Reaalilukujen jaon määritelmän mukaisesti laaditaan seuraava määritelmä.

Määritelmä. Kompleksiluvun a + bi jakaminen kompleksiluvulla a "+ b" i tarkoittaa sellaisen luvun x + yi löytämistä, joka jakajalla kerrottuna antaa osingon.

Saamme tietyn jakosäännön kirjoittamalla osamäärän murtolukuna ja kertomalla tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla, joka on konjugoitu nimittäjään: (a + bi): (c + di) =

Esimerkki 1. Etsi osamäärä (7 - 4i):(3 + 2i).

Kirjoitettuamme murto-osan (7 - 4i)/(3 + 2i) laajennamme sitä luvulla 3 - 2i konjugaatilla 3 + 2i:ksi. Saamme:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Edellisen kappaleen esimerkki 1 antaa tarkistuksen.

Esimerkki 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0,92i.

Sen todistamiseksi, että oikea puoli on todellakin osamäärä, riittää kertomalla se a" + b:llä". Saamme + bi.

Yhtälöiden ratkaiseminen monimutkaisilla muuttujilla

kompleksiluvun yhteenlaskumuuttuja

Tarkastellaan ensin yksinkertaisinta toisen asteen yhtälöä z2 = a, jossa a on annettu luku, z on tuntematon. Reaalilukujen joukossa tämä yhtälö on:

• 1) on yksi juuri z = 0, jos a = 0;
• 2) sillä on kaksi reaalijuurta z1,2 = jos a>0;
• 3) sillä ei ole todellisia juuria, jos a

Kompleksilukujen joukossa tällä yhtälöllä on aina juuri.

Tehtävä 1. Etsi yhtälön z2 = a kompleksijuuret, jos:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Koska i2 = -1, tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa z2 = i2 tai z2 - i2 = 0. Näin ollen, kun otetaan huomioon vasen puoli, saadaan (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - vastaan. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Koska i2 = -1, muunnetaan tämä yhtälö:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, mistä z1 = 5i, z2 = -5i. Vastaus:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Vastaus: z1,2 = i.

Yleensä yhtälö z2 = a, missä a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Käyttämällä yhtälöä i2 \u003d -1, on tapana kirjoittaa negatiivisten lukujen neliöjuuret seuraavasti: \u003d i, \u003d 2i, \u003d i.

Joten se määritellään mille tahansa reaaliluvulle a (positiivinen, negatiivinen ja nolla). Siksi millä tahansa toisen asteen yhtälöllä az2 + bz + c = 0, jossa a, b, c ovat reaalilukuja ja 0, on juuret. Nämä juuret löytyvät tunnetun kaavan mukaan:

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö z2-4z+13=0. Kaavan mukaan saadaan: z1,2 = = = 2 3i.

Huomaa, että tässä tehtävässä löydetyt juuret ovat konjugoituja: z1=2+3i ja z2=2-3i. Etsitään näiden juurien summa ja tulo: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Luku 4 on yhtälön z2-4z+13=0 2. kerroin päinvastaisella etumerkillä otettuna ja luku 13 on vapaa termi, eli tässä tapauksessa Vieta-lause pätee. Se pätee mille tahansa toisen asteen yhtälölle: jos z1 ja z2 ovat yhtälön az2+bz+c = 0 juuret, z1+z2 = , z1z2 = .

Tehtävä 3. Muodosta pelkistetty toisen asteen yhtälö, jossa on todellisia kertoimia, joiden juuri on z1=-1-2i.

Yhtälön toinen juuri z2 on annetun juuren z1 konjugaatti, eli z2=-1+2i. Vietan lauseella löydämme

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Vastaus on z2-2z+5=0.

Määritelmä:

Kompleksiluku = x – yi kutsutaan konjugaattiluvuksi suhteessa w = x + yi.

Esimerkkejä konjugoiduista kompleksiluvuista:

–1 + 5i ja -1-5 i, 2 – 3i ja 2+3 i.

Kahden kompleksiluvun jakamiseksi algebrallisessa muodossa on yleensä kätevää kertoa murto-osan osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla.

Esimerkki 4 Suorita jako: = [kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla] =

huomaa, että
on lauseke, ei luku, joten sitä ei voida pitää vastauksena.

Esimerkki 5 Suorita toiminnot:
=

=


=
.

Esimerkki 6 Suorita toiminnot:
= [kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvuilla, jotka on konjugoitu nimittäjän molempiin lukuihin] =

1. Kompleksiluvun neliöjuuren erottaminen algebrallisessa muodossa

Määritelmä. Monimutkainen luku
kutsutaan kompleksiluvun neliöjuureksi z, jos
.

Esimerkki 7 Laskea
.

Päätös. Anna olla
= x + yi, sitten

Ratkaisemme erikseen bikvadraattisen yhtälön:

Vastaus: (-3 + 4 i; 3 ‑ 4i}.

Toinen ratkaisu on mahdollinen kompleksiluvun trigonometrisen muodon käyttöönoton jälkeen (ks. s. 14).

1. Lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen kompleksiluvuille

Kompleksilukujen alalla pätevät samat kaavat lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi kuin reaalilukujen alalla.

Esimerkki 8 Ratkaise yhtälö: (-2 - i)z = 3 +i.

Esimerkki 9 Ratkaise yhtälö:
.

Päätös. Etsitään toisen asteen yhtälön juuret kaavalla:

Vastaus: (-2 + i; ‑2 –i} .

Esimerkki 10 Ratkaise yhtälö:
.

Päätös:

Vastaus: (1-2 i; 1 –i} .

Esimerkki 11 Ratkaise yhtälö:
.

Päätös:

Laskea
:

Muodostamme järjestelmän vertaamalla tasa-arvon vasemman ja oikean osan reaali- ja kuvitteelliset osat:

Vastaus:(2; i} .

Esimerkki 12 Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Päätös. Ilmaisemme muuttujan järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä x muuttujan kautta y:

Kerrotaan murto-osan osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla:

Avaa murtoluvun osoittajassa sulut ja anna vastaavat termit:

Korvaamme muuttujan saadun arvon x järjestelmän toiseen yhtälöön:

;

Vastaus: (1 + i; i}.

1. Kompleksilukujen trigonometrinen merkintä

   1. Kompleksilukujen geometrinen esitys

Kun tutkitaan kompleksilukujen ominaisuuksia, niiden geometrinen tulkinta on erittäin kätevää. Koska kompleksiluku määritellään reaalilukupariksi, niin jokainen kompleksiluku z = a + bi edustaa piste tasossa ( x, y) koordinaatteineen x = a ja y = b. Tällaista konetta kutsutaan monimutkainen taso, abskissa-akseli on todellinen (Re z), ja ordinaattinen akseli on kuvitteellinen akseli (Im z).

Esimerkki 13 Piirrä tasolle numeroita vastaavat pisteet:

R ratkaisu. Määrä z 1, reaaliosa on -2 ja imaginaariosa on 0. Siksi luvun kuva z 1 on piste (-2, 0) (kuva 1.1).

Määrä z 2, reaaliosa on 0 ja imaginaariosa on 3. Siksi luvun kuva z 2 on piste (0, 3). Määrä z 3 reaaliosa on 1 ja imaginaari on -4. Siksi numeron kuva z 3 on piste (1, -4).

Määrä z 4 reaaliosa on 1 ja imaginaariosa 1. Siksi luvun kuva z 4 on piste (1, 1).

Määrä z 5 reaaliosa on -3 ja imaginaari on -2. Siksi numeron kuva z 5 on piste (-3, -2).

Konjugaattiluvut esitetään pisteillä kompleksitasolla, jotka ovat symmetrisiä todellisen akselin Re suhteen z.