Aaltoyhtälö on lauseke, joka antaa värähtelevän hiukkasen siirtymän sen x, y, z koordinaattien ja ajan t funktiona:

(tarkoittaa hiukkasen tasapainoaseman koordinaatteja). Tämän funktion on oltava jaksollinen sekä ajan t että x, y, z koordinaattien suhteen. Jaksollisuus ajassa seuraa siitä, että se kuvaa hiukkasen värähtelyjä, joiden koordinaatit ovat x, y, z. Koordinaattien jaksollisuus seuraa siitä, että etäisyyden K erottamat pisteet värähtelevät samalla tavalla.

Etsitään funktion muoto tasoaallon tapauksessa olettaen, että värähtelyt ovat luonteeltaan harmonisia. Yksinkertaistamisen vuoksi suunnataan koordinaattiakselit niin, että akseli on sama kuin aallon etenemissuunta. Tällöin aaltopinnat ovat kohtisuorassa akseliin nähden ja koska kaikki aallonpinnan pisteet värähtelevät samalla tavalla, siirtymä riippuu vain Olkoon tasossa olevien pisteiden värähtelyt (kuva 94.1) muodossa.

Etsitään mielivaltaista x:n arvoa vastaavan tason pisteiden värähtelytyyppi. Päästäkseen tasosta x = 0 tälle tasolle aalto tarvitsee aikaa - aallon etenemisnopeuden).

Tästä johtuen x-tasossa olevien hiukkasten värähtelyt jäävät ajallisesti jälkeen tasossa olevien hiukkasten värähtelyt, eli niillä on muoto

Joten x-akselin suunnassa etenevän tasoaallon (sekä pituus- että poikittaissuuntainen) yhtälö on seuraava:

Suuruus a edustaa aallon amplitudia. Aallon alkuvaihe määräytyy origon valinnan mukaan. Yhtä aaltoa tarkasteltaessa ajan ja koordinaattien origo valitaan yleensä siten, että a on nolla. Kun useita aaltoja tarkastellaan yhdessä, on yleensä mahdotonta saada alkuvaiheita nollaksi kaikille.

Kiinnitetään jokin vaiheen arvo yhtälössä (94.2) asettamalla

(94.3)

Tämä lauseke määrittelee suhteen ajan t ja paikan x välillä, jossa vaiheella on kiinteä arvo. Tuloksena oleva arvo antaa nopeuden, jolla annettu vaihearvo liikkuu. Differentioiva lauseke (94.3), saamme

Näin ollen aallon v etenemisnopeus yhtälössä (94.2) on vaiheen nopeus, jonka yhteydessä sitä kutsutaan vaihenopeudeksi.

Mukaan (94.4) . Siksi yhtälö (94.2) kuvaa aaltoa, joka etenee x:n kasvun suuntaan. Vastakkaiseen suuntaan etenevää aaltoa kuvataan yhtälöllä

Todellakin, vertaamalla aaltovaihe (94.5) vakioon ja eriyttämällä tuloksena oleva yhtälö, päädymme suhteeseen

josta seuraa, että aalto (94.5) etenee pienenevän x:n suuntaan.

Tasoaaltoyhtälölle voidaan antaa muoto, joka on symmetrinen x:n ja t:n suhteen. Tätä varten esittelemme arvon

jota kutsutaan aaltoluvuksi. Kun lausekkeen osoittaja ja nimittäjä (94.6) on kerrottu taajuudella v, voimme esittää aaltoluvun muodossa

(katso kaava (93.2)). Avaamalla sulut kohdassa (94.2) ja ottamalla huomioon (94.7) saadaan seuraava yhtälö x-akselia pitkin etenevälle tasoaaltolle:

Vähenevän x:n suunnassa etenevän aallon yhtälö eroaa (94.8):sta vain termin etumerkissä

Kaavaa (94.8) johdettaessa oletimme, että värähtelyamplitudi ei riipu x:stä. Tasoaallon osalta tämä havaitaan, kun väliaine ei absorboi aaltoenergiaa. Kun etenee energiaa absorboivassa väliaineessa, aallon intensiteetti pienenee vähitellen etäisyyden kasvaessa värähtelyn lähteestä - havaitaan aallon vaimennusta. Kokemus osoittaa, että homogeenisessa väliaineessa tällainen vaimennus tapahtuu eksponentiaalisen lain mukaisesti: vaimennettujen värähtelyjen amplitudin ajan pienentyessä; katso 1. osan kaava (58.7). Vastaavasti tasoaaltoyhtälöllä on seuraava muoto:

Amplitudi tasopisteissä

Etsitään nyt palloaallon yhtälö. Kaikilla todellisilla aaltojen lähteillä on jossain määrin. Jos rajoitamme kuitenkin tarkastelemaan aaltoa etäisyyksillä lähteestä, jotka ovat paljon suurempia kuin sen koko, niin lähdettä voidaan pitää pistelähteenä. Isotrooppisessa ja homogeenisessa väliaineessa pistelähteen tuottama aalto on pallomainen. Oletetaan, että lähdevärähtelyjen vaihe on Säteen aallonpinnalla sijaitsevat pisteet värähtelevät vaiheen kanssa

Ennen kuin tarkastelemme aaltoprosessia, annetaan määritelmä värähtelevälle liikkeelle. epäröintiä on toistuva prosessi. Esimerkkejä värähtelevistä liikkeistä on hyvin erilaisia: vuodenaikojen vaihtelut, sydämen vaihtelut, hengitys, kondensaattorilevyjen varaus ja muut.

Värähtelyyhtälö yleisessä muodossa kirjoitetaan muodossa

Missä - värähtelyn amplitudi,
- syklinen taajuus, - aika, - alkuvaihe. Usein alkuvaiheen voidaan katsoa olevan nolla.

Värähtelevästä liikkeestä voimme edetä aaltoliikkeen tarkasteluun. Aalto on prosessi, jossa värähtelyt etenevät avaruudessa ajan kuluessa. Koska värähtelyt etenevät avaruudessa ajan myötä, on aaltoyhtälössä otettava huomioon sekä tilakoordinaatit että aika. Aaltoyhtälöllä on muoto

missä A 0 - amplitudi,  - taajuus, t - aika,  - aaltoluku, z - koordinaatti.

Aaltojen fyysinen luonne on hyvin monimuotoinen. Ääni, sähkömagneettiset, gravitaatio- ja akustiset aallot tunnetaan.

Värähtelytyypin mukaan kaikki aallot voidaan luokitella pitkittäis- ja poikkisuuntaisiksi. Pituussuuntaiset aallot - nämä ovat aaltoja, joissa väliaineen hiukkaset värähtelevät aallon etenemissuuntaa pitkin (kuva 3.1a). Esimerkki pitkittäisaallosta on ääniaalto.

poikittaiset aallot - nämä ovat aaltoja, joissa väliaineen hiukkaset värähtelevät poikittaissuunnassa suhteessa etenemissuuntaan (kuva 3.1b).

Sähkömagneettiset aallot luokitellaan poikittaisaaltoiksi. On otettava huomioon, että sähkömagneettisissa aalloissa kenttä värähtelee, eikä väliaineen hiukkasten värähtelyä tapahdu. Jos aalto etenee avaruudessa yhdellä taajuudella , niin sellainen Aalto nimeltään yksivärinen .

Aaltoprosessien etenemisen kuvaamiseksi otetaan käyttöön seuraavat ominaisuudet. Kosini-argumentti (katso kaava (3.2)), ts. ilmaisu
, kutsutaan aaltovaihe .

Kaavamaisesti aallon eteneminen yhtä koordinaattia pitkin on esitetty kuvassa. 3.2, tässä tapauksessa eteneminen tapahtuu z-akselia pitkin.

Kausi on yhden täydellisen värähtelyn aika. Jakso on merkitty kirjaimella T ja se mitataan sekunneissa (s). Jakson käänteislukua kutsutaan linjan taajuus ja merkitty f, mitattuna hertseinä (= Hz). Linjataajuus liittyy ympyrätaajuuteen. Yhteys ilmaistaan ​​kaavalla

(3.3)

Jos korjaamme ajan t, niin kuvasta t. 3.2 voidaan nähdä, että on pisteitä, esimerkiksi A ja B, jotka värähtelevät samalla tavalla, ts. vaiheessa (in-phase). Lähimmän kahden vaiheittain värähtelevän pisteen välistä etäisyyttä kutsutaan aallonpituus . Aallonpituus on merkitty  ja mitataan metreinä (m).

Aaltoluku  ja aallonpituus  liittyvät toisiinsa kaavan avulla

(3.4)

Aaltolukua  kutsutaan muuten vaihevakioksi tai etenemisvakioksi. Kaavasta (3.4) voidaan nähdä, että etenemisvakio mitataan ( ). Fysikaalinen merkitys on, että se näyttää kuinka monta radiaania aallon vaihe muuttuu kulkiessaan yhden metrin polkua.

Aaltoprosessin kuvaamiseksi otetaan käyttöön aaltorintaman käsite. aallonrintama on kuvitteellisten pisteiden paikka pinnalla, johon heräte on saavuttanut. Aaltorintamaa kutsutaan myös aaltorintamaksi.

Tasoaallon aaltorintamaa kuvaava yhtälö voidaan saada yhtälöstä (3.2), muodossa

(3.5)

Kaava (3.5) on tasoaallon aaltorintamayhtälö. Yhtälö (3.4) osoittaa, että aaltorintamat ovat äärettömiä tasoja, jotka liikkuvat avaruudessa kohtisuorassa z-akseliin nähden.

Vaiherintaman nopeus on ns vaihenopeus . Vaihenopeus on merkitty V f:llä ja se määritetään kaavalla

(3.6)

Aluksi yhtälö (3.2) sisältää vaiheen, jossa on kaksi etumerkkiä - negatiivinen ja positiivinen. Negatiivinen merkki, ts.
, osoittaa, että aaltorintama etenee z-akselin positiivista etenemissuuntaa pitkin. Tällaista aaltoa kutsutaan matkustamiseksi tai putoamiseksi.

Aaltovaiheen positiivinen merkki ilmaisee aaltorintaman liikettä vastakkaiseen suuntaan, ts. z-akselin vastakkaiseen suuntaan. Tällaista aaltoa kutsutaan heijastuneeksi.

Seuraavassa tarkastellaan matkustavia aaltoja.

Jos aalto etenee todellisessa väliaineessa, esiintyvien lämpöhäviöiden vuoksi amplitudi väistämättä pienenee. Tarkastellaanpa yksinkertaista esimerkkiä. Anna aallon edetä z-akselia pitkin ja aallon amplitudin alkuarvo vastaa 100 %, ts. A0 = 100. Oletetaan, että yhden metrin polun ohittaessa aallon amplitudi pienenee 10 %. Sitten meillä on seuraavat aallon amplitudit

Yleisellä amplitudin muutoksen kuviolla on muoto

Eksponentiaalisella funktiolla on nämä ominaisuudet. Graafisesti prosessi voidaan esittää kuvan 1 muodossa. 3.3.

Yleensä suhteellisuussuhde voidaan kirjoittaa muodossa

, (3.7)

missä  on aallon vaimennusvakio.

Vaihevakio  ja vaimennusvakio  voidaan yhdistää ottamalla käyttöön kompleksinen etenemisvakio , ts.

, (3.8)

missä  on vaihevakio,  on aallon vaimennusvakio.

Aaltorintaman tyypistä riippuen aallot ovat tasoja, pallomaisia ​​ja sylinterimäisiä.

lentokoneen aalto on aalto, jolla on tasainen aaltorinta. Tasoaaltolle voidaan antaa myös seuraava määritelmä. Aallon sanotaan olevan tasohomogeeninen, jos vektorikenttä Ja missä tahansa tason pisteessä ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden eivätkä ne muutu vaiheessa ja amplitudissa.

Tasoaallon yhtälö

Jos aallon synnyttävä lähde on piste, niin rajoittamattomassa homogeenisessa tilassa etenevä aaltorintama on pallo. pallomainen aalto on aalto, jolla on pallomainen aaltorintama. Palloaaltoyhtälöllä on muoto

, (3.10)

missä r on sädevektori, joka on vedetty origosta, joka on sama kuin pistelähteen sijainti, tiettyyn avaruuden pisteeseen, joka sijaitsee etäisyydellä r.

Aaltoja voidaan virittää käyttämällä ääretöntä lähdesarjaa, joka sijaitsee z-akselilla. Tässä tapauksessa tällainen lanka tuottaa aaltoja, joiden vaiherintama on sylinterimäinen pinta.

sylinterimäinen aalto on aalto, jonka vaiherintama on sylinterimäisen pinnan muodossa. Sylinterimäisellä aaltoyhtälöllä on muoto

, (3.11)

Kaavat (3.2), (3.10, 3.11) osoittavat amplitudin erilaisen riippuvuuden aallon lähteen ja tietyn avaruuden pisteen välisestä etäisyydestä, johon aalto on saavuttanut.

Helmholtzin yhtälöt

Maxwell sai yhden tärkeimmistä sähködynamiikan tuloksista, joka osoitti, että sähkömagneettisten prosessien eteneminen avaruudessa ajan mittaan tapahtuu aallon muodossa. Tarkastellaanpa tämän väitteen todistusta, ts. Todistakaamme sähkömagneettisen kentän aallon luonne.

Kirjoitamme kaksi ensimmäistä Maxwell-yhtälöä monimutkaisessa muodossa

(3.12)

Otetaan järjestelmän (3.12) toinen yhtälö ja sovelletaan siihen roottoritoimintoa vasempaan ja oikeaan osaan. Tuloksena saamme

Merkitse
, joka on etenemisvakio. Täten

(3.14)

Toisaalta vektorianalyysissä tunnetun identiteetin perusteella voidaan kirjoittaa

, (3.15)

Missä
on Laplace-operaattori, joka suorakulmaisessa koordinaatistossa ilmaistaan ​​identiteetillä

(3.16)

Ottaen huomioon Gaussin lain, ts.
, yhtälö (3.15) voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa

, tai

(3.17)

Vastaavasti Maxwellin yhtälöiden symmetriaa käyttämällä voidaan saada yhtälö suhteessa vektoriin , eli

(3.18)

Muotoa (3.17, 3.18) olevia yhtälöitä kutsutaan Helmholtzin yhtälöiksi. Matematiikassa on todistettu, että jos jokin prosessi kuvataan Helmholtz-yhtälöiden muodossa, se tarkoittaa, että prosessi on aaltoprosessi. Meidän tapauksessamme päätämme: ajassa vaihtelevat sähkö- ja magneettikentät johtavat väistämättä sähkömagneettisten aaltojen etenemiseen avaruudessa.

Koordinaattimuodossa Helmholtzin yhtälö (3.17) kirjoitetaan muodossa

Missä ,,- yksikkövektorit vastaavia koordinaattiakseleita pitkin

,

,

.(3.20)

Tasoaaltojen ominaisuudet etenemisen aikana ei-absorboivissa väliaineissa

Levittäköön tasossa oleva sähkömagneettinen aalto z-akselia pitkin, jolloin aallon eteneminen kuvataan differentiaaliyhtälöjärjestelmällä

(3.21)

Missä Ja ovat kentän kompleksiset amplitudit,

(3.22)

Järjestelmän (3.21) ratkaisulla on muoto

(3.23)

Jos aalto etenee vain yhteen suuntaan z-akselia pitkin, ja vektori on suunnattu x-akselia pitkin, niin yhtälöjärjestelmän ratkaisu on tarkoituksenmukaista kirjoittaa muotoon

(3.24)

Missä Ja - yksikkövektorit x,y-akselilla.

Jos väliaineessa ei ole häviöitä, ts. ympäristöparametrit  a ja  a, ja
ovat todellisia arvoja.

Luettelemme tasoisten sähkömagneettisten aaltojen ominaisuudet

Väliaineen osalta otetaan käyttöön väliaineen aaltoresistanssin käsite

(3.25)

Missä ,
- kenttävoimakkuuksien amplitudiarvot. Häviöttömän väliaineen impedanssi on myös todellinen suure.

Ilmalle aallonvastus on

(3.26)

Yhtälö (3.24) osoittaa, että magneetti- ja sähkökentät ovat samassa vaiheessa. Tasoaallon kenttä on kulkeva aalto, joka on kirjoitettu muotoon

(3.27)

Kuvassa 3.4 kenttävektorit Ja vaiheen muutos kaavan (3.27) mukaisesti.

Poynting-vektori osuu milloin tahansa aallon etenemissuunnan kanssa

(3.28)

Poynting-vektorimoduuli määrittää tehovuon tiheyden ja mitataan
.

Keskimääräinen tehovuon tiheys määritetään

(3.29)

, (3.30)

Missä
- kenttävoimakkuuksien tehokkaat arvot.

Tilavuusyksikköön sisältyvää kenttäenergiaa kutsutaan energiatiheydeksi. Sähkömagneettinen kenttä muuttuu ajan myötä, ts. on vaihteleva. Tietyn ajan energiatiheyden arvoa kutsutaan hetkelliseksi energiatiheydeksi. Sähkömagneettisen kentän sähköisten ja magneettisten komponenttien hetkellinen energiatiheys on vastaavasti yhtä suuri kuin

Olettaen että
, suhteet (3.31) ja (3.32) osoittavat sen
.

Sähkömagneettisen energian kokonaistiheys saadaan kaavalla

(3.33)

Sähkömagneettisen aallon vaihenopeus määräytyy kaavan mukaan

(3.34)

Aallonpituus määritetään

(3.35)

Missä - aallonpituus tyhjössä (ilma), s - valon nopeus ilmassa,  - suhteellinen permittiivisyys,  - suhteellinen magneettinen permeabiliteetti, f- lineaarinen taajuus,  - syklinen taajuus, V f - vaihenopeus,  - etenemisvakio.

Energian siirtonopeus (ryhmän nopeus) voidaan määrittää kaavasta

(3.36)

Missä - Poynting-vektori,  - energiatiheys.

Jos maalaat ja kaavojen (3.28), (3.33) mukaisesti, niin saadaan

(3.37)

Siten saamme

(3.38)

Kun sähkömagneettinen monokromaattinen aalto etenee häviöttömässä väliaineessa, vaihe- ja ryhmänopeudet ovat samat.

Vaiheen ja ryhmän nopeuden välillä on suhde, joka ilmaistaan ​​kaavalla

(3.39)

Tarkastellaan esimerkkiä sähkömagneettisen aallon etenemisestä fluoroplastissa, jonka parametrit ovat  =2, =1. Olkoon sähkökentän voimakkuus vastaa

(3.40)

Aallon etenemisnopeus sellaisessa väliaineessa on yhtä suuri

Fluoroplastin aaltoimpedanssi vastaa arvoa

Ohmi (3,42)

Magneettikentän voimakkuuden amplitudiarvot ottavat arvot

, (3.43)

Energiavuon tiheys on vastaavasti yhtä suuri

Aallonpituus taajuudella
on merkitys

(3.45)

Umov–Poyntingin lause

Sähkömagneettiselle kentälle on ominaista sen oma kentän energia, ja kokonaisenergia määräytyy sähkö- ja magneettikenttien energioiden summasta. Olkoon sähkömagneettinen kenttä suljettu tilavuus V, niin voimme kirjoittaa

(3.46)

Sähkömagneettisen kentän energia ei periaatteessa voi pysyä vakiona. Herää kysymys: Mitkä tekijät vaikuttavat energian muutokseen? On todettu, että seuraavat tekijät vaikuttavat energian muutokseen suljetun tilavuuden sisällä:

osa sähkömagneettisen kentän energiasta voi muuttua muun tyyppiseksi energiaksi, esimerkiksi mekaaniseksi;

ulkoiset voimat voivat vaikuttaa suljetun tilavuuden sisällä, mikä voi lisätä tai vähentää tarkasteltavana olevan tilavuuden sisältämän sähkömagneettisen kentän energiaa;

katsottu suljettu tilavuus V voi vaihtaa energiaa ympäröivien kappaleiden kanssa energiasäteilyprosessin vuoksi.

Säteilyn intensiteettiä kuvaa Poynting-vektori . Tilavuudella V on suljettu pinta S. Sähkömagneettisen kentän energian muutosta voidaan pitää Poynting-vektorin virtauksena suljetun pinnan S läpi (kuva 3.5), ts.
ja vaihtoehdot
>0 ,
<0 ,
=0 . Huomaa, että normaali pintaan
, on aina ulkoinen.

Muista tuo
, Missä
ovat kentänvoimakkuuden hetkellisiä arvoja.

Siirtyminen integraalista pinnan yli
integraaliin tilavuuden V yli suoritetaan Ostrogradsky-Gaussin lauseen perusteella.

Sen tietäen

korvataan nämä lausekkeet kaavalla (3.47). Muunnoksen jälkeen saamme lausekkeen muodossa:

Kaavasta (3.48) voidaan nähdä, että vasen puoli ilmaistaan ​​summana, joka koostuu kolmesta termistä, joista kutakin tarkastellaan erikseen.

termi
ilmaisee hetkellinen tehohäviö , jotka aiheutuvat johtovirroista suljetussa tilavuudessa. Toisin sanoen termi ilmaisee suljettuun tilavuuteen suljetun kentän lämpöenergiahäviöitä.

Toinen termi
ilmaisee ulkoisten voimien työn aikayksikköä kohti, ts. ulkoisten voimien voima. Tällaiselle teholle mahdolliset arvot
>0,
<0.

Jos
>0, nuo. energiaa lisätään tilavuuteen V, niin ulkoisia voimia voidaan pitää generaattorina. Jos
<0 , eli tilavuudessa V energia vähenee, sitten ulkoiset voimat ovat kuorman roolissa.

Lineaarisen väliaineen viimeinen termi voidaan esittää seuraavasti:

(3.49)

Kaava (3.49) ilmaisee tilavuuden V sisällä olevan sähkömagneettisen kentän energian muutosnopeuden.

Kaikkien termien tarkastelun jälkeen kaava (3.48) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Kaava (3.50) ilmaisee Poyntingin lauseen. Osoittamisen lause ilmaisee energiatasapainon mielivaltaisella alueella, jolla on sähkömagneettinen kenttä.

Hidastuneet mahdollisuudet

Maxwellin yhtälöillä monimutkaisessa muodossa, kuten tiedetään, on muoto:

(3.51)

Anna ulkoisten virtojen esiintyä homogeenisessa väliaineessa. Yritetään muuttaa Maxwellin yhtälöt sellaiselle väliaineelle ja saadaan yksinkertaisempi yhtälö, joka kuvaa sähkömagneettista kenttää sellaisessa väliaineessa.

Ota yhtälö
. Tietäen, että ominaisuudet Ja toisiinsa
, sitten voimme kirjoittaa
Otamme huomioon, että magneettikentän voimakkuus voidaan ilmaista käyttämällä vektorin elektrodynaaminen potentiaali , jonka relaatio ottaa käyttöön
, Sitten

(3.52)

Otetaan Maxwell-järjestelmän toinen yhtälö (3.51) ja tehdään muunnoksia:

(3.53)

Kaava (3.53) ilmaisee toisen Maxwell-yhtälön vektoripotentiaalina . Kaava (3.53) voidaan kirjoittaa muodossa

(3.54)

Sähköstatiikassa suhde toteutuu, kuten tiedetään:

(3.55)

Missä - kentänvoimakkuusvektori,
- skalaari sähköstaattinen potentiaali. Miinusmerkki osoittaa, että vektori suunnattu korkeamman potentiaalin pisteestä pienemmän potentiaalin pisteeseen.

Suluissa oleva lauseke (3.54) voidaan kirjoittaa analogisesti kaavan (3.55) kanssa

(3.56)

Missä
- skalaari sähködynaaminen potentiaali.

Otetaan Maxwellin ensimmäinen yhtälö ja kirjoitetaan se sähködynaamisten potentiaalien avulla

Vektorialgebrassa identtisyys todistetaan:

Identiteettiä (3.58) käyttämällä ensimmäinen muotoon (3.57) kirjoitettu Maxwell-yhtälö voidaan esittää muodossa

Tässä on samanlaisia

Kerro vasen ja oikea osa kertoimella (-1):

voidaan asettaa mielivaltaisesti, joten voimme olettaa sen

Lauseketta (3.60) kutsutaan Lorentzin mittari .

Jos w=0 , sitten saamme Coulombin mittari
=0.

Mittarit huomioon ottaen yhtälö (3.59) voidaan kirjoittaa

(3.61)

Yhtälö (3.61) ilmaisee itsensä epähomogeeninen aaltoyhtälö vektorin elektrodynaamiselle potentiaalille.

Samalla tavalla, kolmannen Maxwell-yhtälön perusteella
, voidaan saada epähomogeeninen yhtälö skalaari sähködynaaminen potentiaali kuten:

(3.62)

Tuloksena olevilla epähomogeenisilla elektrodynaamisten potentiaalien yhtälöillä on omat ratkaisunsa

, (3.63)

Missä M- mielivaltainen piste M, - bulkkivaraustiheys, γ on etenemisvakio, r

(3.64)

Missä V on ulkoisten virtojen varaama tilavuus, r on nykyinen etäisyys lähdetilavuuden jokaisesta elementistä pisteeseen M.

Vektorin elektrodynaamisen potentiaalin (3.63), (3.64) ratkaisua kutsutaan Kirchhoff-integraali hidastettuihin potentiaaliin .

Tekijä
voidaan ilmaista termeillä
kuten

Tämä tekijä vastaa aallon lopullista etenemisnopeutta lähteestä ja
Koska aallon etenemisnopeus on äärellinen arvo, jolloin aaltoja synnyttävän lähteen vaikutus saavuttaa mielivaltaisen pisteen M viiveellä. Viiveajan arvo määräytyy:
Kuvassa 3.6 näyttää pistelähteen U, joka säteilee pallomaisia ​​aaltoja, jotka etenevät nopeudella v ympäröivässä homogeenisessa avaruudessa, sekä mielivaltaista pistettä M, joka sijaitsee etäisyyden päässä r johon aalto yltää.

Ajankohtana t vektoripotentiaali
pisteessä M on lähteessä kulkevien virtojen funktio U aikaisemmalla ajalla
Toisin sanoen,
riippuu lähdevirroista, jotka virtasivat siinä aikaisemmalla hetkellä

Kaavasta (3.64) voidaan nähdä, että vektorin sähködynaaminen potentiaali on yhdensuuntainen (samasuuntainen) ulkoisten voimien virrantiheyden kanssa; sen amplitudi pienenee lain mukaan; suurilla etäisyyksillä emitterin mittoihin verrattuna aallolla on pallomainen aaltorintama.

Ottaen huomioon
ja Maxwellin ensimmäinen yhtälö, voidaan määrittää sähkökentän voimakkuus:

Saadut suhteet määrittävät tietyn ulkoisten virtojen jakauman synnyttämän sähkömagneettisen kentän

Tasojen sähkömagneettisten aaltojen leviäminen erittäin johtavissa väliaineissa

Harkitse sähkömagneettisen aallon etenemistä johtavassa väliaineessa. Tällaisia ​​väliaineita kutsutaan myös metallimaisiksi. Todellinen väliaine on johtava, jos johtavuusvirtojen tiheys ylittää merkittävästi siirtymävirtojen tiheyden, ts.
Ja
, ja
, tai

(3.66)

Kaava (3.66) ilmaisee ehdon, jossa todellista väliainetta voidaan pitää johtavana. Toisin sanoen kompleksisen permittiivisyyden imaginaarisen osan on ylitettävä reaaliosa. Kaava (3.66) osoittaa myös riippuvuuden taajuudella ja mitä pienempi taajuus, sitä selvemmät ovat johtimen ominaisuudet väliaineessa. Katsotaanpa tätä tilannetta esimerkin avulla.

Kyllä, taajuudella f = 1 MHz = 10 6 Hz kuivalla maaperällä on parametrit =4, =0,01 ,. Verrataan Ja , eli
. Saaduista arvoista voidaan nähdä, että 1,610 -19 >> 3,5610 -11, joten kuivaa maaperää aallon etenemisen aikana taajuudella 1 MHz on pidettävä johtavana.

Todelliselle medialle kirjoitamme kompleksisen permittiivisyyden

(3.67)

koska meidän tapauksessamme
, niin johtavalle välineelle voimme kirjoittaa

, (3.68)

missä  - ominaisjohtavuus,  - syklinen taajuus.

Etenemisvakio  tiedetään määritetyksi Helmholtzin yhtälöistä

Siten saamme etenemisvakion kaavan

(3.69)

On tiedossa, että

(3.70)

Kun otetaan huomioon identiteetti (3.49), kaava (3.50) voidaan kirjoittaa muodossa

(3.71)

Etenemisvakio ilmaistaan ​​muodossa

(3.72)

Reaali- ja imaginaariosien vertailu kaavoissa (3.71), (3.72) johtaa vaihevakion  ja vaimennusvakion  arvojen yhtäläisyyteen, ts.

(3.73)

Kaavasta (3.73) kirjoitetaan aallonpituus, jonka kenttä saavuttaa eteneessään hyvin johtavassa väliaineessa

(3.74)

Missä on metallin aallonpituus.

Saadusta kaavasta (3.74) voidaan nähdä, että metallissa etenevän sähkömagneettisen aallon pituus pienenee merkittävästi verrattuna aallonpituuteen avaruudessa.

Edellä sanottiin, että aallon amplitudi etenemisen aikana häviöisessä väliaineessa pienenee lain mukaan
. Aallon etenemisprosessin karakterisoimiseksi johtavassa väliaineessa otetaan käyttöön käsite pintakerroksen syvyys tai tunkeutumissyvyys .

Pintakerroksen syvyys - tämä on etäisyys d, jolla pinta-aallon amplitudi pienenee kertoimella e verrattuna sen alkutasoon.

(3.75)

Missä on metallin aallonpituus.

Pintakerroksen syvyys voidaan myös määrittää kaavasta

, (3.76)

missä  on syklinen taajuus,  a on väliaineen absoluuttinen magneettinen permeabiliteetti,  on väliaineen ominaisjohtavuus.

Kaavasta (3.76) voidaan nähdä, että taajuuden ja johtavuuden kasvaessa pintakerroksen syvyys pienenee.

Otetaan esimerkki. Kuparin johtavuus
taajuudella f = 10 GHz ( = 3 cm) on pintakerroksen syvyys d =
. Tästä voimme tehdä käytännön kannalta tärkeän johtopäätöksen: erittäin johtavan aineen kerroksen levittäminen johtamattomalle pinnoitteelle mahdollistaa laiteelementtien valmistamisen pienillä lämpöhäviöillä.

Tasoaallon heijastus ja taittuminen välineiden välisessä rajapinnassa

Kun taso sähkömagneettinen aalto etenee avaruudessa, joka on alue, jolla on erilaiset parametriarvot
ja rajapinta tason muodossa, syntyy heijastuneita ja taittuneita aaltoja. Näiden aaltojen intensiteetit määritetään heijastus- ja taittokertoimien avulla.

aallon heijastuskerroin on heijastuneen sähkökentän voimakkuuksien kompleksiarvojen suhde rajapinnassa tuleviin aaloihin, ja se määritetään kaavalla:

(3.77)

läpäisysuhde aallot toiseen väliaineeseen ensimmäisestä on taittuneen sähkökentän voimakkuuksien kompleksiarvojen suhde putoamiseen aallot ja määräytyy kaavan mukaan

(3.78)

Jos tulevan aallon Poynting-vektori on kohtisuorassa rajapintaan nähden, niin

(3.79)

jossa Z 1 ,Z 2 - ominaisvastus kullekin väliaineelle.

Ominainen vastus määritetään kaavalla:

Missä
(3.80)

.

Viistossa tulokulmassa aallon etenemissuunta rajapinnan suhteen saadaan tulokulmasta. Tulokulma on pinnan normaalin ja säteen etenemissuunnan välinen kulma.

ilmaantuvuustaso on taso, joka sisältää tulevan säteen ja tulopisteeseen palautetun normaalin.

Reunaehdoista seuraa, että tulokulmat ja taittuminen liittyy Snellin lakiin:

(3.81)

missä n1, n2 ovat vastaavien väliaineiden taitekertoimia.

Sähkömagneettisille aalloille on ominaista polarisaatio. On olemassa elliptisiä, pyöreitä ja lineaarisia polarisaatioita. Lineaarisessa polarisaatiossa erotetaan vaaka- ja pystypolarisaatio.

Horisontaalinen polarisaatio on polarisaatio, jossa vektori värähtelee tasossa, joka on kohtisuorassa tulotasoon nähden.

Anna tasoisen sähkömagneettisen aallon, jolla on vaakasuora polarisaatio, pudota kahden välineen väliselle rajapinnalle, kuten kuvassa 10 esitetään. 3.7. Tulevan aallon Poynting-vektori on merkitty . Koska aallolla on vaakasuora polarisaatio, ts. sähkökentän voimakkuusvektori värähtelee tulotasoon nähden kohtisuorassa tasossa, jolloin sitä merkitään ja kuvassa 3.7 on esitetty ympyränä, jossa on risti (poispäin suunnattu meistä). Vastaavasti magneettikentän vektori sijaitsee aallon tulotasossa ja on merkitty . Vektorit ,,muodostavat vektoreiden oikean kolmion.

Heijastuneelle aallolle vastaavat kenttävektorit on varustettu indeksillä "neg", taitetulle - indeksillä "pr".

Vaakasuuntaisella (pystysuoralla) polarisaatiolla heijastus- ja läpäisykertoimet löydetään seuraavasti (kuva 3.7).

Kahden median rajapinnassa rajaehdot täyttyvät, ts.

Meidän tapauksessamme on tunnistettava vektorien tangentiaaliset projektiot, ts. voidaan kirjoittaa

Magneettisen kentän voimakkuuden viivat on suunnattu tulotasoon nähden kohtisuoraan tulevalle, heijastuneelle ja taittuneelle aallolle. Siksi pitäisi kirjoittaa

Tämän perusteella voimme muodostaa järjestelmän reunaehtojen perusteella

Tiedetään myös, että sähkö- ja magneettikenttien vahvuudet ovat yhteydessä toisiinsa väliaineen Z aaltovastuksen kautta.

Sitten järjestelmän toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

Joten yhtälöjärjestelmä on ottanut muodon

Jaetaan tämän järjestelmän molemmat yhtälöt tulevan aallon amplitudilla
ja ottaen huomioon taitekertoimien (3.77) ja transmissiokertoimien (3.78) määritelmät, voimme kirjoittaa järjestelmän muotoon

Järjestelmässä on kaksi ratkaisua ja kaksi tuntematonta. Tällaisen järjestelmän tiedetään olevan päätettävissä.

Pystysuuntainen polarisaatio on polarisaatio, jossa vektori värähtelee tulotasossa.

Pystysuuntaisessa (rinnakkais) polarisaatiossa heijastus- ja läpäisykertoimet ilmaistaan ​​seuraavasti (Kuva 3.8).

Pystypolarisaatiolle kirjoitetaan samanlainen yhtälöjärjestelmä kuin vaakapolarisaatiolle, mutta ottaen huomioon sähkömagneettisen kentän vektorien suunta

Tällainen yhtälöjärjestelmä voidaan samalla tavalla pelkistää muotoon

Järjestelmän ratkaisuna ovat heijastus- ja lähetyskertoimien lausekkeet

Kun kahden välineen väliselle rajapinnalle osuu tasoisia sähkömagneettisia aaltoja, joissa on rinnakkaispolarisaatio, heijastuskerroin voi olla nolla. Tulokulmaa, jossa tuleva aalto täysin ilman heijastusta tunkeutuu väliaineesta toiseen, kutsutaan Brewsterin kulmaksi ja sitä kutsutaan nimellä
.

(3.84)

(3.85)

Korostamme, että Brewsterin kulma, kun taso sähkömagneettinen aalto osuu ei-magneettiseen dielektriseen aineeseen, voi olla olemassa vain rinnakkaispolarisaatiolla.

Jos tasomainen sähkömagneettinen aalto osuu mielivaltaisessa kulmassa kahden häviöllisen väliaineen rajapinnalle, heijastuneita ja taittuneita aaltoja tulisi pitää epähomogeenisina, koska yhtäläisten amplitudien tason tulisi olla sama kuin rajapinnan. Oikeiden metallien kohdalla vaiherintaman ja yhtäläisten amplitudien tason välinen kulma on pieni, joten voidaan olettaa, että taitekulma on 0.

Likimääräiset Schukin-Leontovich-rajaehdot

Nämä rajaehdot pätevät, kun jokin väliaineista on hyvä johdin. Oletetaan, että tasomainen sähkömagneettinen aalto osuu ilmasta kulmassa  tasorajapinnalle hyvin johtavan väliaineen kanssa, jota kuvaa kompleksinen taitekerroin

(3.86)

Hyvin johtavan välineen käsitteen määritelmästä seuraa, että
. Snellin lakia soveltaen voidaan todeta, että taitekulma  tulee olemaan hyvin pieni. Tästä voidaan olettaa, että taittunut aalto tulee hyvin johtavan väliaineen sisään käytännössä normaalin suunnassa millä tahansa tulokulman arvolla.

Leontovichin rajaehtoja käyttämällä on tiedettävä magneettisen vektorin tangenttikomponentti . Yleensä oletetaan likimäärin, että tämä arvo vastaa ideaalijohtimen pinnalle laskettua samanlaista komponenttia. Tällaisesta approksimaatiosta aiheutuva virhe on hyvin pieni, koska metallien pinnan heijastuskerroin on yleensä lähellä nollaa.

Sähkömagneettisten aaltojen säteily vapaaseen tilaan

Selvitetään, mitkä ovat olosuhteet sähkömagneettisen energian lähettämiselle vapaaseen tilaan. Tarkastellaan tätä varten sähkömagneettisten aaltojen piste-monokromaattista emitteriä, joka on sijoitettu pallomaisen koordinaattijärjestelmän alkupisteeseen. Kuten tiedetään, pallomainen koordinaattijärjestelmä saadaan kaavalla (r, Θ, φ), missä r on sädevektori, joka on vedetty järjestelmän origosta havaintopisteeseen; Θ on meridionaalikulma mitattuna Z-akselilta (zeniitistä) sädevektoriin, joka on piirretty pisteeseen M; φ on atsimuuttikulma mitattuna X-akselilta sädevektorin projektioon, joka on vedetty origosta pisteeseen M′ (M′ on pisteen M projektio XOY-tasolle). (Kuva 3.9).

Pisteemitteri sijaitsee homogeenisessa väliaineessa parametreineen

Pistesäteilijä säteilee sähkömagneettisia aaltoja kaikkiin suuntiin ja mikä tahansa sähkömagneettisen kentän komponentti noudattaa Helmholtzin yhtälöä pistettä lukuun ottamatta r=0 . Voidaan ottaa käyttöön kompleksinen skalaarifunktio Ψ, jolla tarkoitetaan mitä tahansa mielivaltaisesti otettua kentän komponenttia. Sitten Helmholtzin yhtälö funktiolle Ψ on muotoa:

(3.87)

Missä
- aaltoluku (etenemisvakio).

(3.88)

Oletetaan, että funktiolla Ψ on pallosymmetria, jolloin Helmholtzin yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(3.89)

Yhtälö (3.89) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

(3.90)

Yhtälöt (3.89) ja (3.90) ovat identtisiä keskenään. Yhtälö (3.90) tunnetaan fysiikassa värähtelyyhtälönä. Tällaisella yhtälöllä on kaksi ratkaisua, jotka, jos amplitudit ovat yhtä suuret, ovat muotoa:

(3.91)

(3.92)

Kuten kohdista (3.91), (3.92) voidaan nähdä, yhtälön ratkaisu eroaa vain merkeissä. Lisäksi, ilmaisee lähteestä tulevan aallon, ts. aalto etenee lähteestä äärettömään. Toinen aalto osoittaa, että aalto tulee lähteelle äärettömyydestä. Fyysisesti sama lähde ei voi tuottaa samanaikaisesti kahta aaltoa: toista kulkevaa ja toista tulevaa äärettömyydestä. Siksi on otettava huomioon, että aalto ei ole fyysisesti olemassa.

Tarkasteltava esimerkki on melko yksinkertainen. Mutta jos lähdejärjestelmä säteilyttää energiaa, on erittäin vaikeaa valita oikea ratkaisu. Siksi tarvitaan analyyttinen lauseke, joka on kriteeri oikean ratkaisun valinnassa. Tarvitsemme yleisen kriteerin analyyttisessä muodossa, jonka avulla voidaan valita yksiselitteinen fyysisesti määrätty ratkaisu.

Toisin sanoen tarvitsemme kriteerin, joka erottaa funktion, joka ilmaisee liikkuvan aallon lähteestä äärettömään, funktiosta, joka kuvaa aaltoa, joka tulee äärettömyydestä säteilylähteeseen.

Tämän ongelman ratkaisi A. Sommerfeld. Hän osoitti, että funktion kuvaama liikkuva aalto , suhde täyttyy:

(3.93)

Tätä kaavaa kutsutaan säteilytilanne tai Sommerfeldin kunto .

Tarkastellaan dipolin muodossa olevaa elementaarista sähköistä emitteriä. Sähködipoli on lyhyt lanka l verrattuna pitkään aaltoon  ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

On helppo osoittaa, että sähkökentän muutoksella lankaa ympäröivässä tilassa on aaltoluonteinen. Tarkastellaan selvyyden vuoksi erittäin yksinkertaistettua mallia langan lähettämän sähkömagneettisen kentän sähkökomponentin muodostumis- ja muutosprosessista. Kuvassa 3.11 esittää mallin sähkömagneettisen aallon sähkökentän säteilyprosessista yhden ajanjakson ajan

Kuten tiedät, sähkövirta johtuu sähkövarausten liikkeestä, nimittäin

tai

Jatkossa otamme huomioon vain johdon positiivisten ja negatiivisten varausten sijainnin muutoksen. Sähkökentän voimakkuusviiva alkaa positiivisesta varauksesta ja päättyy negatiiviseen varaukseen. Kuvassa 3.11 voimalinja on esitetty katkoviivalla. On syytä muistaa, että sähkökenttä syntyy koko johdinta ympäröivään tilaan, vaikka kuvassa 3.11 näyttää yhden voimalinjan.

Jotta vaihtovirta virtaisi johtimen läpi, tarvitaan vaihtovirtalähde. Tällainen lähde sisältyy langan keskelle. Sähkökentän emissioprosessin tila esitetään numeroilla 1 - 13. Jokainen numero vastaa tiettyä prosessin tilaan liittyvää ajankohtaa. Momentti t=1 vastaa prosessin alkua, ts. EMF = 0. Hetkellä t=2 ilmaantuu muuttuva EMF, joka saa aikaan varausten liikkeen, kuten kuvassa 2 on esitetty. 3.11. Liikkuvien varausten ilmaantuessa langassa avaruuteen syntyy sähkökenttä. ajan kuluessa (t = 3÷5) varaukset siirtyvät johtimen päitä kohti ja voimalinja peittää kasvavan osan tilasta. voimalinja laajenee valon nopeudella kohtisuoraan lankaan nähden. Ajanhetkellä t = 6 - 8 EMF, joka on läpäissyt maksimiarvon, pienenee. Varaukset liikkuvat kohti langan keskikohtaa.

Ajanhetkellä t = 9 EMF-muutoksen puolijakso päättyy, se laskee nollaan. Tässä tapauksessa maksut sulautuvat, ne kompensoivat toisiaan. tässä tapauksessa ei ole sähkökenttää. Säteilevän sähkökentän voimalinja sulkeutuu ja jatkaa siirtymistä pois johdosta.

Sitten tulee EMF:n muutoksen toinen puolijakso, prosessit toistetaan ottaen huomioon polariteetin muutos. Kuvassa 3.11 hetkillä t = 10÷13 näyttää kuvan prosessista sähkökentän voimalinjan huomioiden.

Olemme tarkastelleet pyörteen sähkökentän suljettujen voimalinjojen muodostumisprosessia. Mutta on syytä muistaa, että sähkömagneettisten aaltojen säteily on yksi prosessi. Sähkö- ja magneettikentät ovat erottamattomia toisistaan ​​riippuvaisia ​​sähkömagneettisen kentän komponentteja.

Kuvassa esitetty säteilyprosessi. 3.11 on samanlainen kuin symmetrisen sähkövärähtelijän aiheuttama sähkömagneettisen kentän säteily, ja sitä käytetään laajalti radioviestintätekniikassa. On muistettava, että sähkökentän voimakkuusvektorin värähtelytaso on keskenään kohtisuorassa magneettikentän voimakkuusvektorin värähtelytasoon nähden .

Sähkömagneettisten aaltojen emissio johtuu muuttuvasta prosessista. Siksi voit laittaa latauksen kaavaan vakion C \u003d 0. Varauksen kompleksiselle arvolle voidaan kirjoittaa.

(3.94)

Analogisesti sähköstatiikan kanssa voimme ottaa käyttöön vaihtovirran sähködipolin momentin käsitteen

(3.95)

Kaavasta (3.95) seuraa, että sähködipolin ja suunnatun lankasegmentin momenttivektorit ovat yhteissuuntaisia.

On huomattava, että todellisissa antenneissa on johtojen pituudet, jotka ovat yleensä verrattavissa aallonpituuteen. Tällaisten antennien säteilyominaisuuksien määrittämiseksi lanka jaetaan yleensä henkisesti erillisiin pieniin osiin, joista jokaista pidetään alkeellisena sähköisenä dipolina. tuloksena oleva antennikenttä löydetään laskemalla yhteen yksittäisten dipolien generoimat säteilevät vektorikentät.

Aaltoprosessit

Peruskäsitteet ja määritelmät

Harkitse jotain elastista väliainetta - kiinteää, nestemäistä tai kaasumaista. Jos sen hiukkasten värähtelyä viritetään missä tahansa tämän väliaineen kohdassa, hiukkasten välisen vuorovaikutuksen vuoksi värähtely väliaineen yhdestä hiukkasesta toiseen etenee väliaineessa tietyllä nopeudella. Käsitellä asiaa värähtelyjen leviämistä avaruudessa kutsutaan Aalto .

Jos väliaineen hiukkaset värähtelevät aallon etenemisen suuntaan, sitä kutsutaan pituussuuntainen. Jos hiukkasten värähtelyt tapahtuvat tasossa, joka on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan, niin aalto on ns. poikittainen . Poikittaiset mekaaniset aallot voivat syntyä vain väliaineessa, jonka leikkausmoduuli ei ole nolla. Siksi nestemäisissä ja kaasumaisissa väliaineissa vain pitkittäiset aallot . Ero pituus- ja poikittaisaaltojen välillä näkyy selkeimmin esimerkissä värähtelyjen etenemisestä jousessa - katso kuva.

Poikittaisvärähtelyjen karakterisoimiseksi on tarpeen asettaa sijainti avaruudessa taso, joka kulkee värähtelysuunnan ja aallon etenemissuunnan kautta - polarisaation tasot .

Avaruuden aluetta, jossa kaikki väliaineen hiukkaset värähtelevät, kutsutaan aaltokenttä . Aaltokentän ja muun väliaineen välistä rajaa kutsutaan aallonrintama . Toisin sanoen, aaltorintama - niiden pisteiden paikka, joihin värähtelyt ovat saavuttaneet tietyn ajankohdan. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa aallon etenemissuunta kohtisuorassa aallon etupuolelle.

Niin kauan kuin väliaineessa on aalto, väliaineen hiukkaset värähtelevät tasapainoasemiensa ympärillä. Olkoot nämä värähtelyt harmonisia, ja näiden värähtelyjen jakso on yhtä suuri T. Hiukkaset erotetaan toisistaan ​​etäisyyden verran

aallon etenemissuuntaa pitkin värähtelevät samalla tavalla, ts. millä tahansa ajanhetkellä niiden siirtymät ovat samat. Etäisyyttä kutsutaan aallonpituus . Toisin sanoen, aallonpituus on aallon yhden värähtelyjakson aikana kulkema matka .

Yhdessä vaiheessa värähtelevien pisteiden paikkaa kutsutaan aallon pinta . Aaltorintama on aallonpinnan erikoistapaus. Aallonpituus -minimi kahden aaltopinnan välinen etäisyys, jossa pisteet värähtelevät samalla tavalla, tai voidaan sanoa niin niiden värähtelyjen vaiheet eroavat toisistaan .

Jos aallon pinnat ovat tasoja, niin aaltoa kutsutaan tasainen , ja jos palloittain, niin sitten pallomainen. Tasoaalto viritetään jatkuvassa homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa äärettömän tason värähtelyjen aikana. Pallopinnan viritys voidaan esittää pallomaisen pinnan säteittäisten pulsaatioiden seurauksena ja myös toiminnan seurauksena pistelähde, jonka mitat verrattuna etäisyyteen havaintopisteeseen voidaan jättää huomiotta. Koska millä tahansa todellisella lähteellä on äärelliset mitat, riittävän suurella etäisyydellä siitä aalto on lähellä pallomaista. Samanaikaisesti pallomaisen aallon aallonpinnan leikkaus tulee sen koon pienentyessä mielivaltaisen lähelle tasoaallon aaltopinnan leikkausta.

Taso- ja palloaaltoyhtälöt

aaltoyhtälö on lauseke, joka määrittää värähtelevän pisteen siirtymän pisteen ja ajan tasapainopaikan koordinaattien funktiona:

Jos lähde tekee kausijulkaisu funktion (22.2) on oltava sekä koordinaattien että ajan jaksollinen funktio. Jaksoisuus ajassa seuraa siitä tosiasiasta, että funktio kuvaa pisteen jaksollisia värähtelyjä koordinaatteineen; jaksollisuus koordinaateissa - siitä tosiasiasta, että etäisyyden päässä aallon etenemissuunnassa sijaitsevat pisteet vaihtelevat samalla tavalla

Rajoittukaamme tarkastelemaan harmonisia aaltoja, kun väliaineen pisteet suorittavat harmonisia värähtelyjä. On huomattava, että mikä tahansa ei-harmoninen funktio voidaan esittää harmonisten aaltojen superponoinnin tuloksena. Siksi vain harmonisten aaltojen huomioon ottaminen ei johda saatujen tulosten yleisyyden perustavanlaatuiseen huononemiseen.

Harkitse tasoaaltoa. Valitsemme koordinaattijärjestelmän niin, että akseli vai niin osuu yhteen aallon etenemissuunnan kanssa. Tällöin aaltopinnat ovat kohtisuorassa akseliin nähden vai niin ja koska aallon pinnan kaikki pisteet värähtelevät samalla tavalla, väliaineen pisteiden siirtyminen tasapainoasennoista riippuu vain x ja t:

Olkoon tasossa olevien pisteiden värähtelyt muodossa:

(22.4)

Värähtelyt tasossa etäisyyden päässä X koordinaattien origosta jäljessä ajassa värähtelyistä sen ajan, joka tarvitaan aallon ylittämiseen etäisyyden X, ja niitä kuvaa yhtälö

mikä on Tasoaallon yhtälö, joka etenee Ox-akselin suunnassa.

Yhtälöä (22.5) johdettaessa oletimme värähtelyjen amplitudin olevan sama kaikissa pisteissä. Tasoaallon tapauksessa tämä pitää paikkansa, jos väliaine ei absorboi aallon energiaa.

Tarkastellaan jotakin yhtälön (22.5) vaiheen arvoa:

(22.6)

Yhtälö (22.6) antaa ajan suhteen t ja paikka - X, jossa määritetty vaihearvo on tällä hetkellä toteutettu. Määrittämällä yhtälöstä (22.6) saadaan nopeus, jolla annettu vaihearvo liikkuu. Erottelemalla (22.6) saamme:

Mistä seuraa (22.7)

TASOAALTO

TASOAALTO

Aalto, jonka etenemissuunta on sama kaikissa avaruuden pisteissä. Yksinkertaisin esimerkki on homogeeninen monokromaattinen vaimennettu P. v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

jossa A - amplitudi, j = wt±kz - , w = 2p/Т - ympyrätaajuus, Т - värähtelyjakso, k - . Vakiovaiheen pinnat (vaiherintamat) j=vakio P.v. ovat lentokoneita.

Dispersion puuttuessa, kun vph ja vgr ovat samat ja vakiot (vgr = vph = v), on olemassa stationäärisiä (eli kokonaisuutena liikkuvia) liikkuvia P.V.:ita, jotka sallivat muodon yleisen esityksen:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

jossa f on mielivaltainen funktio. Epälineaarisissa väliaineissa, joissa on dispersio, kiinteät etenevät aaltomuodot ovat myös mahdollisia. tyyppi (2), mutta niiden muoto ei ole enää mielivaltainen, vaan riippuu sekä järjestelmän parametreista että liikkeen luonteesta. Absorboivissa (dissipatiivisissa) tiedotusvälineissä P. vuosisadalla. pienennä niiden amplitudia, kun ne etenevät; lineaarisella vaimennuksella tämä voidaan ottaa huomioon korvaamalla k in (1) kompleksiaaltoluvulla kd ± ikm, jossa km on kerroin. vaimennus P. sisään.

Homogeeninen aaltomuoto, joka kattaa koko äärettömän, on idealisointi, mutta mikä tahansa äärelliselle alueelle keskittynyt aaltomuoto (esimerkiksi siirtolinjojen tai aaltoputkien ohjaama) voidaan esittää aaltomuodon superpositiona. yhdellä tai toisella tilalla. spektri k. Tässä tapauksessa aallolla voi silti olla tasainen vaiherintama, mutta epähomogeeninen amplitudi. Sellainen P. sisään. nimeltään taso epähomogeeniset aallot. Erilliset pallomaiset osat ja sylinterimäinen. aallot, jotka ovat pieniä verrattuna vaiherintaman kaarevuussäteeseen, käyttäytyvät suunnilleen kuten P.V.

Fyysinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. . 1983 .

TASOAALTO

- Aalto, uk-parven etenemissuunta on sama kaikissa avaruuden pisteissä.

Missä A - amplitudi, - vaihe, - ympyrätaajuus, T - värähtelyjakso, k- aaltonumero. = const P. c. ovat lentokoneita.
Dispersion puuttuessa, kun vaihenopeus v f ja ryhmä v gr ovat samat ja vakiot ( v gr = v f = v) liikkuu paikallaan (eli kokonaisuutena liikkuvia) P. c., joka voidaan esittää yleisessä muodossa

Missä f- mielivaltainen toiminto. Epälineaarisissa väliaineissa, joissa on dispersio, myös paikallaan kulkevat parametriset aallot ovat mahdollisia. tyyppi (2), mutta niiden muoto ei ole enää mielivaltainen, vaan riippuu sekä järjestelmän parametreista että aaltoliikkeen luonteesta. Absorboivissa (dissipatiivisissa) väliaineissa P. k kompleksisella aaltoluvulla k d ik m, missä k m - kerroin. vaimennus P. sisään. Homogeeninen aaltokenttä, joka peittää kaiken äärettömän, on idealisointi, mutta mikä tahansa äärelliselle alueelle keskittynyt aaltokenttä (esim. voimajohdot tai aaltoputket), voidaan esittää superpositiona. V. yhdellä tai toisella spatiaalisella spektrillä k. Tässä tapauksessa aallolla voi silti olla tasainen vaiherintama epätasaisessa amplitudijakaumassa. Sellainen P. sisään. nimeltään taso epähomogeeniset aallot. Dep. pallomaisia ​​tontteja tai lieriömäinen. aallot, jotka ovat pieniä verrattuna vaiherintaman kaarevuussäteeseen, käyttäytyvät suunnilleen kuten P.V.

Lit. katso Art. Aallot.

M. A. Miller, L. A. Ostrovski.

Fyysinen tietosanakirja. 5 osassa. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. Päätoimittaja A. M. Prokhorov. 1988 .

Useimmille aaltoihin liittyville ongelmille on tärkeää tietää väliaineen eri pisteiden värähtelytila ​​kerrallaan. Väliaineen pisteiden tilat määritetään, jos niiden värähtelyjen amplitudit ja vaiheet tunnetaan. Poikittaisaaltojen kohdalla on myös tarpeen tietää polarisaation luonne. Tasolineaarisesti polarisoidulle aallolle riittää lauseke, jonka avulla voidaan määrittää siirtymä c(x, t) minkä tahansa aineen koordinaatin pisteen tasapainopaikasta X, milloin tahansa t. Sellaista ilmaisua kutsutaan aaltoyhtälö.

Riisi. 2.21.

Harkitse ns juokseva aalto, nuo. aalto, jolla on litteä aaltorintama, joka etenee mihin tahansa tiettyyn suuntaan (esimerkiksi x-akselia pitkin). Anna väliaineen hiukkasten, jotka ovat suoraan tasoaaltojen lähteen vieressä, värähdellä harmonisen lain mukaan; %(0, /) = = rsobcoG (kuva 2.21). Kuvassa 2.21 A kautta ^(0, t) kuvioon nähden kohtisuorassa tasossa olevien väliaineen hiukkasten siirtymä, jolla on koordinaatti valitussa koordinaattijärjestelmässä X= 0 kerrallaan t. Aikareferenssin origo valitaan siten, että kosinifunktion kautta määritelty värähtelyjen alkuvaihe on nolla. Akseli X yhteensopiva palkin kanssa, ts. värähtelyn etenemissuunnan kanssa. Tässä tapauksessa aaltorintama on kohtisuorassa akseliin nähden X, niin, että tässä tasossa olevat hiukkaset värähtelevät samassa vaiheessa. Itse aaltorintama tässä väliaineessa liikkuu akselia pitkin X nopeudella Ja aallon eteneminen tietyssä väliaineessa.

Etsitäänkö lauseke? (x, t) väliaineen hiukkasten siirtyminen etäällä lähteestä etäisyydellä x. Tämä on matka, jonka aaltorintama kulkee

ajan mittaan Siksi hiukkasten värähtelyt, jotka sijaitsevat tasossa kaukana lähteestä etäisyyden päässä X, jää ajallisesti jäljessä arvon m verran suoraan lähteen vieressä olevien hiukkasten värähtelyistä. Nämä hiukkaset (koordinaatilla x) suorittavat myös harmonisia värähtelyjä. Jos vaimennusta ei ole, amplitudi A värähtelyt (tasoaallon tapauksessa) eivät riipu x-koordinaatista, ts.

Tämä on haluttu yhtälö kaipaava juoksuaalto(ei pidä sekoittaa alla käsiteltyyn aaltoyhtälöön!). Kuten jo todettiin, yhtälön avulla voimme määrittää siirtymän % väliaineen hiukkaset, joiden koordinaatti on x ajanhetkellä t. Värähtelyvaihe riippuu

kahdella muuttujalla: hiukkasen x-koordinaatilla ja ajalla t. Tietyllä kiinteällä ajanhetkellä eri hiukkasten värähtelyn vaiheet ovat yleisesti ottaen erilaisia, mutta on mahdollista erottaa sellaisia ​​hiukkasia, joiden värähtely tapahtuu samassa vaiheessa (in-phase). Voidaan myös olettaa, että näiden hiukkasten värähtelyvaiheiden välinen ero on yhtä suuri 2 pt(Missä t = 1, 2, 3,...). Lyhin etäisyys kahden samassa vaiheessa värähtelevän kulkevan aaltopartikkelin välillä on nimeltään aallonpituus x.

Etsitään aallonpituuden yhteys X muiden suureiden kanssa, jotka kuvaavat värähtelyjen etenemistä väliaineessa. Esitellyn aallonpituuden määritelmän mukaisesti voimme kirjoittaa

tai lyhenteiden jälkeen From , then

Tämän lausekkeen avulla voimme antaa erilaisen aallonpituuden määritelmän: aallonpituus on etäisyys, jonka yli väliaineen hiukkasten värähtelyt ehtivät edetä ajassa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyjakso.

Aaltoyhtälö paljastaa kaksinkertaisen jaksollisuuden: koordinaatissa ja ajassa: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​Tx + pX, ml), Missä kuoppa - mitkä tahansa kokonaisluvut. Voidaan esimerkiksi kiinnittää hiukkasten koordinaatit (put x = const) ja harkitse niiden siirtymää ajan funktiona. Tai päinvastoin, kiinnittääksesi hetken aikaan (ota t = const) ja harkitse hiukkasten siirtymää koordinaattien funktiona (siirtymien hetkellinen tila on hetkellinen valokuva aallosta). Joten laiturilla ollessasi voit käyttää kameraa silloin t kuvaa meren pintaa, mutta voit heittää sirun mereen (eli korjata koordinaatin X), seurata sen vaihtelua ajan myötä. Molemmat tapaukset on esitetty kaavioiden muodossa kuvassa. 2.21, a-c.

Aaltoyhtälö (2.125) voidaan kirjoittaa uudelleen eri tavalla

Suhde on merkitty Vastaanottaja ja soitti aaltonumero

Koska , Tuo

Aaltoluku osoittaa siis kuinka monta aallonpituutta mahtuu 2n pituusyksikön segmenttiin. Lisäämällä aaltoluvun aaltoyhtälöön saadaan yhtälö positiiviseen suuntaan kulkevalle aallolle vai niin aallot yleisimmin käytetyssä muodossa

Etsitään lauseke, joka liittyy kahden eri aaltopintoihin kuuluvan hiukkasen värähtelyjen vaihe-eroon Dp X ja x 2. Aaltoyhtälön (2.131) avulla kirjoitamme:

Jos merkitsemme tai (2.130)

Tasossa kulkevaa aaltoa, joka etenee mielivaltaiseen suuntaan, kuvataan yleisessä tapauksessa yhtälöllä

Missä G-sädevektori piirretty origosta aallon pinnalla olevaan hiukkaseen; - aaltovektori, joka on absoluuttisesti yhtä suuri kuin aaltoluku (2.130) ja yhtyy suunnassa aallonpinnan normaaliin aallon etenemissuunnassa.

Aaltoyhtälön kirjoittamisen monimutkainen muoto on myös mahdollista. Niin esimerkiksi akselia pitkin etenevän tasoaallon tapauksessa X

ja yleisessä tapauksessa mielivaltaisen suunnan tasoaalto

Aaltoyhtälö missä tahansa luetelluista kirjoitusmuodoista voidaan saada ratkaisuna differentiaaliyhtälöön ns. aaltoyhtälö. Jos tiedämme tämän yhtälön ratkaisun muodossa (2.128) tai (2.135) - liikkuva aaltoyhtälö, niin itse aaltoyhtälön löytäminen ei ole vaikeaa. Erota 4(x, t) = % alkaen (2.135) kahdesti koordinaatissa ja kahdesti ajassa ja hanki

ilmaisemalla ? saatujen derivaattojen kautta ja vertaamalla tuloksia, saamme

Pidämme suhteen (2.129) mielessä, kirjoitamme

Tämä on aaltoyhtälö yksiulotteiseen tapaukseen.

Yleisesti ottaen varten = c(x, y, z/) aaltoyhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa näyttää tältä

tai pienemmässä muodossa:

missä D on Laplacen differentiaalioperaattori

vaihenopeus jota kutsutaan samassa vaiheessa värähtelevien aallon pisteiden etenemisnopeudeksi. Toisin sanoen tämä on "harjan", "kaukalon" tai minkä tahansa muun aallon pisteen liikenopeus, jonka vaihe on kiinteä. Kuten aiemmin todettiin, aaltorintama (ja siten mikä tahansa aallonpinta) liikkuu akselia pitkin vai niin nopeudella Ja. Tästä seuraa, että värähtelyjen etenemisnopeus väliaineessa on sama kuin tietyn värähtelyvaiheen liikenopeus. Siksi nopeus Ja, määritellään suhteella (2.129), ts.

nimeltään vaihenopeus.

Sama tulos voidaan saada selvittämällä väliaineen pisteiden nopeus, jotka täyttävät vaiheen vakion ehdon/ - fee = const. Täältä löytyy koordinaatin riippuvuus ajasta (co / - const) ja tämän vaiheen liikkeen nopeus

joka on sama kuin (2.142).

Tasossa kulkeva aalto, joka etenee akselin negatiivisessa suunnassa Vai niin, kuvataan yhtälöllä

Todellakin, tässä tapauksessa vaihenopeus on negatiivinen

Vaihenopeus tietyssä väliaineessa voi riippua lähteen värähtelytaajuudesta. Vaihenopeuden riippuvuutta taajuudesta kutsutaan dispersio, ja ympäristöjä, joissa tämä riippuvuus tapahtuu, kutsutaan dispergointiaine. Ei kuitenkaan pidä ajatella, että lauseke (2.142) on osoitettu riippuvuus. Asia on siinä, että dispersion puuttuessa aaltoluku Vastaanottaja suorassa suhteessa

kanssa ja siksi . Dispersio tapahtuu vain, kun w riippuu Vastaanottaja epälineaarinen).

Liikkuvaa tasoaaltoa kutsutaan yksivärinen (jolla on yksi taajuus), jos lähteen värähtelyt ovat harmonisia. Monokromaattiset aallot vastaavat muotoa (2.131) olevaa yhtälöä.

Monokromaattiselle aallolle kulmataajuus ω ja amplitudi A eivät ole riippuvaisia ​​ajasta. Tämä tarkoittaa, että monokromaattinen aalto on ääretön avaruudessa ja ääretön ajassa, ts. on idealisoitu malli. Mikä tahansa todellinen aalto, riippumatta siitä, kuinka huolellisesti taajuuden ja amplitudin vakioisuutta ylläpidetään, ei ole yksivärinen. Tosiaalto ei kestä loputtomiin, vaan alkaa ja päättyy tiettyinä aikoina tietyssä paikassa, ja siksi tällaisen aallon amplitudi on ajan ja tämän paikan koordinaattien funktio. Kuitenkin, mitä pidempi aikaväli, jonka aikana värähtelyjen amplitudi ja taajuus pidetään vakiona, sitä lähempänä tämä aalto on monokromaattista. Usein käytännössä riittävän suurta aallon segmenttiä kutsutaan monokromaattiseksi aalloksi, jonka sisällä taajuus ja amplitudi eivät muutu, aivan kuten kuvassa on esitetty siniaallon segmentti ja sitä kutsutaan siniaaltoksi.