Pythagoras on kreikkalainen tiedemies, joka eli noin 2500 vuotta sitten (564-473 eKr.).

Olkoon annettu suorakulmainen kolmio, jonka sivut a, b ja kanssa(Kuva 267).

Rakennetaan neliöitä sen sivuille. Näiden neliöiden pinta-alat ovat vastaavasti a 2 , b 2 ja kanssa 2. Todistetaan se kanssa 2 = a 2 +b 2 .

Muodostetaan kaksi neliötä MKOR ja M'K'O'R' (kuvat 268, 269) ottamalla kummankin sivulle jana, joka on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion ABC haarojen summa.

Kun kuvissa 268 ja 269 esitetyt rakenteet on tehty näissä neliöissä, näemme, että MKOR-neliö on jaettu kahteen ruutuun, joiden pinta-alat a 2 ja b 2 ja neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota, joista jokainen on yhtä suuri kuin suorakulmainen kolmio ABC. Neliö M'K'O'R' on jaettu nelikulmioon (se on varjostettu kuvassa 269) ja neljään suorakulmaiseen kolmioon, joista jokainen on yhtä suuri kuin kolmio ABC. Varjostettu nelikulmio on neliö, koska sen sivut ovat yhtä suuret (kukin on yhtä suuri kuin kolmion ABC hypotenuusa, ts. kanssa), ja kulmat ovat suoria viivoja ∠1 + ∠2 = 90°, josta ∠3 = 90°).

Siten jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa (kuvassa 268 nämä neliöt on varjostettu) on yhtä suuri kuin MKOR-neliön pinta-ala ilman neljän yhtä suuren kolmion pinta-alojen summaa ja pinta-ala hypotenuusalle rakennettu neliö (kuvassa 269 tämä neliö on myös varjostettu) on yhtä suuri kuin neliön M'K'O'R pinta-ala, joka on yhtä suuri kuin MKOR:n neliö ilman pinta-alojen summaa neljä samanlaista kolmiota. Siksi suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa.

Saamme kaavan kanssa 2 = a 2 +b 2, missä kanssa- hypotenuusa, a ja b- suorakulmaisen kolmion jalat.

Pythagoraan lause voidaan tiivistää seuraavasti:

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Kaavasta kanssa 2 = a 2 +b 2 saat seuraavat kaavat:

a 2 = kanssa 2 - b 2 ;

b 2 = kanssa 2 - a 2 .

Näitä kaavoja voidaan käyttää oikean kolmion tuntemattoman sivun löytämiseen, kun on annettu sen kaksi sivua.

Esimerkiksi:

a) jos jalat annetaan a= 4 cm, b\u003d 3 cm, niin löydät hypotenuusan ( kanssa):

kanssa 2 = a 2 +b 2, eli kanssa 2 = 4 2 + 3 2; jossa 2 = 25, mistä kanssa= √25 = 5 (cm);

b) jos hypotenuusa annetaan kanssa= 17 cm ja jalka a= 8 cm, niin löydät toisen jalan ( b):

b 2 = kanssa 2 - a 2, eli b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, mistä b= √225 = 15 (cm).

Seuraus: Jos kahdessa suorassa kolmiossa ABC ja A 1 B 1 C 1 hypotenuusa kanssa ja kanssa 1 ovat yhtä suuret, ja jalka b Kolmio ABC on suurempi kuin jalka b 1 kolmio A 1 B 1 C 1,

sitten jalka a Kolmio ABC on pienempi kuin jalka a 1 kolmio A 1 B 1 C 1 .

Pythagoraan lauseeseen perustuen todellakin saamme:

a 2 = kanssa 2 - b 2 ,

a 1 2 = kanssa 1 2 - b 1 2

Kirjoitetuissa kaavoissa minuendit ovat yhtä suuret, ja ensimmäisen kaavan aliosa on suurempi kuin toisen kaavan aliosa, joten ensimmäinen ero on pienempi kuin toinen,

eli a 2 ja 1 2. Missä a a 1.

Nimi on kuitenkin saatu tiedemiehen kunniaksi vain siitä syystä, että hän on ensimmäinen ja jopa ainoa henkilö, joka pystyi todistamaan lauseen.

Saksalainen matematiikan historioitsija Kantor väitti, että egyptiläiset tunsivat lauseen jo noin vuonna 2300 eKr. e. Hän uskoi, että suorat kulmat rakennettiin aiemmin suorakulmaisten kolmioiden ansiosta, joiden sivut olivat 3, 4 ja 5.

Kuuluisa tiedemies Kepler sanoi, että geometrialla on korvaamaton aarre - tämä on Pythagoraan lause, jonka ansiosta on mahdollista johtaa suurin osa geometrian teoreemoista.

Aiemmin Pythagoraan lausetta kutsuttiin "morsianlauseeksi" tai "nymfilauseeksi". Ja asia on, että hänen piirroksensa oli hyvin samanlainen kuin perhonen tai nymfi. Arabit, kun he käänsivät lauseen tekstiä, päättivät, että nymfi tarkoittaa morsian. Näin syntyi lauseen mielenkiintoinen nimi.

Pythagoraan lause, kaava

Lause

- suorakulmaisessa kolmiossa jalkojen neliöiden summa () on yhtä suuri kuin hypotenuusan () neliö. Tämä on yksi euklidisen geometrian peruslauseista.

Kaava:

Kuten jo mainittiin, lauseesta on olemassa monia erilaisia ​​todisteita monipuolisilla matemaattisilla lähestymistavoilla. Aluelauseita käytetään kuitenkin yleisemmin.

Rakenna neliöitä kolmioon ( sininen, vihreä, punainen)

Eli jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala. Vastaavasti näiden neliöiden pinta-alat ovat yhtä suuret -. Tämä on Pythagoraan geometrinen selitys.

Lauseen todistus aluemenetelmällä: 1 tapa

Todistakaamme se.

Tarkastellaan samaa kolmiota, jossa on jalat a, b ja hypotenuusa c.

1. Täydennämme suorakulmaisen kolmion neliöiksi. Jalkasta "a" jatkamme linjaa jalan "b" etäisyyteen (punainen viiva).
2. Seuraavaksi piirrämme uuden jalan "a" linjan oikealle (vihreä viiva).
3. Yhdistämme kaksi jalkaa hypotenuusalla "c".

Osoittautuu sama kolmio, vain ylösalaisin.

Samoin rakennamme toiselle puolelle: jalasta "a" piirrämme jalan "b" linjan ja alas "a" ja "b" ja jalan "b" alaosasta piirrämme jalan viivan. jalka "a". Jokaisen jalan keskelle piirrettiin hypotenuusa "c". Siten hypotenuusat muodostivat neliön keskelle.

Tämä neliö koostuu 4 identtisestä kolmiosta. Ja jokaisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala = puolet sen jalkojen tulosta. Vastaavasti,. Ja keskellä olevan neliön pinta-ala = , koska kaikilla 4 hypotenuuksella on sivut. Nelikulman sivut ovat yhtä suuret ja kulmat ovat suorat. Kuinka voimme todistaa, että kulmat ovat oikein? Erittäin yksinkertainen. Otetaan sama neliö:

Tiedämme, että kuvassa näkyvät kaksi kulmaa ovat 90 astetta. Koska kolmiot ovat yhtä suuret, seuraava jalkakulma "b" on yhtä suuri kuin edellinen haara "b":

Näiden kahden kulman summa = 90 astetta. Vastaavasti edellinen kulma on myös 90 astetta. Sama pätee tietysti myös toiselle puolelle. Näin ollen meillä on todellakin suorakulmainen neliö.

Koska suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat yhteensä 90 astetta, tulee myös nelikulmion kulma olemaan 90 astetta, koska 3 kulmaa yhteensä = 180 astetta.

Vastaavasti neliön pinta-ala koostuu neljästä samanlaisen suorakulmaisen kolmion alueesta ja neliön alueesta, jonka muodostavat hypotenuusat.

Siten saimme neliön, jonka sivu on . Tiedämme, että neliön, jolla on sivu, pinta-ala on sen sivun neliö. Eli Tämä neliö koostuu neljästä identtisestä kolmiosta.

Ja tämä tarkoittaa, että olemme todistaneet Pythagoraan lauseen.

TÄRKEÄ!!! Jos löydämme hypotenuusan, lisäämme kaksi haaraa ja johdamme vastauksen juuresta. Kun löydät yhden jalan: vähennä toisen jalan pituuden neliöstä hypotenuusan pituuden neliö ja etsi neliöjuuri.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 1

Tehtävä

Annettu: suorakulmainen kolmio, jonka jalat 4 ja 5.

Etsi hypotenuusa. Niin kauan kuin merkitsemme sitä

Päätös

Jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Meidän tapauksessamme -.

Käytetään Pythagoraan lausetta:

Joten, a. Jalkojen summa on 41.

Sitten . Hypotenuusan neliö on siis 41.

Numeron 41 neliö = 6,4.

Olemme löytäneet hypotenuusan.

Vastaus

Hypotenuusa = 6.4

Luovuuden potentiaali katsotaan yleensä humanististen tieteiden ansioksi jättäen luonnontieteellisen analyysin, käytännöllisen lähestymistavan ja kaavojen ja numeroiden kuivan kielen. Matematiikkaa ei voi luokitella humanistiseksi aineeksi. Mutta ilman luovuutta "kaikkien tieteiden kuningattaressa" et pääse pitkälle - ihmiset ovat tienneet tästä jo pitkään. Esimerkiksi Pythagoraan ajoilta lähtien.

Koulukirjat eivät valitettavasti yleensä selitä, että matematiikassa on tärkeää paitsi täyttiä lauseita, aksioomia ja kaavoja. On tärkeää ymmärtää ja tuntea sen perusperiaatteet. Ja samalla yritä vapauttaa mielesi kliseistä ja alkeellisista totuuksista - vain sellaisissa olosuhteissa syntyvät kaikki suuret löydöt.

Tällaisia ​​löytöjä ovat mm. se, jonka nykyään tunnemme Pythagoraan lauseena. Sen avulla yritämme näyttää, että matematiikka ei vain voi, vaan sen pitäisi olla hauskaa. Ja että tämä seikkailu ei sovi vain paksulasien nörteille, vaan kaikille vahvamielisille ja vahvoille.

Ongelman historiasta

Tarkkaan ottaen, vaikka lausetta kutsutaan "Pytagoraan lauseeksi", Pythagoras itse ei löytänyt sitä. Suorakulmaista kolmiota ja sen erityisominaisuuksia on tutkittu kauan ennen sitä. Tässä asiassa on kaksi polaarista näkökulmaa. Yhden version mukaan Pythagoras löysi ensimmäisenä täydellisen todisteen lauseesta. Toisen mukaan todiste ei kuulu Pythagoraan kirjoittajaksi.

Nykyään et voi enää tarkistaa, kuka on oikeassa ja kuka väärässä. Tiedetään vain, että Pythagoraan todisteita, jos niitä on koskaan ollut, ei ole säilynyt. On kuitenkin ehdotuksia, että kuuluisa todistus Euklidesin elementeistä saattaa kuulua Pythagoralle, ja Euclid vain tallensi sen.

Nykyään tiedetään myös, että suorakulmaiseen kolmioon liittyviä ongelmia löytyy egyptiläisistä lähteistä farao Amenemhet I:n ajalta, kuningas Hammurabin hallituskauden babylonilaisista savitauluista, muinaisen intialaisen tutkielman Sulva Sutrasta ja muinaisesta kiinalaisesta teoksesta Zhou. -bi suan jin.

Kuten näet, Pythagoraan lause on askarruttanut matemaatikoiden mieliä muinaisista ajoista lähtien. Noin 367 erilaista todistetta, jotka ovat nykyään olemassa, toimivat vahvistuksena. Mikään muu lause ei voi kilpailla sen kanssa tässä suhteessa. Huomattavia todisteiden kirjoittajia ovat Leonardo da Vinci ja Yhdysvaltain 20. presidentti James Garfield. Kaikki tämä kertoo tämän lauseen äärimmäisestä merkityksestä matematiikan kannalta: suurin osa geometrian lauseista on johdettu siitä tai tavalla tai toisella liittyy siihen.

Pythagoraan lauseen todisteet

Koulukirjat antavat enimmäkseen algebrallisia todisteita. Mutta lauseen ydin on geometriassa, joten tarkastellaan ensin niitä kuuluisan lauseen todisteita, jotka perustuvat tähän tieteeseen.

Todiste 1

Pythagoraan lauseen yksinkertaisimman todistuksen saamiseksi suorakulmaiselle kolmiolle on asetettava ihanteelliset ehdot: olkoon kolmion paitsi suorakulmainen, myös tasakylkinen. On syytä uskoa, että se oli sellainen kolmio, jota muinaiset matemaatikot alun perin pitivät.

lausunto "suoran kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden summa" voidaan havainnollistaa seuraavalla piirroksella:

Katso tasakylkistä suorakulmaista kolmiota ABC: Hypotenuusalle AC voit rakentaa neliön, joka koostuu neljästä kolmiosta, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen ABC. Ja jaloissa AB ja BC on rakennettu neliöön, joista jokainen sisältää kaksi samanlaista kolmiota.

Muuten, tämä piirustus muodosti perustan lukuisille anekdooteille ja sarjakuville, jotka on omistettu Pythagoraan teoreemaan. Ehkä tunnetuin on "Pytagoraan housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin":

Todiste 2

Tämä menetelmä yhdistää algebran ja geometrian, ja se voidaan nähdä muunnelmana muinaisen intialaisen matemaatikon Bhaskarin todisteesta.

Rakenna suorakulmainen kolmio, jossa on sivut a, b ja c(Kuva 1). Rakenna sitten kaksi neliötä, joiden sivut ovat yhtä suuret kuin kahden jalan pituuksien summa - (a+b). Tee jokaiseen ruutuun rakenteet, kuten kuvissa 2 ja 3.

Rakenna ensimmäiseen neliöön neljä samaa kolmiota kuin kuvassa 1. Tuloksena saadaan kaksi neliötä: toisella on sivu a, toisessa sivu b.

Toisessa neliössä neljä samanlaista kolmiota muodostavat neliön, jonka sivu on yhtä suuri kuin hypotenuusa c.

Muodostettujen neliöiden pinta-alojen summa kuvassa 2 on yhtä suuri kuin sen neliön pinta-ala, jonka rakensimme kuvan 3 sivun c kanssa. Tämä voidaan helposti varmistaa laskemalla kuvan 2 neliöiden pinta-alat. 2 kaavan mukaan. Ja piirretyn neliön pinta-ala kuvassa 3. vähentämällä neliöön merkityn neljän yhtä suuren suorakulmaisen kolmion pinta-alat suuren neliön pinta-alasta, jossa on sivu (a+b).

Kun tämä kaikki lasketaan, meillä on: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Laajenna sulut, tee kaikki tarvittavat algebralliset laskelmat ja hanki se a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Samalla kuvassa 3 merkityn alueen pinta-ala. neliö voidaan laskea myös perinteisellä kaavalla S = c2. Nuo. a2+b2=c2 Olet todistanut Pythagoraan lauseen.

Todiste 3

Samaa muinaista intialaista todistetta on kuvattu 1100-luvulla tutkielmassa "Tieton kruunu" ("Siddhanta Shiromani"), ja pääasiallisena argumenttina kirjailija käyttää vetoomusta, joka on osoitettu opiskelijoiden matemaattisille kyvyille ja havainnointikyvylle. seuraajia: "Katso!".

Mutta analysoimme tätä todistetta yksityiskohtaisemmin:

Rakenna neliön sisälle neljä suorakulmaista kolmiota piirustuksen mukaisesti. Suuren neliön sivu, joka on myös hypotenuusa, on merkitty kanssa. Kutsutaan kolmion jalkoja a ja b. Piirustuksen mukaan sisäneliön sivu on (a-b).

Käytä neliön pinta-alan kaavaa S = c2 laskea ulomman neliön pinta-ala. Ja samaan aikaan laske sama arvo lisäämällä sisäneliön pinta-ala ja neljän suorakulmaisen kolmion pinta-ala: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Voit käyttää molempia vaihtoehtoja neliön alueen laskemiseen varmistaaksesi, että ne antavat saman tuloksen. Ja se antaa sinulle oikeuden kirjoittaa se ylös c2 =(a-b)2 +4*1\2*a*b. Ratkaisun tuloksena saat Pythagoraan lauseen kaavan c2=a2+b2. Lause on todistettu.

Todiste 4

Tätä omituista muinaista kiinalaista todistetta kutsutaan "morsian tuoliksi" - tuolin kaltaisen hahmon vuoksi, joka syntyy kaikista rakenteista:

Se käyttää piirustusta, jonka olemme jo nähneet kuvassa 3 toisessa todistuksessa. Ja sisäneliö, jonka sivu on c, on rakennettu samalla tavalla kuin yllä annetussa muinaisessa Intian todistuksessa.

Jos leikkaat mielessäsi kaksi vihreää suorakulmaista kolmiota kuvan 1 piirroksesta, siirrät ne neliön vastakkaisille puolille sivun c kanssa ja kiinnität hypotenuot lilakolmioiden hypotenuusiin, saat hahmon nimeltä "morsiamen" tuoli” (kuva 2). Selvyyden vuoksi voit tehdä saman paperineliöiden ja kolmioiden kanssa. Näet, että "morsiamen tuoli" muodostuu kahdesta neliöstä: pienistä, joissa on sivu b ja iso sivulla a.

Näiden rakenteiden ansiosta muinaiset kiinalaiset matemaatikot ja me heitä seurasimme päätymään siihen johtopäätökseen c2=a2+b2.

Todiste 5

Tämä on toinen tapa löytää geometriaan perustuva ratkaisu Pythagoraan lauseeseen. Sitä kutsutaan Garfield-menetelmäksi.

Rakenna suorakulmainen kolmio ABC. Meidän on todistettava se BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Voit tehdä tämän jatkamalla jalkaa AC ja rakentaa segmentti CD, joka on yhtä suuri kuin jalka AB. Alempi kohtisuora ILMOITUS Jana ED. Segmentit ED ja AC ovat tasavertaisia. Yhdistä pisteet E ja AT, yhtä hyvin kuin E ja Kanssa ja hanki alla olevan kuvan mukainen piirustus:

Tornin todistamiseksi turvaudumme jälleen jo testaamaamme menetelmään: löydämme tuloksena olevan hahmon alueen kahdella tavalla ja rinnastamme lausekkeet toisiinsa.

Etsi monikulmion alue SÄNKY voidaan tehdä lisäämällä sen muodostavien kolmen kolmion alueet. Ja yksi niistä ERU, ei ole vain suorakaiteen muotoinen, vaan myös tasakylkinen. Älkäämme myöskään unohtako sitä AB = CD, AC=ED ja BC = CE- Tämän avulla voimme yksinkertaistaa tallennusta eikä ylikuormittaa sitä. Niin, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Samalla on selvää, että SÄNKY on puolisuunnikkaan muotoinen. Siksi laskemme sen pinta-alan kaavalla: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Laskelmillemme on kätevämpää ja selkeämpää esittää segmentti ILMOITUS segmenttien summana AC ja CD.

Kirjoitetaan molemmat tavat laskea kuvion pinta-ala asettamalla yhtäläisyysmerkki niiden väliin: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Käytämme meille jo tunnettua ja yllä kuvattua segmenttien yhtäläisyyttä yksinkertaistaaksemme merkinnän oikeaa puolta: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ja nyt avaamme sulut ja muunnamme tasa-arvon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Kun kaikki muutokset on tehty, saamme juuri sen, mitä tarvitsemme: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Olemme todistaneet lauseen.

Tämä todisteiden luettelo ei tietenkään ole läheskään täydellinen. Pythagoraan lause voidaan myös todistaa käyttämällä vektoreita, kompleksilukuja, differentiaaliyhtälöitä, stereometriaa jne. Ja jopa fyysikot: jos esimerkiksi nestettä kaadetaan neliön ja kolmion muotoisiksi tilavuuksiksi, jotka ovat samanlaisia ​​kuin piirustuksissa. Nestettä kaatamalla voidaan todistaa pinta-alojen yhtäläisyys ja tuloksena itse lause.

Muutama sana Pythagoraan kolmosista

Tätä asiaa käsitellään vähän tai ei lainkaan koulun opetussuunnitelmassa. Samaan aikaan se on erittäin mielenkiintoinen ja sillä on suuri merkitys geometriassa. Pythagoraan kolmoiskappaleita käytetään monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen. Idea niistä voi olla hyödyllinen sinulle jatkokoulutuksessa.

Mitä ovat Pythagoraan kolmoset? Ns. luonnolliset luvut, jotka on koottu kolmeen, joista kahden neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmas luku neliöitynä.

Pythagoraan kolmiot voivat olla:

• primitiivinen (kaikki kolme numeroa ovat suhteellisen alkulukuja);
• ei-primitiivinen (jos jokainen kolmoisluku kerrotaan samalla luvulla, saat uuden kolminkertaisen, joka ei ole primitiivinen).

Muinaiset egyptiläiset kiehtoivat jo ennen aikakauttamme Pythagoraan kolminkertaisten lukujen maniasta: tehtävissä he pitivät suorakulmaista kolmiota, jonka sivut olivat 3,4 ja 5 yksikköä. Muuten, mikä tahansa kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuria kuin Pythagoraan kolminkertaiset luvut, on oletuksena suorakaiteen muotoinen.

Esimerkkejä Pythagoraan kolmosista: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) jne.

Lauseen käytännön soveltaminen

Pythagoraan teoreemaa ei sovelleta vain matematiikassa, vaan myös arkkitehtuurissa ja rakentamisessa, tähtitiedessä ja jopa kirjallisuudessa.

Ensinnäkin rakentamisesta: Pythagoraan lausetta käytetään siinä laajalti eri monimutkaisuustason ongelmissa. Katso esimerkiksi romaanista ikkunaa:

Merkitään ikkunan leveys muodossa b, niin suuren puoliympyrän säde voidaan merkitä muodossa R ja ilmaista kautta b: R = b/2. Pienempien puoliympyröiden säde voidaan ilmaista myös termeillä b: r = b/4. Tässä ongelmassa olemme kiinnostuneita ikkunan sisäympyrän säteestä (kutsutaanko sitä p).

Pythagoraan lause on vain kätevä laskettaessa R. Tätä varten käytämme suorakulmaista kolmiota, joka on merkitty kuvassa katkoviivalla. Kolmion hypotenuusa koostuu kahdesta säteestä: b/4+p. Yksi jalka on säde b/4, toinen b/2-p. Pythagoraan lauseen avulla kirjoitamme: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Seuraavaksi avaamme sulut ja saamme b 2 / 16 + bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Muunnetaan tämä ilmaus muotoon bp/2=b2/4-bp. Ja sitten jaetaan kaikki termit b, annamme samanlaisia ​​hankittavaksi 3/2*p=b/4. Ja lopulta löydämme sen p=b/6- jota tarvitsimme.

Lauseen avulla voit laskea harjakaton kattopalkkien pituuden. Määritä kuinka korkea mobiilitorni tarvitaan, jotta signaali saavuttaa tietyn asutuksen. Ja jopa asenna tasaisesti joulukuusi kaupungin aukiolle. Kuten näette, tämä lause ei asu vain oppikirjojen sivuilla, vaan se on usein hyödyllinen tosielämässä.

Mitä kirjallisuuteen tulee, Pythagoraan lause on inspiroinut kirjoittajia antiikista lähtien ja tekee niin edelleen. Esimerkiksi 1800-luvun saksalainen kirjailija Adelbert von Chamisso inspiroitui hänestä kirjoittamaan sonetin:

Totuuden valo ei pian hajoa,
Mutta loistaessaan se ei todennäköisesti hajoa
Ja kuten tuhansia vuosia sitten,
Ei aiheuta epäilyksiä ja riitoja.

Viisain, kun se koskettaa silmää
Totuuden valo, kiitos jumalille;
Ja sata härkää, puukotettuja, valehtelee -
Onnen Pythagoraan palautuslahja.

Siitä lähtien härät ovat karjuneet epätoivoisesti:
Ikuisesti herätti härkäheimon
tässä mainittu tapahtuma.

He luulevat, että on aika
Ja taas heidät uhrataan
Hieno lause.

(kääntäjä Viktor Toporov)

Ja 1900-luvulla Neuvostoliiton kirjailija Jevgeni Veltistov omisti kirjassaan "Elektroniikan seikkailut" koko luvun Pythagoraan lauseen todistuksille. Ja puoli lukua tarinaa kaksiulotteisesta maailmasta, joka voisi olla olemassa, jos Pythagoraan lauseesta tulisi yhden maailman peruslaki ja jopa uskonto. Siinä olisi paljon helpompaa elää, mutta myös paljon tylsempää: esimerkiksi siellä ei kukaan ymmärrä sanojen "pyöreä" ja "pörröinen" merkitystä.

Ja kirjassa "The Adventures of Electronics" kirjoittaja sanoo matematiikan opettaja Tarataran suun kautta: "Matematiikan pääasia on ajatuksen liike, uudet ideat." Juuri tämä luova ajatuslento synnyttää Pythagoraan lauseen – ei turhaan ole, että sillä on niin monia erilaisia ​​todisteita. Se auttaa menemään tavallista pidemmälle ja katsomaan tuttuja asioita uudella tavalla.

Johtopäätös

Tämä artikkeli on luotu, jotta voit katsoa matematiikan koulun opetussuunnitelman ulkopuolelle ja oppia paitsi niitä Pythagoraan lauseen todisteita, jotka on annettu oppikirjoissa "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ja "Geometria 7 -11" ” (A.V. Pogorelov), mutta myös muita uteliaita tapoja todistaa kuuluisa lause. Ja katso myös esimerkkejä siitä, kuinka Pythagoraan lausetta voidaan soveltaa jokapäiväisessä elämässä.

Ensinnäkin näiden tietojen avulla voit vaatia korkeampia pisteitä matematiikan luokissa - tietoa aiheesta muista lähteistä arvostetaan aina.

Toiseksi halusimme auttaa sinua ymmärtämään, kuinka mielenkiintoista matematiikka on. Vakuuttua konkreettisilla esimerkeillä, että siinä on aina paikka luovuudelle. Toivomme, että Pythagoraan lause ja tämä artikkeli inspiroivat sinua tekemään omaa tutkimusta ja jännittäviä löytöjä matematiikassa ja muissa tieteissä.

Kerro meille kommenteissa, jos artikkelissa esitetyt todisteet olivat mielestäsi kiinnostavia. Oliko näistä tiedoista apua opinnoissasi? Kerro meille mielipiteesi Pythagoraan lauseesta ja tästä artikkelista - keskustelemme mielellämme kaikesta tästä kanssasi.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Pythagoraan lause: jalkojen tukemien neliöiden pinta-alojen summa ( a ja b), on yhtä suuri kuin hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala ( c).

Geometrinen muotoilu:

Lause muotoiltiin alun perin seuraavasti:

Algebrallinen muotoilu:

Tämä tarkoittaa kolmion hypotenuusan pituutta c, ja jalkojen pituudet läpi a ja b :

a 2 + b 2 = c 2

Lauseen molemmat formulaatiot ovat ekvivalentteja, mutta toinen muotoilu on alkeellisempi, se ei vaadi pinta-alan käsitettä. Toisin sanoen toinen väite voidaan varmistaa tietämättä mitään pinta-alasta ja mittaamalla vain suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.

Käänteinen Pythagoraan lause:

Todiste

Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 todistetta tästä lauseesta. Todennäköisesti Pythagoraan lause on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Tällainen vaihtelu voidaan selittää vain lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä geometrialle.

Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuimmat niistä: todistukset aluemenetelmällä, aksiomaattiset ja eksoottiset todistukset (esim. differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samanlaisten kolmioiden kautta

Seuraava algebrallisen formuloinnin todistus on yksinkertaisin suoraan aksioomista rakennetuista todisteista. Erityisesti siinä ei käytetä hahmoalueen käsitettä.

Anna olla ABC on suorakulmainen kolmio C. Piirretään korkeus C ja merkitse sen kantaa H. Kolmio ACH samanlainen kuin kolmio ABC kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH samanlainen ABC. Esittelyssä merkintä

saamme

Mikä on vastaava

Lisäämällä saamme

Aluetodistuksia

Näennäisestä yksinkertaisuudestaan ​​huolimatta seuraavat todistukset eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Kaikki käyttävät alueen ominaisuuksia, joiden todistaminen on monimutkaisempaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistus.

Todistus vastaavuuden kautta

1. Järjestä neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota kuvan 1 mukaisesti.
2. Nelikulmainen sivuilla c on neliö, koska kahden terävän kulman summa on 90° ja suorakulma on 180°.
3. Koko kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala, jossa on sivu (a + b), ja toisaalta neljän kolmion ja kahden sisäpuolen pinta-alojen summa. neliöitä.

Q.E.D.

Todistus vastaavuuden kautta

Tyylikäs permutaatiotodistus

Esimerkki yhdestä näistä todisteista on esitetty oikealla olevassa kuvassa, jossa hypotenuusalle rakennettu neliö muunnetaan permutaatiolla kahdeksi jaloille rakennetuksi neliöksi.

Eukleideen todiste

Piirustus Eukleideen todistukseksi

Kuvitus Eukleideen todistukselle

Eukleideen todistuksen idea on seuraava: yritetään todistaa, että puolet hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-alasta on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden puolen pinta-alan summa ja sitten iso ja kaksi pientä neliötä ovat yhtä suuret.

Harkitse piirustusta vasemmalla. Sen päälle rakensimme neliöitä suorakulmaisen kolmion sivuille ja piirsimme säteen s suoran kulman C kärjestä kohtisuorassa hypotenuusaan AB, se leikkaa hypotenuusalle rakennetun neliön ABIK kahdeksi suorakulmioksi - BHJI ja HAKJ, vastaavasti. Osoittautuu, että näiden suorakulmioiden pinta-alat ovat täsmälleen yhtä suuret kuin vastaaville jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alat.

Yritetään todistaa, että neliön DECA pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala AHJK Tätä varten käytämme apuhavaintoa: Kolmion pinta-ala, jonka korkeus ja kanta on sama kuin annettu. suorakulmio on yhtä suuri kuin puolet annetun suorakulmion pinta-alasta. Tämä johtuu siitä, että kolmion pinta-ala määritellään puoleksi pohjan ja korkeuden tulosta. Tästä havainnosta seuraa, että kolmion ACK pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion AHK pinta-ala (ei esitetty), joka puolestaan ​​on yhtä suuri kuin puolet suorakulmion AHJK pinta-alasta.

Osoittakaamme nyt, että kolmion ACK pinta-ala on myös yhtä suuri kuin puolet DECA-neliön pinta-alasta. Ainoa asia, joka on tehtävä tätä varten, on todistaa kolmioiden ACK ja BDA yhtäläisyys (koska kolmion BDA pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet neliön pinta-alasta yllä olevalla ominaisuudella). Tämä yhtäläisyys on ilmeinen, kolmiot ovat yhtä suuret kahdelta sivulta ja niiden välinen kulma. Nimittäin - AB=AK,AD=AC - kulmien CAK ja BAD yhtäläisyys on helppo todistaa liikemenetelmällä: kierretään kolmiota CAK 90° vastapäivään, jolloin on ilmeistä, että kahden tarkastellun kolmion vastaavat sivut osuu yhteen (johtuen siitä, että kulma neliön kärjessä on 90°).

Väite neliön BCFG ja suorakulmion BHJI pinta-alojen yhtäläisyydestä on täysin analoginen.

Näin ollen olemme osoittaneet, että hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Tämän todisteen ideaa havainnollistetaan edelleen yllä olevalla animaatiolla.

Todiste Leonardo da Vincistä

Todiste Leonardo da Vincistä

Todistuksen pääelementit ovat symmetria ja liike.

Harkitse piirustusta, kuten symmetriasta voidaan nähdä, segmentti Cminä leikkaa aukiota ABHJ kahteen identtiseen osaan (koska kolmiot ABC ja JHminä ovat rakenteeltaan samanlaisia). Käyttämällä 90 asteen kiertoa vastapäivään näemme varjostettujen lukujen yhtäläisyyden CAJminä ja GDAB . Nyt on selvää, että meidän varjostamamme hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-aloista ja alkuperäisen kolmion pinta-alasta. Toisaalta se on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-alasta plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Todistuksen viimeinen vaihe jätetään lukijalle.

Todistus infinitesimaalimenetelmällä

Seuraava differentiaaliyhtälöitä käyttävä todistus on usein 1900-luvun alkupuoliskolla asuneen kuuluisan englantilaisen matemaatikon Hardyn ansiota.

Ottaen huomioon kuvassa näkyvän piirustuksen ja tarkkailemalla sivun muutosta a, voimme kirjoittaa seuraavan suhteen äärettömän pienille sivulisäyksille kanssa ja a(käyttämällä samanlaisia ​​kolmioita):

Todistus infinitesimaalimenetelmällä

Käyttämällä muuttujien erottelumenetelmää löydämme

Yleisempi ilmaus hypotenuusan muuttamiseen molempien jalkojen kasvaessa

Integroimalla tämä yhtälö ja käyttämällä alkuehtoja, saamme

c 2 = a 2 + b 2 + vakio.

Siten pääsemme haluttuun vastaukseen

c 2 = a 2 + b 2 .

On helppo nähdä, että neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa johtuu kolmion sivujen ja inkrementtien välisestä lineaarisesta suhteellisuudesta, kun taas summa johtuu eri haarojen lisäyksestä riippumattomista lisäyksistä.

Yksinkertaisempi todiste voidaan saada, jos oletetaan, että yksi jaloista ei koe lisäystä (tässä tapauksessa jalka b). Sitten saamme integraatiovakion

Muunnelmia ja yleistyksiä

• Jos jaloille rakennetaan neliöiden sijaan muita samanlaisia ​​kuvioita, niin seuraava Pythagoraan lauseen yleistys on totta: Suorakulmaisessa kolmiossa jalkoihin rakennettujen samankaltaisten kuvioiden pintojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusalle rakennetun hahmon pinta-ala. Erityisesti:
  • Jalkoihin rakennettujen säännöllisten kolmioiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusalle rakennetun säännöllisen kolmion pinta-ala.
  • Jalkoihin rakennettujen puoliympyröiden pinta-alojen summa (kuten halkaisijalla) on yhtä suuri kuin hypotenuusalle rakennetun puoliympyrän pinta-ala. Tätä esimerkkiä käytetään todistamaan kahden ympyrän kaarilla rajattujen ja nimeä hippokraattinen lunula kantavien hahmojen ominaisuuksia.

Tarina

Chu-pei 500–200 eKr. Vasemmalla on merkintä: korkeuden ja pohjan pituuksien neliöiden summa on hypotenuusan pituuden neliö.

Muinainen kiinalainen kirja Chu-pei puhuu Pythagoraan kolmiosta, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5: Samassa kirjassa ehdotetaan piirustusta, joka sopii yhteen Baskharan hindulaisen geometrian piirustuksen kanssa.

Kantor (suurin saksalainen matematiikan historioitsija) uskoo, että yhtäläisyys 3 ² + 4 ² = 5² oli jo egyptiläisten tiedossa noin vuonna 2300 eaa. e. kuningas Amenemhet I:n aikana (Berliinin museon papyruksen 6619 mukaan). Cantorin mukaan harpedonaptit eli "kielet" rakensivat suoria kulmia käyttämällä suorakulmioita, joiden sivut ovat 3, 4 ja 5.

Niiden valmistusmenetelmä on erittäin helppo toistaa. Ota 12 m pitkä köysi ja sido se siihen värillistä nauhaa pitkin 3 m etäisyydeltä. toisesta päästä ja 4 metriä toisesta. Suora kulma suljetaan 3–4 metrin pituisten sivujen väliin. Harpedonapteja vastaan ​​voidaan vastustaa sitä, että heidän rakennustapansa tulee tarpeettomaksi, jos käytetään esimerkiksi kaikkien puuseppien käyttämää puista neliötä. Itse asiassa tunnetaan egyptiläisiä piirustuksia, joissa tällainen työkalu löytyy, esimerkiksi piirustukset, jotka kuvaavat puusepänpajaa.

Babylonialaisten keskuudessa Pythagoraan lauseesta tiedetään jonkin verran enemmän. Yhdessä tekstissä, joka juontaa juurensa Hammurabin aikaan, eli vuoteen 2000 eKr. eli suorakulmaisen kolmion hypotenuusan likimääräinen laskelma on annettu. Tästä voimme päätellä, että Mesopotamiassa he pystyivät suorittamaan laskelmia suorakulmaisilla kolmioilla, ainakin joissain tapauksissa. Van der Waerden (hollantilainen matemaatikko) totesi toisaalta Egyptin ja Babylonian matematiikan nykyisen tietämyksen ja toisaalta kreikkalaisten lähteiden kriittisen tutkimuksen perusteella:

Kirjallisuus

Venäjäksi

• Skopets Z. A. Geometriset miniatyyrit. M., 1990
• Yelensky Sh. Pythagoraan jalanjäljissä. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Heräävä tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. M., 1959
• Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. M., 1982
• W. Litzman, "Pythagoraan lause" M., 1960.
  • Pythagoraan lausetta käsittelevä sivusto, jossa on paljon todisteita, materiaali on otettu W. Litzmanin kirjasta, suuri määrä piirustuksia on esitetty erillisinä graafisina tiedostoina.
• Pythagoraan lause ja Pythagoraan kolminkertainen luku D. V. Anosovin kirjasta "Katso matematiikkaa ja jotain siitä"
• Pythagoraan lauseesta ja sen todistusmenetelmistä G. Glaser, Venäjän koulutusakatemian akateemikko, Moskova

Englanniksi

• Pythagoraan lause WolframMathWorldissa
• Cut-The-Knot, Pythagoraan lauseen osa, noin 70 todistusta ja kattavaa lisätietoa (eng.)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Van der Waerdenin mukaan on hyvin todennäköistä, että suhde yleisessä muodossa tunnettiin jo Babylonissa noin 1700-luvulla eKr. e.

Noin 400 eaa. esim. Prokloksen mukaan Platon antoi menetelmän Pythagoraan kolmioiden löytämiseksi yhdistämällä algebran ja geometrian. Noin 300 eaa. e. Eukleideen "elementeissä" ilmestyi Pythagoraan lauseen vanhin aksiomaattinen todiste.

Sanamuoto

Pääformulaatio sisältää algebrallisia operaatioita - suorakulmaisessa kolmiossa, jonka jalkojen pituudet ovat yhtä suuret a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b), ja hypotenuusan pituus on c (\displaystyle c), suhde täyttyy:

.

Vastaava geometrinen muotoilu on myös mahdollista turvautumalla pinta-alan käsitteeseen: suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Tässä muodossa lause on muotoiltu Eukleideen Principiassa.

Käänteinen Pythagoraan lause- väite minkä tahansa kolmion suorakulmaisuudesta, jonka sivujen pituudet liittyvät suhteeseen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Tämän seurauksena mille tahansa positiivisten lukujen kolminkertaiselle a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) ja c (\displaystyle c), sellasta a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), on suorakulmainen kolmio jaloilla a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ja hypotenuusa c (\displaystyle c).

Todiste

Tieteelliseen kirjallisuuteen on kirjattu ainakin 400 Pythagoraan lauseen todistetta, mikä selittyy sekä geometrian perusarvolla että tuloksen alkeellisuudella. Todistuksen pääsuunnat ovat: alkioiden kolmiosuhteiden algebrallinen käyttö (esimerkiksi suosittu samankaltaisuusmenetelmä), pinta-alamenetelmä, olemassa on myös erilaisia ​​eksoottisia todisteita (esim. differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samanlaisten kolmioiden kautta

Eukleideen klassisen todistuksen tavoitteena on määrittää pinta-alojen tasa-arvo suorakulmioiden välillä, jotka on muodostettu leikkaamalla hypotenuusan yläpuolella oleva neliö jalkojen yläpuolella olevien neliöiden korkeudesta oikeasta kulmasta.

Todistuksessa käytetty konstruktio on seuraava: suorakulmaiselle kolmiolle, jolla on suora kulma C (\displaystyle C), neliöt jalkojen päällä ja ja neliöt hypotenuusan päällä A B I K (\displaystyle ABIK) korkeutta rakennetaan CH (\displaystyle CH) ja sitä jatkava säde s (\displaystyle s), jakamalla hypotenuusan yläpuolella olevan neliön kahteen suorakulmioon ja . Todistuksen tarkoituksena on määrittää suorakulmion pinta-alojen tasa-arvo A H J K (\displaystyle AHJK) neliö jalan päällä A C (\displaystyle AC); toisen suorakulmion, joka on hypotenuusan yläpuolella oleva neliö, ja toisen jalan yläpuolella olevan suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys määritetään samalla tavalla.

Suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys A H J K (\displaystyle AHJK) ja A C E D (\displaystyle ACED) muodostetaan kolmioiden kongruenssilla △ A C K ​​(\näyttötyyli \kolmio ACK) ja △ A B D (\näyttötyyli \kolmio ABD), joiden jokaisen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet neliöiden pinta-alasta A H J K (\displaystyle AHJK) ja A C E D (\displaystyle ACED) vastaavasti seuraavan ominaisuuden yhteydessä: kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet suorakulmion pinta-alasta, jos kuvioilla on yhteinen sivu, ja kolmion korkeus yhteiseen sivuun on kolmion toinen puoli suorakulmio. Kolmioiden kongruenssi seuraa kahden sivun (neliöiden sivut) ja niiden välisen kulman (joka koostuu suorasta kulmasta ja kulmasta A (\näyttötyyli A).

Siten todiste osoittaa, että hypotenuusan yläpuolella olevan neliön pinta-ala koostuu suorakulmioista A H J K (\displaystyle AHJK) ja B H J I (\displaystyle BHJI), on yhtä suuri kuin jalkojen yläpuolella olevien neliöiden pinta-alojen summa.

Todiste Leonardo da Vincistä

Aluemenetelmä sisältää myös Leonardo da Vincin löytämän todisteen. Olkoon suorakulmainen kolmio △ A B C (\näyttötyyli \kolmio ABC) oikea kulma C (\displaystyle C) ja neliöt A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) ja A B H J (\displaystyle ABHJ)(katso kuva). Tässä todistuksessa sivussa H J (\displaystyle HJ) jälkimmäinen, kolmio on rakennettu ulkopuolelle, yhteneväinen △ A B C (\näyttötyyli \kolmio ABC) Lisäksi heijastuu sekä hypotenuusaan että sen korkeuteen (eli J I = B C (\displaystyle JI=BC) ja H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Suoraan C I (\displaystyle CI) jakaa hypotenuusalle rakennetun neliön kahteen yhtä suureen osaan, koska kolmiot △ A B C (\näyttötyyli \kolmio ABC) ja △ J H I (\näyttötyyli \kolmio JHI) ovat rakenteeltaan samanarvoisia. Todistus vahvistaa nelikulmioiden kongruenssin C A J I (\displaystyle CAJI) ja D A B G (\displaystyle DABG), jonka jokaisen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet jalkojen neliöiden pinta-aloista ja alkuperäisen kolmion pinta-alan summa, toisaalta puolet kolmion pinta-alasta. hypotenuusan neliö plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Kaiken kaikkiaan puolet jalkojen yli olevien neliöiden pinta-alojen summasta on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusan yläpuolella olevan neliön pinta-alasta, mikä vastaa Pythagoraan lauseen geometrista muotoilua.

Todistus infinitesimaalimenetelmällä

On olemassa useita differentiaaliyhtälöiden tekniikkaa käyttäviä todisteita. Erityisesti Hardylle on myönnetty todiste, joka käyttää äärettömän pieniä jalkojen lisäyksiä a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ja hypotenuusa c (\displaystyle c), ja säilyttäen samankaltaisuuden alkuperäisen suorakulmion kanssa, eli varmistamalla, että seuraavat differentiaalisuhteet täyttyvät:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Muuttujien erotusmenetelmällä niistä johdetaan differentiaaliyhtälö c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), jonka integrointi antaa suhteen c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Alkuehtojen soveltaminen a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) määrittelee vakion 0:ksi, mikä johtaa lauseen väitteeseen.

Neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa johtuu kolmion sivujen ja inkrementtien välisestä lineaarisesta suhteellisuudesta, kun taas summa johtuu eri haarojen lisäyksestä riippumattomista lisäyksistä.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaisia ​​geometrisia muotoja kolmella sivulla

Tärkeän Pythagoraan lauseen geometrisen yleistyksen antoi Eukleides "Aluissa" siirtyen sivuilla olevien neliöiden alueilta mielivaltaisten samanlaisten geometristen kuvioiden alueille: tällaisten jaloille rakennettujen kuvioiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin niitä vastaavan hahmon pinta-ala, joka on rakennettu hypotenuusalle.

Tämän yleistyksen pääajatuksena on, että tällaisen geometrisen hahmon pinta-ala on verrannollinen minkä tahansa sen lineaarimitan neliöön ja erityisesti minkä tahansa sivun pituuden neliöön. Siksi samankaltaisille luvuille alueilla A (\näyttötyyli A), B (\näyttötyyli B) ja C (\displaystyle C) rakennettu pituuksilla jalkoihin a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ja hypotenuusa c (\displaystyle c) vastaavasti on suhde:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Koska Pythagoraan lauseen mukaan a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), sitten se on tehty.

Lisäksi, jos Pythagoraan lauseeseen turvautumatta on mahdollista todistaa, että kolmen samanlaisen geometrisen kuvion pinta-aloilla suorakulmaisen kolmion sivuilla, suhde A + B = C (\näyttötyyli A+B=C), niin käyttämällä Eukleideen yleistyksen todisteen käänteistä voimme johtaa Pythagoraan lauseen todisteen. Esimerkiksi jos hypotenuusalle rakennamme suorakulmaisen kolmion, joka on yhtäpitävä alkuperäisen kolmion kanssa, jonka pinta-ala C (\displaystyle C), ja jaloissa - kaksi samanlaista suorakulmaista kolmiota, joissa on alueita A (\näyttötyyli A) ja B (\näyttötyyli B), niin käy ilmi, että jalkojen kolmiot muodostuvat jakamalla alkuperäinen kolmio sen korkeudella, eli kolmioiden kahden pienemmän alueen summa on yhtä suuri kuin kolmannen pinta-ala, joten A + B = C (\näyttötyyli A+B=C) ja soveltamalla relaatiota vastaaviin lukuihin johdetaan Pythagoraan lause.

Kosinilause

Pythagoraan lause on erikoistapaus yleisemmästä kosinilauseesta, joka suhteuttaa mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

missä on sivujen välinen kulma a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b). Jos kulma on 90°, niin cos ⁡ θ = 0 (\näyttötyyli \cos \theta =0), ja kaava yksinkertaistuu tavalliseen Pythagoraan lauseeseen.

Mielivaltainen kolmio

Pythagoraan lause on yleistetty mielivaltaiseksi kolmioksi, joka toimii yksinomaan sivujen pituuksien suhteen, ja uskotaan, että sen loi ensimmäisenä sabian tähtitieteilijä Sabit ibn Kurra. Siinä mielivaltaiselle kolmiolle, jossa on sivut, tasakylkinen kolmio, jonka kanta on sivulla c (\displaystyle c), kärki, joka on sama kuin alkuperäisen kolmion kärki, vastapäätä sivua c (\displaystyle c) ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret kuin kulma θ (\displaystyle \theta ) vastakkainen puoli c (\displaystyle c). Tuloksena muodostuu kaksi kolmiota, samanlainen kuin alkuperäinen: ensimmäinen, jossa on sivut a (\displaystyle a), piirretyn tasakylkisen kolmion sivupuoli kaukana siitä, ja r (\displaystyle r)- sivuosat c (\displaystyle c); toinen on symmetrinen sille sivulta katsottuna b (\displaystyle b) juhlien kanssa s (\displaystyle s)- sivun asiaankuuluva osa c (\displaystyle c). Tämän seurauksena suhde toteutuu:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

joka rappeutuu Pythagoraan lauseeksi klo θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Suhde on seurausta muodostuneiden kolmioiden samankaltaisuudesta:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus-alueen lause

Ei-euklidinen geometria

Pythagoraan lause on johdettu euklidisen geometrian aksioomeista ja ei kelpaa ei-euklidiselle geometrialle - Pythagoraan lauseen toteutuminen vastaa euklidisen rinnakkaisuuden postulaattia.

Ei-euklidisessa geometriassa suorakulmaisen kolmion sivujen välinen suhde on välttämättä eri muodossa kuin Pythagoraan lause. Esimerkiksi pallogeometriassa suorakulmaisen kolmion kaikilla kolmella yksikköpallon oktanttia rajoittavalla sivulla on pituus π / 2 (\displaystyle \pi /2), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa.

Lisäksi Pythagoraan lause pätee hyperbolisessa ja elliptisessä geometriassa, jos kolmion suorakulmainen vaatimus korvataan ehdolla, että kolmion kahden kulman summan on oltava yhtä suuri kuin kolmas.

pallomainen geometria

Mikä tahansa suorakulmainen kolmio pallolla, jonka säde on R (\displaystyle R)(esimerkiksi jos kolmion kulma on oikea) sivuilla a , b , c (\näyttötyyli a,b,c) osapuolten välinen suhde on:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\oikea)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Tämä yhtäläisyys voidaan johtaa pallokosinisilauseen erikoistapauksena, joka pätee kaikkiin pallomaisiin kolmioihin:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\näyttötyyli \operaattorinimi (ch) c=\operaattorinimi (ch) a\cdot \operaattorinimi (ch) b),

missä ch (\näyttötyyli \operaattorinimi (ch) )- hyperbolinen kosini. Tämä kaava on hyperbolisen kosinilauseen erikoistapaus, joka pätee kaikkiin kolmioihin:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\näyttötyyli \operaattorinimi (ch) c=\operaattorinimi (ch) a\cdot \operaattorinimi (ch) b-\operaattorinimi (sh) a\cdot \operaattorin nimi (sh) b\cdot \cos \gamma ),

missä γ (\displaystyle \gamma)- kulma, jonka kärki on sivua vastapäätä c (\displaystyle c).

Taylor-sarjan käyttäminen hyperbolisen kosinin ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2/2 (\näyttötyyli \operaattorinimi (ch) x\noin 1+x^(2)/2)) voidaan osoittaa, että jos hyperbolinen kolmio pienenee (eli milloin a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) ja c (\displaystyle c) yleensä nolla), silloin suorakulmaisen kolmion hyperboliset suhteet lähestyvät klassisen Pythagoraan lauseen relaatiota.

Sovellus

Etäisyys kaksiulotteisissa suorakaiteen muotoisissa järjestelmissä

Pythagoraan lauseen tärkein sovellus on määrittää kahden pisteen välinen etäisyys suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa: etäisyys s (\displaystyle s) koordinaattipisteiden välillä (a, b) (\näyttötyyli (a,b)) ja (c , d) (\displaystyle (c,d)) vastaa:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Kompleksiluvuille Pythagoran lause antaa luonnollisen kaavan moduulin kompleksiluvun löytämiseksi - z = x + y i (\näyttötyyli z=x+yi) se on yhtä suuri kuin pituus