Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälön muoto on y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Yhtälöä (10.8) kutsutaan tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

,

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko kaikkia tason pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskustaksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja Kanssa Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa tiedosta

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Päätös. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Päätös. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Päätös. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Tämä artikkeli jatkaa aihetta tasaisen suoran yhtälöstä: harkitse tällaista yhtälöä suoran yleisenä yhtälönä. Määritellään lause ja todistetaan se; Selvitetään, mikä on epätäydellinen suoran yleinen yhtälö ja kuinka tehdä siirtymiä yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin. Vahvistamme koko teorian kuvin ja käytännön ongelmien ratkaisemisen avulla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olkoon tasossa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y.

Lause 1

Mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö, jonka muoto on A x + B y + C \u003d 0, jossa A, B, C ovat joitain reaalilukuja (A ja B eivät ole yhtä suuri kuin nolla samanaikaisesti), määrittää suoran suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa. Mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa puolestaan ​​määräytyy yhtälöllä, jonka muoto on A x + B y + C = 0 tietylle arvojoukolle A, B, C.

Todiste

Tämä lause koostuu kahdesta kohdasta, todistamme niistä jokaisen.

1. Osoitetaan, että yhtälö A x + B y + C = 0 määrittelee tasossa olevan suoran.

Olkoon jokin piste M 0 (x 0, y 0), jonka koordinaatit vastaavat yhtälöä A x + B y + C = 0 . Siten: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä yhtälöiden A x + B y + C \u003d 0 vasemmalta ja oikealta puolelta yhtälön A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasen ja oikea puoli, saadaan uusi yhtälö, joka näyttää A:lta (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Se vastaa A x + B y + C = 0 .

Tuloksena oleva yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on välttämätön ja riittävä ehto vektorien n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) kohtisuoralle. 0, y - y 0) . Siten pistejoukko M (x, y) määrittää suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa suoran, joka on kohtisuorassa vektorin n → = (A, B) suuntaan. Voimme olettaa, että näin ei ole, mutta silloin vektorit n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) eivät olisi kohtisuorassa, ja yhtälö A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei olisi totta.

Siksi yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 määrittää jonkin suoran suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa, ja siksi vastaava yhtälö A x + B y + C \u003d 0 määrittää sama linja. Näin olemme todistaneet lauseen ensimmäisen osan.

1. Osoitetaan, että mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa voidaan antaa ensimmäisen asteen yhtälöllä A x + B y + C = 0 .

Asetetaan suora a suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään tasolle; piste M 0 (x 0 , y 0), jonka kautta tämä suora kulkee, sekä tämän suoran normaalivektori n → = (A , B) .

Olkoon olemassa myös jokin piste M (x , y) - suoran liukuluku. Tässä tapauksessa vektorit n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja niiden skalaaritulo on nolla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjoitetaan uudelleen yhtälö A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , määritellään C: C = - A x 0 - B y 0 ja saadaan lopuksi yhtälö A x + B y + C = 0 .

Joten olemme todistaneet lauseen toisen osan ja olemme todistaneet koko lauseen kokonaisuutena.

Määritelmä 1

Yhtälö, joka näyttää A x + B y + C = 0 - Tämä suoran suoran yleinen yhtälö tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässäO x y .

Todistetun lauseen perusteella voidaan päätellä, että kiinteässä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevalle tasolle annettu suora ja sen yleinen yhtälö liittyvät erottamattomasti toisiinsa. Toisin sanoen alkuperäinen viiva vastaa sen yleistä yhtälöä; suoran yleinen yhtälö vastaa annettua suoraa.

Lauseen todistuksesta seuraa myös, että kertoimet A ja B muuttujille x ja y ovat suoran normaalivektorin koordinaatit, joka saadaan suoran yleisestä yhtälöstä A x + B y + C = 0.

Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä suoran yleisestä yhtälöstä.

Olkoon yhtälö 2 x + 3 y - 2 = 0, joka vastaa suoraa suoraa annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Tämän suoran normaalivektori on vektori n → = (2, 3) . Piirrä piirustukseen annettu suora viiva.

Myös seuraavaa voidaan väittää: piirustuksessa näkemämme suora määräytyy yleisellä yhtälöllä 2 x + 3 y - 2 = 0, koska tietyn suoran kaikkien pisteiden koordinaatit vastaavat tätä yhtälöä.

Saatamme yhtälön λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 kertomalla yleisen suorayhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla luvulla λ. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yleisyhtälöä, joten se kuvaa samaa viivaa tasossa.

Määritelmä 2

Suoran suoran täydellinen yleinen yhtälö- tällainen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, jossa luvut A, B, C ovat nollia poikkeavia. Muuten yhtälö on epätäydellinen.

Analysoidaan kaikki epätäydellisen suoran yleisen yhtälön muunnelmat.

1. Kun A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, yleisestä yhtälöstä tulee B y + C \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yleinen yhtälö määrittelee suoran suoran suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y, joka on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa, koska minkä tahansa x:n todellisen arvon kohdalla muuttuja y saa arvon. - C B. Toisin sanoen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, kun A \u003d 0, B ≠ 0, määrittelee niiden pisteiden (x, y) paikan, joiden koordinaatit ovat samat. - C B.
2. Jos A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, yleisestä yhtälöstä tulee y \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yhtälö määrittelee x-akselin O x .
3. Kun A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saadaan epätäydellinen yleinen yhtälö A x + C \u003d 0, joka määrittää y-akselin suuntaisen suoran.
4. Olkoon A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, silloin epätäydellinen yleinen yhtälö on muodossa x \u003d 0, ja tämä on koordinaattiviivan O y yhtälö.
5. Lopuksi, kun A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, epätäydellinen yleinen yhtälö saa muotoa A x + B y \u003d 0. Ja tämä yhtälö kuvaa suoraa, joka kulkee origon kautta. Todellakin, lukupari (0, 0) vastaa yhtälöä A x + B y = 0, koska A · 0 + B · 0 = 0 .

Havainnollistetaan graafisesti kaikki edellä mainitut epätäydellisen suoran yleisen yhtälön tyypit.

Esimerkki 1

Tiedetään, että annettu suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja kulkee pisteen 2 7 , - 11 kautta. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Y-akselin suuntainen suora saadaan yhtälöllä, jonka muoto on A x + C \u003d 0, jossa A ≠ 0. Ehto määrittää myös sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja tämän pisteen koordinaatit vastaavat epätäydellisen yleisen yhtälön A x + C = 0 ehtoja, ts. tasa-arvo on oikein:

A 2 7 + C = 0

Siitä on mahdollista määrittää C antamalla A:lle jokin nollasta poikkeava arvo, esimerkiksi A = 7 . Tässä tapauksessa saamme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Tunnemme molemmat kertoimet A ja C, korvaamme ne yhtälöllä A x + C = 0 ja saamme vaaditun yhtälön suorasta: 7 x - 2 = 0

Vastaus: 7 x - 2 = 0

Esimerkki 2

Piirustus näyttää suoran viivan, on tarpeen kirjoittaa sen yhtälö.

Päätös

Annetun piirustuksen avulla voimme helposti ottaa lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi. Näemme piirustuksessa, että annettu viiva on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa ja kulkee pisteen (0 , 3) ​​kautta.

Abskissan suuntainen suora määritetään epätäydellisellä yleisyhtälöllä B y + С = 0. Etsi B:n ja C:n arvot. Pisteen (0, 3) koordinaatit, koska annettu suora kulkee sen läpi, täyttävät suoran yhtälön B y + С = 0, niin yhtälö on voimassa: В · 3 + С = 0. Asetetaan B:lle jokin muu arvo kuin nolla. Oletetaan, että B \u003d 1, tässä tapauksessa yhtälöstä B · 3 + C \u003d 0 löydämme C: C \u003d - 3. Käyttämällä B:n ja C:n tunnettuja arvoja saamme vaaditun suoran yhtälön: y - 3 = 0.

Vastaus: y-3 = 0.

Tietyn tason pisteen kautta kulkevan suoran yleinen yhtälö

Kulkekoon annettu suora pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi, jolloin sen koordinaatit vastaavat suoran yleistä yhtälöä, ts. yhtälö on tosi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä tämän yhtälön vasen ja oikea puoli suoran yleisen täydellisen yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Saamme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä yhtälöä, kulkee pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi ja sillä on normaalivektori n → \u003d (A, B) .

Saamamme tulos mahdollistaa suoran yleisen yhtälön kirjoittamisen suoran normaalivektorin tunnetuille koordinaateille ja tämän suoran tietyn pisteen koordinaateille.

Esimerkki 3

Annettu piste M 0 (- 3, 4), jonka kautta suora kulkee, ja tämän suoran normaalivektori n → = (1, -2) . On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehdot antavat meille mahdollisuuden saada tarvittavat tiedot yhtälön laatimiseksi: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sitten:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Suoran suoran yleinen yhtälö on muotoa A x + B y + C = 0 . Annettu normaalivektori antaa sinun saada kertoimien A ja B arvot, sitten:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Etsitään nyt C:n arvo käyttämällä tehtävän ehdon antamaa pistettä M 0 (- 3, 4), jonka läpi suora kulkee. Tämän pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä x - 2 · y + C = 0 , ts. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Siksi C = 11. Vaadittu suora yhtälö on muodossa: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastaus: x - 2 y + 11 = 0 .

Esimerkki 4

Annettu suora 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja tällä suoralla oleva piste M 0. Vain tämän pisteen abskissa tunnetaan, ja se on yhtä suuri kuin -3. On tarpeen määrittää annetun pisteen ordinaatit.

Päätös

Asetetaan pisteen M 0 koordinaattien nimeksi x 0 ja y 0 . Alkutiedot osoittavat, että x 0 \u003d - 3. Koska piste kuuluu annettuun suoraan, sen koordinaatit vastaavat tämän suoran yleistä yhtälöä. Sitten seuraava yhtäläisyys on totta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Määrittele y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastaus: - 5 2

Siirtyminen suoran yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Kuten tiedämme, tasossa on useita saman suoran yhtälön tyyppejä. Yhtälön tyypin valinta riippuu ongelman olosuhteista; on mahdollista valita ratkaisulle sopivampi. Tässä on erittäin hyödyllistä taitoa muuntaa eräänlainen yhtälö toisen tyyppiseksi yhtälöksi.

Tarkastellaan ensin siirtymää yleisestä yhtälöstä muodossa A x + B y + C = 0 kanoniseen yhtälöön x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jos A ≠ 0, siirretään termi B y yleisen yhtälön oikealle puolelle. Vasemmalla puolella otamme A pois suluista. Tuloksena saamme: A x + C A = - B y .

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa suhteessa: x + C A - B = y A .

Jos B ≠ 0, jätämme vain termin A x yleisen yhtälön vasemmalle puolelle, siirrämme muut oikealle puolelle, saamme: A x \u003d - B y - C. Otamme pois - B suluista, sitten: A x \u003d - B y + C B.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen suhteeksi: x - B = y + C B A .

Saatuja kaavoja ei tietenkään tarvitse muistaa. Riittää, kun tietää toimintojen algoritmin siirtyessä yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön.

Esimerkki 5

Suoran 3 y - 4 = 0 yleinen yhtälö on annettu. Se on muutettava kanoniseksi yhtälöksi.

Päätös

Kirjoitamme alkuperäisen yhtälön muodossa 3 y - 4 = 0 . Seuraavaksi toimitaan algoritmin mukaan: termi 0 x jää vasemmalle puolelle; ja oikealla puolella otamme ulos - 3 suluista; saamme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjoitetaan saatu yhtälö suhteessa: x - 3 = y - 4 3 0 . Siten olemme saaneet kanonisen muodon yhtälön.

Vastaus: x - 3 = y - 4 3 0.

Suoran suoran yleisen yhtälön muuttamiseksi parametrisiksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen muotoon ja sitten siirtyminen suoran kanonisesta yhtälöstä parametrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjoita muistiin tämän suoran parametriyhtälöt.

Päätös

Tehdään siirtymä yleisestä yhtälöstä kanoniseen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 v + 1 ⇔ 2 x = 5 v + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Otetaan nyt tuloksena olevan kanonisen yhtälön molemmat osat yhtä suureksi kuin λ, sitten:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastaus:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Yleinen yhtälö voidaan muuntaa suorayhtälöksi, jonka kaltevuus y = k x + b, mutta vain kun B ≠ 0. Vasemman puolen siirtymää varten jätämme termin B y , loput siirretään oikealle. Saamme: B y = - A x - C . Jaetaan tuloksena olevan yhtälön molemmat osat B:llä, joka on eri kuin nolla: y = - A B x - C B .

Esimerkki 7

Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu: 2 x + 7 y = 0 . Sinun on muutettava tämä yhtälö kaltevuusyhtälöksi.

Päätös

Suoritetaan tarvittavat toimenpiteet algoritmin mukaan:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastaus: y = -2 7 x .

Suoran suoran yleisestä yhtälöstä riittää, että saadaan yksinkertaisesti yhtälö segmenteissä, jotka ovat muotoa x a + y b \u003d 1. Tällaisen siirtymän suorittamiseksi siirrämme luvun C yhtälön oikealle puolelle, jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat -С:lla ja lopuksi siirrämme muuttujien x ja y kertoimet nimittäjiin:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esimerkki 8

On tarpeen muuntaa suoran x - 7 y + 1 2 = 0 yleinen yhtälö segmenttien suoran yhtälöksi.

Päätös

Siirretään 1 2 oikealle: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jaa yhtälön molemmilla puolilla -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastaus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Yleensä käänteinen siirtyminen on myös helppoa: muun tyyppisistä yhtälöistä yleiseen.

Segmenttien suoran yhtälö ja kaltevuusyhtälö voidaan helposti muuntaa yleiseksi yksinkertaisesti keräämällä kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninen yhtälö muunnetaan yleiseksi seuraavan kaavion mukaisesti:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrista siirtymiseksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen ja sitten yleiseen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esimerkki 9

Suoran x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriyhtälöt on annettu. On tarpeen kirjoittaa muistiin tämän suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Tehdään siirtymä parametrisistä yhtälöistä kanoniseen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Siirrytään kanonisesta yleiseen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastaus: y - 4 = 0

Esimerkki 10

On annettu suoran yhtälö janoissa x 3 + y 1 2 = 1. On tarpeen suorittaa siirtyminen yhtälön yleiseen muotoon.

Päätös:

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vaadittuun muotoon:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastaus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Suoran suoran yleisen yhtälön laatiminen

Yllä sanoimme, että yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa tunnetuilla normaalivektorin koordinaateilla ja sen pisteen koordinaateilla, jonka kautta suora kulkee. Tällainen suora määritellään yhtälöllä A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samassa paikassa analysoimme vastaavaa esimerkkiä.

Katsotaan nyt monimutkaisempia esimerkkejä, joissa ensin on tarpeen määrittää normaalivektorin koordinaatit.

Esimerkki 11

Annettu suoran kanssa yhdensuuntainen suora 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tunnetaan myös piste M 0 (4 , 1), jonka kautta annettu suora kulkee. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehdot kertovat, että suorat ovat yhdensuuntaisia, kun taas normaalivektorina suoralle, jonka yhtälö on kirjoitettava, otamme suoran suuntavektorin n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nyt tiedämme kaikki tarvittavat tiedot suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastaus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esimerkki 12

Annettu suora kulkee origon kautta kohtisuoraan suoraa x - 2 3 = y + 4 5 vastaan. On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Annetun suoran normaalivektori on suoran x - 2 3 = y + 4 5 suuntausvektori .

Sitten n → = (3 , 5) . Suora kulkee origon kautta, ts. pisteen O kautta (0, 0) . Muodostetaan tietyn suoran yleinen yhtälö:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastaus: 3 x + 5 y = 0 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämä artikkeli paljastaa kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön johdosta suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, joka sijaitsee tasossa. Johdetaan yhtälö suorasta suorasta, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Näytämme ja ratkaisemme visuaalisesti useita esimerkkejä käsiteltyyn materiaaliin liittyen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen kuin saadaan kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, on tarpeen kiinnittää huomiota joihinkin tosiasioihin. On olemassa aksiooma, joka sanoo, että kahden ei-yhteensopivan pisteen kautta tasossa on mahdollista piirtää suora ja vain yksi. Toisin sanoen tason kaksi annettua pistettä määritetään näiden pisteiden läpi kulkevalla suoralla.

Jos taso on annettu suorakaiteen muotoisella koordinaattijärjestelmällä Oxy, niin mikä tahansa siinä kuvattu suora vastaa tason suoran yhtälöä. Myös suoran suuntavektoriin on yhteys, jotka riittävät kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön muodostamiseen.

Harkitse esimerkkiä samanlaisen ongelman ratkaisemisesta. On tarpeen muotoilla yhtälö suoralle alle, joka kulkee kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa olevien yhteensopimattomien pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) kautta.

Tason suoran kanonisessa yhtälössä, jonka muoto on x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y määritetään suoralla, joka leikkaa sen pisteessä, jonka koordinaatit on M 1 (x 1, y 1) ohjausvektorilla a → = (a x , a y) .

On tarpeen muodostaa kanoninen yhtälö suoralle a, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) .

Suoralla a on suuntavektori M 1 M 2 → ja koordinaatit (x 2 - x 1, y 2 - y 1), koska se leikkaa pisteet M 1 ja M 2. Olemme saaneet tarvittavat tiedot kanonisen yhtälön muuntamiseksi suuntavektorin M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinaatteilla ja niillä olevien pisteiden M 1 koordinaatteilla. (x 1, y 1) ja M2 (x 2, y 2). Saadaan yhtälö muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Laskelmien jälkeen kirjoitetaan suoran parametriset yhtälöt tasoon, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) . Saamme yhtälön muodossa x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ tai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Tarkastellaanpa muutamaa esimerkkiä tarkemmin.

Esimerkki 1

Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, joka kulkee 2 annetun pisteen kautta koordinaattein M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Päätös

Kanoninen yhtälö suoralle, joka leikkaa kaksi pistettä, joiden koordinaatit ovat x 1, y 1 ja x 2, y 2, on muotoa x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1. Ongelman ehdon mukaan meillä on x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. On tarpeen korvata numeeriset arvot yhtälössä x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Tästä saadaan, että kanoninen yhtälö on muotoa x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Vastaus: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jos on tarpeen ratkaista ongelma toisen tyyppisellä yhtälöllä, voit aluksi siirtyä kanoniseen yhtälöön, koska siitä on helpompi päästä mihin tahansa muuhun.

Esimerkki 2

Laadi yleinen yhtälö suorasta, joka kulkee O x y -koordinaatistossa olevien pisteiden kautta, joiden koordinaatit ovat M 1 (1, 1) ja M 2 (4, 2).

Päätös

Ensin sinun on kirjoitettava muistiin tietyn suoran kanoninen yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen kautta. Saadaan yhtälö muotoa x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Tuomme kanonisen yhtälön haluttuun muotoon, niin saamme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Vastaus: x - 3 y + 2 = 0 .

Esimerkkejä tällaisista tehtävistä pohdittiin koulun oppikirjoissa algebratunneilla. Koulutehtävät erosivat siinä, että kaltevuuskertoimella varustetun suoran yhtälö tunnettiin muotoa y \u003d k x + b. Jos sinun on löydettävä kulmakertoimen k ja luvun b arvo, jossa yhtälö y \u003d k x + b määrittää O x y -järjestelmässä suoran, joka kulkee pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M kautta 2 (x 2, y 2) , jossa x 1 ≠ x 2 . Kun x 1 = x 2 , niin kulmakerroin saa äärettömän arvon ja suora M 1 M 2 määritellään yleisellä epätäydellisellä yhtälöllä muotoa x - x 1 = 0 .

Koska pisteet M 1 ja M 2 ovat suoralla, niin niiden koordinaatit täyttävät yhtälön y 1 = k x 1 + b ja y 2 = k x 2 + b. On tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k:n ja b:n suhteen.

Tätä varten löydämme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Tällaisilla k:n ja b:n arvoilla annettujen kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö on muodossa y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Tällaisen valtavan määrän kaavojen muistaminen kerralla ei toimi. Tätä varten on tarpeen lisätä toistojen määrää ongelmien ratkaisemisessa.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle kulmakertoimelle, joka kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 2 (2, 1) ja y = k x + b.

Päätös

Ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavaa, jonka kaltevuus on muotoa y \u003d k x + b. Kertoimien k ja b on saatava sellainen arvo, että tämä yhtälö vastaa suoraa, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (- 7 , - 5) ja M 2 (2 , 1) .

pisteitä M 1 ja M 2 jotka sijaitsevat suoralla, niin niiden koordinaattien tulee kääntää yhtälö y = k x + b oikea yhtälö. Tästä saadaan, että - 5 = k · (- 7) + b ja 1 = k · 2 + b. Yhdistetään yhtälö järjestelmään - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ja ratkaistaan.

Korvaamalla saamme sen

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nyt arvot k = 2 3 ja b = - 1 3 korvataan yhtälöllä y = k x + b . Saamme, että haluttu yhtälö, joka kulkee annettujen pisteiden läpi, on yhtälö, jonka muoto on y = 2 3 x - 1 3 .

Tämä ratkaisutapa määrää ennalta suuren ajan kulutuksen. On olemassa tapa, jolla tehtävä ratkaistaan ​​kirjaimellisesti kahdessa vaiheessa.

Kirjoitamme M 2 (2, 1) ja M 1 (- 7, - 5) kautta kulkevan suoran kanonisen yhtälön, jonka muoto on x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Siirrytään nyt kaltevuusyhtälöön. Saamme, että x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Vastaus: y = 2 3 x - 1 3 .

Jos kolmiulotteisessa avaruudessa on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on kaksi annettua ei-yhdenmukaista pistettä, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), Niiden läpi kulkeva suora viiva M 1 M 2, on tarpeen saada tämän suoran yhtälö.

Meillä on kanoniset yhtälöt muotoa x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ja parametriset yhtälöt muotoa x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ pystyvät asettamaan suoran O x y z -koordinaatistossa, joka kulkee pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (x 1, y 1, z 1) suuntausvektorilla a → = (a x, a y, a z) .

Suora M 1 M 2 sillä on suuntavektori muotoa M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) , jossa suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1, z) kautta 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), joten kanoninen yhtälö voi olla muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 puolestaan ​​parametrinen x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ tai x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tarkastellaan kuvaa, joka esittää 2 annettua pistettä avaruudessa ja suoran yhtälöä.

Esimerkki 4

Kirjoita kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään O x y z määritellyn suoran yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen läpi koordinaatilla M 1 (2, - 3, 0) ja M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Päätös

Meidän on löydettävä kanoninen yhtälö. Koska puhumme kolmiulotteisesta avaruudesta, se tarkoittaa, että kun suora kulkee annettujen pisteiden läpi, haluttu kanoninen yhtälö on muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Ehdolla meillä on, että x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Tästä seuraa, että tarvittavat yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Vastaus: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Annetaan kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2). Kirjoitamme suoran yhtälön muotoon (5), missä k vielä tuntematon kerroin:

Kohdasta lähtien M 2 kuuluu tiettyyn riviin, niin sen koordinaatit täyttävät yhtälön (5): . Ilmaisemalla tästä ja korvaamalla sen yhtälöön (5) saamme halutun yhtälön:

Jos Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon, joka on helpompi muistaa:

(6)

Esimerkki. Kirjoita pisteiden M 1 (1.2) ja M 2 (-2.3) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Päätös. . Käyttämällä suhteellisuusominaisuutta ja suorittamalla tarvittavat muunnokset, saamme suoran yleisen yhtälön:

Kahden viivan välinen kulma

Harkitse kahta riviä l 1 ja l 2:

l 1: , , ja

l 2: , ,

φ on niiden välinen kulma (). Kuva 4 näyttää: .

Täältä , tai

Kaavan (7) avulla voidaan määrittää yksi viivojen välisistä kulmista. Toinen kulma on .

Esimerkki. Kaksi suoraa saadaan yhtälöistä y=2x+3 ja y=-3x+2. etsi näiden viivojen välinen kulma.

Päätös. Yhtälöistä voidaan nähdä, että k 1 \u003d 2 ja k 2 \u003d-3. korvaamalla nämä arvot kaavaan (7), löydämme

. Joten näiden viivojen välinen kulma on .

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot

Jos suoraan l 1 ja l 2 ovat siis yhdensuuntaiset φ=0 ja tgφ = 0. kaavasta (7) seuraa, että , mistä k 2 \u003d k 1. Siten kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehto on niiden kaltevuuden yhtäläisyys.

Jos suoraan l 1 ja l 2 kohtisuorassa siis φ = π/2, α2 = π/2+ α1. . Siten kahden suoran kohtisuoran ehtona on, että niiden kaltevuus on suuruudeltaan käänteinen ja vastakkainen etumerkillä.

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C \u003d 0 määritellään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 läpi kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan.

Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3v + 3 = 0;

Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b.

k= . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, niin sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: mistä b \u003d 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.

Etäisyys pisteestä suoraan määräytyy pisteestä suoralle pudonneen kohtisuoran pituuden mukaan.

Jos suora on yhdensuuntainen projektiotason kanssa (t | | P 1), sitten määrittääksesi etäisyyden pisteestä MUTTA suoraan h pisteestä on pudotettava kohtisuora MUTTA vaakasuoraan h.

Tarkastellaan monimutkaisempaa esimerkkiä, kun viiva on yleisessä asemassa. Olkoon tarpeen määrittää etäisyys pisteestä M suoraan a yleinen asema.

Määritelmätehtävä yhdensuuntaisten viivojen väliset etäisyydet ratkaistu samalla tavalla kuin edellinen. Yhdeltä suoralta otetaan piste ja siitä piirretään kohtisuora toiselle suoralle. Pystysuoran pituus on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys.

Toisen järjestyksen käyrä on suora, jonka määrittää toisen asteen yhtälö nykyisten suorakulmaisten koordinaattien suhteen. Yleisessä tapauksessa Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

jossa A, B, C, D, E, F ovat reaalilukuja ja ainakin yksi luvuista A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Ympyrä

Ympyrän keskipiste- tämä on tason pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tason C pisteestä (a, b).

Ympyrä saadaan seuraavalla yhtälöllä:

Missä x, y ovat mielivaltaisen ympyrän pisteen koordinaatit, R on ympyrän säde.

Ympyräyhtälön merkki

1. Ei ole termiä x, y

2. Kertoimet kohdissa x 2 ja y 2 ovat yhtä suuret

Ellipsi

Ellipsi kutsutaan tason pisteiden paikkaa, joiden kunkin etäisyyden summaa tämän tason kahdesta annetusta pisteestä kutsutaan polttopisteeksi (vakioarvo).

Ellipsin kanoninen yhtälö:

X ja y kuuluvat ellipsiin.

a on ellipsin pääpuoliakseli

b on ellipsin pieni puoliakseli

Ellipsissä on 2 symmetria-akselia OX ja OY. Ellipsin symmetria-akselit ovat sen akseleita, niiden leikkauspiste on ellipsin keskipiste. Akselia, jolla polttopisteet sijaitsevat, kutsutaan polttoakseli. Ellipsin ja akselien leikkauspiste on ellipsin kärki.

Puristus (venytys) suhde: ε = c/a- epäkeskisyys (luonnollistaa ellipsin muotoa), mitä pienempi se on, sitä vähemmän ellipsi ulottuu polttoakselia pitkin.

Jos ellipsin keskipisteet eivät ole keskustassa С(α, β)

Hyperbeli

Hyperbolia jota kutsutaan tason pisteiden paikaksi, itseisarvo etäisyyksissä, joista kukin on tämän tason kahdesta annetusta pisteestä, jota kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo, joka on muu kuin nolla.

Hyperbolin kanoninen yhtälö

Hyperbolalla on kaksi symmetria-akselia:

a - todellinen symmetrian puoliakseli

b - kuvitteellinen symmetrian puoliakseli

Hyperbolan asymptootit:

Paraabeli

paraabeli on pisteiden paikka tasossa, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä F, jota kutsutaan fokuseksi, ja tietystä suorasta, jota kutsutaan suuntaviivaksi.

Kanoninen paraabeliyhtälö:

Y 2 \u003d 2px, missä p on etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan (paraabeliparametri)

Jos paraabelin kärki on C (α, β), niin paraabelin yhtälö (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Jos polttoakseli otetaan y-akseliksi, paraabeliyhtälö on muodossa: x 2 \u003d 2qy