Harkitse lentokonetta p ja sen leikkaava viiva . Päästää MUTTA on mielivaltainen piste avaruudessa. Piirrä viiva tämän pisteen läpi , yhdensuuntainen linjan kanssa . Päästää . Piste kutsutaan pisteprojektioksi MUTTA lentokoneeseen p rinnakkaisessa suunnittelussa tiettyä linjaa pitkin . Lentokone p , jolle avaruuden pisteet projisoidaan, kutsutaan projektiotasoksi.

p - projektiotaso;

- suora suunnittelu; ;

; ; ;

Ortogonaalinen muotoilu on rinnakkaissuunnittelun erikoistapaus. Ortogonaalinen projektio on yhdensuuntainen projektio, jossa projektioviiva on kohtisuorassa projektiotasoon nähden. Ortogonaalista projektiota käytetään laajalti teknisessä piirustuksessa, jossa kuva heijastetaan kolmelle tasolle - vaakasuoralle ja kahdelle pystysuoralle.

Määritelmä: Pisteen ortografinen projektio M lentokoneeseen p nimeltään tukikohta M 1 kohtisuorassa MM 1, laskettu pisteestä M lentokoneeseen p.

Nimitys: , , .

Määritelmä: Kuvan ortografinen projektio F lentokoneeseen p on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat ortogonaalisia projektioita kuvion pistejoukosta F lentokoneeseen p.

Ortogonaalisella suunnittelulla, rinnakkaisen suunnittelun erikoistapauksena, on samat ominaisuudet:

p - projektiotaso;

- suora suunnittelu; ;

1) ;

2) , .

1. Yhdensuuntaisten viivojen projektiot ovat yhdensuuntaisia.

LATAAN KUVAN PROJEKTIOALUE

Lause: Tasaisen monikulmion projektion pinta-ala tietylle tasolle on yhtä suuri kuin projisoidun monikulmion pinta-ala kerrottuna monikulmion tason ja projektiotason välisen kulman kosinilla.

Vaihe 1: Projisoitu kuva on kolmio ABC, jonka sivu AC on projektiotasolla a (samansuuntainen projektiotason a kanssa).

Annettu:

Todistaa:

Todiste:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan;

ВD - korkeus; 1 D - korkeus;

5. - dihedral-kulman lineaarinen kulma;

6. ; ; ; ;

Vaihe 2: Projisoitu kuvio on kolmio ABC, jonka yksikään sivu ei ole projektiotasolla a eikä ole yhdensuuntainen sen kanssa.

Annettu:

Todistaa:

Todiste:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Vaihe 1);

5. ; ; ;

(Vaihe 1);

Vaihe: Suunniteltu hahmo on mielivaltainen monikulmio.

Todiste:

Monikulmio jaetaan yhdestä kärjestä vedetyillä diagonaaleilla äärelliseen määrään kolmioita, joista jokaiselle lause on tosi. Siksi lause pätee myös kaikkien niiden kolmioiden pinta-alojen summalle, joiden tasot muodostavat saman kulman projektiotason kanssa.

Kommentti: Todistettu lause pätee mille tahansa tasaiselle kuviolle, jota rajoittaa suljettu käyrä.

Harjoitukset:

1. Etsi pinta-ala kolmiosta, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden, jos sen projektio on säännöllinen kolmio, jonka sivu on a.

2. Etsi pinta-ala kolmiosta, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden kulmassa, jos sen projektio on tasakylkinen kolmio, jonka sivu on 10 cm ja kanta 12 cm.

3. Etsi pinta-ala kolmiosta, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden, jos sen projektio on kolmio, jonka sivut ovat 9, 10 ja 17 cm.

4. Laske puolisuunnikkaan pinta-ala, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden, jos sen projektio on tasakylkinen puolisuunnikas, jonka suurempi kanta on 44 cm, sivu on 17 cm ja lävistäjä on 39 cm.

5. Laske säännöllisen kuusikulmion projektioala, jonka sivu on 8 cm ja jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden.

6. Rombi, jonka sivu on 12 cm ja terävä kulma, muodostaa kulman tietyn tason kanssa. Laske rombin projektion pinta-ala tällä tasolla.

7. Rombi, jonka sivu on 20 cm ja lävistäjä 32 cm, muodostaa kulman tietyn tason kanssa. Laske rombin projektion pinta-ala tällä tasolla.

8. Katoksen projektio vaakatasossa on suorakulmio, jonka sivut ja . Selvitä kuomun pinta-ala, jos sivupinnat ovat yhtä suuret suorakulmiot, jotka ovat vinossa vaakatasoon nähden, ja kuomun keskiosa on projektiotason suuntainen neliö.

11. Harjoituksia aiheesta "Liivit ja tasot avaruudessa":

Kolmion sivut ovat 20 cm, 65 cm, 75 cm. Kolmion suuremman kulman kärjestä sen tasoon vedetään kohtisuora, jonka suuruus on 60 cm. Laske etäisyys kohtisuoran päistä suurempaan sivuun kolmiosta.

2. Tasosta cm:n etäisyydellä erotetusta pisteestä piirretään kaksi vinoa, jotka muodostavat kulmia tason kanssa, jotka ovat yhtä suuria kuin , ja keskenään - suoran kulman. Etsi kaltevan tason leikkauspisteiden välinen etäisyys.

3. Säännöllisen kolmion sivu on 12 cm. Piste M valitaan siten, että pisteen M ja kolmion kaikki kärjet yhdistävät janat muodostavat kulmia kolmion tason kanssa. Etsi etäisyys pisteestä M kolmion pisteisiin ja sivuihin.

4. Taso piirretään neliön sivun läpi kulmassa neliön lävistäjään nähden. Etsi kulmat, joissa neliön kaksi sivua ovat vinossa tasoon nähden.

5. Tasakylkinen suorakulmaisen kolmion jalka on kalteva hypotenuusan läpi kulkevaan tasoon a kulmassa. Todista, että tason a ja kolmion tason välinen kulma on .

6. Kolmioiden ABC ja DBC tasojen välinen dihedral kulma on . Etsi AD, jos AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Ohjauskysymykset aiheesta "Linjat ja tasot avaruudessa"

1. Listaa stereometrian peruskäsitteet. Muotoile stereometrian aksioomat.

2. Todista aksioomien seuraukset.

3. Mikä on kahden suoran suhteellinen sijainti avaruudessa? Määrittele leikkaavat, yhdensuuntaiset, leikkaavat suorat.

4. Todista leikkaavien suorien kriteeri.

5. Mikä on suoran ja tason suhteellinen sijainti? Määritä leikkaavat, yhdensuuntaiset suorat ja tasot.

6. Todista suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkki.

7. Mikä on näiden kahden tason suhteellinen sijainti?

8. Määrittele yhdensuuntaiset tasot. Todista kahden tason yhdensuuntaisuuden kriteeri. Muotoile lauseita yhdensuuntaisista tasoista.

9. Määritä viivojen välinen kulma.

10. Todista suoran ja tason kohtisuoran merkki.

11. Määritä kohtisuoran kanta, vinon kanta, vinon projektio tasolle. Muotoile yhdestä pisteestä tasoon lasketun kohtisuoran ja vinon ominaisuudet.

12. Määritä suoran ja tason välinen kulma.

13. Todista lause kolmella kohtisuoralla.

14. Määritä dihedraalinen kulma, dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

15. Todista kahden tason kohtisuoran merkki.

16. Määritä kahden eri pisteen välinen etäisyys.

17. Määritä pisteen ja suoran välinen etäisyys.

18. Määritä pisteen etäisyys tasoon.

19. Määritä suoran ja sen suuntaisen tason välinen etäisyys.

20. Määritä yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.

21. Määritä vinojen viivojen välinen etäisyys.

22. Määritä pisteen ortogonaalinen projektio tasolle.

23. Määritä kuvion ortogonaalinen projektio tasolle.

24. Muotoile projektioiden ominaisuudet tasoon.

25. Muotoile ja todista lause tasaisen monikulmion projektioalueesta.

Kaltevan AB:n ja tason DAC välinen kulma on 30* - tämä on kulma BAC. Kulma DAB on 45 (kolmio DAB on suorakulmainen tasakylkinen kolmio), joten DA=BDBA=DA*juuri(2) AC=AB* cos (BAC)=AB*cos 30 \u003d DA * juuri (2) * juuri (3) / 2 \u003d\u003d DA * juuri (6) / 2 kolmen kohtisuoran lauseella DC on kohtisuorassa AD:tä vastaan cos(CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*juuri(6)/2)=2/juuri(6)= juuri (2/3)kulma CAB=arccos (2/3)

Aiheeseen liittyviä tehtäviä:

Rombin ABCD sivu AB on a, yksi kulmista on 60 astetta. Taso alfa piirretään sivun AB läpi etäisyydelle a/2 pisteestä D.
a) Etsi etäisyys pisteestä C tasoon alfa.
b) näytä kuvassa dihedraalisen kulman DABM lineaarinen kulma. M kuuluu alfaan.
c) Etsi rombitason ja alfatason välisen kulman sini.

Rombin ABCD sivu AB on a, yksi kulmista on 60 astetta. Taso alfa piirretään sivun AB läpi etäisyydelle a/2 pisteestä D. a) Etsi etäisyys pisteestä C tasoon alfa. b) näytä kuvassa dihedraalisen kulman DABM lineaarinen kulma. M kuuluu alfaan. c) Etsi rombitason ja alfatason välisen kulman sini.

Rombin ABCD sivu AB on yhtä suuri kuin a ja yksi sen kulmista on 60°. Taso alfa piirretään sivun AB läpi etäisyydelle a2 pisteestä D.

a) Etsi etäisyys pisteestä C tasoon alfa.

b) Näytä kuvassa dihedraalisen kulman DABM lineaarinen kulma, M kuuluu neliöön. alfa.

c) Etsi rombitason ja alfatason välisen kulman sini.

Kuten edellä mainittiin, ortogonaalinen projektio on yhdensuuntaisen projektion erikoistapaus. Ortogonaalisessa projektiossa projektiopalkit ovat kohtisuorassa projektiotasoon nähden.

Tällaisen projektion laite koostuu yhdestä projektiotasosta.

Pisteestä A ortogonaalisen projektion saamiseksi sen läpi on vedettävä projisoiva säde, joka on kohtisuorassa P1:een nähden. Pistettä A1 kutsutaan pisteen A ortogonaaliksi tai suorakaiteen muotoiseksi projektioksi.

Ortogonaalisen projektion saamiseksi A 1 B 1 segmentti AB, lentokoneessa P 1, se on tarpeen pisteiden kautta MUTTA ja AT piirrä ulkonevia viivoja kohtisuoraan P 1. Ulkonevien viivojen ja tason leikkauskohdassa P 1 saada ortogonaaliset projektiot A 1 ja KOHDASSA 1 pisteitä MUTTA ja AT. Ortogonaalisten projektioiden yhdistäminen A 1 ja KOHDASSA 1 saada ortogonaalinen projektio A 1 B 1 segmentti AB.

Kaikki yhdensuuntaisen projektion ominaisuudet ovat myös mahdollisia ortogonaaliseen projektioon. Ortogonaalisilla projektioilla on kuitenkin muita ominaisuuksia.

Ortografisen projektion ominaisuudet:
1. Janan pituus on yhtä suuri kuin sen projektion pituus jaettuna segmentin kaltevuuskulman kosinilla projektiotasoon nähden.

Otetaan suora viiva AB ja rakentaa sen ortogonaalinen projektio A 1 B 1 lentokoneeseen P 1. Jos piirrät suoran viivan AS || A 1 B 1, sitten kolmiosta ABC seuraa sitä |AC| : |AB| = cos a tai |AB| = |A 1 B 1 | : cos a, koska A 1 B 1 | = |AC|.

2. Lisäksi ortogonaalista projektiota varten oikean kulman projektiolause:

Lause: Jos vähintään yksi suoran kulman sivu on yhdensuuntainen projektioiden tason kanssa, ja toinen ei ole kohtisuorassa sitä vastaan, kulma heijastetaan tälle tasolle täysikokoisena.

Todiste:

Oikea kulma annettu ABC, jolla on ehdon mukaan suora viiva Sun AB ja Aurinko || projektiotasot P 1. Rakenteen mukaan suora Aurinko ulkonevaan säteeseen BB 1. Siis suora viiva Aurinko lentokoneeseen b (ABxBB1), koska se on kahdelle tässä tasossa olevalle leikkaavalle suoralle. Suoran linjan mukaan B 1 C 1 || Aurinko, joten myös lentokoneeseen b eli ja suoraan A 1 B 1 tämä lentokone. Siksi viivojen välinen kulma A 1 B 1 ja B 1 Alkaen 1 on 90°, mikä oli todistettava.

Ortogonaalinen projektio tarjoaa geometristen rakenteiden yksinkertaisuuden määritettäessä pisteiden ortogonaalisia projektioita sekä mahdollisuuden tallentaa projisoidun kuvan muotoa ja kokoa projektioille. Nämä edut tarjosivat ortogonaalisen projektion laajan sovelluksen teknisessä piirustuksessa.

Tarkastetuilla projektiomenetelmillä voimme ratkaista kuvaavan geometrian suoran ongelman, eli rakentaa litteän piirustuksen alkuperäisestä. Tällä tavalla saadut projektiot yhteen tasoon antavat epätäydellisen käsityksen esineestä, sen muodosta ja sijainnista avaruudessa, eli sellaisella piirryksellä ei ole käännettävyyden ominaisuutta.

Käännettävän piirustuksen saamiseksi, ts. piirustus, joka antaa täydellisen kuvan alkuperäisen muodosta, koosta ja sijainnista avaruudessa, yksikuvainen piirros täydentyy. Lisäosasta riippuen on olemassa erilaisia ​​piirustuksia.

1. Monge-kuvaaja tai ortogonaaliset projektiot. Ortogonaalisten (suorakulmaisten) projektioiden menetelmän ydin on, että alkuperäinen projisoidaan ortogonaalisesti 2 tai 3 keskenään ortogonaaliseen projektiotasoon ja yhdistetään sitten piirustustasoon.
2. Aksonometrinen piirustus. Aksonometrisen piirustuksen ydin on, että alkuperäinen yhdistetään aluksi jäykästi karteesiseen koordinaattijärjestelmään OXYZ, projisoi se ortogonaalisesti jollekin projektiotasosta OXY, tai OXZ. Sitten rinnakkaisprojektiolla löydetään tuloksena olevan rakenteen yhdensuuntainen projektio: koordinaattiakselit OX, OY, OZ, toissijainen projektio ja alkuperäinen.
3. Perspektiivipiirros. Perspektiivipiirustusta rakennettaessa ensin rakennetaan yksi ortogonaalinen projektio, jonka jälkeen kuvatasolta löydetään aiemmin muodostetun ortogonaalisen projektion keskusprojektio ja itse alkuperäinen.
4. Projisointi numeerisilla merkeillä jne. Numeerisilla merkeillä varustettujen projektioiden saamiseksi alkuperäinen projisoidaan kohtisuoraan nollatason tasolle ja etäisyys alkuperäisen pisteistä tähän tasoon osoitetaan.

Pysähdytään yksityiskohtaisemmin suorakulmaisten projektioiden ja aksonometrisen piirustuksen tutkimukseen.

Geometrian oppitunti luokalla 10

Tällä oppitunnilla jatkat viivojen ja tasojen opiskelua; Opi löytämään suoran ja tason välinen kulma. Tutustut tasoon ortogonaalisen projektion käsitteeseen ja pohdit sen ominaisuuksia. Oppitunnilla määritellään etäisyys pisteestä tasoon ja pisteestä suoraan, suoran ja tason välinen kulma. Kuuluisa kolme lausetta tullaan todistamaan. kohtisuorat.

Pisteen A ortogonaalinen projektio tietylle tasolle on pisteen projektio tälle tasolle, joka on yhdensuuntainen tätä tasoa vastaan ​​kohtisuoran suoran kanssa. Kuvan ortogonaalinen projektio tietylle tasolle p koostuu tämän kuvion kaikkien pisteiden ortogonaalisista projektioista tasolle p.

Ortogonaalista projektiota käytetään usein tilakappaleiden kuvaamiseen tasossa, erityisesti teknisissä piirustuksissa. Se antaa realistisemman kuvan kuin mielivaltainen yhdensuuntainen projektio, erityisesti pyöreistä kappaleista.

Vedetään suora viiva tasoon p kuulumattoman pisteen A läpi, joka on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan ​​ja leikkaa sen pisteessä B. Silloin janaa AB kutsutaan kohtisuoraksi, joka on pudonnut pisteestä A tähän tasoon, ja pistettä Itse B:tä kutsutaan tämän kohtisuoran kannaksi. Mitä tahansa segmenttiä AC, jossa C on tason p mielivaltainen piste, joka eroaa B:stä, kutsutaan kaltevaksi tähän tasoon nähden.

Huomaa, että tämän määritelmän piste B on pisteen A ortogonaalinen projektio ja jana AC on vinon AB:n ortogonaalinen projektio. Ortografisilla projektioilla on kaikki tavallisten rinnakkaisten projektioiden ominaisuudet, mutta niillä on myös useita uusia ominaisuuksia.

Piirretään kohtisuora ja useita kaltevia viivoja yhdestä pisteestä tasoon. Sitten seuraavat väitteet pitävät paikkansa.

1. Mikä tahansa vino on pidempi kuin vinon kohtisuora ja ortogonaalinen projektio tälle tasolle.

2. Samansuuruisilla vinoilla on samat kohtisuorat projektiot, ja päinvastoin, vinot, joilla on sama projektio, ovat myös yhtä suuria.

3. Yksi vino on pidempi kuin toinen, jos ja vain jos ensimmäisen vinon ortogonaalinen projektio on pidempi kuin toisen vinon ortogonaalinen projektio.