Lause 1. Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kantajen ja korkeuden puolen summan tulo:
Lause 2. Trapetsin lävistäjät jakavat sen neljään kolmioon, joista kaksi on samanlaisia ja kahdella muulla on sama pinta-ala:
Lause 3. Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan ja annettuun kantaan lasketun korkeuden tulo tai molempien sivujen tulo ja niiden välisen kulman sini: 
Lause 4. Suunnikkaassa diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen sivujen neliöiden summa: 
Lause 5. Mielivaltaisen kuperan nelikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen diagonaalien ja niiden välisen kulman sinistä:
Lause 6. Ympyrän ympärille rajatun nelikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän nelikulmion puolikehän ja annetun ympyrän säteen tulo: 
Lause 7. Nelikulmio, jonka kärjet ovat mielivaltaisen kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet, on suunnikas, jonka pinta-ala on puolet alkuperäisen nelikulmion pinta-alasta:
Lause 8. Jos kuperan nelikulmion lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa, tämän nelikulmion vastakkaisten sivujen neliöiden summat ovat:
AB2 + CD2 = BC2 + AD2.
Artikkeli julkaistiin DKROST-yhtiön tuella. Liukumäet lapsille, talot, hiekkalaatikot ja paljon muuta - leikkikenttien valmistus ja myynti tukku- ja vähittäismyynti. Alhaisimmat hinnat, alennukset, lyhyet tuotantoajat, lähtö ja asiantuntijan konsultaatio, laadunvarmistus. Voit oppia lisää yrityksestä, tarkastella tuoteluetteloa, hintoja ja yhteystietoja verkkosivustolla, joka sijaitsee osoitteessa: http://dkrost.ru/.
Joidenkin teoreemojen todisteita
Lauseen 2 todiste. Olkoon ABCD annettu puolisuunnikas, AD ja BC sen kantat, O tämän puolisuunnikkaan lävistäjien AC ja BD leikkauspiste. Osoitetaan, että kolmioilla AOB ja COD on sama pinta-ala. Pudotetaan tätä varten kohtisuorat BP ja CQ pisteistä B ja C suoralle AD. Sitten kolmion ABD pinta-ala on
Ja kolmion ACD pinta-ala on 
Koska BP = CQ, niin S∆ABD = S∆ACD . Mutta kolmion AOB pinta-ala on kolmioiden ABD ja AOD alueiden välinen ero ja kolmion COD pinta-ala on kolmioiden ACD ja AOD välinen ero. Siksi kolmioiden AOB ja COD pinta-alat ovat yhtä suuret, mikä oli todistettava.
Lauseen 4 todiste. Olkoon ABCD suuntaviiva, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Sovelletaan kosinilausetta kolmioon ABD:
Kun nyt sovelletaan kosinilausetta kolmioon ACD, saadaan:
Lisäämällä termi kerrallaan yhtäläisyydet, saamme sen 
Q.E.D.
Lauseen 5 todistus. Olkoon ABCD mielivaltainen kupera nelikulmio, E sen diagonaalien leikkauspiste, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Meillä on:
Q.E.D.
Lauseen 6 todiste. Olkoon ABCD mielivaltainen ympyrän ympärille piirretty nelikulmio, O tämän ympyrän keskipiste, OK, OL, OM ja ON kohtisuorat, jotka on pudotettu pisteestä O suorille AB, BC, CD ja AD. Meillä on: 
missä r on ympyrän säde ja p on nelikulmion ABCD puolikehä.
Lauseen 7 todiste. Olkoon ABCD mielivaltainen kupera nelikulmio, K, L, M ja N sivujen AB, BC, CD ja AD keskipisteet, vastaavasti. Koska KL on kolmion ABC keskiviiva, suora KL on yhdensuuntainen suoran AC kanssa ja Samoin suora MN on yhdensuuntainen suoran AC kanssa ja siksi KLMN on suuntaviiva. Harkitse kolmiota KBL. Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin neljäsosa kolmion ABC pinta-alasta. Kolmion MDN pinta-ala on myös yhtä suuri kuin neljäsosa kolmion ACD pinta-alasta. Siten,
Samoin 
Se tarkoittaa sitä
mistä se seuraa 
Lauseen 8 todiste. Olkoon ABCD mielivaltainen kupera nelikulmio, jonka lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa, olkoon E sen diagonaalien leikkauspiste,
AE= a, BE = b, CE = c, DE = d. Käytä Pythagoraan lausetta kolmioihin ABE ja CDE:
AB2=AE2+BE2= a 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
siten,
AB2+CD2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Soveltamalla nyt Pythagoraan lausetta kolmioihin ADE ja BCE, saamme:
AD2=AE2+DE2= a 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
mistä se seuraa
AD2+BC2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Siten AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , joka oli todistettava.
Ongelmanratkaisu
Tehtävä 1. Puolisuunnikkaan kuvataan lähellä ympyrää, jonka kantakulmat α ja β. Etsi puolisuunnikkaan pinta-alan suhde ympyrän pinta-alaan.
Päätös. Olkoon ABCD annettu puolisuunnikas, AB ja CD sen kantat, DK ja CM pisteistä C ja D suoralle AB pudonneet kohtisuorat. Haluttu suhde ei riipu ympyrän säteestä. Siksi oletetaan, että säde on 1. Silloin ympyrän pinta-ala on π, löydämme puolisuunnikkaan alueen. Koska kolmio ADK on suorakulmainen kolmio,
Vastaavasti suorakulmaisesta kolmiosta BCM huomaamme, että koska ympyrä voidaan piirtää annettuun puolisuunnikkaan, vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret:
AB + CD = AD + BC,
mistä löydämme
Joten puolisuunnikkaan pinta-ala on
ja haluttu suhde on 
Vastaus: 
Tehtävä 2. Kuperassa nelikulmiossa ABCD kulma A on 90° ja kulma C ei ylitä 90°. Pystysuorat BE ja DF pudotetaan pisteistä B ja D diagonaaliin AC. Tiedetään, että AE = CF. Osoita, että kulma C on suora kulma.
Todiste. Koska kulma A on 90°,
ja kulma C ei ylitä 90°, silloin pisteet E ja F sijaitsevat diagonaalissa AC. Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Riittää, kun todistamme, että α + β + γ + δ = π. Kuten
mistä saamme sen, mikä oli todistettava.
Tehtävä 3. Ympyrän ympärille piirretyn tasakylkisen puolisuunnikkaan kehä on p. Etsi tämän ympyrän säde, jos tiedetään, että puolisuunnikkaan pohjan terävä kulma on α.
Päätös. Olkoon ABCD annettu tasakylkinen puolisuunnikkaan kantat AD ja BC, olkoon BH tämän puolisuunnikkaan korkeus kärjestä B.
Koska ympyrä voidaan piirtää annettuun puolisuunnikkaan, niin 
Siten,
Suorasta kolmiosta ABH löydämme,
Vastaus:
Tehtävä 4. Annettu puolisuunnikkaan ABCD kannat AD ja BC. Diagonaalit AC ja BD leikkaavat pisteessä O ja suorat AB ja CD leikkaavat pisteessä K. Suora KO leikkaa sivut BC ja AD pisteissä M ja N, vastaavasti, ja kulma BAD on 30°. Tiedetään, että ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan ABMN ja NMCD. Etsi kolmion BKC ja puolisuunnikkaan ABCD pinta-alasuhde.
Päätös. Kuten tiedät, mielivaltaiselle puolisuunnikkaalle viiva, joka yhdistää lävistäjien leikkauspisteen ja sivusivujen jatkeiden leikkauspisteen, jakaa jokaisen kannan kahtia. Joten BM = MC ja AN = ND. Lisäksi, koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan ABMN ja NMCD, niin
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Tästä seuraa, että AB = CD, eli puolisuunnikkaan ABCD on tasakylkinen. Haluttu pinta-alojen suhde ei riipu mittakaavasta, joten voidaan olettaa, että KN = x, KM = 1. Suorakulmaisista kolmioista AKN ja BKM saadaan, että Uudelleenkirjoitetaan jo yllä käytetty relaatio
BM + AN = AB + MN ⇔
Meidän on laskettava suhde:
Tässä on käytetty sitä, että kolmioiden AKD ja BKC pinta-alat liittyvät sivujen KN ja KM neliöiksi eli x2:ksi.
Vastaus:
Tehtävä 5. Kuperassa nelikulmiossa ABCD pisteet E, F, H, G ovat sivujen AB, BC, CD, DA keskipisteet, vastaavasti, ja O on segmenttien EH ja FG leikkauspiste. Tiedetään, että EH = a, FG = b, Laske nelikulmion lävistäjien pituudet.
Päätös. Tiedetään, että jos kytket sarjaan mielivaltaisen nelikulmion sivujen keskipisteet, saat suunnikkaan. Meidän tapauksessamme EFHG on suunnikas ja O on sen diagonaalien leikkauspiste. Sitten
Käytä kosinilausetta kolmioon FOH:
Koska FH on kolmion BCD keskiviiva, niin
Vastaavasti soveltamalla kosinilausetta kolmioon EFO, saamme sen
Vastaus:
Tehtävä 6. Puolisuunnikkaan sivut ovat 3 ja 5. Tiedetään, että puolisuunnikkaan voidaan piirtää ympyrä. Puolisuunnikkaan keskiviiva jakaa sen kahteen osaan, joiden pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin Etsi puolisuunnikkaan kantat.
Päätös. Olkoon ABCD annettu puolisuunnikas, AB = 3 ja CD = 5 - sen sivut, pisteet K ja M - sivujen AB ja CD keskipisteet, vastaavasti. Olkoon tarkkuuden vuoksi AD > BC, jolloin puolisuunnikkaan AKMD pinta-ala on suurempi kuin puolisuunnikkaan KBCM pinta-ala. Koska KM on puolisuunnikkaan ABCD keskiviiva, puolisuunnikkaan AKMD ja KBCM ovat yhtä korkeat. Koska puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet kantojen ja korkeuden summasta, niin seuraava yhtälö on totta:
Edelleen, koska puolisuunnikkaan ABCD voidaan piirtää ympyrä, niin AD + BC = AB + CD = 8. Silloin KM = 4 puolisuunnikkaan ABCD keskiviivana. Olkoon BC = x, sitten AD = 8 - x. Meillä on: 
Joten BC = 1 ja AD = 7.
Vastaus: 1 ja 7.
Tehtävä 7. Puolisuunnikkaan ABCD kanta AB on kaksi kertaa pidempi kuin kanta CD ja kaksi kertaa niin pitkä kuin sivusivu AD. Diagonaalin AC pituus on a, ja sivusivun BC pituus on yhtä suuri kuin b. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.
Päätös. Olkoon E puolisuunnikkaan sivujen jatkeiden leikkauspiste ja CD = x, jolloin AD = x, AB = 2x. Jana CD on yhdensuuntainen segmentin AB kanssa ja kaksi kertaa lyhyempi, joten CD on kolmion ABE keskiviiva. Siksi CE = BC = b ja DE = AD = x, jolloin AE = 2x. Joten kolmio ABE on tasakylkinen (AB = AE) ja AC on sen mediaani. Siksi AC on myös tämän kolmion korkeus ja siten
Koska kolmio DEC on samanlainen kuin kolmio AEB samankaltaisuuskertoimella, niin
Vastaus:
Tehtävä 8. Puolisuunnikkaan ABCD lävistäjät leikkaavat pisteessä E. Selvitä kolmion BCE pinta-ala, jos puolisuunnikkaan kannan pituudet ovat AB = 30, DC = 24, sivujen pituudet AD = 3 ja kulma DAB on 60 °.
Päätös. Olkoon DH puolisuunnikkaan korkeus. Kolmiosta ADH löydämme sen 
Koska kolmion ABC korkeus, joka on pudonnut kärjestä C, on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan korkeus DH, meillä on: 
Vastaus:
Tehtävä 9. Puolisuunnikkaan keskiviiva on 4 ja kulmat toisessa kannassa ovat 40° ja 50°. Etsi puolisuunnikkaan kantat, jos kantajen keskipisteitä yhdistävä jana on 1.
Päätös. Olkoon ABCD annettu puolisuunnikkaan, AB ja CD sen kantapäät (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Jatketaan sivuja DA ja CB pisteen E leikkauspisteeseen. Tarkastellaan kolmiota ABE, jossa ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
siis ∠AEB = 90°. Tämän kolmion mediaani EM, joka on vedetty suoran kulman kärjestä, on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta: EM = AM. Olkoon EM = x, sitten AM = x, DN = 4 – x. Tehtävän ehdon mukaan MN = 1, joten
EN = x + 1. Kolmioiden AEM ja DEN samankaltaisuudesta saamme:
Tämä tarkoittaa, että AB = 3 ja CD = 5.
Vastaus: 3 ja 5.
Tehtävä 10. Kupera nelikulmio ABCD on rajattu ympyrän ympärille, jonka keskipiste on pisteessä O, kun taas AO = OC = 1, BO = OD = 2. Etsi nelikulmion ABCD ympyrä.
Päätös. Olkoot K, L, M, N sen ympyrän tangenttipisteet, joiden sivut AB, BC, CD, DA, vastaavasti, r - ympyrän säde. Koska ympyrän tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteen säteeseen nähden, kolmiot AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO ovat suorakulmaisia. Soveltamalla Pythagoraan lausetta näihin kolmioihin, saamme sen
Siksi AB = BC = CD = DA, eli ABCD on rombi. Rombin diagonaalit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja niiden leikkauspiste on piirretyn ympyrän keskipiste. Tästä voimme helposti havaita, että rombin sivu on yhtä suuri ja siksi rombin ympärysmitta on yhtä suuri kuin
Vastaus:
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun
C-1. Tasakylkinen puolisuunnikkaan ABCD on rajattu ympyrän ympärille, jonka säde on r. Olkoot E ja K tämän ympyrän tangenttipisteet puolisuunnikkaan sivuilla. Trapetsin kannan AB ja sivun AD välinen kulma on 60°. Todista, että EK on yhdensuuntainen AB:n kanssa ja etsi puolisuunnikkaan ABEK pinta-ala.
C-2. Puolisuunnikkaan lävistäjät ovat 3 ja 5, ja kantajen keskipisteitä yhdistävä jana on 2. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.
C-3. Onko mahdollista rajata ympyrä nelikulmion ABCD ympärille, jos ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. Puolisuunnikkaan ABCD (AB on kanta) kulmien DAB, BCD, ADC, ABD ja ADB arvot muodostavat aritmeettisen edistyksen (kirjoitusjärjestyksessä). Etsi etäisyys kärjestä C diagonaaliin BD, jos puolisuunnikkaan korkeus on h.
C-5. Annettu tasakylkinen puolisuunnikas, johon on piirretty ympyrä ja jonka ympärille on piirretty ympyrä. Puolisuunnikkaan korkeuden suhde rajatun ympyrän säteeseen on Etsi puolisuunnikkaan kulmat.
C-6. Suorakulmion ABCD pinta-ala on 48 ja lävistäjän pituus on 10. Tasolle, jossa suorakulmio sijaitsee, valitaan piste O siten, että OB = OD = 13. Etsi etäisyys pisteestä O siitä kauimpana olevan suorakulmion kärkeen.
C-7. Suunnikkaan ABCD ympärysmitta on 26. Kulma ABC on 120°. Kolmioon BCD piirretyn ympyrän säde on Etsi suunnikkaan sivujen pituudet, jos tiedetään, että AD > AB.
C-8. Nelisivuinen ABCD on piirretty ympyrään, jonka keskipiste on pisteessä O. Säde OA on kohtisuorassa säteeseen OB ja säde OC on kohtisuorassa säteeseen OD nähden. Pisteestä C suoralle AD pudotetun kohtisuoran pituus on 9. Janan BC pituus on puolet janan AD pituudesta. Etsi kolmion AOB pinta-ala.
C-9. Kuperan nelikulmion ABCD kärjet A ja C ovat vastakkaisia ja sivun AB pituus on 3. Kulma ABC on kulma BCD on Selvitä sivun AD pituus, jos tiedät, että nelikulmion pinta-ala on 
C-10. Kuperalla nelikulmiolla ABCD on lävistäjät AC ja BD. On tiedossa, että
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, ja kolmion ABD puolittajien leikkauspisteen ja kolmion ACD puolittajien leikkauspisteen välinen etäisyys on Etsi sivun BC pituus.
C-11. Olkoon M kuperan nelikulmion ABCD diagonaalien leikkauspiste, jossa sivut AB, AD ja BC ovat yhtä suuret. Etsi kulma CMD, jos tiedetään, että DM = MC,
ja ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12. Nelikulmassa ABCD tiedämme, että ∠A = 74°, ∠D = 120°. Etsi kulmien B ja C puolittajien välinen kulma.
C-13. Ympyrä voidaan kirjoittaa nelikulmioon ABCD. Olkoon K sen diagonaalien leikkauspiste. Tiedetään, että AB > BC > KC ja kolmion BKC ympärysmitta ja pinta-ala ovat 14 ja 7. Etsi DC.
C-14. Ympyrän ympärille piirretyssä puolisuunnikkaan tiedetään, että BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Etsi AB, jos puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala on 10.
C-15. Puolisuunnikkaan ABCD, jonka kanta on AB ja CD, tiedetään 
∠CAB = 2∠DBA. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.
C-16. Suunnikkaassa ABCD tiedämme, että AC = a, ∠CAB = 60°. Etsi suunnikkaan pinta-ala.
S-17. Nelikulmaisessa ABCD lävistäjät AC ja BD leikkaavat pisteessä K. Pisteet L ja M ovat sivujen BC ja AD keskipisteet. Jana LM sisältää pisteen K. Nelisivu ABCD on sellainen, että siihen voidaan piirtää ympyrä. Etsi tämän ympyrän säde, jos AB=3 ja LK:KM=1:3.
C-18. Kuperalla nelikulmiolla ABCD on lävistäjät AC ja BD. Tässä tapauksessa ∠BAC =
= ∠BDC, ja kolmion BDC ympärille rajatun ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin
a) Etsi kolmion ABC ympärille piirretyn ympyrän säde.
b) Kun tiedät, että BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, laske nelikulmion ABCD pinta-ala.
Huomautus. Tämä on osa oppituntia, jossa on geometrian ongelmia (rinnakkaiskaavio). Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Merkitsemään neliöjuuren erottamista tehtävien ratkaisemisessa käytetään symbolia √ tai sqrt () ja radikaalilauseke on merkitty suluissa.
Teoreettinen materiaali
Selitykset kaavoille suunnikkaan alueen löytämiseksi:
- Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen yhden sivun pituuden ja sen sivun korkeuden tulo.
- Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen sivun ja niiden välisen kulman sini tulo
- Suunnikkaan pinta-ala on puolet sen diagonaalien ja niiden välisen kulman sinistä tulosta
Ongelmia suunnikkaan alueen löytämisessä
Tehtävä.Suunnikkaassa pienempi korkeus ja pienempi sivu ovat 9 cm ja juuri 82. Pisin lävistäjä on 15 cm. Etsi suunnikkaan pinta-ala.
Päätös.
Merkitään pisteestä B suurempaan kantaan AD lasketun suunnikkaan ABCD pienempi korkeus BK:ksi.
Etsi pienemmän korkeuden, pienemmän sivun ja suuremman kantan osan muodostaman suorakulmaisen kolmion ABK haaran arvo. Pythagoraan lauseen mukaan:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1
Jatketaan suunnikkaan BC yläkanta ja pudotetaan korkeus AN sen alemmalta pohjalta. AN = BK suorakulmion ANBK sivuina. Tuloksena olevasta suorakulmaisesta kolmiosta ANC löydämme haaran NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12
Etsitään nyt suunnikkaan ABCD suurempi kanta BC.
BC=NC-NB
Otetaan tällöin huomioon, että NB = AK suorakulmion sivuina
BC = 12 - 1 = 11
Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan ja tämän kannan korkeuden tulo.
S=ah
S=BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Vastaus: 99 cm2.
Tehtävä
Suunnikkaassa ABCD kohtisuora BO pudotetaan diagonaaliin AC. Etsi suunnikkaan pinta-ala, jos AO=8, OS=6 ja BO=4.
Päätös.
Pudotetaan vielä yksi kohtisuora DK diagonaaliin AC.
Vastaavasti kolmiot AOB ja DKC, COB ja AKD ovat pareittain yhteneviä. Yksi sivuista on suunnikkaan vastakkainen puoli, yksi kulmista on suora, koska se on kohtisuorassa diagonaaliin nähden, ja yksi jäljellä olevista kulmista on suunnikkaan ja sekantin yhdensuuntaisten sivujen sisäinen risti. diagonaalista.
Siten suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin ilmoitettujen kolmioiden pinta-ala. Eli
Sparal = 2S AOB + 2S BOC
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet jalkojen tulosta. Missä
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Vastaus: 56 cm2.
Kun ratkaiset tämän aiheen ongelmia, sen lisäksi perusominaisuudet suunnikas ja vastaavat kaavat, voit muistaa ja soveltaa seuraavaa:
- Suunnikkaan sisäkulman puolittaja leikkaa siitä tasakylkisen kolmion
- Suunnikkaan yhden sivun vieressä olevien sisäisten kulmien puolittajat ovat keskenään kohtisuorassa
- Puolittajat, jotka tulevat suunnikkaan vastakkaisista sisäkulmista, ovat yhdensuuntaisia keskenään tai sijaitsevat yhdellä suoralla
- Suunnikkaan diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen sivujen neliöiden summa
- Suunnikkaan pinta-ala on puolet diagonaalien tulosta kertaa niiden välisen kulman sini.
Tarkastellaan tehtäviä, joiden ratkaisussa näitä ominaisuuksia käytetään.
Tehtävä 1.
Suunnikkaan ABCD kulman C puolittaja leikkaa sivun AD pisteessä M ja sivun AB jatkon pisteen A takana pisteessä E. Etsi suunnikkaan kehä, jos AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Päätös.
1. Kolmion CMD tasakylkinen. (Omaisuus 1). Siksi CD = MD = 3 cm.
2. Kolmio EAM on tasakylkinen.
Siksi AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Kehä ABCD = 20 cm.
Vastaus. 20 cm
Tehtävä 2.
Diagonaalit piirretään kuperaan nelikulmioon ABCD. Tiedetään, että kolmioiden ABD, ACD, BCD pinta-alat ovat yhtä suuret. Todista, että annettu nelikulmio on suunnikas.
Päätös.
1. Olkoon BE kolmion ABD korkeus, CF kolmion ACD korkeus. Koska kolmioiden pinta-alat ovat tehtävän ehdon mukaan yhtä suuret ja niillä on yhteinen kanta AD, niin näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret. BE = CF.
2. BE, CF ovat kohtisuorassa AD:hen nähden. Pisteet B ja C sijaitsevat samalla puolella linjaa AD. BE = CF. Siksi linja BC || ILMOITUS. (*)
3. Olkoon AL kolmion ACD korkeus, BK kolmion BCD korkeus. Koska kolmioiden pinta-alat ovat tehtävän ehdon mukaan yhtä suuret ja niillä on yhteinen kanta CD, niin näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret. AL = BK.
4. AL ja BK ovat kohtisuorassa CD:tä vastaan. Pisteet B ja A sijaitsevat suoran CD:n samalla puolella. AL = BK. Siksi linja AB || CD (**)
5. Ehdot (*), (**) tarkoittavat, että ABCD on suuntaviiva.
Vastaus. Todistettu. ABCD on suuntaviiva.
Tehtävä 3.
Suunnikkaan ABCD sivuille BC ja CD on merkitty pisteet M ja H siten, että janat BM ja HD leikkaavat pisteessä O;<ВМD = 95 о,
Päätös.
1. Kolmiossa DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Suorakulmaisessa kolmiossa DHC Sitten<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mutta CD = AB. Sitten AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Vastaus: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = Tehtävä 4. Yksi suunnikkaan, jonka pituus on 4√6, lävistäjä muodostaa 60° kulman kantaan ja toinen diagonaali muodostaa 45° kulman saman kannan kanssa. Etsi toinen diagonaali. Päätös.
1. AO = 2√6. 2. Käytä sinilausetta kolmioon AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Vastaus: 12.
Tehtävä 5. Suunnikkaalle, jonka sivut ovat 5√2 ja 7√2, diagonaalien välinen pienempi kulma on yhtä suuri kuin suunnikkaan pienempi kulma. Etsi diagonaalien pituuksien summa. Päätös.
Olkoon d 1, d 2 suunnikkaan lävistäjät ja diagonaalien ja suunnikkaan pienemmän kulman välinen kulma φ. 1. Lasketaan kaksi erilaista S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Saadaan yhtälö 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Käytämme suunnikkaan sivujen ja diagonaalien välistä suhdetta, kirjoitamme yhtälö (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Tehdään järjestelmä: (p 1 2 + d 2 2 = 296, Kerro järjestelmän toinen yhtälö kahdella ja lisää se ensimmäiseen. Saamme (d 1 + d 2) 2 = 576. Siten Id 1 + d 2 I = 24. Koska d 1, d 2 ovat suunnikkaan diagonaalien pituudet, niin d 1 + d 2 = 24. Vastaus: 24.
Tehtävä 6. Suunnikkaan sivut ovat 4 ja 6. Diagonaalien välinen terävä kulma on 45 o. Etsi suunnikkaan pinta-ala. Päätös.
1. Kolmiosta AOB kirjoitetaan kosinilauseen avulla suuntaviivan sivun ja diagonaalien välinen suhde. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (p 1/2) (p 2/2) √ 2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Samoin kirjoitetaan kolmion AOD relaatio. Otamme sen huomioon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Saamme yhtälön d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Meillä on järjestelmä Kun ensimmäinen vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan 2d 1 d 2 √2 = 80 tai d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Huomautus: Tässä ja edellisessä tehtävässä järjestelmää ei tarvitse ratkaista kokonaan, koska tässä tehtävässä tarvitsemme diagonaalien tulon alueen laskemiseen. Vastaus: 10. Tehtävä 7. Suunnikkaan pinta-ala on 96 ja sen sivut 8 ja 15. Etsi pienemmän lävistäjän neliö. Päätös.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Tehdään korvaus kaavassa. Saamme 96 = 8 15 sin VAD. Siten sin VAD = 4/5. 2. Etsi cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 HUONO = 1. cos 2 HUONO = 9/25. Tehtävän ehdon mukaan löydämme pienemmän diagonaalin pituuden. Diagonaali BD on pienempi, jos kulma BAD on terävä. Sitten cos BAD = 3/5. 3. Kolmiosta ABD saadaan kosinilauseen avulla diagonaalin BD neliö. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Vastaus: 145.
Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista geometriaongelma? Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan. Kaava suunnikkaan pinta-alalle Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun ja tälle sivulle lasketun korkeuden tulo. Jos suunnikas on suorakulmio, niin tasa-arvo täyttyy suorakulmion pinta-alalauseella. Lisäksi oletetaan, että suuntaviivan kulmat eivät ole oikein. Olkoon $\angle BAD$ terävä kulma suuntaviivassa $ABCD$ ja $AD > AB$. Muuten nimeämme kärjet uudelleen. Tällöin korkeus $BH$ kärjestä $B$ suoralle $AD$ putoaa puolelle $AD$, koska haara $AH$ on lyhyempi kuin hypotenuusa $AB$, ja $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Verrataan suunnikkaan $ABCD$ pinta-alaa suorakulmion $HBCK$ pinta-alaan. Suunnikkaan pinta-ala on suurempi alueella $\kolmio ABH$, mutta pienempi alueella $\kolmio DCK$. Koska nämä kolmiot ovat yhteneviä, myös niiden pinta-alat ovat yhtenevät. Tämä tarkoittaa, että suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala, jonka sivut ovat pitkät sivuun ja suunnikkaan korkeus. Kaava suunnikkaan pinta-alalle sivujen ja sinin suhteen Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sinin tulo. Sivulle $AB$ lasketun suunnikkaan $ABCD$ korkeus on yhtä suuri kuin janan $BC$ ja kulman $\kulma ABC$ sinin tulo. On sovellettava edellistä väitettä. Kaava suunnikkaan pinta-alalle diagonaaleina Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet lävistäjien ja niiden välisen kulman sinin tulosta. Leikkaa suunnikkaan $ABCD$ diagonaalit pisteessä $O$ kulmassa $\alpha$. Sitten $AO=OC$ ja $BO=OD$ suuntaviivaominaisuudella. Kulmien sinit, joiden summa on $180^\circ$, ovat $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Näin ollen diagonaalien leikkauskohdassa olevien kulmien sinit ovat yhtä suuria kuin $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\kolmio AOB) + S_(\kolmio BOC) + S_(\kolmio COD) + S_(\kolmio AOD)$ pinta-alan mittauksen aksiooman mukaan. Käytä kolmion pintakaavaa $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ näille kolmioille ja kulmille, kun lävistäjät leikkaavat. Jokaisen sivut ovat yhtä suuret kuin puolet lävistäjästä, myös sinit ovat yhtä suuret. Siksi kaikkien neljän kolmion pinta-alat ovat $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Yhteenvetona kaikki edellä mainitut, saamme $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$ Kun ratkaiset tämän aiheen ongelmia, sen lisäksi perusominaisuudet suunnikas ja vastaavat kaavat, voit muistaa ja soveltaa seuraavaa: Tarkastellaan tehtäviä, joiden ratkaisussa näitä ominaisuuksia käytetään. Tehtävä 1. Suunnikkaan ABCD kulman C puolittaja leikkaa sivun AD pisteessä M ja sivun AB jatkon pisteen A takana pisteessä E. Etsi suunnikkaan kehä, jos AE \u003d 4, DM \u003d 3. Päätös.
1. Kolmion CMD tasakylkinen. (Omaisuus 1). Siksi CD = MD = 3 cm. 2. Kolmio EAM on tasakylkinen. 3. AD = AM + MD = 7 cm. 4. Kehä ABCD = 20 cm. Vastaus. 20 cm
Tehtävä 2. Diagonaalit piirretään kuperaan nelikulmioon ABCD. Tiedetään, että kolmioiden ABD, ACD, BCD pinta-alat ovat yhtä suuret. Todista, että annettu nelikulmio on suunnikas. Päätös.
1. Olkoon BE kolmion ABD korkeus, CF kolmion ACD korkeus. Koska kolmioiden pinta-alat ovat tehtävän ehdon mukaan yhtä suuret ja niillä on yhteinen kanta AD, niin näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret. BE = CF. 2. BE, CF ovat kohtisuorassa AD:hen nähden. Pisteet B ja C sijaitsevat samalla puolella linjaa AD. BE = CF. Siksi linja BC || ILMOITUS. (*) 3. Olkoon AL kolmion ACD korkeus, BK kolmion BCD korkeus. Koska kolmioiden pinta-alat ovat tehtävän ehdon mukaan yhtä suuret ja niillä on yhteinen kanta CD, niin näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret. AL = BK. 4. AL ja BK ovat kohtisuorassa CD:tä vastaan. Pisteet B ja A sijaitsevat suoran CD:n samalla puolella. AL = BK. Siksi linja AB || CD (**) 5. Ehdot (*), (**) tarkoittavat, että ABCD on suuntaviiva. Vastaus. Todistettu. ABCD on suuntaviiva.
Tehtävä 3. Suunnikkaan ABCD sivuille BC ja CD on merkitty pisteet M ja H siten, että janat BM ja HD leikkaavat pisteessä O;<ВМD = 95 о, 1. Kolmiossa DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о. 2. Suorakulmaisessa kolmiossa DHC Sitten<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mutta CD = AB. Sitten AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Vastaus: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = Tehtävä 4. Yksi suunnikkaan, jonka pituus on 4√6, lävistäjä muodostaa 60° kulman kantaan ja toinen diagonaali muodostaa 45° kulman saman kannan kanssa. Etsi toinen diagonaali. Päätös.
1. AO = 2√6. 2. Käytä sinilausetta kolmioon AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Vastaus: 12.
Tehtävä 5. Suunnikkaalle, jonka sivut ovat 5√2 ja 7√2, diagonaalien välinen pienempi kulma on yhtä suuri kuin suunnikkaan pienempi kulma. Etsi diagonaalien pituuksien summa. Päätös.
Olkoon d 1, d 2 suunnikkaan lävistäjät ja diagonaalien ja suunnikkaan pienemmän kulman välinen kulma φ. 1. Lasketaan kaksi erilaista S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Saadaan yhtälö 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Käytämme suunnikkaan sivujen ja diagonaalien välistä suhdetta, kirjoitamme yhtälö (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Tehdään järjestelmä: (p 1 2 + d 2 2 = 296, Kerro järjestelmän toinen yhtälö kahdella ja lisää se ensimmäiseen. Saamme (d 1 + d 2) 2 = 576. Siten Id 1 + d 2 I = 24. Koska d 1, d 2 ovat suunnikkaan diagonaalien pituudet, niin d 1 + d 2 = 24. Vastaus: 24.
Tehtävä 6. Suunnikkaan sivut ovat 4 ja 6. Diagonaalien välinen terävä kulma on 45 o. Etsi suunnikkaan pinta-ala. Päätös.
1. Kolmiosta AOB kirjoitetaan kosinilauseen avulla suuntaviivan sivun ja diagonaalien välinen suhde. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (p 1/2) (p 2/2) √ 2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Samoin kirjoitetaan kolmion AOD relaatio. Otamme sen huomioon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Saamme yhtälön d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Meillä on järjestelmä Kun ensimmäinen vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan 2d 1 d 2 √2 = 80 tai d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Huomautus: Tässä ja edellisessä tehtävässä järjestelmää ei tarvitse ratkaista kokonaan, koska tässä tehtävässä tarvitsemme diagonaalien tulon alueen laskemiseen. Vastaus: 10. Tehtävä 7. Suunnikkaan pinta-ala on 96 ja sen sivut 8 ja 15. Etsi pienemmän lävistäjän neliö. Päätös.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Tehdään korvaus kaavassa. Saamme 96 = 8 15 sin VAD. Siten sin VAD = 4/5. 2. Etsi cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 HUONO = 1. cos 2 HUONO = 9/25. Tehtävän ehdon mukaan löydämme pienemmän diagonaalin pituuden. Diagonaali BD on pienempi, jos kulma BAD on terävä. Sitten cos BAD = 3/5. 3. Kolmiosta ABD saadaan kosinilauseen avulla diagonaalin BD neliö. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Vastaus: 145.
Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista geometriaongelma? blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
(
(Koska suorakulmaisessa kolmiossa 30 o:n kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta).
sen alueen tapoja.
(d 1 + d 2 = 140.
(p 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(p 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!
Todiste
Todiste
Todiste
Siksi AE = AM = 4 cm.Päätös.
(
(Koska suorakulmaisessa kolmiossa 30 o:n kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta).sen alueen tapoja.
(d 1 + d 2 = 140.
(p 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(p 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!
