Koordinaattitasoon liittyy kokonainen ryhmä tehtäviä (sisältyy tutkimustehtävien tyyppeihin). Nämä ovat tehtäviä alkaen alkeellisimmista, jotka ratkaistaan ​​suullisesti (tietyn pisteen ordinaatin tai abskissan tai symmetrisen pisteen määrittäminen jne.) ja päättyen laadukasta tietoa, ymmärrystä ja hyviä taitoja vaativiin tehtäviin (tehtävät). suoran kaltevuuden suhteen).

Vähitellen harkitsemme niitä kaikkia. Tässä artikkelissa aloitamme perusasioista. Nämä ovat yksinkertaisia ​​tehtäviä määritettäväksi: pisteen abskissa ja ordinaatta, janan pituus, janan keskipiste, suoran kaltevuuskulman sini tai kosini.Suurin osa näistä tehtävistä ei ole kiinnostavaa. Mutta mielestäni ne on kerrottava.

Asia on siinä, että kaikki eivät käy koulua. Monet ihmiset läpäisevät kokeen 3-4 vuotta tai enemmän valmistumisen jälkeen, ja he muistavat hämärästi, mikä on abskissa ja ordinaatta. Analysoimme myös muita koordinaattitasoon liittyviä tehtäviä, älä missaa sitä, tilaa blogipäivitys. Nyt n vähän teoriaa.

Muodostetaan koordinaattitasolle piste A koordinaatteilla x=6, y=3.

He sanovat, että pisteen A abskissa on kuusi, pisteen A ordinaatta on kolme.

Yksinkertaisesti sanottuna x-akseli on abskissa-akseli, y-akseli on y-akseli.

Eli abskissa on x-akselin piste, johon koordinaattitasolla annettu piste projisoidaan; Ordinaatta on y-akselin piste, johon määritetty piste projisoidaan.

Janan pituus koordinaattitasolla

Kaava janan pituuden määrittämiseksi, jos sen päiden koordinaatit tunnetaan:

Kuten näet, segmentin pituus on hypotenuusan pituus suorakulmaisessa kolmiossa, jonka jalat ovat

X B - X A ja Y B - Y A

* * *

Leikkauksen keskikohta. Hänen koordinaatit.

Kaava janan keskipisteen koordinaattien löytämiseksi:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

missä (x 1; y 1) ja (x 2; y 2 ) annettujen pisteiden koordinaatit.

Korvaamalla koordinaattien arvot kaavaan, se pelkistetään muotoon:

y = kx + b, jossa k on suoran kaltevuus

Tarvitsemme tätä tietoa, kun ratkaisemme toista koordinaattitasoon liittyvää ongelmaryhmää. Tästä tulee artikkeli, älä missaa sitä!

Mitä muuta voi lisätä?

Suoran viivan (tai segmentin) kaltevuuskulma on oX-akselin ja tämän suoran välinen kulma, joka vaihtelee välillä 0 - 180 astetta.

Mietitään tehtäviä.

Pisteestä (6;8) kohtisuora lasketaan y-akselille. Etsi kohtisuoran kannan ordinaatit.

Y-akseliin pudotetun kohtisuoran kannalla on koordinaatit (0; 8). Ordinaatta on kahdeksan.

Vastaus: 8

Etsi etäisyys pisteestä A koordinaatit (6;8) y-akselille.

Etäisyys pisteestä A y-akseliin on yhtä suuri kuin pisteen A abskissa.

Vastaus: 6.

A(6;8) akselin ympäri Härkä.

Pisteelle, joka on symmetrinen pisteeseen A oX-akselin suhteen, on koordinaatit (6; - 8).

Ordinaatta on miinus kahdeksan.

Vastaus: -8

Etsi pisteen kanssa symmetrisen pisteen ordinaatit A(6;8) suhteessa alkuperään.

Pisteellä, joka on symmetrinen pisteen A kanssa origon suhteen, on koordinaatit (- 6; - 8).

Sen ordinaatit ovat -8.

Vastaus: -8

Etsi pisteitä yhdistävän janan keskipisteen abskissaO(0;0) ja A(6;8).

Ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen löytää janan keskikohdan koordinaatit. Janamme päiden koordinaatit ovat (0;0) ja (6;8).

Laskemme kaavalla:

Sain (3;4). Abskissa on kolme.

Vastaus: 3

* Janan keskiosan abskissa voidaan määrittää ilman kaavalla laskemista, rakentamalla tämä segmentti solun arkin koordinaattitasolle. Segmentin keskikohta on helppo määrittää solujen avulla.

Etsi pisteitä yhdistävän janan keskipisteen abskissa A(6;8) ja B(–2;2).

Ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen löytää janan keskikohdan koordinaatit. Janamme päiden koordinaatit ovat (–2;2) ja (6;8).

Laskemme kaavalla:

Sain (2;5). Abskissa on kaksi.

Vastaus: 2

* Janan keskiosan abskissa voidaan määrittää ilman kaavalla laskemista, rakentamalla tämä segmentti solun arkin koordinaattitasolle.

Etsi pisteitä (0;0) ja (6;8) yhdistävän janan pituus.

Janan pituus sen päiden annetuissa koordinaateissa lasketaan kaavalla:

meidän tapauksessamme on O(0;0) ja A(6;8). tarkoittaa,

*Koordinaattien järjestyksellä vähennettäessä ei ole väliä. Voit vähentää pisteen A abskissan ja ordinaatin pisteen O abskissasta ja ordinaatista:

Vastaus: 10

Etsi pisteitä yhdistävän janan kaltevuuden kosini O(0;0) ja A(6;8), x-akselilla.

Janan kaltevuuskulma on tämän segmentin ja x-akselin välinen kulma.

Pisteestä A lasketaan kohtisuora x-akseliin nähden:

Eli segmentin kaltevuuskulma on kulmaSAIsuorassa kolmiossa ABO.

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on

viereisen jalan suhde hypotenuusaan

Pitää löytää hypotenuusaOA.

Pythagoraan lauseen mukaan:Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Siten kaltevuuskulman kosini on 0,6

Vastaus: 0.6

Pisteestä (6;8) lasketaan kohtisuora abskissa-akseliin nähden. Etsi kohtisuoran kannan abskissa.

Pisteen (6; 8) läpi vedetään suora viiva, joka on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Etsi sen ja akselin leikkauspisteen ordinaatit OU.

Etsi etäisyys pisteestä A koordinaateilla (6;8) x-akselille.

Etsi etäisyys pisteestä A koordinaatit (6;8) alkupisteeseen.

Pituus, kuten jo todettiin, osoitetaan moduulimerkillä.

Jos kaksi tason pistettä ja annetaan, janan pituus voidaan laskea kaavalla

Jos kaksi pistettä avaruudessa ja annetaan, niin janan pituus voidaan laskea kaavalla

merkintä: Kaavat pysyvät oikeina, jos vastaavat koordinaatit järjestetään uudelleen: ja , mutta ensimmäinen vaihtoehto on tavallisempi

Esimerkki 3

Ratkaisu: vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Selvyyden vuoksi teen piirustuksen

Jana - se ei ole vektori, etkä tietenkään voi siirtää sitä minnekään. Lisäksi, jos täytät piirustuksen mittakaavassa: 1 yksikkö. \u003d 1 cm (kaksi tetradisolua), niin vastaus voidaan tarkistaa tavallisella viivaimella mittaamalla suoraan segmentin pituus.

Kyllä, ratkaisu on lyhyt, mutta siinä on pari tärkeää seikkaa, joita haluaisin selventää:

Ensin asetimme vastauksessa mittasuhteen: "yksiköt". Kunto ei kerro MITÄ se on, millimetrejä, senttejä, metrejä tai kilometrejä. Siksi yleinen muotoilu on matemaattisesti pätevä ratkaisu: "yksiköt" - lyhennetty "yksiköiksi".

Toiseksi, toistetaan koulumateriaalia, joka on hyödyllinen paitsi harkittuun ongelmaan:

kiinnitä huomiota tärkeä tekninen temppu – kertoimen ottaminen juuren alta. Laskelmien tuloksena saimme tuloksen ja hyvään matemaattiseen tyyliin kuuluu kertoimen ottaminen juuren alta (jos mahdollista). Prosessi näyttää tarkemmin tältä: . Tietenkään vastauksen jättäminen lomakkeeseen ei ole virhe - mutta se on ehdottomasti puute ja painava argumentti opettajan tyhmyydelle.

Tässä on muita yleisiä tapauksia:

Usein riittävän suuri määrä saadaan esimerkiksi juuren alle. Kuinka olla tällaisissa tapauksissa? Tarkistamme laskimella, onko luku jaollinen 4:llä. Kyllä, jakaa kokonaan, näin: . Tai ehkä luku voidaan jakaa uudelleen neljällä? . Tällä tavalla: . Numeron viimeinen numero on pariton, joten jakaminen 4:llä kolmatta kertaa ei selvästikään ole mahdollista. Yritetään jakaa yhdeksällä: . Tuloksena:
Valmis.

Johtopäätös: jos juuren alle saamme täysin irrotettavan luvun, yritämme ottaa kertoimen juuren alta - tarkistamme laskimella, onko luku jaollinen: 4, 9, 16, 25, 36, 49, jne.

Erilaisten ongelmien ratkaisemisen aikana juuret löytyvät usein, yritä aina poimia tekijöitä juuren alta välttääksesi huonomman pistemäärän ja turhia ongelmia viimeistellä ratkaisusi opettajan huomautuksen mukaan.

Toistetaan samaan aikaan juurien ja muiden voimien neliöinti:

Säännöt toimenpiteille, joilla on tutkinto yleisessä muodossa, löytyvät koulun algebran oppikirjasta, mutta mielestäni kaikki tai melkein kaikki on jo selvää annetuista esimerkeistä.

Tehtävä itsenäiselle ratkaisulle segmentillä avaruudessa:

Esimerkki 4

Annetut pisteet ja . Etsi segmentin pituus.

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Jos kosketat muistivihkon arkkia hyvin teroitetulla lyijykynällä, jää jäljelle, joka antaa käsityksen asiasta. (Kuva 3).

Merkitsemme paperille kaksi pistettä A ja B. Nämä pisteet voidaan yhdistää eri viivoilla ( kuva 4). Ja kuinka yhdistää pisteet A ja B lyhimmällä linjalla? Tämä voidaan tehdä viivaimella ( kuva 5). Tuloksena olevaa riviä kutsutaan segmentti.

Piste ja viiva - esimerkkejä geometriset kuviot.

Pisteitä A ja B kutsutaan segmentin päät.

On olemassa yksi jana, jonka päät ovat pisteet A ja B. Siksi jana merkitään kirjoittamalla ylös pisteet, jotka ovat sen päät. Esimerkiksi segmentti kuvassa 5 on merkitty kahdella tavalla: AB tai BA. Lue: "segmentti AB" tai "segmentti BA".

Kuva 6 esittää kolme segmenttiä. Janan AB pituus on 1 cm. Se sijoitetaan segmenttiin MN tarkalleen kolme kertaa ja segmenttiin EF tasan 4 kertaa. Sanomme sen segmentin pituus MN on 3 cm ja segmentin EF pituus on 4 cm.

On myös tapana sanoa: "segmentti MN on 3 cm", "segmentti EF on 4 cm". He kirjoittavat: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mittasimme segmenttien MN ja EF pituudet yksittäinen segmentti, jonka pituus on 1 cm. Segmenttien mittaamiseen voit valita muun pituusyksiköitä esimerkiksi: 1 mm, 1 dm, 1 km. Kuvassa 7 segmentin pituus on 17 mm. Se mitataan yhdellä segmentillä, jonka pituus on 1 mm, jakoviivalla. Lisäksi viivaimen avulla voit rakentaa (piirtää) tietyn pituisen segmentin (katso kuva 7).

Yleisesti, segmentin mittaaminen tarkoittaa laskea kuinka monta yksikkösegmenttiä siihen mahtuu.

Jakson pituudella on seuraava ominaisuus.

Jos piste C on merkitty janalle AB, niin janan AB pituus on yhtä suuri kuin segmenttien AC ja CB pituuksien summa.(Kuva 8).

He kirjoittavat: AB = AC + CB.

Kuvassa 9 on kaksi segmenttiä AB ja CD. Nämä segmentit ovat samat, kun ne asetetaan päällekkäin.

Kahta segmenttiä kutsutaan yhtäläisiksi, jos ne yhtyvät päällekkäin.

Siten segmentit AB ja CD ovat yhtä suuret. He kirjoittavat: AB = CD.

Tasaisilla segmenteillä on sama pituus.

Näistä kahdesta epätasaisesta segmentistä pidetään sitä, jonka pituus on pidempi, suurempana. Esimerkiksi kuviossa 6 segmentti EF on suurempi kuin segmentti MN.

Janan AB pituutta kutsutaan etäisyys pisteiden A ja B välissä.

Jos useita segmenttejä järjestetään kuvan 10 mukaisesti, saadaan geometrinen kuvio, joka on ns. rikkinäinen linja. Huomaa, että kaikki kuvan 11 segmentit eivät muodosta katkoviivaa. Uskotaan, että segmentit muodostavat katkoviivan, jos ensimmäisen segmentin pää osuu yhteen toisen jakson pään kanssa ja toisen segmentin toinen pää osuu kolmannen päähän jne.

Pisteet A, B, C, D, E − polyline-pisteet ABCDE, pisteet A ja E − katkennut rivi päättyy, ja segmentit AB, BC, CD, DE ovat sen linkkejä(katso kuva 10).

Katkoviivan pituus on kaikkien sen linkkien pituuksien summa.

Kuvassa 12 on kaksi katkoviivaa, joiden päät osuvat yhteen. Tällaisia ​​katkoviivoja kutsutaan suljettu.

Esimerkki 1 . Jakso BC on 3 cm pienempi kuin segmentti AB, jonka pituus on 8 cm (kuva 13). Etsi segmentin AC pituus.

Ratkaisu. Meillä on: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Janan pituuden ominaisuudella voidaan kirjoittaa AC = AB + BC. Näin ollen AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Vastaus: 13 cm.

Esimerkki 2 . Tiedetään, että MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (kuva 14). Laske janan NK pituus.

Ratkaisu. Meillä on: MN = MP − NP.

Näin ollen MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Meillä on: NK = MK − MN.

Näin ollen NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Vastaus: 6 cm.

Jakson pituus voidaan määrittää eri tavoin. Janan pituuden selvittämiseksi riittää, että sinulla on käytettävissä oleva viivain tai tiedät erityiset laskentakaavat.

Viivan pituus viivaimella

Tätä varten asetamme tasolle rakennettuun segmenttiin millimetrijakoinen viivain, jonka aloituspisteen on oltava linjassa viivaimen asteikon nollan kanssa. Sitten sinun tulee merkitä tälle asteikolle tämän segmentin päätepisteen sijainti. Tuloksena oleva asteikon kokonaisten jakojen lukumäärä on segmentin pituus, joka ilmaistaan ​​cm:nä ja mm:nä.

Tasokoordinaattimenetelmä

Jos janan (x1; y1) ja (x2; y2) koordinaatit tunnetaan, sen pituus tulee laskea seuraavasti. Toisen pisteen tason koordinaateista tulee vähentää ensimmäisen pisteen koordinaatit. Tuloksena pitäisi olla kaksi numeroa. Jokainen näistä luvuista on neliöitävä ja etsi sitten näiden neliöiden summa. Tuloksena olevasta luvusta tulee erottaa neliöjuuri, joka on pisteiden välinen etäisyys. Koska nämä pisteet ovat janan päät, tämä arvo on sen pituus.

Harkitse esimerkkiä janan pituuden löytämisestä koordinaattien avulla. On olemassa kahden pisteen (-1;2) ja (4;7) koordinaatit. Kun etsitään pisteiden koordinaattien eroa, saadaan seuraavat arvot: x = 5, y = 5. Tuloksena olevat luvut ovat janan koordinaatit. Sitten neliöimme jokaisen luvun ja löydämme tulosten summan, se on 50. Otetaan tästä luvusta neliöjuuri. Tulos on: 5 juurta 2:sta. Tämä on segmentin pituus.

Avaruuden koordinaattien menetelmä

Voit tehdä tämän pohtimalla, kuinka löytää vektorin pituus. Hän on se, joka on segmentti euklidisessa avaruudessa. Se löytyy lähes samalla tavalla kuin segmentin pituus tasossa. Vektorin rakentaminen tapahtuu eri tasoilla. Kuinka löytää vektorin pituus?

1. Etsi vektorin koordinaatit, tätä varten sinun on vähennettävä sen alkupisteen koordinaatit sen päätepisteen koordinaateista.
2. Sen jälkeen sinun on neliöitävä jokainen vektorin koordinaatti.
3. Lisää sitten koordinaattien neliöt.
4. Vektorin pituuden selvittämiseksi sinun on otettava neliöjuuri koordinaattien neliöiden summasta.

Tarkastellaan laskenta-algoritmia esimerkin avulla. On tarpeen löytää vektorin AB koordinaatit. Pisteillä A ja B on seuraavat koordinaatit: A (1;6;3) ja B (3;-1;7). Vektorin alku on pisteessä A, loppu sijaitsee pisteessä B. Siten sen koordinaattien löytämiseksi on tarpeen vähentää pisteen A koordinaatit pisteen B koordinaateista: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Nyt neliöimme jokaisen koordinaatin ja lisäämme ne: 4+49+16=69. Lopuksi poimii annetun luvun neliöjuuren. Sen erottaminen on vaikeaa, joten kirjoitamme tuloksen tällä tavalla: vektorin pituus on yhtä suuri kuin 69:n juuri.

Jos sinulle ei ole tärkeää laskea segmenttien ja vektoreiden pituutta itse, mutta tarvitset vain tuloksen, voit käyttää esimerkiksi tätä verkkolaskinta.

Nyt kun olet tutkinut näitä menetelmiä ja tarkastellut esitettyjä esimerkkejä, voit helposti löytää segmentin pituuden missä tahansa tehtävässä.

Alla olevassa artikkelissa käsitellään janan keskikohdan koordinaattien löytämistä sen ääripisteiden koordinaattien ollessa lähtötietona. Mutta ennen kuin jatkamme asian tutkimista, esittelemme useita määritelmiä.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1

Jana- suora viiva, joka yhdistää kaksi mielivaltaista pistettä, joita kutsutaan janan päiksi. Esimerkkinä olkoon nämä pisteet A ja B ja vastaavasti segmentti A B .

Jos janaa A B jatketaan molempiin suuntiin pisteistä A ja B, saadaan suora A B. Tällöin jana A B on osa saatua suoraa, jota rajoittavat pisteet A ja B . Jana A B yhdistää pisteet A ja B , jotka ovat sen päät, sekä niiden välissä olevan pisteiden joukon. Jos esimerkiksi otetaan mikä tahansa mielivaltainen piste K, joka on pisteiden A ja B välissä, voidaan sanoa, että piste K on janalla A B .

Määritelmä 2

Leikkauspituus on segmentin päiden välinen etäisyys tietyssä mittakaavassa (yksikköpituuden segmentti). Merkitään janan A B pituus seuraavasti: A B .

Määritelmä 3

keskipiste Janan piste, joka on yhtä kaukana sen päistä. Jos janan A B keskikohta on merkitty pisteellä C, yhtälö on tosi: A C \u003d C B

Alkutiedot: koordinaattiviiva O x ja yhteensopimattomat pisteet sillä: A ja B . Nämä pisteet vastaavat reaalilukuja x A ja x B. Piste C on janan A B keskipiste: sinun on määritettävä koordinaatti x C.

Koska piste C on janan A B keskipiste, yhtälö on tosi: | A C | = | C B | . Pisteiden välinen etäisyys määräytyy niiden koordinaattien välisen eron moduulin mukaan, ts.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Tällöin kaksi yhtäläisyyttä on mahdollista: x C - x A = x B - x C ja x C - x A = - (x B - x C)

Ensimmäisestä yhtälöstä johdetaan kaava pisteen C koordinaatille: x C \u003d x A + x B 2 (puolet janan päiden koordinaattien summasta).

Toisesta yhtälöstä saadaan: x A = x B , mikä on mahdotonta, koska alkuperäisissä tiedoissa - yhteensopimattomat pisteet. Tällä tavalla, kaava janan A B keskipisteen koordinaattien määrittämiseksi päillä A (x A) ja B(xB):

Tuloksena oleva kaava on perusta janan keskipisteen koordinaattien määrittämiselle tasossa tai avaruudessa.

Lähtötiedot: suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa O x y , kaksi mielivaltaista ei-yhteensopivaa pistettä, joilla on annetut koordinaatit A x A , y A ja B x B , y B . Piste C on janan A B keskipiste. On tarpeen määrittää pisteen C koordinaatit x C ja y C.

Otetaan analysoitavaksi tapaus, jossa pisteet A ja B eivät ole samat eivätkä ole samalla koordinaattiviivalla tai suoralla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan akseliin nähden. Ax, Ay; B x , B y ja C x , C y - pisteiden A , B ja C projektiot koordinaattiakseleilla (suorat O x ja O y).

Rakenteen mukaan suorat A A x , B B x , C C x ovat yhdensuuntaiset; viivat ovat myös yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Yhdessä tämän kanssa yhtälöstä A C \u003d C B Thales-lauseen mukaan yhtälöt: A x C x \u003d C x B x ja A y C y \u003d C y B y, ja ne puolestaan osoittavat, että piste C x - janan A x B x keskikohta ja C y on janan A y B y keskikohta. Ja sitten aiemmin saadun kaavan perusteella saamme:

x C = x A + x B 2 ja y C = y A + y B 2

Samoja kaavoja voidaan käyttää silloin, kun pisteet A ja B sijaitsevat samalla koordinaattiviivalla tai suoralla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan akseliin nähden. Emme analysoi tätä tapausta yksityiskohtaisesti, vaan tarkastelemme sitä vain graafisesti:

Yhteenvetona kaikesta yllä olevasta, janan A B keskikohdan koordinaatit tasossa päiden koordinaattien kanssa A (x A , y A) ja B(x B, y B) määritelty:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Lähtötiedot: koordinaattijärjestelmä О x y z ja kaksi mielivaltaista pistettä annetuilla koordinaatteilla A (x A , y A , z A) ja B (x B , y B , z B) . On tarpeen määrittää pisteen C koordinaatit, joka on janan A B keskipiste.

Ax, Ay, Az; B x , B y , B z ja C x , C y , C z - kaikkien annettujen pisteiden projektiot koordinaattijärjestelmän akseleilla.

Thales-lauseen mukaan yhtälöt ovat tosia: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Siksi pisteet C x , C y , C z ovat segmenttien A x B x , A y B y , A z B z keskipisteitä. Sitten, janan keskikohdan koordinaattien määrittämiseksi avaruudessa seuraavat kaavat ovat tosia:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Tuloksena olevia kaavoja voidaan soveltaa myös tapauksissa, joissa pisteet A ja B ovat jollakin koordinaattisuorasta; suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan akseliin nähden; yhdessä koordinaattitasossa tai tasossa, joka on kohtisuorassa johonkin koordinaattitasosta.

Janan keskikohdan koordinaattien määrittäminen sen päiden sädevektorien koordinaattien kautta

Kaava janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi voidaan johtaa myös vektorien algebrallisen tulkinnan mukaan.

Lähtötiedot: suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y , pisteet, joilla on annetut koordinaatit A (x A , y A) ja B (x B , x B) . Piste C on janan A B keskipiste.

Vektoreihin kohdistuvien toimintojen geometrisen määritelmän mukaan seuraava yhtälö on totta: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Piste C on tässä tapauksessa vektorien O A → ja O B → perusteella muodostetun suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste, ts. diagonaalien keskikohdan piste.Pisteen sädevektorin koordinaatit ovat yhtä suuret kuin pisteen koordinaatit, silloin yhtälöt ovat tosia: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Suoritetaan joitain operaatioita vektoreille koordinaateissa ja saadaan:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Siksi pisteellä C on koordinaatit:

x A + x B 2, y A + y B 2

Analogisesti määritetään kaava janan keskipisteen koordinaattien löytämiseksi avaruudesta:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Esimerkkejä tehtävien ratkaisusta janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi

Yllä saatujen kaavojen käyttöä sisältävien tehtävien joukossa on sekä niitä, joissa kysymys on suoraan janan keskikohdan koordinaattien laskemisesta, että niitä, jotka edellyttävät annettujen ehtojen tuomista tähän kysymykseen: termi "mediaani" Usein käytetään, tavoitteena on löytää yhden koordinaatit segmentin päistä sekä symmetriaongelmat, joiden ratkaiseminen ei yleensä myöskään aiheuta vaikeuksia tämän aiheen tutkimisen jälkeen. Tarkastellaan tyypillisiä esimerkkejä.

Esimerkki 1

Alkutiedot: tasossa - pisteet, joiden koordinaatit A (- 7, 3) ja B (2, 4) . On tarpeen löytää janan A B keskipisteen koordinaatit.

Ratkaisu

Merkitään janan A B keskikohtaa pisteellä C . Sen koordinaatit määritetään puoleksi janan päiden koordinaattien summasta, ts. kohdat A ja B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Vastaus: janan A B - 5 2 , 7 2 keskikohdan koordinaatit .

Esimerkki 2

Alkutiedot: kolmion A B C koordinaatit tunnetaan: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . On tarpeen löytää mediaanin A M pituus.

Ratkaisu

1. Tehtävän ehdon mukaan A M on mediaani, mikä tarkoittaa, että M on janan B C keskipiste. Ensin löydetään janan B C keskikohdan koordinaatit, ts. M pistettä:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Koska tiedämme nyt mediaanin molempien päiden koordinaatit (pisteet A ja M), voimme käyttää kaavaa määrittääksemme pisteiden välisen etäisyyden ja laskea mediaanin A M pituuden:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Vastaus: 58

Esimerkki 3

Alkutiedot: suuntaissärmiö A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 on annettu kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Pisteen C 1 (1 , 1 , 0) koordinaatit on annettu ja määritellään myös piste M, joka on diagonaalin B D 1 keskipiste ja jonka koordinaatit M (4 , 2 , - 4) . On tarpeen laskea pisteen A koordinaatit.

Ratkaisu

Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on kaikkien lävistäjien keskipiste. Tämän väitteen perusteella voidaan pitää mielessä, että tehtävän ehdoilla tunnettu piste M on janan А С 1 keskipiste. Kaavan perusteella janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi avaruudesta saadaan pisteen A koordinaatit: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 v M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Vastaus: pisteen A koordinaatit (7, 3, - 8) .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter