Sivu 1/2

Kysymys 1. Todista, että kaksi yhdensuuntaista suoraa kolmannen kanssa ovat yhdensuuntaisia.
Vastaus. Lause 4.1. Kaksi yhdensuuntaista suoraa kolmannen kanssa ovat yhdensuuntaisia.
Todiste. Olkoot suorat a ja b yhdensuuntaiset suoran c kanssa. Oletetaan, että a ja b eivät ole yhdensuuntaisia ​​(kuva 69). Tällöin ne eivät leikkaa jossain pisteessä C. Näin ollen kaksi suoraa kulkee pisteen C läpi ja ovat yhdensuuntaisia ​​suoran c kanssa. Mutta tämä on mahdotonta, koska pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, voidaan vetää korkeintaan yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora. Lause on todistettu.

Kysymys 2. Selitä, mitä kulmia kutsutaan sisäisiksi yksipuoleisiksi. Mitä kulmia kutsutaan sisäisiksi ristikkäiksi makaamiseksi?
Vastaus. Kulmapareilla, jotka muodostuvat, kun suorat AB ja CD leikkaavat AC:n, on omat nimensä.
Jos pisteet B ja D ovat samassa puolitasossa suhteessa suoraan AC, kulmia BAC ja DCA kutsutaan sisäisiksi yksipuolisiksi (kuva 71, a).
Jos pisteet B ja D sijaitsevat eri puolitasoissa suhteessa linjaan AC, kulmia BAC ja DCA kutsutaan sisäisiksi poikittaismajoiksi (kuva 71, b).

Riisi. 71

Kysymys 3. Osoita, että jos yhden parin sisäiset poikittaiskulmat ovat yhtä suuret, niin myös toisen parin sisäiset poikkimakuukulmat ovat yhtä suuret ja kunkin parin sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180°.
Vastaus. Sekantti AC muodostaa viivoilla AB ja CD kaksi paria sisäisiä yksipuolisia ja kaksi paria sisäisiä ristikkäisiä kulmia. Yhden parin sisäkulmat, esimerkiksi kulma 1 ja kulma 2, ovat vierekkäin toisen parin sisäisten poikittaismaattojen kulmien kanssa: kulma 3 ja kulma 4 (kuva 72).

Riisi. 72

Siksi, jos yhden parin sisäiset poikkileikkauskulmat ovat yhtä suuret, myös toisen parin sisäiset poikkimakauskulmat ovat yhtä suuret.
Parilla sisäkulmalla, kuten kulma 1 ja kulma 2, ja parilla sisäpuolisia yksipuolisia kulmia, kuten kulma 2 ja kulma 3, on yksi yhteinen kulma, kulma 2, ja kaksi muuta vierekkäistä kulmaa, kulma 1 ja kulma 3.
Siksi, jos sisäpuoliset poikkimakuukulmat ovat yhtä suuret, sisäkulmien summa on 180°. Ja päinvastoin: jos sisäisten poikkileikkauskulmien summa on 180°, niin sisäiset poikkimakuukulmat ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 4. Todista yhdensuuntaisten suorien kriteeri.
Vastaus. Lause 4.2 (testi rinnakkaisille suorille). Jos sisäpuoliset poikittaiskulmat ovat yhtä suuret tai sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180°, niin viivat ovat yhdensuuntaiset.
Todiste. Muodostakoon suorat a ja b samat sisäiset poikittaismaat kulmat sekantin AB kanssa (kuva 73, a). Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia, mikä tarkoittaa, että ne leikkaavat jossain pisteessä C (kuva 73, b).

Riisi. 73

Sekantti AB jakaa tason kahteen puolitasoon. Toisessa niistä on piste C. Muodostetaan kolmio BAC 1 , joka on yhtä suuri kuin kolmio ABC ja jonka kärkipiste C 1 on toisessa puolitasossa. Ehdon mukaan sisäiset poikkileikkauskulmat yhdensuuntaisille a, b ja sekantille AB ovat yhtä suuret. Koska kolmioiden ABC ja BAC 1, joiden kärkipisteet A ja B, vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, ne ovat yhteneväisiä sisäisten poikittaiskulmien kanssa. Siten suora AC 1 osuu yhteen linjan a kanssa ja linja BC 1 osuu yhteen linjan b kanssa. Osoittautuu, että kaksi eri suoraa a ja b kulkevat pisteiden C ja C 1 kautta. Ja tämä on mahdotonta. Joten suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia.
Jos viivojen a ja b ja sekantin AB sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180°, niin, kuten tiedämme, sisäiset poikittaiskulmat ovat yhtä suuret. Siten, kuten edellä on todistettu, suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia. Lause on todistettu.

Kysymys 5. Selitä, mitä kulmia kutsutaan vastaaviksi. Osoita, että jos sisäpuoliset poikkimakaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin myös vastaavat kulmat ovat yhtä suuret ja päinvastoin.

Vastaus. Jos sisäisen ristikkäisen kulman parissa yksi kulma on korvattu pystysuoralla, saadaan kulmapari, joita kutsutaan annettujen viivojen vastaaviksi kulmiksi, joissa on sekantti. Joka piti selittää.
Sisäisten ristikkäisten kulmien yhtäläisyydestä seuraa vastaavien kulmien yhtäläisyys ja päinvastoin. Oletetaan, että meillä on kaksi yhdensuuntaista suoraa (koska ehdon mukaan sisäiset poikittaiskulmat ovat yhtä suuret) ja sekantti, jotka muodostavat kulmat 1, 2, 3. Kulmat 1 ja 2 ovat yhtä suuret kuin sisäiset poikittaismaat. Ja kulmat 2 ja 3 ovat yhtä suuret kuin pystysuorat. Saamme: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 ja \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Yhtävyysmerkin transitiivisuuden ominaisuudesta seuraa, että \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Käänteinen väite todistetaan samalla tavalla.
Tämä johtaa samansuuntaisten viivojen etumerkkiin vastaavissa kulmissa. Nimittäin suorat ovat yhdensuuntaisia, jos vastaavat kulmat ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 6. Todista, että sellaisen pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, on mahdollista piirtää sen kanssa yhdensuuntainen suora. Kuinka monta suoraa yhdensuuntaista suoraa voidaan vetää pisteen läpi, joka ei ole tällä suoralla?

Vastaus. Ongelma (8). Annettu suora AB ja piste C, jotka eivät ole tällä suoralla. Osoita, että pisteen C kautta on mahdollista piirtää suoran AB kanssa yhdensuuntainen suora.
Ratkaisu. Suora AC jakaa tason kahteen puolitasoon (kuva 75). Piste B sijaitsee yhdessä niistä. Piirretään puoliviivasta CA toiseen puolitasoon kulma ACD, joka on yhtä suuri kuin kulma CAB. Tällöin suorat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia. Todellakin, näille viivoille ja sekantille AC, kulmat BAC ja DCA ovat sisäpuolella ristikkäin. Ja koska ne ovat yhtä suuret, suorat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia. Q.E.D.
Vertaamalla tehtävän 8 lausetta ja aksioomaa IX (yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuus) tulemme tärkeään johtopäätökseen: pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, voidaan piirtää sen kanssa yhdensuuntainen suora, ja vain yksi.

Kysymys 7. Osoita, että jos kaksi suoraa leikkaa kolmannen suoran, niin sisäpuoliset poikittaiskulmat ovat yhtä suuret ja sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180°.

Vastaus. Lause 4.3(käänteinen Lauseen 4.2 kanssa). Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kolmannen suoran, niin sisäpuoliset poikkileikkauskulmat ovat yhtä suuret ja sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoot a ja b yhdensuuntaisia ​​suoria ja c suora, joka leikkaa ne pisteissä A ja B. Piirretään suora a 1 pisteen A kautta siten, että sekantin c muodostamat sisäiset poikkileikkauskulmat suorien a 1 ja b kanssa ovat yhtä suuri (kuva 76).
Viivojen yhdensuuntaisuuden kriteerin mukaan suorat a 1 ja b ovat yhdensuuntaisia. Ja koska vain yksi suora kulkee pisteen A läpi, yhdensuuntainen suoran b kanssa, niin suora a osuu yhteen suoran a 1 kanssa.
Tämä tarkoittaa, että sekantin muodostamat sisäiset ristikkäiset kulmat
yhdensuuntaiset suorat a ja b ovat yhtä suuret. Lause on todistettu.

Kysymys 8. Todista, että kaksi suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, ovat yhdensuuntaisia. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen.
Vastaus. Lauseesta 4.2 seuraa, että kaksi suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, ovat yhdensuuntaisia.
Oletetaan, että mitkä tahansa kaksi suoraa ovat kohtisuorassa kolmanteen riviin nähden. Siten nämä viivat leikkaavat kolmannen viivan kulmassa, joka on yhtä suuri kuin 90°.
Sekantin yhdensuuntaisten viivojen leikkauskohtaan muodostamien kulmien ominaisuudesta seuraa, että jos suora on kohtisuorassa yhdensuuntaisista suorista, niin se on myös kohtisuorassa toiseen.

Kysymys 9. Osoita, että kolmion kulmien summa on 180°.

Vastaus. Lause 4.4. Kolmion kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoon ABC annettu kolmio. Piirrä viiva kärjen B kautta yhdensuuntaisesti linjan AC kanssa. Merkitse siihen piste D siten, että pisteet A ja D ovat suoran BC vastakkaisilla puolilla (kuva 78).
Kulmat DBC ja ACB ovat yhtä suuret kuin sisäiset poikkisuunnassa, jotka muodostuvat sekantista BC yhdensuuntaisilla viivoilla AC ja BD. Siksi kolmion kulmien summa pisteiden B ja C kohdalla on yhtä suuri kuin kulma ABD.
Ja kolmion kaikkien kolmen kulman summa on yhtä suuri kuin kulmien ABD ja BAC summa. Koska nämä kulmat ovat sisäpuolisia yhdensuuntaisille AC:lle ja BD:lle sekä sekantille AB, niiden summa on 180°. Lause on todistettu.

Kysymys 10. Todista, että millä tahansa kolmiolla on vähintään kaksi terävää kulmaa.
Vastaus. Oletetaan todellakin, että kolmiolla on vain yksi terävä kulma tai ei lainkaan teräviä kulmia. Tällöin tässä kolmiossa on kaksi kulmaa, joista jokainen on vähintään 90°. Näiden kahden kulman summa on vähintään 180°. Mutta tämä on mahdotonta, koska kolmion kaikkien kulmien summa on 180°. Q.E.D.

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit

Lause 1. Jos sekantin kahden suoran leikkauskohdassa:

vinottain makaavat kulmat ovat yhtä suuret tai

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai

yksipuolisten kulmien summa on 180°

viivat ovat yhdensuuntaisia(Kuva 1).

Todiste. Rajaudumme tapauksen 1 todisteisiin.

Oletetaan, että suorien a ja b leikkauskohdassa AB-leikkauskulmat ovat yhtä suuret. Esimerkiksi ∠ 4 = ∠ 6. Osoitetaan, että a || b.

Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä M ja siten yksi kulmista 4 tai 6 on kolmion ABM ulkokulma. Olkoon varmuuden vuoksi ∠ 4 kolmion ABM ulkokulma ja ∠ 6 sisäkulma. Kolmion ulkokulman lauseesta seuraa, että ∠ 4 on suurempi kuin ∠ 6, ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että suorat a ja 6 eivät voi leikkiä, joten ne ovat yhdensuuntaisia.

Seuraus 1. Kaksi erillistä suoraa samaan viivaan nähden kohtisuorassa tasossa ovat yhdensuuntaisia(Kuva 2).

Kommentti. Tapaa, jolla juuri todistimme Lauseen 1 tapauksen 1, kutsutaan todistusmenetelmäksi ristiriidalla tai pelkistymisellä absurdiksi. Tämä menetelmä sai etunimensä, koska päättelyn alussa tehdään oletus, joka on päinvastainen (päinvastainen) kuin todistettava. Sitä kutsutaan absurdiksi pelkistymiseksi sen vuoksi, että esitetyn oletuksen perusteella väittelemällä päädymme järjettömään johtopäätökseen (absurdisti). Tällaisen päätelmän saaminen pakottaa meidät hylkäämään alussa tehdyn oletuksen ja hyväksymään sen, joka vaadittiin todistettavaksi.

Tehtävä 1. Muodosta suora, joka kulkee tietyn pisteen M kautta ja on yhdensuuntainen tietyn suoran a kanssa, joka ei kulje pisteen M läpi.

Ratkaisu. Piirretään suora p pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa a vastaan ​​(kuva 3).

Sitten vedetään suora b pisteen M läpi kohtisuorassa suoraa p vastaan. Suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa Lauseen 1 seurauksen mukaan.

Käsitellystä ongelmasta seuraa tärkeä johtopäätös:
Pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, voidaan aina piirtää viiva, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa..

Yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuus on seuraava.

Yhdensuuntaisten viivojen aksiooma. Tietyn pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla, on vain yksi suora yhdensuuntainen annetun suoran kanssa.

Harkitse joitain rinnakkaisten suorien ominaisuuksia, jotka seuraavat tästä aksioomasta.

1) Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se leikkaa toisen (kuva 4).

2) Jos kaksi eri suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia ​​(kuva 5).

Myös seuraava lause pitää paikkansa.

Lause 2. Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa sekantti, niin:

makuukulmat ovat yhtä suuret;

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret;

yksipuolisten kulmien summa on 180°.

Seuraus 2. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen.(katso kuva 2).

Kommentti. Lausea 2 kutsutaan Lauseen 1 käänteiseksi. Lauseen 1 johtopäätös on Lauseen 2 ehto. Ja Lauseen 1 ehto on Lauseen 2 johtopäätös. Jokaisella lauseella ei ole käänteislukua, eli jos annettu lause on tosi, silloin käänteislause voi olla väärä.

Selvitetään tämä pystykulmia koskevan lauseen esimerkillä. Tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret. Käänteinen lause olisi tämä: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, ne ovat pystysuorat. Ja tämä ei tietenkään ole totta. Kahden samanlaisen kulman ei tarvitse olla pystysuorassa ollenkaan.

Esimerkki 1 Kaksi yhdensuuntaista viivaa ylittää kolmas. Tiedetään, että kahden sisäisen yksipuolisen kulman välinen ero on 30°. Etsi ne kulmat.

Ratkaisu. Olkoon kuvion 6 ehdon mukainen.

Ne eivät leikkaa toisiaan, vaikka ne jatkuisivat kuinka kauan. Rivien samansuuntaisuus kirjallisesti osoitetaan seuraavasti: AB|| FROME

Tällaisten suorien olemassaolon mahdollisuus todistetaan lauseella.

Lause.

Minkä tahansa pisteen kautta, joka on otettu tietyn suoran ulkopuolelle, voidaan piirtää yhdensuuntainen tämän suoran kanssa..

Päästää AB tämä rivi ja FROM jokin kohta otettu sen ulkopuolelle. Se on todistettava FROM voit piirtää suoran viivan rinnakkainAB. Pudotetaan AB pisteestä FROM kohtisuorassaFROMD ja sitten teemme FROME^ FROMD, mikä on mahdollista. Suoraan CE rinnakkain AB.

Todistuksessa oletetaan päinvastaista, eli sitä CE leikkaa AB jossain vaiheessa M. Siis pisteestä M suoralle viivalle FROMD meillä olisi kaksi erilaista kohtisuoraa MD ja NEITI, mikä on mahdotonta. tarkoittaa, CE ei voi risteä AB, eli FROME rinnakkain AB.

Seuraus.

Kaksi kohtisuoraa (CEjaD.B.) yhdelle suoralle (СD) ovat yhdensuuntaisia.

Yhdensuuntaisten viivojen aksiooma.

Saman pisteen kautta on mahdotonta piirtää kahta erilaista samansuuntaista suoraa.

Jos siis suora viiva FROMD, piirretty pisteen läpi FROM yhdensuuntainen suoran kanssa AB, sitten mikä tahansa muu rivi FROME saman pisteen kautta FROM, ei voi olla rinnakkainen AB, eli hän jatkaa leikkaavat Kanssa AB.

Tämän ei aivan ilmeisen totuuden todistaminen osoittautuu mahdottomaksi. Se hyväksytään ilman todisteita välttämättömäksi olettamukseksi (postulatum).

Seuraukset.

1. Jos suoraan(FROME) leikkaa yhden kanssa rinnakkain(SW), sitten se leikkaa toisen kanssa ( AB), koska muuten saman kohdan kautta FROM kaksi erilaista yhdensuuntaista suoraa AB, mikä on mahdotonta.

2. Jos kumpikin näistä kahdesta suoraan (AjaB) ovat samansuuntaiset saman kolmannen viivan kanssa ( FROM) , sitten he ovat yhdensuuntaisia keskenään.

Todellakin, jos oletamme niin A ja B leikkaavat jossain vaiheessa M, silloin tämän pisteen läpi kulkee kaksi erilaista, yhdensuuntaista suoraa. FROM, mikä on mahdotonta.

Lause.

Jos suora on kohtisuorassa yhteen yhdensuuntaisista viivoista, niin se on kohtisuorassa toiseen nähden rinnakkain.

Päästää AB || FROMD ja EF ^ AB.Se on todistettava EF ^ FROMD.

kohtisuorassaEF, risteävät kanssa AB, leikkaa varmasti ja FROMD. Olkoon leikkauspiste H.

Oletetaan nyt että FROMD ei kohtisuorassa EH. Sitten joku muu rivi esimerkiksi HK, on kohtisuorassa EH ja siis saman pisteen kautta H kaksi suora yhdensuuntainen AB: yksi FROMD, ehdon mukaan ja muut HK kuten aiemmin on todistettu. Koska tämä on mahdotonta, sitä ei voida olettaa SW ei ollut kohtisuorassa EH.

Luokka: 2

Oppitunnin tarkoitus:

• muodosta 2 suoran yhdensuuntaisuuden käsite, harkitse yhdensuuntaisten viivojen ensimmäistä merkkiä;
• kehittää kykyä soveltaa merkkiä ongelmien ratkaisussa.

Tehtävät:

1. Koulutus: opitun materiaalin toisto ja lujittaminen, 2 rivin yhdensuuntaisuuden käsitteen muodostaminen, 2 rivin yhdensuuntaisuuden 1. merkin todistaminen.
2. Kasvatus: kehittää kykyä tehdä muistiinpanoja tarkasti muistikirjassa ja noudattaa piirustusten rakentamisen sääntöjä.
3. Kehittämistehtävät: loogisen ajattelun, muistin, huomion kehittäminen.

Oppitunnin varusteet:

• multimediaprojektori;
• näyttö, esitykset;
• piirustustyökalut.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

Tervehdys, tarkistan valmiuden oppitunnille.

II. Valmistautuminen aktiiviseen UPD:hen.

Vaihe 1.

Ensimmäisellä geometrian oppitunnilla tarkastelimme 2 viivan suhteellista sijaintia tasossa.

Kysymys. Kuinka monta yhteistä pistettä kahdella viivalla voi olla?
Vastaus. Kahdella viivalla voi olla joko yksi yhteinen piste tai niillä voi olla vain yksi yhteinen piste.

Kysymys. Kuinka nämä kaksi viivaa sijoittuvat toisiinsa nähden, jos niillä on yksi yhteinen piste?
Vastaus. Jos viivoilla on yksi yhteinen piste, ne leikkaavat

Kysymys. Miten 2 suoraa sijaitsevat suhteessa toisiinsa, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä?
Vastaus. Tässä tapauksessa viivat eivät leikkaa.

Vaihe 2.

Viimeisellä oppitunnilla sait tehtäväksi tehdä esitys, jossa kohtaamme ei-leikkaavia linjoja elämässämme ja luonnossa. Nyt tarkastelemme näitä esityksiä ja valitsemme niistä parhaat. (Tuomaristossa oli opiskelijoita, joiden on matalan älykkyyden vuoksi vaikea luoda omia esitelmiä.)

Opiskelijoiden tekemien esitysten katselu: "Luontojen ja elämän linjojen rinnakkaisuus" ja niistä parhaiden valinta.

III. Aktiivinen UPD (uuden materiaalin selitys).

Vaihe 1.

Kuva 1

Määritelmä. Kahta tasossa olevaa suoraa, jotka eivät leikkaa toisiaan, kutsutaan yhdensuuntaisiksi.

Tämä taulukko näyttää erilaisia ​​tapauksia, joissa 2 yhdensuuntaista viivaa on järjestetty tasoon.

Harkitse, mitkä segmentit ovat yhdensuuntaisia.

Kuva 2

1) Jos suora a on yhdensuuntainen b:n kanssa, niin janat AB ja CD ovat myös yhdensuuntaiset.

2) Jana voi olla yhdensuuntainen suoran kanssa. Jana MN on siis yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Kuva 3

3) Jana AB on yhdensuuntainen säteen h kanssa. Säde h on yhdensuuntainen säteen k kanssa.

4) Jos suora a on kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja suora b on kohtisuorassa suoraa c vastaan, niin suorat a ja b ovat yhdensuuntaiset.

Vaihe 2.

Kulmat, jotka muodostuvat kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta ja poikittaisviivasta.

Kuva 4

Kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kolmannen suoran kahdessa pisteessä. Tässä tapauksessa muodostuu kahdeksan kulmaa, jotka on merkitty kuvassa numeroilla.

Joillakin näiden kulmien pareilla on erityiset nimet (katso kuva 4).

Olemassa kolme merkkiä, kahden suoran yhdensuuntaisuus liittyy näihin kulmiin. Tällä oppitunnilla tarkastelemme ensimmäinen merkki.

Vaihe 3.

Toistakaamme tämän ominaisuuden todistamiseen tarvittava materiaali.

Kuva 5

Kysymys. Mitkä ovat kuvan 5 kulmien nimet?
Vastaus. Kulmia AOC ja COB kutsutaan vierekkäisiksi.

Kysymys. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi? Anna määritelmä.
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen ja kaksi muuta ovat toistensa laajennuksia.

Kysymys. Mitkä ovat vierekkäisten kulmien ominaisuudet?
Vastaus. Vierekkäiset kulmat ovat yhteensä 180 astetta.
AOC + COB = 180°

Kysymys. Miten kulmia 1 ja 2 kutsutaan?
Vastaus. Kulmia 1 ja 2 kutsutaan pystysuoraksi.

Kysymys. Mitkä ovat pystykulmien ominaisuudet?
Vastaus. Pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Vaihe 4.

Todiste rinnakkaisuuden ensimmäisestä merkistä.

Lause. Jos kahden suoran leikkauskohdassa poikittaiskulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.

Kuva 6

Annettu: a ja b ovat suoria
AB - sekantti
1 = 2
Todistaa: a//b.

1 tapaus.

Kuva 7

Jos 1 ja 2 ovat suoria viivoja, niin a on kohtisuorassa AB:tä vastaan ​​ja b on kohtisuorassa AB:tä vastaan, niin a//b.

2. tapaus.

Kuva 8

Tarkastellaan tilannetta, jossa 1 ja 2 eivät ole suoria. Jana AB puolitetaan pisteellä O.

Kysymys. Mikä on segmenttien AO ja OB pituus?
Vastaus. Segmentit AO ja OB ovat yhtä pitkiä.

1) Pisteestä O piirretään kohtisuora suoraa a vastaan, OH on kohtisuorassa a:ta vastaan.

Kysymys. Mikä on kulma 3?
Vastaus. Kulma 3 on oikea.

2) Poistetaan pisteestä A suoralta b kompassilla jana AH 1 = BH.

3) Piirretään jana OH 1.

Kysymys. Mitkä kolmiot muodostuivat todistuksen tuloksena?
Vastaus. Kolmio ONV ja kolmio OH 1 A.

Todistakaamme, että he ovat tasa-arvoisia.

Kysymys. Mitkä kulmat ovat yhtä suuret lauseen hypoteesin mukaan?
Vastaus. Kulma 1 on yhtä suuri kuin kulma 2.

Kysymys. Mitkä puolet ovat rakenteeltaan samanlaisia.
Vastaus. AO = OB ja AN 1 = VN

Kysymys. Millä perusteella kolmiot ovat yhteneviä?
Vastaus. Kolmiot ovat kahdelta sivulta yhtä suuret ja niiden välinen kulma (ensimmäinen merkki kolmioiden tasa-arvosta).

Kysymys. Mikä ominaisuus kongruenteilla kolmioilla on?
Vastaus. Tasa-arvoisilla kolmioilla on samat kulmat, jotka ovat vastakkaisia ​​yhtä suuria sivuja.

Kysymys. Mitkä kulmat ovat yhtä suuret?
Vastaus. 5 = 6, 3 = 4.

Kysymys. Millä nimellä 5 ja 6 kutsutaan?
Vastaus. Näitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi.

Tästä seuraa, että pisteet: H 1 , O, H ovat yhdellä suoralla.
Koska 3 on suora ja 3 = 4, sitten 4 on suora.

Kysymys. Miten suorat a ja b sijaitsevat suhteessa suoraan HH 1, jos kulmat 3 ja 4 ovat oikein?
Vastaus. Suorat a ja b ovat kohtisuorassa HH 1 :een nähden.

Kysymys. Mitä voimme sanoa kahdesta kohtisuorasta yhdelle suoralle?
Vastaus. Yhden suoran kaksi kohtisuoraa ovat yhdensuuntaisia.

Eli a//b. Lause on todistettu.

Nyt toistan kaikki todisteet alusta alkaen, ja sinä kuuntelet minua huolellisesti ja yrität ymmärtää kaiken muistaakseni.

IV. Uuden materiaalin yhdistäminen.

Työskentele ryhmissä, joilla on eri tasoinen älykkyys, jonka jälkeen tarkista näytöltä ja taululta. 3 opiskelijaa työskentelee taulun ääressä (yksi jokaisesta ryhmästä).

№1 (opiskelijoille, joiden älyllinen kehitys on heikentynyt).

Annettu: a ja b ovat suoria
c - sekantti
1 = 37°
7 = 143°
Todistaa: a//b.

Ratkaisu.

7 = 6 (pysty) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (vieressä) 4 = 180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 °, ja ne ovat ristikkäin a//b 5 \u003d 48 °, 3 ja 5 ovat ristikkäisiä kulmia, ne ovat yhtä suuria kuin a//b.

Kuva 11

V. Oppitunnin yhteenveto.

Oppitunnin tulos toteutetaan kuvien 1-8 avulla.

Oppilaiden aktiivisuutta tunnilla arvioidaan (jokainen oppilas saa sopivan hymiön).

Kotitehtävät: opettaa - s. 52-53; ratkaisu nro 186 (b, c).

Rinnakkaisuus on erittäin hyödyllinen ominaisuus geometriassa. Tosielämässä yhdensuuntaisten sivujen avulla voit luoda kauniita, symmetrisiä asioita, jotka miellyttävät jokaista silmää, joten geometria on aina tarvinnut tapoja tarkistaa tämä yhdensuuntaisuus. Puhumme rinnakkaisten viivojen merkeistä tässä artikkelissa.

Yhdensuuntaisuuden määritelmä

Erottelemme määritelmät, jotka sinun on tiedettävä todistaaksesi kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit.

Suoraa kutsutaan rinnakkaiseksi, jos niillä ei ole leikkauspistettä. Lisäksi ratkaisuissa rinnakkaiset suorat kulkevat yleensä sekanttiviivan yhteydessä.

Sekanttiviiva on suora, joka leikkaa molemmat yhdensuuntaiset suorat. Tässä tapauksessa makaavat, vastaavat ja yksipuoliset kulmat muodostetaan poikittain. Kulmaparit 1 ja 4 ovat poikki; 2 ja 3; 8 ja 6; 7 ja 5. Vastaavat 7 ja 2; 1 ja 6; 8 ja 4; 3 ja 5.

Yksipuolinen 1 ja 2; 7 ja 6; 8 ja 5; 3 ja 4.

Kun se on oikein muotoiltu, se kirjoitetaan: "Risteiset kulmat, joissa on kaksi yhdensuuntaista suoraa a ja b ja sekantti c", koska kahdelle yhdensuuntaiselle suoralle voi olla ääretön määrä sekantteja, joten sinun on määritettävä kumpaa sekanttia tarkoitat.

Todistusta varten tarvitsemme myös kolmion ulkokulman lauseen, joka väittää, että kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmion kahden kulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.

merkkejä

Kaikki yhdensuuntaisten viivojen merkit on sidottu kulmien ominaisuuksien tuntemiseen ja kolmion ulkokulman lauseeseen.

Ominaisuus 1

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos leikkauskulmat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan kahta suoraa a ja b, joiden sekantti c. Ristikkäiset makuukulmat 1 ja 4 ovat yhtä suuret. Oletetaan, että suorat eivät ole yhdensuuntaisia. Tämä tarkoittaa, että suorat leikkaavat ja siellä pitäisi olla leikkauspiste M. Sitten muodostetaan kolmio AVM, jonka ulkokulma on 1. Ulkokulman tulee olla yhtä suuri kuin kulmien 4 summa ja AVM ei ole sen vieressä kolmion ulkokulman lause. Mutta sitten käy ilmi, että kulma 1 on suurempi kuin kulma 4, ja tämä on ristiriidassa ongelman ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että pistettä M ei ole olemassa, suorat eivät leikkaa, eli ne ovat yhdensuuntaisia.

Riisi. 1. Piirustus todisteeksi.

Ominaisuus 2

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos vastaavat leikkauskulmat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan kahta suoraa a ja b, joiden sekantti c. Vastaavat kulmat 7 ja 2 ovat yhtä suuret. Kiinnitetään huomiota kulmaan 3. Se on pystysuora kulmalla 7. Siksi kulmat 7 ja 3 ovat yhtä suuret. Joten kulmat 3 ja 2 ovat myös yhtä suuret, koska<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Riisi. 2. Piirustus todisteeksi.

Ominaisuus 3

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

Riisi. 3. Piirustus todisteeksi.

Tarkastellaan kahta suoraa a ja b, joiden sekantti c. Yksipuolisten kulmien 1 ja 2 summa on 180 astetta. Kiinnitetään huomiota kulmiin 1 ja 7. Ne ovat vierekkäisiä. Tuo on:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Vähennä toinen ensimmäisestä lausekkeesta:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Mitä olemme oppineet?

Analysoimme yksityiskohtaisesti, mitä kulmia saadaan leikattaessa yhdensuuntaisia ​​viivoja kolmannella viivalla, tunnistimme ja kuvasimme yksityiskohtaisesti todisteen viivojen kolmen samansuuntaisuuden merkistä.

Aihekilpailu

Artikkelin luokitus

Keskiarvoluokitus: 4.1. Saatujen arvioiden kokonaismäärä: 220.