Jakaumafunktio sisältää täydelliset tiedot satunnaismuuttujasta. Käytännössä allokointifunktiota ei aina voida määrittää; joskus tällaista tyhjentävää tietoa ei vaadita. Osatieto satunnaismuuttujasta saadaan numeerisilla ominaisuuksilla, jotka tiedon tyypistä riippuen jaetaan seuraaviin ryhmiin.
1. Satunnaismuuttujan sijainnin ominaisuudet numeerisella akselilla (moodi Mo, mediaani Minä, odotettu arvo M(X)).
2. Satunnaismuuttujan hajoamisen ominaisuudet keskiarvon ympärillä (dispersio D(X), keskihajonta σ( X)).
3. Käyrän muodon ominaisuudet y = φ( x) (epäsymmetria Kuten, kurtosis esim).
Tarkastellaanpa tarkemmin jokaista näistä ominaisuuksista.
Odotettu arvo
Satunnaismuuttuja X ilmaisee jonkin keskiarvon, jonka ympärille kaikki mahdolliset arvot on ryhmitelty X. Diskreetille satunnaismuuttujalle, joka voi ottaa vain äärellisen määrän mahdollisia arvoja, matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen ja näiden arvojen todennäköisyyden tulojen summa:
. (2.4)
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle X, jolla on annettu jakautumistiheys φ( x) matemaattinen odotus on seuraava integraali: 
. (2.5)
Tässä oletetaan, että väärä integraali konvergoi absoluuttisesti, ts. olla olemassa.
Matemaattisen odotuksen ominaisuudet:
1. NEITI) = C, missä Kanssa = konst;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± MINUN), missä X ja Y– mahdolliset satunnaismuuttujat;
4. M(X∙Y)=M(X)∙MINUN), missä X ja Y ovat riippumattomia satunnaismuuttujia.
Kutsutaan kahta satunnaismuuttujaa riippumaton
, jos yhden niistä jakautumislaki ei riipu siitä, mitä mahdollisia arvoja toinen arvo on ottanut.
Muoti
diskreetti satunnaismuuttuja, merkitty Mo, sen todennäköisintä arvoa kutsutaan (kuva 2.3), ja jatkuvan satunnaismuuttujan moodiksi on arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin (kuva 2.4). 
Riisi. 2.3 Kuva. 2.4
Mediaani
jatkuva satunnaismuuttuja X sen arvoa Me kutsutaan sellaiseksi, jolle on yhtä todennäköistä, tuleeko satunnaismuuttuja pienemmäksi vai suuremmaksi Minä, eli
P(X < Minä) = P(X > Minä)
Mediaanin määritelmästä seuraa, että P(X<Minä) = 0,5, so. F (Minä) = 0,5. Geometrisesti mediaani voidaan tulkita abskissaksi, jossa ordinaatta φ( x) jakaa jakautumiskäyrän (kuva 2.5) rajoittaman alueen kahtia. Symmetrisen jakauman tapauksessa mediaani osuu yhteen moodin ja matemaattisen odotuksen kanssa (kuva 2.6). 
Riisi. 2.5 Kuva. 2.6
Dispersio.
Satunnaismuuttujan varianssi- tietyn satunnaismuuttujan leviämisen mitta, eli sen poikkeama matemaattisesta odotuksesta. Merkitty D[X] venäläisessä kirjallisuudessa ja (eng. varianssi) ulkomailla. Tilastoissa käytetään usein nimitystä tai. Varianssin neliöjuurta, joka on yhtä suuri kuin , kutsutaan keskihajonnaksi, keskihajonnaksi tai standardihajotukseksi. Keskihajonta mitataan samoissa yksiköissä kuin itse satunnaismuuttuja ja varianssi mitataan tämän yksikön neliöillä.
Chebyshevin epäyhtälöstä seuraa, että satunnaismuuttuja siirtyy matemaattisesta odotuksestaan enemmän kuin k keskihajonnat todennäköisyydellä alle 1/ k². Joten esimerkiksi vähintään 75 prosentissa tapauksista satunnaismuuttuja poistetaan keskiarvostaan enintään kahdella standardipoikkeamalla ja noin 89 prosentissa enintään kolmella.
dispersio
satunnaismuuttujaa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi neliöstä, jolla sen poikkeama matemaattisesta odotuksesta
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Satunnaismuuttujan varianssi X on kätevää laskea kaavalla:
a) erilliselle määrälle
; (2.6)
b) jatkuvalle satunnaismuuttujalle
j( X)d x – 2 . (2.7)
Dispersiolla on seuraavat ominaisuudet:
1. DC) = 0, missä Kanssa = konst;
2. DC× X) = C 2 ∙ D(X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), jos X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia.
Vakiopoikkeama
Satunnaismuuttuja X kutsutaan varianssin aritmeettiseksi juureksi, ts.
σ( X) = .
Huomaa, että mitta σ( X) on sama kuin itse satunnaismuuttujan mitta X, joten keskihajonta on kätevämpi sirontakarakterisointiin.
Satunnaismuuttujien tärkeimpien numeeristen ominaisuuksien yleistys on satunnaismuuttujan momenttien käsite.
K:nnen järjestyksen alkuhetki
α k Satunnaismuuttuja X kutsutaan määrän matemaattiseksi odotukseksi X k, eli α k = M(X k).
Ensimmäisen kertaluvun alkuhetki on satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.
K:nnen järjestyksen keskeinen hetki
μ k Satunnaismuuttuja X kutsutaan määrän matemaattiseksi odotukseksi ( X–M(X))k, eli μ k = M(X–M(X))k.
Toisen kertaluvun keskeinen hetki on satunnaismuuttujan varianssi.
Diskreetin satunnaismuuttujan aloitushetki ilmaistaan summalla α k= , ja keskimmäinen on summa μ k = 
missä p i = p(X=x i). Jatkuvan satunnaismuuttujan alku- ja keskimomentille voidaan saada seuraavat yhtälöt:
α k = , μ k = 
,
missä φ( x) on satunnaismuuttujan X jakautumistiheys.
Arvo Kuten= μ 3 / σ 3 kutsutaan epäsymmetriakerroin
.
Jos epäsymmetriakerroin on negatiivinen, tämä osoittaa suurta vaikutusta m 3 negatiivisten poikkeamien arvoon. Tässä tapauksessa jakautumiskäyrä (kuva 2.7) on tasaisempi vasemmalla puolella M(X). Jos kerroin As on positiivinen, mikä tarkoittaa, että positiivisten poikkeamien vaikutus vallitsee, niin jakautumiskäyrä (kuva 2.7) on litteämpi oikealla. Käytännössä epäsymmetrian etumerkin määrää jakaumakäyrän sijainti suhteessa moodiin (differentiaalifunktion maksimipiste). 
Riisi. 2.7
kurtosis
Ek kutsutaan määräksi
Ek\u003d μ 4 / σ 4 - 3.
Kysymys 24: Korrelaatio
Korrelaatio (korrelaatioriippuvuus) - kahden tai useamman satunnaismuuttujan (tai muuttujan, jota voidaan pitää sellaisina jollain hyväksyttävällä tarkkuudella) tilastollinen suhde. Tässä tapauksessa yhden tai useamman suuren arvojen muutoksiin liittyy systemaattinen muutos toisen tai muun suuren arvoissa. Kahden satunnaismuuttujan korrelaation matemaattinen mitta on korrelaatiosuhde, tai korrelaatiokerroin (tai ) . Jos yhden satunnaismuuttujan muutos ei johda säännölliseen muutokseen toisessa satunnaismuuttujassa, vaan johtaa muutokseen tämän satunnaismuuttujan toisessa tilastollisessa ominaisuudessa, tällaista yhteyttä ei pidetä korrelaationa, vaikka se on tilastollinen.
Ranskalainen paleontologi Georges Cuvier otti ensimmäistä kertaa tieteelliseen liikkeeseen termin "korrelaatio" 1700-luvulla. Hän kehitti elävien olentojen osien ja elinten "korrelaatiolain", jonka avulla on mahdollista palauttaa fossiilisen eläimen ulkonäkö, jolla on käytettävissään vain osa sen jäännöksistä. Tilastoissa sanaa "korrelaatio" käytti ensimmäisen kerran englantilainen biologi ja tilastotieteilijä Francis Galton 1800-luvun lopulla.
Jotkut korrelaatiokertoimien tyypit voivat olla positiivisia tai negatiivisia (on myös mahdollista, että tilastollista yhteyttä ei ole - esimerkiksi riippumattomille satunnaismuuttujille). Jos oletetaan, että muuttujien arvoille annetaan tiukka järjestyssuhde, niin negatiivinen korrelaatio- korrelaatio, jossa yhden muuttujan kasvu liittyy toisen muuttujan laskuun, kun taas korrelaatiokerroin voi olla negatiivinen; positiivinen korrelaatio sellaisissa olosuhteissa korrelaatio, jossa yhden muuttujan kasvu liittyy toisen muuttujan kasvuun, kun taas korrelaatiokerroin voi olla positiivinen.
Todennäköisyysteoria on matematiikan erityinen haara, jota opiskelevat vain korkeakoulujen opiskelijat. Rakastatko laskelmia ja kaavoja? Etkö pelkää mahdollisuuksia tutustua normaalijakaumaan, ensemblen entropiaan, matemaattiseen odotukseen ja diskreetin satunnaismuuttujan varianssiin? Sitten tämä aihe kiinnostaa sinua suuresti. Tutustutaan joihinkin tämän tieteen osan tärkeimpiin peruskäsitteisiin.
Muistetaan perusasiat
Vaikka muistaisitkin yksinkertaisimmat todennäköisyysteorian käsitteet, älä unohda artikkelin ensimmäisiä kappaleita. Tosiasia on, että ilman selkeää perusasioiden ymmärtämistä et voi työskennellä alla käsiteltyjen kaavojen kanssa.
On siis jokin satunnainen tapahtuma, jokin kokeilu. Tehtyjen toimien seurauksena voimme saada useita tuloksia - jotkut niistä ovat yleisempiä, toiset vähemmän yleisiä. Tapahtuman todennäköisyys on yhden tyyppisten tosiasiallisesti vastaanotettujen tulosten lukumäärän suhde mahdollisten tulosten kokonaismäärään. Vain kun tiedät tämän käsitteen klassisen määritelmän, voit alkaa tutkia jatkuvien satunnaismuuttujien matemaattista odotusta ja hajontaa.
Keskiverto
Koulussa, matematiikan tunneilla, aloit työskennellä aritmeettisen keskiarvon kanssa. Tätä käsitettä käytetään laajalti todennäköisyysteoriassa, joten sitä ei voida jättää huomiotta. Meille tällä hetkellä pääasia on, että kohtaamme sen satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ja varianssin kaavoissa.
Meillä on lukujono ja haluamme löytää aritmeettisen keskiarvon. Meiltä vaaditaan vain summaamalla kaikki saatavilla oleva ja jakaminen sekvenssin elementtien lukumäärällä. Olkoon lukuja 1 - 9. Alkioiden summa on 45 ja jaamme tämän arvon 9:llä. Vastaus: - 5.
Dispersio
Tieteellisesti varianssi on saatujen piirrearvojen aritmeettisesta keskiarvosta poikkeamien keskimääräinen neliö. Yksi on merkitty isolla latinalaiskirjaimella D. Mitä sen laskemiseen tarvitaan? Jokaiselle sekvenssin elementille lasketaan erotuksen käytettävissä olevan luvun ja aritmeettisen keskiarvon välillä ja neliötetään se. Arvoja tulee olemaan tarkalleen niin monta kuin voi olla tuloksia harkitsemamme tapahtumalla. Seuraavaksi teemme yhteenvedon kaikesta vastaanotetusta ja jaamme sekvenssin elementtien lukumäärällä. Jos meillä on viisi mahdollista tulosta, jaa se viidellä.
Varianssilla on myös ominaisuuksia, jotka sinun tulee muistaa, jotta voit soveltaa sitä tehtäviä ratkaistaessa. Esimerkiksi, jos satunnaismuuttujaa suurennetaan X kertaa, varianssi kasvaa X kertaa neliö (eli X*X). Se ei ole koskaan pienempi kuin nolla, eikä se riipu arvojen siirtämisestä yhtä suurella arvolla ylös tai alas. Myös riippumattomissa kokeissa summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa.
Nyt on ehdottomasti tarkasteltava esimerkkejä diskreetin satunnaismuuttujan varianssista ja matemaattisesta odotuksesta.
Oletetaan, että suoritamme 21 koetta ja saamme 7 erilaista tulosta. Tarkastimme kutakin niistä 1, 2, 2, 3, 4, 4 ja 5 kertaa. Mikä tulee olemaan varianssi?
Ensin lasketaan aritmeettinen keskiarvo: elementtien summa on tietysti 21. Jaamme sen 7:llä, jolloin saadaan 3. Nyt vähennetään 3 jokaisesta alkuperäisen sekvenssin luvusta, neliötetään jokainen arvo ja lasketaan tulokset yhteen. . Osoittautuu, että 12. Nyt meidän on jaettava luku elementtien lukumäärällä, ja näyttää siltä, että siinä kaikki. Mutta siinä on saalis! Keskustellaan siitä.
Riippuvuus kokeiden määrästä
Osoittautuu, että varianssia laskettaessa nimittäjä voi olla toinen kahdesta numerosta: joko N tai N-1. Tässä N on suoritettujen kokeiden lukumäärä tai sekvenssin elementtien lukumäärä (joka on olennaisesti sama asia). Mistä se riippuu?
Jos testien lukumäärä mitataan sadoissa, niin nimittäjään on laitettava N. Jos yksiköissä, niin N-1. Tiedemiehet päättivät piirtää rajan melko symbolisesti: nykyään se kulkee numeroa 30 pitkin. Jos teimme alle 30 koetta, jaamme määrän N-1:llä ja jos enemmän, niin N:llä.
Tehtävä
Palataan esimerkkiimme varianssi- ja odotusongelman ratkaisemisesta. Saimme väliluvun 12, joka piti jakaa N:llä tai N-1:llä. Koska suoritimme 21 koetta, mikä on vähemmän kuin 30, valitsemme toisen vaihtoehdon. Joten vastaus on: varianssi on 12 / 2 = 2.
Odotettu arvo
Siirrytään toiseen käsitteeseen, jota meidän on tarkasteltava tässä artikkelissa. Matemaattinen odotus on tulos, kun kaikki mahdolliset tulokset kerrotaan vastaavilla todennäköisyyksillä. On tärkeää ymmärtää, että saatu arvo, samoin kuin varianssin laskennan tulos, saadaan vain kerran koko tehtävälle riippumatta siitä, kuinka monta tulosta siinä otetaan huomioon.
Matemaattinen odotuskaava on melko yksinkertainen: otamme tuloksen, kerromme sen todennäköisyydellä, lisäämme saman toiselle, kolmannelle tulokselle jne. Kaikki tähän käsitteeseen liittyvä on helppo laskea. Esimerkiksi matemaattisten odotusten summa on yhtä suuri kuin summan matemaattinen odotus. Sama pätee työhön. Kaikki todennäköisyysteorian suuret eivät salli näin yksinkertaisten operaatioiden suorittamista. Otetaan tehtävä ja lasketaan kahden tutkimamme käsitteen arvo kerralla. Lisäksi teoria häiritsi meitä - on aika harjoitella.
Vielä yksi esimerkki
Suoritimme 50 koetta ja saimme 10 erilaista tulosta - numerot 0 - 9 - joita esiintyi vaihtelevissa prosenteissa. Nämä ovat vastaavasti: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Muista, että saadaksesi todennäköisyydet, sinun on jaettava prosenttiarvot 100:lla. Siten saamme 0,02; 0.1 jne. Esitetään esimerkki satunnaismuuttujan varianssin ja matemaattisen odotuksen ongelman ratkaisemisesta.
Laskemme aritmeettisen keskiarvon peruskoulusta muistamallamme kaavalla: 50/10 = 5.
Käännetään nyt todennäköisyydet tulosten lukumääräksi "palasina", jotta laskeminen olisi helpompaa. Saamme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Vähennä jokaisesta saadusta arvosta aritmeettinen keskiarvo, jonka jälkeen neliöimme jokaisen saadun tuloksen. Katso, miten tämä tehdään esimerkin ensimmäisellä elementillä: 1 - 5 = (-4). Lisäksi: (-4) * (-4) = 16. Muille arvoille, tee nämä toiminnot itse. Jos teit kaiken oikein, kaiken lisäämisen jälkeen saat 90.
Jatketaan varianssin ja keskiarvon laskemista jakamalla 90 N:llä. Miksi valitsemme N emmekä N-1? Se on totta, koska tehtyjen kokeiden määrä ylittää 30. Joten: 90/10 = 9. Saimme dispersion. Jos saat toisen numeron, älä ole epätoivoinen. Todennäköisesti teit banaalin virheen laskelmissa. Tarkista, mitä kirjoitit, niin varmasti kaikki loksahtaa paikoilleen.
Lopuksi muistetaan matemaattinen odotuskaava. Emme anna kaikkia laskelmia, kirjoitamme vain vastauksen, jonka voit tarkistaa suoritettuasi kaikki vaaditut toimenpiteet. Odotettu arvo on 5,48. Muistamme vain, kuinka operaatiot suoritetaan käyttämällä esimerkkiä ensimmäisistä elementeistä: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ja niin edelleen. Kuten näet, me yksinkertaisesti kerromme tuloksen arvon sen todennäköisyydellä.
Poikkeama
Toinen dispersioon ja matemaattiseen odotukseen läheisesti liittyvä käsite on keskihajonta. Sitä merkitään joko latinalaisilla kirjaimilla sd tai kreikkalaisilla pienillä kirjaimilla "sigma". Tämä konsepti osoittaa, kuinka arvot keskimäärin poikkeavat keskeisestä ominaisuudesta. Sen arvon löytämiseksi sinun on laskettava varianssin neliöjuuri.
Jos piirrät normaalijakauman ja haluat nähdä neliöidyn poikkeaman suoraan siinä, tämä voidaan tehdä useassa vaiheessa. Ota puolet kuvasta tilan vasemmalle tai oikealle puolelle (keskiarvo), piirrä kohtisuora vaaka-akseliin nähden niin, että tuloksena olevien lukujen alueet ovat yhtä suuret. Jakauman keskikohdan ja tuloksena olevan vaaka-akselin projektion välisen segmentin arvo on keskihajonta.
Ohjelmisto
Kuten kaavojen kuvauksista ja esitetyistä esimerkeistä ilmenee, varianssin ja matemaattisen odotuksen laskeminen ei ole aritmeettiselta kannalta helpoin toimenpide. Jotta ei tuhlata aikaa, on järkevää käyttää korkea-asteen koulutuksessa käytettyä ohjelmaa - sitä kutsutaan nimellä "R". Siinä on toimintoja, joiden avulla voit laskea arvoja monille käsitteille tilastoista ja todennäköisyysteoriasta.
Voit esimerkiksi määrittää arvojen vektorin. Tämä tehdään seuraavasti: vektori<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Lopulta
Dispersio ja matemaattinen odotus ovat niitä, joita ilman on vaikea laskea mitään tulevaisuudessa. Yliopistojen luentojen pääkurssilla ne huomioidaan jo aineen opiskelun ensimmäisinä kuukausina. Juuri näiden yksinkertaisten käsitteiden ymmärtämättömyyden ja kyvyttömyyden vuoksi laskea niitä, monet opiskelijat alkavat välittömästi jäädä jälkeen ohjelmasta ja saavat myöhemmin huonoja arvosanoja istunnossa, mikä vie heiltä stipendejä.
Harjoittele vähintään yksi viikko puoli tuntia päivässä ja ratkaise tehtäviä, jotka ovat samanlaisia kuin tässä artikkelissa. Sitten missä tahansa todennäköisyysteoriakokeessa selviät esimerkeistä ilman vieraita vinkkejä ja huijauslehtiä.
Jokainen yksittäinen arvo määräytyy täysin sen jakautumisfunktion mukaan. Käytännön ongelmien ratkaisemiseksi riittää myös useiden numeeristen ominaisuuksien tunteminen, joiden ansiosta on mahdollista esittää satunnaismuuttujan pääpiirteet tiiviissä muodossa.
Nämä määrät ovat ensisijaisesti odotettu arvo ja dispersio .
Odotettu arvo- satunnaismuuttujan keskiarvo todennäköisyysteoriassa. Nimetty nimellä .
Yksinkertaisimmalla tavalla satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X(w), löytyy muodossa kiinteäLebesgue todennäköisyysmittauksen suhteen R alkuperäinen todennäköisyysavaruus
Voit myös löytää arvon as:n matemaattisen odotuksen Lebesguen integraali alkaen X todennäköisyysjakauman mukaan R X määriä X:
missä on kaikkien mahdollisten arvojen joukko X.
Satunnaismuuttujan funktioiden matemaattinen odotus X tapahtuu jakelun kautta R X. esimerkiksi, jos X- satunnaismuuttuja, jonka arvot ovat ja f(x)- yksiselitteinen Boreltoiminto X , sitten:
Jos F(x)- jakelutoiminto X, silloin matemaattinen odotus on edustava kiinteäLebesgue - Stieltjes (tai Riemann - Stieltjes):
kun taas integroitavuus X missä mielessä ( * ) vastaa integraalin äärellisyyttä
Erityistapauksissa, jos X on diskreetti jakauma todennäköisillä arvoilla x k, k = 1, 2, . , ja todennäköisyydet sitten
jos X on ehdottoman jatkuva jakauma todennäköisyystiheydellä p(x), sitten
tässä tapauksessa matemaattisen odotuksen olemassaolo vastaa vastaavan sarjan tai integraalin absoluuttista konvergenssia.
Satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ominaisuudet.
- Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tämä arvo:
C- vakio;
- M=C.M[X]
- Satunnaisesti otettujen arvojen summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin heidän matemaattisten odotustensa summa:
- Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus = heidän matemaattisten odotustensa tulo:
M=M[X]+M[Y]
jos X ja Y riippumaton.
jos sarja lähentyy:
Algoritmi matemaattisen odotuksen laskemiseksi.
Diskreettien satunnaismuuttujien ominaisuudet: kaikki niiden arvot voidaan numeroida uudelleen luonnollisilla luvuilla; rinnastaa jokainen arvo nollasta poikkeavaan todennäköisyyteen.
1. Kerro parit vuorotellen: x i päällä pi.
2. Lisää kunkin parin tulo x i p i.
Esimerkiksi, varten n = 4 :
Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio vaiheittain se kasvaa äkillisesti niissä kohdissa, joiden todennäköisyydet ovat positiivisia.
Esimerkki: Etsi matemaattinen odotus kaavan mukaan.
Satunnaismuuttujan X matemaattinen odotusarvo (keskiarvo) diskreetillä todennäköisyysavaruudella on luku m =M[X]=∑x i p i , jos sarja konvergoi absoluuttisesti.
Palvelutehtävä. Verkkopalvelun avulla lasketaan matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta(katso esimerkki). Lisäksi piirretään jakaumafunktion F(X) kuvaaja.
Satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ominaisuudet
- Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itsensä: M[C]=C , C on vakio;
- M=C M[X]
- Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: M=M[X]+M[Y]
- Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: M=M[X] M[Y] jos X ja Y ovat riippumattomia.
Dispersion ominaisuudet
- Vakioarvon dispersio on nolla: D(c)=0.
- Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkin alta neliöimällä se: D(k*X)= k 2 D(X).
- Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippuvaisia: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Varianssille laskennallinen kaava on kelvollinen:
D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2
Esimerkki. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan X ja Y matemaattiset odotukset ja varianssit tunnetaan: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Laske satunnaismuuttujan Z=9X-8Y+7 matemaattinen odotus ja varianssi.
Päätös. Matemaattisen odotuksen ominaisuuksien perusteella: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersioominaisuuksien perusteella: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmi matemaattisen odotuksen laskemiseksi
Diskreettien satunnaismuuttujien ominaisuudet: kaikki niiden arvot voidaan numeroida uudelleen luonnollisilla luvuilla; Määritä jokaiselle arvolle nollasta poikkeava todennäköisyys.- Kerro parit yksitellen: x i luvulla p i .
- Lisäämme jokaisen parin x i p i tulon.
Esimerkiksi n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Esimerkki #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matemaattinen odotus saadaan kaavasta m = ∑x i p i .
Matemaattinen odotus M[X].
M[x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Dispersio saadaan kaavasta d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersio D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Keskihajonta σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Esimerkki #2. Diskreetillä satunnaismuuttujalla on seuraava jakaumasarja:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | a | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Päätös. Arvo a saadaan suhteesta: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 tai 0,24 = 3 a , josta a = 0,08
Esimerkki #3. Määritä diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki, jos sen varianssi tunnetaan, ja x 1
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x) = 12,96
Päätös.
Tässä sinun on tehtävä kaava varianssin d (x) löytämiseksi:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
missä odotus m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Tietojemme vuoksi
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
tai -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Näin ollen on tarpeen löytää yhtälön juuret, ja niitä on kaksi.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Valitsemme sen, joka täyttää ehdon x 1
Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki
x 1 = 6; x2 = 9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
Matemaattinen odotus ja varianssi ovat yleisimmin käytetyt satunnaismuuttujan numeeriset ominaisuudet. Ne kuvaavat jakauman tärkeimpiä piirteitä: sen sijaintia ja hajontaastetta. Monissa käytännön ongelmissa täydellistä, tyhjentävää kuvausta satunnaismuuttujasta - jakauman laista - ei joko voida saada ollenkaan tai sitä ei tarvita ollenkaan. Näissä tapauksissa ne rajoittuvat satunnaismuuttujan likimääräiseen kuvaukseen numeeristen ominaisuuksien avulla.
Matemaattista odotusta kutsutaan usein yksinkertaisesti satunnaismuuttujan keskiarvoksi. Satunnaismuuttujan dispersio on dispersion ominaisuus, satunnaismuuttujan hajonta sen matemaattisen odotuksen ympärille.
Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus
Lähestytään matemaattisen odotuksen käsitettä lähtemällä ensin diskreetin satunnaismuuttujan jakauman mekaanisesta tulkinnasta. Olkoon yksikkömassa jakautunut x-akselin pisteiden kesken x1 , x 2 , ..., x n, ja jokaisella materiaalipisteellä on sitä vastaava massa p1 , p 2 , ..., p n. On valittava yksi piste x-akselilta, joka luonnehtii koko materiaalipistejärjestelmän sijaintia, ottaen huomioon niiden massat. On luonnollista ottaa materiaalipistejärjestelmän massakeskipiste sellaiseksi pisteeksi. Tämä on satunnaismuuttujan painotettu keskiarvo X, jossa kunkin pisteen abskissa xi tulee "painolla", joka on yhtä suuri kuin vastaava todennäköisyys. Näin saadun satunnaismuuttujan keskiarvo X kutsutaan sen matemaattiseksi odotukseksi.
Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on kaikkien sen mahdollisten arvojen ja näiden arvojen todennäköisyyksien tulojen summa:
Esimerkki 1 Järjestänyt win-win-arvontaan. Voittoja on 1000, joista 400 kukin on 10 ruplaa. 300-20 ruplaa 200-100 ruplaa kukin. ja 100-200 ruplaa kukin. Mikä on yhden lipun ostavan henkilön keskimääräinen voitto?
Päätös. Keskimääräinen voitto saadaan, jos voittojen kokonaismäärä, joka on 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 ruplaa, jaetaan 1000:lla (voittojen kokonaismäärä). Sitten saamme 50 000/1000 = 50 ruplaa. Mutta lauseke keskimääräisen vahvistuksen laskemiseksi voidaan esittää myös seuraavassa muodossa:
Toisaalta näissä olosuhteissa voittojen määrä on satunnaismuuttuja, joka voi ottaa arvot 10, 20, 100 ja 200 ruplaa. todennäköisyyksillä 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Tästä syystä odotettu keskimääräinen voitto on yhtä suuri kuin voittojen koon ja niiden saamisen todennäköisyyden tulojen summa.
Esimerkki 2 Kustantaja päätti julkaista uuden kirjan. Hän aikoo myydä kirjan 280 ruplalla, josta 200 annetaan hänelle, 50 kirjakaupalle ja 30 kirjailijalle. Taulukossa on tietoa kirjan julkaisukustannuksista ja todennäköisyydestä myydä tietty määrä kirjan kappaleita.
Selvitä julkaisijan odotettu tuotto.
Päätös. Satunnaismuuttuja "voitto" on yhtä suuri kuin myyntitulojen ja kustannusten välinen erotus. Esimerkiksi, jos kirjaa myydään 500 kappaletta, myyntitulot ovat 200 * 500 = 100 000 ja julkaisukustannukset ovat 225 000 ruplaa. Näin kustantaja kohtaa 125 000 ruplan tappiota. Seuraavassa taulukossa on yhteenveto satunnaismuuttujan - voitto - odotetuista arvoista:
| Määrä | Voitto xi | Todennäköisyys pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Kaikki yhteensä: | 1,00 | 25000 |
Siten saamme julkaisijan tuoton matemaattisen odotuksen:
.
Esimerkki 3 Mahdollisuus lyödä yhdellä laukauksella p= 0,2. Määritä niiden kuorien kulutus, jotka antavat matemaattisen odotuksen osumien lukumäärästä, joka on yhtä suuri kuin 5.
Päätös. Ilmaisemme saman odotuskaavan, jota olemme käyttäneet tähän asti x- kuorien kulutus:
.
Esimerkki 4 Määritä satunnaismuuttujan matemaattinen odotus x osumien määrä kolmella laukauksella, jos todennäköisyys osua jokaisella laukauksella p = 0,4 .
Vihje: etsi satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyys arvolla Bernoullin kaava .
Odotusominaisuudet
Harkitse matemaattisen odotuksen ominaisuuksia.
Kiinteistö 1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tämä vakio:
Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois odotusmerkistä:
Kiinteistö 3. Satunnaismuuttujien summan (eron) matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa (ero):
Kiinteistö 4. Satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo:
Kiinteistö 5. Jos kaikki satunnaismuuttujan arvot X vähennä (lisää) samalla numerolla Kanssa, niin sen matemaattinen odotus pienenee (nousee) samalla luvulla:
Kun ei voi rajoittua vain matemaattisiin odotuksiin
Useimmissa tapauksissa vain matemaattinen odotus ei pysty kuvaamaan satunnaismuuttujaa riittävästi.
Olkoon satunnaismuuttujat X ja Y annetaan seuraavilla jakelulailla:
| Merkitys X | Todennäköisyys |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Merkitys Y | Todennäköisyys |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Näiden suureiden matemaattiset odotukset ovat samat - yhtä kuin nolla:
Niiden jakautuminen on kuitenkin erilainen. Satunnainen arvo X voi ottaa vain arvoja, jotka poikkeavat vähän matemaattisesta odotuksesta ja satunnaismuuttujasta Y voi ottaa arvoja, jotka poikkeavat merkittävästi matemaattisista odotuksista. Samankaltainen esimerkki: keskipalkan perusteella ei voida arvioida korkea- ja matalapalkkaisten osuutta. Toisin sanoen matemaattisella odotuksella ei voi arvioida, mitkä poikkeamat siitä ovat, ainakin keskimäärin, mahdollisia. Tätä varten sinun on löydettävä satunnaismuuttujan varianssi.
Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio
dispersio diskreetti satunnaismuuttuja X kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi neliön poikkeamasta matemaattisesta odotuksesta:
Satunnaismuuttujan keskihajonta X on sen varianssin neliöjuuren aritmeettinen arvo:
.
Esimerkki 5 Laske satunnaismuuttujien varianssit ja keskihajonnat X ja Y, jonka jakautumislait on annettu yllä olevissa taulukoissa.
Päätös. Satunnaismuuttujien matemaattiset odotukset X ja Y, kuten yllä todettiin, ovat nolla. Dispersiokaavan mukaan E(X)=E(y)=0 saamme:
Sitten satunnaismuuttujien keskihajonnat X ja Y muodostavat
.
Näin ollen samoilla matemaattisilla odotuksilla satunnaismuuttujan varianssi X hyvin pieni ja satunnainen Y- merkittävä. Tämä johtuu niiden jakautumisen eroista.
Esimerkki 6 Sijoittajalla on 4 vaihtoehtoista sijoitushanketta. Taulukkoon on koottu tiedot näiden projektien odotetusta tuotosta vastaavalla todennäköisyydellä.
| Projekti 1 | Projekti 2 | Projekti 3 | Projekti 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Etsi kullekin vaihtoehdolle matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.
Päätös. Osoitetaan, kuinka nämä suuret lasketaan kolmannelle vaihtoehdolle:
Taulukossa on yhteenveto löydetyistä arvoista kaikille vaihtoehdoille.
Kaikilla vaihtoehdoilla on samat matemaattiset odotukset. Tämä tarkoittaa, että pitkällä aikavälillä kaikilla on samat tulot. Keskihajonta voidaan tulkita riskin mittana - mitä suurempi se on, sitä suurempi on sijoituksen riski. Sijoittaja, joka ei halua suurta riskiä, valitsee projektin 1, koska sillä on pienin keskihajonta (0). Jos sijoittaja pitää parempana riskiä ja korkeaa tuottoa lyhyessä ajassa, hän valitsee projektin, jolla on suurin keskihajonta - projekti 4.
Dispersion ominaisuudet
Esitetään dispersion ominaisuudet.
Kiinteistö 1. Vakioarvon hajonta on nolla:
Kiinteistö 2. Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkistä neliöimällä se:
.
Kiinteistö 3. Satunnaismuuttujan varianssi on yhtä suuri kuin tämän arvon neliön matemaattinen odotus, josta vähennetään itse arvon matemaattisen odotuksen neliö:
,
missä 
.
Kiinteistö 4. Satunnaismuuttujien summan (eron) varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa (ero):
Esimerkki 7 Tiedetään, että diskreetti satunnaismuuttuja X ottaa vain kaksi arvoa: −3 ja 7. Lisäksi tunnetaan matemaattinen odotus: E(X) = 4. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan varianssi.
Päätös. Merkitse p todennäköisyys, jolla satunnaismuuttuja saa arvon x1 = −3 . Sitten arvon todennäköisyys x2 = 7 tulee olemaan 1 − p. Johdetaan yhtälö matemaattiselle odotukselle:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
mistä saamme todennäköisyydet: p= 0,3 ja 1 − p = 0,7 .
Satunnaismuuttujan jakautumislaki:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Laskemme tämän satunnaismuuttujan varianssin käyttämällä varianssin ominaisuuden 3 kaavaa:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Etsi itse satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja katso sitten ratkaisu
Esimerkki 8 Diskreetti satunnaismuuttuja X ottaa vain kaksi arvoa. Se ottaa suuremman arvon 3 todennäköisyydellä 0,4. Lisäksi satunnaismuuttujan varianssi tunnetaan D(X) = 6. Etsi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.
Esimerkki 9 Urna sisältää 6 valkoista ja 4 mustaa palloa. Urnasta otetaan 3 palloa. Valkoisten pallojen lukumäärä vedettyjen pallojen joukossa on diskreetti satunnaismuuttuja X. Etsi tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja varianssi.
Päätös. Satunnainen arvo X voi ottaa arvot 0, 1, 2, 3. Vastaavat todennäköisyydet voidaan laskea todennäköisyyksien kertolasku sääntö. Satunnaismuuttujan jakautumislaki:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Tästä johtuu tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Tietyn satunnaismuuttujan varianssi on:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja dispersio
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle matemaattisen odotuksen mekaaninen tulkinta säilyttää saman merkityksen: massakeskipiste yksikkömassalle, joka jakautuu jatkuvasti x-akselille tiheydellä f(x). Toisin kuin diskreetti satunnaismuuttuja, jonka funktion argumentti xi muuttuu äkillisesti, jatkuvan satunnaismuuttujan argumentti muuttuu jatkuvasti. Mutta jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus liittyy myös sen keskiarvoon.
Jotta voit löytää jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ja varianssin, sinun on löydettävä määrätyt integraalit . Jos jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio annetaan, se tulee suoraan integrandiin. Jos on annettu todennäköisyysjakaumafunktio, niin sen eriyttämisellä täytyy löytää tiheysfunktio.
Jatkuvan satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen aritmeettista keskiarvoa kutsutaan sen matemaattinen odotus, merkitty tai .
