Harkitse projektioiden profiilitasoa. Projektit kahdessa kohtisuorassa tasossa määrittävät yleensä kuvion sijainnin ja mahdollistavat sen todellisten mittojen ja muodon selvittämisen. Mutta on aikoja, jolloin kaksi projektiota ei riitä. Käytä sitten kolmannen projektion rakennetta.

Kolmas projektiotaso suoritetaan siten, että se on kohtisuorassa molempiin projektiotasoihin samanaikaisesti (kuva 15). Kolmas kone on nimeltään profiili.

Tällaisissa rakenteissa kutsutaan vaaka- ja etutason yhteistä linjaa akseli X , vaaka- ja profiilitason yhteinen viiva - akseli klo , ja etu- ja profiilitason yhteinen suora - akseli z . Piste O, joka kuuluu kaikkiin kolmeen tasoon, kutsutaan lähtöpisteeksi.

Kuva 15a esittää pisteen MUTTA ja kolme sen projektiota. Projektio profiilitasoon ( a) kutsutaan profiilin projektio ja merkitsee a.

Saadaksesi kaavion pisteestä A, joka koostuu kolmesta projektiosta a, a a, on tarpeen leikata kaikkien y-akselin tasojen muodostama kolmio (kuva 15b) ja yhdistää kaikki nämä tasot frontaalisen projektion tasoon. Vaakatasoa on käännettävä akselin ympäri X, ja profiilitaso on lähellä akselia z kuvan 15 nuolen osoittamaan suuntaan.

Kuva 16 näyttää ulokkeiden sijainnin a, a ja a pisteitä MUTTA, joka saadaan yhdistämällä kaikki kolme tasoa piirustustason kanssa.

Leikkauksen seurauksena y-akseli esiintyy kaaviossa kahdessa eri paikassa. Vaakatasossa (kuva 16) se ottaa pystyasennon (suoraan akseliin nähden). X), ja profiilitasolla - vaakasuora (suoraan akseliin nähden z).

Kuvassa 16 on kolme projektiota a, a ja a pisteillä A on tiukasti määritelty sijainti kaaviossa ja niihin sovelletaan yksiselitteisiä ehtoja:

a ja a tulee aina sijaita yhdellä pystysuoralla linjalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden X;

a ja a tulee aina sijaita samalla vaakaviivalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden z;

3) vedettynä vaakaprojektion ja vaakaviivan läpi, mutta profiiliprojektion läpi a- pystysuora suora, rakennetut viivat leikkaavat välttämättä projektioakseleiden välisen kulman puolittajalla, koska kuva Oa klo a 0 a n on neliö.

Kun rakennetaan kolme pisteen projektiota, on tarpeen tarkistaa kunkin pisteen kaikkien kolmen ehdon täyttyminen.

Pistekoordinaatit

Pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää käyttämällä kolmea numeroa, joita kutsutaan pisteeksi koordinaatit. Jokainen koordinaatti vastaa pisteen etäisyyttä jostakin projektiotasosta.

Pisteetäisyys MUTTA profiilitasolle on koordinaatti X, jossa X = a˝A(Kuva 15), etäisyys etutasosta - koordinaatilla y, ja y = aa, ja etäisyys vaakatasoon on koordinaatti z, jossa z = aA.

Kuvassa 15 piste A on suorakaiteen muotoisen laatikon leveydellä ja tämän laatikon mitat vastaavat tämän pisteen koordinaatteja, eli kukin koordinaateista on esitetty kuvassa 15 neljä kertaa, eli:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Kaaviossa (kuva 16) x- ja z-koordinaatit esiintyvät kolme kertaa:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Kaikki segmentit, jotka vastaavat koordinaattia X(tai z) ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Koordinoi klo esitetty kahdesti pystyakselilla:

y \u003d Oa y \u003d a x a

ja kahdesti - sijoitettu vaakasuoraan:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Tämä ero ilmeni siitä, että y-akseli on kaaviossa kahdessa eri paikassa.

On huomattava, että kunkin projektion sijainti määritetään kaaviossa vain kahdella koordinaatilla, nimittäin:

1) vaaka - koordinaatit X ja klo,

2) frontaalinen - koordinaatit x ja z,

3) profiili - koordinaatit klo ja z.

Koordinaattien käyttö x, y ja z, voit rakentaa pisteen projektiot kaavioon.

Jos piste A on annettu koordinaateilla, niiden tietue määritellään seuraavasti: A ( X; y; z).

Pisteprojektioita rakennettaessa MUTTA seuraavat ehdot on tarkistettava:

1) vaaka- ja etuulokkeet a ja a X X;

2) etu- ja profiiliulokkeet a ja a tulee sijaita samalla kohtisuorassa akseliin nähden z, koska niillä on yhteinen koordinaatti z;

3) vaakaprojektio ja myös poistettu akselilta X, kuten profiilin projektio a poispäin akselista z, koska projektioilla a′ ja a˝ on yhteinen koordinaatti klo.

Jos piste sijaitsee jossakin projektiotasossa, niin yksi sen koordinaateista on nolla.

Kun piste on projektioakselilla, sen kaksi koordinaattia ovat nolla.

Jos piste sijaitsee origossa, kaikki sen kolme koordinaattia ovat nollia.

Suoran linjan projektio

Viivan määrittämiseen tarvitaan kaksi pistettä. Piste määritellään kahdella projektiolla vaaka- ja etutasolla, eli suora määritetään käyttämällä sen kahden pisteen projektioita vaaka- ja etutasolla.

Kuva 17 näyttää projektiot ( a ja a, b ja b) kaksi pistettä MUTTA ja B. Heidän avullaan jonkin suoran asema AB. Kun yhdistät näiden pisteiden samannimiset projektiot (esim. a ja b, a ja b) voit saada ennusteita ab ja ab suora AB.

Kuva 18 esittää molempien pisteiden projektiot ja kuva 19 niiden läpi kulkevan suoran projektiot.

Jos suoran projektiot määräytyvät sen kahden pisteen projektioiden perusteella, ne merkitään kahdella vierekkäisellä latinalaiskirjaimella, jotka vastaavat suoralta linjalta otettujen pisteiden projektioiden merkintöjä: vedoilla osoittamaan suoran etuprojektiota. suora viiva tai ilman vetoja - vaakaprojektioon.

Jos tarkastelemme yksittäisiä suoran pisteitä, vaan sen projektioita kokonaisuutena, nämä projektiot on merkitty numeroilla.

Jos jossain vaiheessa FROM sijaitsee suoralla linjalla AB, sen projektiot с ja с́ ovat saman suoran projektioissa ab ja ab. Kuva 19 havainnollistaa tätä tilannetta.

Suorat jäljet

jäljittää suoraan- tämä on sen leikkauspiste jonkin tason tai pinnan kanssa (kuva 20).

Vaakasuora rata suora jotakuta kohtaa kutsutaan H missä viiva kohtaa vaakatason, ja edestä-piste V, jossa tämä suora kohtaa etutason (kuva 20).

Kuvassa 21a on esitetty suoran vaakasuora viiva ja sen etuviiva kuviossa 21b.

Joskus huomioidaan myös suoran profiilin jälki, W- suoran ja profiilitason leikkauspiste.

Vaakaviiva on vaakatasossa, eli sen vaakaprojektiossa h osuu yhteen tämän jäljen ja etuosan kanssa h sijaitsee x-akselilla. Frontaaliviiva on frontaalitasossa, joten sen frontaaliprojektio ν́ osuu yhteen sen kanssa ja vaakasuuntainen v on x-akselilla.

Niin, H = h, ja V= v. Siksi suoran viivan jälkiä voidaan käyttää kirjaimia h ja v.

Linjan eri asennot

Suoraa kutsutaan suora yleinen kanta, jos se ei ole yhdensuuntainen eikä kohtisuora mihinkään projektiotasoon nähden. Myöskään suoran projektiot yleisasennossa eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä kohtisuorassa projektioakseleiden kanssa.

Suorat viivat, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​yhden projektiotason kanssa (suorassa jompaankumpaan akseliin nähden). kuvio 22 esittää suoraa linjaa, joka on yhdensuuntainen vaakatason kanssa (suorassa z-akseliin nähden), on vaakasuora viiva; kuva 23 esittää suoraa, joka on yhdensuuntainen etutason kanssa (suorassa akseliin nähden klo), on etulinjan suora; kuva 24 esittää suoraa, joka on yhdensuuntainen profiilitason kanssa (suorassa akseliin nähden X), on profiilisuora viiva. Huolimatta siitä, että jokainen näistä viivoista muodostaa suoran kulman yhden akselin kanssa, ne eivät leikkaa sitä, vaan vain leikkaavat sen.

Koska vaakaviiva (kuva 22) on yhdensuuntainen vaakatason kanssa, sen etu- ja profiiliprojektiot ovat yhdensuuntaisia ​​vaakatason määrittävien akseleiden eli akselien kanssa. X ja klo. Siksi ennusteet ab|| X ja a˝b˝|| klo z. Vaakasuora projektio ab voi olla missä tahansa kuvaajan asennossa.

Etulinjassa (kuva 23) projektio ab|| x ja a˝b˝ || z, eli ne ovat kohtisuorassa akseliin nähden klo, ja siksi tässä tapauksessa frontaaliprojektio ab linja voi ottaa minkä tahansa asennon.

Profiiliviivalla (kuva 24) ab|| y, ab|| z, ja molemmat ovat kohtisuorassa x-akseliin nähden. Projektio a˝b˝ voidaan sijoittaa kaavioon millä tahansa tavalla.

Tarkasteltaessa tasoa, joka projisoi vaakaviivan etutasolle (kuva 22), näet, että se heijastaa tämän linjan myös profiilitasolle, eli se on taso, joka projisoi viivan kahdelle projektiotasolle kerralla - etuosa ja profiili. Tästä syystä sitä kutsutaan kaksinkertainen ulkoneva taso. Samalla tavalla etulinjassa (kuva 23) kaksinkertaisesti ulkoneva taso heijastaa sen vaaka- ja profiiliprojektion tasoihin ja profiilin (kuva 23) - vaaka- ja etuprojektion tasoihin. .

Kaksi projektiota ei voi määrittää suoraa viivaa. Kaksi ennustetta 1 ja yksi profiiliviiva (kuva 25) ilman tämän suoran kahden pisteen projektioiden määrittämistä niihin ei määritä tämän viivan sijaintia avaruudessa.

Tasossa, joka on kohtisuorassa kahta annettua symmetriatasoa vastaan, voi olla ääretön määrä viivoja, joille kaavion tiedot 1 ja yksi ovat heidän ennusteitaan.

Jos piste on suoralla, niin sen projektiot ovat kaikissa tapauksissa tämän suoran samannimisissä projektioissa. Päinvastainen tilanne ei aina päde profiililinjalle. Sen projektioissa voit mielivaltaisesti osoittaa tietyn pisteen projektiot etkä ole varma, että tämä piste sijaitsee tietyllä viivalla.

Kaikissa kolmessa erikoistapauksessa (kuvat 22, 23 ja 24) suoran sijainti projektiotasoon nähden on sen mielivaltainen segmentti AB, joka on otettu kullekin suoralle, heijastetaan yhdelle projektiotasosta ilman vääristymiä, eli sille tasolle, jonka kanssa se on yhdensuuntainen. Jana AB vaakasuora suora (kuva 22) antaa luonnollisen kokoisen projektion vaakatasoon ( ab = AB); Jana AB etusuora (kuva 23) - täysikokoisena etutason V tasossa ( ab = AB) ja segmentti AB profiilisuora (kuva 24) - täysikokoisena profiilitasossa W (a˝b˝\u003d AB), eli piirustuksessa on mahdollista mitata segmentin todellinen koko.

Toisin sanoen kaavioiden avulla voidaan määrittää niiden kulmien luonnolliset mitat, jotka tarkasteltavana oleva suora muodostaa projektiotasojen kanssa.

Kulma, jonka suora viiva muodostaa vaakatason kanssa H, se on tapana merkitä kirjaimella α, etutasolla - kirjaimella β, profiilitasolla - kirjaimella γ.

Millään tarkasteltavana olevista suorista ei ole jälkeä sen kanssa samansuuntaisessa tasossa, eli vaakasuoralla ei ole vaakasuoraa jälkeä (kuva 22), etusuoralla ei ole edestä (kuva 23) ja profiililla suorassa viivalla ei ole profiilijälkeä (kuva 24).

Tarkastellaan pisteiden projektioita kahdelle tasolle, joille otetaan kaksi kohtisuoraa tasoa (kuva 4), joita kutsutaan vaakasuuntaisiksi frontaaliksi ja tasoiksi. Näiden tasojen leikkausviivaa kutsutaan projektioakseliksi. Projisoimme yhden pisteen A tarkasteltaville tasoille tasaisen projektion avulla. Tätä varten on tarpeen laskea kohtisuorat Aa ja A annetusta pisteestä tarkasteltaville tasoille.

Projisointia vaakatasolle kutsutaan suunnittelunäkymä pisteitä MUTTA, ja projektio a? etutasossa kutsutaan etuprojektio.

Kuvaavassa geometriassa projisoitavat pisteet on yleensä merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla. A, B, C. Pieniä kirjaimia käytetään osoittamaan pisteiden vaakasuuntaisia ​​projektioita. a, b, c... Frontaaliset ulokkeet on merkitty pienillä kirjaimilla ja viivalla yläosassa a?, b?, c?…

Pisteiden merkintää roomalaisilla numeroilla I, II, ... käytetään myös ja niiden projektioissa - arabialaisilla numeroilla 1, 2 ... ja 1?, 2? ...

Kun vaakatasoa käännetään 90°, saadaan piirustus, jossa molemmat tasot ovat samassa tasossa (kuva 5). Tämä kuva on ns pisteen juoni.

kohtisuorien viivojen kautta Ah ja Ah? piirrä taso (kuva 4). Tuloksena oleva taso on kohtisuorassa etu- ja vaakatasoon nähden, koska se sisältää kohtisuorat näihin tasoihin nähden. Siksi tämä taso on kohtisuorassa tasojen leikkausviivaa vastaan. Tuloksena oleva suora leikkaa vaakatason suorassa linjassa aa x ja etutaso - suorassa linjassa häh? X. Suoraan aah ja häh? x ovat kohtisuorassa tasojen leikkausakseliin nähden. Tuo on Aaah? on suorakulmio.

Kun yhdistät vaaka- ja etuprojektiotasot a ja a? sijaitsee kohtisuorassa tasojen leikkausakseliin nähden, koska vaakatason pyöriessä segmenttien kohtisuora aa x ja häh? x ei ole rikki.

Saamme sen projektiokaaviosta a ja a? jokin kohta MUTTA ovat aina samalla kohtisuorassa tasojen leikkausakseliin nähden.

Kaksi projektiota a ja a? jonkin pisteen A voi yksiselitteisesti määrittää sijaintinsa avaruudessa (kuva 4). Tämän vahvistaa se tosiasia, että kun rakennetaan kohtisuora projektiosta a vaakatasoon, se kulkee pisteen A läpi. Samoin projektiosta tuleva kohtisuora a? etutasoon kulkee pisteen läpi MUTTA, eli piste MUTTA sijaitsee kahdella määrätyllä linjalla samanaikaisesti. Piste A on niiden leikkauspiste, eli se on määrätty.

Harkitse suorakulmiota Aaa X a?(Kuva 5), ​​joille seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

1) Pisteetäisyys MUTTA etutasosta on yhtä suuri kuin sen vaakaprojektion a etäisyys tasojen leikkausakselista, ts.

Ah? = aa X;

2) pisteetäisyys MUTTA projektioiden vaakatasosta on yhtä suuri kuin sen etuprojektion etäisyys a? tasojen leikkausakselilta, ts.

Ah = häh? X.

Toisin sanoen, jopa ilman itse pistettä kuvaajalla, käyttämällä vain sen kahta projektiota, voit selvittää, millä etäisyydellä kustakin projektiotasosta tämä piste sijaitsee.

Kahden projektiotason leikkauspiste jakaa avaruuden neljään osaan, joita kutsutaan neljännekset(Kuva 6).

Tasojen leikkausakseli jakaa vaakatason kahteen neljännekseen - etu- ja takaosaan ja etutason - ylempään ja alempaan neljännekseen. Etutason yläosa ja vaakatason etuosa katsotaan ensimmäisen neljänneksen rajoihin.

Kun kaavio on vastaanotettu, vaakataso pyörii ja osuu yhteen etutason kanssa (kuva 7). Tässä tapauksessa vaakatason etuosa osuu yhteen etutason alaosan kanssa ja vaakatason takaosa etutason yläosan kanssa.

Kuvissa 8-11 on esitetty pisteet A, B, C, D, jotka sijaitsevat avaruuden eri neljänneksissä. Piste A on ensimmäisellä neljänneksellä, piste B on toisella, piste C on kolmannella ja piste D on neljännellä.

Kun pisteet sijaitsevat niiden ensimmäisellä tai neljännellä neljänneksellä vaakasuuntaiset projektiot sijaitsevat vaakatason etuosassa, ja kaaviossa ne sijaitsevat tasojen leikkausakselin alapuolella. Kun piste sijaitsee toisella tai kolmannella neljänneksellä, sen vaakaprojektio on vaakatason takana ja kaaviossa tasojen leikkausakselin yläpuolella.

Etuprojektiot pisteet, jotka sijaitsevat ensimmäisellä tai toisella neljänneksellä, sijaitsevat etutason yläosassa ja kaaviossa ne sijaitsevat tasojen leikkausakselin yläpuolella. Kun piste sijaitsee kolmannella tai neljännellä neljänneksellä, sen etuprojektio on tasojen leikkausakselin alapuolella.

Useimmiten todellisissa rakenteissa hahmo sijoitetaan tilan ensimmäiseen neljännekseen.

Joissakin erityistapauksissa kohta ( E) voi olla vaakatasossa (kuva 12). Tässä tapauksessa sen vaakasuora projektio e ja itse piste osuvat yhteen. Tällaisen pisteen etuprojektio on tasojen leikkauspisteen akselilla.

Siinä tapauksessa, että kohta Vastaanottaja sijaitsee etutasolla (kuva 13), sen vaakasuora projektio k sijaitsee tasojen ja etuosan leikkausakselilla k? näyttää pisteen todellisen sijainnin.

Tällaisten pisteiden kohdalla merkki siitä, että se sijaitsee jollakin projektiotasolla, on, että yksi sen projektioista on tasojen leikkausakselilla.

Jos piste sijaitsee projektiotasojen leikkausakselilla, se ja sen molemmat projektiot osuvat yhteen.

Kun piste ei ole projektiotasoilla, sitä kutsutaan yleisen kannan piste. Jatkossa, jos erityisiä merkkejä ei ole, tarkasteltavana oleva kohta on yleisasema.

2. Projektioakselin puute

Selittääksesi, kuinka mallissa saadaan pisteen projektiot kohtisuoraan projektiotasolle (kuva 4), on otettava pala paksua paperia pitkänomaisen suorakulmion muodossa. Se on taivutettava ulokkeiden välillä. Taittoviiva kuvaa tasojen leikkauspisteen akselia. Jos sen jälkeen taivutettua paperia suoristetaan uudelleen, saadaan samanlainen kaavio kuin kuvassa.

Yhdistämällä kaksi projektiotasoa piirustustason kanssa et voi näyttää taittoviivaa, eli älä piirrä tasojen leikkausakselia kaavioon.

Kun rakennat kaavioon, sinun tulee aina sijoittaa projektiot a ja a? piste A yhdellä pystysuoralla viivalla (kuva 14), joka on kohtisuorassa tasojen leikkausakselia vastaan. Siksi, vaikka tasojen leikkauspisteen akselin sijainti jää määrittelemättömäksi, mutta sen suunta on määritetty, tasojen leikkausakseli voi olla vain kohtisuorassa kaaviossa olevaan suoraan nähden Ah?.

Jos pistekaaviossa ei ole projektioakselia, kuten ensimmäisessä kuvassa 14a, voit kuvitella tämän pisteen sijainnin avaruudessa. Voit tehdä tämän piirtämällä mihin tahansa kohtaan, joka on kohtisuorassa linjaa vastaan Ah? projektioakselilla, kuten toisessa kuvassa (kuva 14), ja taivuta piirustus tätä akselia pitkin. Jos palautamme kohtisuorat pisteisiin a ja a? ennen kuin ne leikkaavat, voit saada pisteen MUTTA. Projektioakselin paikkaa muutettaessa saadaan eri pisteen paikkoja suhteessa projektiotasoihin, mutta projektioakselin sijainnin epävarmuus ei vaikuta useiden pisteiden tai kuvioiden suhteelliseen asemaan avaruudessa.

3. Pisteen projektiot kolmelle projektiotasolle

Harkitse projektioiden profiilitasoa. Projektit kahdessa kohtisuorassa tasossa määrittävät yleensä kuvion sijainnin ja mahdollistavat sen todellisten mittojen ja muodon selvittämisen. Mutta on aikoja, jolloin kaksi projektiota ei riitä. Käytä sitten kolmannen projektion rakennetta.

Kolmas projektiotaso suoritetaan siten, että se on kohtisuorassa molempiin projektiotasoihin samanaikaisesti (kuva 15). Kolmas kone on nimeltään profiili.

Tällaisissa rakenteissa kutsutaan vaaka- ja etutason yhteistä linjaa akseli X , vaaka- ja profiilitason yhteinen viiva - akseli klo , ja etu- ja profiilitason yhteinen suora - akseli z . Piste O, joka kuuluu kaikkiin kolmeen tasoon, kutsutaan lähtöpisteeksi.

Kuva 15a esittää pisteen MUTTA ja kolme sen projektiota. Projektio profiilitasoon ( a??) kutsutaan profiilin projektio ja merkitsee a??.

Saadaksesi kaavion pisteestä A, joka koostuu kolmesta projektiosta a, a a, on tarpeen leikata kaikkien y-akselin tasojen muodostama kolmio (kuva 15b) ja yhdistää kaikki nämä tasot frontaalisen projektion tasoon. Vaakatasoa on käännettävä akselin ympäri X, ja profiilitaso on lähellä akselia z kuvan 15 nuolen osoittamaan suuntaan.

Kuva 16 näyttää ulokkeiden sijainnin ah, häh? ja a?? pisteitä MUTTA, joka saadaan yhdistämällä kaikki kolme tasoa piirustustason kanssa.

Leikkauksen seurauksena y-akseli esiintyy kaaviossa kahdessa eri paikassa. Vaakatasossa (kuva 16) se ottaa pystyasennon (suoraan akseliin nähden). X), ja profiilitasolla - vaakasuora (suoraan akseliin nähden z).

Kuvassa 16 on kolme projektiota ah, häh? ja a?? pisteillä A on tiukasti määritelty sijainti kaaviossa ja niihin sovelletaan yksiselitteisiä ehtoja:

a ja a? tulee aina sijaita yhdellä pystysuoralla linjalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden X;

a? ja a?? tulee aina sijaita samalla vaakaviivalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden z;

3) vedettynä vaakaprojektion ja vaakaviivan läpi, mutta profiiliprojektion läpi a??- pystysuora suora, rakennetut viivat leikkaavat välttämättä projektioakseleiden välisen kulman puolittajalla, koska kuva Oa klo a 0 a n on neliö.

Kun rakennetaan kolme pisteen projektiota, on tarpeen tarkistaa kunkin pisteen kaikkien kolmen ehdon täyttyminen.

4. Pistekoordinaatit

Pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää käyttämällä kolmea numeroa, joita kutsutaan pisteeksi koordinaatit. Jokainen koordinaatti vastaa pisteen etäisyyttä jostakin projektiotasosta.

Pisteetäisyys MUTTA profiilitasolle on koordinaatti X, jossa X = häh?(Kuva 15), etäisyys etutasosta - koordinaatilla y, ja y = häh?, ja etäisyys vaakatasoon on koordinaatti z, jossa z = aA.

Kuvassa 15 piste A on suorakaiteen muotoisen laatikon leveydellä ja tämän laatikon mitat vastaavat tämän pisteen koordinaatteja, eli kukin koordinaateista on esitetty kuvassa 15 neljä kertaa, eli:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Kaaviossa (kuva 16) x- ja z-koordinaatit esiintyvät kolme kertaa:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Kaikki segmentit, jotka vastaavat koordinaattia X(tai z) ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Koordinoi klo esitetty kahdesti pystyakselilla:

y \u003d Oa y \u003d a x a

ja kahdesti - sijoitettu vaakasuoraan:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Tämä ero ilmeni siitä, että y-akseli on kaaviossa kahdessa eri paikassa.

On huomattava, että kunkin projektion sijainti määritetään kaaviossa vain kahdella koordinaatilla, nimittäin:

1) vaaka - koordinaatit X ja klo,

2) frontaalinen - koordinaatit x ja z,

3) profiili - koordinaatit klo ja z.

Koordinaattien käyttö x, y ja z, voit rakentaa pisteen projektiot kaavioon.

Jos piste A on annettu koordinaateilla, niiden tietue määritellään seuraavasti: A ( X; y; z).

Pisteprojektioita rakennettaessa MUTTA seuraavat ehdot on tarkistettava:

1) vaaka- ja etuulokkeet a ja a? X X;

2) etu- ja profiiliulokkeet a? ja a? tulee sijaita samalla kohtisuorassa akseliin nähden z, koska niillä on yhteinen koordinaatti z;

3) vaakaprojektio ja myös poistettu akselilta X, kuten profiilin projektio a poispäin akselista z, koska projektio ah? ja häh? niillä on yhteinen koordinaatti klo.

Jos piste sijaitsee jossakin projektiotasossa, niin yksi sen koordinaateista on nolla.

Kun piste on projektioakselilla, sen kaksi koordinaattia ovat nolla.

Jos piste sijaitsee origossa, kaikki sen kolme koordinaattia ovat nollia.

Pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää sen kahdella ortogonaalisella projektiolla, esimerkiksi vaaka- ja frontaali-, frontaali- ja profiiliprojektiolla. Minkä tahansa kahden ortogonaalisen projektion yhdistelmän avulla voit selvittää pisteen kaikkien koordinaattien arvon, rakentaa kolmannen projektion ja määrittää oktantin, jossa se sijaitsee. Tarkastellaan joitain tyypillisiä tehtäviä kuvailevan geometrian kurssilta.

Annetun pisteiden A ja B monimutkaisen piirustuksen mukaan on välttämätöntä:

Määritetään ensin pisteen A koordinaatit, jotka voidaan kirjoittaa muodossa A (x, y, z). Pisteen A vaakasuora projektio on piste A ", jonka koordinaatit x, y. Piirrä pisteestä A" kohtisuorassa x-, y-akseleita vastaan ​​ja löydä vastaavasti A x, A y. Pisteen A x-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan A x O pituus plusmerkillä, koska A x sijaitsee positiivisten x-akselin arvojen alueella. Piirustuksen mittakaava huomioon ottaen saadaan x \u003d 10. Y-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan A y O pituus miinusmerkillä, koska t. A y on negatiivisten y-akselin arvojen alueella . Piirustuksen mittakaavassa y = -30. Pisteen A frontaaliprojektiolla - pisteellä A"" on x- ja z-koordinaatit. Pudotetaan kohtisuora kohdasta A"" z-akselille ja etsitään A z . Pisteen A z-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan A z O pituus miinusmerkillä, koska A z on z-akselin negatiivisten arvojen alueella. Piirustuksen mittakaavassa z = -10. Siten pisteen A koordinaatit ovat (10, -30, -10).

Pisteen B koordinaatit voidaan kirjoittaa muodossa B (x, y, z). Tarkastellaan pisteen B - pisteen B vaakaprojektiota. "Koska se on x-akselilla, niin B x \u003d B" ja koordinaatti B y \u003d 0. Pisteen B abskissa x on yhtä suuri kuin janan pituus B x O plusmerkillä. Piirustuksen mittakaava huomioiden x = 30. Pisteen B - pisteen B˝ frontaaliprojektiolla on koordinaatit x, z. Piirrä kohtisuora kohdasta B"" z-akseliin ja löydä näin B z . Pisteen B soveltaminen z on yhtä suuri kuin janan B z O pituus miinusmerkillä, koska B z sijaitsee z-akselin negatiivisten arvojen alueella. Ottaen huomioon piirustuksen mittakaavan määritämme arvon z = -20. Joten B-koordinaatit ovat (30, 0, -20). Kaikki tarvittavat rakenteet on esitetty alla olevassa kuvassa.

Pisteiden projektioiden rakentaminen

P 3 -tason pisteillä A ja B on seuraavat koordinaatit: A""" (y, z); B""" (y, z). Tässä tapauksessa A"" ja A""" ovat samalla kohtisuorassa z-akseliin nähden, koska niillä on yhteinen z-koordinaatti. Samalla tavalla B"" ja B""" ovat yhteisessä kohtisuorassa z-akselille. Löytääksemme t. A:n profiiliprojektion, laitamme sivuun y-akselilla aiemmin löydetyn vastaavan koordinaatin arvon. Kuvassa tämä tehdään ympyrän kaarella, jonka säde on A y O. Sen jälkeen piirretään kohtisuora pisteestä A y pisteestä A "" z-akselille palautetun kohtisuoran leikkauspisteeseen. Näiden kahden kohtisuoran leikkauspiste määrittää A""":n sijainnin.

Piste B""" on z-akselilla, koska tämän pisteen y-ordinaatta on nolla. Pisteen B profiiliprojektion löytämiseksi tässä tehtävässä tarvitsee vain piirtää kohtisuora pisteestä B"" z:hen Tämän kohtisuoran leikkauspiste z-akselin kanssa on B """.

Pisteiden sijainnin määrittäminen avaruudessa

Kuvittelemalla visuaalisesti tila-asetelma, joka koostuu projektiotasoista P 1, P 2 ja P 3, oktanttien sijainnista sekä asettelun muunnosjärjestyksestä kaavioiksi, voit määrittää suoraan, että t. A sijaitsee oktantissa III, ja t. B on tasossa P2.

Toinen vaihtoehto tämän ongelman ratkaisemiseksi on poikkeusmenetelmä. Esimerkiksi pisteen A koordinaatit ovat (10, -30, -10). Positiivinen abskissa x antaa mahdollisuuden päätellä, että piste sijaitsee neljässä ensimmäisessä oktantissa. Negatiivinen y-ordinaatta osoittaa, että piste on toisessa tai kolmannessa oktantissa. Lopuksi z:n negatiivinen aplikaatti osoittaa, että piste A on kolmannessa oktantissa. Annettu perustelu on selkeästi havainnollistettu seuraavassa taulukossa.

Oktantti	Koordinaattimerkit
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Pisteen B koordinaatit (30, 0, -20). Koska t:n B ordinaatta on nolla, tämä piste sijaitsee projektiotasolla П 2 . Positiivinen abskissa ja negatiivinen pisteen B aplikaatti osoittavat, että se sijaitsee kolmannen ja neljännen oktantin rajalla.

Visuaalisen kuvan rakentaminen pisteistä tasojärjestelmässä P 1, P 2, P 3

Frontaalisen isometrisen projektion avulla rakensimme kolmannen oktantin spatiaalisen asettelun. Se on suorakaiteen muotoinen kolmio, jonka pinnat ovat tasot P 1, P 2, P 3 ja kulma (-y0x) on 45 º. Tässä järjestelmässä segmentit x, y, z akseleilla piirretään täysikokoisina ilman vääristymiä.

Pisteen A (10, -30, -10) visuaalisen kuvan rakentaminen alkaa sen vaakaprojektiosta A". Kun vastaavat koordinaatit on jätetty sivuun abskissaa ja ordinaatteja pitkin, löydämme pisteet A x ja A y. A x:sta ja A y:stä x- ja y-akselille palautettujen kohtisuorien leikkauspiste määrittää pisteen A". Asettamalla pisteestä A" yhdensuuntaisesti z-akselin kanssa kohti sen negatiivisia arvoja jana AA", jonka pituus on 10, löydämme pisteen A sijainnin.

Visuaalinen kuva pisteestä B (30, 0, -20) muodostetaan samalla tavalla - P 2 -tasossa vastaavat koordinaatit on jätettävä sivuun x- ja z-akseleita pitkin. B x:stä ja B z:stä rekonstruoitujen kohtisuorien leikkauskohta määrittää pisteen B sijainnin.

Monipiirtämisen apulinja

Kuvassa esitetyssä piirustuksessa 4.7, a, Projektioakselit piirretään ja kuvat yhdistetään toisiinsa viestintälinjoilla. Vaaka- ja profiiliprojektiot yhdistetään tietoliikennelinjoilla käyttämällä kaaria, jotka on keskitetty johonkin pisteeseen O akselien leikkauspisteet. Käytännössä käytetään kuitenkin myös toista integroidun piirustuksen toteutusta.

Akselittomissa piirustuksissa kuvat sijoitetaan myös projektiosuhteeseen. Kolmas projektio voidaan kuitenkin sijoittaa lähemmäs tai kauemmaksi. Esimerkiksi profiilin uloke voidaan sijoittaa oikealle (kuva 4.7, b, II) tai vasemmalle (kuva 4.7, b, I). Tämä on tärkeää tilan säästämiseksi ja mitoituksen helpottamiseksi.

Riisi. 4.7.

Jos akselittoman järjestelmän mukaan tehdyssä piirustuksessa vaaditaan tietoliikennelinjojen piirtämistä yläkuvan ja vasemman näkymän välille, käytetään kompleksipiirustuksen apusuoraa. Tätä varten suunnilleen ylänäkymän tasolle ja hieman sen oikealle puolelle piirretään suora viiva 45° kulmassa piirustuskehykseen nähden (kuva 4.8, a). Sitä kutsutaan kompleksisen piirustuksen apuviivaksi. Toimenpide piirustuksen rakentamiseksi tätä suoraa käyttäen on esitetty kuvassa 1. 4.8, b, c.

Jos kolme näkymää on jo rakennettu (kuva 4.8, d), ei apulinjan paikkaa voi valita mielivaltaisesti. Ensin sinun on löydettävä piste, jonka läpi se kulkee. Tätä varten riittää, että jatketaan vaaka- ja profiiliulokkeiden symmetria-akselin keskinäiseen leikkauskohtaan ja tuloksena olevan pisteen läpi. k piirrä suora segmentti 45°:n kulmassa (kuva 4.8, d). Jos symmetria-akseleita ei ole, jatka pisteen leikkauspisteeseen asti k 1 minkä tahansa pinnan vaaka- ja profiiliprojektio suorana linjana (kuva 4.8, d).

Riisi. 4.8

Tarve piirtää viestintälinjoja ja siten apusuora viiva syntyy, kun rakennetaan puuttuvia projektioita ja suoritettaessa piirustuksia, joihin on tarpeen määrittää pisteiden projektiot osan yksittäisten elementtien projektioiden selkeyttämiseksi.

Esimerkkejä apulinjan käytöstä on seuraavassa kappaleessa.

Objektin pinnalla olevan pisteen projektiot

Jotta osan yksittäisten elementtien projektiot voidaan rakentaa oikein piirustuksia tehtäessä, on välttämätöntä pystyä löytämään yksittäisten pisteiden projektiot kaikista piirustuskuvista. Esimerkiksi on vaikea piirtää vaakasuora projektio kuvassa 2 esitetystä osasta. 4.9 käyttämättä yksittäisten pisteiden projektioita ( A, B, C, D, E jne.). Kyky löytää kaikki pisteiden, reunojen, kasvojen projektiot ovat tarpeen myös esineen muodon luomiseksi mielikuvituksessa sen litteiden kuvien mukaan piirustuksessa sekä valmiin piirustuksen oikeellisuuden tarkistamiseen.

Riisi. 4.9.

Tarkastellaan tapoja löytää objektin pinnalla annetun pisteen toinen ja kolmas projektio.

Jos kohteen piirustuksessa on annettu yksi pisteen projektio, niin ensin on löydettävä sen pinnan projektiot, jolla tämä piste sijaitsee. Valitse sitten toinen alla kuvatuista tavoista ratkaista ongelma.

Ensimmäinen tapa

Tätä menetelmää käytetään, kun vähintään yksi projektioista näyttää annetun pinnan suorana.

Kuvassa 4.10, a esitetään sylinteri, jonka etuprojektioon on asetettu projektio a" pisteitä MUTTA, makaa sen pinnan näkyvällä osalla (annetut ulokkeet on merkitty kaksinkertaisilla värillisillä ympyröillä). Pisteen vaakasuuntaisen projektion löytäminen MUTTA, he väittävät seuraavasti: piste sijaitsee sylinterin pinnalla, jonka vaakasuora projektio on ympyrä. Tämä tarkoittaa, että tällä pinnalla olevan pisteen projektio on myös ympyrällä. Piirrä viestintäviiva ja merkitse haluttu piste sen leikkauspisteeseen ympyrän kanssa a. kolmas projektio a"

Riisi. 4.10.

Jos kohta AT, makaa sylinterin ylemmällä pohjalla sen vaakaprojektion perusteella b, sitten viestintälinjat piirretään leikkauspisteeseen suorilla viivasegmenteillä, jotka kuvaavat sylinterin ylemmän pohjan etu- ja profiiliprojektiota.

Kuvassa 4.10, b näyttää yksityiskohdan - painotus. Pisteen projektioiden rakentaminen MUTTA, sen vaakaprojektio antaa a, etsi kaksi muuta yläpinnan projektiota (jossa piste sijaitsee MUTTA) ja piirtämällä liitosviivat leikkauspisteeseen tätä pintaa kuvaavien viivaosien kanssa, määritä haluamasi projektiot - pisteet a" ja a". Piste AT sijaitsee vasemmalla puolella pystysuoralla pinnalla, mikä tarkoittaa, että sen ulokkeet ovat myös tämän pinnan projektioissa. Tietystä pisteestä siis b" piirrä viestintälinjoja (kuten nuolet osoittavat), kunnes ne kohtaavat tätä kasvoja kuvaavien viivaosien kanssa. edestä projektio Kanssa" pisteitä FROM, kaltevilla (avaruudessa) kasvoilla makaavat nämä kasvot ja profiili Kanssa"- liitoslinjan leikkauskohdassa, koska tämän pinnan profiiliprojektio ei ole viiva, vaan kuvio. Pisteprojektioiden rakentaminen D näkyy nuolilla.

Toinen tapa

Tätä menetelmää käytetään, kun ensimmäistä menetelmää ei voida käyttää. Sitten sinun pitäisi tehdä näin:

• piirrä pisteen annetun projektion läpi annetulla pinnalla sijaitsevan apuviivan projektio;
• etsi tämän suoran toinen projektio;
• siirrä annettu pisteen projektio viivan löydettyyn projektioon (tämä määrittää pisteen toisen projektion);
• etsi kolmas projektio (jos vaaditaan) tietoliikennelinjojen risteyksestä.

Kuvassa 4.10, frontaaliprojektio on annettu a" pisteitä MUTTA, makaa kartion pinnan näkyvällä osalla. Vaakaprojektion etsiminen pisteen läpi a" suorittaa pisteen läpi kulkevan apusuoran frontaaliprojektio MUTTA ja kartion yläosa. Saada piste V on piirretyn viivan ja kartion pohjan kohtauspisteen projektio. Kun on suoralla linjalla sijaitsevien pisteiden frontaaliset projektiot, voidaan löytää niiden vaakaprojektio. Vaakasuora projektio s kartion yläosa tunnetaan. Piste b sijaitsee pohjan kehällä. Näiden pisteiden läpi piirretään jana ja siihen siirretään piste (kuten nuoli osoittaa). a", saada piste a. Kolmas projektio a" pisteitä MUTTA sijaitsee risteyksessä.

Sama ongelma voidaan ratkaista eri tavalla (Kuva 4.10, G).

Apuviivana, joka kulkee pisteen kautta MUTTA, ne eivät ota suoraa viivaa, kuten ensimmäisessä tapauksessa, vaan ympyrän. Tämä ympyrä muodostuu jos pisteessä MUTTA leikkaa kartio pohjan kanssa yhdensuuntaisen tason kanssa visuaalisen esityksen mukaisesti. Tämän ympyrän frontaaliprojektio kuvataan suorana janana, koska ympyrän taso on kohtisuorassa etuprojektiotasoon nähden. Ympyrän vaakaprojektion halkaisija on yhtä suuri kuin tämän segmentin pituus. Kuvaa ympyrä, jolla on määrätty halkaisija, piirrä pisteestä a" liitosviiva apuympyrän leikkauspisteeseen, koska vaakaprojektio a pisteitä MUTTA sijaitsee apulinjalla, ts. rakennetulla ympyrällä. kolmas projektio kuten" pisteitä MUTTA löytyy viestintälinjojen risteyksestä.

Samalla tavalla voit löytää pinnalla, esimerkiksi pyramidin, olevan pisteen projektiot. Erona on, että kun se ylittää vaakataso, ei muodostu ympyrää, vaan pohjan kaltainen kuvio.

Suorakulmaisessa projektiossa projektiotasojärjestelmä koostuu kahdesta keskenään kohtisuorassa olevasta projektiotasosta (kuva 2.1). Toinen sovittiin sijoitettavaksi vaakasuoraan ja toinen pystysuoraan.

Vaakasuunnassa sijaitsevaa projektioiden tasoa kutsutaan vaakasuora projektiotaso ja merkitsee sch, ja sitä vastaan ​​kohtisuorassa oleva taso etuprojektiotasol 2. Itse projektiotasojärjestelmä on merkitty p / p 2. Käytä yleensä lyhennettyjä ilmaisuja: taso L[, kone n 2. Tasojen leikkausviiva sch ja 2 nimeltään projektioakseliVAI NIIN. Se jakaa jokaisen projektiotason kahteen osaan - lattiat. Projektioiden vaakatasossa on etu- ja takakerros, kun taas etutasossa on ylä- ja alakerta.

lentokoneita sch ja p 2 jaa tila neljään osaan, ns neljännekset ja merkitty roomalaisilla numeroilla I, II, III ja IV (katso kuva 2.1). Ensimmäistä neljännestä kutsutaan avaruuden osaksi, jota rajoittavat ylempi ontto etu- ja etuontto vaakasuora projektiotaso. Avaruuden jäljellä olevien neljännesten osalta määritelmät ovat samanlaiset kuin edellinen.

Kaikki tekniset piirustukset ovat samalle tasolle rakennettuja kuvia. Kuvassa 2.1 projektiotasojärjestelmä on spatiaalinen. Siirtyäksemme samassa tasossa oleviin kuviin sovimme projektiotasojen yhdistämisen. Yleensä lentokone p 2 jätetty liikkumatta, ja kone P käännä nuolten osoittamaan suuntaan (katso kuva 2.1), akselin ympäri VAI NIIN 90° kulmassa, kunnes se on linjassa tason kanssa n 2. Tällaisella käännöksellä vaakatason etulattia laskee ja takaosa nousee. Kohdistuksen jälkeen tasoilla on kuvattu muoto

naaras kuvassa. 2.2. Uskotaan, että projektiotasot ovat läpinäkymättömiä ja tarkkailija on aina ensimmäisellä neljänneksellä. Kuvassa 2.2, linjauksen jälkeen näkymättömien tasojen merkintä on otettu suluissa, kuten on tapana korostaa näkymättömiä kuvioita piirustuksissa.

Projisoitu piste voi olla missä tahansa avaruuden neljänneksessä tai millä tahansa projektiotasolla. Kaikissa tapauksissa projektioiden rakentamiseksi sen läpi vedetään ulkonevia viivoja ja niiden kohtaamispisteet löydetään tasojen 711 ja 712 kanssa, jotka ovat projektioita.

Harkitse ensimmäisellä neljänneksellä sijaitsevan pisteen projektiota. Projektitasojen 711/712 järjestelmä ja piste MUTTA(Kuva 2.3). Sen läpi vedetään kaksi suoraa viivaa kohtisuoraan TASOJEN 71) JA 71 2 suhteen. Yksi niistä leikkaa tason 711 pisteessä MUTTA ", nimeltään pisteen A vaakasuora projektio, ja toinen on taso 71 2 pisteessä MUTTA ", nimeltään pisteen A etuprojektio.

Projisoivat viivat AA" ja AA" määritä projektiotaso a. Se on kohtisuorassa tasoihin nähden Kip 2, koska se kulkee kohtisuorien läpi niihin ja leikkaa projektiotasot suoria viivoja pitkin A "Ah ja A" A x. Projektioakseli VAI NIIN kohtisuorassa tasoon oc nähden, kahden tason 71| leikkausviivana ja 71 2 kohtisuorassa kolmanteen tasoon (a) ja siten mihin tahansa siinä olevaan viivaan nähden. Erityisesti, 0X1A "A x ja 0X1A "A x.

Tasoja yhdistettäessä segmentti A "Ah, tasainen 2:een, pysyy paikallaan, ja segmentti "A x yhdessä tason 71) kanssa kierretään akselin ympäri VAI NIIN kunnes se on linjassa tason kanssa 71 2 . Näkymä yhdistetyistä projektiotasoista yhdessä pisteen projektioiden kanssa MUTTA esitetty kuvassa. 2.4, a. Pisteen kohdistamisen jälkeen A", A x ja A" sijaitsee yhdellä suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden VAI NIIN. Tämä tarkoittaa, että kaksi projektiota samasta pisteestä

sijaitsevat yhteisellä kohtisuoralla projektioakseliin nähden. Tätä kohtisuoraa, joka yhdistää kaksi saman pisteen projektiota, kutsutaan projektioviiva.

Piirustus kuvassa 2.4, a voidaan yksinkertaistaa suuresti. Piirustusten yhdistettyjen projektiotasojen merkintöjä ei ole merkitty eikä projektiotasoja ehdollisesti rajoittavia suorakulmioita ole kuvattu, koska tasoja ei ole rajoitettu. Yksinkertaistettu pistepiirustus MUTTA(Kuva 2.4, b) kutsutaan myös kaavio(Ranskasta ?pure - piirustus).

Näkyy kuvassa 2.3 nelikulmio AE4 "A X A" on suorakulmio ja sen vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset. Siksi etäisyys pisteestä MUTTA koneeseen asti P, mitattuna segmentillä AA", piirustuksessa määräytyy segmentin mukaan "Ah. Segmentti A "A x = AA" voit arvioida etäisyyden pisteestä MUTTA koneeseen asti kohtaan 2. Siten pisteen piirtäminen antaa täydellisen kuvan sen sijainnista suhteessa projektiotasoihin. Esimerkiksi piirustuksen mukaan (katso kuva 2.4, b) voidaan väittää, että pointti MUTTA sijaitsee ensimmäisellä neljänneksellä ja poistettiin koneesta p 2 lyhyemmälle etäisyydelle kuin tasosta ts b, koska "A x"Ah.

Siirrytään pisteen projisointiin avaruuden toisessa, kolmannessa ja neljännessä neljänneksessä.

Projisoitaessa pistettä AT, sijaitsee toisella neljänneksellä (kuva 2.5), tasojen yhdistämisen jälkeen sen molemmat projektiot ovat akselin yläpuolella VAI NIIN.

Kolmannella neljänneksellä annettu pisteen C vaakaprojektio (kuva 2.6) sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, ja etuosa on alempi.

Kuvassa 2 esitetty piste D. 2.7 sijaitsee neljännellä neljänneksellä. Kun projektiotasot on yhdistetty, sen molemmat projektiot ovat akselin alapuolella VAI NIIN.

Vertaamalla avaruuden eri neljänneksillä sijaitsevien pisteiden piirustuksia (katso kuva 2.4-2.7), näet, että jokaiselle on ominaista oma projektioiden sijaintinsa suhteessa projektioiden akseliin VAI NIIN.

Erityistapauksissa projisoitu piste voi olla projektiotasolla. Sitten yksi sen projektioista osuu itse pisteeseen, ja toinen sijaitsee projektioakselilla. Esimerkiksi pisteen vuoksi E, makaa lentokoneessa sch(Kuva 2.8), vaakaprojektio osuu itse pisteeseen ja etuprojektio on akselilla VAI NIIN. Pisteessä E, sijaitsee lentokoneessa 2(Kuva 2.9), vaakasuora projektio akselilla VAI NIIN, ja etuosa on sama kuin itse piste.