Osoittaja

neljännekset

1. Järjestys. a ja b on sääntö, jonka avulla voit yksilöidä niiden välillä yhden ja vain yhden kolmesta suhteesta: "< », « >' tai ' = '. Tätä sääntöä kutsutaan tilaussääntö ja se on muotoiltu seuraavasti: kaksi ei-negatiivista numeroa ja liittyvät samaan suhteeseen kuin kaksi kokonaislukua ja ; kaksi ei-positiivista numeroa a ja b liittyvät samalla suhteella kuin kaksi ei-negatiivista numeroa ja ; jos yhtäkkiä a ei-negatiivinen ja b- negatiivinen siis a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   murtolukujen summaus

2. lisäystoiminto. Kaikille rationaalisille luvuille a ja b siellä on ns summaussääntö c. Itse numero kuitenkin c nimeltään summa numeroita a ja b ja on merkitty , ja tällaisen numeron löytämisprosessia kutsutaan summaus. Summaussäännöllä on seuraava muoto: .
3. kertolaskutoiminto. Kaikille rationaalisille luvuille a ja b siellä on ns kertolasku sääntö, mikä asettaa ne vastaamaan jonkin rationaalisen luvun kanssa c. Itse numero kuitenkin c nimeltään tehdä työtä numeroita a ja b ja on merkitty , ja sellaisen luvun löytämisprosessia kutsutaan myös kertolasku. Kertolasääntö on seuraava: .
4. Tilaussuhteen transitiivisuus. Mille tahansa rationaalilukujen kolmiolle a , b ja c jos a pienempi b ja b pienempi c, sitten a pienempi c, ja jos a on yhtä suuri b ja b on yhtä suuri c, sitten a on yhtä suuri c. 6435">Lisäyksen kommutatiivisuus. Summa ei muutu rationaalisten termien paikan vaihtamisesta.
5. Lisäyksen assosiatiivisuus. Järjestys, jossa kolme rationaalilukua lisätään, ei vaikuta tulokseen.
6. Nollan läsnäolo. On olemassa rationaaliluku 0, joka säilyttää jokaisen toisen rationaaliluvun summattuna.
7. Vastakkaisten numeroiden läsnäolo. Jokaisella rationaaliluvulla on vastakkainen rationaaliluku, joka summattaessa antaa 0.
8. Kertomisen kommutatiivisuus. Vaihtamalla rationaalisten tekijöiden paikkoja tuote ei muutu.
9. Kertomisen assosiatiivisuus. Järjestys, jossa kolme rationaalilukua kerrotaan, ei vaikuta tulokseen.
10. Yksikön läsnäolo. On olemassa rationaalinen luku 1, joka säilyttää jokaisen toisen rationaaliluvun kerrottuna.
11. Vastavuoroisten läsnäolo. Jokaisella rationaaliluvulla on käänteinen rationaaliluku, joka kerrottuna antaa 1.
12. Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun. Kertolasku on yhdenmukainen yhteenlaskuoperaation kanssa jakautumislain kautta:
13. Tilaussuhteen yhteys lisäyksen toimintaan. Sama rationaalinen luku voidaan lisätä rationaalisen epäyhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedesin aksiooma. Oli rationaalinen luku mikä tahansa a, voit ottaa niin monta yksikköä, että niiden summa ylittää a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Lisäominaisuudet

Kaikkia muita rationaalilukuihin sisältyviä ominaisuuksia ei eroteta perusominaisuuksiksi, koska yleisesti ottaen ne eivät enää perustu suoraan kokonaislukujen ominaisuuksiin, vaan ne voidaan todistaa annettujen perusominaisuuksien perusteella tai suoraan luvun määritelmällä. jokin matemaattinen objekti. Tällaisia ​​lisäominaisuuksia on paljon. Tässä on järkevää mainita niistä vain muutama.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aseta laskettavuus

Rationaalilukujen numerointi

Rationaalisten lukujen määrän arvioimiseksi sinun on löydettävä niiden joukon kardinaliteetti. On helppo todistaa, että rationaalilukujen joukko on laskettavissa. Tätä varten riittää, että annetaan algoritmi, joka luettelee rationaaliluvut, eli muodostaa bijektion rationaalisten ja luonnollisten lukujen joukkojen välille.

Yksinkertaisin näistä algoritmeista on seuraava. Jokaiselle on laadittu ääretön taulukko tavallisista murtoluvuista i- jokaisessa rivissä j jonka sarake on murto-osa. Varmuuden vuoksi oletetaan, että tämän taulukon rivit ja sarakkeet on numeroitu yhdestä. Taulukon solut on merkitty , missä i- sen taulukon rivinumero, jossa solu sijaitsee, ja j- sarakkeen numero.

Tuloksena olevaa taulukkoa hallitsee "käärme" seuraavan muodollisen algoritmin mukaisesti.

Nämä säännöt skannataan ylhäältä alas ja seuraava sijoitus valitaan ensimmäisen ottelun perusteella.

Tällaisen ohituksen aikana jokainen uusi rationaalinen luku määrätään seuraavalle luonnolliselle numerolle. Toisin sanoen murto-osille 1/1 annetaan numero 1, murtoluvuille 2/1 - numero 2 jne. On huomattava, että vain pelkistymättömät murtoluvut numeroidaan. Muodollinen pelkistymättömyyden merkki on yhtä suuri murto-osan osoittajan ja nimittäjän yhteinen jakaja.

Tämän algoritmin avulla voidaan laskea kaikki positiiviset rationaaliluvut. Tämä tarkoittaa, että positiivisten rationaalilukujen joukko on laskettavissa. On helppo muodostaa bijektio positiivisten ja negatiivisten rationaalilukujen joukkojen välille yksinkertaisesti osoittamalla jokaiselle rationaaliluvulle sen vastakohta. Että. myös negatiivisten rationaalilukujen joukko on laskettavissa. Niiden liitto on myös laskettavissa laskettavien joukkojen ominaisuudella. Rationaalilukujen joukko on myös laskettavissa laskettavan joukon ja äärellisen joukon liittona.

Väite rationaalisten lukujen joukon lasketavuudesta saattaa aiheuttaa hämmennystä, koska ensi silmäyksellä saa vaikutelman, että se on paljon suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko. Itse asiassa näin ei ole, ja luonnollisia lukuja on tarpeeksi luetellakseen kaikki rationaaliset.

Rationaalisten lukujen riittämättömyys

Tällaisen kolmion hypotenuusaa ei ilmaista millään rationaaliluvulla

Rationaaliset luvut muodossa 1 / n vapaana n mielivaltaisen pieniä määriä voidaan mitata. Tämä tosiasia luo harhaanjohtavan vaikutelman, että rationaaliset luvut voivat mitata mitä tahansa geometrisia etäisyyksiä yleensä. On helppo osoittaa, että tämä ei ole totta.

Pythagoraan lauseesta tiedetään, että suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ilmaistaan ​​sen jalkojen neliöiden summan neliöjuurena. Että. yksikköhaaraisen tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on yhtä suuri kuin luku, jonka neliö on 2.

Jos oletetaan, että lukua edustaa jokin rationaalinen luku, niin on olemassa sellainen kokonaisluku m ja sellainen luonnollinen luku n, joka lisäksi murto-osa on redusoitumaton, eli luvut m ja n ovat koprime.

Käytämme murtolukuja koko ajan elämässämme. Esimerkiksi kun syömme kakkua ystävien kanssa. Kakun voi jakaa 8 yhtä suureen osaan tai 8 osaan osakkeita. Jaa on tasavertainen osa jotain kokonaisuutta. Neljä ystävää söi kukin palan kakkua. Neljä poimittua kahdeksasta kappaleesta voidaan kirjoittaa matemaattisesti nimellä murtoluku\(\frac(4)(8)\), murtoluku on "neljä kahdeksasosa" tai "neljä jaettuna kahdeksalla". Yhteistä murtolukua kutsutaan myös yksinkertainen murto-osa.

Murtolukupalkki korvaa jaon:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Kirjoitimme osakkeet murto-osina. Kirjaimellisessa muodossa se tulee olemaan näin:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – osoittaja tai jaollinen, on murtopalkin yläpuolella ja näyttää kuinka monta osaa tai jakoa kokonaismäärästä otettiin.
8 – nimittäjä tai jakaja, joka sijaitsee murtopalkin alapuolella ja näyttää osien tai osuuksien kokonaismäärän.

Jos katsomme tarkasti, huomaamme, että ystävät söivät puolet kakusta tai yhden osan kahdesta. Kirjoitamme tavallisen murto-osan muodossa \(\frac(1)(2)\), se lukee "yksi sekunti".

Harkitse toista esimerkkiä:
Siellä on neliö. Neliö on jaettu 5 yhtä suureen osaan. Maalattu kaksi osaa. Kirjoita varjostetuille osille murto-osa? Kirjoita muistiin varjostamattomien osien murto-osa?

Kaksi osaa on maalattu päälle ja osia on yhteensä viisi, joten murto näyttää tältä \(\frac(2)(5)\, murtoluku ”kaksi viidesosaa” luetaan.
Kolme osaa jäi maalaamatta, osia on yhteensä viisi, joten kirjoitetaan murto näin \(\frac(3)(5)\), murto "kolme viidesosa" luetaan.

Jaa neliö pienempiin neliöihin ja kirjoita murtoluvut varjostetuille ja varjostamattomille osille.

Varjostettu 6 osaa ja vain 25 osaa. Saamme murto-osan \(\frac(6)(25)\) , murtoluku "kuusi kahdeskymmenesviidesosa" luetaan.
Ei varjostettu 19 osaa, vaan vain 25 osaa. Saamme murto-osan \(\frac(19)(25)\), murto "yhdeksäntoista kahdeskymmenesviidesosa" luetaan.

Varjostettu 4 osaa ja vain 25 osaa. Saamme murto-osan \(\frac(4)(25)\), murto "neljä kahdeskymmenesviidesosa" luetaan.
Ei varjostettu 21 osaa, vaan vain 25 osaa. Saamme murto-osan \(\frac(21)(25)\, murto-osa "kaksikymmentäyksi kaksikymmentäviidesosa" luetaan.

Mikä tahansa luonnollinen luku voidaan ilmaista murtolukuna. Esimerkiksi:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Mikä tahansa luku on jaollinen yhdellä, joten tämä luku voidaan esittää murtolukuna.

Kysymyksiä aiheesta "tavalliset murtoluvut":
Mikä on osake?
Vastaus: Jaa on tasavertainen osa jotain kokonaisuutta.

Mitä nimittäjä osoittaa?
Vastaus: nimittäjä näyttää kuinka monta osaa tai osaketta on jaettu.

Mitä osoittaja näyttää?
Vastaus: Osoittaja näyttää kuinka monta osaa tai jakoa otettiin.

Tie oli 100m. Misha käveli 31 metriä. Kirjoita ilmaisu murtolukuna, kuinka kauan Misha meni?
Vastaus:\(\frac(31)(100)\)

Mikä on yhteinen murtoluku?
Vastaus: Yhteinen murtoluku on osoittajan suhde nimittäjään, jossa osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Esimerkki, yleiset murtoluvut \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Kuinka muuntaa luonnollinen luku yhteiseksi murtoluvuksi?
Vastaus: mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa murtolukuna, esimerkiksi \(5 = \frac(5)(1)\)

Tehtävä 1:
Ostin 2kg 700g melonia. Mishan \(\frac(2)(9)\) melonit leikattiin pois. Mikä on leikatun kappaleen massa? Kuinka monta grammaa melonia on jäljellä?

Päätös:
Muunna kilogrammat grammoiksi.
2kg = 2000g
2000g + 700g = 2700g melonin kokonaispaino.

Mishan \(\frac(2)(9)\) melonit leikattiin pois. Nimittäjä on 9, mikä tarkoittaa, että meloni jaettiin 9 osaan.
2700: 9 = 300 g yhden kappaleen paino.
Osoittaja on numero 2, joten Mishan on annettava kaksi nappulaa.
300 + 300 = 600 g tai 300 ⋅ 2 = 600 g on kuinka monta melonia Misha söi.

Saadaksesi selville, kuinka paljon melonia on jäljellä, sinun on vähennettävä syöty massa melonin kokonaismassasta.
2700 - 600 = 2100g meloneja jäljellä.

Murto-osa- luvun esitysmuoto matematiikassa. Vinoviiva ilmaisee jakotoiminnon. osoittaja murto-osia kutsutaan osingoksi, ja nimittäjä-jakaja. Esimerkiksi murtoluvussa osoittaja on 5 ja nimittäjä 7.

Oikea Murtolukua kutsutaan, jos osoittajan moduuli on suurempi kuin nimittäjän moduuli. Jos murtoluku on oikea, niin sen arvon moduuli on aina pienempi kuin 1. Kaikki muut murtoluvut ovat väärä.

Murtolukua kutsutaan sekoitettu, jos se kirjoitetaan kokonaislukuna ja murtolukuna. Tämä on sama kuin tämän luvun ja murtoluvun summa:

Murtoluvun perusominaisuus

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu, eli esim.

Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

Kahden murtoluvun saattamiseksi yhteiseen nimittäjään tarvitset:

1. Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä
2. Kerro toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen nimittäjällä
3. Korvaa molempien murtolukujen nimittäjät niiden tulolla

Toiminnot murtoluvuilla

Lisäys. Kahden jakeen lisäämiseksi tarvitset

1. Lisää molempiin murtolukuihin uudet osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Vähennyslasku. Jos haluat vähentää murto-osan toisesta,

1. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään
2. Vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Kertominen. Jos haluat kertoa yhden murtoluvun toisella, kerro niiden osoittajat ja nimittäjät:

Division. Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerro ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla:

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä. Murtotyypit. Jatketaan murtoluvuilla. Ensinnäkin pieni varoitus - me, ottaen huomioon murtoluvut ja vastaavat esimerkit niiden kanssa, työskentelemme toistaiseksi vain sen numeerisen esityksen kanssa. On myös murtolukuja kirjaimellisia lausekkeita (lukujen kanssa ja ilman).Kaikki "periaatteet" ja säännöt pätevät kuitenkin myös niihin, mutta tällaisista ilmaisuista puhumme jatkossa erikseen. Suosittelen käymään ja tutkimaan (muistamaan) murtoluku-aihetta askel askeleelta.

Tärkeintä on ymmärtää, muistaa ja ymmärtää, että murtoluku on NUMERO!!!

Murtoluku on numero muodossa:

"Ylhäällä" olevaa numeroa (tässä tapauksessa m) kutsutaan osoittajaksi, alapuolella olevaa numeroa (luku n) kutsutaan nimittäjäksi. Aihetta juuri koskeneet hämmentyvät usein - mikä on nimi.

Tässä on sinulle temppu, kuinka muistaa ikuisesti - missä on osoittaja ja missä on nimittäjä. Tämä tekniikka liittyy verbaal-figuratiiviseen assosiaatioon. Kuvittele purkki sameaa vettä. Tiedetään, että veden laskeutuessa puhdas vesi jää päälle ja sameus (lika) laskeutuu, muista:

CHISSS-sulatusvesi YLILLÄ (CHISSS-kaatin päällä)

muta ZZZNNN th water BOTTOM (ZZZNN Amenaattori alla)

Joten heti kun on tarpeen muistaa missä osoittaja on ja missä on nimittäjä, he esittelivät heti visuaalisesti laskeutuneen veden purkin, jonka päällä on PUHDAS vesi ja pohjassa likainen vesi. On muitakin temppuja muistaa, jos ne auttavat sinua, niin hyvä.

Esimerkkejä tavallisista jakeista:

Mitä numeroiden välinen vaakasuora viiva tarkoittaa? Tämä ei ole muuta kuin jakomerkki. Osoittautuu, että murto-osaa voidaan pitää esimerkkinä jakotoiminnolla. Tämä toiminto yksinkertaisesti tallennetaan tähän muotoon. Eli ylin numero (osoittaja) jaetaan alimmalla numerolla (nimittäjä):

Lisäksi on olemassa toinen tallennusmuoto - murto-osa voidaan kirjoittaa näin (vinoviivalla):

9.1., 8.5., 45.64., 25.9., 15.13., 45.64. ja niin edelleen...

Voimme kirjoittaa yllä olevat murtoluvut seuraavasti:

Jaon tulos, kuten tiedät, on numero.

Selvennetty - MUKANA TÄMÄ NUMERO !!!

Kuten olet jo huomannut, tavallisessa murtoluvussa osoittaja voi olla pienempi kuin nimittäjä, suurempi kuin nimittäjä ja voi olla yhtä suuri kuin se. On monia tärkeitä kohtia, jotka ovat ymmärrettäviä intuitiivisesti, ilman teoreettisia röyhelöitä. Esimerkiksi:

1. Murtoluvut 1 ja 3 voidaan kirjoittaa arvoilla 0,5 ja 0,01. Juodaan hieman eteenpäin - nämä ovat desimaalimurtolukuja, puhumme niistä hieman alempana.

2. Murtoluvut 4 ja 6 antavat kokonaisluvun 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Murto-osa 5 antaa tuloksena yksikön 155:155 = 1.

Mitkä johtopäätökset viittaavat itsessään? Seuraavat:

1. Osoittaja voi jaettuna nimittäjällä antaa äärellisen luvun. Se ei ehkä toimi, jaa sarake 7 luvulla 13 tai 17 11:llä - ei mitenkään! Voit jakaa loputtomiin, mutta puhumme tästä myös hieman alempana.

2. Murtoluku voi saada kokonaisluvun. Siksi voimme esittää minkä tahansa kokonaisluvun murto-osana tai pikemminkin äärettömänä murtolukuna, katso, kaikki nämä murtoluvut ovat yhtä suuria kuin 2:

Lisää! Voimme aina kirjoittaa minkä tahansa kokonaisluvun murtolukuna - tämä luku itsessään on osoittajassa, yksi nimittäjässä:

3. Voimme aina esittää yksikön murto-osana millä tahansa nimittäjällä:

* Ilmoitetut pisteet ovat erittäin tärkeitä murtolukujen käsittelyssä laskelmissa ja muunnoksissa.

Murtotyypit.

Ja nyt tavallisten murtolukujen teoreettisesta jaosta. Ne on jaettu oikea ja väärä.

Murtolukua, jonka osoittaja on pienempi kuin nimittäjä, kutsutaan oikeaksi murtoluvuksi. Esimerkkejä:

Murtolukua, jonka osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, kutsutaan virheelliseksi murtoluvuksi. Esimerkkejä:

sekoitettu fraktio(sekanumero).

Sekamurtoluku on murto-osa, joka on kirjoitettu kokonaisluvuksi ja oikeaksi murtoluvuksi, ja se ymmärretään tämän luvun ja sen murto-osan summana. Esimerkkejä:

Sekoitettu murtoluku voidaan aina esittää virheellisenä murto-osana ja päinvastoin. Mennään pidemmälle!

Desimaalit.

Olemme jo käsitelleet niitä edellä, nämä ovat esimerkit (1) ja (3), nyt yksityiskohtaisemmin. Tässä on esimerkkejä desimaaleista: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Murtolukua, jonka nimittäjä on luvun 10 potenssi, kuten 10, 100, 1000 ja niin edelleen, kutsutaan desimaaliluvuksi. Kolme ensimmäistä ilmoitettua murtolukua ei ole vaikea kirjoittaa tavallisiksi murtoluvuiksi:

Neljäs on sekaluku (sekaluku):

Desimaalimurtoluvulla on seuraava merkintä - kanssakokonaislukuosa alkoi, sitten kokonaisluvun ja murto-osien erotin oli piste tai pilkku ja sitten murto-osa, murto-osan numeroiden lukumäärä määräytyy tiukasti murto-osan mitan mukaan: jos nämä ovat kymmenesosia, murto-osa kirjoitetaan yhdeksi numeroksi; jos tuhannesosa - kolme; kymmenen tuhannesosa - neljä jne.

Nämä murtoluvut ovat äärellisiä ja äärettömiä.

Desimaalien loppuesimerkit: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.

Esimerkkejä on loputtomasti. Esimerkiksi luku Pi on ääretön desimaaliluku, mutta silti - 0,333333333333…... 0,16666666666…. ja muut. Myös tulos juuren erottamisesta luvuista 3, 5, 7 jne. tulee olemaan ääretön murto-osa.

Murto-osa voi olla syklinen (sisältää syklin), kaksi yllä olevaa esimerkkiä ovat täsmälleen samat, lisää esimerkkejä:

0,123123123123…. sykli 123

0,781781781718…. sykli 781

0,0250102501… sykli 02501

Ne voidaan kirjoittaa muodossa 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Luku Pi ei ole syklinen murtoluku, kuten esimerkiksi kolmen juuri.

Alla olevissa esimerkeissä sanat, kuten "käännä" murto-osa kuulostaa - tämä tarkoittaa, että osoittaja ja nimittäjä vaihdetaan. Itse asiassa tällaisella murtoluvulla on nimi - käänteinen murtoluku. Esimerkkejä käänteismurtoluvuista:

Pieni yhteenveto! Murtoluvut ovat:

Tavallinen (oikea ja väärä).

Desimaalit (äärelliset ja äärettömät).

Sekanumerot (sekanumerot).

Siinä kaikki!

Ystävällisin terveisin Alexander.

Aloitamme tämän aiheen tarkastelun tutkimalla murto-osan käsitettä kokonaisuutena, mikä antaa meille täydellisemmän käsityksen tavallisen murtoluvun merkityksestä. Esitetään päätermit ja niiden määritelmät, tutkitaan aihetta geometrisessa tulkinnassa, ts. koordinaattiviivalla ja määritä myös luettelo perustoiminnoista murtoluvuilla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kokonaisuuden osakkeita

Kuvittele esine, joka koostuu useista täysin yhtäläisistä osista. Se voi olla esimerkiksi appelsiini, joka koostuu useista identtisistä viipaleista.

Määritelmä 1

Osuus kokonaisuudesta tai osuus on jokainen yhtä suuri osa, joka muodostaa koko kohteen.

Ilmeisesti osakkeet voivat olla erilaisia. Selvittääksesi tämän väitteen selvästi, kuvittele kaksi omenaa, joista toinen leikataan kahteen yhtä suureen osaan ja toinen neljään osaan. On selvää, että eri omenoiden tuloksena olevien osuuksien koko vaihtelee.

Osakkeilla on omat nimensä, jotka riippuvat koko aiheen muodostavien osakkeiden lukumäärästä. Jos esineellä on kaksi osaa, jokainen niistä määritellään tämän kohteen yhdeksi toiseksi osaksi; kun esine koostuu kolmesta osasta, niin jokainen niistä on yksi kolmasosa ja niin edelleen.

Määritelmä 2

Puoli- aiheen toinen osa.

Kolmanneksi- kolmasosa aiheesta.

vuosineljännes- neljäsosa aiheesta.

Tietueen lyhentämiseksi otettiin käyttöön seuraava osakkeiden merkintä: puoli - 1 2 tai 1/2; kolmas - 1 3 tai 1/3; neljäsosaa 1 4 tai 1/4 ja niin edelleen. Vaakapalkilla varustettuja merkintöjä käytetään useammin.

Osuuden käsite laajenee luonnollisesti esineistä suuruusluokkiin. Voit siis käyttää metrin murto-osia (kolmasosa tai sadasosa) pienten esineiden mittaamiseen yhtenä pituusyksikkönä. Muiden määrien osuuksia voidaan soveltaa samalla tavalla.

Yleiset murtoluvut, määritelmät ja esimerkit

Osakkeiden lukumäärää kuvaamaan käytetään satunnaisia ​​murtolukuja. Harkitse yksinkertaista esimerkkiä, joka vie meidät lähemmäksi tavallisen murtoluvun määritelmää.

Kuvittele appelsiini, joka koostuu 12 viipaleesta. Jokainen osake on silloin - yksi kahdestoistaosa tai 1/12. Kaksi osaketta - 2/12; kolme osaketta - 3/12 jne. Kaikki 12 osaa tai kokonaisluku näyttäisivät tältä: 12/12 . Jokainen esimerkissä käytetty merkintä on esimerkki yhteisestä murtoluvusta.

Määritelmä 3

Murtoluku on lomakkeen tietue m n tai m / n , missä m ja n ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Tämän määritelmän mukaan esimerkkejä tavallisista murtoluvuista voivat olla merkinnät: 4 / 9, 1134, 91754. Ja nämä merkinnät: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 eivät ole tavallisia murtolukuja.

Osoittaja ja nimittäjä

Määritelmä 4

osoittaja murtoluku m n tai m / n on luonnollinen luku m .

nimittäjä murtoluku m n tai m / n on luonnollinen luku n .

Nuo. osoittaja on numero, joka on tavallisen murtoluvun palkin yläpuolella (tai kauttaviivan vasemmalla puolella), ja nimittäjä on palkin alapuolella oleva numero (vinoviivan oikealla puolella).

Mitä tarkoittaa osoittaja ja nimittäjä? Tavallisen murtoluvun nimittäjä ilmaisee, kuinka monesta osakkeesta yksi erä koostuu, ja osoittaja antaa meille tiedon, kuinka monta tällaista osaketta otetaan huomioon. Esimerkiksi yhteinen murtoluku 7 54 osoittaa meille, että tietty kohde koostuu 54 osakkeesta, ja vastikkeena otimme 7 tällaista osaketta.

Luonnollinen luku murto-osana, jonka nimittäjä on 1

Tavallisen murtoluvun nimittäjä voi olla yhtä suuri kuin yksi. Tässä tapauksessa voidaan sanoa, että tarkasteltava kohde (arvo) on jakamaton, on jotain kokonaista. Tällaisessa murtoluvussa oleva osoittaja osoittaa, kuinka monta tällaista kohdetta otetaan, ts. muodon m 1 tavallinen murtoluku on luonnollisen luvun m merkitys. Tämä väite toimii perusteena yhtälölle m 1 = m .

Kirjoitetaan viimeinen yhtälö näin: m = m 1 . Se antaa meille mahdollisuuden käyttää mitä tahansa luonnollista lukua tavallisen murtoluvun muodossa. Esimerkiksi luku 74 on muodon 74 1 tavallinen murto-osa.

Määritelmä 5

Mikä tahansa luonnollinen luku m voidaan kirjoittaa tavalliseksi murtoluvuksi, jossa nimittäjä on yksi: m 1 .

Mikä tahansa muodon m 1 tavallinen murto-osa puolestaan ​​voidaan esittää luonnollisella luvulla m .

Murtopalkki jakomerkkinä

Yllä oleva tietyn objektin esitys n osuutena ei ole muuta kuin jakamista n yhtä suureen osaan. Kun esine on jaettu n osaan, meillä on mahdollisuus jakaa se tasan n henkilön kesken - jokainen saa osansa.

Siinä tapauksessa, että meillä on alun perin m identtistä kohdetta (jokainen on jaettu n osaan), niin nämä m kohdetta voidaan jakaa tasan n henkilön kesken antamalla jokaiselle yksi osuus kustakin m:stä esineestä. Tässä tapauksessa jokaisella henkilöllä on m osaketta 1 n ja m osaketta 1 n antaa tavallisen murto-osan m n . Siksi yhteistä murtolukua m n voidaan käyttää kuvaamaan m kohteen jakoa n henkilön kesken.

Tuloksena oleva lause muodostaa yhteyden tavallisten murtolukujen ja jaon välille. Ja tämä suhde voidaan ilmaista seuraavasti : jakomerkkinä voidaan tarkoittaa murto-osan suoraa, ts. m/n=m:n.

Tavallisen murtoluvun avulla voimme kirjoittaa kahden luonnollisen luvun jakamisen tuloksen. Esimerkiksi jakamalla 7 omenaa 10 henkilöllä kirjoitetaan 7 10: jokainen saa seitsemän kymmenesosaa.

Yhtäläiset ja eriarvoiset yhteiset murtoluvut

Looginen toiminta on verrata tavallisia murtolukuja, koska on selvää, että esimerkiksi omenan 1 8 on erilainen kuin 7 8 .

Tavallisten murtolukujen vertailun tulos voi olla: yhtä suuri tai eriarvoinen.

Määritelmä 6

Samat yhteiset murtoluvut ovat tavallisia murtolukuja a b ja c d , joille yhtälö on tosi: a d = b c .

Epätasaiset yhteiset murtoluvut- tavalliset murtoluvut a b ja c d , joille yhtälö: a · d = b · c ei ole totta.

Esimerkki yhtäläisistä murtoluvuista: 1 3 ja 4 12 - koska yhtälö 1 12 \u003d 3 4 on totta.

Siinä tapauksessa, että murtoluvut eivät ole yhtä suuria, on yleensä myös tarpeen selvittää, mikä annetuista murtoluvuista on pienempi ja mikä suurempi. Näihin kysymyksiin vastaamiseksi tavallisia murtolukuja verrataan tuomalla ne yhteiseen nimittäjään ja vertaamalla sitten osoittajia.

Murtoluvut

Jokainen murtoluku on tietue murtoluvusta, joka itse asiassa on vain "kuori", semanttisen kuorman visualisointi. Mutta silti, mukavuuden vuoksi yhdistämme murtoluvun ja murtoluvun käsitteet, yksinkertaisesti sanottuna - murto.

Kaikilla murtoluvuilla, kuten kaikilla muillakin luvuilla, on oma ainutlaatuinen sijaintinsa koordinaattisäteellä: murto-osien ja koordinaattisäteen pisteiden välillä on yksi yhteen vastaavuus.

Koordinaattisäteen pisteen löytämiseksi, joka merkitsee murto-osaa m n, on tarpeen siirtää koordinaattien origosta positiiviseen suuntaan m segmenttiä, joiden kunkin pituus on 1 n yksikkösegmentin murto-osa. Segmenttejä voidaan saada jakamalla yksi segmentti n identtiseen osaan.

Merkitään esimerkkinä koordinaattisäteen piste M, joka vastaa murto-osaa 14 10 . Janan, jonka päät ovat piste O ja lähin pienellä vedolla merkitty piste, pituus on 1 10 yksikkösegmentin murto-osaa. Murto-osaa 14 10 vastaava piste sijaitsee etäisyydellä koordinaattien origosta 14 tällaisen segmentin etäisyydellä.

Jos murtoluvut ovat yhtä suuret, ts. ne vastaavat samaa murtolukua, jolloin nämä murtoluvut toimivat koordinaattisäteen saman pisteen koordinaatteina. Esimerkiksi koordinaatit yhtä suurien murtolukujen muodossa 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 vastaavat samaa koordinaattisäteen pistettä, joka sijaitsee kolmanneksen etäisyydellä yksikkösegmentistä, siirrettynä lähtö positiiviseen suuntaan.

Tässä toimii sama periaate kuin kokonaislukujen kanssa: oikealle suunnatulla vaakakoordinaattisäteellä piste, jota suuri murto-osa vastaa, sijaitsee sen pisteen oikealla puolella, jota pienempi murto-osa vastaa. Ja päinvastoin: piste, jonka koordinaatti on pienempi murto-osa, sijaitsee pisteen vasemmalla puolella, joka vastaa suurempaa koordinaattia.

Oikeat ja väärät murtoluvut, määritelmät, esimerkit

Murtolukujen jako oikeaan ja väärään perustuu osoittajan ja nimittäjän vertailuun saman murtoluvun sisällä.

Määritelmä 7

Oikea murto-osa on tavallinen murtoluku, jonka osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Eli jos epätasa-arvo m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Väärä murtoluku on murtoluku, jonka osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä. Eli jos epäyhtälö määrittelemätön on tosi, niin tavallinen murtoluku m n on väärä.

Tässä muutamia esimerkkejä: - oikeat murtoluvut:

Esimerkki 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Väärät murtoluvut:

Esimerkki 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

On myös mahdollista antaa oikean ja väärän murtoluvun määritelmä, joka perustuu murto-osan vertailuun yksikköön.

Määritelmä 8

Oikea murto-osa on yhteinen murtoluku, joka on pienempi kuin yksi.

Väärä murtoluku on yhteinen murtoluku, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin yksi.

Esimerkiksi murtoluku 8 12 on oikea, koska 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 ja 14 14 = 1.

Mennään hieman syvemmälle pohtimaan, miksi murtolukuja, joissa osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, kutsutaan "sopimattomiksi".

Tarkastellaan virheellistä murtolukua 8 8: se kertoo, että 8 osasta koostuvasta esineestä otetaan 8 osaa. Näin ollen käytettävissä olevasta kahdeksasta osakkeesta voimme muodostaa kokonaisen kohteen, ts. annettu murto-osa 8 8 edustaa olennaisesti koko objektia: 8 8 \u003d 1. Murtoluvut, joissa osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret, korvaavat luonnollisen luvun 1.

Huomioi myös murtoluvut, joissa osoittaja ylittää nimittäjän: 11 5 ja 36 3 . On selvää, että murtoluku 11 5 osoittaa, että voimme tehdä siitä kaksi kokonaista esinettä ja siitä tulee vielä viidesosa. Nuo. murto-osa 11 5 on 2 kohdetta ja toinen 1 5 siitä. 36 3 puolestaan ​​on murto-osa, joka tarkoittaa käytännössä 12 kokonaista kohdetta.

Näiden esimerkkien avulla voidaan päätellä, että väärät murtoluvut voidaan korvata luonnollisilla luvuilla (jos osoittaja on jaollinen nimittäjällä ilman jäännöstä: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) tai luonnollisen luvun ja luvun summalla. oikea murtoluku (jos osoittaja ei ole jaollinen nimittäjällä ilman jäännöstä: 11 5 = 2 + 1 5). Luultavasti tästä syystä tällaisia ​​murtolukuja kutsutaan "sopimattomiksi".

Tässäkin kohtaamme yhden tärkeimmistä numerotaitoja.

Määritelmä 9

Kokonaisluvun erottaminen väärästä murtoluvusta on väärä murtoluku, joka on kirjoitettu luonnollisen luvun ja oikean murtoluvun summana.

Huomaa myös, että väärien murtolukujen ja sekalukujen välillä on läheinen yhteys.

Positiiviset ja negatiiviset murtoluvut

Yllä sanoimme, että jokainen tavallinen murtoluku vastaa positiivista murtolukua. Nuo. tavalliset murtoluvut ovat positiivisia murtolukuja. Esimerkiksi murtoluvut 5 17 , 6 98 , 64 79 ovat positiivisia, ja kun on tarpeen korostaa murtoluvun ”positiivisuutta”, se kirjoitetaan plusmerkillä: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Jos annamme tavalliselle murtoluvulle miinusmerkin, tuloksena oleva tietue on negatiivisen murtoluvun tietue, ja tässä tapauksessa puhumme negatiivisista murtoluvuista. Esimerkiksi - 8 17 , - 78 14 jne.

Positiiviset ja negatiiviset murtoluvut m n ja - m n ovat vastakkaisia ​​lukuja, esimerkiksi murtoluvut 7 8 ja - 7 8 ovat vastakkaisia.

Positiiviset murtoluvut, kuten kaikki positiiviset luvut yleensä, tarkoittavat yhteenlaskua, muutosta ylöspäin. Negatiiviset jakeet puolestaan ​​vastaavat kulutusta, muutosta laskusuunnassa.

Jos tarkastelemme koordinaattiviivaa, näemme, että negatiiviset murtoluvut sijaitsevat vertailupisteen vasemmalla puolella. Pisteet, joita murtoluvut vastaavat ja jotka ovat vastakkaisia ​​(m n ja - m n), sijaitsevat samalla etäisyydellä O-koordinaattien origosta, mutta sen vastakkaisilla puolilla.

Tässä puhutaan myös erikseen muodossa 0 n kirjoitetuista murtoluvuista. Tällainen murto-osa on yhtä suuri kuin nolla, ts. 0 n = 0.

Yhteenvetona kaikesta yllä olevasta olemme päässeet rationaalisten lukujen tärkeimpään käsitteeseen.

Määritelmä 10

Rationaaliset luvut on joukko positiivisia, negatiivisia ja muotoa 0 n olevia murto-osia.

Toiminnot murtoluvuilla

Listataan perusoperaatiot murtoluvuilla. Yleensä niiden olemus on sama kuin vastaavien luonnollisten lukujen operaatioiden

1. Murtolukujen vertailu - keskustelimme tästä toiminnasta edellä.
2. Murto-osien lisääminen - tavallisten murto-osien lisäämisen tulos on tavallinen murto-osa (tietyssä tapauksessa vähennettynä luonnolliseen lukuun).
3. Murtolukujen vähentäminen on toimintaa, vastakohta yhteenlaskulle, kun tuntematon murto-osa määritetään yhdestä tunnetusta murto-osasta ja annetusta murto-osien summasta.
4. Murtolukujen kertominen - tätä toimintoa voidaan kuvata murto-osan löytämiseksi murtoluvusta. Kahden tavallisen murtoluvun kertomisen tulos on tavallinen murtoluku (tietyssä tapauksessa yhtä suuri kuin luonnollinen luku).
5. Murtolukujen jako on kertolaskujen käänteisluku, kun määritetään murto-osa, jolla on tarpeen kertoa annettu, jotta saadaan tunnettu kahden murtoluvun tulo.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter