Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, harkitse mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.
Numeerinen sarja on numeerinen joukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sekvenssin jäseniksi. Järjestyselementin järjestysnumero ilmaistaan indeksillä:
Sarjan ensimmäinen elementti;
Jakson viides elementti;
- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.
Sekvenssielementin arvon ja sen järjestysluvun välillä on riippuvuus. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen sen voi sanoa sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:
Sarja voidaan määrittää kolmella tavalla:
1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.
Esimerkiksi Joku päätti tehdä henkilökohtaisen ajanhallinnan ja aluksi laskea, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Kirjoittamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:
Taulukon ensimmäisellä rivillä on viikonpäivän numero, toisella - aika minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia ja eli perjantaina vain 15.
2 . Järjestys voidaan määrittää käyttämällä n:nnen jäsenen kaavaa.
Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan suoraan kaavana.
Esimerkiksi jos , niin
Löytääksemme tietyn numeron omaavan sekvenssielementin arvon korvaamme elementin numeron n:nnen jäsenen kaavassa.
Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon sen sijaan funktion yhtälössä:
Jos esim. 
, sitten
Jälleen kerran huomautan, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, vain luonnollinen luku voi olla argumentti.
3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee jonon numerolla n olevan jäsenen arvon riippuvuuden edellisten jäsenten arvosta. Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron, jotta voimme löytää sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen.
Harkitse esimerkiksi järjestystä 
, 
Voimme löytää sekvenssin jäsenten arvot järjestyksessä, alkaen kolmannesta:
Toisin sanoen joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen jäsenen arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä sekvensointitapaa kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.
Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on numeerisen sekvenssin yksinkertainen erikoistapaus.
Aritmeettinen progressio kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisätty samalla numerolla.
Numeroon soitetaan aritmeettisen progression ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla.
If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.
Esimerkiksi 2; 5; kahdeksan; yksitoista;...
Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on hiipumassa.
Esimerkiksi 2; -yksi; -4; -7;...
Jos , Kaikki etenemisen jäsenet ovat yhtä suuret, ja eteneminen on paikallaan.
Esimerkiksi 2;2;2;2;...
Aritmeettisen progression pääominaisuus:
Katsotaanpa kuvaa.
Näemme sen
, ja samaan aikaan
Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:
.
Jaa yhtälön molemmat puolet kahdella:
Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettinen keskiarvo:
Lisäksi koska
, ja samaan aikaan
, sitten
, ja siten
Jokainen aritmeettisen progression jäsen alkaa otsikko="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
jäsenkaava.
Näemme, että aritmeettisen progression jäsenille seuraavat suhteet pätevät:
ja lopuksi
Saimme n:nnen termin kaava.
TÄRKEÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista termeillä ja . Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen jäsenistä.
Aritmeettisen progression n jäsenen summa.
Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä tasavälein olevien termien summat ovat yhtä suuret:
Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n jäsentä. Olkoon tämän etenemisen n jäsenten summa yhtä suuri kuin .
Järjestä etenemisen ehdot ensin nousevaan numerojärjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:
Yhdistetään pariksi:
Suluissa oleva summa on , parien lukumäärä on n.
Saamme:
Niin, aritmeettisen progression n jäsenen summa voidaan löytää kaavoilla:
Harkitse aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.
1 . Järjestys saadaan n:nnen jäsenen kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.
Osoitetaan, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.
Olemme saaneet, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen ero ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.
2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...
a) Etsi etenemisen 31 termiä.
b) Päätä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.
a) Näemme sen;
Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.
Yleisesti 
Meidän tapauksessamme 
, Siksi 
Jos jokainen luonnollinen luku n vastaa oikeaa lukua a n , sitten he sanovat, että annettu numerosarja :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Joten numeerinen sarja on luonnollisen argumentin funktio.
Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen jäsen , numero a 2 — sekvenssin toinen jäsen , numero a 3 — kolmas jne. Määrä a n nimeltään sekvenssin n:s jäsen , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .
kahdelta naapurijäseneltä a n ja a n +1 jäsensekvenssit a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), a a n — Edellinen (kohti a n +1 ).
Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.
Usein sekvenssi on annettu n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.
Esimerkiksi,
positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla
a n= 2n- 1,
ja vuorottelujärjestys 1 ja -1 -kaava
b n = (-1)n +1 . ◄
Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, toisin sanoen kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.
Esimerkiksi,
jos a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numerosarjan seitsemän ensimmäistä jäsentä asetetaan seuraavasti:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvenssit voivat olla lopullinen ja loputon .
Sarjaa kutsutaan perimmäinen jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon jos sillä on äärettömän monta jäsentä.
Esimerkiksi,
kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
lopullinen.
Alkunumerojärjestys:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
loputon. ◄
Sarjaa kutsutaan lisääntyy , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.
Sarjaa kutsutaan hiipumassa , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on nouseva sekvenssi;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on laskeva sekvenssi. ◄
Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .
Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.
Aritmeettinen progressio
Aritmeettinen progressio kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:
a n +1 = a n + d,
missä d - joku numero.
Näin ollen tietyn aritmeettisen progression seuraavan ja edellisen jäsenen välinen ero on aina vakio:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Määrä d nimeltään aritmeettisen progression ero.
Aritmeettisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja erotus.
Esimerkiksi,
jos a 1 = 3, d = 4 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Esimerkiksi,
etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
sitten ilmeisesti
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.
luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.
Esimerkiksi,
a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.
Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Siten,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression -th jäsen löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k
a n = a k + (n- k)d.
Esimerkiksi,
varten a 5 voidaan kirjoittaa
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
sitten ilmeisesti
| a n=
| a n-k
+a n+k
|
| 2
|
mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen progression jäsenten summasta, jotka ovat yhtä kaukana siitä.
Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle yhtälö on totta:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Esimerkiksi,
aritmeettisessa progressiossa
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kuten
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
ensimmäinen n aritmeettisen progression jäsenet on yhtä suuri kuin puolen ääritermien summan tulo termien lukumäärällä:
Tästä seuraa erityisesti, että jos on tarpeen summata ehdot
a k, a k +1 , . . . , a n,
silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:
Esimerkiksi,
aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n jaS n yhdistää kaksi kaavaa:
Siksi, jos näistä kolmen suuren arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.
Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:
- jos d > 0 , silloin se kasvaa;
- jos d < 0 , silloin se pienenee;
- jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.
Geometrinen eteneminen
geometrinen eteneminen kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:
b n +1 = b n · q,
missä q ≠ 0 - joku numero.
Siten tämän geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.
Geometrisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.
Esimerkiksi,
jos b 1 = 1, q = -3 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 ja nimittäjä q hänen n -termi löytyy kaavasta:
b n = b 1 · q n -1 .
Esimerkiksi,
etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
sitten ilmeisesti
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
jokainen geometrisen progression jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).
Koska myös päinvastainen on totta, seuraava väite pätee:
luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.
Esimerkiksi,
Todistakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Siten,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
joka todistaa vaaditun väitteen. ◄
Ota huomioon, että n Geometrisen progression termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös mikä tahansa aikaisempi termi b k , jolle riittää käyttää kaavaa
b n = b k · q n - k.
Esimerkiksi,
varten b 5 voidaan kirjoittaa
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
sitten ilmeisesti
b n 2 = b n - k· b n + k
minkä tahansa geometrisen progression jäsenen neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen siitä yhtä kaukana olevien jäsenten tulo.
Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Esimerkiksi,
eksponentiaalisesti
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kuten
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
ensimmäinen n geometrisen progression jäseniä nimittäjällä q ≠ 0 lasketaan kaavalla:
Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan
S n= Huom. 1
Huomaa, että jos meidän on laskettava ehdot yhteen
b k, b k +1 , . . . , b n,
sitten käytetään kaavaa:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Esimerkiksi,
eksponentiaalisesti 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Jos geometrinen progressio annetaan, niin suureet b 1 , b n, q, n ja S n yhdistää kaksi kaavaa:
Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.
Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuusominaisuudet :
- eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
b 1 > 0 ja q> 1;
b 1 < 0 ja 0 < q< 1;
- Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
b 1 > 0 ja 0 < q< 1;
b 1 < 0 ja q> 1.
Jos q< 0 , silloin geometrinen eteneminen on etumerkkivuorottelua: sen parittomilla termeillä on sama etumerkki kuin ensimmäisellä termillä ja parillisilla termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.
Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Esimerkiksi,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen
Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi kuin 1 , eli
|q| < 1 .
Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Tämä sopii tapaukseen
1 < q< 0 .
Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on merkki-vuorotteleva. Esimerkiksi,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä numero, johon ensimmäisen summa on n etenemisen kannalta rajoittamattoman määrän kasvun kanssa n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan kaavalla
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Esimerkiksi,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde
Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan vain kahta esimerkkiä.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , sitten
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Esimerkiksi,
1, 3, 5, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa 2 ja
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä q , sitten
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa kirjaudu aq .
Esimerkiksi,
2, 12, 72, . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 6 ja
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa lg 6 . ◄
Mikä on kaavan ydin?
Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .
Tietenkin sinun on tiedettävä ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.
Ei riitä, että muistat (tai huijaat) tämän kaavan. On tarpeen omaksua sen olemus ja soveltaa kaavaa erilaisiin tehtäviin. Kyllä, ja älä unohda oikeaan aikaan, kyllä ...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa annan vinkkejä. Niille, jotka hallitsevat oppitunnin loppuun asti.)
Käsitellään siis aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavaa.
Mikä on kaava yleensä - kuvittelemme.) Mikä on aritmeettinen progressio, jäsennumero, etenemisero - kerrotaan selvästi edellisellä oppitunnilla. Katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. Jää selville mitä n:s jäsen.
Yleisesti eteneminen voidaan kirjoittaa numerosarjana:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - alkaen a 120.
Miten määritellään yleisesti minkä tahansa aritmeettisen progression jäsen, s minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:
a n
Sitä se on aritmeettisen progression n:s jäsen. Kirjaimen n alle piilotetaan kaikki jäsenmäärät kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.
Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajattele vain, että numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjeen ...
Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisten progressioiden käsittelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja joukko tehtäviä ratkaistavaksi. Näet lisää.
Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavassa:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen jäsen;
n- jäsennumero.
Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d ja n. Kaikki palapelit pyörivät näiden parametrien ympärillä.
N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Esimerkiksi tehtävässä voidaan sanoa, että eteneminen on annettu ehdolla:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tällainen ongelma voi jopa hämmentää ... Ei ole sarjaa, ei eroa ... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo selvittää, että tässä etenemisessä a 1 \u003d 5 ja d \u003d 2.
Ja se voi olla vielä vihaisempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, kyllä, avaa sulut ja anna samanlaiset? Saamme uuden kaavan:
an = 3 + 2n.
Tämä on Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä on sudenkuoppa. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen jäsen on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisella muunnetulla kaavalla.
Etenemistehtävissä on toinen merkintä - a n+1. Arvasit sen, että tämä on etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi, jos otamme jonkin ongelman a n siis viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.
Useimmiten nimitys a n+1 esiintyy rekursiivisissa kaavoissa. Älä pelkää tätä kauheaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression termi edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen progressio tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:
a n+1 = a n+3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Ja kuinka laskea heti, sano kahdeskymmenes termi, a 20? Mutta ei mitenkään!) Vaikka 19. termiä ei tunneta, 20. ei voida laskea. Tämä on perustavanlaatuinen ero rekursiivisen kaavan ja n:nnen termin kaavan välillä. Rekursiivinen toimii vain kautta Edellinen termi ja n:nnen termin kaava - kautta ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Ei lasketa koko numerosarjaa järjestyksessä.
Aritmeettisessa progressiossa rekursiivinen kaava voidaan helposti muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava tavalliseen muotoon ja työskentele sen kanssa. GIA:ssa tällaisia tehtäviä löytyy usein.
Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavan soveltaminen.
Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:
Annettu aritmeettinen progressio (a n). Etsi 121, jos a 1 = 3 ja d = 1/6.
Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää, kyllä lisää... Tunti tai kaksi.)
Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Me päätämme.
Ehdot tarjoavat kaikki tiedot kaavan käyttöön: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Nähtäväksi jää mitä n. Ei ongelmaa! Meidän on löydettävä a 121. Täällä kirjoitetaan:
Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä tulee olemaan meidän n. Se on tämä merkitys n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaa kaikki luvut kaavassa ja laske:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Siinä kaikki. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen jäsenen ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja harkitsemme.
Haluan muistuttaa sinua olemuksesta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettisen progression termi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .
Ratkaistaan ongelma viisaammin. Oletetaan, että meillä on seuraava ongelma:
Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.
Jos sinulla on vaikeuksia, ehdotan ensimmäistä vaihetta. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistikirjaasi:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Kaikki? Jos luulet, että siinä on kaikki, et voi ratkaista ongelmaa, kyllä...
Meillä on myös numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi vaihtoehtoa. Tämä on sekä seitsemännentoista jäsenen arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkujuttu" liukuu usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä", ei päätä!) Ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka ... ja myös ilman päätä.)
Nyt voimme vain typerästi korvata tietomme kaavaan:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, laitetaan se sisään:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Siinä on pohjimmiltaan kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea. Saat vastauksen: a 1 = 6.
Tällainen tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - auttaa paljon yksinkertaisissa tehtävissä. No, sinun täytyy tietysti osata ilmaista muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei voi opiskella ollenkaan ...
Toinen suosittu ongelma:
Laske aritmeettisen progression (a n) ero, jos a 1 =2; a 15 = 12.
Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Mieti, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (erityinen kohokohta!) n = 15. Voit vapaasti korvata kaavan:
12=2 + (15-1)d
Tehdään aritmetiikka.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Tämä on oikea vastaus.
Tehtävät siis a n, a 1 ja d päättänyt. Vielä on opittava löytämään numero:
Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.
Korvaamme tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:
a n = 12 + (n-1) 3
Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n on joku numeron etenemisen jäsen n... Ja tämä jäsen etenemisen me tiedämme! Se on 99. Emme tiedä hänen numeroaan. n, joten tämä numero on myös löydettävä. Korvaa etenemistermi 99 kaavaan:
99 = 12 + (n-1) 3
Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.
Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):
Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, eikö vaihtoehtoja ole? Hm... Miksi tarvitsemme silmiä?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen jäsenen? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 \u003d -3,6. Ero d voidaan määrittää sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Kyllä, teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä sitä... Kuinka olla!? No, miten olla, miten olla... Ota luovat kykysi käyttöön!)
Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä-kyllä!)) ja korvaamme numeromme:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:
Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen teemme? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain 101. ja 102. jäsenen välillä. Jos luku osoittautui luonnolliseksi, ts. positiivinen kokonaisluku, niin luku olisi etenemisen jäsen löydetyn luvun kanssa. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: ei.
Tehtävä perustuu GIA:n todelliseen versioon:
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:
a n \u003d -4 + 6,8n
Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.
Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.
Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaavaa on muutettu. Aritmeettisen progression ensimmäinen termi siinä piilotettu. Ei mitään, löydämme sen nyt.)
Kuten edellisissäkin tehtävissä, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!
Samoin etsimme kymmenennen termiä:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Siinä kaikki.
Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)
Oletetaan, että GIA:n tai Unified State Exam:n vaikeassa taistelutilanteessa olet unohtanut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen hyödyllisen kaavan. Jotain tulee mieleen, mutta jotenkin epävarma... Onko n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?
Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukka, mutta varmasti riittävä itseluottamukseen ja oikeaan päätökseen!) Johtopäätökseksi riittää, että muistat aritmeettisen etenemisen alkeismerkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.
Piirrämme numeerisen akselin ja merkitsemme sille ensimmäisen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomioi ero d jäsenten välillä. Kuten tämä:
Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mikä on toinen termi? Toinen yksi d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.
a 3 =a 1 + 2 d
Ymmärrätkö? En laita lihavoituja sanoja turhaan. Okei, vielä yksi askel.)
Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.
a 4 =a 1 + 3 d
On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon asti n, aukkojen lukumäärä tahtoa n-1. Joten kaava on (ei vaihtoehtoja!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin ... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää koko tehokkaan matematiikan arsenaalin ratkaisuun - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi laittaa kuvaa yhtälöön...
Tehtävät itsenäiseen päätökseen.
Lämmittelyä varten:
1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Etsi 3.
Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa ... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma on ratkaistu sekä kuvan että kaavan avulla. Tunne erilaisuus!)
Ja tämä ei ole enää lämmittely.)
2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .
Mitä, haluttomuus piirtää kuvaa?) Silti! Se on parempi kaavassa, kyllä...
3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.
Tässä tehtävässä eteneminen annetaan toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin asti... Kaikki eivät voi tehdä sellaista suoritusta.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!
4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.
5. Etsi tehtävän 4 ehdon mukaisesti etenemisen pienimpien positiivisten ja suurimpien negatiivisten jäsenten summa.
6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdestoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.
Ei helpoin tehtävä, kyllä...) Tässä menetelmä "sormilla" ei toimi. Sinun täytyy kirjoittaa kaavoja ja ratkaista yhtälöitä.
Vastaukset (sekaisin):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Tapahtui? Se on kiva!)
Eikö kaikki suju? Se tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelmaa luettaessa vaaditaan tarkkaavaisuutta. Ja logiikkaa.
Kaikkien näiden ongelmien ratkaisua käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen hetki kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavan ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on maalattu. Suositella.
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Aritmeettinen ja geometrinen progressio
Teoreettista tietoa
Teoreettista tietoa
Aritmeettinen progressio |
Geometrinen eteneminen |
|
Määritelmä |
Aritmeettinen progressio a n kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, samalla numerolla lisätty jäsen d (d- etenemisero) |
geometrinen eteneminen b n kutsutaan nollasta poikkeavien lukujen sarjaa, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla luvulla q (q- etenemisen nimittäjä) |
Toistuva kaava |
Kaikille luonnollisille n |
Kaikille luonnollisille n |
n:nnen termin kaava |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| tyypillinen ominaisuus |  |
|
| Ensimmäisen n ehdon summa |  |
 |
Esimerkkejä tehtävistä kommentein
Harjoitus 1
Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 1 = -6, a 2
N:nnen termin kaavan mukaan:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21p
Ehdon mukaan:
a 1= -6, niin a 22= -6 + 21p.
On tarpeen löytää etenemisero:
d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Vastaus: a 22 = -48.
Tehtävä 2
Etsi geometrisen progression viides termi: -3; 6;...
1. tapa (käyttäen n-termin kaavaa)
Geometrisen progression n:nnen jäsenen kaavan mukaan:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Kuten b 1 = -3,
2. tapa (käyttämällä rekursiivista kaavaa)
Koska etenemisen nimittäjä on -2 (q = -2), niin:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Vastaus: b 5 = -48.
Tehtävä 3
Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Etsi tämän etenemisen seitsemänkymmentäviides termi.
Aritmeettiselle progressiolle ominaisella ominaisuudella on muoto 
.
Siksi:
.
Korvaa tiedot kaavassa:
Vastaus: 95.
Tehtävä 4
Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a n= 3n - 4. Laske ensimmäisen seitsemäntoista termin summa.
Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summan löytämiseksi käytetään kahta kaavaa:
.
Kumpaa niistä on kätevämpi soveltaa tässä tapauksessa?
Ehdolla tunnetaan alkuperäisen etenemisen n:nnen jäsenen kaava ( a n) a n= 3n - 4. Löytyy heti ja a 1, ja a 16 löytämättä d . Siksi käytämme ensimmäistä kaavaa.
Vastaus: 368.
Tehtävä 5
Aritmeettisessa progressiossa a n) a 1 = -6; a 2= -8. Etsi etenemisen 22. termi.
N:nnen termin kaavan mukaan:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21p.
Ehdolla, jos a 1= -6 siis a 22= -6 + 21p. On tarpeen löytää etenemisero:
d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Vastaus: a 22 = -48.
Tehtävä 6
Useita peräkkäisiä geometrisen progression termejä tallennetaan:
Etsi etenemisen termi, joka on merkitty kirjaimella x .
Ratkaisussa käytämme n:nnen termin kaavaa b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrisia progressioita varten. Progression ensimmäinen jäsen. Löytääksesi etenemisen q nimittäjä, sinun on otettava mikä tahansa näistä etenemisen ehdoista ja jaettava edellisellä. Esimerkissämme voit ottaa ja jakaa. Saadaan, että q \u003d 3. Korvataan n:n sijasta kaavassa 3, koska on tarpeen löytää tietyn geometrisen progression kolmas termi.
Korvaamalla löydetyt arvot kaavaan, saamme:
.
Vastaus:.
Tehtävä 7
Valitse n:nnen termin kaavan antamista aritmeettisista progressioista se, jonka ehto täyttyy a 27 > 9:
Koska määritellyn ehdon on täytyttävä etenemisen 27. termillä, korvaamme 27:n n:n sijaan kussakin neljässä etenemisessä. Neljännessä vaiheessa saamme:
.
Vastaus: 4.
Tehtävä 8
Aritmeettisessa progressiossa a 1= 3, d = -1,5. Määritä n:n suurin arvo, jolle epäyhtälö pätee a n > -6.
Online-laskin.
Aritmeettinen progressioratkaisu.
Annettu: a n , d, n
Etsi: a 1
Tämä matemaattinen ohjelma löytää \(a_1\) aritmeettisesta progressiosta käyttäjän määrittämien lukujen \(a_n, d \) ja \(n \) perusteella.
Numerot \(a_n\) ja \(d \) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina. Lisäksi murtoluku voidaan syöttää desimaalilukuna (\(2,5 \)) ja tavallisena murtolukuna (\(-5\frac(2)(7) \)).
Ohjelma ei ainoastaan anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisun löytämisprosessin.
Tämä online-laskin voi olla hyödyllinen lukiolaisille kokeisiin ja kokeisiin valmistautuessa, tietojen testaamisessa ennen yhtenäistä valtiontutkintoa ja vanhemmille monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisemisessa. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.
Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.
Jos et tunne numeroiden syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.
Säännöt numeroiden syöttämiseen
Numerot \(a_n\) ja \(d \) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina.
Luku \(n\) voi olla vain positiivinen kokonaisluku.
Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtolukujen kokonaisluku- ja murto-osat voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi kirjoittaa desimaalilukuja, kuten 2,5 tai 2,5
Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.
Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.
Numeerista murtolukua syötettäessä osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Syöte:
Tulos: \(-\frac(2)(3) \)
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Syöte:
Tulos: \(-1\frac(2)(3) \)
Havaittiin, että jotkin tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavat komentosarjat eivät latautuneet, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.
Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...
Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.
Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:
Vähän teoriaa.
Numerosarja
Arkikäytännössä eri kohteiden numerointia käytetään usein osoittamaan niiden sijaintijärjestystä. Esimerkiksi jokaisen kadun talot on numeroitu. Kirjastossa lukijatilaukset numeroidaan ja järjestetään annettujen numeroiden mukaiseen järjestykseen erityisiin arkistokaappeihin.
Säästöpankissa tallettajan henkilökohtaisen tilin numeron perusteella löydät tämän tilin helposti ja näet millainen talletus sillä on. Olkoon a1 ruplan talletus tilille nro 1, a2 ruplan talletus tilille nro 2 jne. Se käy ilmi numeerinen sekvenssi
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
missä N on kaikkien tilien lukumäärä. Tässä jokaiselle luonnolliselle luvulle n välillä 1 - N annetaan numero a n .
Opiskelee myös matematiikkaa äärettömät lukujonot:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numeroa a 1 kutsutaan sekvenssin ensimmäinen jäsen, numero a 2 - sekvenssin toinen jäsen, numero a 3 - sekvenssin kolmas jäsen jne.
Numeroa a n kutsutaan sekvenssin n:s (n:s) jäsen, ja luonnollinen luku n on sen määrä.
Esimerkiksi luonnollisten lukujen 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ja 1 = 1 neliöjonossa on sekvenssin ensimmäinen jäsen; ja n = n2 on sekvenssin n:s jäsen; a n+1 = (n + 1) 2 on sekvenssin (n + 1):s (en plus ensimmäinen) jäsen. Usein jono voidaan määrittää sen n:nnen termin kaavalla. Esimerkiksi kaava \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) antaa sekvenssin \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pisteet,\frac(1)(n) , \pisteet \)
Aritmeettinen progressio
Vuoden pituus on noin 365 päivää. Tarkempi arvo on \(365\frac(1)(4) \) päivää, joten joka neljäs vuosi kertyy yhden päivän virhe.
Tämän virheen selittämiseksi joka neljänteen vuoteen lisätään päivä, ja pidennettyä vuotta kutsutaan karkausvuodeksi.
Esimerkiksi kolmannella vuosituhannella karkausvuodet ovat 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Tässä sekvenssissä jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, joka on lisätty samalla numerolla 4. Tällaisia sarjoja kutsutaan aritmeettiset progressiot.
Määritelmä.
Numeerista sekvenssiä a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... kutsutaan aritmeettinen progressio, jos kaikki luonnolliset n tasa-arvo
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
missä d on jokin luku.
Tästä kaavasta seuraa, että a n+1 - a n = d. Lukua d kutsutaan erotukseksi aritmeettinen progressio.
Aritmeettisen progression määritelmän mukaan meillä on:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
missä
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), missä \(n>1 \)
Siten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden viereisen jäsenen aritmeettinen keskiarvo. Tämä selittää nimen "aritmeettinen" progressio.
Huomaa, että jos a 1 ja d on annettu, niin aritmeettisen etenemisen jäljellä olevat termit voidaan laskea käyttämällä rekursiivista kaavaa a n+1 = a n + d. Tällä tavalla etenemisen ensimmäisten termien laskeminen ei ole vaikeaa, mutta esimerkiksi 100:lle tarvitaan jo paljon laskelmia. Yleensä tähän käytetään n:nnen termin kaavaa. Aritmeettisen progression määritelmän mukaan
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
jne.
Yleisesti,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
koska aritmeettisen progression n:s jäsen saadaan ensimmäisestä jäsenestä lisäämällä (n-1) kertaa luku d.
Tätä kaavaa kutsutaan aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava.
Aritmeettisen etenemisen ensimmäisen n ehdon summa
Etsitään kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä 1-100.
Kirjoitamme tämän summan kahdella tavalla:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lisäämme nämä tasa-arvot termeiltä:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Tässä summassa on 100 termiä.
Siksi 2S = 101 * 100, josta S = 101 * 50 = 5050.
Harkitse nyt mielivaltaista aritmeettista progressiota
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Olkoon S n tämän etenemisen ensimmäisen n ehdon summa:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Sitten aritmeettisen progression ensimmäisen n ehdon summa on
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Koska \(a_n=a_1+(n-1)d \), korvaamalla n tässä kaavassa, saamme toisen kaavan etsimiseen aritmeettisen progression ensimmäisen n ehdon summat:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
