Tarkastellaan toisen asteen yhtälöä.

Määritellään sen juuret.

Ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on -1. Mutta jos kaava määrittelee operaattorin i imaginaariyksikkönä, niin tämän yhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon . Jossa ja - kompleksiluvut, joissa -1 on reaaliosa, 2 tai toisessa tapauksessa -2 on imaginaariosa. Kuvitteellinen osa on myös todellinen (reaali)luku. Kuvitteellinen osa kerrottuna imaginaariyksiköllä tarkoittaa jo kuvitteellinen luku.

Yleensä kompleksiluvulla on muoto

z = x + iy ,

missä x, y ovat reaalilukuja, on kuvitteellinen yksikkö. Useissa soveltavissa tieteissä, esimerkiksi sähkötekniikassa, elektroniikassa, signaaliteoriassa, imaginaariyksikköä merkitään j. Oikeita lukuja x = Re(z) ja y=Olen(z) nimeltään todellisia ja kuvitteellisia osia numeroita z. Ilmaisua kutsutaan algebrallinen muoto kompleksiluvun merkintä.

Mikä tahansa reaaliluku on muodossa olevan kompleksiluvun erikoistapaus . Imaginaariluku on myös kompleksiluvun erikoistapaus. .

Kompleksilukujoukon C määritelmä

Tämä lauseke kuuluu seuraavasti: set Kanssa, joka koostuu sellaisista elementeistä x ja y kuuluvat reaalilukujen joukkoon R ja on kuvitteellinen yksikkö. Huomaa, että jne.

Kaksi kompleksilukua ja ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret, ts. ja .

Monimutkaisia ​​lukuja ja funktioita käytetään laajalti tieteessä ja tekniikassa, erityisesti mekaniikassa, vaihtovirtapiirien analysoinnissa ja laskennassa, analogisessa elektroniikassa, signaaliteoriassa ja -käsittelyssä, automaattiohjausteoriassa ja muissa soveltavissa tieteissä.

1. Kompleksilukujen aritmetiikka

Kahden kompleksiluvun yhteenlasku koostuu niiden reaali- ja imaginaariosien yhteenlaskemisesta, ts.

Vastaavasti kahden kompleksiluvun ero

Monimutkainen luku nimeltään monimutkainen konjugaatti määrä z=x +i.y.

Kompleksikonjugaattiluvut z ja z * eroavat imaginaariosan etumerkeissä. Se on selvää

.

Mikä tahansa monimutkaisten lausekkeiden välinen tasa-arvo pysyy voimassa, jos tässä yhtäläisyydessä on kaikkialla i korvattu - i, eli siirry konjugaattilukujen yhtälöön. Numerot i ja – i ovat algebrallisesti erottamattomia, koska .

Kahden kompleksiluvun tulo (kerto) voidaan laskea seuraavasti:

Kahden kompleksiluvun jako:

Esimerkki:

1. Monimutkainen taso

Kompleksiluku voidaan esittää graafisesti suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Asetetaan tasoon suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä (x, y).

akselilla Härkä järjestämme oikeat osat x, sitä kutsutaan todellinen (todellinen) akseli, akselilla Oy– kuvitteelliset osat y kompleksiluvut. Hän kantaa nimeä kuvitteellinen akseli. Lisäksi jokainen kompleksiluku vastaa tiettyä tason pistettä, ja tällaista tasoa kutsutaan monimutkainen taso. Kohta MUTTA kompleksitaso vastaa vektoria OA.

Määrä x nimeltään abskissa kompleksiluku, luku y – ordinaattinen.

Kompleksikonjugaattilukupari näytetään pisteinä, jotka sijaitsevat symmetrisesti todellisen akselin ympärillä.

Jos lentokoneessa asetettu napakoordinaattijärjestelmä, sitten jokainen kompleksiluku z määritetään napakoordinaateilla. Jossa moduuli numeroita on pisteen napainen säde ja kulma - sen napakulma tai kompleksilukuargumentti z.

Kompleksiluvun moduuli aina ei negatiivinen. Kompleksiluvun argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti. Argumentin pääarvon on täytettävä ehto . Jokainen kompleksitason piste vastaa myös argumentin kokonaisarvoa. Argumentit, jotka eroavat 2π:n kerrannaiselta, katsotaan yhtäläisiksi. Numeroargumenttia nolla ei ole määritetty.

Argumentin pääarvon määrittävät lausekkeet:

Se on selvää

Jossa
, .

Kompleksilukuesitys z kuten

nimeltään trigonometrinen muoto kompleksiluku.

Esimerkki.

1. Kompleksilukujen eksponentiaalinen muoto

Hajoaminen sisään Maclaurin-sarja todellisille argumenttifunktioille näyttää:

Monimutkaisen argumentin eksponentiaaliselle funktiolle z hajoaminen on samanlaista

.

Maclaurin-sarjan laajennus imaginaarisen argumentin eksponentiaaliselle funktiolle voidaan esittää muodossa

Tuloksena olevaa identiteettiä kutsutaan Eulerin kaava.

Negatiivinen argumentti näyttää siltä

Yhdistämällä näitä lausekkeita voimme määritellä seuraavat lausekkeet sinille ja kosinille

.

Käyttämällä Eulerin kaavaa kompleksilukujen esityksen trigonometrisesta muodosta

sinä voit saada sen demonstratiivista kompleksiluvun (eksponentiaalinen, polaarinen) muoto, ts. sen edustus muodossa

,

missä - pisteen napakoordinaatit, joissa on suorakulmaiset koordinaatit ( x,y).

Kompleksiluvun konjugaatti kirjoitetaan eksponentiaalisessa muodossa seuraavasti.

Eksponentiaaliselle muodolle on helppo määritellä seuraavat kaavat kompleksilukujen kerto- ja jakolaskua varten

Eli eksponentiaalisessa muodossa kompleksilukujen tulo ja jako on helpompaa kuin algebrallisessa muodossa. Kerrottaessa tekijöiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään. Tämä sääntö koskee monia tekijöitä. Erityisesti kompleksilukua kerrottaessa z päällä i vektori z pyörii vastapäivään 90 astetta

Jaossa osoittajan moduuli jaetaan nimittäjän moduulilla ja nimittäjän argumentti vähennetään osoittajaargumentista.

Kompleksilukujen eksponentiaalista muotoa käyttämällä voidaan saada lausekkeita hyvin tunnetuille trigonometrisille identiteeteille. Esimerkiksi identiteetistä

Eulerin kaavan avulla voimme kirjoittaa

Kun reaali- ja imaginaariosa rinnastetaan tässä lausekkeessa, saadaan lausekkeet kulmien summan kosinille ja sinille

1. Kompleksilukujen potenssit, juuret ja logaritmit

Kompleksiluvun nostaminen luonnolliseksi potenssiksi n valmistettu kaavan mukaan

Esimerkki. Laskea .

Kuvittele numero trigonometrisessa muodossa

’

Käyttämällä eksponentiointikaavaa saamme

Arvon asettaminen lausekkeeseen r= 1, saamme ns De Moivren kaava, jolla voit määrittää useiden kulmien sinien ja kosinien lausekkeet.

juuri n kompleksiluvun potenssi z Sillä on n lausekkeen määräämät erilaiset arvot

Esimerkki. Etsitään .

Tätä varten ilmaisemme kompleksiluvun () trigonometriseen muotoon

.

Kompleksiluvun juuren laskentakaavan mukaan saamme

Kompleksiluvun logaritmi z on numero w, mille . Kompleksiluvun luonnollisella logaritmilla on ääretön määrä arvoja ja se lasketaan kaavalla

Koostuu todellisista (kosinin) ja imaginaariosista (sini). Tällainen jännitys voidaan esittää pituusvektorina U m, alkuvaihe (kulma), pyörivä kulmanopeudella ω .

Lisäksi jos monimutkaisia ​​funktioita lisätään, niiden todelliset ja kuvitteelliset osat lisätään. Jos kompleksifunktio kerrotaan vakiolla tai reaalifunktiolla, niin sen reaali- ja imaginaariosa kerrotaan samalla kertoimella. Tällaisen monimutkaisen funktion eriyttäminen/integrointi pelkistyy todellisten ja kuvitteellisten osien eriyttämiseen/integrointiin.

Esimerkiksi monimutkaisen stressiilmaisun erilaistuminen

on kertoa se iω on funktion f(z), ja reaaliosa on funktion kuvitteellinen osa. Esimerkkejä: .

Merkitys z on esitetty kompleksisen z-tason pisteellä ja vastaavalla arvolla w- piste kompleksitasossa w. Kun näytetään w = f(z) tasolinjat z kulkea koneen linjoihin w, yhden tason kuviot toisen tason kuvioiksi, mutta viivojen tai kuvioiden muodot voivat muuttua merkittävästi.