20. Monitasoinen tutkimus monitahoisista kulmista, kolmikulmaisen ja monitahoisen kulman tasaisten kulmien ominaisuuksista.

Perustaso:

Atanasyan

Huomioi vain dihedraalisen kulman.

Pogorelov

Ensin tarkastelee dihedral-kulmaa ja sitten välittömästi kolmiulotteista ja monitahoista kulmaa.

Tarkastellaan kolmea sädettä a, b, c, jotka tulevat yhdestä pisteestä ja sijaitsevat samassa tasossa. Kolmikulmainen kulma (abc) on kuvio, joka koostuu kolmesta tasaisesta kulmasta (ab), (bc) ja (ac) (kuva 400). Näitä kulmia kutsutaan kolmikulmaisen kulman pinnoiksi ja niiden sivuja reunoksi. Tasaisten kulmien yhteistä kärkeä kutsutaan kolmikulmaisen kulman kärjeksi. Kolmiokulman pintojen muodostamia kaksitahoisia kulmia kutsutaan kolmiulotteisen kulman kaksikulmaisiksi kulmiksi.

Monitahoisen kulman käsite esitellään samalla tavalla (kuva 401).

kuva 400 ja kuva 401

P profiilin taso(A.D. Aleksndrov, A.L. Verner, V.I. Ryzhikh):

Jättämällä mielivaltaisten monitahoisten kulmien määrittelyn ja tutkimuksen §:ään 31, tarkastelemme nyt niistä yksinkertaisinta - kolmikulmaisia ​​kulmia. Jos stereometriassa dihedraalisia kulmia voidaan pitää tasokulmien analogeina, niin kolmiokulmia voidaan pitää tasokolmioiden analogeina, ja seuraavissa kappaleissa nähdään, kuinka ne luonnollisesti liittyvät pallomaisiin kolmioihin.

Voit rakentaa (ja siten rakentavasti määritellä) kolmikulmaisen kulman seuraavasti. Otetaan mitkä tahansa kolme sädettä a, b, c, joilla on yhteinen origo O ja jotka eivät ole samassa tasossa (kuva 150). Nämä säteet ovat kolmen kuperan tasokulman sivuja: kulma α sivuilla b, c, kulma β sivuilla a, c ja kulma γ sivuilla a, b. Näiden kolmen kulman α, β, γ yhdistämistä kutsutaan kolmikulmaiseksi kulmaksi Oabc (tai lyhyesti sanottuna kolmikulmaiseksi kulmaksi O). Säteitä a, b, c kutsutaan kolmikulmaisen kulman Oabc reunoksi ja tasokulmia α, β, γ sen pinnoiksi. Pistettä O kutsutaan kolmikulmaisen kulman kärjeksi.

Huomautus 3. Olisi mahdollista määrittää kolmikulmainen kulma ei-kuperalla pinnalla (kuva 151), mutta emme ota huomioon sellaisia ​​kolmikulmaisia ​​kulmia.

Kullekin kolmiokulman reunalle määritetään vastaava kaksikulmainen kulma siten, että sen reuna sisältää kolmikulmaisen kulman vastaavan reunan ja jonka pinnat sisältävät tämän reunan vieressä olevan kolmikon kulman pinnat.

Kolmiokulman Oabc kaksikulmaisten kulmien arvot reunoilla a, b, c merkitään vastaavasti a^, b^, c^ (suuret kirjainten yläpuolella).

Kolmiokulman Oabc kolme pintaa α, β, γ ja kolme sen kaksikulmaista kulmaa reunoilla a, b, c sekä arvot α, β, γ ja a^, b^, c^ ovat kutsutaan kolmiokulman elementeiksi. (Muista, että litteän kolmion elementit ovat sen sivut ja kulmat.)

Tehtävämme on ilmaista joitain kolmikulmaisen kulman elementtejä sen muiden elementtien suhteen, eli rakentaa kolmikulmaisten kulmien "trigonometria".

1) Aloitetaan kosinilauseen analogin johtamisesta. Tarkastellaan ensin sellaista kolmikulmaista kulmaa Oabc, jolla on vähintään kaksi pintaa, esimerkiksi α ja β ovat teräviä kulmia. Otetaan piste C sen reunalta c ja vedetään siitä pinoihin α ja β kohtisuorat CB ja CA reunaan c, kunnes ne leikkaavat reunojen a ja b kanssa pisteissä A ja B (kuva 152). Ilmaisemme etäisyyden AB kolmioista OAB ja CAB kosinilauseen avulla.

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) ja AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ.

Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1). Koska kolmiot OSV ja OSA ovat suorakaiteen muotoisia, sitten AC 2 -AC 2 \u003d OS 2 ja OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

Siksi kohdista (1) ja (2) seuraa, että OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

nuo.

Mutta
,
,
,
. Niin

(3) on kolmikulmaisten kulmien kosinilauseen analogi kosinikaava.

Molemmat pinnat α ja β ovat tylpäjä kulmia.

Toinen kulmista α ja β, esimerkiksi α, on terävä ja toinen on β-typpyjä.

Ainakin yksi kulmista α tai β on oikea.

Kolmiokulmien tasa-arvon merkit samanlainen kuin kolmioiden yhtäläisyysmerkit. Mutta on ero: esimerkiksi kaksi kolmikulmaista kulmaa ovat yhtä suuret, jos niiden kaksikulmaiset kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret. Muista, että kaksi tasokolmiota, joiden vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, ovat samanlaisia. Ja kolmikulmaisille kulmille samanlainen ehto ei johda samanlaisuuteen, vaan tasa-arvoon.

Kolmikulmaisilla kulmilla on huomattava omaisuutta jota kutsutaan kaksinaisuudesta. Jos jossakin kolmikulmaisen kulman Oabc lauseessa korvataan suureet a, b, c arvoilla π-α, π-β, π-γ ja päinvastoin korvataan α, β, γ arvoilla π-a^, π-b^ , π -c^, niin taas saadaan oikea lause kolmikulmaisista kulmista, mikä on duaali alkuperäisen lauseen kanssa. Totta, jos tällainen korvaus tehdään sinilauseessa, tulemme taas sinilauseeseen (se on duaali itsessään). Mutta jos teemme tämän kosinilauseessa (3), saamme uuden kaavan

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Miksi tällainen kaksinaisuus tapahtuu, selviää, jos kolmikulmaiselle muodostamme sen kaksoiskolmiokulman, jonka reunat ovat kohtisuorassa alkuperäisen kulman pintoihin nähden (ks. luku 33.3 ja kuva 356).

Jotkut yksinkertaisimmista pinnoista ovat monitahoiset kulmat. Ne koostuvat tavallisista kulmista (kutsumme nykyisin usein sellaisia ​​kulmia litteiksi kulmiksi), aivan kuten suljettu katkoviiva koostuu segmenteistä. Nimittäin annetaan seuraava määritelmä:

Monitahoinen kulma on litteistä kulmista muodostettu kuvio siten, että seuraavat ehdot täyttyvät:

1) Kahdella kulmalla ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin niiden yhteinen kärkipiste tai koko sivu.

2) Jokaisella näistä kulmista on jokainen puoli yhteistä yhden ja vain yhden muun sellaisen kulman kanssa.

3) Jokaisesta kulmasta kuhunkin voit mennä kulmia pitkin, joilla on yhteiset sivut.

4) Samassa tasossa ei ole kahta kulmaa, joilla on yhteinen sivu (kuva 324).

Tässä tilanteessa tasokulmia, jotka muodostavat monitahoisen kulman, kutsutaan sen pinnoiksi ja niiden sivuja sen reunoksi.

Dihedraalinen kulma sopii myös tähän määritelmään. Se koostuu kahdesta kehitetystä litteästä kulmasta. Mitä tahansa sen reunan pistettä voidaan pitää sen kärkipisteenä, ja tämä piste jakaa reunan kahteen kärjessä lähentyvään reunaan. Mutta tämän kärjen sijainnin epävarmuuden vuoksi dihedraalikulma jätetään pois monitahoisten kulmien lukumäärästä.

P

monitahoisen kulman käsite on tärkeä erityisesti monitahojen tutkimuksessa - polyhedra-teoriassa. Monitahoisen rakenteelle on tunnusomaista, mistä pinnoista se koostuu ja kuinka ne konvergoivat kärjeissä, eli mitä monitahoisia kulmia siellä on.

Harkitse eri polyhedrien monitahoisia kulmia.

Huomaa, että monitahoisten kulmien pinnat voivat olla myös ei-kuperia kulmia.

№1 Päivämäärä 5.9.14

Aihe geometria

Luokka 11

Oppitunnin aihe: Monitahoisen kulman käsite. kolmiokulma.

Oppitunnin tavoitteet:

ottaa käyttöön käsitteet: "kolmikulmat", "monitahoiset kulmat", "polyedri";

perehdyttää opiskelijat kolmi- ja monitahokulmien elementteihin, monitahoiseen sekä kuperan monitahoisen kulman määritelmiin ja monitahoisen kulman litteiden kulmien ominaisuuksiin;

jatkaa työskentelyä tilarepresentaatioiden ja tilallisen mielikuvituksen sekä opiskelijoiden loogisen ajattelun kehittämiseksi.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen

TUTKIEN AIKANA

1. Organisatorinen hetki.

Oppilaiden tervehtiminen, luokan valmiuden tarkistaminen oppitunnille, oppilaiden huomion järjestäminen, oppitunnin yleisten tavoitteiden ja sen suunnitelman paljastaminen.

2. Uusien käsitteiden ja toimintatapojen muodostaminen.

Tehtävät: Varmistaa opiskelijoiden näkemys, ymmärtäminen ja ulkoa oppiminen. Varmistaa, että opiskelija hallitsee opitun aineiston toistamismenetelmät, edistää omaksuttavien käsitteiden, lakien, sääntöjen ja kaavojen filosofista ymmärtämistä. Todentaa opiskelun opiskelun oikeellisuus ja tietoisuus opiskelijoiden keskuudessa, tunnistaa puutteet perusymmärryksessä, suorittaa korjaus. Varmistaa, että opiskelijat korreloivat subjektiivisen kokemuksensa tieteellisen tiedon merkkeihin.

Olkoon kolme sädettä annettua, b jas s yhteinen aloituspisteO (Kuva 1.1). Nämä kolme sädettä eivät välttämättä ole samassa tasossa. Kuvassa 1.2 säteetb jakanssa makaa lentokoneessaR, sädea ei makaa tällä tasolla.

Säteeta, b jakanssa parit määrittelevät kolme tasaista kulmaa, jotka erotetaan kaarilla (Kuva 1.3).

Tarkastellaan kuvaa, joka koostuu kolmesta yllä mainitusta kulmasta ja näiden litteiden kulmien rajaamasta avaruuden osasta. Tätä tilahahmoa kutsutaankolmikulmainen kulma (Kuva 2).

Säteeta, b ja kanssa nimeltäänkolmikulmaisen kulman reunat, ja kulmat: = AOC, = AOB,

= BOC , kolmiokulman rajoittaminen, - senkasvot. Nämä kulmat muodostuvatkolmikulmainen pinta. PisteO nimeltäänkolmiokulman kärki. Kolmikulmainen kulma voidaan merkitä seuraavasti: OABC

Kun olet tutkinut huolellisesti kaikki kuvassa 3 esitetyt monitahoiset kulmat, voimme päätellä, että jokaisella monitahoisella kulmalla on sama määrä reunoja ja pintoja:

4 pintaa ja yksi kärki;

viisisivuisessa kulmassa on 5 reunaa, 5 pintaa ja yksi kärki;

• 
  kuusikulmaisessa kulmassa on 6 reunaa, 6 pintaa ja yksi kärki jne.

Monitahoiset kulmat ovat kupera ja ei-kupera.

Kuvittele, että otimme neljä sädettä, joilla on yhteinen alkuperä, kuten kuvassa 4. Tässä tapauksessa saimmeei-kupera monitahoinen kulma.

Määritelmä 1. Monitahoista kulmaa kutsutaan kuperaksi kulmaksi,jos hänsijaitsee kummankin pinnan tason toisella puolella.

Toisin sanoen kupera monitahoinen kulma voidaan aina sijoittaa millä tahansa pinnallaan johonkin tasoon. Voit nähdä, että kuvan 4 tapauksessa tämä ei aina ole mahdollista. Kuvassa 4 esitetty tetraedrikulma on ei-kupera.

Huomaa, että jos sanomme opetusohjelmassamme "monitahoinen kulma", tarkoitamme, että se on kupera. Jos tarkasteltu monitahoinen kulma on ei-kupera, tästä keskustellaan erikseen.

Monitahoisen kulman tasokulmien ominaisuudet

Lause 1.Jokainen kolmikulmaisen kulman tasainen kulma on pienempi kuin kahden muun tasaisen kulman summa.

Lause 2.Kuperan monitahoisen kulman kaikkien tasokulmien arvojen summa on pienempi kuin 360°.

3. Sovellus. Taitojen ja kykyjen muodostuminen.

Tavoitteet: Varmistaa, että opiskelijat soveltavat SW:ssä tarvitsemiaan tietoja ja toimintatapoja, luoda edellytykset opiskelijoille tunnistaa yksilöllisiä tapoja soveltaa oppimaansa.

6. Lavatiedot kotitehtävistä.

Tavoitteet: Varmistaa, että opiskelijat ymmärtävät läksyjen tarkoituksen, sisällön ja menetelmät.

§ 1(1.1, 1.2) s. 4, nro 9.

7. Oppitunnin yhteenveto.

Tavoite: Antaa laadullinen arvio luokan ja yksittäisten opiskelijoiden työstä.

8. Heijastusvaihe.

Tehtävät: Aloita opiskelijoiden reflektio toiminnan itsearviointiin. Varmistaa, että opiskelijat oppivat itsesääntelyn ja yhteistyön periaatteet.

Keskustelu aiheesta:

Mitä mielenkiintoista pidit oppitunnilla?

Mikä on epäselvää?

Mihin opettajan tulee kiinnittää huomiota seuraavalla oppitunnilla?

Miten arvioisit työsi luokassa?

kolmikulmainen kulma

kolmiokulma.

kolmikulmainen kulma- tämä on avaruuden osa, jota rajoittaa kolme tasaista kulmaa, joilla on yhteinen kärki ja pareittain yhteiset sivut, jotka eivät ole samassa tasossa. Näiden kulmien yhteistä kärkeä O kutsutaan kolmikulmaisen kulman kärjeksi. Kulmien sivuja kutsutaan reunoiksi, kolmikulmaisen kulman kärjessä olevia litteitä kulmia kutsutaan sen pinnoiksi. Jokainen kolmikulmaisen kulman kolmesta pintaparista muodostaa kaksitahoisen kulman (rajaa kolmas pinta, joka ei sisälly pariin; tarvittaessa tämä rajoitus poistetaan luonnollisesti, mikä johtaa tarvittaviin puolitasoihin, jotka muodostavat koko dihedralin kulma ilman rajoituksia). Jos asetat kolmiokulman kärjen pallon keskelle, sen pinnalle muodostuu sen rajoittama pallomainen kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin kolmiokulman tasokulmat ja kulmat sen kaksikulmaisiin kulmiin. .

Kolmion epäyhtälö kolmiokulmalle

Jokainen kolmikulmaisen kulman tasainen kulma on pienempi kuin sen kahden muun litteän kulman summa.

Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa

Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa on pienempi kuin 360 astetta.

Todiste

Olkoon OABC annettu kolmikulmainen kulma. Tarkastellaan kolmiokulmaa, jonka kärkipiste on ABO, ACO ja kulma BAC muodostama. Kirjoitetaan epäyhtälö:

Vastaavasti jäljellä oleville kolmikulmaisille kulmille, joiden kärjet B ja C:

Kun nämä epäyhtälöt lisätään ja otetaan huomioon, että kolmion ABC kulmien summa on 180°, saadaan

Siten:

Kolmikulmaisen kulman kosinilause

Ensimmäinen kosinilause kolmiokulmalle

Kolmikulmaisen kulman toinen kosinilause
missä α, β, γ ovat tasokulmia, A, B, C ovat kaksitahoisia kulmia, jotka muodostuvat kulmien β ja γ, α ja γ, α ja β tasoista.

Toisen kosinilauseen todistus kolmiokulmalle

Olkoon OABC annettu kolmikulmainen kulma. Pudotetaan kohtisuorat kolmiokulman sisäpisteestä sen pintaan ja saadaan uusi napakolmiokulma (kaksoiskulma annetulle kulman kanssa). Yhden kolmiokulman tasaiset kulmat täydentävät toisen kolmikulmaisia ​​ja yhden kulman tasaiset kulmat täydentävät toisen kulmia 180 asteeseen asti. Nuo. napakulman tasokulmat ovat vastaavasti yhtä suuria kuin: 180 - A; 180 - B; 180 - C ja dihedral - 180 - a; 180-p; 180-γ

Kirjoitetaan sille ensimmäinen kosinilause

ja yksinkertaistamisen jälkeen saamme:

Sinilause kolmiokulmalle

missä α, β, γ ovat kolmikulmaisen kulman tasokulmat; A, B, C - vastakkaiset dihedraaliset kulmat.

Katso myös

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "kolmiokulma" on muissa sanakirjoissa:

Osa avaruudesta, jota rajoittaa ääretön kolmiopyramidi (katso kuva). Tämän pyramidin kasvoja kutsutaan T. u:n pinnoiksi, sen kärki on T. u:n huippu. Kylkiluut muodostavat ...... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

kolmikulmainen kulma- Tilahahmo, joka muodostuu kolmesta yhdestä pisteestä lähtevästä säteestä, jotka eivät ole samassa tasossa. Tekniset aiheet yleensä… Teknisen kääntäjän käsikirja

Katso solid kulma. * * * KOLMIAKULMA KOLMIAKULMA, katso solidikulma (katso solidiokulma) … tietosanakirja tietosanakirja

Osa avaruudesta, jota rajoittaa tietty kartioparvi. pinta (kuvio 1); erityisesti kolmiulotteiset (kuvio 2) ja monitahoiset (kuva 3) kulmat ovat vastaavasti rajattuja. kolme ja enemmän litteät kasvot suppenevat T:n yläosassa. T:n arvo at. on yhtä suuri kuin suhde ...... Luonnontiede. tietosanakirja

kolmikantainen- voi voi. 1) Kolme kasvoa. Kolmion muotoinen tiedosto. T s pistimet. 2) matematiikka. Muodostuu kolmen yhden pisteen läpi kulkevien kasvojen leikkauspisteestä. Kolmikulmainen/ny-kulma... Monien ilmaisujen sanakirja

Suorakulmainen pallomainen kolmio, jossa hypotenuusa c, jalat a ja b ja suora kulma C. Pallomainen Pythagoraan lause on lause, joka määrittää suorakaiteen sivujen välisen suhteen ... Wikipedia

Yhteisellä kärjellä ja pareittain yhteisillä sivuilla, jotka eivät ole samassa tasossa. Näiden kulmien yhteistä kärkeä O kutsutaan kolmikulmaisen kulman kärjeksi. Kulmien sivuja kutsutaan reunoiksi, kolmikulmaisen kulman kärjessä olevia litteitä kulmia kutsutaan sen pinnoiksi. Jokainen kolmikulmaisen kulman kolmesta pintaparista muodostaa kaksitahoisen kulman (joita rajoittaa kolmas pinta, joka ei sisälly pariin; tarvittaessa tämä rajoitus poistetaan luonnollisesti, jolloin saadaan tarvittavat puolitasot, jotka muodostavat koko dihedralin kulma ilman rajoituksia). Jos asetamme kolmiokulman kärjen pallon keskelle, muodostuu sen pintaan sen rajoittama pallomainen kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin kolmiokulman tasokulmat ja kulmat sen kaksikulmaisiin kulmiin. .

Kolmion epäyhtälö kolmiokulmalle

Jokainen kolmikulmaisen kulman tasainen kulma on pienempi kuin sen kahden muun litteän kulman summa.

Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa

Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa on pienempi kuin 360 astetta.

Todiste

Olkoon OABC annettu kolmikulmainen kulma (katso kuva 1). Tarkastellaan kolmiokulmaa, jonka kärkipiste on ABO, ACO ja kulma BAC muodostama. Kirjoitetaan epäyhtälö:

Vastaavasti jäljellä oleville kolmikulmaisille kulmille, joiden kärjet B ja C:

Kun nämä epäyhtälöt lisätään ja otetaan huomioon, että kolmion ABC kulmien summa on 180°, saadaan

Siten:

Kolmikulmaisen kulman kosinilause

Olkoon kolmikulmainen kulma (katso kuva 2), α, β, γ - sen tasaiset kulmat, A, B, C - dihedraaliset kulmat, jotka muodostuvat kulmien β ja γ, α ja γ, α ja β tasoista.

Ensimmäinen kosinilause kolmiokulmalle: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (A)$

Kolmikulmaisen kulman toinen kosinilause: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha),$

Todistus kolmiulotteisen kulman toisesta kosinilauseesta

Olkoon OABC annettu kolmikulmainen kulma. Pudotetaan kohtisuorat kolmiokulman sisäpisteestä sen pintaan ja saadaan uusi napakolmiokulma (kaksoiskulma annetulle kulman kanssa). Yhden kolmiokulman tasaiset kulmat täydentävät toisen kolmikulmaisia ​​ja yhden kulman tasaiset kulmat täydentävät toisen kulmia 180 asteeseen asti. Toisin sanoen napakulman tasokulmat ovat vastaavasti yhtä suuret: 180 - A; 180 - B; 180 - C ja dihedral - 180 - a; 180-p; 180-γ

Kirjoitetaan sille ensimmäinen kosinilause

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

ja yksinkertaistamisen jälkeen saamme:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

Sinilause kolmiokulmalle

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, jossa α, β, γ ovat kolmiokulman tasokulmat; A, B, C - vastakkaiset dihedraaliset kulmat (katso kuva 2).

Katso myös

Kirjoita arvostelu artikkelista "Trihedral kulma"

Ote, joka kuvaa kolmiokulmaa

- Istuta se. Istu alas kulta, istu alas. Pue päälle takkisi, Antonov.
Juncker oli Rostov. Hän piti toisesta kädestä kiinni, oli kalpea ja hänen alaleuansa vapisi kuumeisesta vapinasta. He panivat hänet Matvevnaan, juuri sen aseen päälle, josta kuollut upseeri laskettiin. Vuorattu päällystakki, jossa Rostovin housut ja kädet olivat likaiset, oli verta.
- Mitä, oletko loukkaantunut, kultaseni? - sanoi Tushin lähestyen asetta, jolla Rostov istui.
- Ei, järkyttynyt.
- Miksi sängyssä on verta? Tushin kysyi.
"Se on upseeri, kunnianne, hän vuoti verta", vastasi tykistösotilas, pyyhkimällä verta päällystakkinsa hihalla ja ikään kuin pyytäen anteeksi epäpuhtautta, jossa ase oli.
Jalkaväen avulla he veivät aseet väkisin ylös vuorelle ja saavuttuaan Guntersdorfin kylään he pysähtyivät. Oli jo niin pimeää, että kymmenellä askeleella oli mahdotonta erottaa sotilaiden univormuja, ja kahakka alkoi laantua. Yhtäkkiä oikean puolen läheltä kuului taas huutoja ja laukaisua. Laukauksista paistoi jo pimeässä. Tämä oli ranskalaisten viimeinen hyökkäys, johon kylän taloihin asettuneet sotilaat vastasivat. Taas kaikki ryntäsi ulos kylästä, mutta Tushinin aseet eivät voineet liikkua, ja ampujat, Tushin ja kadetti, katsoivat hiljaa toisiaan odottaen kohtaloaan. Tulitaistelu alkoi laantua, ja animoituja sotilaita tulvi ulos sivukadulta.
- Tsel, Petrov? yksi kysyi.
- Kysyi, veli, lämpöä. Nyt he eivät tule esiin, sanoi toinen.
- Ei mitään nähtävää. Kuinka he paistoivat sen omassaan! ei nähdä; pimeys, veljet. Onko juotavaa?
Ranskalaiset torjuttiin viimeisen kerran. Ja taas täydellisessä pimeydessä Tushinin aseet, ikään kuin mölyvän jalkaväen kehyksen ympäröimänä, siirtyivät jonnekin eteenpäin.
Pimeässä oli kuin näkymätön, synkkä joki virtaisi, kaikki yhteen suuntaan, huminaan kuiskauksista, äänistä ja kavioiden ja pyörien äänistä. Yleisessä jyrinässä, kaikista muista äänistä, haavoittuneiden huokaukset ja äänet yön pimeydessä olivat selkeimpiä kaikista. Heidän huokauksensa näyttivät täyttävän kaiken tämän joukkoja ympäröivän pimeyden. Heidän huokauksensa ja sen yön pimeys olivat yhtä ja samaa. Hetken kuluttua liikkuvassa väkijoukossa syntyi meteli. Joku ratsasti seuran kanssa valkoisella hevosella ja sanoi jotain ajaessaan. Mitä sanoit? Minne nyt? Pysy, mitä? Kiitos, eikö? - Ahneita kysymyksiä kuultiin kaikilta puolilta ja koko liikkuva massa alkoi painaa itseään (selkeästi etummaiset pysähtyivät), ja levisi huhu, että se käskettiin pysähtymään. Kaikki pysähtyivät kävellessään keskellä mutaista tietä.
Valot syttyivät ja ääni vahvistui. Kapteeni Tushin, annettuaan määräyksen komppanialle, lähetti yhden sotilaista etsimään pukeutumispaikkaa tai lääkäriä kadetille ja istuutui sotilaiden tielle asettaman nuotion ääreen. Rostov vetäytyi myös tuleen. Kuumeinen vapina kivusta, kylmästä ja kosteudesta ravisteli hänen koko kehoaan. Uni ajoi häntä vastustamattomasti, mutta hän ei voinut nukkua tuskallisen kivun vuoksi kipeässä ja epäasennossaan käsivarressaan. Hän joko sulki silmänsä tai katsoi tulta, joka näytti hänestä kiihkeästi punaiselta, sitten Tushinin kumartuvaa, heikkoa hahmoa, joka istui hänen vieressään turkkilaiseen tyyliin. Tushinin suuret, ystävälliset ja älykkäät silmät kiinnittivät häneen myötätuntoa ja myötätuntoa. Hän näki, että Tushin halusi koko sydämestään, eikä voinut auttaa häntä millään tavalla.

Tarkastellaan kolmea sädettä a, b, c, jotka lähtevät samasta pisteestä eivätkä ole samassa tasossa. Kolmikulmainen kulma (abc) on kuvio, joka koostuu "kolmesta tasaisesta kulmasta (ab), (bc) ja (ac) (kuva 2). Näitä kulmia kutsutaan kolmikulmaisen kulman pinnoiksi ja niiden sivut ovat reunoja, Tasaisten kulmien yhteistä kärkeä kutsutaan Kolmikulmaisen kulman pintojen muodostamia kaksitahoisia kulmia kutsutaan kolmiulotteisen kulman dihedrikulmiksi.

Monitahoisen kulman käsite määritellään samalla tavalla (kuva 3).

Polyhedron

Stereometriassa tutkitaan avaruuden hahmoja, joita kutsutaan kappaleiksi. Visuaalisesti (geometrinen) kappale tulee kuvitella osana tilaa, jonka miehittää fyysinen kappale ja jota rajaa pinta.

Monitahoinen on kappale, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä litteitä polygoneja (kuva 4). Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se on jokaisen pinnallaan olevan tasaisen monikulmion tason toisella puolella. Tällaisen tason ja kuperan monitahoisen pinnan yhteistä osaa kutsutaan kasvoksi. Kuperan polyhedronin pinnat ovat litteitä kuperaa monikulmiota. Pintojen sivuja kutsutaan monitahoisen reunuksiksi ja pisteitä monitahoisen kärjeksi.

Selvitetään, mitä sanottiin tutun kuution esimerkissä (kuva 5). Kuutio on kupera monitahoinen. Sen pinta koostuu kuudesta neliöstä: ABCD, BEFC, .... Ne ovat sen kasvot. Kuution reunat ovat näiden neliöiden sivut: AB, BC, BE,.... Kuution kärjet ovat neliöiden kärjet: A, B, C, D, E, .... Kuutiossa on kuusi pintaa, kaksitoista reunaa ja kahdeksan kärkeä.

Yksinkertaisimmat polyhedrat - prismat ja pyramidit, jotka ovat tutkimuksemme pääkohde - annamme määritelmät, jotka pohjimmiltaan eivät käytä kehon käsitettä. Ne määritellään geometrisiksi kuvioiksi, joissa on kaikki niihin kuuluvat avaruuden pisteet. Geometrisen kappaleen käsite ja sen pinta yleisessä tapauksessa annetaan myöhemmin.