Monimutkaiset luvut

Peruskonseptit

Numeron alkuperäiset tiedot viittaavat kivikauteen - paleomeliittiin. Nämä ovat "yksi", "muutama" ja "moni". Ne kirjattiin lovien, solmujen jne. muodossa. Työprosessien kehitys ja omaisuuden syntyminen pakottivat ihmisen keksimään numeroita ja niiden nimiä. Luonnolliset luvut ilmestyivät ensin N saatu laskemalla esineitä. Sitten laskentatarpeen ohella ihmisillä oli tarve mitata pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia, aikaa ja muita suureita, joissa oli tarpeen ottaa huomioon käytetyn mittauksen osia. Näin syntyivät murtoluvut. Murtoluvun ja negatiivisen luvun käsitteiden muodollinen perustelu suoritettiin 1800-luvulla. Joukko kokonaislukuja Z ovat luonnollisia lukuja, luonnollisia lukuja, joissa on miinusmerkki ja nolla. Kokonais- ja murtoluvut muodostivat joukon rationaalilukuja Q, mutta sekään osoittautui riittämättömäksi jatkuvasti muuttuvien muuttujien tutkimiseen. Genesis osoitti jälleen matematiikan epätäydellisyyden: muodon yhtälön ratkaisemisen mahdottomuuden X 2 = 3, jonka yhteydessä esiintyi irrationaalisia lukuja minä Rationaalilukujen joukon liitto K ja irrationaalisia lukuja minä on joukko todellisia (tai reaalilukuja). R. Tämän seurauksena lukurivi täyttyi: jokainen reaaliluku vastasi pistettä siinä. Mutta kuvauksissa R yhtälöä ei voi ratkaista mitenkään X 2 = – a 2. Tämän seurauksena luvun käsitettä oli jälleen laajennettava. Joten vuonna 1545 kompleksiluvut ilmestyivät. Niiden luoja J. Cardano kutsui niitä "puhtaasti negatiivisiksi". Nimen "kuvitteellinen" otti käyttöön vuonna 1637 ranskalainen R. Descartes, vuonna 1777 Euler ehdotti ranskalaisen luvun ensimmäisen kirjaimen käyttöä. i kuvaamaan imaginaarista yksikköä. Tämä symboli tuli yleiseen käyttöön K. Gaussin ansiosta.

1600- ja 1700-luvuilla keskustelu imaginaarien aritmeettisyydestä ja niiden geometrisesta tulkinnasta jatkui. Tanskalainen H. Wessel, ranskalainen J. Argan ja saksalainen K. Gauss ehdottivat itsenäisesti, että kompleksilukua edustaa piste koordinaattitasolla. Myöhemmin kävi ilmi, että oli vielä kätevämpää esittää lukua ei pisteenä, vaan vektorina, joka menee tähän pisteeseen origosta.

Vasta 1700-luvun lopulla - 1800-luvun alussa kompleksiluvut ottivat oikeutetun paikkansa matemaattisessa analyysissä. Niitä käytettiin ensimmäisen kerran differentiaaliyhtälöiden teoriassa ja hydrodynamiikan teoriassa.

Määritelmä 1.kompleksiluku kutsutaan muodon ilmaisuksi jossa x ja y ovat todellisia lukuja ja i on kuvitteellinen yksikkö, .

kaksi kompleksilukua ja yhtä suuri jos ja vain jos , .

Jos , niin numeroon soitetaan puhtaasti kuvitteellinen; jos , niin luku on reaaliluku, mikä tarkoittaa, että joukko R Kanssa, missä Kanssa on kompleksilukujen joukko.

Konjugoitu kompleksilukua kutsutaan kompleksiluvuksi.

Kompleksilukujen geometrinen esitys.

Mikä tahansa kompleksiluku voidaan esittää pisteellä. M(x, y) lentokone Oxy. Reaalilukupari ilmaisee myös sädevektorin koordinaatteja , eli tason vektoreiden joukon ja kompleksilukujen joukon välille voidaan muodostaa yksi yhteen vastaavuus: .

Määritelmä 2.Todellinen osa X.

Nimitys: x= Re z(latinan sanasta Realis).

Määritelmä 3.kuvitteellinen osa kompleksilukua kutsutaan reaaliluvuksi y.

Nimitys: y= Minä z(latinan sanasta Imaginarius).

Re z on kerrostettu akselille ( Vai niin), Olen z on kerrostettu akselille ( Oy), niin kompleksilukua vastaava vektori on pisteen sädevektori M(x, y), (tai M(Re z, Olen z)) (Kuva 1).

Määritelmä 4. Tasoa, jonka pisteet liittyvät kompleksilukujen joukkoon, kutsutaan monimutkainen taso. Abskissaa kutsutaan todellinen akseli, koska se sisältää reaalilukuja . Y-akselia kutsutaan kuvitteellinen akseli, se sisältää puhtaasti imaginaariset kompleksiluvut . Kompleksilukujen joukko on merkitty Kanssa.

Määritelmä 5.moduuli kompleksiluku z = (x, y) on vektorin pituus : , ts. .

Määritelmä 6.Perustelu kompleksilukua kutsutaan kulmaksi akselin positiivisen suunnan välillä ( vai niin) ja vektori: .

Monimutkaiset luvut

Kuvitteellinen ja kompleksiluvut. Abskissa ja ordinaatta

kompleksiluku. Konjugoi kompleksiluvut.

Operaatiot kompleksiluvuilla. Geometrinen

kompleksilukujen esitys. monimutkainen taso.

Kompleksiluvun moduuli ja argumentti. trigonometrinen

kompleksiluvun muoto. Operaatiot monimutkaisilla

numerot trigonometrisessa muodossa. Moivren kaava.

Perustietoa aiheesta kuvitteellinen ja kompleksiluvut on annettu osiossa "Imaginaariset ja kompleksiluvut". Tarve näille uudentyyppisille numeroille ilmaantui tapauksen toisen asteen yhtälöitä ratkaistaessaD< 0 (здесь Don toisen asteen yhtälön diskriminantti). Pitkään aikaan nämä numerot eivät löytäneet fyysistä käyttöä, minkä vuoksi niitä kutsuttiin "imaginaarisiksi" numeroiksi. Nyt niitä käytetään kuitenkin erittäin laajasti fysiikan eri aloilla.

ja tekniikka: sähkötekniikka, hydro- ja aerodynamiikka, elastisuusteoria jne.

Monimutkaiset luvut on kirjoitettu seuraavasti:a+bi. Tässä a ja b – todellisia lukuja , a i – kuvitteellinen yksikkö. e. i 2 = –1. Määrä a nimeltään abskissa, a b - ordinaattakompleksilukua + b.Kaksi kompleksilukuaa+bi ja bi nimeltään konjugaatti kompleksiluvut.

Pääsopimukset:

1. Todellinen lukuavoidaan kirjoittaa myös muotoonkompleksiluku:+ 0 i tai a - 0 i. Esimerkiksi merkinnät 5 + 0i ja 5-0 itarkoittavat samaa numeroa 5 .

2. Kompleksiluku 0 + binimeltään puhtaasti kuvitteellinen määrä. Äänitebitarkoittaa samaa kuin 0 + bi.

3. Kaksi kompleksilukuaa+bi jac + dikatsotaan tasa-arvoisiksi, josa = c ja b = d. Muuten kompleksiluvut eivät ole yhtä suuria.

Lisäys. Kompleksilukujen summaa+bi ja c + dikutsutaan kompleksiluvuksi (a+c ) + (b+d ) minä .Täten, kun lisätään kompleksiluvut, niiden abskissat ja ordinaatit lisätään erikseen.

Tämä määritelmä noudattaa tavallisten polynomien käsittelyä koskevia sääntöjä.

Vähennyslasku. Kahden kompleksiluvun eroa+bi(vähennetty) ja c + di(vähennetty) kutsutaan kompleksiluvuksi (a-c ) + (b-d ) minä .

Täten, kun vähennetään kaksi kompleksilukua, niiden abskissat ja ordinaatit vähennetään erikseen.

Kertominen. Kompleksilukujen tuloa+bi ja c + di kutsutaan kompleksiluvuksi.

(ac-bd ) + (ad+bc ) minä .Tämä määritelmä johtuu kahdesta vaatimuksesta:

1) numerot a+bi ja c + dipitäisi kertoa kuten algebrallinen binomit,

2) numero isillä on pääominaisuus:i 2 = – 1.

ESIMERKKI ( a + bi )(bi) = a 2 +b 2 . Siten, tehdä työtä

kaksi konjugoitua kompleksilukua on yhtä suuri kuin todellinen

positiivinen luku.

Division. Jaa kompleksilukua+bi (jaettavissa) toisellec + di(jakaja) - tarkoittaa kolmannen numeron löytämistäe + fi(chat), joka kerrottuna jakajallac + di, mikä johtaa osinkoona + b.

Jos jakaja ei ole nolla, jako on aina mahdollista.

ESIMERKKI Etsi (8+i ) : (2 – 3 i) .

Ratkaisu. Kirjoita tämä suhde murtoluvuksi:

Kerrotaan sen osoittaja ja nimittäjä luvulla 2 + 3i

Ja kaikkien muunnosten suorittamisen jälkeen saamme:

Kompleksilukujen geometrinen esitys. Reaaliluvut esitetään numeroviivalla olevilla pisteillä:

Tässä on pointti Atarkoittaa numeroa -3, pisteB on numero 2 ja O- nolla. Sitä vastoin kompleksiluvut esitetään koordinaattitason pisteillä. Tätä varten valitsemme suorakulmaiset (Carteesiset) koordinaatit samoilla asteikoilla molemmilla akseleilla. Sitten kompleksilukua+bi esitetään pisteellä P ja abskissa a ja ordinatta b (katso kuva). Tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan monimutkainen taso .

moduuli kompleksilukua kutsutaan vektorin pituudeksiOP, joka kuvaa kompleksilukua koordinaatissa ( integroitu) lentokone. Kompleksiluvun moduulia+bi merkitty | a+bi| tai kirje r

Kompleksiluvut, niiden esitys tasossa. Algebralliset toiminnot kompleksiluvuilla. Monimutkainen konjugaatio. Kompleksiluvun moduuli ja argumentti. Kompleksiluvun algebralliset ja trigonometriset muodot. Kompleksilukujen juuret. Monimutkaisen argumentin eksponentiaalinen funktio. Eulerin kaava. Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto.

Kun tutkitaan yhtä tärkeimmistä integrointimenetelmistä - rationaalisten murtolukujen integrointia - on otettava huomioon monimutkaisen alueen polynomit tarkkoja todisteita varten. Siksi tutkitaan ensin joitain kompleksilukujen ominaisuuksia ja niihin liittyviä operaatioita.

Määritelmä 7.1. Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari (a, b): z = (a, b) (termi "järjestetty" tarkoittaa, että lukujen a ja b järjestys on tärkeä kompleksiluvun kirjoittamisessa: (a , b) )). Tässä tapauksessa ensimmäistä lukua a kutsutaan kompleksiluvun z reaaliosaksi ja sitä merkitään a = Re z, ja toista lukua b kutsutaan z:n imaginaariosaksi: b = Im z.

Määritelmä 7.2. Kaksi kompleksilukua z 1 \u003d (a 1, b 1) ja z 2 \u003d (a 2, b 2) ovat yhtä suuret, jos ja vain jos niillä on samat reaali- ja imaginaariosat, eli a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Kompleksilukujen toiminnot.

1. summa kompleksiluvut z1 =(a 1, b 1) ja z2 =(a 2, b 2 z=(a,b) sellasta a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Lisäysominaisuudet: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) on kompleksiluku 0 = (0,0): z+ 0 =z mille tahansa kompleksiluvulle z.

2. tehdä työtä kompleksiluvut z1 =(a 1, b 1) ja z2 =(a 2, b 2) kutsutaan kompleksiluvuksi z=(a,b) sellasta a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Kertolaskuominaisuudet: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, sisään) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Kommentti. Kompleksilukujen joukon osajoukko on reaalilukujen joukko, joka määritellään muodon ( a, 0). Voidaan nähdä, että tässä tapauksessa kompleksilukujen operaatioiden määrittely säilyttää reaalilukujen vastaavien operaatioiden tunnetut säännöt. Lisäksi reaaliluku 1 = (1,0) säilyttää ominaisuutensa, kun se kerrotaan millä tahansa kompleksiluvulla: 1∙ z = z.

Määritelmä 7.3. Kompleksiluku (0, b) kutsutaan puhtaasti kuvitteellinen. Erityisesti kutsutaan numeroa (0,1). kuvitteellinen yksikkö ja ovat symbolisia i.

Imaginaarisen yksikön ominaisuudet:

1) i∙i=i² = -1; 2) puhtaasti kuvitteellinen luku (0, b) voidaan esittää reaaliluvun tulona ( b, 0) ja i: (b, 0) = b∙i.

Siksi mikä tahansa kompleksiluku z = (a,b) voidaan esittää muodossa: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Määritelmä 7.4. Muotoa z = a + ib kutsutaan kompleksiluvun algebralliseksi muodoksi.

Kommentti. Kompleksilukujen algebrallinen merkintä mahdollistaa operaatioiden suorittamisen niille tavallisten algebran sääntöjen mukaisesti.

Määritelmä 7.5. Kompleksilukua kutsutaan z = a + ib:n kompleksikonjugaatiksi.

3. Vähennyslasku Kompleksiluvut määritellään summauksen käänteisoperaatioksi: z=(a,b) kutsutaan kompleksilukujen erotukseksi z1 =(a 1, b 1) ja z2 =(a 2, b 2), jos a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Division kompleksiluvut määritellään kertolaskujen käänteisoperaatioksi: luku z = a + ib kutsutaan jaon osamääräksi z 1 = a 1 + ib 1 ja z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) jos z1 = z∙z2. Siksi osamäärän reaali- ja imaginaariosa voidaan löytää yhtälöjärjestelmän ratkaisusta: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Kompleksilukujen geometrinen tulkinta.

Monimutkainen luku z=(a,b) voidaan esittää pisteenä tasossa koordinaattein ( a,b) tai vektori, jonka origo on origossa ja loppu pisteessä ( a,b).

Tässä tapauksessa kutsutaan tuloksena olevan vektorin moduulia moduuli kompleksiluku, ja vektorin muodostama kulma x-akselin positiivisen suunnan kanssa on Perustelu numeroita. Olettaen että a = p cos φ, b = ρ synti φ, missä ρ = |z| - moduuli z, ja φ = arg z on sen argumentti, voimme saada toisen muodon kompleksiluvun kirjoittamiseen:

Määritelmä 7.6. Näytä tietue

z = p(cos φ + i synti φ ) (7.1)

nimeltään trigonometrinen muoto kompleksiluvun merkintä.

Kompleksiluvun moduuli ja argumentti puolestaan ​​voidaan ilmaista termeillä a ja b: . Siksi kompleksiluvun argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti, vaan termiin, joka on 2π:n kerrannainen.

On helppo nähdä, että kompleksilukujen yhteenlaskutoiminto vastaa vektoreiden yhteenlaskemista. Harkitse kertolaskujen geometrista tulkintaa. Anna sitten

Siksi kahden kompleksiluvun tulon moduuli on yhtä suuri kuin niiden moduulien tulo, ja argumentti on niiden argumenttien summa. Näin ollen jakamisen yhteydessä osamäärän moduuli on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan moduulien suhde, ja argumentti on niiden argumenttien välinen ero.

Kertolaskuoperaation erikoistapaus on eksponentio:

- De Moivren kaava.

Saatujen suhteiden avulla luetellaan kompleksisten konjugaattilukujen pääominaisuudet:

Kompleksiluvut ja
koordinoida
kone

Reaalilukujen joukon R geometrinen malli on lukuviiva. Jokainen reaaliluku vastaa yhtä pistettä

päällä
numeroviiva ja mikä tahansa piste viivalla
vain yksi ottelu
oikea numero!

Lisäämällä kaikkien reaalilukujen joukkoa vastaavaan numeroriviin vielä yksi ulottuvuus - rivi, joka sisältää puhtaasti m:n joukon

Lisätään joukkoa vastaavalle numeroriville
kaikista todellisista luvuista yksi ulottuvuus -
rivi, joka sisältää joukon puhtaasti kuvitteellisia lukuja -
saamme koordinaattitason, jossa kukin
kompleksiluku a + bi voidaan yhdistää
koordinaattitason piste (a; b).
i=0+1i vastaa pistettä (0;1)
2+3i vastaa kohtaa (2;3)
-i-4 vastaa pistettä (-4;-1)
5=5+1i vastaa melankoliaa (5;0)

Konjugaatiooperaation geometrinen merkitys

! Konjugaatiooperaatio on aksiaalinen
symmetriaa x-akselin suhteen.
!! Yhdistetty toisiinsa
kompleksiluvut ovat yhtä kaukana toisistaan
koordinaattien alkuperä.
!!! Vektorit kuvaavat
konjugoidut numerot, kallistettuna akseliin
abskissa samassa kulmassa, mutta
sijaitsee vastakkaisilla puolilla
tämä akseli.

Kuva todellisista numeroista

Kuva kompleksiluvuista

Algebrallinen
tapa
Kuvat:
Monimutkainen luku
a+bi tulee näkyviin
tasopiste
koordinaattien kanssa
(a;b)

Esimerkkejä kompleksilukujen esittämisestä koordinaattitasolla

(Olemme kiinnostuneita
kompleksiluvut
z=x+yi , jolle
x = -4. Tämä on yhtälö
suoraan,
yhdensuuntainen akseli
ordinaattinen)
klo
X = - 4
Pätevä
osa on -4
0
X

Piirrä koordinaattitasolle joukko kompleksilukuja, joille:

kuvitteellinen osa
on tasan
yksiselitteinen
luonnollinen
määrä
(Olemme kiinnostuneita
kompleksiluvut
z=x+yi
y = 2,4,6,8.
Geometrinen kuva
koostuu neljästä
suorat, yhdensuuntaiset
abskissa)
klo
8
6
4
2
0
X