Tällä matematiikkaohjelmalla voit ratkaise toisen asteen yhtälö.

Ohjelma ei ainoastaan ​​anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin kahdella tavalla:
- Diskriminantin käyttö
- käyttämällä Vieta-lausetta (jos mahdollista).

Lisäksi vastaus näytetään tarkkana, ei likimääräisenä.
Esimerkiksi yhtälön \(81x^2-16x-1=0\) vastaus näytetään tässä muodossa:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ tämän sijaan: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille valmistautuessaan kokeisiin ja kokeisiin, kun he testaavat tietoja ennen yhtenäistä valtionkoetta, vanhemmille hallitsemaan monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.

Jos et tunne neliöpolynomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt neliöpolynomin syöttämiseksi

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaislukuina tai murtolukuina.
Lisäksi murtolukuja voidaan syöttää ei vain desimaalin, vaan myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtoluvuissa murto-osa kokonaisluvusta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi kirjoittaa desimaalit seuraavasti: 2,5x - 3,5x^2

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Tulo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Tulos: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kun syötät lausekkeen voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö, esitetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkki: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Päättää

Havaittiin, että jotkin tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavat komentosarjat eivät latautuneet, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Toisen asteen yhtälö ja sen juuret. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Jokainen yhtälö
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
on muotoa
\(ax^2+bx+c=0, \)
missä x on muuttuja, a, b ja c ovat lukuja.
Ensimmäisessä yhtälössä a = -1, b = 6 ja c = 1,4, toisessa a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmannessa a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.
toisen asteen yhtälö kutsutaan yhtälöä muotoa ax 2 +bx+c=0, jossa x on muuttuja, a, b ja c joitain lukuja ja \(a \neq 0 \).

Luvut a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimia. Lukua a kutsutaan ensimmäiseksi kertoimeksi, lukua b on toinen kerroin ja lukua c on leikkauspiste.

Jokaisessa yhtälössä, jonka muoto on ax 2 +bx+c=0, missä \(a \neq 0 \), muuttujan x suurin potenssi on neliö. Siitä nimi: toisen asteen yhtälö.

Huomaa, että toisen asteen yhtälöä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, koska sen vasen puoli on toisen asteen polynomi.

Kutsutaan neliöyhtälö, jossa kerroin kohdassa x 2 on 1 pelkistetty toisen asteen yhtälö. Esimerkiksi annetut toisen asteen yhtälöt ovat yhtälöitä
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jos toisen asteen yhtälössä ax 2 +bx+c=0 ainakin yksi kertoimista b tai c on yhtä suuri kuin nolla, niin tällaista yhtälöä kutsutaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö. Joten yhtälöt -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Ensimmäisessä niistä b=0, toisessa c=0, kolmannessa b=0 ja c=0.

Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä on kolmea tyyppiä:
1) ax 2 +c=0, missä \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, missä \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Harkitse kunkin tyypin yhtälöiden ratkaisua.

Epätäydellisen asteen yhtälön, jonka muoto on ax 2 +c=0, ratkaisemiseksi \(c \neq 0 \) sen vapaa termi siirretään oikealle puolelle ja yhtälön molemmat osat jaetaan a:lla:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Oikea nuoli x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Koska \(c \neq 0 \), sitten \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jos \(-\frac(c)(a)>0 \), yhtälöllä on kaksi juuria.

Jos \(-\frac(c)(a) Ratkaise epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) kertoimella sen vasen puoli ja saada yhtälö
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (taulukko)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Näin ollen epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä muotoa ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) on aina kaksi juuria.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka muoto on ax 2 \u003d 0, vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, ja siksi sillä on yksi juuri 0.

Kaava toisen asteen yhtälön juurille

Tarkastellaan nyt, kuinka ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt, joissa sekä tuntemattomien kertoimet että vapaa termi ovat nollasta poikkeavia.

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön yleisessä muodossa ja tuloksena saamme juurien kaavan. Sitten tätä kaavaa voidaan soveltaa minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax 2 +bx+c=0

Jakamalla sen molemmat osat a:lla, saadaan vastaava pelkistetty neliöyhtälö
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Muunnamme tämän yhtälön korostamalla binomiaalin neliön:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \nuoli oikealle \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Oikeanuoli x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Nuoli oikealle \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Juurilauseketta kutsutaan toisen asteen yhtälön diskriminantti ax 2 +bx+c=0 ("diskriminantti" latinaksi - erottaja). Sitä merkitään kirjaimella D, ts.
\(D = b^2-4ac\)

Nyt, käyttämällä erottimen merkintää, kirjoitamme uudelleen kaava toisen asteen yhtälön juurille:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), missä \(D= b^2-4ac \)

On selvää, että:
1) Jos D>0, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.
2) Jos D=0, niin toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jos D Siten, erottajan arvosta riippuen, toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi juuria (jos D > 0), yksi juuri (jos D = 0) tai ei juuria (D:lle Kun ratkaistaan ​​neliöyhtälö tällä kaavalla , on suositeltavaa toimia seuraavasti:
1) laske diskriminantti ja vertaa sitä nollaan;
2) jos diskriminantti on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, käytä juurikaavaa, jos diskriminantti on negatiivinen, kirjoita ylös, että juuria ei ole.

Vietan lause

Annetulla toisen asteen yhtälöllä ax 2 -7x+10=0 on juuret 2 ja 5. Juurien summa on 7 ja tulo on 10. Näemme, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin otettuna vastakkainen merkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Jokaisella pelkistetyllä toisen asteen yhtälöllä, jolla on juuret, on tämä ominaisuus.

Annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Nuo. Vietan lause sanoo, että pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +px+q=0 juurilla x 1 ja x 2 on ominaisuus:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Toivon, että tämän artikkelin tutkimisen jälkeen opit löytämään täydellisen toisen asteen yhtälön juuret.

Diskriminantin avulla ratkaistaan ​​vain täydelliset toisen asteen yhtälöt, epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään muita menetelmiä, jotka löydät artikkelista "Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen".

Mitä toisen asteen yhtälöitä kutsutaan täydellisiksi? Tämä on yhtälöt muotoa ax 2 + b x + c = 0, jossa kertoimet a, b ja c eivät ole nolla. Joten, jotta voit ratkaista täydellisen toisen asteen yhtälön, sinun on laskettava diskriminantti D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Sen mukaan, mikä arvo erottajalla on, kirjoitamme vastauksen muistiin.

Jos diskriminantti on negatiivinen luku (D< 0),то корней нет.

Jos diskriminantti on nolla, niin x \u003d (-b) / 2a. Kun diskriminantti on positiivinen luku (D > 0),

sitten x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Esimerkiksi. ratkaise yhtälö x 2– 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastaus: 2.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Vastaus: ei juuria.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Vastaus: - 3,5; yksi.

Kuvitellaan siis täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisua kuvan 1 kaaviolla.

Näitä kaavoja voidaan käyttää minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen. Sinun tarvitsee vain olla varovainen yhtälö kirjoitettiin vakiomuotoisena polynomina

a x 2 + bx + c, muuten voit tehdä virheen. Esimerkiksi kirjoittamalla yhtälön x + 3 + 2x 2 = 0, voit vahingossa päättää, että

a = 1, b = 3 ja c = 2. Sitten

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ja sitten yhtälöllä on kaksi juuria. Ja tämä ei ole totta. (Katso esimerkin 2 ratkaisu yllä).

Siksi, jos yhtälöä ei kirjoiteta vakiomuotoisena polynomina, ensin täydellinen toisen asteen yhtälö on kirjoitettava vakiomuotoisena polynomina (monomi, jolla on suurin eksponentti, tulee olla ensin, ts. a x 2 , sitten vähemmällä – bx ja sitten vapaa aika kanssa.

Ratkaistaessa yllä olevaa neliöyhtälöä ja toisen termin parillisella kertoimella olevaa toisen termiä voidaan käyttää myös muita kaavoja. Tutustutaanpa näihin kaavoihin. Jos täysneliöyhtälössä toisella termillä kerroin on parillinen (b = 2k), niin yhtälö voidaan ratkaista kuvan 2 kaavion kaavoilla.

Täydellistä neliöyhtälöä kutsutaan pelkistetyksi, jos kerroin at x 2 on yhtä suuri kuin yhtenäisyys ja yhtälö saa muodon x 2 + px + q = 0. Tällainen yhtälö voidaan antaa ratkaisemaan tai se saadaan jakamalla kaikki yhtälön kertoimet kertoimella a seisomassa x 2 .

Kuvassa 3 on kaavio pelkistetyn neliön ratkaisusta
yhtälöt. Harkitse esimerkkiä tässä artikkelissa käsiteltyjen kaavojen soveltamisesta.

Esimerkki. ratkaise yhtälö

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö käyttämällä kuvan 1 kaavoja.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Vastaus: -1 - √3; –1 + √3

Voit nähdä, että kerroin kohdassa x tässä yhtälössä on parillinen luku, eli b \u003d 6 tai b \u003d 2k, josta k \u003d 3. Yritetään sitten ratkaista yhtälö käyttämällä kuvakaaviossa esitettyjä kaavoja D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Vastaus: -1 - √3; –1 + √3. Kun huomaamme, että kaikki tämän toisen asteen yhtälön kertoimet ovat jaollisia kolmella ja jakamalla, saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö x 2 + 2x - 2 = 0 Ratkaisemme tämän yhtälön pelkistetyn toisen asteen kaavoilla
yhtälöt kuva 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Vastaus: -1 - √3; –1 + √3.

Kuten näet, kun ratkaisimme tämän yhtälön eri kaavoilla, saimme saman vastauksen. Siksi, kun olet oppinut hyvin kuvan 1 kaaviossa esitetyt kaavat, voit aina ratkaista minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön.

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Kaavat toisen asteen yhtälön juurille. Tarkastellaan todellisten, useiden ja monimutkaisten juurien tapauksia. Neliötrinomin kertoimia. Geometrinen tulkinta. Esimerkkejä juurien ja tekijöiden määrittämisestä.

Peruskaavat

Harkitse toisen asteen yhtälöä:
(1) .
Toisen yhtälön juuret(1) määritetään seuraavilla kaavoilla:
; .
Nämä kaavat voidaan yhdistää seuraavasti:
.
Kun neliöyhtälön juuret tunnetaan, niin toisen asteen polynomi voidaan esittää tekijöiden tulona (kerrotettuna):
.

Lisäksi oletetaan, että ne ovat reaalilukuja.
Harkitse toisen asteen yhtälön diskriminantti:
.
Jos diskriminantti on positiivinen, toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi erilaista reaalijuurta:
; .
Sitten neliötrinomin kertoimella on muoto:
.
Jos diskriminantti on nolla, toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi monikertaista (samansuuruista) reaalijuurta:
.
Faktorisointi:
.
Jos diskriminantti on negatiivinen, toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi kompleksista konjugaattijuurta:
;
.
Tässä on kuvitteellinen yksikkö, ;
ja ovat juurien todellisia ja kuvitteellisia osia:
; .
Sitten

.

Graafinen tulkinta

Jos piirretään funktio
,
joka on paraabeli, niin kaavion ja akselin leikkauspisteet ovat yhtälön juuria
.
Kun , kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (akseli) kahdessa pisteessä.
Kun , kuvaaja koskettaa x-akselia yhdessä pisteessä.
Kun , kuvaaja ei ylitä x-akselia.

Alla on esimerkkejä tällaisista kaavioista.

Hyödyllisiä toisen asteen yhtälöihin liittyviä kaavoja

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön juurille

Suoritamme muunnoksia ja käytämme kaavoja (f.1) ja (f.3):




,
missä
; .

Joten saimme kaavan toisen asteen polynomille muodossa:
.
Tästä voidaan nähdä, että yhtälö

suoritettu klo
ja .
Eli ja ovat toisen asteen yhtälön juuret
.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälön juurten määrittämisestä

Esimerkki 1

(1.1) .

Päätös

.
Vertaamalla yhtälöihimme (1.1), löydämme kertoimien arvot:
.
Erottajan löytäminen:
.
Koska diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi todellista juurta:
;
;
.

Tästä saamme neliötrinomin jaon tekijöiksi:

.

Funktion y = kuvaaja 2 x 2 + 7 x + 3 ylittää x-akselin kahdessa pisteessä.

Piirretään funktio
.
Tämän funktion kuvaaja on paraabeli. Se ylittää x-akselin (akselin) kahdessa pisteessä:
ja .
Nämä pisteet ovat alkuperäisen yhtälön (1.1) juuret.

Vastaus

;
;
.

Esimerkki 2

Etsi toisen asteen yhtälön juuret:
(2.1) .

Päätös

Kirjoitamme toisen asteen yhtälön yleisessä muodossa:
.
Verrattuna alkuperäiseen yhtälöön (2.1), löydämme kertoimien arvot:
.
Erottajan löytäminen:
.
Koska diskriminantti on nolla, yhtälöllä on kaksi monikertaista (samansuuruista) juuria:
;
.

Sitten trinomin kertoimella on muoto:
.

Funktion y = x kuvaaja 2-4 x + 4 koskettaa x-akselia yhdessä pisteessä.

Piirretään funktio
.
Tämän funktion kuvaaja on paraabeli. Se koskettaa x-akselia (akselia) yhdessä pisteessä:
.
Tämä piste on alkuperäisen yhtälön (2.1) juuri. Koska tämä juuri kerrotaan kahdesti:
,
silloin tällaista juuria kutsutaan kerrannaisiksi. Toisin sanoen he katsovat, että on olemassa kaksi yhtäläistä juurta:
.

Vastaus

;
.

Esimerkki 3

Etsi toisen asteen yhtälön juuret:
(3.1) .

Päätös

Kirjoitamme toisen asteen yhtälön yleisessä muodossa:
(1) .
Kirjoitetaan uudelleen alkuperäinen yhtälö (3.1):
.
Vertaamalla kohtaan (1), löydämme kertoimien arvot:
.
Erottajan löytäminen:
.
Diskriminantti on negatiivinen, . Siksi todellisia juuria ei ole.

Löydät monimutkaiset juuret:
;
;
.

Sitten


.

Funktion kuvaaja ei ylitä x-akselia. Varsinaisia ​​juuria ei ole.

Piirretään funktio
.
Tämän funktion kuvaaja on paraabeli. Se ei ylitä abskissaa (akselia). Siksi todellisia juuria ei ole.

Vastaus

Varsinaisia ​​juuria ei ole. Monimutkaiset juuret:
;
;
.

Kopjevskajan maaseudun lukio

10 tapaa ratkaista toisen asteen yhtälöitä

Pää: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matematiikan opettaja

s.Kopyevo, 2007

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Toisen asteen yhtälöt muinaisessa Babylonissa

1.2 Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä

1.3 Toisen asteen yhtälöt Intiassa

1.4 Al-Khwarizmin toisen asteen yhtälöt

1.5 Neliöyhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisatoja

1.6 Tietoja Vietan lauseesta

2. Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Toisen asteen yhtälöt muinaisessa Babylonissa

Tarve ratkaista muinaisina aikoina ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä johtui tarpeesta ratkaista ongelmia, jotka liittyvät sotilasluonteisten maa-alueiden ja maanrakennustöiden löytämiseen sekä tähtitieteen ja tieteen kehitykseen. itse matematiikka. Neliöyhtälöt pystyivät ratkaisemaan noin 2000 eaa. e. babylonialaiset.

Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babylonilaisissa teksteissä esitetty sääntö näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi on olennaisesti sama kuin nykyajan sääntö, mutta ei tiedetä, kuinka babylonialaiset päätyivät tähän sääntöön. Lähes kaikki tähän mennessä löydetyt nuolenkirjoitustekstit sisältävät vain ongelmia reseptien muodossa ilmaistujen ratkaisujen kanssa, ilman viitteitä siitä, miten ne on löydetty.

Huolimatta algebran korkeasta kehitystasosta Babylonissa, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1.2 Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä.

Diophantuksen aritmetiikka ei sisällä systemaattista algebran esitystä, mutta se sisältää systemaattisen sarjan tehtäviä, joihin liittyy selityksiä ja jotka ratkaistaan ​​muotoilemalla eriasteisia yhtälöitä.

Yhtälöitä laatiessaan Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomia ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Tehtävä 11."Etsi kaksi numeroa tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96"

Diophantus väittää seuraavasti: tehtävän ehdosta seuraa, että halutut luvut eivät ole yhtä suuret, koska jos ne olisivat yhtä suuret, niin niiden tulo ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä on suurempi kuin puolet summastaan, eli . 10+x, toinen on pienempi, ts. 10-luvulla. Niiden välinen ero 2x .

Siksi yhtälö:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Täältä x = 2. Yksi halutuista numeroista on 12 , muu 8 . Päätös x = -2 sillä Diofantosta ei ole olemassa, koska kreikkalainen matematiikka tunsi vain positiivisia lukuja.

Jos ratkaisemme tämän ongelman valitsemalla yhden halutuista luvuista tuntemattomaksi, tulemme yhtälön ratkaisuun

y(20 - y) = 96,

v 2 - 20 v + 96 = 0. (2)

On selvää, että Diophantus yksinkertaistaa ratkaisua valitsemalla tuntemattomaksi haluttujen lukujen erotuksen puolikkaan; hän onnistuu pelkistämään ongelman ratkaisemaan epätäydellisen toisen asteen yhtälön (1).

1.3 Neliöyhtälöt Intiassa

Neliöyhtälöiden ongelmat löytyvät jo tähtitieteellisestä traktaatista "Aryabhattam", jonka intialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Aryabhatta on laatinut vuonna 499. Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (7. vuosisata), hahmotteli yleisen säännön toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseksi muotoksi:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Yhtälössä (1) kertoimet, paitsi a, voi olla myös negatiivinen. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän.

Muinaisessa Intiassa julkiset kilpailut vaikeiden ongelmien ratkaisemiseksi olivat yleisiä. Eräässä vanhoista intialaisista kirjoista sanotaan tällaisista kilpailuista seuraavaa: "Kuten aurinko loistaa loistollaan tähdet, niin oppinut ihminen loistaa toisen loiston julkisissa kokouksissa ehdottaen ja ratkaiseen algebrallisia ongelmia." Tehtävät pukeutuivat usein runolliseen muotoon.

Tässä on yksi XII vuosisadan kuuluisan intialaisen matemaatikon ongelmista. Bhaskara.

Tehtävä 13.

"Pysyvä apinaparvi ja kaksitoista viiniköynnöksissä...

Syötyään voimaa, oli hauskaa. He alkoivat hypätä roikkuen ...

Kahdeksas osa niistä neliössä Kuinka monta apinaa siellä oli,

Viihdettä niityllä. Kerrotko minulle, tässä laumassa?

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että hän tiesi toisen asteen yhtälöiden juurien kaksiarvoisuudesta (kuva 3).

Tehtävää 13 vastaava yhtälö on:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjoittaa varjolla:

x 2 - 64x = -768

ja täydentääkseen tämän yhtälön vasemman puolen neliöksi, hän lisää molemmille puolille 32 2 , saa siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Al-Khorezmin toisen asteen yhtälöt

Al-Khorezmin algebrallinen tutkielma antaa lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden luokituksen. Kirjoittaja luettelee 6 yhtälötyyppiä ja ilmaisee ne seuraavasti:

1) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin juuret", ts. ax 2 + c = b X.

2) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin luku", ts. ax 2 = s.

3) "Juurit ovat yhtä suuret kuin luku", ts. ah = s.

4) "Neliöt ja luvut ovat yhtä suuria kuin juuri", ts. ax 2 + c = b X.

5) "Neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin luku", ts. ah 2+ bx = s.

6) "Juuret ja luvut ovat yhtä suuria kuin neliöt", ts. bx + c \u003d kirves 2.

Al-Khwarizmille, joka vältti negatiivisten lukujen käyttöä, kunkin yhtälön ehdot ovat yhteenlaskuja, eivät vähennyslaskuja. Tässä tapauksessa yhtälöitä, joilla ei ole positiivisia ratkaisuja, ei tietenkään oteta huomioon. Kirjoittaja hahmottelee menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi al-jabrin ja al-muqabalan menetelmillä. Hänen päätöksensä eivät tietenkään ole täysin samat kuin meidän. Puhumattakaan siitä tosiasiasta, että se on puhtaasti retorinen, on huomioitava esimerkiksi, että kun ratkaistaan ​​ensimmäisen tyypin epätäydellistä toisen tyyppistä yhtälöä

al-Khorezmi, kuten kaikki matemaatikot ennen 1600-lukua, ei ota huomioon nollaratkaisua, luultavasti siksi, että sillä ei ole merkitystä tietyissä käytännön ongelmissa. Ratkaiseessaan täydellisiä toisen asteen yhtälöitä al-Khorezmi esittää ratkaisemisen säännöt ja sitten geometriset todisteet käyttämällä erityisiä numeerisia esimerkkejä.

Tehtävä 14."Neliö ja luku 21 ovat 10 juuria. Etsi juuri" (olettaen yhtälön juureksi x 2 + 21 = 10x).

Tekijän ratkaisu menee suunnilleen näin: jaa juurten määrä puoliksi, saat 5, kerro 5 itsellään, vähennä tulosta 21, jäljelle jää 4. Ota 4:n juuri, saat 2. Vähennä 2 viidestä, saat saa 3, tämä on haluttu juuri. Tai lisää 2 viiteen, mikä antaa 7, tämä on myös juuri.

Treatise al - Khorezmi on ensimmäinen meille saapunut kirja, jossa toissijaisten yhtälöiden luokittelu on systemaattisesti esitetty ja kaavat niiden ratkaisemiseksi annetaan.

1.5 Toisen asteen yhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisadat

Kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi al - Khorezmin mallilla Euroopassa esitettiin ensimmäisen kerran "Abakuksen kirjassa", jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Tämä laaja teos, joka heijastaa matematiikan vaikutusta sekä islamin että muinaisen Kreikan maista, erottuu sekä esityksen täydellisyydestä että selkeydestä. Kirjoittaja kehitti itsenäisesti uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmanratkaisusta ja oli ensimmäinen Euroopassa, joka lähestyi negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa myötävaikutti algebrallisen tiedon leviämiseen paitsi Italiassa, myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monet "Abacus-kirjan" tehtävät siirtyivät melkein kaikkiin 1500-1600-luvun eurooppalaisiin oppikirjoihin. ja osittain XVIII.

Yleinen sääntö toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseksi muotoksi:

x 2+ bx = kanssa,

kaikille mahdollisille kertoimien etumerkkiyhdistelmille b , kanssa M. Stiefel muotoili sen Euroopassa vasta vuonna 1544.

Vietalla on yleinen johto kaavasta toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi, mutta Vieta tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisten joukossa 1500-luvulla. Ota huomioon positiivisten ja negatiivisten juurten lisäksi. Vasta XVII vuosisadalla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työn ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen saa nykyaikaisen ilmeen.

1.6 Tietoja Vietan lauseesta

Lauseen, joka ilmaisee toisen asteen yhtälön kertoimien ja sen juurien välistä yhteyttä ja joka on nimeltään Vieta, hän muotoili ensimmäisen kerran vuonna 1591 seuraavasti: "Jos B + D kerrottuna A - A 2 , on yhtä suuri BD, sitten A on yhtä suuri AT ja tasa-arvoinen D ».

Ymmärtääksesi Vieta, sinun on muistettava se MUTTA, kuten mikä tahansa vokaali, merkitsi hänelle tuntematonta (meidän X), vokaalit AT, D- tuntemattoman kertoimet. Modernin algebran kielellä Vietan yllä oleva muotoilu tarkoittaa: jos

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ilmaisemalla yhtälöiden juurien ja kertoimien välisen suhteen yleisillä kaavoilla, jotka on kirjoitettu symboleilla, Viet loi yhtenäisyyden yhtälöiden ratkaisumenetelmiin. Vietan symboliikka on kuitenkin vielä kaukana modernista muodostaan. Hän ei tunnistanut negatiivisia lukuja, ja siksi hän otti yhtälöitä ratkaiseessaan huomioon vain tapaukset, joissa kaikki juuret ovat positiivisia.

2. Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Neliöyhtälöt ovat perusta, jolla algebran majesteettinen rakennus lepää. Neliöyhtälöitä käytetään laajasti trigonometristen, eksponentiaalisten, logaritmien, irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Me kaikki tiedämme kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä koulusta (luokka 8) valmistumiseen asti.

Toivon, että tämän artikkelin tutkimisen jälkeen opit löytämään täydellisen toisen asteen yhtälön juuret.

Diskriminantin avulla ratkaistaan ​​vain täydelliset toisen asteen yhtälöt, epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään muita menetelmiä, jotka löydät artikkelista "Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen".

Mitä toisen asteen yhtälöitä kutsutaan täydellisiksi? Tämä on yhtälöt muotoa ax 2 + b x + c = 0, jossa kertoimet a, b ja c eivät ole nolla. Joten, jotta voit ratkaista täydellisen toisen asteen yhtälön, sinun on laskettava diskriminantti D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Sen mukaan, mikä arvo erottajalla on, kirjoitamme vastauksen muistiin.

Jos diskriminantti on negatiivinen luku (D< 0),то корней нет.

Jos diskriminantti on nolla, niin x \u003d (-b) / 2a. Kun diskriminantti on positiivinen luku (D > 0),

sitten x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Esimerkiksi. ratkaise yhtälö x 2– 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastaus: 2.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Vastaus: ei juuria.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Vastaus: - 3,5; yksi.

Kuvitellaan siis täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisua kuvan 1 kaaviolla.

Näitä kaavoja voidaan käyttää minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen. Sinun tarvitsee vain olla varovainen yhtälö kirjoitettiin vakiomuotoisena polynomina

a x 2 + bx + c, muuten voit tehdä virheen. Esimerkiksi kirjoittamalla yhtälön x + 3 + 2x 2 = 0, voit vahingossa päättää, että

a = 1, b = 3 ja c = 2. Sitten

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ja sitten yhtälöllä on kaksi juuria. Ja tämä ei ole totta. (Katso esimerkin 2 ratkaisu yllä).

Siksi, jos yhtälöä ei kirjoiteta vakiomuotoisena polynomina, ensin täydellinen toisen asteen yhtälö on kirjoitettava vakiomuotoisena polynomina (monomi, jolla on suurin eksponentti, tulee olla ensin, ts. a x 2 , sitten vähemmällä – bx ja sitten vapaa aika kanssa.

Ratkaistaessa yllä olevaa neliöyhtälöä ja toisen termin parillisella kertoimella olevaa toisen termiä voidaan käyttää myös muita kaavoja. Tutustutaanpa näihin kaavoihin. Jos täysneliöyhtälössä toisella termillä kerroin on parillinen (b = 2k), niin yhtälö voidaan ratkaista kuvan 2 kaavion kaavoilla.

Täydellistä neliöyhtälöä kutsutaan pelkistetyksi, jos kerroin at x 2 on yhtä suuri kuin yhtenäisyys ja yhtälö saa muodon x 2 + px + q = 0. Tällainen yhtälö voidaan antaa ratkaisemaan tai se saadaan jakamalla kaikki yhtälön kertoimet kertoimella a seisomassa x 2 .

Kuvassa 3 on kaavio pelkistetyn neliön ratkaisusta
yhtälöt. Harkitse esimerkkiä tässä artikkelissa käsiteltyjen kaavojen soveltamisesta.

Esimerkki. ratkaise yhtälö

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö käyttämällä kuvan 1 kaavoja.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Vastaus: -1 - √3; –1 + √3

Voit nähdä, että kerroin kohdassa x tässä yhtälössä on parillinen luku, eli b \u003d 6 tai b \u003d 2k, josta k \u003d 3. Yritetään sitten ratkaista yhtälö käyttämällä kuvakaaviossa esitettyjä kaavoja D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Vastaus: -1 - √3; –1 + √3. Kun huomaamme, että kaikki tämän toisen asteen yhtälön kertoimet ovat jaollisia kolmella ja jakamalla, saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö x 2 + 2x - 2 = 0 Ratkaisemme tämän yhtälön pelkistetyn toisen asteen kaavoilla
yhtälöt kuva 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Vastaus: -1 - √3; –1 + √3.

Kuten näet, kun ratkaisimme tämän yhtälön eri kaavoilla, saimme saman vastauksen. Siksi, kun olet oppinut hyvin kuvan 1 kaaviossa esitetyt kaavat, voit aina ratkaista minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.