1. Anna aliavaruuden L = L(A 1 , A 2 , …, olen) , tuo on L on järjestelmän lineaarinen kuori A 1 , A 2 , …, olen; vektorit A 1 , A 2 , …, olen on tämän aliavaruuden generaattorijärjestelmä. Sitten pohja L on vektorijärjestelmän perusta A 1 , A 2 , …, olen, eli generaattorijärjestelmän perusta. Ulottuvuus L on yhtä suuri kuin generaattorijärjestelmän arvo.

2. Anna aliavaruuden L on aliavaruuksien summa L 1 ja L 2. Aliavaruuksien generointijärjestelmä saadaan yhdistämällä aliavaruuksien generointijärjestelmät, minkä jälkeen summan perusta löytyy. Summan mitta saadaan seuraavalla kaavalla:

himmeä(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – himmeä(L 1 Z L 2).

3. Olkoon aliavaruuksien summa L 1 ja L 2 suoraa, eli L = L 1 Å L 2. Jossa L 1 Z L 2 = {O) Ja himmeä(L 1 Z L 2) = 0. Suoran summan kanta on yhtä suuri kuin summan kantalukujen liitto. Suoran summan dimensio on yhtä suuri kuin termien dimensioiden summa.

4. Otetaan tärkeä esimerkki aliavaruudesta ja lineaarisesta monista.

Harkitse homogeenista järjestelmää m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon. Paljon ratkaisuja M Tämän järjestelmän 0 on joukon osajoukko R n ja on suljettu vektorien yhteenlaskemisen ja niiden reaaliluvulla kertomisen alaisena. Tämä tarkoittaa, että tämä on sarja M 0 - avaruuden aliavaruus R n. Aliavaruuden perusta on homogeenisen järjestelmän perusratkaisujoukko, aliavaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin vektoreiden lukumäärä järjestelmän perusratkaisujoukossa.

Joukko M yleisiä järjestelmäratkaisuja m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon on myös joukon osajoukko R n ja on yhtä suuri kuin joukon summa M 0 ja vektori A, Missä A on jokin tietty ratkaisu alkuperäisestä järjestelmästä ja joukosta M 0 on joukko tämän järjestelmän mukana tulevan homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuja (se eroaa alkuperäisestä järjestelmästä vain vapailla termeillä),

M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.

Tämä tarkoittaa, että monet M on tilan lineaarinen monisto R n siirtovektorilla A ja suunta M 0 .

Esimerkki 8.6. Etsi homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän antaman aliavaruuden kanta ja ulottuvuus:

Ratkaisu. Etsitään tämän järjestelmän yleinen ratkaisu ja sen perusratkaisut: Kanssa 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Kanssa 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Kanssa 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Aliavaruuden kanta muodostuu vektoreista Kanssa 1 , Kanssa 2 , Kanssa 3, sen mitta on kolme.

Työ loppu -

Tämä aihe kuuluu:

Lineaarialgebra

N.A. Nekrasovin mukaan nimetty Kostroman osavaltion yliopisto.

Jos tarvitset lisämateriaalia tästä aiheesta tai et löytänyt etsimääsi, suosittelemme käyttämään hakua teostietokannassamme:

Mitä teemme saadulla materiaalilla:

Jos tämä materiaali osoittautui hyödylliseksi sinulle, voit tallentaa sen sivullesi sosiaalisissa verkostoissa:

twiittaa

Kaikki tämän osion aiheet:

BBK 22.174ya73-5
M350 Painettu KSU:n toimitus- ja julkaisuneuvoston päätöksellä. N. A. Nekrasova Arvostelija A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013

Unioni (tai summa)
Määritelmä 1.9 Joukkojen A ja B liitto on joukko A È B, joka koostuu niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat vaikka

Risteys (tai tuote)
Määritelmä 1.10. Joukkojen A ja B leikkauspiste on joukko A Ç B, joka koostuu niistä ja vain niistä samaan kuuluvista alkioista

Ero
Määritelmä 1.11 Joukkojen A ja B ero on joukko A B, joka koostuu niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat joukkoon A

karteesinen tuote (tai suora tuote)
Määritelmä 1.14. Järjestetty pari (tai pari) (a, b) on kaksi elementtiä a, b tietyssä järjestyksessä. Parit (a1

Joukkooperaatioiden ominaisuudet
Liitos-, leikkaus- ja komplementtioperaatioiden ominaisuuksia kutsutaan joskus joukkoalgebran laeiksi. Listataan joukkojen operaatioiden pääominaisuudet. Olkoon universaali joukko U

Matemaattisen induktion menetelmä
Matemaattisen induktion menetelmää käytetään todistamaan väitteitä, joissa luonnollinen parametri n on osallisena. Matemaattisen induktion menetelmä - matematiikan todistamismenetelmä

Monimutkaiset luvut
Numeron käsite on yksi ihmiskulttuurin tärkeimmistä saavutuksista. Ensin ilmestyivät luonnolliset luvut N = (1, 2, 3, …, n, …), sitten kokonaisluvut Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rationaalinen Q

Kompleksilukujen geometrinen tulkinta
Tiedetään, että negatiiviset luvut otettiin käyttöön yhden muuttujan lineaaristen yhtälöiden ratkaisun yhteydessä. Tietyissä ongelmissa kielteinen vastaus tulkittiin suunnatun suuren arvoksi (

Kompleksiluvun trigonometrinen muoto
Vektori voidaan määrittää ei vain suorakaiteen muotoisen koordinaatiston koordinaatteilla, vaan myös pituudella ja

Operaatiot kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa
Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku on kätevämpää suorittaa algebrallisessa muodossa ja kerto- ja jakolasku trigonometrisessa muodossa. 1. Kertolasku Olkoon kaksi k

Eksponentointi
Jos z = r(cosj + i×sinj), niin zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), missä n Î

Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto
Matemaattisesta analyysistä tiedetään, että e = , e on irrationaalinen luku. Eile

Suhteen käsite
Määritelmä 2.1. N-aarinen (tai n-aarinen) relaatio P joukoissa A1, A2, …, An on mikä tahansa osajoukko

Binäärisuhteiden ominaisuudet
Olkoon binäärirelaatio P annettu ei-tyhjälle joukolle A, eli P Í A2. Määritelmä 2.9 Binäärirelaatio P joukossa

Ekvivalenssisuhde
Määritelmä 2.15. Binäärirelaatiota joukossa A kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Vastaava suhde

Toiminnot
Määritelmä 2.20 Binäärirelaatiota ƒ н A ´ B kutsutaan funktioksi joukosta A joukkoon B, jos millä tahansa x:llä

Yleiset käsitteet
Määritelmä 3.1. Matriisi on suorakaiteen muotoinen lukutaulukko, joka sisältää m riviä ja n saraketta. Numeroita m ja n kutsutaan järjestykseksi (tai

Samantyyppisten matriisien lisääminen
Voit lisätä vain samantyyppisiä matriiseja. Määritelmä 3.12. Kahden matriisin A = (aij) ja B = (bij) summa, missä i = 1,

Matriisin lisäysominaisuudet
1) kommutatiivisuus: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) assosiatiivisuus:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

Matriisin kertominen numerolla
Määritelmä 3.13. Matriisin A = (aij) ja reaaliluvun k tulo on matriisi C = (сij), jolle

Matriisin luvulla kertomisen ominaisuudet
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

Matriisin kertolasku
Määrittelemme kahden matriisin kertolasku; Tätä varten meidän on esitettävä joitain lisäkäsitteitä. Määritelmä 3.14. Matriiseja A ja B kutsutaan yhdenmukaisiksi

Matriisikertoimen ominaisuudet
1) Matriisin kertolasku ei ole kommutatiivinen: A×B ≠ B×A. Tämä ominaisuus voidaan osoittaa esimerkein. Esimerkki 3.6. A)

Matriisitransponointi
Määritelmä 3.16. Matriisia Аt, joka saadaan annetusta korvaamalla jokainen sen rivi samannumeroisella sarakkeella, kutsutaan transponoiduksi annettuun matriisiin A

Toisen ja kolmannen kertaluvun matriisien determinantit
Jokaiselle kertaluvun n neliömatriisille A annetaan numero, jota kutsutaan tämän matriisin determinantiksi. Nimitys: D, |A|, det A,

Määritelmä 4.6.
1. Kun n = 1, matriisi A koostuu yhdestä luvusta: |A| = a11. 2. Olkoon (n – 1) matriisin determinantti tiedossa. 3. Määrittele

Tarkentajan ominaisuudet
Yli 3 kertalukujen determinanttien laskemiseen käytetään determinanttien ominaisuuksia ja Laplacen lausetta. Lause 4.1 (Laplace). Neliömatriisin determinantti

Determinanttien käytännön laskenta
Yksi tapa laskea yli kolmen järjestyksen determinantit on laajentaa sitä johonkin sarakkeeseen tai riviin. Esimerkki 4.4 Laske determinantti D =

Matriisitason käsite
Olkoon A m ´n matriisi. Valitsemme tähän matriisiin mielivaltaisesti k riviä ja k saraketta, missä 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Matriisin arvon löytäminen alaikäisten rajausmenetelmällä
Yksi menetelmistä matriisin tason löytämiseksi on alaikäisten luettelointi. Tämä menetelmä perustuu matriisin järjestyksen määrittämiseen. Menetelmän ydin on seuraava. Jos elementtejä on ainakin yksi

Matriisin asteen löytäminen alkeismuunnoksilla
Harkitse toista tapaa löytää matriisin arvo. Määritelmä 5.4. Seuraavia muunnoksia kutsutaan alkeismatriisimuunnoksiksi: 1. kerrotaan

Käänteimatriisin käsite ja sen löytäminen
Olkoon neliömatriisi A. Määritelmä 5.7. Matriisia A–1 kutsutaan matriisin A käänteiseksi, jos A×A–1

Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Harkitse yhtä tavoista löytää tietyn matriisin käänteisarvo algebrallisten lisäysten avulla. Olkoon neliömatriisi A. 1. Etsi matriisin |A| determinantti. EU

Käänteismatriisin löytäminen alkeismuunnoksilla
Harkitse toista tapaa löytää käänteismatriisi käyttämällä alkeismuunnoksia. Muotoilkaamme tarvittavat käsitteet ja lauseet. Määritelmä 5.11 Matriisi B nimi

Cramer menetelmä
Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, eli m = n ja järjestelmä näyttää tältä:

Käänteismatriisimenetelmä
Käänteismatriisimenetelmää voidaan soveltaa lineaarisiin yhtälöjärjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ja päämatriisin determinantti ei ole nolla. Matriisimerkintäjärjestelmä

Gaussin menetelmä
Tämän mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen soveltuvan menetelmän kuvaamiseksi tarvitaan uusia käsitteitä. Määritelmä 6.7. 0× yhtälö

Kuvaus Gaussin menetelmästä
Gaussin menetelmä - tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä - koostuu siitä, että alkuainemuunnosten avulla alkuperäinen järjestelmä pelkistetään vastaavaksi asteittain tai t:ksi.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän tutkimus
Lineaarisen yhtälöjärjestelmän tutkiminen tarkoittaa järjestelmää ratkaisematta vastaamista kysymykseen: onko järjestelmä johdonmukainen vai ei, ja jos on, kuinka monta ratkaisua sillä on? Vastaa tähän sisään

Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät
Määritelmä 6.11 Lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi, jos sen vapaat termit ovat nolla. M lineaarisen yhtälön homogeeninen järjestelmä

Homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisujen ominaisuudet
1. Jos vektori а = (a1, a2, …, an) on homogeenisen järjestelmän ratkaisu, niin vektori k×а = (k×a1, k&t

Perusratkaisujoukko homogeeniseen lineaariyhtälöjärjestelmään
Olkoon M0 homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän (4) ratkaisujen joukko. Määritelmä 6.12 Vektorit c1, c2, ..., c

Vektorijärjestelmän lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus
Olkoon a1, a2, …, am joukko m kappaletta n-ulotteisia vektoreita, joita kutsutaan yleisesti vektorijärjestelmäksi, ja k1

Vektorijärjestelmän lineaarisen riippuvuuden ominaisuudet
1) Nollavektorin sisältävä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. 2) Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, jos jokin sen alijärjestelmistä on lineaarisesti riippuvainen. Seuraus. Jos si

Yksikkövektorijärjestelmä
Määritelmä 7.13. Yksikkövektorijärjestelmä avaruudessa Rn on vektoreiden järjestelmä e1, e2, …, en

Kaksi lineaarista riippuvuuslausetta
Lause 7.1. Jos suurempi vektorijärjestelmä ilmaistaan ​​lineaarisesti pienemmällä, niin suurempi järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. Muotoilkaamme tämä lause tarkemmin: olkoon a1

Vektorijärjestelmän perusta ja arvo
Olkoon S vektorijärjestelmä avaruudessa Rn; se voi olla joko äärellinen tai ääretön. S" on järjestelmän S, S" Ì S alijärjestelmä. Otetaan kaksi

Vektorijärjestelmän järjestys
Annetaan kaksi ekvivalenttia määritelmää vektorijärjestelmän arvolle. Määritelmä 7.16. Vektorijärjestelmän arvo on vektorien lukumäärä tämän järjestelmän missä tahansa kannassa.

Vektorijärjestelmän järjestyksen ja perustan käytännön löytäminen
Asetetusta vektorijärjestelmästä muodostetaan matriisi järjestämällä vektorit tämän matriisin riveiksi. Tuomme matriisin porrastettuun muotoon käyttämällä perusmuunnoksia tämän matriisin rivien yli. klo

Satunnaisen kentän yli olevan vektoriavaruuden määritelmä
Olkoon P mielivaltainen kenttä. Esimerkkejä meille tunnetuista kentistä ovat rationaali-, reaali- ja kompleksilukujen kenttä. Määritelmä 8.1. Joukko V kutsutaan sisään

Vektoriavaruuksien yksinkertaisimmat ominaisuudet
1) o on nollavektori (elementti), joka on yksilöllisesti määritelty mielivaltaisessa vektoriavaruudessa kentän päällä. 2) Jokaiselle vektorille a О V on ainutlaatuinen

Alitilat. Lineaariset jakoputket
Olkoon V vektoriavaruus, L Ì V (L on V:n osajoukko). Määritelmä 8.2. Vektorin pro osajoukko L

Aliavaruuksien leikkauspiste ja summa
Olkoon V vektoriavaruus kentän P yli, L1 ja L2 sen aliavaruuksia. Määritelmä 8.3. Risteyksen alikysely

Lineaariset jakoputket
Olkoon V vektoriavaruus, L aliavaruus ja olkoon a mielivaltainen vektori avaruudesta V. Määritelmä 8.6 Lineaarisen moninkertaisena

Äärillisulotteiset vektoriavaruudet
Määritelmä 8.7 Vektoriavaruutta V kutsutaan n-ulotteiseksi, jos se sisältää lineaarisesti riippumattoman vektorijärjestelmän, joka koostuu n:stä vektorista, ja

Äärillisulotteisen vektoriavaruuden perusta
V on äärellisulotteinen vektoriavaruus kentän P yli, S on vektorijärjestelmä (äärellinen tai ääretön). Määritelmä 8.10. Järjestelmän perusta S

Vektorikoordinaatit suhteessa annettuun kantaan
Tarkastellaan äärellisulotteista vektoriavaruutta V, jonka dimensio on n, jonka perustan muodostavat vektorit e1, e2, …, en. Olkoon prod

Vektorikoordinaatit eri kannassa
Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus, jossa on annettu kaksi kantaa: e1, e2, ..., en on vanha kanta, e "1, e

Euklidiset vektoriavaruudet
Annettu vektoriavaruus V reaalilukukentän yli. Tämä avaruus voi olla joko äärellisulotteinen vektoriavaruus, jonka ulottuvuus on n tai ääretön.

Pistetulo koordinaateissa
N-ulotteisessa euklidisessa vektoriavaruudessa V annetaan kanta e1, e2, …, en. Vektorit x ja y ovat hajonneet vektoreiksi

Metrinen käsitteet
Euklidisissa vektoriavaruuksissa voidaan siirtyä käyttöönotetusta skalaarituloksesta vektorin normin ja vektorien välisen kulman käsitteisiin. Määritelmä 8.16. Norma (

Normin ominaisuudet
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, koska ||la|| =

Euklidisen vektoriavaruuden ortonormaali kanta
Määritelmä 8.21. Euklidisen vektoriavaruuden kantaa kutsutaan ortogonaaliksi, jos kannan vektorit ovat pareittain ortogonaalisia, eli jos a1, a

Ortogonalisointiprosessi
Lause 8.12. Jokaisella n-ulotteisella euklidisella avaruudella on ortonormaali kanta. Todiste. Olkoon a1, a2

Pistetuote ortonormaalisti
Euklidisen avaruuden V ortonormaalikanta e1, e2, …, en on annettu. Koska (ei, ej) = 0 i:lle

Ortogonaalinen aliavaruuden komplementti
V on euklidinen vektoriavaruus, L on sen aliavaruus. Määritelmä 8.23. Vektorin a sanotaan olevan ortogonaalinen aliavaruuteen L nähden, jos vektori

Vektorin koordinaattien ja sen kuvan koordinaattien välinen suhde
Lineaarinen operaattori j on annettu avaruudessa V ja sen matriisi M(j) löytyy jostain kannasta e1, e2, …, en. Olkoon tämä perusta

Samanlaisia ​​matriiseja
Tarkastellaan n kertaluvun neliömatriisien joukkoa Pn´n mielivaltaisen kentän P alkioiden kanssa. Esittelemme tähän joukkoon suhteellisen

Matriisin samankaltaisuusrelaation ominaisuudet
1. Heijastuskyky. Mikä tahansa matriisi on samanlainen kuin itseään, eli A ~ A. 2. Symmetria. Jos matriisi A on samanlainen kuin B, niin B on samanlainen kuin A, ts.

Ominaisvektorien ominaisuudet
1. Jokainen ominaisvektori kuuluu vain yhteen ominaisarvoon. Todiste. Olkoon x ominaisvektori, jolla on kaksi ominaisarvoa

Matriisin karakteristinen polynomi
Annettu matriisi A Î Pn´n (tai A Î Rn´n). Määritellä

Olosuhteet, joissa matriisi on samanlainen kuin diagonaalimatriisi
Olkoon A neliömatriisi. Voimme olettaa, että tämä on jonkin kannassa annetun lineaarisen operaattorin matriisi. Tiedetään, että toisessa pohjassa lineaarisen operaattorin matriisi

Jordanin normaali muoto
Määritelmä 10.5. Lukuun l0 liittyvä k-kertainen Jordan-solu on kertaluvun k matriisi, 1 ≤ k ≤ n,

Matriisin pelkistys Jordanin (normaaliin) muotoon
Lause 10.3. Jordanin normaalimuoto on yksilöllisesti määritelty matriisille siihen järjestykseen asti, jossa Jordan-solut sijaitsevat päädiagonaalissa. Jne

Bilineaariset muodot
Määritelmä 11.1. Bilineaarinen muoto on funktio (kuvaus) f: V ´ V ® R (tai C), missä V on mielivaltainen vektori n

Bilineaaristen muotojen ominaisuudet
Mikä tahansa bilineaarinen muoto voidaan esittää symmetristen vino-symmetristen muotojen summana. Valitulla kantalla e1, e2, …, en vektorissa

Bilineaarisen matriisin muunnos siirryttäessä uuteen kantaan. Bilineaarisen muodon sijoitus
Olkoon kaksi kantaa e = (e1, e2, …, en) ja f = (f1, f2,

Neliölliset muodot
Olkoon A(x, y) symmetrinen bilineaarinen muoto, joka on määritelty vektoriavaruudessa V. Määritelmä 11.6.

Neliöllisen muodon pelkistys kanoniseen muotoon
Annettu neliömuoto (2) A(x, x) = , missä x = (x1

Neliöllisten muotojen hitauslaki
On todettu, että toisen asteen kanonisten kertoimien määrä on yhtä suuri kuin sen arvo eikä se riipu ei-degeneroituneen muunnoksen valinnasta, jolla muoto A(x)

Välttämätön ja riittävä ehto, jotta neliömuoto olisi merkkimääräinen
Lausunto 11.1. Jotta n-ulotteisessa vektoriavaruudessa V annettu neliömuoto A(x, x) olisi merkkimääräinen, on välttämätöntä

Välttämätön ja riittävä ehto kvasimuuttuville neliömuodoille
Lausunto 11.3. Jotta n-ulotteisessa vektoriavaruudessa V määritelty toisen asteen muoto A(x, x) olisi kvasi-vaihtuva (ts.

Sylvesterin kriteeri neliömuodon merkkimääräisyydelle
Olkoon kannassa e = (e1, e2, …, en) oleva muoto A(x, x) matriisilla A(e) = (aij)

Johtopäätös
Lineaarinen algebra on pakollinen osa mitä tahansa edistynyttä matematiikan ohjelmaa. Kaikki muut osat edellyttävät tämän tieteenalan opetuksen aikana määriteltyjen tietojen, taitojen ja kykyjen olemassaoloa.

Bibliografinen luettelo
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Lineaarinen algebra analyyttisen geometrian elementeillä. - M .: Kauppakorkeakoulun kustantamo, 2007. Beklemishev D.V. Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi.

Lineaarialgebra
Oppimateriaali Toimittaja ja oikolukija G. D. Neganova Tietokoneen ladonta T. N. Matytsina, E. K. Korževina

Lineaarisen avaruuden osajoukko muodostaa aliavaruuden, jos se on suljettu vektorien yhteenlaskemisen ja skalaarien kertomisen alaisena.

ESIMERKKI 6.1. Muodostaako tasossa oleva aliavaruus joukon vektoreita, joiden päät ovat: a) ensimmäisessä kvadrantissa; b) origon kautta kulkevalla suoralla? (vektorin alkuperät ovat origossa)

Ratkaisu.

a) ei, koska joukkoa ei suljeta skalaarilla kertomalla: negatiivisella luvulla kerrottaessa vektorin loppu osuu kolmanteen neljännekseen.

b) kyllä, koska kun vektoreita lasketaan yhteen ja kerrotaan millä tahansa luvulla, niiden päät pysyvät samalla suoralla.

HARJOITUS 6.1. Muodostavatko seuraavat vastaavien lineaaristen välien osajoukot aliavaruuden:

a) joukko tasovektoreita, joiden päät ovat ensimmäisessä tai kolmannessa neljänneksessä;

b) joukko tasovektoreita, joiden päät ovat suoralla linjalla, joka ei kulje origon läpi;

c) joukko koordinaattiviivoja ((x 1 , x 2 , x 3) ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) joukko koordinaattiviivoja ((x 1 , x 2 , x 3) ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) joukko koordinaattiviivoja ((x 1 , x 2 , x 3) ï x 1 = x 2 2 ).

Lineaarisen avaruuden L ulottuvuus on mihin tahansa sen kantaan sisältyvien vektoreiden lukumäärä dim L.

Summan ulottuvuus ja aliavaruuksien leikkauspisteet liittyvät relaatioon

himmeä (U + V) = himmeä U + himmeä V – himmeä (U Ç V).

ESIMERKKI 6.2. Etsi seuraavien vektorijärjestelmien kattamien aliavaruuksien summan ja leikkauspisteen kanta ja ulottuvuus:

Ratkaisu: Jokainen vektorijärjestelmä, joka muodostaa aliavaruudet U ja V, on lineaarisesti riippumaton ja on siten vastaavan aliavaruuden perusta. Rakennetaan näiden vektorien koordinaateista matriisi, järjestämällä ne sarakkeiksi ja erottamalla järjestelmä toisesta viivalla. Viedään tuloksena oleva matriisi porrastettuun muotoon.

~ ~ ~ .

Kanta U + V muodostuu vektoreista , , , jotka vastaavat askelmatriisin johtavia alkioita. Tästä syystä himmeä (U + V) = 3. Sitten

himmeä (UÇV) = himmeä U + himmeä V – himmeä (U + V) = 2 + 2 - 3 = 1.

Aliavaruuksien leikkauspiste muodostaa joukon vektoreita, jotka täyttävät yhtälön (seitsee tämän yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella). Leikkauskanta saadaan käyttämällä tätä vektoriyhtälöä vastaavan lineaariyhtälöjärjestelmän perusratkaisujärjestelmää. Tämän järjestelmän matriisi on jo pelkistetty porrastettuun muotoon. Sen perusteella päätellään, että y 2 on vapaa muuttuja, ja asetetaan y 2 = c. Silloin 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. ja aliavaruuksien leikkauspiste muodostaa joukon muodon vektoreita = c(3, 6, 3, 4). Siksi kanta UÇV muodostaa vektorin (3, 6, 3, 4).

Huomautukset. 1. Jos jatkamme järjestelmän ratkaisemista etsimällä muuttujien x arvot, saamme x 2 \u003d c, x 1 \u003d c, ja vektoriyhtälön vasemmalla puolella saamme vektorin, joka on yhtä suuri joka saatiin yllä.

2. Tällä menetelmällä voidaan saada summan kanta riippumatta siitä, ovatko vektoreiden generoivat järjestelmät lineaarisesti riippumattomia. Mutta leikkauskanta saadaan oikein vain, jos ainakin toisen aliavaruuden muodostava järjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

3. Jos havaitaan, että leikkauspisteen mitta on 0, niin leikkauspisteellä ei ole perustaa, eikä sitä tarvitse etsiä.

HARJOITUS 6.2. Etsi seuraavien vektorijärjestelmien kattamien aliavaruuksien summan ja leikkauspisteen kanta ja ulottuvuus:

A)

b)

Euklidinen avaruus

Euklidinen avaruus on lineaarinen avaruus kentän päällä R, jossa skalaarinen kertolasku on määritelty, joka määrittää kullekin vektoriparille skalaarin ja seuraavat ehdot täyttyvät:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹ z > 0.

Vakiopistetulo lasketaan kaavoilla

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n .

Vektoreita ja kutsutaan ortogonaaleiksi, kirjoitettuina ^, jos niiden skalaaritulo on 0.

Vektorijärjestelmää kutsutaan ortogonaaliksi, jos siinä olevat vektorit ovat pareittain ortogonaalisia.

Ortogonaalinen vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

Vektorijärjestelmän , … , ortogonalisointiprosessi koostuu siirtymisestä vastaavaan ortogonaaliseen järjestelmään … , , joka suoritetaan kaavoilla:

, jossa , k = 2, … , n.

ESIMERKKI 7.1. Ortogonalisoi vektorijärjestelmä

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Ratkaisu Meillä on = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

HARJOITUS 7.1. Ortogonalisoi vektorijärjestelmät:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

ESIMERKKI 7.2. Täydennä vektorijärjestelmää = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), ortogonaaliseen avaruuteen asti.

Ratkaisu: Alkuperäinen järjestelmä on ortogonaalinen, joten ongelma on järkevä. Koska vektorit on annettu neliulotteisessa avaruudessa, on löydettävä vielä kaksi vektoria. Kolmas vektori = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) määritetään ehdoista = 0, = 0. Nämä ehdot antavat yhtälöjärjestelmän, jonka matriisi muodostuu vektorien koordinaattiriveistä ja . Ratkaisemme järjestelmän:

~ ~ .

Vapaille muuttujille x 3 ja x 4 voidaan antaa mikä tahansa muu arvojoukko kuin nolla. Oletetaan esimerkiksi, että x 3 = 0, x 4 = 1. Silloin x 2 = 0, x 1 = 1 ja = (1, 0, 0, 1).

Samalla tavalla löydämme = (y 1, y 2, y 3, y 4). Tätä varten lisäämme uuden koordinaattirivin yllä saatuun askelmatriisiin ja vähennämme sen askelmuotoon:

~ ~ .

Vapaalle muuttujalle y 3 asetetaan y 3 = 1. Silloin y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 ja = (0, 1, 1, 0).

Euklidisen avaruusvektorin normi on ei-negatiivinen reaaliluku.

Vektoria kutsutaan normalisoiduksi, jos sen normi on 1.

Vektorin normalisoimiseksi se on jaettava sen normilla.

Normalisoitujen vektorien ortogonaalista järjestelmää kutsutaan ortonormaaliksi.

HARJOITUS 7.2. Täydennä vektorijärjestelmää avaruuden ortonormaaliin kantaan:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Lineaariset näytöt

Olkoot U ja V lineaarisia avaruuksia kentän F yli. Kuvaus f: U ® V on lineaarinen, jos ja .

ESIMERKKI 8.1. Ovatko kolmiulotteisen avaruuden lineaarisia muunnoksia:

a) f (x 1, x 2, x 3) = (2 x 1, x 1 - x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Ratkaisu.

a) Meillä on f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) - (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 - x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3, 0) =

F((x1, x2, x3) + f(y1, y2, y3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 - lx 3, 0) = l(2x 1, x 1 - x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Siksi muunnos on lineaarinen.

b) Meillä on f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2, y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3) ).

Siksi muunnos ei ole lineaarinen.

Lineaarisen mappauksen kuva f: U ® V on joukko kuvia U:sta peräisin olevista vektoreista, ts.

Im (f) = (f() ï Î U). + … + a m1

HARJOITUS 8.1. Etsi matriisin antaman lineaarisen kuvauksen f järjestys, vika, kuvan perusteet ja ytimet:

a) A = ; b) A = ; c) A = .

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmät

Ongelman muotoilu. Etsi jokin perusta ja määritä järjestelmän ratkaisujen lineaarisen avaruuden ulottuvuus

Ratkaisusuunnitelma.

1. Kirjoita muistiin järjestelmämatriisi:

ja alkeismuunnosten avulla muunnetaan matriisi kolmiomuotoon, ts. sellaiseen muotoon, kun kaikki päälävistäjän alapuolella olevat elementit ovat nolla. Järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä, eli meidän tapauksessamme niiden rivien lukumäärä, joissa jää nollasta poikkeavia elementtejä:

Ratkaisutilan ulottuvuus on . Jos , niin homogeenisella järjestelmällä on ainutlaatuinen nollaratkaisu, jos , niin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja.

2. Valitse perus- ja vapaamuuttujat. Vapaat muuttujat on merkitty . Sitten ilmaistaan ​​perusmuuttujat vapailla muuttujilla, jolloin saadaan homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu.

3. Kirjataan muistiin järjestelmän ratkaisuavaruuden kanta asettamalla peräkkäin yksi vapaista muuttujista yhtä suureksi ja loput nollaksi. Järjestelmän lineaarisen ratkaisuavaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin kantavektoreiden lukumäärä.

Huomautus. Elementaariset matriisimuunnokset sisältävät:

1. merkkijonon kertominen (jako) muulla kertoimella kuin nolla;

2. lisäys minkä tahansa toisen rivin riville kerrottuna millä tahansa luvulla;

3. viivojen permutaatio paikoissa;

4. sarakkeiden muunnokset 1–3 (lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisussa sarakkeiden alkeismuunnoksia ei käytetä).

Tehtävä 3. Etsi jokin perusta ja määritä järjestelmän ratkaisujen lineaarisen avaruuden ulottuvuus.

Kirjoitamme järjestelmän matriisin ja saamme sen perusmuunnoksilla kolmiomaiseen muotoon:

Oletamme sitten

Kun analysoimme n-ulotteisen vektorin käsitteitä ja esitimme operaatioita vektoreille, havaitsimme, että kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko muodostaa lineaarisen avaruuden. Tässä artikkelissa puhumme tärkeimmistä asiaan liittyvistä käsitteistä - vektoriavaruuden ulottuvuudesta ja perustasta. Tarkastellaan myös lausetta mielivaltaisen vektorin laajennuksesta kantana ja n-ulotteisen avaruuden eri kantojen välillä. Analysoidaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Vektoriavaruuden ulottuvuuden ja perustan käsite.

Vektoriavaruuden dimensio- ja kantakäsitteet liittyvät suoraan lineaarisesti riippumattoman vektorijärjestelmän käsitteeseen, joten suosittelemme tarvittaessa tutustumaan artikkeliin vektorijärjestelmän lineaarinen riippuvuus, lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden ominaisuudet.

Määritelmä.

Vektoriavaruuden ulottuvuus kutsutaan numeroksi, joka on yhtä suuri kuin tässä avaruudessa olevien lineaarisesti riippumattomien vektorien enimmäismäärä.

Määritelmä.

Vector avaruuspohja on järjestetty joukko tämän avaruuden lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin avaruuden mitta.

Esitämme joitakin näihin määritelmiin perustuvia argumentteja.

Tarkastellaan n-ulotteisten vektorien avaruutta.

Osoitetaan, että tämän avaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin n .

Otetaan n muotoisen yksikkövektorin järjestelmä

Otetaan nämä vektorit matriisin A riveiksi. Tässä tapauksessa matriisi A on n x n identiteettimatriisi. Tämän matriisin sijoitus on n (katso tarvittaessa artikkeli). Siksi vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, eikä tähän järjestelmään voida lisätä vektoria rikkomatta sen lineaarista riippumattomuutta. Koska vektorien määrä järjestelmässä on siis n n-ulotteisten vektorien avaruuden ulottuvuus on n ja yksikkövektorit ovat tämän tilan perusta.

Viimeisestä väitteestä ja perustan määritelmästä voimme päätellä, että mikä tahansa n-ulotteisten vektoreiden järjestelmä, jonka vektorien lukumäärä on pienempi kuin n, ei ole kanta.

Vaihdetaan nyt järjestelmän ensimmäinen ja toinen vektori . On helppo osoittaa, että tuloksena oleva vektorijärjestelmä on myös n-ulotteisen vektoriavaruuden kanta. Muodostetaan matriisi ottamalla se tämän järjestelmän vektorien riveiksi. Tämä matriisi voidaan saada identiteettimatriisista vaihtamalla ensimmäinen ja toinen rivi, joten sen järjestys on n . Siten n vektorin järjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja on n-ulotteisen vektoriavaruuden kanta.

Jos vaihdamme järjestelmän muita vektoreita , saamme toisen perustan.

Jos otetaan lineaarisesti riippumaton ei-yksikkövektoreiden järjestelmä, niin se on myös n-ulotteisen vektoriavaruuden perusta.

Täten, n-ulotteisella vektoriavaruudella on niin monta kantaa kuin on lineaarisesti riippumattomia n-ulotteisen vektorin järjestelmiä.

Jos puhumme kaksiulotteisesta vektoriavaruudesta (eli tasosta), sen perusta on mitkä tahansa kaksi ei-kollineaarista vektoria. Kolmiulotteisen avaruuden perusta on mitkä tahansa kolme ei-samantasoista vektoria.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki.

Ovatko vektorit 3D-vektoriavaruuden perusta?

Ratkaisu.

Tarkastellaan tätä vektorijärjestelmää lineaarisen riippuvuuden suhteen. Tätä varten laadimme matriisin, jonka rivit ovat vektorien koordinaatit, ja löydämme sen järjestyksen:


Siten vektorit a , b ja c ovat lineaarisesti riippumattomia ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin vektoriavaruuden mitta, joten ne ovat tämän avaruuden perusta.

Vastaus:

Kyllä he ovat.

Esimerkki.

Voiko vektorijärjestelmä olla vektoriavaruuden perusta?

Ratkaisu.

Tämä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, koska lineaarisesti riippumattomien kolmiulotteisten vektoreiden enimmäismäärä on kolme. Siksi tämä vektorijärjestelmä ei voi olla kolmiulotteisen vektoriavaruuden perusta (vaikka alkuperäisen vektorijärjestelmän alijärjestelmä on perusta).

Vastaus:

Hän ei voi.

Esimerkki.

Varmista vektorit

voi olla neliulotteisen vektoriavaruuden perusta.

Ratkaisu.

Tehdään matriisi ottamalla se alkuperäisten vektoreiden riveiksi:

Etsitään:

Siten vektorijärjestelmä a, b, c, d on lineaarisesti riippumaton ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin vektoriavaruuden mitta, joten a, b, c, d ovat sen perusta.

Vastaus:

Alkuperäiset vektorit ovat todellakin neliulotteisen avaruuden perusta.

Esimerkki.

Muodostavatko vektorit 4-ulotteisen vektoriavaruuden perustan?

Ratkaisu.

Vaikka alkuperäinen vektorijärjestelmä olisi lineaarisesti riippumaton, siinä olevien vektorien määrä ei riitä neliulotteisen avaruuden perustaksi (sellaisen avaruuden kanta koostuu 4 vektorista).

Vastaus:

Ei, ei.

Vektorin hajoaminen vektoriavaruuden perusteella.

Olkoon mielivaltaiset vektorit ovat n-ulotteisen vektoriavaruuden perusta. Jos niihin lisätään jokin n-ulotteinen vektori x, niin tuloksena oleva vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. Lineaarisen riippuvuuden ominaisuuksista tiedämme, että ainakin yksi lineaarisesti riippuvaisen järjestelmän vektori ilmaistaan ​​lineaarisesti muiden suhteen. Toisin sanoen ainakin yksi lineaarisesti riippuvaisen järjestelmän vektoreista on hajotettu muihin vektoreihin.

Siten tulemme erittäin tärkeän lauseen äärelle.

Lause.

Mikä tahansa n-ulotteisen vektoriavaruuden vektori hajotetaan yksiselitteisesti kantaan nähden.

Todiste.

Antaa - n-ulotteisen vektoriavaruuden kanta. Lisätään näihin vektoreihin n-ulotteinen vektori x. Tällöin tuloksena oleva vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen ja vektori x voidaan ilmaista lineaarisesti vektoreilla : , missä on joitain numeroita. Joten saimme vektorin x laajennuksen kannan suhteen. On vielä todistettava, että tämä hajoaminen on ainutlaatuinen.

Oletetaan, että on olemassa toinen hajoaminen , missä - joitain numeroita. Vähennä viimeisen yhtälön vasemmasta ja oikeasta osasta yhtälön vasen ja oikea osa:

Koska kantavektorien järjestelmä on lineaarisesti riippumaton, niin vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden määritelmän mukaan tuloksena oleva yhtäläisyys on mahdollinen vain, kun kaikki kertoimet ovat nolla. Siksi , joka todistaa vektorin laajennuksen ainutlaatuisuuden perustan suhteen.

Määritelmä.

Kertoimia kutsutaan vektorin x koordinaatit kannassa .

Tutustuttuamme lauseeseen vektorin laajentamisesta perustan suhteen alamme ymmärtää lausekkeen "meille annetaan n-ulotteinen vektori" olemusta. ". Tämä lauseke tarkoittaa, että tarkastelemme vektoria x n-ulotteisesta vektoriavaruudesta, jonka koordinaatit on annettu jossain kannassa. Samalla ymmärrämme, että samalla vektorilla x toisessa n-ulotteisen vektoriavaruuden kannassa on erilaiset koordinaatit kuin .

Harkitse seuraavaa ongelmaa.

Annetaan jossain n-ulotteisen vektoriavaruuden kannassa n lineaarisesti riippumattoman vektorin järjestelmä

ja vektori . Sitten vektorit ovat myös tämän vektoriavaruuden perusta.

Meidän on löydettävä vektorin x koordinaatit kannasta . Merkitään nämä koordinaatit muodossa .

Vektori x pohjassa on idea. Kirjoitamme tämän yhtälön koordinaattimuodossa:

Tämä yhtälö vastaa n lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmää, joissa on n tuntematonta muuttujaa :

Tämän järjestelmän päämatriisilla on muoto

Merkitään se A:lla. Matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattoman vektorijärjestelmän vektoreita , joten tämän matriisin sijoitus on n, joten sen determinantti on nollasta poikkeava. Tämä tosiasia osoittaa, että yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa menetelmällä, esimerkiksi tai .

Joten halutut koordinaatit löytyvät vektori x kannassa .

Analysoidaan teoriaa esimerkein.

Esimerkki.

Jossain kolmiulotteisen vektoriavaruuden pohjassa vektorit

Varmista, että vektorijärjestelmä on myös tämän avaruuden perusta ja etsi vektorin x koordinaatit tästä kannasta.

Ratkaisu.

Jotta vektorijärjestelmä olisi kolmiulotteisen vektoriavaruuden perusta, sen on oltava lineaarisesti riippumaton. Selvitetään määrittämällä matriisin A järjestys, jonka rivit ovat vektoreita . Löydämme arvon Gaussin menetelmällä


siksi Rank(A) = 3 , joka osoittaa vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden.

Joten vektorit ovat perusta. Olkoon vektorilla x koordinaatit tässä kannassa. Sitten, kuten yllä osoitimme, tämän vektorin koordinaattien suhde saadaan yhtälöjärjestelmällä

Korvaamalla siihen ehdosta tunnetut arvot, saamme

Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:

Siten kannassa olevalla vektorilla x on koordinaatit .

Vastaus:

Esimerkki.

Jollain perusteella neliulotteiselle vektoriavaruudelle annetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä

On tiedossa, että . Etsi vektorin x koordinaatit kannassa .

Ratkaisu.

Vektorijärjestelmästä lähtien on oletuksena lineaarisesti riippumaton, niin se on neliulotteisen avaruuden kanta. Sitten tasa-arvo tarkoittaa, että kannassa oleva vektori x on koordinaatit. Merkitään vektorin x koordinaatit kannassa Miten .

Yhtälöjärjestelmä, joka määrittää vektorin x koordinaattien suhteen emäksissä Ja on muotoa

Korvaamme tunnetut arvot sillä ja löydämme halutut koordinaatit:

Vastaus:

.

Yhteydenpito tukikohtien välillä.

Olkoon kaksi lineaarisesti riippumatonta vektorijärjestelmää jossain n-ulotteisen vektoriavaruuden kannassa

Ja

eli ne ovat myös tämän tilan perusta.

Jos - vektorikoordinaatit perusteella , sitten koordinaattien suhde Ja annetaan lineaarisella yhtälöjärjestelmällä (puhuimme tästä edellisessä kappaleessa):

, joka matriisimuodossa voidaan kirjoittaa muodossa

Vastaavasti voimme kirjoittaa vektorille

Edelliset matriisiyhtälöt voidaan yhdistää yhdeksi, joka oleellisesti määrittelee kahden eri kantaluvun vektorien suhteen

Samalla tavalla voimme ilmaista kaikki kantavektorit pohjan kautta :

Määritelmä.

Matriisi nimeltään siirtymämatriisi perustasta pohjalle , sitten tasa-arvo

Kerrotaan tämän oikealla olevan yhtälön molemmat puolet luvulla

saamme

Etsitään siirtymämatriisi, kun taas emme viivyttele käänteismatriisin löytämisessä ja matriisien kertomisessa (katso tarvittaessa artikkelit ja):

On vielä selvitettävä vektorin x koordinaattien suhde annetuissa kannassa.

Olkoon vektorilla x siis koordinaatit kannassa

ja kannassa vektorilla x on koordinaatit , niin

Koska kahden viimeisen yhtälön vasemmat osat ovat samat, voimme rinnastaa oikeat osat:

Jos kerromme molemmat oikeanpuoleiset puolet arvolla

sitten saamme


Toisella puolella

(etsi itse käänteismatriisi).
Kaksi viimeistä yhtälöä antavat meille halutun vektorin x koordinaattien suhteen kantojen ja .

Vastaus:

Siirtymämatriisilla kannasta kantaan on muoto
;
vektorin x koordinaatit emäksissä ja liittyvät suhteisiin

tai
.

Pohdimme vektoriavaruuden dimensiota ja kantaa, opimme hajottamaan vektoria kannan mukaan ja löysimme yhteyden n-ulotteisen vektoriavaruuden eri kantojen välillä siirtymämatriisin kautta.

P Ja A on osajoukko L. Jos A itse muodostaa lineaarisen tilan kentän yli P samoihin operaatioihin kuin L, Tuo A kutsutaan avaruuden aliavaruudeksi L.

Lineaarisen avaruuden määritelmän mukaan, niin että A oli aliavaruus, jossa tarkistettiin toteutettavuus A toiminnot:

1) :
;

2)
:
;

ja tarkista, että toiminnot ovat käynnissä A kahdeksan aksiooman alainen. Jälkimmäinen on kuitenkin redundantti (johtuen siitä, että nämä aksioomit pätevät L:ssä), ts. seuraavat

Lause. Olkoon L lineaarinen avaruus kentän P ja yli
. Joukko A on L:n aliavaruus, jos ja vain, jos seuraavat vaatimukset täyttyvät:

lausunto. Jos L – n-ulotteinen lineaarinen avaruus ja A sen aliavaruus siis A on myös äärellisulotteinen lineaariavaruus ja sen ulottuvuus ei ylitä n.

P esimerkki 1. Onko segmenttivektorien V 2 avaruuden aliavaruus kaikkien tason vektorien joukko S, joista kukin on jollakin koordinaattiakselilla 0x tai 0y?

Ratkaisu: Antaa
,
Ja
,
. Sitten
. Siksi S ei ole aliavaruus .

Esimerkki 2 On lineaarisen avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2 joukko tason vektorisegmenttejä S kaikki tasovektorit, joiden alku ja loppu ovat tietyllä suoralla l tämä lentokone?

Ratkaisu.

E sli-vektori
kerrotaan reaaliluvulla k, niin saamme vektorin
, joka kuuluu myös S. Ifille Ja ovat kaksi vektoria S:stä
(suoralla olevien vektorien summaussäännön mukaan). Siksi S on aliavaruus .

Esimerkki 3 On lineaarisen avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2 joukko A kaikki tason vektorit, joiden päät ovat annetulla suoralla l, (oletetaan, että minkä tahansa vektorin origo on sama kuin origo)?

R ratkaisu.

Siinä tapauksessa, että suora l ei kulje alkuperän läpi A avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2 ei ole, koska
.

Siinä tapauksessa, että suora l kulkee alkuperän, joukon läpi A on avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2 , koska
ja kerrottaessa mikä tahansa vektori
todelliseen numeroon α pois kentältä R saamme
. Siten joukon lineaariset tilavaatimukset A valmiiksi.

Esimerkki 4 Olkoon vektorijärjestelmä annettu
lineaarisesta avaruudesta L kentän yli P. Todista, että kaikkien mahdollisten lineaariyhdistelmien joukko
kertoimilla
alkaen P on aliavaruus L(tämä on aliavaruus A kutsutaan aliavaruudeksi, jonka generoi vektorijärjestelmä tai lineaarinen kuori tämä vektorijärjestelmä, ja ne on merkitty seuraavasti:
tai
).

Ratkaisu. Todellakin, koska , sitten kaikille elementeille x, yA meillä on:
,
, Missä
,
. Sitten

Siitä lähtien
, Siksi
.

Tarkastetaan lauseen toisen ehdon toteutettavuus. Jos x on mikä tahansa vektori mistä A Ja t- mikä tahansa numero alkaen P, Tuo. Koska
Ja
,, Tuo
, , Siksi
. Näin ollen lauseen mukaan joukko A on lineaarisen avaruuden aliavaruus L.

Äärillisulotteisten lineaariavaruuksien kohdalla päinvastoin on myös totta.

Lause. Mikä tahansa aliavaruus A lineaarinen avaruus L kentän yli on jonkin vektorijärjestelmän lineaarinen jänneväli.

Kun ratkaistaan ​​lineaarisen kuoren perustan ja mittasuhteen löytämisongelma, käytetään seuraavaa lausetta.

Lause. Lineaarinen kuoripohja
osuu yhteen vektorijärjestelmän perustan kanssa. Lineaarisen jänteen ulottuvuus on sama kuin vektorijärjestelmän arvo.

Esimerkki 4 Etsi aliavaruuden perusta ja ulottuvuus
lineaarinen avaruus R 3 [ x] , Jos
,
,
,
.

Ratkaisu. On tunnettua, että vektoreilla ja niiden koordinaattiriveillä (sarakkeilla) on samat ominaisuudet (lineaarisen riippuvuuden suhteen). Teemme matriisin A=
vektorien koordinaattisarakkeista
pohjalta
.

Etsi matriisin arvo A.

. M 3 =
.
.

Siksi sijoitus r(A)= 3. Joten vektorijärjestelmän järjestys on 3. Näin ollen aliavaruuden S ulottuvuus on 3 ja sen kanta koostuu kolmesta vektorista
(koska perus-mollissa
vain näiden vektorien koordinaatit ovat mukana).

Esimerkki 5 Todista, että joukko H aritmeettiset avaruusvektorit
, jonka ensimmäinen ja viimeinen koordinaatti ovat 0, muodostaa lineaarisen aliavaruuden. Löydä sen perusta ja ulottuvuus.

Ratkaisu. Antaa
.

Sitten ja. Siten,
mille tahansa . Jos
,
, Tuo. Siten lineaarisen aliavaruuslauseen mukaan joukko H on avaruuden lineaarinen aliavaruus. Etsitään perusteita H. Tarkastellaan seuraavia vektoreita alkaen H:
,
, . Tämä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Todellakin, anna.