaa

Yhtälön (1) juuret ovat ne x:n arvot, jotka vaihtaessaan muuttavat sen identiteetiksi. Vain yksinkertaisimmille yhtälöille on mahdollista löytää ratkaisu kaavojen muodossa, ts. analyyttinen muoto. Useammin yhtälöt on ratkaistava likimääräisin menetelmin, joista yleisimpiä tietokoneiden tulon yhteydessä ovat numeeriset menetelmät.

Algoritmi juurien löytämiseksi likimääräisin menetelmin voidaan jakaa kahteen vaiheeseen. Aluksi tutkitaan juurien sijainti ja suoritetaan niiden erottaminen. On alue, jolla on yhtälön juuri tai juuren x 0 alkuproksimaatio. Yksinkertaisin tapa ratkaista tämä ongelma on tutkia funktion f(x) kuvaajaa. Yleisesti ottaen sen ratkaisemiseksi on käytettävä kaikki matemaattisen analyysin keinot.

Vähintään yhden yhtälön (1) juuren olemassaolo löydetyssä segmentissä seuraa Bolzanon ehdosta:

f(a)*f(b)<0 (2)

Oletetaan myös, että funktio f(x) on jatkuva annetulla segmentillä. Tämä ehto ei kuitenkaan vastaa kysymykseen yhtälön juurien lukumäärästä tietyllä aikavälillä. Jos funktion jatkuvuuden vaatimusta täydennetään sen monotonisuuden vaatimuksella, ja tämä seuraa ensimmäisen derivaatan etumerkkivakaisuudesta, niin voimme väittää, että tietyllä segmentillä on ainutlaatuinen juuri.

Juureita lokalisoitaessa on myös tärkeää tietää tämän tyyppisen yhtälön perusominaisuudet. Muista esimerkiksi joitain algebrallisten yhtälöiden ominaisuuksia:

missä ovat todelliset kertoimet.

• a) Asteen n yhtälöllä on n juurta, joiden joukossa voi olla sekä reaalisia että kompleksisia. Monimutkaiset juuret muodostavat kompleksisia konjugaattipareja ja siksi yhtälössä on parillinen määrä sellaisia ​​juuria. Parittomalla n:n arvolla on vähintään yksi todellinen juuri.
• b) Positiivisten reaalijuurien määrä on pienempi tai yhtä suuri kuin muuttujien etumerkkien lukumäärä kertoimien sarjassa. Kun x korvataan -x:llä yhtälössä (3), voit arvioida negatiivisten juurien lukumäärän samalla tavalla.

Yhtälön (1) ratkaisun toisessa vaiheessa muodostetaan saatua alkulikiarvoa käyttäen iteratiivinen prosessi, joka mahdollistaa juuren arvon tarkentamisen tietyllä ennalta määrätyllä tarkkuudella. Iteratiivinen prosessi koostuu alkuperäisen approksimoinnin peräkkäisestä tarkentamisesta. Jokaista tällaista vaihetta kutsutaan iteraatioksi. Iterointiprosessin tuloksena löydetään sarja yhtälön juurien likimääräisiä arvoja. Jos tämä sarja lähestyy juuren x:n todellista arvoa n:n kasvaessa, iteratiivinen prosessi konvergoi. Iteratiivisen prosessin sanotaan konvergoivan vähintään luokkaan m, jos seuraava ehto täyttyy:

missä С>0 on jokin vakio. Jos m=1, niin puhutaan ensimmäisen asteen konvergenssista; m = 2 - noin neliöllinen, m = 3 - noin kuutio konvergenssi.

Iteratiiviset syklit päättyvät, jos tietyn sallitun virheen osalta absoluuttisten tai suhteellisten poikkeamien kriteerit täyttyvät:

tai jäännöksen pienuus:

Tämä työ on omistettu algoritmin tutkimukselle epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi Newtonin menetelmällä.

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen on monia erilaisia ​​menetelmiä, joista osa on esitetty alla:

• 1)Iterointimenetelmä. Ratkaistaessa epälineaarista yhtälöä iteroimalla, käytämme yhtälöä muodossa x=f(x). Argumentin alkuarvo x 0 ja tarkkuus e annetaan. Ensimmäinen likiarvo ratkaisulle x 1 saadaan lausekkeesta x 1 \u003d f (x 0), toinen - x 2 \u003d f (x 1) , jne. Yleisessä tapauksessa i+1 approksimaatio löydetään kaavasta xi+1 =f(xi). Toistamme tätä menettelyä, kunnes |f(xi)|>e. Iterointimenetelmän konvergenssin ehto |f"(x)|
• 2)Newtonin menetelmä. Kun epälineaarista yhtälöä ratkaistaan ​​Newtonin menetelmällä, asetetaan argumentin alkuarvo x 0 ja tarkkuus e. Sitten pisteessä (x 0, F (x 0)) piirretään tangentti kuvaajalle F (x). ) ja määritä tangentin leikkauspiste abskissa-akselin x 1 kanssa. Pisteessä (x 1, F (x 1)) rakennamme jälleen tangentin, etsimme seuraavan likiarvon halutusta ratkaisusta x 2 jne. Toistamme tätä menettelyä, kunnes |F(xi)| > e. Määrittääksemme tangentin leikkauspisteen (i + 1) abskissa-akselin kanssa käytämme seuraavaa kaavaa

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

Konvergenssiehto tangenttimenetelmälle F(x 0) F""(x)>0 jne.

3). dikotomia menetelmä. Ratkaisutekniikka vähennetään alkuperäisen epävarmuusvälin asteittaiseen jakamiseen kaavan mukaan

C - \u003d a - + sisään / 2.

Jotta voidaan valita tarvittava kahdesta tuloksena olevasta segmentistä, on löydettävä tuloksena olevien segmenttien päistä funktion arvo ja harkittava sitä, jolla funktio muuttaa etumerkkiään, eli ehto f ( a k) * f (k)<0.

Segmentin jakaminen suoritetaan, kunnes nykyisen epävarmuusvälin pituus on pienempi kuin määritetty tarkkuus, eli k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). sointumenetelmä. Menetelmän ideana on, että funktion y=f(x) kuvaajan kaaren päät supistava jänne ja pisteen c, jänteen leikkauspiste abskissa-akselin kanssa, rakennetaan. , pidetään juuren likimääräisenä arvona

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

Seuraavaa approksimaatiota haetaan väliltä tai funktioarvojen etumerkeistä riippuen pisteissä a,b,c

x*O, jos f(c) H f(a) > 0;

x* O jos f(c) x f(b)< 0 .

Jos f "(x) ei muuta etumerkkiä arvoon , merkitsemällä c \u003d x 1 ja pitämällä a tai b alkuperäisenä approksimaationa, saamme sointumenetelmän iteratiiviset kaavat kiinteällä oikealla tai vasemmalla pisteellä.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), jossa f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), jossa f "(x) H f "(x)< 0 .

Sointumenetelmän konvergenssi on lineaarinen

Algebralliset ja transsendentaaliset yhtälöt. Juuren lokalisointimenetelmät.

Epälineaarisen yhtälön yleisin muoto:

f(x)=0 (2.1)

missä on funktio f(x) on määritelty ja jatkuva äärellisellä tai äärettömällä välillä [a, b].

Määritelmä 2.1. Mikä tahansa luku, joka kääntää funktion f(x) nollaan kutsutaan yhtälön (2.1) juureksi.

Määritelmä 2.2. Lukua kutsutaan k:nnen kerrannaisluvun juureksi, jos se on yhdessä funktion kanssa f(x) sen johdannaiset aina (k-1) kertaluokkaan asti ovat nolla:

Määritelmä 2.3. Yksittäistä juuria kutsutaan yksinkertaiseksi juureksi.

Epälineaariset yhtälöt, joissa on yksi muuttuja, jaetaan algebrallisiin ja transsendentaalisiin yhtälöihin.

Määritelmä 2.4 . Yhtälöä (2.1) kutsutaan algebralliseksi, jos funktio F(x) on algebrallinen.

Algebrallisilla muunnoksilla mistä tahansa algebrallisesta yhtälöstä voidaan saada yhtälö kanonisessa muodossa:

missä ovat yhtälön todelliset kertoimet, x on tuntematon.

Algebrasta tiedetään, että jokaisessa algebrallisessa yhtälössä on vähintään yksi todellinen tai kaksi kompleksista konjugaattijuurta.

Määritelmä 2.5. Yhtälöä (2.1) kutsutaan transsendenttiseksi, jos funktio F(x) ei ole algebrallinen.

Yhtälön (2.1) ratkaiseminen tarkoittaa:

• 1. Selvitä, onko yhtälöllä juuria.
• 2. Määritä yhtälön juurien lukumäärä.
• 3. Etsi yhtälön juurien arvot annetulla tarkkuudella.

Käytännössä kohdattuja yhtälöitä ei useinkaan voida ratkaista analyyttisin menetelmin. Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään numeerisia menetelmiä.

Algoritmi yhtälön juuren löytämiseksi numeerisella menetelmällä koostuu kahdesta vaiheesta:

• 1) osasto tai lokalisointi juuri, ts. yhden juuren sisältävän aikavälin asettaminen:
• 2) selvennys juuriarvot peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä.

Juuren lokalisointimenetelmät. Juuren erottelualgoritmin teoreettinen perusta on Cauchyn lause jatkuvan funktion väliarvoista.

Lause 2.1. Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva janalla [a, b] ja f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, niin missä tahansa pisteessä C, joka sijaitsee A:n ja B:n välissä, on se kohta.

Seuraus. Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva janolla [a, b] ja ottaa sen päissä eri etumerkkien arvot, niin tällä segmentillä on vähintään yksi yhtälön f (x) juur. u003d 0.

Olkoon funktion määritelmä- ja jatkuvuusalue äärellinen segmentti [a,b]. Jaa segmentti n osat:,

Laskemalla peräkkäin funktion arvot pisteissä, löydämme sellaiset segmentit, joille ehto täyttyy:

nuo. , tai,. Nämä segmentit sisältävät vähintään yhden juuren.

Lause 2.2. Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva janalla [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Erottaaksesi juuret, voit käyttää myös funktion kuvaajaa klo= f (X). Yhtälön (2.1) juuret ovat nämä arvot X, jossa funktion y=f(x) kuvaaja leikkaa x-akselin. Funktion kaavion rakentaminen pienelläkin tarkkuudella antaa yleensä käsityksen yhtälön (2.1) juurien sijainnista. Jos funktion y \u003d f (x) piirtäminen aiheuttaa vaikeuksia, alkuperäinen yhtälö (2.1) tulee muuntaa muotoon c1(x)= c2(x) niin että funktioiden kuvaajat klo= c1(x) ja klo= c2(x) olivat melko yksinkertaisia. Näiden kuvaajien leikkauspisteiden abskissat ovat yhtälön (2.1) juuria.

Esimerkki 1 Erottele yhtälön juuret x 2 -2cosx=0.

Ratkaisu. Tarkastellaan kahta tapaa erottaa juuret.

• a) Graafinen tapa. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon x 2 =2cosx ja rakennetaan kaavio funktioista y=x 2 ja y=2cosx samassa koordinaatistossa (kuva 5). koska nämä kuvaajat leikkaavat kahdessa pisteessä, yhtälöllä on kaksi juuria, jotka sijaitsevat symmetrisesti origon ympärillä intervalleilla (-/2; 0) ja (0; /2).
• b) Analyyttinen menetelmä. Päästää f(x)= x 2-2cosx. Koska f(x) on parillinen funktio, riittää, kun huomioidaan vain x:n ei-negatiiviset arvot. Epäyhtälöstä 2cosx2 johtuen

Johdannainen f"(x)=2(x+sinx). Välillä (0; /2) f"(x)>0, siis f(x) täällä kasvaa monotonisesti ja sen kuvaaja voi ylittää akselin X ei enempää kuin yksi piste. huomaa, että f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on yksi positiivinen juuri, joka sijaitsee välillä (0; /2). Koska funktio on parillinen, yhtälöllä on myös yksi negatiivinen juuri, symmetrinen positiivisen kanssa. Siirrytään nyt juuren tarkentamiseen. Jotta voit käyttää yhdistettyä juuritarkennusmenetelmää, sinun on varmistettava se f ""(x) on (0; /2) säilyttää etumerkin ja valitse tangenttimenetelmää varten juuren alkuperäinen approksimaatio. Sen on täytettävä ehto: f(x)f ""(x)>0. Koska f ""(x)=2(1+cosx) on positiivinen, jolloin /2 voidaan ottaa tangenttimenetelmän juuren alkulikiarvoksi. Siksi voidaan laittaa x=/21,570796, x 1 = 0 (katso algoritmikaavio). Meidän tapauksessamme sointumenetelmä antaa juuren likimääräisen arvon haitalla ja tangenttimenetelmä - ylimäärällä.

Harkitse yhtä iteratiivista juuren tarkentamisen vaihetta. Laske arvot f(0), f(/2), f"(/2). Uusia arvoja x 1 ja x etsi vastaavasti kaavoilla:

|x-x 1 |=0,387680,4>10 -4 =.

Määritettyä tarkkuutta ei saavuteta, ja laskelmia on jatkettava.

Iteraationumero	x 1		f(x 1 )			|x-x 1 |

Siksi juuren likimääräinen arvo vaaditulla tarkkuudella löydettiin kolmen iteroinnin tuloksena ja on suunnilleen yhtä suuri kuin 1,0217.

Johtuen funktion kaavion symmetriasta f(x) toisen juuren arvo on suunnilleen yhtä suuri kuin -1,0217.

Juuren selvennys.

Ongelman muotoilu . Oletetaan, että yhtälön (2.1) haluttu juuri on erotettu, ts. segmentti [a; b], jolla on yksi ja vain yksi yhtälön juuri. Mikä tahansa tämän segmentin piste voidaan ottaa juuren likimääräiseksi arvoksi. Tämän likiarvon virhe ei ylitä pituutta [a; b]. Näin ollen ongelma juuren likimääräisen arvon löytämisestä annetulla tarkkuudella vähenee segmentin [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей juuritarkennuksia.

Numeeristen menetelmien kuvaus. Numeeristen menetelmien avulla on mahdollista löytää ratkaisuja tiettyihin ongelmiin, kun tiedetään etukäteen, että saadut tulokset lasketaan tietyllä virheellä, joten monien numeeristen menetelmien kohdalla on tiedettävä etukäteen "tarkkuustaso", jonka tuloksena oleva ratkaisu tulee vastaamaan.

Tässä suhteessa muodon (3.1) polynomin juurien löytämisen ongelma

on erityisen kiinnostava, koska kaavat jopa kuutioyhtälön juurten löytämiseksi ovat melko monimutkaisia. Jos on tarpeen löytää juuret polynomille, jonka aste on esimerkiksi 5, ei voi tulla toimeen ilman numeeristen menetelmien apua, varsinkin kun tällaisella polynomilla on todennäköisyys, että siinä on luonnolliset (tai kokonaisluku- tai tarkat juuret "lyhyt" murto-osa) on melko pieni, eikä ole olemassa kaavoja 4:tä suuremman asteyhtälön juurien löytämiseksi. Käytännössä kaikki muut toiminnot supistetaan juurien selkeyttäminen, joiden välit ovat suunnilleen tiedossa etukäteen. Helpoin tapa löytää nämä "likimääräiset" juuret on käyttää graafisia menetelmiä.

Polynomin juurien löytämiseksi on useita numeerisia menetelmiä: iteraatiomenetelmä, sointujen ja tangenttien menetelmä, puolijakomenetelmä, sekanttimenetelmä.

Bisection menetelmä(tunnetaan myös "menetelmänä jakaa segmentti puoliksi") on myös rekursiivinen, ts. määrätään toistosta saadut tulokset huomioon ottaen.

Puolijakomenetelmän olemus on seuraava:

• - funktio F(x) on annettu;
• - sallittu virhe Q määritetään;
• - määritellään jokin intervalli [ a , b ], joka sisältää tarkalleen yhtälön ratkaisun.

1) Laskemme koordinaatin E arvon ottamalla janan keskikohdan, ts.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) Laske F(a), F(b), F(E) arvot ja suorita seuraava tarkistus: Jos F(E)>Q, niin juuri löytyy määritetyllä tarkkuudella. Jos F(E)
• 3) Siirry kohtaan 1.

Yksinkertaisten iteraatioiden menetelmä (peräkkäisten approksimaatioiden menetelmä). Korvaamme yhtälön (2.1) vastaavalla yhtälöllä

x=(x) (3.3)

voidaan tehdä monin eri tavoin esim

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Oletetaan, että valitaan jokin yhtälön (3.3) juuren alkuperäinen approksimaatio. Määrittelemme numeerisen sekvenssin kaavoilla

X n+1 =(x n ), n = 0,1,2,… (3.5)

Tällaista sarjaa kutsutaan iteratiiviseksi.

Jos segmentissä, joka sisältää x 0 ja kaikki myöhemmät approksimaatiot x n , nN, funktiolla (x) on jatkuva derivaatta "(x) ja |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

Etenkin tästä epäyhtälöstä seuraa, että yksinkertaisen iteroinnin menetelmän konvergenssinopeus riippuu q:n arvosta: mitä pienempi q, sitä nopeampi konvergenssi.

Siksi käytännössä, kun juuret löydetään yksinkertaisen iteroinnin menetelmällä, on toivottavaa esittää yhtälö (2.1) muodossa (3.3) siten, että derivaatta "(x) juuren läheisyydessä on mahdollisesti Itseisarvoltaan pienempi, tähän käytetään joskus kaavan parametria c (3.4).

Newtonin menetelmä (tangenttimenetelmä). Jos tunnetaan riittävän hyvä alkuproksimaatio, jolle pätee seuraava epäyhtälö:

Sitten voit laskea yhtälön ainoan juuren Newtonin kaavalla

Alkuperäisenä likiarvona voit käyttää intervallin rajoja ja:

Jos päällä.

Tämän menetelmän jokaisessa iteraatiossa laskelmien määrä on suurempi kuin puolittamis- ja iteraatiomenetelmissä, koska on tarpeen löytää funktion arvon lisäksi myös sen derivaatta. Newtonin menetelmän konvergenssinopeus on kuitenkin paljon suurempi.

Lause. Olkoon yhtälön juuri, ts. , ja on jatkuvaa. Sitten on juuren naapuruus niin, että jos alkuperäinen approksimaatio kuuluu tähän naapurustoon, niin Newtonin menetelmässä arvojen sarja konvergoi arvoon at. Juuren approksimaation virhe voidaan arvioida kaavalla:

missä on segmentin toisen derivaatan moduulin suurin arvo, on segmentin ensimmäisen derivaatan moduulin pienin arvo.

Pysäytyssääntö:

Sointujen ja tangenttien menetelmä (yhdistetty). Tämä menetelmä perustuu funktion kaavion rakentamiseen, sen ja abskissa-akselin leikkausvälien määrittämiseen ja tämän intervallin "pakkaukseen" käyttämällä tämän funktion kaavion konstruoituja sointuja ja tangentteja.

On syytä huomata, että on olemassa myös erikseen sointumenetelmä (antaa juuren arvon puutteella) ja tangenttien menetelmä (ylimäärällä). Yhdistetyn menetelmän etuna on kuitenkin tarkasteltavan segmentin "kaksipuolinen pakkaus".

Harkitse seuraavaa tapausta:

• - funktio F(x) annetaan ja sen graafi rakennetaan;
• - sallittu virhe Q määritetään
• - kaavion perusteella määritellään segmentti, jolla funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin, joten tällä segmentillä on tarkasteltavan polynomin juuri (merkitsimme sitä A:lla)

Lisäalgoritmi rajoittuu seuraaviin toimiin:

• 1) rakennamme tangentin funktion kuvaajalle pisteessä F(b)
• 2) lasketaan tangentin ja abskissa-akselin leikkauspisteen x-koordinaatti kaavan (3.9) mukaisesti ja merkitään se b:llä
• 3) konstruoidaan pisteiden F(a) ja F(b) kautta kulkevan funktion kuvaajaan sointu.
• 4) Laskemme jänteen leikkauspisteen abskissa-akselin kanssa kaavan (2) mukaisesti ja merkitsemme sitä a".

Näin saadaan uusi segmentti , joka (painteen ja tangentin määritelmien mukaan) sisältää edelleen yhtälön A ratkaisun.

Nyt otetaan jana uudeksi segmentiksi ja toistetaan vaiheita 1-4, kunnes ero F(b)-F(a) on pienempi kuin alun perin upotettu virhe Q. Huomaa myös, että tämän jälkeen on suositeltavaa ottaa aritmeettinen keskiarvo F haluttuna ratkaisuna (a) ja F(b).

Jos siis sointu (tangentti) antaa juuren arvon ylijäämän kanssa, niin tämä juuri otetaan uudeksi oikeaksi rajaksi ja jos puutteella, niin vasen. Molemmissa tapauksissa tarkka juuri on jänteen ja abskissa-akselin tangentin leikkauspisteiden välissä.

Huomautuksia sointujen ja tangenttien menetelmästä. Koska tehtävän ratkaiseminen edellyttää funktion F(x) derivaatan löytämistä, on sointujen ja tangenttien menetelmää varsin vaikea toteuttaa ohjelmatasolla, koska johdannaisten laskentasäännöt yleisessä muodossa ovat melko hankalia tietokoneen "ymmärtämisen" kannalta; kun määritetään suoraan derivaatta jokaiselle polynomin asteikolle, tietokoneen muistia kuormitetaan vakavasti, mikä hidastaa huomattavasti työtä, ja funktion ja vastaavasti sen derivaatan asettamista suoraan ohjelmakoodiin ei voida hyväksyä. Tätä menetelmää käytettäessä intervallin konvergenssi juureen tapahtuu kuitenkin nopeimmin, varsinkin jos sointujen ja tangenttien menetelmä yhdistetään puolitusmenetelmään, koska uuden segmentin keskiosa antaa usein täysin tyydyttävän ratkaisun.

Sekanttimenetelmä. Sekanttimenetelmä saadaan Newtonin menetelmästä korvaamalla derivaatta likimääräisellä lausekkeella - erotuskaavalla:

Kaava (3.8) käyttää kahta edellistä approksimaatiota u. Siksi annetulle alkuarvolle on tarpeen laskea seuraava approksimaatio esimerkiksi Newton-menetelmällä korvaamalla derivaatan likimääräinen kaava

Sekanttimenetelmän algoritmi:

1) alkuarvo ja virhe annetaan. Laskea

2) varten n= 1,2, ..... kun ehto täyttyy, lasketaan kaavalla (3.8).

Ongelman muotoilu

Juurien erottelu

Juuren tarkennus

1.2.3.2. Iterointimenetelmä

1.2.3.4. sointumenetelmä

Ongelman muotoilu

Algebralliset yhtälöt

( 1.2.1-1)

transsendenttinen yhtälö

(1.2.1-2)

Iteratiivinen juurien hienosäätö.

Juurien erotteluvaiheessa ratkaistaan ​​ongelma löytää mahdollisimman kapeat segmentit, jotka sisältävät yhtälön yhden ja vain yhden juuren.

Juuren tarkennusvaiheen tarkoituksena on laskea juuren likimääräinen arvo tietyllä tarkkuudella. Tässä tapauksessa käytetään iteratiivisia menetelmiä peräkkäisten approksimaatioiden laskemiseen juurille: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., jossa jokainen myöhempi approksimaatio x n+1 lasketaan edellisen x n perusteella. Jokaista vaihetta kutsutaan iteraatioksi. Jos jonolla x 0 , x 1 , ..., x n , … as n ® ¥ on raja, joka on yhtä suuri kuin juuren arvo, niin iteratiivisen prosessin sanotaan konvergoivan.

On olemassa useita tapoja erottaa ja tarkentaa juuret, joista keskustelemme alla.

Juurien erottelu

Yhtälön f(x)=0 juuren katsotaan olevan erotettu (lokalisoitu) segmentissä, jos tällä yhtälöllä ei ole muita juuria tässä segmentissä. Yhtälön juurten erottamiseksi on tarpeen jakaa funktion f(x) sallittujen arvojen alue melko kapeiksi segmenteiksi, joista jokainen sisältää vain yhden juuren. Olla olemassa graafinen ja analyyttinen juurien erotusmenetelmät.

Juuren tarkennus

Tehtävä tarkentaa yhtälön juuria segmentin erotuksella on löytää juurille sellainen likimääräinen arvo, jolle epäyhtälö . Jos yhtälössä ei ole yhtä, vaan useita juuria, tarkennusvaihe suoritetaan jokaiselle erotetulle juurelle.

Puolijakomenetelmä

Olkoon yhtälön f(x)=0 juuri janalla erotettu, eli tällä segmentillä on yksi juuri ja funktio tällä segmentillä on jatkuva.

Puolittamismenetelmän avulla voit saada sarjan sisäkkäisiä segmenttejä , , …,,…, , niin että f(a i).f(b i)< 0 , jossa i=1,2,…,n, ja jokaisen seuraavan segmentin pituus on puolet edellisen pituudesta:

Segmentin peräkkäinen kaventaminen juuren tuntemattoman arvon ympärillä varmistaa suorittamisen jossain vaiheessa n epäyhtälöt |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

Voidaan ottaa juuren likimääräiseksi arvoksi, esimerkiksi sen keskipisteeksi

Bisection-menetelmässä iteraatiosta iteraatioon alkusegmentin pituus pienennetään johdonmukaisesti puoleen (kuva 1.2.3-1). Siksi n:nnessä vaiheessa seuraava arvio tuloksen virheestä on voimassa:

( 1.2.3-1)

missä on juuren tarkka arvo, x n н on juuren likimääräinen arvo n:nnessä vaiheessa.

Vertaamalla saatua virhearviota annettuun tarkkuuteen, voimme arvioida tarvittavan määrän vaiheita:

(1.2.3-2)

Kaavasta voidaan nähdä, että arvon lasku e(tarkkuuden lisääntyminen) johtaa laskelmien määrän merkittävään kasvuun, joten käytännössä juuren suhteellisen karkeaan löytämiseen käytetään puolijakomenetelmää ja sen jatkojalostus suoritetaan muilla tehokkaammilla menetelmillä .

Riisi. 1.2.3-2. Puolittamismenetelmän algoritmin kaavio

Puolittamisalgoritmin kaavio on esitetty kuvassa. 1.2.3-2. Yllä oleva algoritmi olettaa, että yhtälön f(x) vasen puoli on suunniteltu ohjelmistomoduuliksi.

Esimerkki 1.2.3-1. Määritä yhtälön x 3 +x-1=0 juuri tarkkuudella =0,1, joka on lokalisoitu segmenttiin .

Tulokset esitetään kätevästi käyttämällä taulukkoa 1.2.3-3.

Taulukko 1.2.3-3

k	a	b	fa)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	a k	b k
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

Neljännen iteraation jälkeen segmentin pituus |b 4 -a 4 | = |0,688-0,625| = 0,063 on tullut pienemmäksi kuin arvo e, joten juuren likimääräiseksi arvoksi voit ottaa tämän segmentin keskikohdan arvon: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0,656 .

Funktion f(x) arvo pisteessä x = 0,656 on f(0,656) = -0,062 .

Iterointimenetelmä

Iterointimenetelmään kuuluu yhtälön f(x)=0 korvaaminen vastaavalla yhtälöllä x=j(x). Jos yhtälön juuri erotetaan segmentistä , niin alkuperäisen approksimaatioon x 0 н, voit saada sarjan approksimaatioita juureen

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

jossa funktiota j(x) kutsutaan iteroivaksi funktioksi.

Yksinkertaisen iterointimenetelmän konvergenssiehto määritetään seuraavalla lauseella.

Anna juuren X* yhtälöt x=j(x) erotettu segmenttiinja rakensi approksimaatioiden sekvenssin säännön mukaan x n \u003d j (x n -1) . Sitten jos kaikki sekvenssin jäsenet xn =j(xn-1) н ja sellainen on olemassa q(0 että kaikille x О suoritettu|j'(x)| = q<1, silloin tämä sekvenssi on konvergentti ja sekvenssin raja on juuren arvo x* , eli iterointiprosessi konvergoi yhtälön juureen alkuperäisestä approksimaatiosta riippumatta.

Siten, jos iterointimenetelmän konvergenssiehto täyttyy, kaavalla x n +1 = j(x n) saatu sekvenssi x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,… ), konvergoi juuren tarkkaan arvoon:

Ehto j(x)н arvolle xн tarkoittaa, että kaikkien iteratiivisella kaavalla saatujen approksimaatioiden x 1 , x 2 , …, x n ,… tulee kuulua segmenttiin, jossa juuri on erotettu.

Iterointimenetelmän virheen arvioimiseksi ehto

numeroa kohti q voi saada suurimman arvon |j"(x)| , ja iteraatioiden prosessia tulisi jatkaa epätasa-arvoon asti

(1.2.3-5)

Käytännössä käytetään usein yksinkertaistettua virheenestimointikaavaa. Esimerkiksi jos 0

|x n -1 - x n | £ .

Iteratiivisen kaavan x n +1 = j(x n) avulla voit saada yhtälön f(x)=0 juuren arvon millä tahansa tarkkuudella .

Iterointimenetelmän geometrinen esitys. X0Y-tasolle piirretään funktioiden y=x ja y=j(x) kuvaajat ). Yhtälön x=j(x) juuri on funktion y = j(x) kuvaajien leikkauspisteen abskissa ) ja suora y=x. Otetaan jokin alkuperäinen approksimaatio x 0 н . Käyrällä y \u003d j (x) se vastaa pistettä A 0 \u003d j (x 0). Seuraavan likiarvon löytämiseksi vedä suora vaakasuora viiva pisteen A 0 kautta suoran y \u003d x leikkauspisteeseen (piste B 1) ja laske kohtisuoraa käyrän leikkauspisteeseen (piste A 1), eli x 1 \u003d j (x 0) . Jatkamalla rakentamista samalla tavalla saadaan katkoviiva A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., jolle pisteiden yhteiset abskissat edustavat peräkkäistä approksimaatiota x 1, x 2, . .., x n ("tikkaat") juureen X*. Kuvasta 1.2.3-3a voidaan nähdä, että prosessi konvergoi yhtälön juureen.

Tarkastellaan nyt toista käyrän muotoa y = j(x) (kuva 1.2.6b). Tässä tapauksessa katkoviiva A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... on "spiraalin" muotoinen. Tässä tapauksessa havaitaan kuitenkin myös konvergenssi.

On helppo nähdä, että ensimmäisessä tapauksessa derivaatta täyttää ehdon 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-yksi. On siis selvää, että jos |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

Tarkastellaan nyt tapauksia, joissa |j'(x) |> 1. Kuvassa fig. 1.2.3-4a esittää tapauksen, jossa j'(x)>1, ja kuvassa 1.2.3-4a. 1.2.3-4b - kun j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

Tapoja parantaa iterointiprosessin lähentymistä. Tarkastellaan kahta vaihtoehtoa funktion j(x) esittämiseksi siirtymässä yhtälöstä f(x) arvoon x=j(x).

1. Olkoon funktio j(x) differentioituva ja monotoninen juuren lähialueilla, ja olkoon luku k £ |j‘(x)|, jossa k ³ 1 (eli prosessi hajoaa). Korvataan yhtälö x=j(x) sen ekvivalentilla yhtälöllä x=Y(x ) , missä Y(x) = 1/j(x)(siirrytään käänteisfunktioon). Sitten

mikä tarkoittaa q = 1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. Esitetään funktio j(x) muodossa j(x) = x - lf(x), missä l on kerroin , ei tasa-arvoinen

nolla. Jotta prosessi lähentyisi, se on välttämätöntä
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), missä m 1 ja M 1 ovat f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) minimi- ja maksimiarvot хн:lle, ts. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Sitten

ja prosessi konvergoi, rekursiivisella kaavalla on muoto

Jos f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

Parametri λ voidaan määrittää myös säännöllä:

Jos , niin ja jos , niin missä .

Iterointimenetelmän algoritmin kaavio on esitetty kuvassa. 1.2.3-5.

Alkuperäinen yhtälö f(x)=0 on muunnettu iteraatioille sopivaan muotoon: Alkuperäisen yhtälön f(x) vasen puoli ja iterointifunktio fi(x) algoritmissa on suunniteltu erillisiksi ohjelmistomoduuleiksi.

Riisi. 1.2.3-5. Iterointimenetelmän algoritmikaavio

Esimerkki 1.2.3-2. Tarkenna yhtälön 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 juuria tarkkuudella 0,1, joka on lokalisoitu segmentille .

Tuomme yhtälön muotoon, joka sopii iteraatioille:

Siksi yhtälön juuren likimääräiseksi arvoksi otamme arvon x 3 =3,6892, mikä antaa tarvittavan laskelmien tarkkuuden. Tässä vaiheessa f(x 3) = 0,0027.

sointumenetelmä

Sointumenetelmän geometrinen tulkinta on seuraava
(Kuva 1.2.3-8).

Piirretään suora jana pisteiden A ja B kautta. Seuraava approksimaatio x 1 on jänteen ja 0x-akselin leikkauspisteen abskissa. Muodostetaan suoran janan yhtälö:

Laitetaan y = 0 ja etsitään arvo x = x 1 (toinen likiarvo):

Toistamme laskentaprosessin saadaksesi seuraavan likiarvon juureen - x 2 :

Meidän tapauksessamme (kuva 1.2.11) ja sointumenetelmän laskentakaava näyttää tältä

Tämä kaava pätee, kun piste b on otettu kiinteäksi pisteeksi ja piste a toimii alkuperäisenä approksimaationa.

Harkitse toista tapausta (kuva 1.2.3-9), jolloin .

Tämän tapauksen suorayhtälöllä on muoto

Seuraava approksimaatio x 1, kun y = 0

Sitten sointumenetelmän rekursiivisella kaavalla tässä tapauksessa on muoto

On huomattava, että sointumenetelmässä kiinteälle pisteelle valitaan janan loppu, jolle ehto f (x) ∙ f¢¢ (x)>0 täyttyy.

Jos siis piste a otetaan kiinteäksi pisteeksi , silloin x 0 = b toimii alkuproksimaationa ja päinvastoin.

Riittävät ehdot, jotka varmistavat yhtälön f(x)=0 juuren laskemisen sointujen kaavalla, ovat samat kuin tangenttimenetelmässä (Newtonin menetelmä), mutta alkuperäisen approksimoinnin sijaan valitaan kiinteä piste. Sointumenetelmä on muunnos Newtonin menetelmästä. Erona on, että seuraava Newton-menetelmän approksimaatio on tangentin leikkauspiste 0X-akselin kanssa, ja sointujen menetelmässä - sointeen leikkauspiste 0X-akselin kanssa - approksimaatiot konvergoivat juureen. eri puolia.

Sointumenetelmän virhearvio määräytyy lausekkeen avulla

(1.2.3-15)

Iterointiprosessin lopetusehto sointujen menetelmällä

(1.2.3-16)

Jos M1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.

Esimerkki 1.2.3-4. Määritä yhtälön juuri e x - 3x = 0, erotettuna segmentillä tarkkuudella 10 -4 .

Tarkastellaan konvergenssiehtoa:

Siksi a=0 tulisi valita kiinteäksi pisteeksi ja x 0 \u003d 1 tulisi ottaa alkuperäiseksi approksimaatioksi, koska f (0) \u003d 1> 0 ja f (0) * f "(0)> 0 .

Laskentatulokset saatu käyttämällä kaavaa
1.2.3-14 on esitetty taulukossa 1.2.3-4.

Taulukko 1.2.3-4

Riisi. 1.2.3-10. Sointumenetelmäalgoritmin kaavio

Epälineaarinen yhtälö on

1) algebrallinen tai transsendentaalinen yhtälö

2) algebrallinen yhtälö

3) trigonometrinen yhtälö

4) transsendenttinen yhtälö

Aihe 1.2. Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ongelman muotoilu

Juurien erottelu

1.2.2.1. Juurien graafinen erottelu

1.2.2.2. Analyyttinen juurten haara

Juuren tarkennus

1.2.3.1. Puolijakomenetelmä

1.2.3.2. Iterointimenetelmä

1.2.3.3. Newtonin menetelmä (tangenttimenetelmä)

1.2.3.4. sointumenetelmä

1.2.3.5. Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien vertailu

1.2.4. Testitehtävät aiheesta "Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät"

Ongelman muotoilu

Yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä ja yleisimmistä ongelmista on yhtälön juurten määrittäminen tuntemattomalla, joka voidaan esittää yleismuodossa f(x) = 0. Riippuen funktion f() muodosta x), erotetaan algebralliset ja transsendentaaliset yhtälöt. Algebralliset yhtälöt kutsutaan yhtälöiksi, joissa funktion f(x) arvo on n:nnen asteen polynomi:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

Mitä tahansa ei-algebrallista yhtälöä kutsutaan transsendenttinen yhtälö. Funktio f(x) tällaisissa yhtälöissä on ainakin yksi seuraavista funktioista: eksponentiaalinen, logaritminen, trigonometrinen tai käänteinen trigonometrinen.

Yhtälön f (x) \u003d 0 ratkaisu on joukko juuria, eli sellaiset riippumattoman muuttujan arvot, joille yhtälö muuttuu identiteetiksi. Kuitenkin juurien tarkat arvot voidaan löytää vain analyyttisesti tietyntyyppisille yhtälöille. Erityisesti kaavoja, jotka ilmaisevat algebrallisen yhtälön ratkaisun, voidaan saada vain yhtälöille, jotka eivät ole korkeampia kuin neljäs astetta. Transsendenttisten yhtälöiden tarkan ratkaisun saamiseksi on vielä vähemmän mahdollisuuksia. On huomattava, että juurien tarkkojen arvojen löytämisen ongelma ei aina ole oikea. Joten jos yhtälön kertoimet ovat likimääräisiä lukuja, juurien laskettujen arvojen tarkkuus ei todellakaan voi ylittää alkuperäisten tietojen tarkkuutta. Nämä olosuhteet pakottavat meidät harkitsemaan mahdollisuutta löytää yhtälön juuret rajoitetulla tarkkuudella (likimääräiset juuret).

Ongelma yhtälön juuren löytämisestä annetulla tarkkuudella (>0) katsotaan ratkaistuksi, jos lasketaan likimääräinen arvo, joka eroaa juurin tarkasta arvosta enintään arvon e

(1.2.1-2)

Yhtälön likimääräisen juuren löytäminen koostuu kahdesta vaiheesta:

1) juurten erottaminen (juurten lokalisointi);

Yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattomia funktioita, jotka on korotettu yhtä suurempaan potenssiin, kutsutaan epälineaariseksi.
Esimerkiksi y=ax+b on lineaarinen yhtälö, x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 on epälineaarinen (kirjoitetaan yleensä muodossa F(x)=0).

Epälineaarinen yhtälöjärjestelmä on useiden epälineaaristen yhtälöiden samanaikainen ratkaisu yhdellä tai useammalla muuttujalla.

Menetelmiä on monia epälineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen ja epälineaariset yhtälöjärjestelmät, jotka yleensä luokitellaan kolmeen ryhmään: numeerisiin, graafisiin ja analyyttisiin. Analyyttisten menetelmien avulla voidaan määrittää yhtälöiden ratkaisun tarkat arvot. Graafiset menetelmät ovat vähiten tarkkoja, mutta mahdollistavat monimutkaisissa yhtälöissä määrittämään likimääräisimmät arvot, joista voidaan tulevaisuudessa alkaa etsiä tarkempia ratkaisuja yhtälöihin. Epälineaaristen yhtälöiden numeerinen ratkaisu sisältää kahden vaiheen läpikäymisen: juuren erottamisen ja sen tarkentamisen tiettyyn tarkkuuteen.
Juurien erottaminen suoritetaan eri tavoilla: graafisesti, käyttämällä erilaisia ​​erikoistuneita tietokoneohjelmia jne.

Tarkastellaan useita menetelmiä juurien jalostamiseksi tietyllä tarkkuudella.

Menetelmät epälineaaristen yhtälöiden numeeriseen ratkaisuun

puolijakomenetelmä.

Puolijakomenetelmän ydin on jakaa väli puoliksi (с=(a+b)/2) ja hylätä se välin osa, jossa ei ole juuria, ts. ehto F(a)xF(b)

Kuva 1. Puolijaon menetelmän käyttö epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Harkitse esimerkkiä.

Jaetaan segmentti 2 osaan: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Jos tulo F(a)*F(x)>0, niin janan a alku siirretään kohtaan x (a=x), muuten janan b loppu siirretään pisteeseen x (b=x ). Jaamme tuloksena olevan segmentin jälleen puoliksi jne. Kaikki laskelmat on esitetty alla olevassa taulukossa.

Kuva 2. Laskentatulostaulukko

Laskelmien tuloksena saamme vaaditun tarkkuuden huomioon ottaen arvon, joka on yhtä suuri x=-0,946

sointumenetelmä.

Sointumenetelmää käytettäessä määritetään segmentti, jossa on vain yksi juuri määritetyllä tarkkuudella e. Janan a ja b pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (x(F(a); y(F(b))))) vedetään viiva (sointu). Seuraavaksi tämän suoran leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa (kohta z) määritetään.
Jos F(a)xF(z)

Kuva 3. Sointumenetelmän käyttö epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Harkitse esimerkkiä. On tarpeen ratkaista yhtälö x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 e:n tarkkuudella

Yleensä yhtälö näyttää tältä: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Etsi F(x):n arvot segmentin päistä:

F(-1) = -0,2>0;

Määritellään toinen derivaatta F''(x) = 6x-0.4.

F''(-1)=-6,4
F''(0) = -0,4

Janan päissä havaitaan ehto F(-1)F’’(-1)>0, joten yhtälön juuren määrittämiseksi käytämme kaavaa:

Kaikki laskelmat on esitetty alla olevassa taulukossa.

Kuva 4. Laskentatulostaulukko

Laskelmien tuloksena saamme vaaditun tarkkuuden huomioon ottaen arvon, joka on yhtä suuri x=-0,946

Tangenttimenetelmä (Newton)

Tämä menetelmä perustuu kaavion tangenttien rakentamiseen, jotka piirretään intervallin toiseen päähän. X-akselin (z1) leikkauspisteeseen rakennetaan uusi tangentti. Tätä menettelyä jatketaan, kunnes saatu arvo on verrattavissa haluttuun tarkkuusparametriin e (F(zi)

Kuva 5. Tangenttien (Newton) menetelmän käyttö epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Harkitse esimerkkiä. On tarpeen ratkaista yhtälö x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 e:n tarkkuudella

Yleensä yhtälö näyttää tältä: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Määritellään ensimmäinen ja toinen derivaatta: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0,4=-6,4
F''(0) = -0,4
Ehto F(-1)F''(-1)>0 täyttyy, joten laskelmat tehdään kaavan mukaan:

Missä x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Kaikki laskelmat on esitetty alla olevassa taulukossa.

Kuva 6. Laskentatulostaulukko

Laskelmien tuloksena saamme vaaditun tarkkuuden huomioon ottaen arvon, joka on yhtä suuri x=-0,946

Harkitse epälineaarisen yhtälön juurien löytämisen ongelmaa

Yhtälön (1) juuret ovat ne x:n arvot, jotka vaihtaessaan muuttavat sen identiteetiksi. Vain yksinkertaisimmille yhtälöille on mahdollista löytää ratkaisu kaavojen muodossa, ts. analyyttinen muoto. Useammin yhtälöt on ratkaistava likimääräisin menetelmin, joista yleisimpiä tietokoneiden tulon yhteydessä ovat numeeriset menetelmät.

Algoritmi juurien löytämiseksi likimääräisin menetelmin voidaan jakaa kahteen vaiheeseen. Aluksi tutkitaan juurien sijainti ja suoritetaan niiden erottaminen. On alue, jolla on yhtälön juuri tai juuren x 0 alkuproksimaatio. Yksinkertaisin tapa ratkaista tämä ongelma on tutkia funktion f(x) kuvaajaa. Yleisesti ottaen sen ratkaisemiseksi on käytettävä kaikki matemaattisen analyysin keinot.

Vähintään yhden yhtälön (1) juuren olemassaolo löydetyssä segmentissä seuraa Bolzanon ehdosta:

f(a)*f(b)<0 (2)

Oletetaan myös, että funktio f(x) on jatkuva annetulla segmentillä. Tämä ehto ei kuitenkaan vastaa kysymykseen yhtälön juurien lukumäärästä tietyllä aikavälillä. Jos funktion jatkuvuuden vaatimusta täydennetään sen monotonisuuden vaatimuksella, ja tämä seuraa ensimmäisen derivaatan etumerkkivakaisuudesta, niin voimme väittää, että tietyllä segmentillä on ainutlaatuinen juuri.

Juureita lokalisoitaessa on myös tärkeää tietää tämän tyyppisen yhtälön perusominaisuudet. Muista esimerkiksi joitain algebrallisten yhtälöiden ominaisuuksia:

missä ovat todelliset kertoimet.

• a) Asteen n yhtälöllä on n juurta, joiden joukossa voi olla sekä reaalisia että kompleksisia. Monimutkaiset juuret muodostavat kompleksisia konjugaattipareja ja siksi yhtälössä on parillinen määrä sellaisia ​​juuria. Parittomalla n:n arvolla on vähintään yksi todellinen juuri.
• b) Positiivisten reaalijuurien määrä on pienempi tai yhtä suuri kuin muuttujien etumerkkien lukumäärä kertoimien sarjassa. Kun x korvataan -x:llä yhtälössä (3), voit arvioida negatiivisten juurien lukumäärän samalla tavalla. iteraatio newtonin dikotomia epälineaarinen

Yhtälön (1) ratkaisun toisessa vaiheessa muodostetaan saatua alkulikiarvoa käyttäen iteratiivinen prosessi, joka mahdollistaa juuren arvon tarkentamisen tietyllä ennalta määrätyllä tarkkuudella. Iteratiivinen prosessi koostuu alkuperäisen approksimoinnin peräkkäisestä tarkentamisesta. Jokaista tällaista vaihetta kutsutaan iteraatioksi. Iterointiprosessin tuloksena löydetään sarja yhtälön juurien likimääräisiä arvoja. Jos tämä sarja lähestyy juuren x:n todellista arvoa n:n kasvaessa, iteratiivinen prosessi konvergoi. Iteratiivisen prosessin sanotaan konvergoivan vähintään luokkaan m, jos seuraava ehto täyttyy:

missä С>0 on jokin vakio. Jos m=1, niin puhutaan ensimmäisen asteen konvergenssista; m = 2 - noin neliöllinen, m = 3 - noin kuutio konvergenssi.

Iteratiiviset syklit päättyvät, jos tietyn sallitun virheen osalta absoluuttisten tai suhteellisten poikkeamien kriteerit täyttyvät:

tai jäännöksen pienuus:

Tämä työ on omistettu algoritmin tutkimukselle epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi Newtonin menetelmällä.

Osasto: ASOIiU

Laboratoriotyöt

Aiheesta: Epälineaarisen YHTÄLÖN JUUREN LÖYTÄMINEN. MENETELMÄT EI-LINEAARISTEN YHTÄLÖJÄRJESTELMÄN RATKAISEMINEN

Moskova, 2008

Epälineaarisen YHTÄLÖN JUUREN LÖYTÄMINEN

1. Ongelman kuvaus

Olkoon annettu funktio, joka on jatkuva useiden derivaattiensa kanssa. On löydettävä kaikki tai jotkut yhtälön todelliset juuret

Tämä tehtävä on jaettu useisiin osatehtäviin. Ensinnäkin on tarpeen määrittää juurten lukumäärä, tutkia niiden luonne ja sijainti. Toiseksi, etsi juurien likimääräiset arvot. Kolmanneksi, valitse niistä meitä kiinnostavat juuret ja laske ne vaaditulla tarkkuudella e. Ensimmäinen ja toinen tehtävä ratkaistaan ​​pääsääntöisesti analyyttisillä tai graafisilla menetelmillä. Siinä tapauksessa, että haetaan vain yhtälön (1) todellisia juuria, on hyödyllistä laatia funktioarvojen taulukko. Jos funktiolla on eri etumerkit taulukon kahdessa vierekkäisessä solmussa, niin näiden solmujen välissä on pariton määrä yhtälön juuria (vähintään yksi). Jos nämä solmut ovat lähellä, niiden välillä on todennäköisesti vain yksi juuri.

Löydettyjä juurien likimääräisiä arvoja voidaan jalostaa erilaisilla iteratiivisilla menetelmillä. Tarkastellaan kolmea menetelmää: 1) dikotomian menetelmä (tai segmentin jakaminen puoliksi); 2) yksinkertainen iterointimenetelmä ja 3) Newtonin menetelmä.

2. Menetelmät ongelman ratkaisemiseksi

2.1 Menetelmä segmentin jakamiseksi puoliksi

Yksinkertaisin menetelmä epälineaarisen yhtälön (1) juuren löytämiseksi on puolijakomenetelmä.

Olkoon janalle annettu jatkuva funktio. Jos funktion arvoilla janan päissä on eri etumerkit, ts. tämä tarkoittaa, että tietyn segmentin sisällä on pariton määrä juuria. Olkoon varmuuden vuoksi vain yksi juuri. Menetelmän ydin on puolittaa segmentin pituus jokaisessa iteraatiossa. Löydämme segmentin keskikohdan (katso kuva 1) Laske funktion arvo ja valitse segmentti, jossa funktio muuttaa etumerkkiään. Jaa uusi segmentti jälleen kahtia. Jatkamme tätä prosessia, kunnes segmentin pituus on yhtä suuri kuin ennalta määrätty virhe juuri e laskettaessa. Useiden peräkkäisten approksimaatioiden rakenne kaavan (3) mukaisesti on esitetty kuvassa 1.

Joten, dikotomiamenetelmän algoritmi:

1. Aseta etäisyys ja virhe e.

2. Jos f(a):lla ja f(b):llä on samat merkit, anna viesti juuren ja stopin löytämisen mahdottomuudesta.

Kuva 1. Menetelmä janan jakamiseksi kahtia muotoa f(x)=0 olevan yhtälön ratkaisemiseksi.

3. Muussa tapauksessa laske c=(a+b)/2

4. Jos f(a):lla ja f(c):llä on eri etumerkit, laita b=c, muuten a=c.

5. Jos uuden janan pituus on , laske juuren arvo c=(a+b)/2 ja lopeta, muussa tapauksessa siirry vaiheeseen 3.

Koska segmentin pituus pienenee 2 N kertaa N:ssä vaiheessa, saavutetaan annettu virhe juuren e etsinnässä iteraatioissa.

Kuten voidaan nähdä, konvergenssinopeus on alhainen, mutta menetelmän etuja ovat iteratiivisen prosessin yksinkertaisuus ja ehdoton konvergenssi. Jos segmentissä on useampi kuin yksi juuri (mutta pariton luku), yksi löytyy aina.

Kommentti. Sen aikavälin määrittämiseksi, jossa juuri sijaitsee, tarvitaan funktion lisäanalyysi, joka perustuu joko analyyttisiin arvioihin tai graafisen ratkaisumenetelmän käyttöön. On myös mahdollista järjestää funktioarvojen haku eri kohdissa, kunnes funktion etumerkin vaihtoehto täyttyy

2.2 Yksinkertainen iterointimenetelmä

Tätä menetelmää käytettäessä alkuperäinen epälineaarinen yhtälö (1) on kirjoitettava uudelleen muotoon

Merkitään tämän yhtälön juurta C * . Olkoon juuren alkuperäinen approksimaatio tiedossa. Kun tämä arvo korvataan yhtälön (2) oikealla puolella, saadaan uusi approksimaatio

jne. (n+1)-askeleen saamme seuraavan likiarvon

(3)

Siten kaavan (3) mukaan saadaan sekvenssi С 0 , С 1 ,…,С n +1 , joka pyrkii juureen С * kohdassa n®¥. Iteratiivinen prosessi pysähtyy, jos kahden peräkkäisen iteroinnin tulokset ovat lähellä, eli ehto

(4)

Tutkitaan numeerisen sekvenssin (C n ) ehtoa ja konvergenssinopeutta n®¥:lle. Muista konvergenssinopeuden määritelmä. Rajaan С * konvergoivalla sekvenssillä (C n ) on kertaluvun a konvergenssinopeus, jos n®¥:lle ehto

Oletetaan, että sillä on jatkuva derivaatta, jolloin voidaan esittää virhe (n+1):nnessä iteraatiovaiheessa e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) sarjana

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

Näin ollen saamme sen ehdolla

çg¢(C *) ç<1(6)

sekvenssi (3) konvergoi juureen lineaarisella nopeudella a=1. Ehto (6) on ehto yksinkertaisen iterointimenetelmän konvergenssille. On selvää, että menetelmän onnistuminen riippuu siitä, kuinka hyvin toiminto on valittu.

Voit esimerkiksi poimia neliöjuuren eli ratkaista yhtälön muotoa x \u003d a 2

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2(x)=(x+a/x)/2.(7b)

Se on helppo osoittaa

½g 1" (C)½ = 1,

½g 2" (C)½<1.

Siten ensimmäinen prosessi (7a) ei konvergoi ollenkaan, kun taas toinen (7b) konvergoi millä tahansa alkuperäisellä approksimaatiolla C 0 > 0.

Riisi. 2. Yksinkertaisten iteraatioiden menetelmän graafinen tulkinta muotoa x=g(x) olevan yhtälön ratkaisemiseksi.

Useiden peräkkäisten approksimaatioiden rakentaminen kaavalla (3)

С 0 , С 1 , …, С n = C*

näkyy kuvassa 2.

2.3 Newtonin menetelmä

Kirjallisuudessa tätä menetelmää kutsutaan usein tangenttimenetelmäksi sekä linearisointimenetelmäksi. Valitsemme alkuperäisen approksimation С 0 . Oletetaan, että poikkeama С 0 juuren С * todellisesta arvosta on pieni, jolloin laajentamalla f(C *) Taylor-sarjaksi pisteessä С 0 saadaan

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

Jos f¢(C 0) ¹ 0, niin kohdassa (8) voimme rajoittua termeihin, jotka ovat lineaarisia DC =C-C 0 . Ottaen huomioon, että f(C *)=0, kohdasta (9) voidaan löytää seuraava approksimaatio juurille

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

tai (n+1) approksimaatiolle

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢ (C n) (9)

Iteratiivisen prosessin lopettamiseksi voidaan käyttää toista kahdesta ehdosta

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

Newtonin menetelmän konvergenssin tutkimus suoritetaan samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa. Hanki se itsenäisesti ehdolla

½f""(C)/2f"(C)½<1.

Newtonin menetelmällä on neliöllinen konvergenssinopeus ().

Riisi. 3. Newtonin menetelmän graafinen tulkinta muotoa f(x)=0 olevan yhtälön ratkaisemiseksi.

Useiden peräkkäisten approksimaatioiden rakentaminen kaavalla (9)

С 0 , С 1 , …, С n = C*

näkyy kuvassa 3.

1. Tietylle funktiolle f(x)

Määritä yhtälön f(x)=0 todellisten juurien lukumäärä, niiden sijainti ja likimääräiset arvot (rakenna kaavio tai tulosta arvotaulukko).

· Laske yksi löydetyistä juurista (mikä tahansa) tarkkuudella e=0,5*10 -3 .

Käytä laskelmissa menetelmää jakaa segmentti puoliksi (määritä iteraatioiden määrä) ja etsi sitten sama juuri Newtonin menetelmällä (määritä myös iteraatiovaiheiden lukumäärä).

Vertaa tuloksiasi.

Tehtävävaihtoehdot

1,x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2,x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 -3x 2 -14x - 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 – 3 x 2 + x – 1 = 0 8. x 3 – 0,1 x 2 +0,3 x –0,6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0,5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4 x 2 -10 x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2,9 x 3 + 0,1 x 2 + 5,8 x 4,2 = 0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

MENETELMÄT EI-LINEAARISTEN YHTÄLÖJÄRJESTELMÄN RATKAISEMINEN

1. Ongelman muotoilu

Vaaditaan n epälineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaiseminen:

(1)

Järjestelmän (1) ratkaisemiseksi ei ole suoria menetelmiä. Vain joissakin tapauksissa tämä järjestelmä voidaan ratkaista suoraan. Esimerkiksi kahden yhtälön tapauksessa on joskus mahdollista ilmaista yksi tuntematon muuttuja toiseksi ja siten pelkistää ongelma yhden epälineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi yhden tuntemattoman suhteen.

Yhtälöjärjestelmä (1) voidaan kirjoittaa lyhyesti vektorimuodossa:

. (2)

Yhtälöllä (2) voi olla yksi tai useampi juuri D-alueella. On selvitettävä yhtälön juurten olemassaolo ja löydettävä näiden juurien likimääräiset arvot. Juurien löytämiseen käytetään yleensä iteratiivisia menetelmiä, joissa alkuproksimaation valinta on olennaisen tärkeää. Alkuperäinen approksimaatio tunnetaan joskus fysikaalisista syistä. Kahden tuntemattoman tapauksessa alkuperäinen approksimaatio löytyy graafisesti: piirrä käyrät f 1 (x 1 , x 2)=0 ja f 2 (x 1 , x 2)=0 tasolle (x 1 , x 2) ) ja etsi niiden leikkauspisteet. Kolmelle tai useammalle muuttujalle (sekä monimutkaisille juurille) ei ole tyydyttäviä tapoja valita alkuperäistä approksimaatiota.

Tarkastellaan kahta pääasiallista iteratiivista menetelmää yhtälöjärjestelmän (1), (2) ratkaisemiseksi - yksinkertainen iteraatiomenetelmä ja Newtonin menetelmä.

2. Menetelmät epälineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi

2.1 Yksinkertainen iterointimenetelmä

Esitetään järjestelmää (1) muodossa

(3)

tai vektorimuodossa:

(4)

Yksinkertaisen iterointimenetelmän algoritmi on seuraava. Valitsemme jonkin nollalikiarvon

Seuraava approksimaatio saadaan kaavoilla:

tai tarkemmin:

(5)

Iteratiivinen prosessi (5) jatkuu, kunnes muutokset kaikissa tuntemattomissa kahdessa peräkkäisessä iteraatiossa muuttuvat pieniksi, ts.

Käytännössä epäyhtälöä käytetään usein viimeisen ehdon sijasta:

(6)

missä on n-ulotteisen vektorin rms-normi , eli

Tätä menetelmää käytettäessä menestys määräytyy suurelta osin alkuperäisen approksimation hyvästä valinnasta: sen tulee olla riittävän lähellä todellista ratkaisua. Muuten iteratiivinen prosessi ei ehkä lähentyisi. Jos prosessi konvergoi, niin sen konvergenssinopeus on lineaarinen.

2.2. Newtonin menetelmä

Käännetyssä kirjallisuudessa löydät nimen Newton-Raphson-menetelmä. Tämä menetelmä konvergoi paljon nopeammin kuin yksinkertainen iterointimenetelmä.

Olkoon jokin juuren approksimaatio tiedossa, niin että

Sitten alkuperäinen järjestelmä (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Laajentamalla yhtälöä (7) Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä ja rajoittumalla lineaarisiin termeihin poikkeamassa saadaan:

tai koordinaattimuodossa:

(8)

Järjestelmä (8) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

(9)

Tuloksena oleva järjestelmä (9) on lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä inkrementtien suhteen

Funktioiden F 1 , F 2 , …, F n ja niiden derivaatat arvot kohdassa (9) lasketaan

.

Järjestelmän (9) determinantti on Jacobin J:

(10)

Jotta yhtälöjärjestelmälle (9) olisi ainutlaatuinen ratkaisu, sen on oltava erilainen kuin nolla. Kun järjestelmä (9) on ratkaistu esimerkiksi Gaussin menetelmällä, löydämme uuden likiarvon:

.

Tarkistamme kunnon (6). Jos se ei täyty, löydämme myös jakobilaisen (10) uudella approksimaatiolla ja ratkaisemme taas (9), joten löydämme 2. approksimaation ja niin edelleen.

Iteraatiot pysähtyvät heti, kun ehto (6) täyttyy.

Etsi Newtonin menetelmällä ratkaisuja epälineaarisille yhtälöille tietyllä tarkkuudella. Tutki iteratiivisen prosessin konvergenssia.

Tehtävävaihtoehdot

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.