Tällä oppitunnilla kuvaamme avaruuden symmetriatyyppejä, tutustumme säännöllisen monitahoisen käsitteeseen.

Kuten planimetriassa, avaruudessa tarkastellaan symmetriaa pisteen ja suoran suhteen, mutta lisäksi symmetria tason suhteen tulee näkyviin.

Määritelmä.

Pisteitä A ja kutsutaan symmetrisiksi pisteen O suhteen (symmetriakeskus), jos O on janan keskipiste. Piste O on symmetrinen itselleen.

Saadaksesi sille symmetrisen pisteen pisteen O suhteen tietylle pisteelle A, sinun on piirrettävä suora viiva pisteiden A ja O kautta, jätettävä syrjään jana, joka on yhtä suuri kuin OA pisteestä O, ja hankittava haluttu piste ( Kuvio 1).

Riisi. 1. Symmetria pisteestä

Vastaavasti pisteet B ja ovat symmetrisiä pisteen O suhteen, koska O on janan keskipiste.

Joten on annettu laki, jonka mukaan tason jokainen piste menee toiseen tason pisteeseen, ja sanoimme, että kaikki etäisyydet säilyvät, eli .

Harkitse symmetriaa avaruuden suoran suhteen.

Saadaksesi symmetrisen pisteen pisteelle A jonkin suoran a suhteen, sinun on laskettava kohtisuora pisteestä A suoralle ja asetettava sille yhtä suuri jana (kuva 2).

Riisi. 2. Symmetria avaruuden suoran suhteen

Määritelmä.

Pisteitä A ja kutsutaan symmetrisiksi suoran a suhteen (symmetria-akseli), jos suora a kulkee janan keskikohdan läpi ja on kohtisuorassa siihen nähden. Jokainen suoran piste on symmetrinen itselleen.

Määritelmä.

Pisteitä A ja kutsutaan symmetrisiksi tason suhteen (symmetriataso), jos taso kulkee janan keskikohdan läpi ja on kohtisuorassa sitä vastaan. Jokainen tason piste on symmetrinen itselleen (kuva 3).

Riisi. 3. Symmetria suhteessa tasoon

Joillakin geometrisilla kuvioilla voi olla symmetriakeskus, symmetria-akseli tai symmetriataso.

Määritelmä.

Pistettä O kutsutaan kuvion symmetriakeskukseksi, jos jokainen kuvion piste on symmetrinen sen suhteen saman kuvion johonkin pisteeseen.

Esimerkiksi suunnikkaassa ja suuntaissärmiössä kaikkien diagonaalien leikkauspiste on symmetrian keskipiste. Havainnollistetaan suuntaissärmiötä.

Riisi. 4. Suuntasärmiön symmetriakeskus

Eli symmetrialla suuntaissärmiön pisteen O suhteen piste A menee pisteeseen, piste B pisteeseen jne., joten laatikko menee itseensä.

Määritelmä.

Suoraa viivaa kutsutaan kuvion symmetria-akseliksi, jos jokainen kuvion piste on symmetrinen sen suhteen saman kuvion johonkin pisteeseen.

Esimerkiksi rombin jokainen lävistäjä on sille symmetria-akseli, rombi muuttuu itsestään, kun se on symmetrinen minkä tahansa diagonaalin suhteen.

Harkitse esimerkkiä avaruudessa - suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö (sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden, yhtäläiset suorakaiteet tyvissä). Tällaisella suuntaissärmiöllä on symmetria-akselit. Yksi niistä kulkee suuntaissärmiön symmetriakeskuksen (lävistäjän leikkauspisteen) ja ylemmän ja alemman kannan keskipisteiden läpi.

Määritelmä.

Tasoa kutsutaan kuvion symmetriatasoksi, jos jokainen kuvion piste on symmetrinen sen suhteen saman kuvion johonkin pisteeseen.

Esimerkiksi kuutiolla on symmetriatasoja. Yksi niistä kulkee ylä- ja alapohjan vastakkaisten reunojen keskeltä (kuva 5).

Riisi. 5. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön symmetriataso

Symmetriaelementit ovat luonnostaan ​​​​säännöllisille polyhedraille.

Määritelmä.

Kuperaa monikulmiota kutsutaan säännölliseksi, jos sen kaikki pinnat ovat yhtä suuret säännölliset monikulmiot ja sama määrä kulmia konvergoi jokaisessa kärjessä.

Lause.

Ei ole olemassa säännöllistä monitahoista, jonka kasvot ovat säännöllisiä n-kulmia.

Todiste:

Harkitse tapausta, jossa on säännöllinen kuusikulmio. Kaikki sen sisäkulmat ovat yhtä suuret:

Sitten sisäiset kulmat ovat suurempia.

Jokaisessa monitahoisen kärjessä vähintään kolme reunaa suppenee, mikä tarkoittaa, että jokaisessa kärjessä on vähintään kolme tasaista kulmaa. Niiden kokonaissumma (olettaen, että jokainen on suurempi tai yhtä suuri kuin ) on suurempi tai yhtä suuri kuin . Tämä on ristiriidassa väitteen kanssa: kuperassa polyhedronissa kaikkien tasokulmien summa kussakin kärjessä on pienempi kuin .

Lause on todistettu.

Kuutio (kuva 6):

Riisi. 6. Kuutio

Kuutio koostuu kuudesta ruudusta; neliö on säännöllinen monikulmio;

Jokainen kärki on kolmen neliön kärkipiste, esimerkiksi kärki A on yhteinen neliön pinnoille ABCD, ;

Kaikkien tasokulmien summa kussakin kärjessä on , koska se koostuu kolmesta suorasta kulmasta. Tämä on pienempi kuin , mikä täyttää säännöllisen monitahoisen käsitteen;

Kuutiolla on symmetriakeskus - diagonaalien leikkauspiste;

Kuutiolla on symmetria-akselit, esimerkiksi suorat a ja b (kuva 6), joissa suora a kulkee vastakkaisten pintojen keskipisteiden läpi ja b vastakkaisten reunojen keskipisteiden kautta;

Kuutiolla on symmetriatasoja, kuten taso, joka kulkee viivojen a ja b kautta.

2. Säännöllinen tetraedri (säännöllinen kolmiopyramidi, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret):

Riisi. 7. Säännöllinen tetraedri

Säännöllinen tetraedri koostuu neljästä tasasivuisesta kolmiosta;

Kaikkien tasokulmien summa kussakin kärjessä on , koska säännöllinen tetraedri koostuu kolmesta tasokulmasta in . Tämä on pienempi kuin , mikä täyttää säännöllisen monitahoisen käsitteen;

Säännöllisellä tetraedrillä on symmetria-akselit; ne kulkevat vastakkaisten reunojen, esimerkiksi suoran MN, keskipisteiden läpi. Lisäksi MN on risteyslinjojen AB ja CD välinen etäisyys, MN on kohtisuorassa reunoihin AB ja CD nähden;

Säännöllinen tetraedri sisältää symmetriatasoja, joista jokainen kulkee reunan ja vastakkaisen reunan keskipisteen läpi (kuva 7);

Säännöllisellä tetraedrillä ei ole symmetriakeskusta.

3. Tavallinen oktaedri:

Koostuu kahdeksasta tasasivuisesta kolmiosta;

Neljä reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä;

Kaikkien tasokulmien summa kussakin kärjessä on , koska säännöllinen oktaedri koostuu neljästä tasokulmasta pitkin . Tämä on pienempi kuin , mikä täyttää säännöllisen monitahoisen käsitteen.

4. Säännöllinen ikosaedri:

Koostuu kahdestakymmenestä tasasivuisesta kolmiosta;

Viisi reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä;

Kaikkien tasokulmien summa kussakin kärjessä on , koska säännöllinen ikosaedri koostuu viidestä tasokulmasta pitkin . Tämä on pienempi kuin , mikä täyttää säännöllisen monitahoisen käsitteen.

5. Tavallinen dodekaedri:

Koostuu kahdestatoista säännöllisestä viisikulmiosta;

Kolme reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä;

Kaikkien tasokulmien summa kussakin kärjessä on . Tämä on pienempi kuin , mikä täyttää säännöllisen monitahoisen käsitteen.

Joten tarkastelimme symmetriatyyppejä avaruudessa ja annoimme tiukat määritelmät. Määritimme myös säännöllisen monitahoisen käsitteen, tarkastelimme esimerkkejä sellaisista monitahoista ja niiden ominaisuuksista.

Bibliografia

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Luokka 10-11: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja profiilitasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, Rev. ja ylimääräistä - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometria. Luokka 10-11: Oppikirja yleisille oppilaitoksille / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. Luokka 10: Oppikirja yleiskouluille matematiikan perusteellisella ja profiiliopinnolla / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.

1. Matemonline.com().
2. Fmclass.ru ().
3. 5class.net().

Kotitehtävät

1. Määritä kuution symmetria-akselien lukumäärä;
2. ilmaisee säännöllisen viisikulmaisen prisman symmetria-akselien lukumäärän;
3. ilmoittaa oktaedrin symmetriatasojen lukumäärä;
4. rakentaa pyramidi, jossa on kaikki symmetriaelementit.

- (määritelmä) geometrinen kappale, jota rajoittavat kaikilta sivuilta litteät monikulmiot - kasvot.

Esimerkkejä polyhedraista:

Pintojen sivuja kutsutaan reunoiksi ja reunojen päitä vertekseiksi. Pintojen lukumäärän mukaan erotetaan 4-hedronit, 5-hedronit jne. Monitahoista kutsutaan kupera, jos se kaikki sijaitsee kunkin sen pinnan tason toisella puolella. Monitahoista kutsutaan oikea, jos sen pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita (eli niitä, joissa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret) ja kaikki monitahoiset kulmat pisteissä ovat yhtä suuret. Säännöllisiä monitahoja on viisi tyyppiä: tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri.

Polyhedron kolmiulotteisessa avaruudessa (monitahden käsite) - kokoelma äärellistä määrää litteitä polygoneja siten, että

1) toisen kumpikin puoli on samanaikaisesti toisen (mutta vain yhden) puoli, jota kutsutaan ensimmäisen (tällä puolen) viereiseksi;

2) mistä tahansa monikulmiosta, joka muodostaa polyhedronin, pääsee mihin tahansa siirtymällä sen viereiseen ja tästä puolestaan ​​viereiseen jne.

Näitä polygoneja kutsutaan kasvot, niiden sivut kylkiluut, ja niiden kärjet ovat huiput monitahoinen.

Monitahoisen pisteet

Monitahoiset reunat

Monitahoisen puoliskot

Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se on minkä tahansa pinnansa tason toisella puolella.

Tästä määritelmästä seuraa, että kuperan polyhedronin kaikki pinnat ovat litteitä kupera polygoneja. Kuperan polyhedronin pinta koostuu pinnoista, jotka sijaitsevat eri tasoissa. Tässä tapauksessa polyhedronin reunat ovat monikulmioiden sivut, monitahojen kärjet ovat pintojen kärjet, monitahojen litteät kulmat ovat monikulmioiden - pintojen kulmia.

Kutsutaan kuperaa monitahoista, jonka kaikki kärjet ovat kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa prismatoidinen. Prisma, pyramidi ja katkaistu pyramidi ovat prismatoidin erikoistapauksia. Kaikki prismatoidin sivupinnat ovat kolmioita tai nelikulmioita, ja nelikulmaiset pinnat ovat puolisuunnikkaita tai suunnikkaita.

Polyhedrat eivät vain ole merkittävällä paikalla geometriassa, vaan niitä esiintyy myös jokaisen ihmisen jokapäiväisessä elämässä. Puhumattakaan keinotekoisesti luoduista taloustavaroista eri monikulmioiden muodossa, alkaen tulitikkurasiasta ja päättyen arkkitehtonisiin elementteihin, kuution (suola), prisman (kide), pyramidin (scheeliitti), oktaedrin (timantin) muodossa, jne. d.

Monitahoisen käsite, monitahojen tyypit geometriassa

Geometria tieteenä sisältää stereometrian osan, joka tutkii kolmiulotteisten kappaleiden ominaisuuksia ja ominaisuuksia, joiden sivut kolmiulotteisessa avaruudessa muodostuvat rajoitetuista tasoista (pinnoista), kutsutaan "polyhedraiksi". Polyhedratyypeissä on yli tusina edustajaa, jotka eroavat kasvojen lukumäärästä ja muodosta.

Kaikilla polyhedreillä on kuitenkin yhteisiä ominaisuuksia:

1. Niissä kaikissa on 3 kiinteää komponenttia: pinta (monikulmion pinta), kärki (pintojen risteyskohtaan muodostuvat kulmat), reuna (kuvan sivu tai kahden pinnan risteykseen muodostettu segmentti ).
2. Jokainen monikulmion reuna yhdistää kaksi ja vain kaksi vierekkäistä pintaa.
3. Kupera tarkoittaa, että vartalo sijaitsee kokonaan vain toisella puolella sitä tasoa, jolla toinen kasvoista sijaitsee. Sääntö pätee monitahoisen kaikkiin pintoihin. Tällaisia ​​stereometrian geometrisia kuvioita kutsutaan kuperaksi monitahoksi. Poikkeuksena ovat tähden muotoiset polyhedrat, jotka ovat johdannaisia ​​säännöllisistä monitahoisista geometrisista kiinteistä aineista.

Polyhedrat voidaan jakaa:

1. Kuperat monitahoiset tyypit, jotka koostuvat seuraavista luokista: tavallinen tai klassinen (prisma, pyramidi, suuntaissärmiö), säännöllinen (kutsutaan myös platonisiksi kiinteiksi aineiksi), puolisäännölliset (toinen nimi - Arkhimedean kiinteät aineet).
2. Ei-kupera monitahoinen (stellattu).

Prisma ja sen ominaisuudet

Stereometria geometrian haarana tutkii kolmiulotteisten hahmojen ominaisuuksia, polyhedratyyppejä (prisma on yksi niistä). Prisma on geometrinen kappale, jolla on välttämättä kaksi täysin identtistä pintaa (niitä kutsutaan myös kantaviksi), jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja n:s määrä sivupintoja suunnikkaina. Prismassa puolestaan ​​​​on myös useita lajikkeita, mukaan lukien sellaiset polyhedratyypit kuin:

1. Suuntasissärmiö muodostuu, jos kanta on suunnikkaampi - monikulmio, jossa on 2 paria yhtä suuria vastakkaisia ​​kulmia ja 2 paria yhteneviä vastakkaisia ​​sivuja.
2. siinä on pohjaan nähden kohtisuorat kylkiluut.
3. jolle on tunnusomaista ei-suorat kulmat (muut kuin 90) pintojen ja pohjan välillä.
4. Säännölliselle prismalle on tunnusomaista pohjat, joiden sivupinnat ovat tasaiset.

Prisman tärkeimmät ominaisuudet:

• Yhdenmukaiset perusteet.
• Kaikki prisman reunat ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
• Kaikki sivupinnat ovat suunnikkaan muotoisia.

Pyramidi

Pyramidi on geometrinen kappale, joka koostuu yhdestä alustasta ja n:nnestä määrästä kolmiomaisia ​​pintoja, jotka on yhdistetty yhteen pisteeseen - kärkeen. On huomattava, että jos pyramidin sivupinnat on välttämättä esitetty kolmioilla, niin pohja voi olla joko kolmion muotoinen monikulmio, nelikulmio tai viisikulmio ja niin edelleen loputtomiin. Tässä tapauksessa pyramidin nimi vastaa pohjassa olevaa monikulmiota. Esimerkiksi, jos pyramidin pohjassa on kolmio - tämä on nelikulmio - nelikulmainen jne.

Pyramidit ovat kartiomaisia ​​monitahoja. Tämän ryhmän polyhedratyypit sisältävät edellä lueteltujen lisäksi myös seuraavat edustajat:

1. jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja sen korkeus projisoidaan pohjaan piirretyn tai sen ympärille kuvatun ympyrän keskelle.
2. Suorakaiteen muotoinen pyramidi muodostuu, kun yksi sivureunoista leikkaa pohjan suorassa kulmassa. Tässä tapauksessa on myös reilua kutsua tätä reunaa pyramidin korkeudeksi.

Pyramidin ominaisuudet:

• Jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhteneväisiä (samankorkuisia), ne kaikki leikkaavat pohjan kanssa samassa kulmassa, ja pohjan ympärille voit piirtää ympyrän, jonka keskipiste osuu pyramidin huipun projektioon .
• Jos säännöllinen monikulmio on pyramidin pohjalla, niin kaikki sivureunat ovat yhteneväisiä ja pinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Säännöllinen monitahoinen: polyhedrien tyypit ja ominaisuudet

Stereometriassa erityinen paikka on geometrisilla kappaleilla, joilla on ehdottoman yhtäläiset pinnat ja joiden kärkipisteissä on yhdistetty sama määrä reunoja. Näitä kiinteitä aineita kutsutaan platonisiksi kiintoaineiksi tai säännöllisiksi monitahoiksi. Tällaisia ​​ominaisuuksia omaavilla polyhedratyypeillä on vain viisi numeroa:

1. Tetraedri.
2. Heksaedri.
3. Oktaedri.
4. Dodekaedri.
5. Ikosaedri.

Säännölliset polyhedrat antavat nimensä antiikin kreikkalaiselle filosofille Platonille, joka kuvaili näitä geometrisia kappaleita kirjoituksissaan ja liitti ne luonnollisiin elementteihin: maahan, veteen, tuleen, ilmaan. Viides hahmo palkittiin samankaltaisuudesta maailmankaikkeuden rakenteen kanssa. Hänen mielestään luonnollisten alkuaineiden atomit muistuttavat muodoltaan säännöllisiä monitahoja. Kiehtovimman ominaisuutensa - symmetrian - vuoksi nämä geometriset kappaleet kiinnostavat paitsi muinaisia ​​matemaatikoita ja filosofeja myös kaikkien aikojen arkkitehtejä, taiteilijoita ja kuvanveistäjiä. Vain viiden tyyppisen polyhedran läsnäoloa, joilla on absoluuttinen symmetria, pidettiin perustavanlaatuisena löytönä, niille myönnettiin jopa yhteys jumalalliseen periaatteeseen.

Heksaedri ja sen ominaisuudet

Kuusikulmion muodossa Platonin seuraajat omaksuivat samankaltaisuuden maan atomien rakenteen kanssa. Tietenkin tällä hetkellä tämä hypoteesi on täysin kumottu, mikä ei kuitenkaan estä hahmoja houkuttelemasta kuuluisien hahmojen mieliä estetiikassaan nykyaikana.

Geometriassa heksaedria, joka tunnetaan myös kuutiona, pidetään suuntaissärmiön erikoistapauksena, joka puolestaan ​​on eräänlainen prisma. Vastaavasti kuution ominaisuudet liittyvät siihen, että ainoa ero on se, että kuution kaikki pinnat ja kulmat ovat samat. Tästä seuraa seuraavat ominaisuudet:

1. Kuution kaikki reunat ovat yhteneväisiä ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa toistensa suhteen.
2. Kaikki kasvot ovat yhteneväisiä neliöitä (kuutiossa on yhteensä 6), joista mikä tahansa voidaan ottaa pohjaksi.
3. Kaikki interhedraaliset kulmat ovat 90.
4. Jokaisesta kärjestä tulee yhtä monta reunaa, nimittäin 3.
5. Kuutiossa on 9, jotka kaikki leikkaavat heksaedrin diagonaalien leikkauspisteessä, jota kutsutaan symmetriakeskukseksi.

Tetraedri

Tetraedri on tetraedri, jolla on yhtä suuret pinnat kolmioiden muodossa, joiden kukin kärki on kolmen pinnan risteyspiste.

Säännöllisen tetraedrin ominaisuudet:

1. Kaikki tetraedrin pinnat - tästä seuraa, että tetraedrin kaikki pinnat ovat yhteneväisiä.
2. Koska kantaa edustaa säännöllinen geometrinen kuvio, eli sillä on yhtäläiset sivut, tetraedrin pinnat konvergoivat samassa kulmassa, eli kaikki kulmat ovat yhtä suuret.
3. Tasaisten kulmien summa kussakin kärjessä on 180, koska kaikki kulmat ovat yhtä suuret, silloin mikä tahansa säännöllisen tetraedrin kulma on 60.
4. Jokainen kärki projisoidaan vastakkaisen (ortosenterisen) pinnan korkeuksien leikkauspisteeseen.

Oktaedri ja sen ominaisuudet

Säännöllisten monitahojen tyyppejä kuvattaessa ei voi jättää huomioimatta sellaista esinettä kuin oktaedri, joka voidaan visuaalisesti esittää kahtena nelikulmaisena säännöllisenä pyramidina, jotka on liimattu yhteen alustojen kanssa.

Oktaedrin ominaisuudet:

1. Jo geometrisen kappaleen nimi viittaa sen pintojen lukumäärään. Oktaedri koostuu kahdeksasta yhteneväisestä tasasivuisesta kolmiosta, joiden jokaisessa kärjessä konvergoi yhtä monta pintaa, nimittäin 4.
2. Koska oktaedrin kaikki pinnat ovat yhtä suuret, ovat myös sen rajapintakulmat, joista jokainen on yhtä suuri kuin 60, ja minkä tahansa kärjen tasokulmien summa on siten 240.

Dodekaedri

Jos kuvittelemme, että kaikki geometrisen kappaleen pinnat ovat säännöllisiä viisikulmioita, niin saamme dodekaedrin - 12 monikulmion hahmon.

Dodekaedrin ominaisuudet:

1. Jokaisessa kärjessä leikkaa kolme pintaa.
2. Kaikki pinnat ovat yhtä suuret ja niillä on sama reunan pituus ja sama pinta-ala.
3. Dodekaedrissa on 15 akselia ja symmetriatasoa, ja mikä tahansa niistä kulkee kasvojen kärjen ja vastakkaisen reunan keskikohdan läpi.

ikosaedri

Ei vähemmän kiinnostava kuin dodekaedri, ikosaedri on kolmiulotteinen geometrinen kappale, jossa on 20 yhtäläistä pintaa. Säännöllisen kahdenkymmenen heedrin ominaisuuksista voidaan mainita seuraavat:

1. Ikosaedrin kaikki pinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.
2. Viisi pintaa konvergoi monitahoisen jokaisessa kärjessä, ja kärjen vierekkäisten kulmien summa on 300.
3. Ikosaedrilla, kuten dodekaedrilla, on 15 akselia ja symmetriatasoa, jotka kulkevat vastakkaisten pintojen keskipisteiden läpi.

Puolisäännölliset polygonit

Konveksien monitahoisten aineiden ryhmään kuuluvat platonisten kiinteiden lisäksi myös arkhimedealaiset kiintoaineet, jotka ovat katkaistuja säännöllisiä monitahoja. Tämän ryhmän polyhedratyypeillä on seuraavat ominaisuudet:

1. Geometrisilla kappaleilla on pareittain yhtä suuret pinnat useita eri tyyppejä, esimerkiksi katkaistulla tetraedrillä on 8 pintaa, aivan kuten tavallisella tetraedrillä, mutta arkimedelaisen kappaleen tapauksessa 4 pintaa on kolmion muotoisia ja 4 kuusikulmaisia.
2. Kaikki yhden kärjen kulmat ovat yhteneväisiä.

Tähtipolyhedra

Geometristen kappaleiden ei-volumetristen tyyppien edustajat ovat tähden muotoisia monitahoja, joiden pinnat leikkaavat toisiaan. Ne voidaan muodostaa yhdistämällä kaksi säännöllistä kolmiulotteista kappaletta tai jatkamalla niiden kasvoja.

Täten sellaiset monitahoiset polyhedrat tunnetaan seuraavasti: oktaedrin tähtimuodot, dodekaedri, ikosaedri, kuboktaedri, ikosidodekaedri.

Koulugeometriassa on erityisiä aiheita, joita odotat innolla odottaen tapaamista uskomattoman kauniin materiaalin kanssa. Näitä aiheita ovat "säännölliset polyhedrat".Täällä ei avaudu pelkästään ainutlaatuisten ominaisuuksien geometristen kappaleiden upea maailma, vaan myös mielenkiintoisia tieteellisiä hypoteeseja. Ja sitten geometriatunnista tulee eräänlainen opiskelu tavallisen kouluaineen odottamattomista näkökohdista.

Yhdelläkään geometrisestä kappaleesta ei ole niin täydellisyyttä ja kauneutta kuin tavallisella monitahoisella. "Tavallisia polyhedraja on uhmakkaasti vähän", L. Carroll kirjoitti kerran, "mutta tämä irrallisuus, jonka määrä on hyvin vaatimaton, onnistui pääsemään eri tieteiden syvyyksiin."

Mikä tämä uhmattavan pieni määrä on ja miksi niitä on niin paljon? Ja kuinka paljon? Osoittautuu, että täsmälleen viisi - ei enempää, ei vähempää. Tämä voidaan varmistaa avaamalla kupera monitahoinen kulma. Todellakin, jotta saataisiin mikä tahansa säännöllinen monikulmio sen määritelmän mukaan, sama määrä kasvoja on suppeneva jokaisessa kärjessä, joista jokainen on säännöllinen monikulmio. Monitahoisen kulman tasokulmien summan tulee olla pienempi kuin 360 o, muuten monitahoista pintaa ei saada. Mahdollisten epäyhtälöiden kokonaislukuratkaisujen läpikäynti: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Tavallisten monitahoisten nimet tulevat Kreikasta. Kirjaimellisessa käännöksessä kreikasta "tetraedri", "oktaedri", "heksaedri", "dodekaedri", "ikosaedri" tarkoittavat: "tetraedri", "oktaedri", "heksaedri". dodekaedri, dodekaedri. Eukleideen elementtien 13. kirja on omistettu näille kauniille vartaloille. Niitä kutsutaan myös Platonin ruumiiksi, koska. niillä oli tärkeä paikka Platonin filosofisessa käsityksessä maailmankaikkeuden rakenteesta. Neljä monitahoista personoi siinä neljä olemusta tai "elementtiä". Tetraedri symboloi tulta, koska. sen yläosa on suunnattu ylöspäin; ikosaedri - vesi, koska hän on "virtaviivaisin"; kuutio - maa, "vakaisimpana"; oktaedri - ilma, "ilmavampana". Viides monitahoinen, dodekaedri, sisälsi "kaiken, mikä on olemassa", symboloi koko maailmankaikkeutta, ja sitä pidettiin tärkeimpänä.

Muinaiset kreikkalaiset pitivät harmonisia suhteita maailmankaikkeuden perustana, joten heidän neljä elementtiään yhdisti tällainen suhde: maa/vesi=ilma/tuli. Platon viritti "alkuaineiden" atomit täydellisiksi konsonansseiksi, kuten lyyran neljä kieleä. Haluan muistuttaa, että miellyttävää konsonanssia kutsutaan konsonanssiksi. On sanottava, että platonisten kiintoaineiden omituiset musiikilliset suhteet ovat puhtaasti spekulatiivisia eikä niillä ole geometristä perustaa. Nämä suhteet eivät liity toisiinsa platonisten solidien kärkien lukumäärää, säännöllisten monitahojen tilavuuksia tai reunojen tai pintojen määrää.

Näiden kappaleiden yhteydessä olisi asianmukaista sanoa, että Aristoteles kanonisoi ensimmäisen elementtijärjestelmän, joka sisälsi neljä alkuainetta - maan, veden, ilman ja tulen. Nämä elementit pysyivät maailmankaikkeuden neljänä kulmakivenä vuosisatojen ajan. On täysin mahdollista tunnistaa ne neljällä meille tiedolla olevalla aineella - kiinteällä, nestemäisellä, kaasumaisella ja plasmalla.

I. Keplerin maailman harmonisen rakenteen järjestelmässä säännölliset polyhedrat olivat tärkeässä asemassa. Sama usko harmoniaan, kauneuteen ja universumin matemaattisesti säännölliseen rakenteeseen johti I. Keplerin ajatukseen, että koska säännöllisiä monitahoja on viisi, niitä vastaa vain kuusi planeettaa. Hänen mielestään planeettojen pallot ovat yhteydessä toisiinsa niihin kirjoitettujen platonisten kiinteiden aineiden avulla. Koska jokaisen säännöllisen monitahoisen piirretyn ja rajatun pallon keskipisteet ovat samat, koko mallilla on yksi keskus, jossa aurinko sijoittuu.

Tehtyään valtavan laskennallisen työn I. Kepler julkaisi vuonna 1596 löytönsä tulokset kirjassa "The Secret of the Universe". Hän piirtää kuution Saturnuksen kiertoradan palloon, kuutioon - Jupiterin palloon, Jupiterin palloon - tetraedrin ja niin edelleen sopivat peräkkäin toisiinsa Marsin pallon - dodekaedrin, Maan pallon - ikosaedri, Venuksen pallo - oktaedri, Merkuriuksen pallo. Universumin salaisuus näyttää avoimelta.

Nykyään on turvallista sanoa, että planeettojen väliset etäisyydet eivät liity mihinkään polyhedraan. On kuitenkin mahdollista, että ilman I. Keplerin "Universumin salaisuuksia", "Maailman harmoniaa", säännöllistä polyhedraa ei olisi ollut kolmea kuuluisaa I. Keplerin lakia, joilla on tärkeä rooli liikkeen kuvauksessa. planeetoista.

Missä muualla voit nähdä näitä upeita ruumiita? Vuosisadamme alun saksalaisen biologin E. Haeckelin erittäin kauniista kirjasta "Muotoilun kauneus luonnossa" voidaan lukea seuraavat rivit: "Luonto ravitsee povessaan ehtymätöntä määrää hämmästyttäviä olentoja niin pitkälle. ylittää kaikki ihmistaiteen luomat muodot kauneudeltaan ja monimuotoisuudeltaan." Tämän kirjan luonnon luomukset ovat kauniita ja symmetrisiä. Tämä on luonnollisen harmonian erottamaton ominaisuus. Mutta täällä voit nähdä myös yksisoluisia organismeja - feodarii, joiden muoto välittää tarkasti ikosaedrin. Mikä aiheutti tällaisen luonnollisen geometrisoinnin? Ehkä johtuen kaikista monitahoista, joissa on sama määrä pintaa, ikosaedri on se, jolla on suurin tilavuus ja pienin pinta-ala. Tämä geometrinen ominaisuus auttaa meren mikro-organismia voittamaan vesipatsaan paineen.

Mielenkiintoista on myös se, että ikosaedri osoittautui biologien huomion keskipisteeksi heidän kiistoissaan virusten muodosta. Virus ei voi olla täysin pyöreä, kuten aiemmin luultiin. Sen muodon määrittämiseksi he ottivat erilaisia ​​polyhedroneja, jotka suuntasivat valoa niihin samoissa kulmissa kuin atomien virtaus virukseen. Kävi ilmi, että vain yksi monitahoinen antaa täsmälleen saman varjon - ikosaedri. Sen edellä mainitut geometriset ominaisuudet mahdollistavat geneettisen tiedon tallentamisen. Säännölliset polyhedrat ovat edullisimmat hahmot. Ja luonto käyttää tätä hyväkseen. Joidenkin meille tuttujen aineiden kiteet ovat säännöllisten monitahojen muodossa. Kuutio välittää siis natriumkloridikiteiden NaCl muodon, alumiini-kaliumaluna (KAlSO4) 2 12H2O yksikitei on oktaedrin muotoinen, rikkikiisusulfidikiteellä FeS on dodekaedrin muoto, antimoninatriumsulfaatti on muodoltaan tetraedri, boori on ikosaedri. Säännölliset polyhedrat määräävät joidenkin kemikaalien kidehilojen muodon. Havainnollistan tätä ajatusta seuraavalla ongelmalla.

Tehtävä. CH4-metaanimolekyylin mallilla on säännöllisen tetraedrin muoto, jonka neljässä kärjessä on vetyatomeja ja keskellä - hiiliatomi. Määritä kahden CH-sidoksen välinen sidoskulma.

Päätös. Koska säännöllisessä tetraederissä on kuusi yhtäläistä reunaa, on mahdollista valita sellainen kuutio, että sen pintojen lävistäjät ovat säännöllisen tetraedrin reunoja (kuva 2). Kuution keskipiste on myös tetraedrin keskipiste, koska tetraedrin neljä kärkeä ovat myös kuution kärkipisteitä ja niiden ympärillä kuvattu pallo määräytyy yksiselitteisesti neljällä pisteellä, jotka eivät ole samassa tasossa. Haluttu kulma j kahden CH-sidoksen välillä on yhtä suuri kuin kulma AOS. Kolmio AOC on tasakylkinen. Siten missä a on kuution sivu, d on tetraedrin sivupinnan tai reunan diagonaalin pituus. Joten mistä \u003d 54,73561 O ja j \u003d 109,47 O

Pythagoraan, Platonin, I. Keplerin ajatukset säännöllisten monitahojen yhteydestä maailman harmoniseen rakenteeseen ovat jo saaneet jatkoa meidän aikanamme mielenkiintoisessa tieteellisessä hypoteesissa, jonka kirjoittajat (80-luvun alussa) olivat Moskovan insinöörejä. V. Makarov ja V. Morozov. He uskovat, että Maan ytimellä on kasvavan kiteen muoto ja ominaisuudet, jotka vaikuttavat kaikkien planeetalla tapahtuvien luonnollisten prosessien kehitykseen. Tämän kiteen säteet, tai pikemminkin sen voimakenttä, määräävät Maan ikosaedri-dodekaedrirakenteen (kuva 3), mikä ilmenee siinä, että maapalloon piirrettyjen säännöllisten polyhedrien projektiot ilmestyvät maankuoreen: ikosaedri. ja dodekaedri. Niiden 62 kärjessä ja reunojen keskipisteissä, joita kirjoittajat kutsuvat solmuiksi, on joukko erityisiä ominaisuuksia, jotka mahdollistavat joidenkin käsittämättömien ilmiöiden selittämisen.

Jos asetat maapallolle muinaisen maailman suurimpien ja merkittävimpien kulttuurien ja sivilisaatioiden keskukset, voit havaita niiden sijainnissa kuvion suhteessa planeetan maantieteellisiin napoihin ja päiväntasaajaan. Monet mineraaliesiintymät ulottuvat ikosaedri-dodekaedriverkkoa pitkin. Vielä hämmästyttävämpiä asioita tapahtuu näiden kylkiluiden risteyksessä: tässä ovat vanhimpien kulttuurien ja sivilisaatioiden keskukset: Peru, Pohjois-Mongolia, Haiti, Ob-kulttuuri ja muut. Näissä kohdissa on ilmanpaineen maksimi ja minimi, Maailman valtameren jättimäiset pyörteet, täällä Skotlannin Loch Ness, Bermudan kolmio. Maapallon lisätutkimukset ehkä määrittävät asenteen tähän kauniiseen tieteelliseen hypoteesiin, jossa ilmeisesti säännöllisillä polyhedrailla on tärkeä paikka.

Joten havaittiin, että säännöllisiä monitahoja on tasan viisi. Ja kuinka määrittää niiden reunojen, pintojen ja kärkien lukumäärä? Tämä ei ole vaikea tehdä monitahoisille, joissa on pieni määrä reunoja, mutta kuinka saada tällainen tieto esimerkiksi ikosaedrille? Kuuluisa matemaatikko L. Euler sai kaavan В+Г-Р=2, joka kertoo minkä tahansa monitahoisen kärkien /В/, pintojen /Г/ ja reunojen /Р/ lukumäärän. Tämän kaavan yksinkertaisuus on, että sillä ei ole mitään tekemistä etäisyyden tai kulmien kanssa. Säännöllisen monitahoisen reunojen, kärkien ja pintojen määrittämiseksi etsitään ensin luku k \u003d 2y - xy + 2x, missä x on yhteen pintaan kuuluvien reunojen lukumäärä, y on konvergoivien pintojen lukumäärä yhdessä kärjessä. Käytämme kaavoja löytääksemme säännöllisen monitahoisen pintojen, kärkien ja reunojen lukumäärän. Sen jälkeen on helppo täyttää taulukko, jossa on tietoa säännöllisen polyhedran elementeistä:

monitahoinen H W R

tetraedri 4-4-6

heksaedri 6-8-12

oktaedri 8-6-12

dodekaedri 12-20-30

ikosaedri 20-12-30

Ja tavallisten polyhedrien yhteydessä herää vielä yksi kysymys: voidaanko niillä täyttää tila niin, ettei niiden väliin jää aukkoja? Se syntyy analogisesti säännöllisten monikulmioiden kanssa, joista osa voi täyttää tason. Osoittautuu, että voit täyttää tilan vain yhden tavallisen monitahoisen kuution avulla. Avaruus voidaan täyttää myös rombisilla dodekaedreilla. Tämän ymmärtämiseksi sinun on ratkaistava ongelma.

Tehtävä. Rakenna rombinen dodekaedri seitsemän kuution avulla, jotka muodostavat avaruudellisen "ristin", ja näytä, että ne voivat täyttää tilaa.

Päätös. Kuutiot voivat täyttää tilan. Tarkastellaan kuvan 4 mukaista kuutiohilan osaa. Jätämme keskimmäisen kuution koskemattomaksi ja jokaisessa "rajoittavassa" kuutiossa piirrämme tasot kaikkien kuuden vastakkaisen reunan parin läpi. Tässä tapauksessa "ympäröivät" kuutiot jaetaan kuuteen yhtä suureen pyramidiin, joiden pohjat ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin puolet kuution diagonaalista. Koskemattoman kuution vieressä olevat pyramidit muodostavat yhdessä kuution kanssa rombisen dodekaedrin. Tästä on selvää, että koko tila voidaan täyttää rombisilla dodekaedreilla. Seurauksena on, että rombisen dodekaedrin tilavuus on kaksinkertainen sen kuution tilavuuteen, jonka reuna osuu dodekaedrin pinnan pienempään diagonaaliin.

Ratkaisimme viimeisen tehtävän, päädyimme rombisiin dodekaedreihin. Mielenkiintoista on, että mehiläissolut, jotka myös täyttävät tilan ilman aukkoja, ovat myös ihanteellisesti geometrisia muotoja. Mehiläissolun yläosa on osa rombista dodekaedria.

Joten säännölliset polyhedrat paljastivat meille tutkijoiden yritykset lähestyä maailman harmonian salaisuutta ja osoittivat geometrian vastustamattoman houkuttelevuuden.

Etusivu > Abstrakti

OPETUSMINISTERIÖ

TOIMIALAKOULUT №3

ESSEE

geometriassa

Aihe:

"Ponyhedra".

Esitetty: 11-"b"-luokan oppilas MOU-yleisoppilaitos nro 3 Alyabyeva Yulia. Tarkistettu: matematiikan opettaja Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Zheleznovodsk

Suunnitelma

I. Johdanto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Teoreettinen osa

Dihedraalinen kulma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Kolmi- ja monitahoiset kulmat. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Polyhedron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Prisman kuva ja sen osien rakenne. . . . . 7 suora prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . yhdeksän Suuntaissärmiö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . yhdeksän Suuntasärmiön keskisymmetria. . . . . . . . kymmenen Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö. . . . . . . . . . . . . . . . . . yksitoista

10. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön symmetria. . . . 12 11. Pyramidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kolmetoista 12. Pyramidin ja sen tasoprofiilien rakentaminen. . . . . . kolmetoista 13. Katkaistu pyramidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viisitoista 14. Oikea pyramidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viisitoista 15. Säännöllinen polyhedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kuusitoista III. Käytännön osa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Johtopäätös. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yhdeksäntoista V. Kirjallisuus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. Johdanto

Koulugeometriassa on erityisiä aiheita, joita odotat innolla odottaen tapaamista uskomattoman kauniin materiaalin kanssa. Tällaisia ​​aiheita ovat muun muassa "Polyhedra". Täällä ei avaudu pelkästään ainutlaatuisten ominaisuuksien geometristen kappaleiden upea maailma, vaan myös mielenkiintoisia tieteellisiä hypoteeseja. Ja sitten geometriatunnista tulee eräänlainen opiskelu tavallisen kouluaineen odottamattomista näkökohdista. Yhdelläkään geometrisista kappaleista ei ole niin täydellisyyttä ja kauneutta kuin monitahoinen. "On uhmaamattoman vähän polyhedroneja", L. Carroll kirjoitti kerran, "mutta tämä irrallisuus, jonka määrä on hyvin vaatimaton, onnistui pääsemään eri tieteiden syvyyksiin."

II. Teoreettinen osa.

1. Dihedraalinen kulma dihedraalinen kulma kutsutaan kuvioksi, joka muodostuu kahdesta "puolitasosta, joita rajoittaa yhteinen suora (kuva 1). Puolitasoja kutsutaan ns. kasvot, ja viiva, joka rajoittaa niitä reuna dihedraalinen kulma. Taso, joka on kohtisuorassa kaksitahoisen kulman reunaan nähden, leikkaa sen pinnat kahta puoliviivaa pitkin. Näiden puoliviivojen muodostamaa kulmaa kutsutaan lineaarinen. kulma dihedraalinen kulma. Dihedraalisen kulman mitta otetaan vastaavan lineaarikulman mittana. Kaikki dihedraalisen kulman lineaariset kulmat yhdistetään rinnakkaissiirrolla, mikä tarkoittaa, että ne ovat yhtä suuret. Siksi dihedraalisen kulman mitta ei riipu lineaarisen kulman valinnasta. 2. Kolmikulmaiset ja monitahoiset kulmat Harkitse kolmea palkkia a, b, c, jotka tulevat samasta pisteestä eivätkä ole samassa tasossa. kolmiokulma (abc) kutsutaan hahmoksi, joka koostuu "kolmesta litteästä kulmasta (ab),(bc) ja (ac) (kuvio 2). Näitä kulmia kutsutaan kasvot kolmikulmainen kulma ja niiden sivut - kylkiluut kutsutaan litteiden kulmien yhteistä kärkeä kokous kolmiokulma. Kolmikulmaisen kulman pintojen muodostamia kaksikulmia kutsutaan kolmiokulman kaksikulmaiset kulmat. Monitahoisen kulman käsite määritellään samalla tavalla (kuva 3).

3. Polyhedron

Stereometriassa tutkitaan avaruuden hahmoja, joita kutsutaan kappaleiksi. Visuaalisesti (geometrinen) kappale tulee kuvitella osana tilaa, jonka miehittää fyysinen kappale ja jota rajaa pinta. Monitahoinen on kappale, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä litteitä polygoneja (kuva 4). Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se on jokaisen pinnallaan olevan tasaisen monikulmion tason toisella puolella. Tällaisen tason ja kuperan monitahoisen pinnan yhteistä osaa kutsutaan kasvoksi. Kuperan polyhedronin pinnat ovat litteitä kuperaa monikulmiota. Pintojen sivuja kutsutaan monitahoisen reunuksiksi ja pisteitä monitahoisen kärjeksi. Selvitetään, mitä sanottiin tutun kuution esimerkissä (kuva 5). Kuutio on kupera monitahoinen. Sen pinta koostuu kuudesta neliöstä: ABCD, BEFC, .... Ne ovat sen kasvot. Kuution reunat ovat näiden neliöiden sivut: AB, BC, BE,.... Kuution kärjet ovat neliöiden kärjet: A, B, C, D, E, .... Kuutiossa on kuusi pintaa, kaksitoista reunaa ja kahdeksan kärkeä Yksinkertaisin polyhedra - prismat ja pyramidit, jotka ovat tutkimuksemme pääkohde - annamme sellaiset määritelmät, jotka eivät käytännössä käytä kehon käsitettä. Ne määritellään geometrisiksi kuvioiksi, joissa on kaikki niihin kuuluvat avaruuden pisteet. Geometrisen kappaleen käsite ja sen pinta yleisessä tapauksessa annetaan myöhemmin.

4. Prisma

Prisma on monitahoinen, joka koostuu kahdesta eri tasossa olevasta litteästä monikulmiosta, jotka on yhdistetty rinnakkaissiirrolla, ja kaikista näiden monikulmioiden vastaavia pisteitä yhdistävistä segmenteistä (kuva 6). Monikulmioita kutsutaan prisman kantaviksi ja vastaavia pisteitä yhdistäviä segmenttejä prisman sivureunoiksi. Koska rinnakkaissiirto on liikettä, prisman kantat ovat yhtä suuret. Koska rinnakkaissiirron aikana taso siirtyy yhdensuuntaiseen tasoon (tai itseensä), niin prisman kantat ovat yhdensuuntaisissa tasoissa, reunat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Prisman pinta koostuu alustasta ja sivupinnasta. Sivupinta koostuu suunnikasista. Jokaiselle näistä suunnikasista kaksi sivua ovat kannan vastaavia sivuja ja kaksi muuta ovat vierekkäisiä sivureunoja. Prisman korkeus on sen kannan tasojen välinen etäisyys. Janaa, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan, kutsutaan prisman diagonaaliksi. Prismaa kutsutaan n-kulmaiseksi, jos sen kanta on n-kulmainen. Tulevaisuudessa tarkastellaan vain prismoja, joiden kanta on kupera monikulmio. Tällaiset prismat ovat kuperia monitahoisia. Kuva 6 esittää viisikulmaista prismaa. Sen pohjat ovat viisikulmioita. MUTTA 1 MUTTA 2 ...MUTTA 5 , MUTTA 1 ’ MUTTA" 2 ...MUTTA" 5 . XX"- jana, joka yhdistää kantojen vastaavat pisteet. Prismasegmenttien sivureunat MUTTA 1 MUTTA" 2 , MUTTA 1 MUTTA" 2 , ..., MUTTA 5 MUTTA" 5 . Prisman sivupinnat - suunnikkaat MUTTA 1 MUTTA 2 MUTTA" 2 MUTTA 1 , MUTTA 2 MUTTA 3 MUTTA ’ 3 MUTTA" 2 , ... .

5. Prisman kuva ja sen osien rakenne

Rinnakkaisen projisoinnin sääntöjen mukaisesti prisman kuva muodostetaan seuraavasti. Ensin rakennetaan yksi tukikohdista R(Kuva 7). Siitä tulee litteä monikulmio. Sitten monikulmion kärjestä R prisman lateraaliset rivat piirretään samanpituisten yhdensuuntaisten segmenttien muotoon. Näiden segmenttien päät yhdistetään ja saadaan toinen prisman kanta. Näkymättömät reunat piirretään katkoviivoilla. Prisman sivureunojen suuntaisten tasojen poikkileikkaukset ovat suunnikkaita. Erityisesti lävistäjäleikkaukset ovat suunnikkaita. Nämä ovat poikkileikkauksia tasoilla, jotka kulkevat kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan (kuva 8). Käytännössä erityisesti tehtäviä ratkaistaessa on usein tarpeen rakentaa prisman leikkaus tietyn suoran läpi kulkevan tason mukaan. g prisman yhden kannan tasolla. Tällaista linjaa kutsutaan Seuraava leikkaustaso alustan tasossa. Prisman osuuden rakentamiseksi riittää, että rakennetaan segmentit leikkauspisteen leikkauspisteestä prisman pintojen kanssa. Osoitetaan, kuinka tällainen leikkaus muodostetaan, jos jokin piste tunnetaan MUTTA poikkileikkaukseen kuuluvan prisman pinnalle (kuva 9). Jos tämä kohta MUTTA kuuluu prisman toiseen kantaan, niin sen leikkauspiste leikkaustason kanssa on segmentti aurinko, yhdensuuntainen herätyksen kanssa g ja sisältää annetun pisteen MUTTA(Kuva 9, a). Jos tämä kohta MUTTA kuuluu sivupintaan, niin tämän pinnan ja leikkaustason leikkauspiste muodostetaan kuvan 9 mukaisesti, b. Nimittäin: ensin rakennetaan piste D, jossa kasvojen taso leikkaa annetun jäljen g. Sitten pisteiden läpi vedetään viiva MUTTA ja D. Jana aurinko suoraan ILMOITUS tarkasteltavalla pinnalla on tämän pinnan leikkauspiste leikkaustason kanssa. Jos kasvot sisältävät pisteen MUTTA, yhdensuuntainen jäljen kanssa g sitten leikkaustaso leikkaa tämän pinnan segmenttiä pitkin aurinko, kulkee pisteen läpi MUTTA ja yhdensuuntainen suoran g kanssa.

Linja päättyy aurinko kuuluvat naapurikasvoille. Siksi kuvatulla tavalla on mahdollista rakentaa näiden pintojen leikkauspiste leikkaustasomme kanssa. Ja niin edelleen. Kuva 10 esittää nelikulmaisen prisman poikkileikkauksen muodostamista suoran läpi kulkevan tason avulla a prisman alemman kannan ja pisteen tasossa MUTTA toisella kylkiluusta. 6. Suora prisma Prismaa kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Muuten prismaa kutsutaan vinoksi. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Kuvassa suoraa prismaa esitettäessä sivurivat piirretään yleensä pystysuoraan (kuva 11). Suoraa prismaa kutsutaan säännölliseksi, jos sen kantat ovat säännöllisiä monikulmioita. Prisman sivupinta (tarkemmin sanottuna sivupinnan pinta-ala) on sivupintojen pinta-alojen summa. Prisman kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sivupinnan ja kantapintojen summa. Lause 19.1. Suoran prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo eli sivureunan pituus. Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Näiden suorakulmioiden kantat ovat prisman pohjalla olevan monikulmion sivut ja korkeudet ovat yhtä suuria kuin sivureunojen pituus. Tästä seuraa, että prisman sivupinta on yhtä suuri

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l = pl,

missä a 1 ,..., a n- pohjan reunojen pituus, R - prisman pohjan kehä, ja 1 - sivujousteen pituus. Lause on todistettu. 7. Rinnakkaisputki Jos prisman kanta on suuntaissärmiö, sitä kutsutaan suuntaissärmiöksi. Suuntasärmiön kaikki pinnat ovat suunnikkaita. Kuvassa 12 a on esitetty kalteva suuntaissärmiö ja kuviossa 12 b - suora suuntaissärmiö. Suuntasärmiön kasvoja, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, kutsutaan vastakkaisiksi pinnoiksi. LAUSE 19.2. Suuntaissärmiöllä on vastakkaiset pinnat, jotka ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Todiste. Tarkastellaan suuntaissärmiön kahta vastakkaista pintaa, esimerkiksi A1A2A"2A"1 ja A3A4A"4A"3. (Kuva 13). Koska kaikki suuntaissärmiön pinnat ovat suuntaissärmiöitä, suora A1A2 on yhdensuuntainen linjan A4A3 kanssa ja viiva A1A"1 on yhdensuuntainen suoran A4A4 kanssa". Tästä seuraa, että tarkasteltavien pintojen tasot ovat yhdensuuntaiset. Siitä tosiasiasta, että suuntaissärmiön pinnat ovat suunnikkaat, seuraa, että segmentit A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 ja A2A3 ovat yhdensuuntaisia ​​ja yhtä suuria. Tästä syystä päätämme, että pinta A1A2A"2A"1 on yhdistetty yhdensuuntaisella translaatiolla pitkin reunaa A1A4. kasvot A3A4A "4A" 3. Nämä reunat ovat siis yhtä suuret. Samansuuntaisuus ja muiden suuntaissärmiön vastakkaisten pintojen yhtäläisyys todistetaan samalla tavalla. Lause on todistettu.
8. Suuntasärmiön keskisymmetria Lause 19.3. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja leikkauspiste jaetaan puoliksi. Todiste. Tarkastellaan kahta suuntaissärmiön lävistäjää, esimerkiksi A 1 A "3 ja A 4 A" 2 (kuva 14). Koska nelikulmiot A 1 A 2 A 3 A 4 ja A 2 A "2 A" 3 A 3 ovat suunnikkaita, joilla on yhteinen sivu A 2 A 3, niin niiden sivut A 1 A 4 ja A "2 A" 3 ovat yhdensuuntaiset toisiaan, mikä tarkoittaa, että ne sijaitsevat samassa tasossa. Tämä taso leikkaa suuntaissärmiön vastakkaisten pintojen tasot yhdensuuntaisia ​​linjoja A 1 A" 2 ja A 4 A" 3 pitkin. Siksi nelikulmio A 4 A 1 A "2 A" 3 on suunnikkaampi. Suuntasärmiön A 1 A "3 ja A 4 A" 2 lävistäjät ovat tämän suuntaviivan lävistäjät. Siksi ne leikkaavat ja leikkauspiste O jaetaan puoliksi. Samoin on todistettu, että lävistäjät A1A"3 ja A2A"4 sekä diagonaalit A1A"3 ja A3A"1 leikkaavat ja puolittavat leikkauspisteen. Tästä päätämme, että suuntaissärmiön kaikki neljä lävistäjää leikkaavat yhdessä pisteessä ja leikkauspiste on jaettu puoliksi. Lause on todistettu. Lause 19.3 viittaa siihen suuntaissärmiön diagonaalien leikkauspiste on sen symmetriakeskus. 9. Suorakaiteen muotoinen laatikko Suorakulmaista suuntaissärmiötä, jonka kanta on suorakulmio, kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi suuntaissärmiöksi. Kaikki kuution pinnat ovat suorakulmioita. Suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret, kutsutaan kuutioksi. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ei-samansuuntaisten reunojen pituuksia kutsutaan sen lineaarisiksi mitoiksi (mittauksiksi). Kuutiolla on kolme ulottuvuutta. Lause 19.4. Kuutiomuodossa minkä tahansa diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa. Todiste. Tarkastellaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä ABCDA"B"C"D" (kuva 15). Oikeasta kolmiosta AC "C Pythagoraan lauseen mukaan saamme:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2 .

Suorasta kolmiosta ASV saadaan Pythagoraan lauseella

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

Siksi AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

Reunat AB, BC ja CC" eivät ole yhdensuuntaiset, ja siksi niiden pituudet ovat suuntaissärmiön lineaariset mitat. Lause on todistettu. 10. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön symmetria Suorakaiteen muotoisella suuntaissärmiöllä, kuten kaikilla suuntaissärmiöillä, on symmetriakeskus - sen diagonaalien leikkauspiste. Siinä on myös kolme symmetriatasoa, jotka kulkevat symmetriakeskuksen läpi yhdensuuntaisesti kasvojen kanssa. Kuvassa 16 on yksi näistä tasoista. Se kulkee suuntaissärmiön neljän yhdensuuntaisen reunan keskipisteen läpi. Reunojen päät ovat symmetrisiä pisteitä. Jos suuntaissärmiön kaikki lineaariset mitat ovat erilaiset, sillä ei ole muita symmetriatasoja kuin nimetyt. Jos suuntaissärmiön kaksi lineaarista ulottuvuutta on yhtä suuri, sillä on kaksi symmetriatasoa lisää. Nämä ovat kuvassa 17 esitettyjä lävistäjäleikkausten tasoja. Jos suuntaissärmiön kaikki lineaariset mitat ovat yhtä suuret, eli se on kuutio, niin sen minkä tahansa lävistäjäleikkauksen taso on symmetriataso. Siten kuutiolla on yhdeksän symmetriatasoa. 11. Pyramidi Pyramidi kutsutaan polyhedroniksi, joka koostuu litteästä monikulmiosta - pyramidipohjat, piste, joka ei ole pohjan tasossa, - pyramidin huiput ja kaikki segmentit, jotka yhdistävät pyramidin huipun jalustan pisteisiin (kuva 18). Segmenttejä, jotka yhdistävät pyramidin huipun jalustan yläosaan, kutsutaan kylkiluut. Pyramidin pinta koostuu pohjasta ja sivupinnasta. Jokainen sivupinta on kolmio. Yksi sen huipuista on pyramidin huippu ja vastakkainen puoli on pyramidin pohjan sivu. pyramidin korkeus, kutsutaan kohtisuoraksi, joka on pudonnut pyramidin huipulta pohjan tasoon. Pyramidia kutsutaan n-kulmaiseksi, jos sen kanta on n-kulmio. Kolmiopyramidia kutsutaan myös tetraedri. Kuvassa 18 esitetyn pyramidin kanta - monikulmio A 1 A 2 ... A n, pyramidin huippu - S, sivureunat - SA 1, S A 2, ..., S A n, sivupinnat -  SA 1 A 2,  SA 2 A 3 , ... . Seuraavassa tarkastellaan vain pyramideja, joiden pohjassa on kupera monikulmio. Tällaiset pyramidit ovat kuperia monitahoja. 12. Pyramidin ja sen tasoprofiilien rakentaminen Yhdensuuntaisen projektion sääntöjen mukaisesti pyramidin kuva rakennetaan seuraavasti. Ensin rakennetaan perustus. Siitä tulee litteä monikulmio. Sitten pyramidin yläosa on merkitty, joka on yhdistetty sivuttaisilla rivoilla pohjan yläosaan. Kuvassa 18 on kuva viisikulmaisesta pyramidista. Pyramidin yläosan läpi kulkevien tasojen poikkileikkaukset ovat kolmioita (kuva 19). Erityisesti diagonaaliset osat ovat kolmioita. Nämä ovat poikkileikkauksia tasoilla, jotka kulkevat pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi (kuva 20). Pyramidin poikkileikkaus tasosta, jonka pohjan tasossa on annettu viiva g, muodostetaan samalla tavalla kuin prisman leikkaus. Pyramidin poikkileikkauksen rakentamiseksi tason mukaan riittää, että rakennetaan sen sivupintojen leikkauspisteet leikkaustason kanssa. Jos pinnalla, joka ei ole yhdensuuntainen juovan g kanssa, tunnetaan jokin leikkauspisteeseen kuuluva piste A, niin leikkaustason jäljen g leikkauspiste tämän pinnan tason kanssa muodostetaan ensin - piste D kuvassa 21. Piste. D on yhdistetty pisteeseen A suoralla viivalla. Sitten tämän linjan pintaan kuuluva segmentti on tämän pinnan leikkauspiste leikkaustason kanssa. Jos piste A on viivan g kanssa samansuuntaisella pinnalla, leikkaustaso leikkaa tämän pinnan pitkin janaa, joka on yhdensuuntainen suoran g kanssa. Menemällä viereiselle sivupinnalle he rakentavat sen leikkauspisteen leikkaustason kanssa jne. Tämän seurauksena saadaan tarvittava pyramidin osa.
Kuva 22 esittää leikkausta nelikulmaisesta pyramidista tasosta, joka kulkee pohjan sivun ja pisteen A läpi sen yhdellä sivureunasta.

13. Katkaistu pyramidi Lause 19.5. Taso, joka leikkaa pyramidin ja on yhdensuuntainen sen pohjan kanssa, katkaisee samanlaisen pyramidin. Todiste. Olkoon S pyramidin kärki, A kannan kärki ja A "- sekanttitason ja sivureunan SA leikkauspiste (kuva 23). Alistamme pyramidin homoteettimuunnoksen suhteessa kärki S homoteetisuuskertoimella

Tällä homotetiikalla kannan taso siirtyy yhdensuuntaiseen tasoon, joka kulkee pisteen A kautta, eli leikkaustasoon, ja siten koko pyramidi tämän tason leikkaamaan osaan. Koska homoteetia on samankaltaisuus muunnos, pyramidin leikkausosa on pyramidi, samanlainen kuin tämä, lause on todistettu.

Lauseen 19.5 mukaan taso, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan tason kanssa ja leikkaa sen sivureunat, katkaisee siitä samanlaisen pyramidin. Toinen osa on monitahoinen, jota kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi (kuva 24). Yhdensuuntaisissa tasoissa sijaitsevia katkaistun pyramidin pintoja kutsutaan kannaksi; muut kasvot ovat nimeltään sivureunat. Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​(lisäksi homoteettisia) polygoneja, sivupinnat puolisuunnikkaan muotoisia. 14. Oikea pyramidi Pyramidia kutsutaan säännölliseksi, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja korkeuden kanta on sama kuin tämän monikulmion keskipiste. Säännöllisen pyramidin akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden. On selvää, että säännöllisen pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret; siksi sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita. Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan apoteemiksi. Pyramidin sivupinta on sen sivupintojen pintojen summa. LAUSE 19.6. Säännöllisen pyramidin sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo. Todiste. Jos pohjapuoli a, sivujen lukumäärä P, silloin pyramidin sivupinta on yhtä suuri kuin:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

Missä minä- apoteemi, a p- pyramidin pohjan kehä. Lause on todistettu. Typistettyä pyramidia, joka saadaan tavallisesta pyramidista, kutsutaan myös oikea. Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita; niiden korkeuksia kutsutaan apoteemeja. 15. Säännöllinen polyhedra Kuperaa polyhedriaa kutsutaan säännölliseksi, jos sen pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita, joilla on sama määrä sivuja ja sama määrä reunoja, jotka suppenevat monitahoisen jokaisessa kärjessä.) Säännöllisiä kuperia monitahoja on viisi tyyppiä (kuva 25): säännöllinen tetraedri (1), kuutio (2), oktaedri (3), dodekaedri (4); ikosaedri (5). Säännöllisen tetraedrin pinnat ovat säännöllisiä kolmioita; kolme reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä. Tetraedri on kolmion muotoinen pyramidi, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret. Kuutiossa kaikki pinnat ovat neliöitä; kolme reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä. Kuutio on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jolla on samat reunat. Oktaedrin pinnat ovat säännöllisiä kolmioita, mutta toisin kuin tetraedri, neljä reunaa konvergoi jokaisessa sen kärjessä. Dodekaedrin pinnat ovat säännöllisiä viisikulmioita. Kolme reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä. Ikosaedrin pinnat ovat säännöllisiä kolmioita, mutta toisin kuin tetraedri ja oktaedri, viisi reunaa konvergoi jokaisessa kärjessä.

III. Käytännön osa.

Tehtävä 1. Dihedraalisen kulman pinnoilla olevista pisteistä A ja B pudotetaan kohtisuorat AA\ ja BB\ kulman reunalle. Etsi janan AB pituus, jos AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c ja kaksitahoinen kulma on a (kuva 26). Päätös. Piirrä viivat A 1 C||BB 1 ja BC||A 1 B 1 . Nelikulmio A 1 B 1 BC on suunnikas, mikä tarkoittaa AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b. Suora A 1 B 1 on kohtisuorassa kolmion AA 1 C tasoon nähden, koska se on kohtisuorassa kahta tämän tason suoraa AA 1 ja CA 1 vastaan. Siksi sen suuntainen suora BC on myös kohtisuorassa tätä tasoa vastaan. Tämä tarkoittaa, että kolmio ABC on suorakulmainen suoralla kulmalla C. Kosinilauseen mukaan AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2 abcos . Pythagoraan lauseen mukaan AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. Tehtävä 2. Kolmiokulmalla (abc) on kaksitahoinen kulma reunassa, jossa on suora viiva, kaksikulmainen reunassa b on yhtä suuri kuin  ja tasainen kulma (bс) on yhtä suuri kuin  (, </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Päätös. Pudotetaan mielivaltaisesta pisteestä A reuna a, kohtisuora AB reunaan b ja kohtisuora AC reunaan c (kuva 27). Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan CB on kohtisuora reunaan b. Suorakulmaisista kolmioista OAB, OSV, AOC ja ABC saadaan: BC/sin )=tg  sin  Tehtävä 3. Kaltevassa prismassa piirretään leikkaus, joka on kohtisuorassa sivuripoille ja leikkaa kaikki sivurivat. Etsi prisman sivupinta, jos poikkileikkauksen kehä on p ja sivureunat l. Päätös. Piirretyn leikkauksen taso jakaa prisman kahteen osaan (kuva 28). Tehdään yksi niistä rinnakkaiskäännökselle, joka yhdistää prisman kantat. Tässä tapauksessa saadaan suora prisma, jossa alkuperäisen prisman leikkaus toimii pohjana ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin l. Tässä prismassa on sama sivupinta kuin alkuperäisellä prismalla. Siten alkuperäisen prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pl. Tehtävä 4. Pyramidin sivureuna jaetaan neljään yhtä suureen osaan ja jakopisteiden läpi vedetään pohjan suuntaiset tasot. Pohjapinta-ala on 400 cm2. Etsi osien pinta-ala. Päätös. Leikkaukset ovat kuin pyramidin kanta, jonka samankaltaisuuskertoimet ovat ¼, 2/4 ja ¾. Samankaltaisten kuvioiden pinta-alat suhteutetaan lineaaristen mittojen neliöiksi. Siksi poikkileikkauspintojen suhde pyramidin pohjan pinta-alaan on (¼) 2, (2/4) 2 ja (¾) 2. Siksi poikkileikkausalat ovat 400 (¼) 2 \u003d 25 (cm 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (cm 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (cm 2). Tehtävä 5. Todista, että säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta on yhtä suuri kuin kannan kehän ja apoteemin puolen summan tulo. Päätös. Katkaistun pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaita, joilla on sama ylempi kanta a, alempi b ja korkeus (apothem) l. Siksi yhden pinnan pinta-ala on ½ (a + b)l. Kaikkien pintojen eli sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin ½ (an + bn)l, missä n on pyramidin pohjan kärkien lukumäärä, an ja bn ovat pyramidin kantojen kehät. pyramidi.

IV. Johtopäätös

Tämän työn ansiosta tiivistin ja systematisoin 11. luokalla opintojakson aikana saamani tiedot, tutustuin luovan työn tekemisen sääntöihin, sain uutta tietoa ja toteutin sitä käytännössä. Haluaisin korostaa kolmea suosikkikirjaani: A.V. Pogorelov "Geometria", G. Yakusheva "Matematiikka - koululaisen hakuteos", L.F. Pichurin "Geometrian oppikirjan sivujen takana". Nämä kirjat ovat auttaneet minua enemmän kuin muut. Haluaisin käyttää uutta tietoani käytännössä useammin.

V. Kirjallisuus

1. A.V. Pogorelovin geometria. - M .: Koulutus, 1992 2. G. Yakusheva "Matematiikka - koululaisen opas." M.: Slovo, 1995 3. L.D. Kudrjavtsev "Matemaattisen analyysin kurssi" v.1, Moskova 1981 4. L.F. Pichurin "Geometrian oppikirjan sivujen takana". - M .: Koulutus, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometria".