Muut ominaisuudet liittyvät molli- ja algebrallisen komplementin käsitteisiin
Pieni elementtiä kutsutaan determinantiksi, joka koostuu elementeistä, jotka ovat jäljellä sen rivin ja sarakkeen poistamisen jälkeen, joiden leikkauskohdassa tämä elementti sijaitsee. Järjestyksen määräävällä elementillä minor on järjestys . Merkitsemme sen symbolilla .
Esimerkki 1 Antaa 
, Sitten 
.
Tämä sivuarvo saadaan A:sta poistamalla toinen rivi ja kolmas sarake.
Algebrallinen lisäys elementtiä kutsutaan vastaavaksi molliksi kerrottuna , ts. 
, jossa on sen rivin ja -sarakkeen numero, jonka leikkauskohdassa annettu elementti sijaitsee.
VIII.(Determinantin hajoaminen jonkin merkkijonon elementtien yli). Determinantti on yhtä suuri kuin jonkin rivin alkioiden tulojen ja niitä vastaavien algebrallisten summausten summa.
Esimerkki 2 Antaa 
, Sitten
Esimerkki 3 Etsitään matriisideterminantti , laajentamalla sitä ensimmäisen rivin elementeillä.
Muodollisesti tämä lause ja muut determinanttien ominaisuudet ovat toistaiseksi sovellettavissa vain matriisien determinanteille, jotka eivät ole korkeampia kuin kolmatta kertaluokkaa, koska emme ole tarkastelleet muita determinantteja. Seuraava määritelmä laajentaa nämä ominaisuudet minkä tahansa järjestyksen determinantteihin.
Matriisin determinantti Tilaus kutsutaan luvuksi, joka on laskettu soveltamalla peräkkäin hajoamislausetta ja muita determinanttien ominaisuuksia.
Voit tarkistaa, että laskentatulos ei riipu siitä, missä järjestyksessä yllä olevia ominaisuuksia käytetään ja mille riveille ja sarakkeille. Determinantti voidaan määrittää yksiselitteisesti käyttämällä tätä määritelmää.
Vaikka tämä määritelmä ei sisällä eksplisiittistä kaavaa determinantin löytämiseksi, sen avulla voit löytää sen pelkistämällä alemman kertaluvun matriisien determinanteiksi. Tällaisia määritelmiä kutsutaan toistuva.
Esimerkki 4 Laske determinantti: 
Vaikka hajottelulausetta voidaan soveltaa mihin tahansa tietyn matriisin riviin tai sarakkeeseen, laskentaa on vähemmän, kun hajotetaan sarakkeessa, jossa on mahdollisimman monta nollaa.
Koska matriisissa ei ole nollaelementtejä, saamme ne ominaisuuden avulla VII. Kerro ensimmäinen rivi peräkkäin numeroilla 
ja lisää se merkkijonoihin ja saat:
Laajennamme tuloksena olevaa determinanttia ensimmäisessä sarakkeessa ja saamme:
koska determinantti sisältää kaksi suhteellista saraketta.
Jotkut matriisityypit ja niiden determinantit
Kutsutaan neliömatriisia, jossa nolla alkiota on päädiagonaalin () ala- tai yläpuolella kolmion muotoinen.
Niiden kaavamainen rakenne näyttää vastaavasti tältä: 
tai
.
Harjoittele. Laske determinantti laajentamalla se jonkin rivin tai jonkin sarakkeen elementtien päälle.
Ratkaisu. Tehdään ensin alkeismuunnokset determinantin riveille tekemällä mahdollisimman monta nollaa joko riville tai sarakkeeseen. Tätä varten vähennämme ensin yhdeksän kolmasosaa ensimmäisestä rivistä, viisi kolmasosaa toisesta ja kolme kolmasosaa neljännestä, saamme:
Laajennamme tuloksena olevaa determinanttia ensimmäisen sarakkeen elementeillä:
Tuloksena olevaa kolmannen kertaluvun determinanttia laajennetaan myös rivin ja sarakkeen elementeillä, jotka ovat aikaisemmin saaneet nollia esimerkiksi ensimmäiseen sarakkeeseen. Tätä varten vähennämme kaksi toista riviä ensimmäisestä rivistä ja toisen kolmannesta:
Vastaus. 
12. Slough 3 tilausta
1. Kolmion sääntö
Kaavamaisesti tämä sääntö voidaan esittää seuraavasti:
Ensimmäisen determinantin elementtien tulo, jotka on yhdistetty viivoilla, otetaan plusmerkillä; samoin toiselle determinantille vastaavat tulot otetaan miinusmerkillä, ts.
2. Sarrus-sääntö
Determinantin oikealle puolelle lisätään kaksi ensimmäistä saraketta ja päädiagonaalin ja sen suuntaisten diagonaalien alkioiden tulot otetaan plusmerkillä; ja toissijaisen lävistäjän ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot miinusmerkillä:
3. Determinantin laajentaminen rivissä tai sarakkeessa
Determinantti on yhtä suuri kuin determinantin rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa. Yleensä valitaan se rivi/sarake, jossa on nollia. Rivi tai sarake, jolle hajottaminen suoritetaan, on merkitty nuolella.
Harjoittele. Laajenna ensimmäisen rivin yli ja laske determinantti
Ratkaisu.
Vastaus. 
4. Determinantin saattaminen kolmiomaiseen muotoon
Rivien tai sarakkeiden alkeismuunnosten avulla determinantti pelkistetään kolmiomuotoon, ja sitten sen arvo determinantin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti 
saada se kolmion muotoon.
Ratkaisu. Ensin teemme nollia ensimmäiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alle. Kaikki muunnokset on helpompi suorittaa, jos elementti on yhtä suuri kuin 1. Tätä varten vaihdamme determinantin ensimmäisen ja toisen sarakkeen, mikä saa determinantin ominaisuuksien mukaan vaihtamaan etumerkin päinvastaiseksi. :
Seuraavaksi saamme nollia toiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alla olevien elementtien tilalle. Ja jälleen, jos diagonaalinen elementti on yhtä suuri kuin , laskelmat ovat yksinkertaisempia. Tätä varten vaihdamme toisen ja kolmannen rivin (ja samalla vaihdamme determinantin vastakkaiseen merkkiin):
Seuraavaksi teemme nollia toiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alle, tätä varten toimimme seuraavasti: lisäämme kolme toista riviä kolmanteen riviin ja kaksi toista riviä neljänteen, saamme:
Lisäksi kolmannelta riviltä otamme determinantiksi (-10) ja teemme nollia kolmanteen sarakkeeseen päädiagonaalin alle, ja tätä varten lisäämme kolmannen viimeiseen riviin:
Ongelman muotoilu
Tehtävänä on perehdyttää käyttäjä numeeristen menetelmien peruskäsitteisiin, kuten determinantti- ja käänteimatriisiin, sekä erilaisiin tapoihin laskea niitä. Tässä teoreettisessa raportissa yksinkertaisella ja ymmärrettävällä kielellä esitellään ensin peruskäsitteet ja määritelmät, joiden pohjalta tehdään jatkotutkimusta. Käyttäjällä ei välttämättä ole erityisosaamista numeeristen menetelmien ja lineaarialgebran alalla, mutta hän pystyy helposti hyödyntämään tämän työn tuloksia. Selvyyden vuoksi on annettu C ++ -ohjelmointikielellä kirjoitettu ohjelma matriisideterminantin laskemiseksi useilla menetelmillä. Ohjelmaa käytetään laboratoriotelineenä raportin kuvien luomiseen. Ja myös tutkimusmenetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi suoritetaan. Käänteimatriisin laskemisen hyödyttömyys on todistettu, joten paperi tarjoaa optimaalisempia tapoja ratkaista yhtälöitä ilman sitä. Selitetään, miksi determinanttien ja käänteisten matriisien laskentamenetelmiä on niin monia erilaisia ja niiden puutteita analysoidaan. Myös determinantin laskennan virheet huomioidaan ja saavutettu tarkkuus arvioidaan. Työssä käytetään venäjän termien lisäksi myös niiden englanninkielisiä vastineita ymmärtämään, millä nimillä numeerisia toimenpiteitä kirjastoista etsitään ja mitä niiden parametrit tarkoittavat.
Perusmääritelmät ja yksinkertaiset ominaisuudet
Determinantti
Esitetään minkä tahansa kertaluvun neliömatriisin determinantin määritelmä. Tämä määritelmä tulee toistuva, eli määrittääksesi mikä on järjestysmatriisin determinantti, sinun on jo tiedettävä, mikä on järjestysmatriisin determinantti. Huomaa myös, että determinantti on olemassa vain neliömatriiseille.
Neliömatriisin determinanttia merkitään tai det .
Määritelmä 1. määräävä tekijä neliömatriisi 
toinen tilausnumero kutsutaan 
.
määräävä tekijä 
neliömatriisi järjestyksessä , kutsutaan numeroksi 
missä on järjestysmatriisin determinantti, joka saadaan matriisista poistamalla ensimmäinen rivi ja sarake numerolla .
Selvyyden vuoksi kirjoitamme ylös, kuinka voit laskea neljännen kertaluvun matriisin determinantin: 
Kommentti. Poikkeustapauksissa käytetään määritelmään perustuvaa varsinaista determinanttien laskentaa kolmannen asteen matriiseille. Laskenta suoritetaan pääsääntöisesti muiden algoritmien mukaan, joita käsitellään myöhemmin ja jotka vaativat vähemmän laskentatyötä.
Kommentti. Määritelmässä 1 olisi tarkempaa sanoa, että determinantti on funktio, joka on määritelty neliömäisten järjestysmatriisien joukossa ja ottaa arvot lukujoukosta.
Kommentti. Kirjallisuudessa termin "determinantti" sijasta käytetään myös termiä "determinantti", jolla on sama merkitys. Sanasta "determinantti" ilmestyi nimitys det.
Tarkastellaan joitain determinanttien ominaisuuksia, jotka muotoilemme väitteiden muodossa.
Lausunto 1. Matriisia transponoitaessa determinantti ei muutu, eli .
Lausuma 2. Neliömatriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin tekijöiden determinanttien tulo, eli .
Lausunto 3. Jos matriisin kaksi riviä vaihdetaan, sen determinantti vaihtaa etumerkkiä.
Lausunto 4. Jos matriisissa on kaksi identtistä riviä, sen determinantti on nolla.
Jatkossa meidän on lisättävä merkkijonoja ja kerrottava merkkijono numerolla. Suoritamme nämä toiminnot riveille (sarakkeille) samalla tavalla kuin rivimatriiseille (sarakematriiseille), eli elementti elementiltä. Tuloksena on rivi (sarake), joka ei yleensä vastaa alkuperäisen matriisin rivejä. Rivien (sarakkeiden) lisäämisen ja niiden numerolla kertomisen yhteydessä voidaan puhua myös rivien (sarakkeiden) lineaarisista yhdistelmistä eli summista numeerisilla kertoimilla.
Lausunto 5. Jos matriisin rivi kerrotaan luvulla, sen determinantti kerrotaan tällä luvulla.
Lausunto 6. Jos matriisi sisältää nollarivin, niin sen determinantti on nolla.
Lausunto 7. Jos yksi matriisin riveistä on yhtä suuri kuin toinen kerrottuna luvulla (rivit ovat verrannollisia), matriisin determinantti on nolla.
Lausunto 8. Olkoon matriisin i:s rivi tältä . Sitten, jossa matriisi saadaan matriisista korvaamalla i. rivi rivillä ja matriisi saadaan korvaamalla i:s rivi rivillä .
Lausunto 9. Jos yksi matriisin rivistä lisätään toiseen, kerrottuna numerolla, matriisin determinantti ei muutu.
Lausunto 10. Jos yksi matriisin riveistä on lineaarinen yhdistelmä sen muista riveistä, matriisin determinantti on nolla.
Määritelmä 2. Algebrallinen lisäys Matriisielementille kutsutaan lukua, joka on yhtä suuri kuin , jossa on matriisista poistamalla i. rivi ja j:s sarake saadun matriisin determinantti. Matriisielementin algebrallinen komplementti on merkitty .
Esimerkki. Antaa 
. Sitten 
Kommentti. Algebrallisten lisäysten avulla 1 determinantin määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti: 
Lausunto 11. Determinantin hajottaminen mielivaltaisessa merkkijonossa.
Matriisideterminantti täyttää kaavan 
Esimerkki. Laskea 
.
Ratkaisu. Käytetään kolmannen rivin laajennusta, se on kannattavampaa, koska kolmannella rivillä kaksi numeroa kolmesta on nollia. Saada 
Lausunto 12. Neliömatriisille, jonka järjestys on , meillä on suhde 
.
Lausunto 13. Kaikki riveille formuloidun determinantin ominaisuudet (lauseet 1 - 11) pätevät myös sarakkeille, erityisesti j:nnen sarakkeen determinantin hajotelma pätee. 
ja tasa-arvo 
osoitteessa .
Lausunto 14. Kolmiomatriisin determinantti on yhtä suuri kuin sen päädiagonaalin elementtien tulo.
Seuraus. Identiteettimatriisin determinantti on yhtä suuri kuin yksi, .
Johtopäätös. Yllä luetellut ominaisuudet mahdollistavat riittävän korkean asteen matriisien determinanttien löytämisen suhteellisen pienellä määrällä laskelmia. Laskenta-algoritmi on seuraava.
Algoritmi nollien luomiseksi sarakkeeseen. Olkoon se vaadittava laskemaan järjestysdeterminantti . Jos , vaihda ensimmäinen rivi ja mikä tahansa muu rivi, jonka ensimmäinen elementti ei ole nolla. Seurauksena on, että determinantti , on sama kuin uuden matriisin determinantti päinvastaisella merkillä. Jos jokaisen rivin ensimmäinen alkio on nolla, niin matriisissa on nollasarake ja lauseiden 1, 13 mukaan sen determinantti on nolla.
Joten katsomme sen jo alkuperäisessä matriisissa . Jätä ensimmäinen rivi ennalleen. Lisätään toiselle riville ensimmäinen rivi kerrottuna numerolla . Sitten toisen rivin ensimmäinen elementti on yhtä suuri 
.
Uuden toisen rivin jäljellä olevat elementit merkitään , . Uuden matriisin determinantti lauseen 9 mukaan on yhtä suuri kuin . Kerro ensimmäinen rivi numerolla ja lisää se kolmanteen. Uuden kolmannen rivin ensimmäinen elementti on yhtä suuri kuin 
Uuden kolmannen rivin jäljellä olevat elementit merkitään , . Uuden matriisin determinantti lauseen 9 mukaan on yhtä suuri kuin .
Jatkamme nollien saamista merkkijonojen ensimmäisten elementtien sijaan. Lopuksi kerromme ensimmäisen rivin numerolla ja lisäämme sen viimeiselle riville. Tuloksena on matriisi, jota merkitään ja jolla on muoto 
ja . Matriisin determinantin laskemiseksi käytämme ensimmäisen sarakkeen laajennusta
Siitä lähtien 
Järjestysmatriisin determinantti on oikealla puolella. Käytämme siihen samaa algoritmia, ja matriisin determinantin laskenta supistetaan järjestysmatriisin determinantin laskentaan. Prosessi toistetaan, kunnes saavutetaan toisen kertaluvun determinantti, joka lasketaan määritelmän mukaan.
Jos matriisilla ei ole erityisiä ominaisuuksia, ei ole mahdollista merkittävästi vähentää laskelmien määrää verrattuna ehdotettuun algoritmiin. Toinen tämän algoritmin hyvä puoli on, että tietokoneelle on helppo kirjoittaa ohjelma suurten kertalukujen matriisien determinanttien laskemiseksi. Determinanttien laskentaan tarkoitetuissa vakioohjelmissa tätä algoritmia käytetään pienin muutoksin, jotka liittyvät pyöristysvirheiden ja syötetietojen virheiden vaikutuksen minimoimiseen tietokonelaskelmissa.
Esimerkki. Laske matriisideterminantti 
.
Ratkaisu. Ensimmäinen rivi jätetään ennalleen. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla:
Determinantti ei muutu. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla:
Determinantti ei muutu. Neljännelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla:
Determinantti ei muutu. Tuloksena saamme 
Saman algoritmin avulla laskemme oikeanpuoleisen kertaluvun 3 matriisin determinantin. Jätämme ensimmäisen rivin ennalleen, toiselle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla 
:
Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla 
:
Tuloksena saamme 
Vastaus. .
Kommentti. Vaikka laskelmissa käytettiin murtolukuja, tulos oli kokonaisluku. Todellakin, käyttämällä determinanttien ominaisuuksia ja sitä tosiasiaa, että alkuperäiset luvut ovat kokonaislukuja, toiminnot murtolukujen kanssa voitaisiin välttää. Mutta insinöörikäytännössä luvut ovat erittäin harvoin kokonaislukuja. Siksi determinantin elementit ovat pääsääntöisesti desimaalimurtolukuja, eikä laskelmien yksinkertaistamiseksi ole suositeltavaa käyttää temppuja.
käänteinen matriisi
Määritelmä 3. Matriisia kutsutaan käänteinen matriisi neliömatriisille jos .
Määritelmästä seuraa, että käänteimatriisi on neliömatriisi, joka on samaa luokkaa kuin matriisi (muuten yksi tuloista tai ei olisi määritelty).
Matriisin käänteismatriisi on merkitty . Eli jos on olemassa, niin .
Käänteismatriisin määritelmästä seuraa, että matriisi on matriisin käänteinen, eli . Matriisit ja voidaan sanoa olevan käänteisiä toisilleen tai keskenään käänteisiä.
Jos matriisin determinantti on nolla, sen käänteistä ei ole olemassa.
Koska käänteimatriisin löytämiseksi on tärkeää, onko matriisin determinantti yhtä suuri kuin nolla vai ei, otamme käyttöön seuraavat määritelmät.
Määritelmä 4. Kutsutaan neliömatriisia rappeutunut tai erityinen matriisi, jos ei-degeneroitunut tai ei-singulaarinen matriisi, Jos.
lausunto. Jos käänteimatriisi on olemassa, se on ainutlaatuinen.
lausunto. Jos neliömatriisi on ei-degeneroitunut, niin sen käänteinen on olemassa ja 
(1) missä ovat algebralliset lisäykset elementteihin .
Lause. Käänteinen matriisi neliömatriisille on olemassa, jos ja vain jos matriisi on ei-singulaarinen, käänteimatriisi on ainutlaatuinen ja kaava (1) on voimassa.
Kommentti. Erityistä huomiota tulee kiinnittää algebrallisten lisäysten ottamisiin paikkoihin käänteismatriisikaavassa: ensimmäinen indeksi näyttää numeron sarakkeessa, ja toinen on numero rivit, johon laskettu algebrallinen komplementti tulee kirjoittaa.
Esimerkki. 
.
Ratkaisu. Determinantin löytäminen
Koska , niin matriisi on ei-degeneroitunut, ja sen käänteisarvo on olemassa. Algebrallisten lisäysten etsiminen: 
Muodostetaan käänteismatriisi sijoittamalla löydetyt algebralliset lisäykset siten, että ensimmäinen indeksi vastaa saraketta ja toinen riviä: 
(2)
Tuloksena oleva matriisi (2) on vastaus ongelmaan.
Kommentti. Edellisessä esimerkissä olisi tarkempaa kirjoittaa vastaus näin: 
(3)
Merkintä (2) on kuitenkin kompaktimpi ja sen avulla on helpompi suorittaa lisälaskelmia, jos sellaisia on. Siksi vastauksen kirjoittaminen muotoon (2) on parempi, jos matriisien alkiot ovat kokonaislukuja. Ja päinvastoin, jos matriisin elementit ovat desimaalilukuja, on parempi kirjoittaa käänteismatriisi ilman tekijää edessä.
Kommentti. Käänteimatriisia etsittäessä joudut suorittamaan melko paljon laskutoimituksia ja epätavallisen säännön algebrallisten summausten järjestämiseksi lopullisessa matriisissa. Siksi virheen mahdollisuus on suuri. Virheiden välttämiseksi sinun tulee tehdä tarkistus: laske alkuperäisen matriisin tulo lopullisella tavalla tai toisessa. Jos tuloksena on identiteettimatriisi, käänteismatriisi löytyy oikein. Muussa tapauksessa sinun on etsittävä virhettä.
Esimerkki. Etsi matriisin käänteisarvo 
.
Ratkaisu.
- olemassa.
Vastaus: 
.
Johtopäätös. Käänteimatriisin löytäminen kaavan (1) avulla vaatii liian monta laskutoimitusta. Neljännen ja korkeamman asteen matriiseille tämä ei ole hyväksyttävää. Todellinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi annetaan myöhemmin.
Determinantti- ja käänteimatriisin laskeminen Gaussin menetelmällä
Gaussin menetelmää voidaan käyttää determinantti- ja käänteimatriisin löytämiseen.
Nimittäin matriisideterminantti on yhtä suuri kuin det .
Käänteismatriisi löydetään ratkaisemalla lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Gaussin eliminointimenetelmällä:
Missä on identiteettimatriisin j:s sarake, on vaadittu vektori.
Tuloksena olevat ratkaisuvektorit - muodostavat luonnollisesti matriisin sarakkeet, koska .
Determinantin kaavat
1. Jos matriisi on epäsingulaarinen, niin ja (johtavien elementtien tulo).
Muista Laplacen lause:
Laplacen lause:
Olkoon k riviä (tai k saraketta) valittu mielivaltaisesti determinantissa d järjestyksessä n, . Tällöin kaikkien valittujen rivien k:nnen kertaluvun alarivien tulojen ja niiden algebrallisten komplementtien summa on yhtä suuri kuin determinantti d.
Determinanttien laskemiseksi yleisessä tapauksessa k on yhtä suuri kuin 1. järjestyksen n determinantissa d valitaan mielivaltaisesti rivi (tai sarake). Tällöin kaikkien valitun rivin (tai sarakkeen) sisältämien alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on yhtä suuri kuin determinantti d.
Esimerkki:
Laske determinantti 
Ratkaisu:
Valitaan mielivaltainen rivi tai sarake. Hieman myöhemmin ilmenevästä syystä rajoitamme valintamme joko kolmanteen riviin tai neljänteen sarakkeeseen. Ja pysähdy kolmannelle riville.
Käytetään Laplacen lausetta.
Valitun rivin ensimmäinen elementti on 10, se on kolmannella rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa. Lasketaan sille algebrallinen komplementti, ts. etsi determinantti, joka saadaan poistamalla sarake ja rivi, joilla tämä elementti on (10), ja selvitä merkki.
"plus, jos kaikkien rivien ja sarakkeiden numeroiden summa, joissa sivu-M sijaitsee, on parillinen, ja miinus, jos tämä summa on pariton."
Ja otimme molli, joka koostuu yhdestä yksittäisestä elementistä 10, joka on kolmannen rivin ensimmäisessä sarakkeessa.
Niin: 
Tämän summan neljäs termi on 0, minkä vuoksi kannattaa valita rivejä tai sarakkeita, joissa on maksimimäärä nollaelementtejä.
Vastaus: -1228
Esimerkki:
Laske determinantti: 
Ratkaisu:
Valitaan ensimmäinen sarake, koska kaksi elementtiä siinä ovat yhtä suuria kuin 0. Laajennataan ensimmäisen sarakkeen determinanttia. 
Laajennamme kutakin kolmannen asteen determinanttia ensimmäisen ja toisen rivin suhteen 
Laajennamme jokaista toisen asteen determinanttia ensimmäisessä sarakkeessa 
Vastaus: 48
Kommentti: tätä ongelmaa ratkaistaessa ei käytetty 2. ja 3. kertaluvun determinanttien laskentakaavoja. Käytettiin vain laajennusta rivillä tai sarakkeella. Mikä johtaa determinanttien järjestyksen alenemiseen.
