Mikä on aritmeettinen keskiarvo? Kuinka löytää aritmeettinen keskiarvo? Missä ja miksi tätä arvoa käytetään?

Ymmärtääksesi täysin ongelman olemuksen, sinun on opiskellut algebraa useita vuosia koulussa ja sitten instituutissa. Mutta jokapäiväisessä elämässä, jotta voidaan tietää kuinka löytää lukujen aritmeettinen keskiarvo, ei tarvitse tietää kaikkea siitä perusteellisesti. Yksinkertaisesti sanottuna tämä on lukujen summa jaettuna näiden summattujen lukujen määrällä.

Koska aritmeettista keskiarvoa ei aina voida laskea ilman jäännöstä, arvo voi osoittautua jopa murto-osaksi, jopa keskimääräistä henkilömäärää laskettaessa. Tämä johtuu siitä, että aritmeettinen keskiarvo on abstrakti käsite.

Tämä abstrakti arvo vaikuttaa moniin nykyajan elämän alueisiin. Sitä käytetään matematiikassa, liiketoiminnassa, tilastoissa, usein jopa urheilussa.

Monia kiinnostaa esimerkiksi kaikki joukkueen jäsenet tai kuukauden keskimääräinen ruokamäärä yhden päivän aikana. Ja tiedot siitä, kuinka paljon kulutettiin keskimäärin mihin tahansa kalliiseen tapahtumaan, löytyy kaikista medialähteistä. Useimmiten tällaisia ​​tietoja tietysti käytetään tilastoissa: tietää tarkalleen, mikä ilmiö on vähentynyt ja mikä lisääntynyt; mikä tuote on kysytyin ja millä ajanjaksolla; ei-toivottujen merkkien poistamisen helpottamiseksi.

Urheilussa keskiarvon käsitteeseen saatetaan törmätä, kun meille kerrotaan esimerkiksi urheilijoiden keski-ikä tai jalkapallossa tehdyt maalit. Ja kuinka he laskevat ansaitun keskimääräisen pistemäärän kilpailun aikana tai rakkaassa KVN:ssämme? Kyllä, tähän ei tarvitse tehdä muuta, kuinka löytää kaikkien tuomareiden antamien pisteiden aritmeettinen keskiarvo!

Muuten, usein kouluelämässä jotkut opettajat turvautuvat samanlaiseen menetelmään ja näyttävät oppilailleen neljännesvuosittaisia ​​ja vuosittaisia ​​arvosanoja. Sitä käytetään usein myös korkeakouluissa, usein kouluissa, laskemaan oppilaiden suoritusten keskiarvoja, jotta voidaan määrittää opettajan tehokkuus tai jakaa opiskelijat heidän kykyjensä mukaan. On edelleen monia elämänalueita, joilla tätä kaavaa käytetään, mutta tavoite on periaatteessa sama - tietää ja hallita.

Liiketoiminnassa aritmeettista keskiarvoa voidaan käyttää tulojen ja tappioiden, palkkojen ja muiden kulujen laskemiseen ja hallitsemiseen. Esimerkiksi toimitettaessa todistuksia joillekin organisaatioille tuloista vaaditaan vain kuukausittainen keskiarvo viimeiseltä kuudelta kuukaudelta. Yllättävää on se, että jotkut työntekijät, joiden tehtäviin kuuluu tällaisten tietojen kerääminen ja jotka ovat saaneet todistuksen ei keskimääräisistä kuukausiansioista vaan yksinkertaisesti kuuden kuukauden tuloista, eivät osaa löytää aritmeettista keskiarvoa eli laskea keskimääräistä kuukausipalkkaa. .

Aritmeettinen keskiarvo on merkki (hinta, palkat, väestö jne.), jonka tilavuus ei muutu laskennan aikana. Yksinkertaisesti sanottuna, kun lasketaan Petyan ja Mashan syömien omenoiden keskimääräinen määrä, määrä on yhtä suuri kuin puolet omenoiden kokonaismäärästä. Vaikka Masha söi kymmenen ja Petya sai vain yhden, niin kun jaamme heidän kokonaismääränsä puoleen, saamme aritmeettisen keskiarvon.

Nykyään monet vitsailevat Putinin lausunnolla, jonka mukaan Venäjällä asuvien keskipalkka on 27 000 ruplaa. Viisaiden vitsit kuulostavat enimmäkseen tältä: "Vai enkö minä ole venäläinen? Vai enkö enää elä? Ja koko kysymys on vain, että nämä älykkäät eivät ilmeisesti myöskään osaa löytää Venäjän asukkaiden palkkojen aritmeettista keskiarvoa.

Sinun tarvitsee vain laskea yhteen toisaalta oligarkkien, yritysjohtajien, liikemiesten tulot ja toisaalta siivoajien, talonmiesten, myyntimiesten ja konduktöörien palkat. Ja jaa sitten saatu summa niiden ihmisten lukumäärällä, joiden tulot sisälsivät tämän summan. Joten saat hämmästyttävän luvun, joka ilmaistaan ​​27 000 ruplassa.

Mikä on aritmeettinen keskiarvo?

1. Lukusarjan aritmeettinen keskiarvo on osamäärä, jossa näiden lukujen summa jaetaan termien lukumäärällä
2. Jaa
3. Numeron keskiarvo (Keskiarvo), Aritmeettinen keskiarvo (Aritmeettinen keskiarvo) - keskiarvo, joka luonnehtii mitä tahansa havaintoryhmää; lasketaan lisäämällä tämän sarjan luvut ja jakamalla sitten saatu summa summattujen lukujen määrällä. Jos yksi tai useampi ryhmään kuuluva luku eroaa merkittävästi muista, tämä voi johtaa tuloksena olevan aritmeettisen keskiarvon vääristymiseen. Siksi tässä tapauksessa on suositeltavaa käyttää geometristä keskiarvoa (geometrinen keskiarvo) (se lasketaan samalla tavalla, mutta tässä määritetään havaintojen arvojen logaritmien aritmeettinen keskiarvo ja sitten sen antilogaritmi löytyy) tai - jota käytetään useimmiten - mediaanin löytämiseen (keskiarvo arvosarjasta, joka on järjestetty nousevaan järjestykseen). Toinen menetelmä minkä tahansa arvon keskiarvon saamiseksi havaintoryhmästä on määrittää tila (moodi) - indikaattori (tai indikaattorijoukko), joka arvioi minkä tahansa muuttujan yleisimmät ilmenemismuodot; useammin tätä menetelmää käytetään keskiarvon määrittämiseen useissa koesarjoissa.
   Esimerkiksi: numerot 1 ja 99, lisää ja jaa kahdella:
   (1+99)/2=50 - aritmeettinen keskiarvo
   Jos otamme numerot (1,2,3,15,59) / 5 \u003d 16 - aritmeettinen keskiarvo jne., jne.
4. Aritmeettinen keskiarvo (matematiikassa ja tilastoissa) on yksi yleisimmistä keskeisen suuntauksen mittauksista, joka on kaikkien kiinteiden arvojen summa jaettuna niiden lukumäärällä.
   Tällä termillä on muita merkityksiä, katso keskimääräinen merkitys.
   Aritmeettinen keskiarvo (matematiikassa ja tilastoissa) on yksi yleisimmistä keskeisen suuntauksen mittauksista, joka on kaikkien kiinteiden arvojen summa jaettuna niiden lukumäärällä.

   Pythagoralaiset 1 ehdottivat sitä (yhdessä geometrisen ja harmonisen keskiarvon kanssa).

   Aritmeettisen keskiarvon erikoistapaukset ovat keskiarvo (yleisen perusjoukon) ja otoskeskiarvo (otosten).

   Kreikan kirjainta käytetään merkitsemään koko väestön aritmeettista keskiarvoa. Satunnaismuuttujalle, jolle on määritetty keskiarvo, on olemassa satunnaismuuttujan todennäköisyyskeskiarvo tai matemaattinen odotus. Jos joukko X on kokoelma satunnaislukuja, joilla on todennäköisyyskeskiarvo, niin minkä tahansa otoksen xi tästä populaatiosta = E(xi) on tämän otoksen odotus.

   Käytännössä ero ja bar(x) on tyypillinen muuttuja, koska näet otoksen koko populaation sijaan. Jos siis otos esitetään satunnaisesti (todennäköisyysteorian kannalta), bar(x) , (mutta ei) voidaan käsitellä satunnaismuuttujana, jolla on todennäköisyysjakauma otokseen (keskiarvon todennäköisyysjakauma).

   Molemmat määrät lasketaan samalla tavalla:

   bar(x) = frac(1)(n)sum_(i=1)^n x_i = frac(1)(n) (x_1+cdots+x_n).
   Jos X on satunnaismuuttuja, niin X:n odotus voidaan pitää X:n toistuvien mittausten arvojen aritmeettisena keskiarvona. Tämä on ilmentymä suurten lukujen laista. Siksi otoksen keskiarvoa käytetään arvioimaan tuntematon matemaattinen odotus.

   Alkeisalgebrassa osoitetaan, että n + 1 luvun keskiarvo on suurempi kuin n luvun keskiarvo silloin ja vain, jos uusi luku on suurempi kuin vanha keskiarvo, pienempi jos ja vain jos uusi luku on pienempi kuin keskiarvo , ja se ei muutu jos ja vain jos uusi luku on keskiarvo. Mitä suurempi n, sitä pienempi ero uuden ja vanhan keskiarvon välillä.

   Huomaa, että on olemassa useita muita välineitä, mukaan lukien tehokeskiarvo, Kolmogorovin keskiarvo, harmoninen keskiarvo, aritmeettinen geometrinen keskiarvo ja erilaiset painotetut keskiarvot.

   Esimerkkejä muokkaa wikin tekstiä
   Kolmea numeroa varten sinun on lisättävä ne ja jaettava 3:lla:
   frac(x_1 + x_2 + x_3)(3).
   Neljälle numerolle sinun on lisättävä ne ja jaettava 4:llä:
   frac(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)(4).
   Tai helpompi 5+5=10, 10:2. Koska lisäsimme 2 numeroa, mikä tarkoittaa, että kuinka monta numeroa lisäämme, jaamme sillä.

   Jatkuva satunnaismuuttuja muokkaa wikitekstiä
   Jatkuvasti jakautuneelle arvolle f(x) välin a;b aritmeettinen keskiarvo määritellään kiinteällä integraalilla: Joitakin ongelmia keskiarvon soveltamisessa Robustisuuden puute robustinen tilasto, mikä tarkoittaa, että aritmeettinen keskiarvo on vahvasti suuret poikkeamat vaikuttavat. On huomionarvoista, että jakaumien, joissa on suuri vinouma, aritmeettinen keskiarvo

5. Laske luvut yhteen ja jaat kuinka monta niistä oli näin 33 + 66 + 99 = laske yhteen 33 + 66 + 99 = 198 ja jaat kuinka monta meille luettiin 3 numeroa ovat 33 66 ja 99 ja tarvitsemme mitä onnistuimme jakamaan näin: 33+ 66+99=198:3=66 on orfmeettinen keskiarvo
6. no, se on kuin 2+8=10 ja keskiarvo on 5
7. Lukujoukon aritmeettinen keskiarvo määritellään niiden summana jaettuna niiden lukumäärällä. Eli kaikkien joukon lukujen summa on jaollinen joukon lukujen lukumäärällä.

   Yksinkertaisin tapaus on löytää kahden luvun x1 ja x2 aritmeettinen keskiarvo. Silloin niiden aritmeettinen keskiarvo X = (x1+x2)/2. Esimerkiksi X = (6+2)/2 = 4 on lukujen 6 ja 2 aritmeettinen keskiarvo.
   2
   Yleinen kaava n luvun aritmeettisen keskiarvon löytämiseksi näyttää tältä: X = (x1+x2+...+xn)/n. Se voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: X = (1/n)xi, jossa summa on indeksin i yli arvosta i = 1 arvoon i = n.

   Esimerkiksi kolmen luvun aritmeettinen keskiarvo X = (x1+x2+x3)/3, viiden luvun - (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
   3
   Mielenkiintoinen on tilanne, jossa luvut ovat aritmeettisen progression jäseniä. Kuten tiedät, aritmeettisen progression jäsenet ovat yhtä suuria kuin a1+(n-1)d, missä d on etenemisen askel ja n on etenemisjäsenen numero.

   Olkoot a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d aritmeettisen progression jäseniä. Niiden aritmeettinen keskiarvo on S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+(n* d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Siten aritmeettisen progression jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin sen ensimmäisen ja viimeisen jäsenen aritmeettinen keskiarvo.
   4
   Ominaisuus on myös totta, että jokainen aritmeettisen progression jäsen on yhtä suuri kuin etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, missä a (n-1), an, a(n+1) ovat sekvenssin peräkkäisiä jäseniä.

8. Jaa lukujen summa niiden lukumäärällä
9. kun lisäät ja jaat kaiken
10. Jos en ole väärässä, tämä tapahtuu, kun lisäät numeroiden summan ja jaat itse numeroiden lukumäärällä ...
11. tämä on kun sinulla on useita lukuja, lasket ne yhteen ja jaat sitten niiden numeroilla! sanotaan 25 24 65 76, lisätään: 25+24+65+76:4=aritmeettinen keskiarvo!
12. Vjatšaslav Bogdanov vastasi väärin!!! !
    Toimi sanoillasi!
    Aritmeettinen keskiarvo on kahden arvon välinen keskiarvo.... Se löytyy lukujen summana jaettuna niiden lukumäärällä ... . Tai yksinkertaisesti, jos kaksi numeroa on jonkin luvun ympärillä (tai pikemminkin niiden välillä on jokin luku järjestyksessä), tämä luku on vrt. ovat. !

    6 + 8... vrt. ar = 7

13. jakaja gygygygygygygy
14. Keskiarvo maksimin ja minimin välillä (kaikki numeeriset indikaattorit lasketaan yhteen ja jaetaan niiden lukumäärällä
    )
15. kun lisäät numerot ja jaat numeroiden lukumäärällä

Mikä on aritmeettinen keskiarvo

Useiden arvojen aritmeettinen keskiarvo on näiden arvojen summan suhde niiden lukumäärään.

Tietyn lukusarjan aritmeettista keskiarvoa kutsutaan kaikkien näiden lukujen summaksi jaettuna termien lukumäärällä. Siten aritmeettinen keskiarvo on lukusarjan keskiarvo.

Mikä on useiden lukujen aritmeettinen keskiarvo? Ja ne ovat yhtä suuria kuin näiden lukujen summa, joka jaetaan tämän summan termien lukumäärällä.

Kuinka löytää aritmeettinen keskiarvo

Useiden lukujen aritmeettisen keskiarvon laskemisessa tai löytämisessä ei ole mitään vaikeaa, riittää, että lasket yhteen kaikki esitetyt luvut ja jaat tuloksena olevan määrän termien lukumäärällä. Saatu tulos on näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo.

Tarkastellaan tätä prosessia yksityiskohtaisemmin. Mitä meidän on tehtävä laskeaksemme aritmeettisen keskiarvon ja saada tämän luvun lopputulos.

Ensinnäkin sen laskemiseksi sinun on määritettävä joukko numeroita tai niiden lukumäärä. Tämä sarja voi sisältää suuria ja pieniä numeroita, ja niiden lukumäärä voi olla mikä tahansa.

Toiseksi kaikki nämä luvut on laskettava yhteen ja laskettava niiden summa. Luonnollisesti, jos luvut ovat yksinkertaisia ​​ja niiden lukumäärä on pieni, laskelmat voidaan tehdä kirjoittamalla käsin. Ja jos numerosarja on vaikuttava, on parempi käyttää laskinta tai laskentataulukkoa.

Ja neljänneksi, yhteenlaskemisesta saatu määrä on jaettava numeroiden lukumäärällä. Tuloksena saamme tuloksen, joka on tämän sarjan aritmeettinen keskiarvo.

Mihin aritmeettinen keskiarvo on tarkoitettu?

Aritmeettinen keskiarvo voi olla hyödyllinen paitsi esimerkkien ja ongelmien ratkaisemisessa matematiikan tunneilla, myös muihin ihmisen jokapäiväisessä elämässä tarpeellisiin tarkoituksiin. Tällaisia ​​tavoitteita voivat olla aritmeettisen keskiarvon laskeminen keskimääräisten talouskustannusten laskemiseksi kuukaudessa tai tiellä viettämäsi ajan laskeminen, myös läsnäolon, tuottavuuden, nopeuden, tuottavuuden ja paljon muuta selvittämiseksi.

Joten esimerkiksi yritetään laskea, kuinka paljon aikaa käytät koulumatkaan. Kouluun mentäessä tai kotiin palatessa vietät joka kerta eri aikaa tiellä, koska kiireessä kuljet nopeammin, ja siksi tie vie vähemmän aikaa. Mutta kotiin palattuasi voit mennä hitaasti, puhua luokkatovereiden kanssa, ihailla luontoa, ja siksi tie vie enemmän aikaa.

Siksi et voi määrittää tarkasti tiellä vietettyä aikaa, mutta aritmeettisen keskiarvon ansiosta voit suunnilleen selvittää tiellä viettämäsi ajan.

Oletetaan, että viikonlopun jälkeisenä ensimmäisenä päivänä vietit viisitoista minuuttia matkalla kotoa kouluun, toisena päivänä matkasi kesti kaksikymmentä minuuttia, keskiviikkona suoritit matkan kahdessakymmenessä viidessä minuutissa, samaan aikaan matkasi torstaina, ja perjantaina sinulla ei ollut kiirettä ja palasit puoleksi tunniksi.

Etsitään aritmeettinen keskiarvo lisäämällä aika kaikille viidelle päivälle. Niin,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Jaa tämä summa päivien määrällä

Tämän menetelmän avulla olet oppinut, että matka kotoa kouluun vie aikaasi noin kaksikymmentäkolme minuuttia.

Kotitehtävät

1. Selvitä yksinkertaisilla laskelmilla luokkasi opiskelijoiden viikoittainen läsnäolojen aritmeettinen keskiarvo.

2. Etsi aritmeettinen keskiarvo:

3. Ratkaise ongelma:

Kolme lasta meni metsään marjoille. Vanhin tytär löysi 18 marjaa, keskimmäinen 15 ja pikkuveli 3 marjaa (ks. kuva 1). He toivat marjat äidilleni, joka päätti jakaa marjat tasan. Kuinka monta marjaa kukin lapsi sai?

Riisi. 1. Ongelman kuva

Päätös

(yag.) - lapset keräsivät kaiken

2) Jaa marjojen kokonaismäärä lasten lukumäärällä:

(yag.) meni jokaiselle lapselle

Vastaus: Jokainen lapsi saa 12 marjaa.

Tehtävässä 1 vastauksessa saatu luku on aritmeettinen keskiarvo.

aritmeettinen keskiarvo Useita lukuja kutsutaan osamääräksi, jossa näiden lukujen summa jaetaan niiden lukumäärällä.

Esimerkki 1

Meillä on kaksi numeroa: 10 ja 12. Etsi niiden aritmeettinen keskiarvo.

Päätös

1) Määritetään näiden lukujen summa: .

2) Näiden lukujen lukumäärä on 2, joten näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo on: .

Vastaus: lukujen 10 ja 12 aritmeettinen keskiarvo on luku 11.

Esimerkki 2

Meillä on viisi numeroa: 1, 2, 3, 4 ja 5. Selvitä niiden aritmeettinen keskiarvo.

Päätös

1) Näiden lukujen summa on: .

2) Määritelmän mukaan aritmeettinen keskiarvo on osamäärä, jossa lukujen summa jaetaan niiden lukumäärällä. Meillä on viisi numeroa, joten aritmeettinen keskiarvo on:

Vastaus: Numeroehdon tietojen aritmeettinen keskiarvo on 3.

Sen lisäksi, että sitä tarjotaan jatkuvasti luokkahuoneessa, aritmeettisen keskiarvon löytäminen on erittäin hyödyllistä jokapäiväisessä elämässä. Oletetaan esimerkiksi, että haluamme mennä lomalle Kreikkaan. Oikeiden vaatteiden valitsemiseksi tarkastelemme tämän maan lämpötilaa tällä hetkellä. Emme kuitenkaan tiedä yleistä kuvaa säästä. Siksi on tarpeen selvittää ilman lämpötila esimerkiksi Kreikassa viikon ajan ja löytää näiden lämpötilojen aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkki 3

Viikon lämpötila Kreikassa: maanantai - ; tiistai - ; Keskiviikko -; Torstai - ; perjantai - ; lauantai - ; Sunnuntai -. Laske viikon keskilämpötila.

Päätös

1) Laske lämpötilojen summa: .

2) Jaa saatu summa päivien määrällä: .

Vastaus: viikoittainen keskilämpötila n.

Kykyä löytää aritmeettinen keskiarvo voi olla tarpeen myös jalkapallojoukkueen pelaajien keski-iän määrittämiseksi, eli sen selvittämiseksi, onko joukkue kokenut vai ei. Kaikkien pelaajien iät on laskettava yhteen ja jaettava heidän lukumäärällään.

Tehtävä 2

Kauppias myi omenoita. Aluksi hän myi niitä hintaan 85 ruplaa kilolta. Joten hän myi 12 kg. Sitten hän laski hinnan 65 ruplaan ja myi loput 4 kg omenoita. Mikä oli omenoiden keskihinta?

Päätös

1) Lasketaan kuinka paljon kauppias ansaitsi yhteensä. Hän myi 12 kiloa hintaan 85 ruplaa kilolta: (hieroa.).

Hän myi 4 kiloa hintaan 65 ruplaa kilolta: (rub.).

Siksi ansaitun rahan kokonaismäärä on: (ruplaa).

2) Myytyjen omenoiden kokonaispaino on: .

3) Jaa saatu rahamäärä myytyjen omenoiden kokonaispainolla ja saa 1 kg omenoiden keskihinta: (ruplaa).

Vastaus: myytyjen omenoiden kilon keskihinta on 80 ruplaa.

Aritmeettinen keskiarvo auttaa arvioimaan dataa kokonaisuutena ottamatta kutakin arvoa erikseen.

Aina ei kuitenkaan ole mahdollista käyttää aritmeettisen keskiarvon käsitettä.

Esimerkki 4

Ampuja ampui kaksi laukausta maaliin (katso kuva 2): ensimmäisen kerran hän osui metrin maalitaulun yläpuolelle ja toisen metrin alle. Aritmeettinen keskiarvo osoittaa, että hän osui tarkasti keskelle, vaikka hän epäonnistui molemmat kertaa.

Riisi. 2. Esimerkki esim

Tällä oppitunnilla tutustuimme aritmeettisen keskiarvon käsitteeseen. Opimme tämän käsitteen määritelmän, opimme laskemaan useiden lukujen aritmeettisen keskiarvon. Opimme myös tämän konseptin käytännön soveltamisen.

1. N.Ya. Vilenkin. Matematiikka: oppikirja. 5 solulle. yleistä konst. - Toim. 17. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igorilla oli mukanaan 45 ruplaa, Andreilla 28 ja Denisillä 17 ruplaa.
3. Kaikilla rahoillaan he ostivat 3 elokuvalippua. Kuinka paljon yksi lippu maksoi?